ESTUDIO EXPERIMENTAL DE PERDIDAS EN UNA CASCADA DE ALABES DE COMPRESOR AXIAL

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

“ESTUDIO EXPERIMENTAL DE PÉRDIDAS EN UNA

CASCADA DE ÁLABES DE COMPRESOR AXIAL”

T

E

S

I

S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN

INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA

ING. ALBERTO EDUARDO MORALES HERNÁNDEZ

DIRECTOR DE TESIS

(2)

(3)

(4)

ÍNDICE

RELACIÓN DE FIGURAS Y TABLAS I

NOMENCLATURA VII

RESUMEN XI

ABSTRACT XII

INTRODUCCIÓN XIII

CAPÍTULO 1 “ESTADO DEL ARTE”

1.1 MODELO DE PÉRDIDAS DE DENTON 1

1.2 FORMAS DE EXPRESAR EL COEFICIENTE DE PÉRDIDA 3 1.3 PÉRDIDA POR FORMA (PROFILE LOSS) 5

1.4 PÉRDIDA POR FUGA EN LA PUNTA DE ÁLABE (TIP LEAKAGE LOSS) 8

1.5 PÉRDIDA SECUNDARIA (SECONDARY LOSS) 11

1.6 MODELO DE DENTON APLICADO A UN COMPRESOR AXIAL 16 1.7 INVESTIGACIONES EN CASCADAS DE COMPRESOR AXIAL

EN EL LABINTHAP 18

CAPÍTULO 2 “CASCADA DE COMPRESOR AXIAL”

2.1 MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA AL DISEÑO DE COMPRESOR

AXIAL 22

2.2 COMPORTAMIENTO DEL FLUJO EN CASCADAS 24 2.2.1 Nomenclatura y terminología de cascadas de álabes 24 2.2.2 Análisis de fuerzas en cascadas 26 2.2.3 Coeficientes de sustentación y resistencia de cascada 27 2.2.4 Eficiencia de una cascada de álabes de compresor 30 2.3 TERMODINÁMICA APLICADA A LA OPERACIÓN DEL COMPRESOR

AXIAL 33

2.3.1 Primera Ley de la Termodinámica y el concepto de energía interna 33 2.3.2 Ecuación de la energía para flujo estacionario 34 2.3.3 Segunda Ley de la Termodinámica 37 2.4 TIPOS DE PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN TURBOMÁQUINAS 39

2.4.1 Pérdida de presión total 40

2.4.2 Clasificación de los tipos de pérdidas en turbomáquinas 41

(5)

3.1.3 Sistema de anemometría de hilo caliente 52

3.1.4 Tubo estático de Pitot, manómetro inclinado y estación meteorológica 57

3.1.5 Cascada de álabes de compresor axial 58 3.2 METODOLOGÍA EXPERIMENTAL. 61 3.2.1 Medición de velocidad sobre las superficies del álabe. 63 3.2.2 Medición de velocidad aguas abajo en el plano definido por la punta del álabe 69 3.2.3 Medición de presión total en la zona de flujo secundario 75

CAPÍTULO 4 “ANÁLISIS DE RESULTADOS” 4.1 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE PÉRDIDA POR FORMA 79 4.2 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE PÉRDIDA POR FUGA EN LA PUNTA 89 4.3 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE PÉRDIDA SECUNDARIA 93 4.4 EFICIENCIA DE CASCADA 96

4.5 COMPARACIÓN DE RESULTADOS 98 4.6 PERFILES DE VELOCIDAD SOBRE LAS SUPERFICIES DEL ÁLABE 99

4.7 PERFILES DE VELOCIDAD AGUAS ABAJO EN EL PLANO DEFINIDO POR LA PUNTA DEL ÁLABE 112

CONCLUSIONES 114

RECOMENDACIONES 115

(6)

RELACIÓN DE FIGURAS

Figura Título Página

1.1 Clasificación de los tipos de pérdidas según el modelo de Denton. 2 1.2 Diagrama entropía-entalpía para el flujo a través de una cascada

de álabes de compresor [2]. 3

1.3 Coeficiente de disipación para capas límite laminar y turbulenta [2]. 6 1.4 Flujo sobre la punta de álabes con sellos [2]. 9 1.5 Flujo sobre la punta de álabes sin sellos [2]. 10 1.6 Patrón del flujo secundario considerado y modificación del borde

de ataque [6]. 13

1.7 Patrón de flujo para el estudio sobre pérdidas que realizó

Benner [9]. 14

1.8 Pérdida por forma a lo largo del álabe [10]. 16 1.9 Pérdida en el borde de salida a lo largo del álabe [10]. 17 1.10 Valor promedio de la pérdida por fuga en la punta de álabe

para las dos condiciones de flujo [10]. 17 1.11 Valor promedio de la pérdida secundaria para las dos condiciones

de flujo [10]. 18

1.12 Perfiles de velocidad de la capa límite para el lado de succión en la

condición de 0° [13]. 19

1.13 Distribución de velocidad a 29.45° y 2% de espaciamiento,

Z = 0.396 [14]. 20

2.1 Nomenclatura de cascada [8]. 25

2.2 Superficie de control alrededor de un álabe en una cascada [8]. 26 2.3 Fuerzas de sustentación y resistencia ejercidas por un álabe de

(7)

3.2 Modelo de la entrada acampanada, sección de pruebas

de succión y difusor del túnel de viento del LABINTHAP. 49

3.3 Sección de pruebas de succión. 50

3.4 Ranuras en el módulo de pruebas. 51 3.5 Sistema de anemometría de hilo caliente [17]. 53 3.6 Diagrama de la unidad de flujo [19]. 54

3.7 Sistema posicionador. 55

3.8 Partes principales de las sondas [19]. 55 3.9 Sondas para HWA tipo miniatura [16]. 56 3.10 Diagrama del sistema de HWA [19]. 57 3.11 Diagrama de la turbina Ruston TB 5000 [13]. 58 3.12 Características geométricas de la cascada de álabes. 60 3.13 Modelo geométrico de la cascada de álabes. 61 3.14 Metodología para medir los perfiles de velocidad que conforman

la capa límite sobre el álabe central de la cascada. 63 3.15 Montaje de la sonda 55P15 para el proceso de calibración. 64 3.16 Curva de calibración de la sonda 55P15. 65 3.17 Distribución del error de calibración de la sonda 55P15. 65 3.18 Medición de la velocidad de referencia. 66 3.19 Plano meridional de la cascada. 66 3.20 Orientación de la sonda para capa límite para cada punto de medición. 67 3.21 Orientación de la sonda para la medición de capa límite en el primer

punto. 67

3.22 Primer punto de medición. Sonda a 2mm de la superficie de presión. 68 3.23 Metodología para obtener los perfiles de velocidad en el plano

definido por la punta del álabe central de la cascada. 69 3.24 Montaje de la sonda 55P11 para el proceso de calibración. 70 3.25 Curva de calibración de la sonda 55P11. 71 3.26 Distribución del error de calibración de la sonda 55P11. 71 3.27 Medición de la velocidad de referencia en el plano definido

por la punta. 72

3.28 Detalle del plano de medición definido en la punta del álabe. 72 3.29 Posición de la sonda de propósito general para obtener el

perfil de velocidad aguas arriba de la cascada. 73 3.30 Puntos de medición en el plano definido por la punta del álabe

(8)

3.32 Puntos de medición en el plano definido por la punta del álabe

aguas abajo. 75

3.33 Metodología a seguir para obtener los valores de presión total en la

zona donde se presenta el flujo secundario en la cascada de álabes. 76 3.34 Plano secundario de la cascada. 77 3.35 Puntos de toma de presión total en el plano secundario aguas arriba. 78 4.1 Presión total en el plano secundario para Tu = 4.3%. 95 4.2 Presión total en el plano secundario para Tu = 0.89%. 95 4.3 Perfiles de velocidad sobre la superficie de succión a una distancia

equivalente a 10% de cuerda del borde de ataque. 99 4.4 Perfiles de velocidad sobre la superficie de succión a una distancia

equivalente a 20% de cuerda del borde de ataque. 100 4.5 Espesor de capa límite sobre la superficie de succión a una distancia

equivalente a 90% de cuerda del borde de ataque. 107 4.15 Perfil de velocidad sobre la superficie de presión a una distancia

(9)

4.17 Perfil de velocidad sobre la superficie de presión a una distancia

equivalente a 90% de cuerda del borde de ataque. 112 4.24 Perfil de velocidad en el plano definido por la punta del álabe

central a una distancia equivalente del 25% de la cuerda del borde

de salida. 113

RELACIÓN DE TABLAS

Tabla Título Página

1.1 Coeficientes de pérdida obtenidos por Benner [9]. 15 3.1 Características del estator de referencia [13]. 59 3.2 Características de la cascada experimental [13]. 59

3.3 Matriz experimental. 62

3.4 Relación del nivel de turbulencia de referencia con el número

de elementos reductores de fluctuaciones. 62 3.5 Parámetros para la calibración de la sonda 55P15. 64 3.6 Parámetros para la calibración de la sonda 55P11. 70 4.1 Valores de velocidad V_δ sobre la superficie de succión en la

condición de nivel de turbulencia Tu = 4.3%. 80 4.2 Valores de velocidad V_δ sobre la superficie de presión en la

₎

3

1

V V_δ a aplicar en la ecuación (1.13). 88 4.10 Valores del coeficiente de pérdida por forma. 89 4.11 Valores de V+ y V− en la condición de nivel de turbulencia

Tu = 4.3%. 90

4.12 Valores de V₊ y V₋ en la condición de nivel de turbulencia

Tu = 0.89%. 91

4.13 Valores de

₍

₎

3 1

V V− ,

(

V V+ −

)

y

(

)

2

V V+ − a aplicar en la ecuación (1.15) para la condición de nivel de turbulencia

Tu = 4.3%. 92

4.14 Valores de

₍

₎

3 1

V V₋ ,

(

V V₊ ₋

)

y

(

V V₊ ₋

)

2 a aplicar en la ecuación (1.15) para la condición de nivel de turbulencia

Tu = 0.89%. 92

4.15 Valores del coeficiente de pérdida por fuga en la punta

del álabe. 93

4.16 Valores de p₀₂ para la condición de nivel de turbulencia

Tu = 4.3%. 94

4.17 Valores de p₀₂ para la condición de nivel de turbulencia

Tu = 0.89%. 94

4.18 Valores de ∆Ssecundaria

(11)

4.21 Valores de eficiencia de cascada usando diferentes coeficientes

de pérdida. 97

(12)

NOMENCLATURA

Símbolo Descripción Unidades

a distancia al punto b desde el borde de ataque m

AR alargamiento del álabe -

b combadura máxima -

c cuerda del perfil aerodinámico m

p

c calor específico a presión constante kJ kgK

S

c longitud de cada superficie del álabe m

v

c calor específico a volumen constante kJ kgK

x

c cuerda axial del perfil aerodinámico m

d

C coeficiente de disipación -

D

C coeficiente de resistencia al avance -

f

C coeficiente de fuerza tangencial -

L

C coeficiente de sustentación -

p

C coeficiente de aumento de presión - CTA Anemómetro de Temperatura Constante

(Constant Temperature Anemometer) -

D fuerza de resistencia al avance N

e energía específica kJ kg

E caída de tensión v

B

F vector fuerzas de cuerpo N

g componente de la gravedad en la dirección z m s2

g claro de punta m

h entalpía específica kJ kg

0

h entalpía de estancamiento kJ kg

h altura del álabe m

HWA Anemometría de Hilo Caliente (Hot Wire Anemometry) -

i incidencia °

(13)

mɺ flujo másico _{kg s}

M número de Mach -

p presión estática kPa

0

p presión total kPa

Q calor kJ

Qɺ flujo de calor kJ s

R constante universal de los gases kJ kg K

Re número de Reynolds -

Re_θ número de Reynolds referido al espesor de capa límite -

s entropía específica kJ kg K

s vector posición sobre una línea de corriente -

s paso entre álabes m

Sɺ entropía generada total kJ K

a

Sɺ razón de cambio de la entropía generada por unidad de área kJ m K2

t tiempo s

t espesor del perfil m

T temperatura K

0

T temperatura de estancamiento K

u energía interna específica kJ kg

U energía interna total kJ

0

U energía interna total en un estado de referencia kJ , ,

u v w componentes de la velocidad en las direcciones x y z, , -

V velocidad m s

V+ velocidad sobre la superficie de presión m s V− velocidad sobre la superficie de succión m s

V velocidad promedio m s

V vector velocidad m s

m

V velocidad media del flujo m s

(14)

, ,

x y z coordenadas cartesianas - X fuerza que ejerce el álabe sobre el fluido en dirección x N Y fuerza que ejerce el álabe sobre el fluido en dirección y N

SÍMBOLOS GRIEGOS

1

ángulo de salida de la cascada °

m

α

ángulo medio del flujo °

β

factor de forma -

δ desviación °

δ

espesor de capa límite mm

s

δ

espesor de capa límite de entropía mm

ε

deflexión °

γ ángulo de calado °

γ

relación de calores específicos -

Γ circulación

C

η

eficiencia isoentrópica de un proceso de compresión -

D

η

eficiencia de cascada -

θ

combadura °

ρ

densidad 3

kg m

υ

volumen específico 3

m kg

ω

vorticidad

, ,

ξ η ζ

componentes de la vorticidad

ζ

coeficiente de pérdida -

(15)

SUBÍNDICES

Símbolo Descripción

δ

con referencia al espesor de capa límite rev en un proceso reversible

SC superficie de control 1 estado inicial

(16)

RESUMEN

En este trabajo de investigación, se determinó experimentalmente la magnitud de los coeficientes de pérdida por forma, por fuga en la punta y secundaria en una cascada de álabes de compresor axial a dos condiciones de intensidad de turbulencia de referencia a la entrada de la cascada, usando como referencia el modelo de pérdidas de Denton.

La sección de pruebas de succión del túnel de viento del LABINTHAP se empleó como parte de la instalación experimental para el estudio de pérdidas presentes en una cascada de compresor axial. La cascada que se empleó para la realización de este trabajo experimental está compuesta por 5 álabes rectos. Los álabes que se emplean en la cascada tienen una cuerda de 200 mm y fueron fabricados de aluminio mediante un proceso de maquinado con control numérico. Se adecuó la cascada de álabes en la configuración de operación según los datos tomados de las referencias correspondientes.

Se obtuvieron los valores de velocidad que permiten calcular los coeficientes de pérdida por perfil y de pérdida por fuga en la punta del álabe, y los valores de presión total que permiten calcular el coeficiente de pérdida secundaria. Para obtener los valores de velocidad en las distintas zonas de la cascada de compresor axial se utilizó la técnica de anemometría de hilo caliente (HWA, por sus siglas en inglés) mientras que los valores de presión total que permiten calcular el coeficiente de pérdida secundaria se obtuvieron empleando un tubo estático de Pitot.

(17)

ABSTRACT

The objective in this research was determine in an axial compressor blades cascade, the magnitude of loss coefficients by profile tip leakage and secondary for two conditions of free stream turbulence level at the entrance of the cascade.

The wind tunnel’s suction test section located at LABINTHAP was employed as part of the test facility. The compressor blades cascade used consists in 5 straight blades with an axial chord of 200 mm, all of them made in aluminum through a manufacturing numerical control process.

The velocity values obtained were used to calculate the loss coefficients by profile and leakage tip while the total pressure values obtained were used to calculate the secondary loss coefficient; for that purpose the measure technique called "Hot-Wire Anemometry" was employed to obtain the velocity values in several parts of axial compressor cascade. Finally the total pressure values were obtained using a static Pitot probe.

(18)

INTRODUCCIÓN

Una de las turbomáquinas más usadas en la actualidad es el compresor de flujo axial, del cual su más grande aplicación se encuentra en las turbinas de gas, ya sean del tipo industrial usadas para la generación de energía eléctrica, o del tipo aeronáutico empleadas para impulsar aeronaves. La parte de la Mecánica de Fluidos y de la Termodinámica es fundamental para el diseño de compresor axial, ya que el principal objetivo de un buen diseño de compresor es lograr que el proceso de compresión tenga un valor de eficiencia lo más cercano al 100%, lo que sería consecuencia de alcanzar un proceso tan cercano al proceso isoentrópico como sea posible. El parámetro para cuantificar en que medida se va alcanzando un proceso de compresión isoentrópico es la eficiencia isoentrópica y para obtener dicho parámetro es necesaria la introducción del concepto de la propiedad termodinámica llamada entropía, la cual puede entenderse como una propiedad indicativa de que tan irreversible es un proceso.

La entropía se genera principalmente por efectos viscosos en la capa límite, efectos viscosos en los procesos de mezclado, ondas de choque y por transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperaturas. Las pérdidas de energía que causan que la eficiencia de una turbomáquina no sea del 100% se definen en términos del incremento de entropía y de la relación de dicho incremento con los coeficientes de pérdidas conocidos. Por tanto, se define una “pérdida” como cualquier característica del flujo que reduzca la eficiencia de la turbomáquina (sin incluir factores que afecten la eficiencia del ciclo de operación) en comparación con la eficiencia de una turbomáquina ideal.

(19)

Aunque existe una gran diversidad y diferentes enfoques en cuanto a la clasificación de los tipos de pérdidas, una de las más aceptadas entre los especialistas en el tema consiste en tres tipos: la pérdida por perfil, la cual se define como la pérdida generada dentro de las capas límite de los álabes, en la zona sin influencia de los efectos de la raíz y de la punta, pérdida por fuga en la punta de álabe, la cual se origina por la fuga de fluido que existe en el espacio delimitado por la punta de álabe y la carcasa y la pérdida secundaria, la cual es consecuencia del flujo secundario que se genera cuando las coronas de álabes pasan a través de las capas límite anulares sobre las superficies interiores de la carcasa que contiene a la turbomáquina.

Por lo anterior, el objetivo de este trabajo de investigación es determinar experimentalmente la magnitud de las pérdidas presentes en una cascada de álabes de compresor axial tomando como referencia diferentes valores de intensidad de turbulencia en el flujo a la entrada de la cascada. Para ello, se utiliza la técnica de medición conocida como anemometría de hilo caliente (HWA por sus siglas en inglés, Hot Wire Anemometry)

para determinar los campos de velocidad en zonas específicas de la cascada de álabes, para posteriormente aplicar los valores obtenidos en el modelo matemático de Denton y calcular diferentes coeficientes de pérdidas.

Este trabajo de investigación se encuentra dividido en cuatro capítulos conformados de la siguiente manera:

En el capítulo 1 se presentan algunos trabajos recientes sobre el análisis de pérdidas en turbomáquinas enfatizando en la descripción del modelo de pérdidas de Denton desarrollado en 1990 y aplicado en este trabajo de investigación.

En el capítulo 2 se presentan los aspectos teóricos de carácter mecánico y termodinámico usados por los diseñadores de turbomáquinas, enfatizando en la aplicación de un compresor axial. Además se describe el comportamiento del flujo en cascadas y se hace una revisión sobre las fuerzas presentes y aspectos característicos del flujo en cascadas de álabes. Finalmente, se define la naturaleza de las pérdidas en un compresor axial, su clasificación y aspectos teóricos relevantes para su determinación.

(20)

En el capítulo 4 se presenta el análisis de las pérdidas, la magnitud de los coeficientes de pérdida calculados y su comparación con los diferentes trabajos de investigación sobre el tema, así como su aplicación en el cálculo de la eficiencia de cascada.

(21)

CAPÍTULO 1 “ESTADO DEL ARTE”

En este capítulo se presentan algunos trabajos recientes sobre el análisis de pérdidas en turbomáquinas enfatizando en la descripción del modelo de pérdidas de Denton desarrollado en 1990 y aplicado en este trabajo de investigación [1, 2].

1.1 MODELO DE PÉRDIDAS DE DENTON

A lo largo de varias décadas se han realizado diversas investigaciones enfocadas en mejorar la eficiencia de todos los tipos de turbomáquinas, y como resultado la mayoría de las turbomáquinas actuales tienen un valor de eficiencia por encima del 90%, hecho que parece dificultar el obtener futuras mejoras. Sin embargo, aún es posible desarrollar mejoras, no sólo en lo que se refiere a la eficiencia como tal, sino también en la cantidad y consecuentemente en el costo que implica el producir el trabajo necesario para alcanzar el comportamiento deseado en una turbomáquina. Los actuales valores de eficiencia han sido alcanzados gracias al buen entendimiento de la Mecánica de Fluidos y la Termodinámica del flujo, el cual a su vez se ha obtenido de la combinación de la mejora experimental y del desarrollo teórico, ambos factores aplicados a la turbomáquina de forma global y también de forma individual componente a componente. Antes de la llegada de la turbina de gas de uso aeronáutico las turbinas de gas escasamente eran objeto de estudio y el desarrollo de las turbomáquinas como turbinas de vapor e hidráulicas, bombas y ventiladores estaba basado en gran medida en un proceso de prueba-error.

Como resultado del avance en lo referente a pérdidas en turbomáquinas, de los años 90’s a la fecha, especialistas, investigadores y diseñadores han asimilado la importancia del entendimiento de los fenómenos de flujo presentes en las turbomáquinas. Sin embargo, en la práctica se siguen aplicando los métodos predictivos basados en correlaciones. El uso de correlaciones no ofrece resultado alguno en lo referente a características o variables de diseño que no existían al momento de desarrollar el método basado en la correlación. Por ejemplo, fenómenos como el llamado “three-dimensional blade stacking”

(bloqueo tridimensional en álabes) en turbinas o el llamado “end-bending” (desviación a la

(22)

Denton [1, 2] define, en el año 1990, la clasificación de los tipos de pérdidas más aceptada en la actualidad. Dicha forma de clasificar las pérdidas presentes en una turbomáquina se muestra de forma general en la figura 1:

Figura 1.1.- Clasificación de los tipos de pérdidas según el modelo de Denton.

(23)

1.2 FORMAS DE EXPRESAR EL COEFICIENTE DE PÉRDIDA

Denton [1, 2] definió tres formas de expresar el coeficiente de pérdida aplicado específicamente a coronas o arreglos de álabes. La primera y quizás la forma más frecuente de expresar el coeficiente de pérdida es por medio del coeficiente de pérdidas de presión total, el cual tomando como referencia la figura 1.2, para un compresor se define como:

0

01 02

01 1

ζ

= −

−

p

p p

p p (1.1)

Figura 1.2.- Diagrama entropía-entalpía para el flujo a través de una cascada de álabes de compresor [2].

La razón de que el coeficiente de pérdidas de presión total sea el más empleado es que puede ser fácilmente calculado mediante los datos obtenidos de la experimentación en cascadas de álabes, aunque no es conveniente usar este coeficiente en el diseño de compresor, ya que no es representativo de todas las pérdidas de energía.

(24)

donde el valor final de entalpía h_2s es el valor de entalpía que se obtiene en un proceso de compresión isoentrópico hasta el mismo valor de presión estática que en el proceso de compresión real.

Estas formas de expresar el coeficiente de pérdida (de presión y de entalpía) se obtienen y se adaptan de forma precisa en pruebas en cascadas, pero no pueden ser aplicados directamente en las turbomáquinas ya que en un arreglo de álabes con movimiento rotativo la presión total relativa y el valor de entalpía total cambian debido al cambio en el radio de referencia, lo que conlleva de forma implícita una pérdida en la eficiencia. En una turbomáquina se define a la eficiencia isoentrópica como la relación entre el trabajo isoentrópico y el trabajo real por lo que se puede concluir que los factores que alteran a la eficiencia isoentrópica están relacionados con la transferencia de calor y con irreversibilidades de carácter termodinámico. En la mayoría de las turbomáquinas el flujo puede considerase adiabático (transferencia de calor mínima), por lo que solo la producción de entropía debido a irreversibilidades contribuye de forma significativa a la pérdida de eficiencia.

De lo anterior, se puede concluir que la forma más conveniente de cuantificar las pérdidas en una turbomáquina que opera de forma adiabática es considerando la generación de entropía, ya que todos los procesos por los que pasa el flujo en una turbomáquina son irreversibles y por tanto se reduce la eficiencia isoentrópica. Por tanto, los coeficientes de pérdidas aplicados a arreglos de álabes deben expresarse en base a la entropía generada en lugar de la presión total o la entalpía. La entropía es además las más conveniente de las propiedades termodinámicas para usarse como referencia, ya que a diferencia de la presión total, la entalpía total y la energía cinética, su valor no depende de que tipo de arreglo de álabes se este analizando, en lo referente a álabes estatores o rotores.

La entropía es una propiedad que no puede ser cuantificada o medida de forma directa y su valor solo puede ser calculado mediante otras propiedades. Los conocimientos sobre Termodinámica indican que para un fluido compuesto por una sola fase la entropía es función de dos propiedades termodinámicas, como pueden ser presión y temperatura. Para la suposición de gas ideal, dos relaciones útiles para calcular la entropía específica son:

(25)

Los valores de temperatura, presión y densidad usados en las ecuaciones (1.3) y (1.4) pueden ser estáticos o totales debido a que, por definición, el cambio desde condiciones estáticas a condiciones totales debe ser un proceso isoentrópico. Considerando que el flujo a través de un arreglo de álabes estatores fluye de manera adiabática, se considera que la temperatura es constante, por lo que el cambio de entropía depende solo de la presión de estancamiento:

02 01

s Rln p p

 

∆ = −  

  (1.5)

De la ecuación (1.5) se observa que para álabes estatores, las pérdidas pueden asociarse de forma directa con la presión de estancamiento, por lo que la forma más conveniente de expresar el coeficiente de pérdida es mediante el coeficiente de pérdidas de entropía, el cual, para álabes de compresor se define como:

2 s 01 1 s h h T

ζ

= ∆

− (1.6)

El coeficiente de pérdidas de entropía definido en la ecuación (1.6) es una medida de la entropía generada tanto para flujo de cascada (donde la presión de estancamiento es constante) y también para flujo a través de álabes rotores de una turbomáquina en movimiento (donde la presión y temperatura totales de referencia cambian debido al cambio en el radio de giro). A bajas velocidades los diferentes tipos de coeficientes de pérdidas se aproximan al mismo valor; la diferencia entre ellos es significativa para números de Mach mayores a 0.3.

1.3 PÉRDIDA POR FORMA (PROFILE LOSS)

(26)

Denton [1, 2] concluye que, en lo referente a cuantificar la pérdida dentro de la capa límite en función de la generación de entropía y para aplicaciones prácticas, es conveniente definir la razón de cambio de la generación de entropía en términos del coeficiente de disipación, el cual se define como:

3

a d

TS C

V_δ

ρ

=

ɺ

(1.7)

donde Sɺ_a representa la razón de cambio en la entropía generada por unidad de área y V_δ la velocidad en la frontera de la capa límite. Para capas límite laminares, el coeficiente de disipación depende del espesor de la capa límite [4] y esta definido por:

1

Re

d

C ₌

β

− _(1.8)

Donde el valor de

β

corresponde a un factor de forma, tomando un valor de 0.17 para la mayoría de las capas límite laminares [1, 2]. Adicionalmente, la figura 1.3 muestra la variación del coeficiente de disipación con respecto al número de Reynolds calculado en base al espesor de capa límite (Re_θ):

Figura 1.3 Coeficiente de disipación para capas límite laminar y turbulenta [2].

(27)

Ya que toda la entropía generada a partir de un punto de la superficie se encuentra contenida dentro de la capa límite hasta ese punto, es posible escribir una ecuación que relacione la generación total de entropía con el espesor de capa límite correspondiente al incremento de entropía:

3 3

s 0

x d

V V C

S dx T T δ δ δ δ

ρ δ

ρ

= =

∫

ɺ _(1.10)

La ecuación (1.10) representa toda la entropía generada en la capa límite desde su formación hasta el punto en cuestión; si se toma el borde de salida como el punto de análisis, la ecuación (1.10) puede aplicarse para cuantificar toda la entropía generada sobre la superficie del álabe. De otra forma, la ecuación (1.10) puede ser expresada como: 1 3 0 d S S

C V _x

S c d

c T δ

ρ

  =    

∑ ∫

ɺ _(1.11)

donde la suma involucra a ambas superficies del álabe, x es la distancia a la superficie y

S

c es la longitud de cada superficie (diferente de la cuerda c). En un trabajo posterior, Denton [2] expresa la entropía generada en forma de un coeficiente de pérdida por forma para el álabe, para lo cual se divide la entropía generada por el flujo másico y por la presión dinámica de referencia, que es una función de V₁ para álabes de compresor:

2 1 0.5

ζ

= ɺ ɺ forma TS mV (1.12)

Combinando las ecuaciones 1.11 y 1.12 se tiene:

3 1

10 1

2

cos

S

forma d

S

c V _x

C d c s V δ

ζ

α

  _ _ =   _ _  

∑

∫

(1.13)

(28)

La razón de expresar la velocidad sobre la superficie del álabe como

(

)

3 1

δ

V V se debe a que se puede notar que la pérdida por forma se presenta predominantemente sobre la superficie de succión y también que las regiones donde se presentan altos valores de velocidad contribuyen de forma proporcional en valores elevados de pérdida por forma. El valor del coeficiente de pérdida por forma obtenido de la ecuación (1.13) depende del punto de transición donde C_d cambia significativamente, como se muestra en la figura 1.3. Por tanto, con el objetivo de minimizar la pérdida por forma, es conveniente que las capas límite sobre las superficies de los álabes permanezcan en régimen laminar. La extensión de la capa límite laminar depende principalmente del número de Reynolds, el nivel de turbulencia y de la distribución de velocidades sobre la superficie.

Denton [1, 2] desarrolló una expresión adicional para el coeficiente de pérdida por forma para una condición específica de ángulos del flujo de entrada y de salida (

α

₁ y

α

₂):

(

2 1

)

2 2 6 tan tan

0.5

forma d

S V V

C

mV V V

ζ

= = _ + ∆ _

α

−

α

∆

 

ɺ

ɺ (1.14)

La expresión (1.14) alcanza un valor mínimo para el coeficiente de pérdida por forma y una relación óptima de ángulos de entrada y salida cuando la relación 1

3 V

V

∆ ₌ _.

1.4 PÉRDIDA POR FUGA EN LA PUNTA DE ÁLABE (TIP LEAKAGE LOSS)

Las primeras formas para cuantificar las pérdidas por fuga se basaron en la teoría de la resistencia inducida sobre los álabes, análogamente como sucede en las puntas de alas de aeronaves. Sin embargo, se sabe que la resistencia inducida es un fenómeno no viscoso, por lo que en el caso de las aeronaves se produce una cantidad extra de energía cinética en los alrededores y no se presenta una generación de entropía. Por tanto, desde el punto de vista de la turbomaquinaría, el fenómeno de la resistencia inducida no representa una pérdida [2].

(29)

Figura 1.4 Flujo sobre la punta de álabes con sellos [2].

En un álabe de compresor la velocidad promedio del flujo de fuga sobre la punta de los álabes es relativamente menor a la de la velocidad del flujo principal, por lo que aguas abajo puede no haber un cambio significativo en la velocidad meridional del flujo principal. Por lo anterior, el flujo másico a través del resto de los álabes puede ir incrementando.

El proceso de mezclado del flujo de fuga y el flujo principal es uno de varios ejemplos de interacción entre flujos en una turbomáquina, en el cual las pérdidas pueden obtenerse a partir del uso de ecuaciones de conservación. En el caso de analizar álabes sin sellos, como los mostrados en la figura 1.5, la interacción entre la fuga de fluido y el flujo principal es mucho más estrecha. Ya que los dos flujos tienen diferentes velocidades (tanto en magnitud como en dirección), se presenta un vórtice producto de su interacción, conocido como vórtice de fuga, el cual conlleva que el flujo de fuga se mueva a lo largo de la superficie de succión aguas arriba, incluso hasta la esquina formada entre la flecha y el álabe [3, 5]. Sin embargo, la generación de entropía en el proceso de mezclado antes descrito no depende de la naturaleza del vórtice de fuga [3].

(30)

Figura 1.5 Flujo sobre la punta de álabes sin sellos [2].

(31)

donde el producto gc representa la magnitud del área de fuga, ya que g es la longitud del claro en la punta y c es la cuerda del perfil en la punta. Los términos dentro de la integral pueden ser evaluados siempre y cuando se conozca la distribución de velocidad alrededor del álabe, sobre el plano definido por la misma punta de álabe, diferenciando además en valores de referencia haca la superficie de succión y también hacia la superficie de presión.

1.5 PÉRDIDA SECUNDARIA (SECONDARY LOSS)

El término “pérdida secundaria”, también aplicado como “pérdida en la pared” se usa para describir todas las pérdidas que en parte son consecuencia del flujo secundario que se genera cuando las coronas de álabes pasan a través de las capas límite anulares sobre las superficies interiores de la carcasa que contiene a la turbomáquina. De acuerdo con Denton [2] y Sauer [6], la pérdida secundaria es el tipo de pérdida más difícil de entender y de predecir y adicionalmente todos los métodos de predicción usados en la actualidad están basados en correlaciones producto de datos experimentales. Los patrones de flujo en las zonas cercanas a las paredes son una función del comportamiento del flujo secundario, el cual a su vez, depende en gran medida del espesor de la capa límite corriente adelante y del torcimiento del conjunto de álabes (corona, cascada, etapa, etc.). Estos patrones pueden determinarse a partir de la teoría clásica para flujo secundario y de forma más exacta mediante la simulación numérica. Es importante resaltar que el flujo secundario es un fenómeno no viscoso que no conlleva una generación de entropía por sí mismo; sin embargo el flujo secundario es consecuencia de la vorticidad en el plano normal, la cual a su vez es una consecuencia directa del esfuerzo cortante (viscoso) en las paredes.

(32)

Las principales diferencias en lo que se refiere al comportamiento del flujo en la pared en un compresor en comparación con una turbina son que el torcimiento de los álabes es mucho menor, las capas límite en las paredes son de menor espesor (con referencia a la cuerda del álabe) y que las capas límite van desacelerando (son decrecientes). Los primeros dos de estos fenómenos minimizan los efectos del flujo secundario, mientras que el tercero los maximiza. Sin embargo predecir las pérdidas en la pared en compresores es mucho más importante que llevarlo a cabo en turbinas, ya que llegan a significar 2/3 de las pérdidas totales (considerando pérdida por pared y por flujo secundario) [7, 8].

La interacción entre el flujo de fuga en las puntas de álabe y el flujo de pared es de gran relevancia en compresores con álabes sin sellos. El flujo de fuga consiste en un flujo con una determinada velocidad que va de la superficie de presión hacia la esquina formada por la pared y la superficie de succión, zona donde se concentran altos valores de entropía [7]. Un efecto positivo de esta desviación es la suficiente re-energización del fluido en la capa límite para evitar la separación del flujo en dicha esquina y consecuentemente reducir la pérdida. De esta interacción se concluye que en la mayoría de los compresores existe una distancia óptima para el claro de punta (tip clearence) que

conlleva un valor máximo de eficiencia [2].

Denton [1, 2] desarrolló una expresión para calcular la generación de entropía asociada a las capas límite formadas sobre la carcasa que envuelve a un compresor axial:

(

)

(

)

4 4 0 0.25 x c

d V V C

S wdx

T V V

ρ

− + − + − = −

∫

ɺ _(1.16)

donde c_x es la distancia axial y w es la distancia existente entre el punto de medición en la superficie de succión y el punto de medición en la superficie de presión. El coeficiente de pérdida secundaria se obtiene de forma análoga al coeficiente de pérdida por forma, tomando un valor de velocidad referido a la pared y dividiendo entre la presión dinámica a la entrada para obtener un valor adimensional:

2 1 0.5 secundaria secundaria T S mV

ζ

= ∆ ɺ (1.17)

(33)

Sauer [6] realizó un estudio experimental en el cual se muestra la influencia de modificar la forma del borde de ataque del álabe sobre el flujo secundario y la pérdida secundaria en una cascada de álabes de turbina axial. El estudio fue llevado a cabo en una cascada de álabes de forma definida que originalmente fueron diseñados para turbinas de baja presión; las pruebas fueron hechas en un túnel de viento para cascadas de baja velocidad (M ≈0.2). La modificación al borde de salida consiste principalmente en un pequeño incremento en el espesor del borde de ataque. La principal hipótesis en que se basa el estudio consiste en que la modificación al borde de ataque podría prolongar la adherencia del vórtice conocido como “de herradura” (horse-shoe vortex) sobre la superficie de

succión del álabe, lo que produciría un efecto positivo sobre las regiones de la estela. La figura 1.6 muestra el patrón del flujo secundario considerado y la forma en que se modificó el borde de ataque de los álabes.

Figura 1.6 Patrón del flujo secundario considerado y modificación del borde de ataque [6].

(34)

Producto del trabajo de Sauer [6], se concluye que la magnitud de la pérdida secundaria en cascadas subsónicas (álabes de compresor y/o de turbina) depende principalmente de dos factores: la deflexión del flujo y la velocidad del flujo a través del componente. Finalmente se menciona que se esta desarrollando investigación referente a la pérdida secundaria en una cascada de álabes de compresor axial.

Benner [9] realizó un trabajo de investigación experimental sobre la influencia de la geometría del borde de ataque sobre la pérdida secundaria, en una cascada de álabes de compresor axial. El patrón de flujo considerado en este trabajo se presenta en la figura 1.7:

Figura 1.7 Patrón de flujo para el estudio sobre pérdidas que realizaron Benner [9].

(35)

Las mediciones fueron realizadas empleando dos cascadas lineales de 5 álabes de turbina de baja presión. Los conjuntos de álabes fueron montados sobre una base giratoria que permite realizar pruebas dentro de un amplio intervalo de ángulos de entrada del flujo. Es importante resaltar que la cascada usada en este trabajo ha sido extensivamente usada en el pasado, principalmente para estudiar los efectos de la incidencia del flujo sobre la pérdida por forma. Los datos presentados son funciones del coeficiente de pérdida de presión total, donde la presión total y la presión dinámica fueron calculadas en el plano meridional de la cascada.

Los resultados obtenidos de las pruebas experimentales de Benner [9] indican que la energía referente al vórtice de paso es el factor más influyente en el flujo secundario encontrado corriente adelante de la cascada y por consecuencia en la pérdida secundaria. Sin embargo, el cálculo de los coeficientes de pérdidas presentados en este trabajo es una función del coeficiente de pérdida de presión total, lo que en este tipo de trabajos sobre el análisis de pérdidas puede significar una mala aproximación. La tabla 1.1 muestra los valores obtenidos del coeficiente de pérdida total y el coeficiente de pérdida secundaria, por lo que el valor de este último coeficiente puede presentarse de forma cualitativa con respecto a la pérdida total:

Tabla 1.1 Coeficientes de pérdida obtenidos por Benner [9]. Coeficiente de pérdida Cascada 1 Cascada 2

Total 0.043 0.041

Secundaria 0.022 0.016

(36)

1.6 MODELO DE DENTON APLICADO A UN COMPRESOR AXIAL

Choi et al [10] desarrollaron un trabajo de simulación numérica con el objetivo de entender los efectos del espesor de capa límite del flujo de entrada sobre los diferentes tipos de pérdidas en un compresor axial operando en la condición de diseño. Los resultados que se obtuvieron fueron que la magnitud de la pérdida de presión total para dos condiciones de capa límite de entrada permanece constante en la región no viscosa (zona alejada de las superficies que representan los álabes y la carcasa). Para analizar de forma detallada los efectos del espesor de la capa límite del flujo de entrada sobre la magnitud de las pérdidas, estas se clasificaron, según el modelo de pérdidas de Denton [1, 2], en pérdida por forma, pérdida por fuga en la punta de álabe y pérdida secundaria.

Para cuantificar la pérdida por forma, se aplicó la ecuación 1.13, considerando un valor del coeficiente de disipación C_d igual a 0.002 (propuesto por Denton [2]). La pérdida por fuga en la punta fue determinada por medio de la ecuación 1.15. Finalmente, el coeficiente de pérdida secundaria fue determinado de forma análoga al coeficiente de pérdida por forma, mediante la aplicación de la ecuación 1.17.

Los resultados obtenidos para la pérdida por forma se muestran en las figuras 1.8 y 1.9, respectivamente para la pérdida por forma y considerando la pérdida en el borde de salida de forma adicional:

(37)

Figura 1.9 Pérdida en el borde de salida a lo largo del álabe [10].

Los resultados obtenidos para la pérdida por fuga en la punta de álabe se muestran en la figura 1.10:

(38)

Finalmente, los resultados obtenidos para la pérdida secundaria se muestran en la figura 1.11:

Figura 1.11 Valor promedio de la pérdida secundaria para las dos condiciones de flujo [10].

1.7 TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN SOBRE CASCADAS DE COMPRESOR AXIAL EN EL LABINTHAP

Trabajos previos sobre la caracterización del túnel de viento han determinado los valores adecuados para la captura de datos en aplicaciones en esta instalación experimental, [11, 12]. En un primer estudio, el túnel de viento carecía de las modificaciones para reducir las fluctuaciones de la velocidad (mallas y panal). Se determinó que el nivel de turbulencia en la sección de pruebas se estabiliza desde una frecuencia de captura de 20 kHz en un intervalo de velocidad desde 5 m/s a 35 m/s. Por lo tanto la frecuencia de muestreo adecuada para el desarrollo de la etapa experimental de dicho trabajo fue de 30 kHz y un tiempo de muestreo de 30 s, por lo que se tendrá una muestra de 900 000 datos para cada medición puntual de velocidad que se realice. Dichos datos de captura se ocuparon en el presente trabajo ya que, aunque se podría reducir el tiempo y la frecuencia de captura para la condición del túnel en la cual cuenta con las modificaciones para reducir las fluctuaciones de velocidad [12], los nuevos valores de captura no estaban disponibles al momento de la realización de este trabajo de investigación.

(39)

Martínez [13] realizó un estudio experimental y de simulación numérica del comportamiento de la capa límite en el plano meridional de una cascada lineal conformada por 5 álabes de compresor axial, medida sobre distintos planos de las superficies de succión y de presión de un álabe, además de planos corriente adelante de la cascada (en la región de la estela).

El estudio se llevó a cabo a una condición de velocidad de 32.2 m/s y un Re = 3.59 x 10

5

(con respecto a la cuerda del álabe), a tres condiciones de ángulo medio del flujo y con un nivel de turbulencia aproximado de 4.3%. Del trabajo experimental se obtuvieron perfiles de velocidad y contornos de presión, que muestran el comportamiento de la capa límite en el plano meridional de la cascada. En la figura 1.12 se muestran los perfiles de velocidad de la capa límite en el lado de succión para la condición de 0°, en la condición geométrica de operación. Se observa la reducción de la zona de capa límite laminar debido al punto de transición de la capa límite en la posición de 77% de la cuerda y la zona de mayor aceleración del 20% al 60% de la cuerda. El espesor de capa límite después del punto de transición son de

δ

0.8 =3mm,

δ

0.9=4.7mm y

δ

1.0 =9.8mm.

(40)

Aunque no era parte del alcance de este trabajo, con los datos obtenidos es posible calcular la magnitud del coeficiente de pérdida por forma. Dicho coeficiente de pérdida se analiza y se compara en el capítulo 4 del presente trabajo con el fin de ratificar los valores obtenidos mediante una metodología distinta y también para poder concluir sobre la influencia del nivel de turbulencia en los mencionados tipos de pérdidas, ya que el túnel de viento que se encuentra en el LABINTHAP ha sufrido modificaciones con el fin de reducir el nivel de turbulencia.

Cervera [14] realizó el estudio del comportamiento del flujo en la región de la punta del álabe, por medio de la experimentación con anemometría de hilo caliente en una dimensión en una cascada lineal conformada por 5 álabes de compresor axial y por medio de una simulación numérica. El estudio se llevó a cabo a una condición de velocidad de 32.2 m/s y un 5

(41)

En la figura 1.13, se observa el comportamiento del flujo obtenido experimental y mediante simulación numérica. Para el resultado experimental, se observa la formación del vórtice de punta desde una distancia equivalente de 1/8 de la cuerda del álabe desde el borde de salida. El vórtice esta identificado por la pequeña zona de regresión del flujo, la cual se presenta hacia el lado de la superficie de succión. La presencia del vórtice no desaparece por lo menos hasta una distancia equivalente de 2 cuerdas desde el borde de

(42)

CAPÍTULO 2 “CASCADA DE COMPRESOR AXIAL”

En este capítulo se presentan los aspectos teóricos de carácter mecánico y termodinámico usados por los diseñadores de turbomáquinas, enfatizando en la aplicación de un compresor axial. Además se describe el comportamiento del flujo en cascadas y se hace una revisión sobre las fuerzas presentes y aspectos característicos del flujo en cascadas de álabes. Finalmente, se define la naturaleza de las pérdidas en un compresor axial, su clasificación y aspectos teóricos relevantes para su determinación.

2.1 MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA AL DISEÑO DE COMPRESOR AXIAL

En el estudio de la Mecánica de Fluidos, se obtienen, a partir de la Segunda Ley del Movimiento de Newton, las ecuaciones de Euler del movimiento de un fluido, las cuales se derivan de un análisis de fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido en un punto específico en un instante determinado, considerando la ausencia de fuerzas viscosas y asumiendo la condición de flujo estacionario (flujo que no varia con el tiempo con referencia a un sistema de coordenadas fijo). Sin embargo, la aplicación de las ecuaciones de Euler debe estar plenamente justificada por la naturaleza de cada caso de estudio; para un estudio sobre pérdidas en una turbomáquina no es justificable su uso debido a que las pérdidas son una consecuencia de fenómenos viscosos, por lo que solo pueden aplicarse para tener una referencia global del comportamiento de la turbomáquina en un caso ideal no existente.

(43)

La Segunda Ley del Movimiento de Newton para una partícula de fluido puede escribirse como:

(

)

1 B DV V

F p V V

Dt t

ρ

∂

− ∇ = = + ⋅∇

∂ (2.1)

donde p es la presión estática,

ρ

es la densidad, V es el vector velocidad y F_B es el vector de fuerzas de cuerpo que actúan sobre la partícula de fluido. La ecuación (2.1) es la notación vectorial de las ecuaciones de Euler, las cuales se establecen considerando la ausencia de fuerzas viscosas y suponiendo flujo incompresible. Por otra parte, considerando:

(

)

1

(

)

rot

2

V⋅∇ V = ∇ V V⋅ − ×V V (2.2)

La ecuación (2.1) puede escribirse como:

( )

2

1 1

rot 2

B

V

F p V V V

t

ρ

∂

− ∇ − ∇ = − ×

∂ (2.3)

En ausencia de fuerzas de cuerpo, y en la condición de flujo estacionario, la ecuación (2.3) se reduce a:

( )

2

1 1

rot 2

p V V V

ρ

∇ + ∇ = × (2.4)

Si se considera la densidad como un valor constante, es decir, si se tiene flujo incompresible, la ecuación (2.4) se puede escribir como:

2 rot 2 p V V V

ρ

  ∇ + = ×

  (2.5)

Definiendo

ω

=rot V, donde

ω

es la vorticidad, la ecuación (2.5) se puede reescribir como: 0 p V

ω

ρ

  ∇_ _= ×

  (2.6)

(44)

La ecuación de continuidad, obtenida a partir de la consideración de un sistema infinitesimal de masa a través de un volumen de control fijo en el espacio se expresa como:

( )

div V 0

t

ρ

+∂ =

∂ (2.7)

ó para flujo incompresible en estado estacionario:

div V =0 (2.8)

Las formas generales de las ecuaciones del movimiento para un fluido no viscoso se aplican en diversos casos, pero en el caso de compresores de flujo axial frecuentemente se aplican bajo las siguientes consideraciones:

a) en términos de coordenadas localizadas de forma paralela y perpendicular a las líneas de flujo.

b) en términos de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional. c) en términos de coordenadas cilíndricas.

2.2 COMPORTAMIENTO DEL FLUJO EN CASCADAS

El funcionamiento de cualquier turbomáquina es directamente dependiente de las variaciones en el momento lineal del fluido al pasar a través de arreglos de álabes (cascada, corona, etapa, etc). Por tanto, se puede obtener una idea más profunda del comportamiento de las turbomáquinas considerando las variaciones del flujo y las fuerzas ejercidas dentro de las coronas de álabes mediante el análisis del flujo bidimensional en cascadas [7].

2.2.1 Nomenclatura y terminología de cascadas de álabes

La base para el diseño de compresores de flujo axial es la cascada. Una cascada se define como un arreglo infinito de álabes que resultarían de alinear los álabes tanto rotores como estatores uno tras de otro. En la figura 2.1 se muestra la nomenclatura asignada en la mayoría de las investigaciones relacionadas con cascadas de álabes. Con referencia en la figura 2.1, la línea de combadura y el espesor del perfil

_{( )}

t varían a lo

(45)

Figura 2.1 Nomenclatura de cascada [8].

Para álabes arreglados en forma de cascada existen dos variables geométricas adicionales para la definición de la misma: la relación paso – cuerda

(

s c

)

y el ángulo de

escalonamiento

_{( )}

γ

, el cual se define como el ángulo entre la cuerda y la línea de referencia horizontal al frente de la cascada. Los ángulos de entrada y de salida de la cascada se denominan

α

'1 y

α

'2 respectivamente. Los ángulos de entrada y de salida

del fluido se denominan

α

₁ y

α

₂ respectivamente.

(46)

2.2.2 Análisis de fuerzas en cascadas

En la figura 2.2 se muestra parte de una cascada de álabes de compresor. Las fuerzas X y Y se aplican sobre el fluido y son exactamente iguales y opuestas a las fuerzas ejercidas por el fluido sobre el álabe:

Figura 2.2 Superficie de control alrededor de un álabe en una cascada [8].

La ecuación de la cantidad de movimiento aplicada en las direcciones x y y resulta en:

(

2 1

)

X = p −p s (2.9)

(

1 2

)

Y =

ρ

su V −V (2.10)

o de otra forma: 2

(

)

1 2

tan tan

Y =

ρ

su

α

−

α

(2.11)

Recordando que un fluido real que pasa a través de la cascada experimenta una pérdida de presión total ∆p₀ debida principalmente a la fricción superficial, se tiene:

(

2 2

)

0 1 2

1 2

1 2 p p p

V V

ρ

∆ −

= + − (2.12)

Suponiendo el flujo bidimensional:

1 cos 1 2 cos 2

(47)

Tomando en cuenta la ecuación (2.14) y sustituyendo las ecuaciones (2.10) y (2.11) en la ecuación (2.12) se tiene:

(

)

0 1 tan m p X Y s

α

ρ

∆

= − + (2.15)

donde tan 1

₍

tan ₁ tan ₂

₎

2

m

α

=

α

+

α

(2.16)

Al presentar los resultados de las pruebas en cascadas con frecuencia es útil una forma adimensional de la ecuación (2.12), conocida como coeficiente de pérdida de presión total: 0 0 2 1 2 p p u

ζ

ρ

∆

= (2.17)

De lo anterior, se definen los coeficientes de aumento de presión Cp y un coeficiente de

fuerza tangencial C_f:

2 1

2 2

1 1

2 2

p

p p X

C

u su

ρ

−

= = (2.18)

(

1 2

)

2

2 tan tan 1 2 f Y C su

α

ρ

= = − (2.19)

Sustituyendo las expresiones para los coeficientes en la ecuación (2.16), se obtiene:

0 tan

p f m p

C =C

α

−

ζ

(2.20)

2.2.3 Coeficientes de sustentación y resistencia de cascada

Se define una velocidad media como:

sec

m m

(48)

Considerando la altura unitaria de un álabe de cascada, se tiene una fuerza de sustentación L actuando en una dirección perpendicular a um y una fuerza de resistencia

D en la dirección paralela a um. La figura 2.3 muestra L y D como fuerzas de reacción

ejercidas por el álabe sobre el fluido:

Figura 2.3 Fuerzas de sustentación y resistencia ejercidas por un álabe de cascada sobre el fluido [7].

(2.26)

(

)

2

1 2 0

tan tan sec m sin m

= (2.28)

2 1 2 D m D C u c

ρ

= (2.29)

Sustituyendo las expresiones para D y para ∆p₀, se tiene:

0 3 0 2 cos cos 1 2 m

D p m

m

s p s

C c u c

α

ζ

α

ρ

∆

= = (2.30)

De forma análoga, para CL se tiene:

(

)

2

1 2 0

2

tan tan sec sin

1 2

m m

L

m

su s p

C u c

ρ

α

ρ

− − ∆ = (2.31)

(

1 2

)

2 cos tan tan tan

L m D m

s

C C

c

α

= − − (2.32)

Sustituyendo las expresiones para C_D y para Cf se tiene:

sin 2 cos

2

m

L m f p

D =

ζ

α

(2.34)

2.2.4 Eficiencia de una cascada de álabes de compresor

La eficiencia

η

_D de una cascada de álabes de un compresor puede definirse de la misma forma que la eficiencia de un difusor; esto es, la relación entre el incremento de presión estática real en la cascada y el incremento de presión máximo posible teórico (es decir, con ∆p₀ =0). De esta forma:

(

)

2 1 2 2 1 2 1 2 D p p V V

η

ρ

− = − (2.35)

(

)

0 2 1 2 1

tan tan tan

D m p u

η

ρ

α

∆ = −

− (2.36)

Introduciendo las ecuaciones para 0

p

ζ

y para C_f en la ecuación (2.36) se obtiene:

0 1 tan p D f m C

ζ

η

α

= − (2.37)

Retomando la ecuación (2.34) expresada en la forma:

0

2

sec

p m D

f L

C

C C

ζ

_α

= (2.38)

(51)

Suponiendo una relación sustentación-resistencia constante, la ecuación anterior puede derivarse respecto de

α

_m para dar el ángulo medio óptimo del flujo para obtener el valor máximo de eficiencia:

2

4 cos 2 0 sin 2

D m

D

m L m

C C

α

η

α

∂ = = ∂ (2.40)

De lo anterior:

óptimo 45

m

α

= ° (2.41)

Por lo tanto:

máxima 2 1 D D L C C

η

= − (2.42)

Este análisis sugiere que el rendimiento máximo de una cascada de compresor se obtiene cuando el ángulo medio del flujo es de 45°, pero no tiene en cuenta la variación de la relación C_D C_L cuando varia