“IDENTIFICACIÓN Y GENERALIZACIÓN DE PATRONES POR DIFERENTES RUTAS: CONSTRUCCIÓN DE FORMAS MATEMÁTICAS DE
PENSAR”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA: Rafael Borges Munguía
DIRIGIDA POR:
DR. FERNANDO BARRERA MORA DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Diciembre de 2016.
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
Agradecimientos
Gracias a mi dios por haberme permitido llegar a este momento. Un paso más en esta vida.
A mi esposa por creer en mí, dejarme ser y apoyarme para crecer en esta profesión, gracias por todo el tiempo que no estuve a tu lado, deseo que mi triunfo como profesionista lo sientas como tuyo ya que sin ti no lo habría logrado.
Gracias hijo Moisés. Llegaste de manera inesperada, como una gran invitación de la vida para esforzarme más.
A mis padres y hermana como símbolo de aprecio por su apoyo incondicional en cada uno de mis proyectos como persona y como profesional.
A mis compañeras, maestros y sinodales por su gran apoyo y motivación en la realización de este proyecto. De manera muy especial al Dr. Fernando Barrera Mora y al Dr. Aarón Víctor Reyes Rodríguez por su compresión, orientación y paciencia.
Gracias tía Magda porque tu apoyo ha sido importante en cada proyecto, lo cual me ha servido de motivación para seguir adelante.
Resumen
Uno de los objetivos centrales de la educación matemática es que los estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar, y para alcanzar este objetivo es importante que, mediante la resolución de problemas, pongan en práctica aspectos centrales del pensamiento matemático, entre los que se encuentran: identificar información, observar relaciones y regularidades, formular conjeturas, justificar y comunicar resultados, además de proponer nuevos problemas y desarrollar una actitud inquisitiva. El objetivo del presente trabajo es documentar y analizar de qué manera tareas en las que se identifican y forman patrones, por diferentes rutas, apoya el desarrollo de formas matemáticas de pensar en estudiantes de secundaria que muestran un desempeño alto en matemáticas. Se implementaron cuatro tareas durante seis sesiones. El análisis de la información recolectada permitió comprobar que la identificación y generalización de patrones por múltiples rutas pueden apoyar no solo a la construcción de relaciones entre ideas matemáticas sino que también favorece el desarrollo de elementos esenciales del pensamiento matemático.
Abstract
CONTENIDO
Página.
Capítulo 1. El problema de investigación. . . 1
1.1. Antecedentes. . . . . . 1
1.2. Revisión de la literatura. . . 3
1.3. Planteamiento del problema. . . .7
Capítulo 2. Marco de investigación. . . 8
2.1. Elementos del Marco conceptual. . . .. . . .9
2.2. Integración de los elementos del marco. . . . . . .12
Capítulo 3. Metodología. . . 14
3.1. Los participantes. . . .14
3.2. Las tareas. . . 15
3.3. Análisis preliminar de las tareas. . . .15
Capítulo 4. Resultados. . . 25
4.1. Tarea 1: suma de los primeros números naturales. . . . 25
4.2. Tarea 2: sucesiones de figuras. . . .35
4.3. Tarea 3: diagonal en una cuadrícula de 𝑛 × 𝑚 . . . 39
4.4 Tarea 4: número de cuadrados. . . 47
Capítulo 5. Conclusiones. . . 61
5.1. Respuesta a las preguntas de investigación. . . .64
Referencias. . . 67
Apéndices. . . 71
Transcripción correspondiente a la primera tarea. . . 71
Transcripción correspondiente a la segunda tarea. . . . . 96
Transcripción correspondiente a la tercera tarea. . . 105
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CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Antecedentes
Uno de los propósitos centrales de la educación matemática es que los estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar y de razonar, es decir, modos particulares de pensamiento al resolver problemas que les permitan “ver el mundo a través de los lentes de un matemático”. La disposición y el hábito para cuantificar, modelar e identificar patrones caracterizan a las personas con “una forma matemática de pensar”. Estos hábitos se adquieren mediante un trabajo continuo y de reflexión que se lleva a cabo durante la resolución de problemas. La formación matemática debería entonces estar orientada a crear condiciones para que los estudiantes desarrollen su creatividad, por ejemplo al considerar un problema desde distintas perspectivas, al diseñar diferentes soluciones a un mismo problema o al crear herramientas conceptuales para resolver problemas que sean adaptables, modificables y reutilizables en diversos contextos. Es importante que los estudiantes desarrollen un entendimiento conceptual (Hiebert et al., 1997), porque los conceptos e ideas matemáticas que se entienden con profundidad pueden utilizarse en una amplia gama de contextos, pueden adaptarse flexiblemente para resolver diversas situaciones problemáticas y utilizarse para construir conocimiento nuevo.
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Las prácticas didácticas utilizadas generalmente en los salones de clase se enfocan en que los estudiantes memoricen hechos y que desarrollen habilidades para implementar algoritmos o procedimientos rutinarios; pero desde hace algunos años estas formas de abordar el aprendizaje han sido cuestionadas desde una posición que adopta una visión dinámica y exploratoria de la matemática como la ciencia de los patrones. Desde esta última perspectiva, el proceso de instrucción debiera orientarse al desarrollo de actividades que brinden a los estudiantes oportunidades para experimentar con los objetos matemáticos, observar relaciones e invariantes, discutir y defender sus ideas, formular y justificar conjeturas, establecer conexiones entre conocimientos previos y nuevos, además de comunicar resultados e incluso diseñar sus propios problemas y desarrollar una actitud inquisitiva (NCTM, 2000; Santos-Trigo, 2007). Todos estos aspectos constituyen los elementos fundamentales que favorecen el desarrollo de formas matemáticas de pensar.
La identificación de regularidades y generalización de patrones numéricos es un aspecto que se considera en el currículo desde la educación básica. Los estudiantes de preescolar tienen sus primeras experiencias identificando patrones al clasificar y ordenar objetos, lo cual llevan a cabo de manera natural. Estas tareas, a pesar de ser muy sencillas, son la base para construir formas complejas de pensamiento. Al inicio de la educación secundaria el estudiante debería ser capaz de describir regularidades verbalmente y mediante el uso de símbolos alfanuméricos. Las variables y expresiones algebraicas se pueden utilizar como una herramienta para describir y expresar regularidades. El desarrollo de un pensamiento algebraico involucra usar la notación funcional para describir relaciones entre cantidades que varían conjuntamente. A medida que los estudiantes van progresando en la identificación y generalización de diferentes tipos de patrones, también irán construyendo significado para los símbolos algebraicos, lo cual a su vez les permitirá dar sentido a un amplio repertorio de funciones como medios para expresar, entender y analizar el cambio y la variación (NCTM, 2000).
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equivalentes de expresiones algebraicas y funciones e incluso para probar resultados generales (NCTM, 2000).
1.2. Revisión de la literatura
En esta sección se incluyeron dos líneas temáticas, la primera se refiere a investigaciones que indagaron cómo la identificación y generalización de patrones numéricos puede apoyar el desarrollo de entendimiento conceptual, y la segunda se enfoca a investigaciones que han utilizado problemas con múltiples soluciones con la finalidad de favorecer el aprendizaje de los estudiantes.
En lo que respecta a los estudios sobre cómo la identificación y generalización de patrones puede contribuir al desarrollo de formas matemáticas de pensar, Butto y Rivera (2012) analizaron el desarrollo del pensamiento algebraico de estudiantes de entre 11 y 12 años quienes no tenían conocimientos previos de álgebra. El estudio se llevó a cabo en dos etapas, en la primera etapa se aplicó un cuestionario para identificar dificultades y competencias que emergen al reconocer regularidades en una sucesión, en la segunda etapa se llevó a cabo una entrevista individual, cuya finalidad fue que los estudiantes explicaran verbalmente cómo respondieron al cuestionario. La atención del trabajo se centró en los niveles de logro y las estrategias de solución. Los estudiantes mostraron dificultades para identificar patrones en secuencias aritméticas y geométricas.
Otros trabajos están enfocados en describir la importancia de la identificación de patrones en sucesiones y la generalización de regularidades. Particularmente se ha intentado determinar la forma en que el uso de representaciones gráficas orienta las estrategias de los estudiantes para generalizar un patrón y representar la generalidad simbólicamente. Al respecto, Cañadas, Castro y Castro (2008) realizaron una investigación en la que participaron 39 estudiantes. Más del 40% de los que resolvieron el problema propuesto lograron identificar un patrón en la sucesión. Por otra parte, los autores identificaron seis rutas distintas de solución, siendo la más común la descomposición numérica. Adicionalmente, el 95% de los estudiantes desarrolló habilidad para comunicar verbalmente el proceso de solución.
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problemas de generalización de patrones. Al término de las actividades se entrevistó a los estudiantes por parejas para después realizar una interacción grupal cuyo fin fue que los estudiantes expresaran su manera de pensar, después de reflexionar sobre las estrategias que utilizaron al resolver el problema. Los resultados de este trabajo indican que las actividades apoyaron a los estudiantes para simbolizar la generalidad observada en una sucesión.
También se han analizado con detalle las rutas de solución y estrategias desarrolladas por profesores en formación y en servicio, así como matemáticos profesionales al generalizar patrones en una sucesión que aparece en el juego denominado “The golf tee puzzle”, el cual es análogo al juego de las ranas saltarinas1. Entre las estrategias más relevantes utilizadas por
los participantes se encuentra la construcción de tablas, como un medio para identificar un comportamiento general en una sucesión numérica. Además, la actividad promovió la formulación de conjeturas y que los participantes desarrollaran un razonamiento inductivo y deductivo. Otro trabajo enfocado en las formas de razonamiento de profesores fue desarrollado por Trujillo, Castro y Molina (2009), quienes investigaron las estrategias utilizadas por futuros profesores de educación primaria para generalizar patrones que emergen al analizar sucesiones aritméticas. Esta investigación se realizó con el objetivo de entender los procesos de pensamiento de cuatro profesores, así como los conocimientos previos que utilizan, las dificultades que manifiestan y si las actividades propuestas favorecieron o no un aprendizaje. Como conclusión se observó que los profesores fueron capaces de generalizar regularidades de manera verbal y simbólica.
Por otra parte Carraher, Martínez y Schiliemann, (2008) implementaron actividades con estudiantes de tercer grado de primaria (nueve años) que favorecieran los procesos de articulación, generación y exploración de relaciones en diferentes representaciones entre las que se encuentran rectas numéricas, tablas de funciones y notación algebraica. La investigación tuvo como finalidad entender el papel de la generalización empírica, el juego y la formulación de conjeturas en las formas de pensar de los estudiantes. Progresivamente, los estudiantes aprendieron a expresar regularidades utilizando notación simbólica y a derivar nueva información a partir de los datos del problema, y a reflexionar sobre las expresiones algebraicas que ellos mismos y otros estudiantes produjeron. Otra investigación con estudiantes de la misma edad describen los medios semióticos de objetivación utilizados al
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abordar una tarea en la que se debía identificar y generalizar un patrón en una sucesión numérica. Se llevó a cabo la recolección de la información durante tres sesiones. Esta investigación concluye que los estudiantes muestran distintas formas de reconocer y representar la generalidad a partir de gestos, palabras y símbolos alfanuméricos (Lasprilla y Camelo, 2012).
Algunos estudios han analizado el papel de la flexibilidad para construir estrategias de, solución en los problemas de generalización de patrones lineales, en estudiantes de educación secundaria de entre 12 y 16 años (Callejo y Zapatera, 2014). Las respuestas se analizaron con base en la corrección y las estrategias de solución se categorizaron como recursivas, funcionales y proporcionales. El análisis de la información permitió identificar tres perfiles de estudiantes, de acuerdo con las estrategias utilizadas y el éxito obtenido, siendo los estudiantes más jóvenes los que mostraron menor grado de flexibilidad en la construcción de las soluciones. Otras investigaciones han analizado el desempeño de estudiantes de secundaria de entre15-16 años de edad al abordar tareas de generalización de patrones lineales, con el objetivo de caracterizar algunos niveles jerárquicos que reflejaran el rendimiento de los estudiantes al tratar con ese tipo de problemas, mediante entrevistas y experimentos de enseñanza interactiva. Entre los principales resultados destaca que algunos estudiantes exitosos al establecer un invariante (generalización local) mudan de una invariante a otra (tal vez correcta) al ser confrontados con una nueva situación. También se identificó que para llegar a una generalización global, los estudiantes deben ser confrontados con un número extenso de nuevas situaciones antes de que la nueva estructura cognitiva sea estable (García y Martinón, 1998).
En lo que respecta a la implementación de tareas con múltiples soluciones (TMS) Leikin y Lev (2007) exploraron la creatividad matemática en estudiantes de diferentes niveles de desempeño matemático. Se aplicaron tareas convencionales y no convencionales, con el objetivo de examinar la novedad, flexibilidad y fluidez de las rutas de solución. El investigador asumió un papel de guía para los estudiantes haciéndoles preguntas. La flexibilidad de los estudiantes se analizó con base en el número de soluciones y la fluidez en términos del tiempo usado para obtener soluciones exitosas. La puntuación final demostró diferencias entre los grupos en cuanto a una combinación de novedad y flexibilidad de las soluciones.
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los estudiantes ejemplos de problemas resueltos mediante diferentes rutas. El ambiente de instrucción se diseñó para promover una reflexión sobre los contenidos y representaciones utilizadas en cada solución. Al analizar los resultados, se concluyó que el análisis de múltiples soluciones a un problema mejoró la adquisición de habilidades procedimentales y promovió el desarrollo de entendimiento conceptual. Por otra parte, Kordaki y Mastrogiannis (2006) implementaron una actividad de aprendizaje, enfocada en la comprensión del concepto de ángulo mediante el uso de Cabri-Geometry II. En esta investigación se concluyó que considerar diversas estrategias de solución favoreció el que los estudiantes utilizaran funciones mentales superiores y conectaran diversos conceptos matemáticos.
Leikin (2011) analizó las formas en que un grupo de profesores implementan tareas con múltiples soluciones (TMS) en sus clases durante un curso de desarrollo profesional. El estudio incluyó dos etapas, en la primera participaron 12 maestros durante un año. Se buscó identificar los objetivos, el aprendizaje en general, y los avances en el conocimiento matemático, conocimiento pedagógico del contenido y creencias de los profesores asociadas con la utilidad de las TMS en el proceso de aprendizaje. En la segunda etapa se pidió a los maestros integrar en sus clases TMS. Se observó que el objetivo principal planteado por los profesores fue la revisión de contenidos ya aprendidos y sólo una lección se dedicó al aprendizaje de contenidos nuevos. Se identificaron cuatro estilos de trabajo de los profesores al diseñar TMS para implementarlas con sus estudiantes: simple, directo, adaptativo y creativo. Las lecciones correspondientes al estilo de trabajo simple tenían como objetivo la revisión de los contenidos aprendidos anteriormente, mientras que los estilos adaptativos facilitaron el logro de metas de aprendizaje más complejas.
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trabajo de 12 profesores de matemáticas, quienes indicaron que considerar múltiples soluciones para un problema les ayudó a mejorar su repertorio estratégico y representacional. Los resultados indican que hubo un cambio en la práctica de los docentes, la cual se reflejó en la planificación de lecciones y en los registros de las conversaciones que se llevaron a cabo en sesiones de un programa de desarrollo profesional Además, se identificó que la presentación de múltiples soluciones y la reflexión acerca de las conexiones entre los diferentes enfoques de un problema es una oportunidad para impulsar programas de formación para profesores.
1.3. Planteamiento del problema
Con base en la revisión de la literatura se observó que la identificación y generalización de patrones en una sucesión es una actividad fundamental en la construcción del conocimiento matemático. Por otra parte, considerar múltiples soluciones en una tarea es un principio que puede apoyar el desarrollo de diferentes aspectos del pensamiento matemático. En este contexto, el objetivo general de esta investigación consiste en documentar y analizar aspectos importantes del pensamiento matemático que se promueven en estudiantes de tercer grado de secundaria cuando resuelven problemas que requieren identificar y generalizar patrones por diferentes caminos o rutas, ya que es un área de investigación que se ha explorado poco.
Las preguntas que orientan el desarrollo de la investigación son:
1. ¿Qué tipo de estrategias utilizan los estudiantes para identificar y generalizar patrones? 2. ¿De qué manera la consideración de diferentes rutas para resolver un problema
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CAPÍTULO II. MARCO DE INVESTIGACIÓN.
Al llevar a cabo una investigación es de fundamental importancia contar con un marco que sustente los resultados y permita formular explicaciones de los fenómenos observados más allá del sentido común. Un marco de investigación es una estructura conceptual que orienta la perspectiva de un estudio desde la formulación de las preguntas hasta la recolección de datos y su análisis. Existen diversos tipos de marcos de investigación en educación matemática, los cuales se clasifican en tres tipos: el teórico, el práctico y el conceptual (Eisenhart, 1991). El marco teórico, toma como base una teoría bien establecida, por ejemplo la teoría de situaciones didácticas. Cuando se elige un marco teórico, el investigador decide seguir estrechamente los principios, así como las convenciones de argumentación y experimentación asociadas con la teoría. Con respecto al Marco práctico, se integra con base en la experiencia práctica del investigador y guía la investigación con base en “lo que funciona” en un contexto específico. “Lo que funciona” se constituye en una idea o acción que si se extiende a otros contextos puede ayudar a resolver algunos problemas educativos. Los resultados de una investigación basada en un marco práctico generalmente se usan para sustentar, extender o revisar la práctica educativa.
Un marco conceptual es una estructura de justificaciones acerca de por qué un conjunto de conceptos y relaciones son útiles para orientar la formulación de preguntas, la recolección de datos y explicar los resultados de la investigación. Al igual que los marcos teóricos los marcos conceptuales están basados en investigaciones previas, pero se construyen a partir de elementos de diversas fuentes. Un marco conceptual puede incluir conceptos de diferentes teorías o aspectos del conocimiento práctico del investigador.
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Desde este punto de vista, las matemáticas son una disciplina que estudia las regularidades que aparecen en los números, las formas, el movimiento, el azar, entre otras; mientras que el aprendizaje de las matemáticas se concibe más allá de la memorización de fórmulas y la aplicación de procedimientos rutinarios. Aprender matemáticas involucra llevar a cabo actividades análogas a las desarrolladas por los matemáticos profesionales al crear nuevo conocimiento disciplinar (Simon y Blume, 1996). Es decir, el aprendizaje de las matemáticas requiere que los estudiantes exploren relaciones, que experimenten y analicen casos particulares, formulen conjeturas y las justifiquen, comuniquen resultados, que propongan sus propios problemas y diseñen los métodos o estrategias para resolverlos. Los estudiantes aprenden matemáticas y construyen significado de las ideas centrales de la disciplina cuando son capaces de inventar y analizar métodos para resolver problemas, es decir, cuando se encuentran inmersos en un contexto de instrucción que favorece la creación de herramientas conceptuales (Hiebert et al., 1997). Además, el estudiante debiera ser capaz de problematizar las tareas, es decir, considerar las situaciones problemáticas en términos de dilemas que necesitan resolverse y de este modo desarrollar una actitud inquisitiva, la cual consiste en preguntarse o cuestionarse constantemente sobre la validez de los resultados, la forma de encontrar más de un camino o ruta de solución o de cuestionarse si la solución es única.
Cuando se aborda el aprendizaje desde una perspectiva de resolución de problemas es importante identificar las fases por las que un resolutor transita al resolver un problema: (i) comprender el problema, (ii) concebir un plan, (iii) ejecutar ese plan y (iv) examinar o verificar la solución, así como las heurísticas utilizadas por los estudiantes, las cuales son sugerencias de carácter general que pueden ayudar en el proceso de solución de un problema, pero que no garantizan el éxito.
2.1 Elementos del marco conceptual.
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lograr mediante los procesos de reflexión y comunicación de ideas durante el desarrollo de resolución de problemas.
En este trabajo se considera que entendemos algo si podemos ver cómo ese algo se relaciona o conecta con otras cosas que conocemos. De la afirmación anterior se desprende que existirán diversos niveles de entendimiento de un concepto en función de la cantidad de conexiones o relaciones que una persona sea capaz de establecer. Por ejemplo, un profesor entiende el sentimiento de ansiedad de un estudiante ante los exámenes si puede relacionar ese fenómeno con otra información, por ejemplo los malos resultados obtenidos en un examen anterior a pesar de haber estudiado, la presión de sus padres para que obtenga buenas notas o la falta de habilidad para responder rápidamente a este tipo de pruebas (Hiebert et. al., 1997).
De acuerdo con Hiebert et al. (1997), la construcción de relaciones o conexiones significativas se lleva a cabo a través de los procesos de reflexión y comunicación. La reflexión consiste en pensar de forma consciente acerca de nuestras experiencias, pensar en las cosas desde diferentes puntos de vista, analizar repetidamente las cosas, pensar acerca de lo que uno hace y por qué lo hace. La reflexión anterior, sirve de base para la construcción de nuevas relaciones y consecuentemente en un incremento de nuestro nivel de entendimiento. Por su parte, la comunicación involucra hablar, escuchar, escribir, justificar, mirar. La comunicación consiste en compartir ideas, pensar de forma conjunta en ideas y problemas, el proceso de comunicación permite clarificar y fortalecer nuestro proceso de pensamiento con las ideas y formas de pensar de otras personas.
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los matemáticos, ya que esta actividad requiere de estructurar diferentes conceptos para usarlos como herramientas en el proceso de solución de problemas (Polya, 1973). Según Levav-Waynberg y Leikin (2006), dos o más rutas de solución son diferentes si se utilizan: (a) diferentes definiciones, resultados, métodos o representaciones de un concepto matemático; (b) diferentes niveles de jerarquía, expresados al considerar una idea como un caso especial de un conocimiento más general; (c) diferentes herramientas y teoremas matemáticos de un mismo tópico matemático; y (d) diferentes herramientas y teoremas matemáticos de distintas ramas de las matemáticas.
Abordar una tarea por diversas rutas, comparar soluciones y reflexionar acerca de los conceptos y estrategias involucradas son medios para explorar la creatividad de los estudiantes (Silver, 1997; Leikin, 2007; Leikin y Lev, 2007; Leikin y Levav-Waynberg, 2007). La construcción de relaciones entre ideas y conceptos contribuye al desarrollo de diferentes niveles de entendimiento (Polya, 1945; Ma, 2010), porque al movilizar e integrar un amplio rango de representaciones, heurísticas, resultados, procedimientos y principios durante la construcción de diferentes soluciones a una tarea, estos elementos se incorporan paulatinamente al repertorio de recursos de los estudiantes, favoreciendo la integración de redes de conocimientos estructurados (Silver et al., 2005; Ma, 2010).
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ended, cuyo eje es solicitar a los estudiantes crear y discutir diferentes métodos para solucionar un problema que pueda resolverse con un mínimo de conocimientos previos (Stigler y Hiebert, 1999; Shimada, 1997).
2.2 Integración de los elementos del marco.
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CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
Esta investigación es de carácter cualitativo, puesto que los instrumentos para la recolección de los datos utilizados fueron grabaciones en video de sesiones de trabajo que los estudiantes llevaron a cabo para resolver problemas de identificación y generalización de patrones mediante diferentes rutas. Además se realizaron entrevistas, así como notas realizadas por el investigador durante las sesiones, respecto de las acciones desarrolladas por los alumnos de forma individual o en pequeños grupos. Los videos de las sesiones de trabajo y las entrevistas se transcribieron y con base en esas transcripciones se buscó identificar segmentos de texto que permitieran evidenciar si los estudiantes desarrollaron o no formas matemáticas de pensar, al resolver los problemas propuestos por diferentes rutas.
3.1 Los participantes
La implementación de las actividades se llevó a cabo con un grupo de estudiantes de tercer grado de una escuela telesecundaria ubicada en la comunidad de San Cristóbal del municipio de Metztitlán, en el estado de Hidalgo. Las edades de los participantes se encuentran en el rango de 14 y 15 años. Los estudiantes pertenecen a un nivel socioeconómico medio bajo. Para poder desarrollar las actividades se solicitó la aprobación de directivos y padres de familia, se hizo de su conocimiento que se filmaría en video el trabajo de los estudiantes durante algunas sesiones y se solicitó su consentimiento a través de un oficio que se les envió por escrito.
Se implementaron cuatro tareas de las cuales las primeras tres se abordaron de manera individual, mientras que para la cuarta los estudiantes se organizaron en grupos. En el caso de esta última actividad solo algunos estudiantes tuvieron participaciones relevantes. Las tareas se desarrollaron con un grupo de diez estudiantes, pero solo se analizó el trabajo de cuatro, quienes abordaron todas las actividades. Los estudiantes se eligieron por conveniencia, todos con los promedios más altos en la asignatura de matemáticas.
15 3.2 Las tareas
Las tareas que se utilizaron en este trabajo se pueden resolver por diferentes rutas y fueron seleccionadas de forma que ofrecieran oportunidades a los estudiantes para llevar a cabo procesos de análisis, reflexión y comunicación de ideas, y que les permitiera estructurar sus conocimientos previos con ideas tales como variación conjunta de dos cantidades, generalización de patrones, representación simbólica, entre otras. Tres de las actividades se abordaron por los estudiantes de manera individual y una cuarta tarea fue resuelta en grupo. Cada tarea se desarrolló durante una sesión de dos horas después del receso. El proceso de implementación se llevó a cabo por el profesor titular del grupo. Durante y al final de cada actividad se dieron espacios de tiempo en los cuales los estudiantes tuvieron oportunidad de comunicar las rutas de solución al profesor o a todo el grupo.
Las fuentes de información incluyeron los trabajos escritos de los estudiantes, así como las videograbaciones, las cuales se transcribieron posteriormente. El análisis de los datos incluyó la identificación de segmentos de texto que proporcionaron información respecto al desarrollo de algún elemento del pensamiento matemático, alguna estrategia de solución o que proporcionaran evidencia de la realización de conexiones entre conceptos. Posteriormente, esta información se resumió en tablas con el objetivo de resaltar cada estrategia, conexión y elemento del pensamiento matemático que estuvo presente durante el desarrollo de cada una de las tareas.
3.3 Análisis preliminar de las tareas
El análisis preliminar se llevó a cabo con la finalidad de que el docente quien aplicó las tareas identificara algunas posibles soluciones que podrían aparecer, y además reflexionara sobre los elementos del pensamiento matemático que entran en juego durante el diseño e implementación de algunas rutas de solución.
Tarea 1. Suma de los primeros n números naturales. Realiza la siguiente suma y propón más de una ruta para obtener el resultado.
1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + 8 + 9 + 10 =
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1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55. Si esta es la aproximación que siguen los estudiantes, entonces se les pedirá que traten de encontrar alguna otra ruta para solucionar el problema. Se les dará un tiempo para que reflexionen y propongan otra ruta de solución, en caso de que no lo logren se propondrá un ejemplo más sencillo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. A continuación se sugerirá cambiar el orden de los sumandos y realizar la suma en forma vertical como se muestra a continuación:
+ 1 +2 + ⋯ +6 6 +5 + ⋯ +1 7 +7 + ⋯ +7
El resultado sería (7) (3)= 21
Los estudiantes podrán desarrollar una solución para la suma de los primeros diez números naturales en la cual tendrán que aplicar una multiplicación. Y quedara de la siguiente manera:
+ 1 + 2 + 3 + ⋯ +9 +10 10 + 9 + 8 + ⋯ +2 +1 11 +11 +11 + ⋯ +11 +11
La suma es iguala a (11) (5)= 55.
Posteriormente se les planteara la siguiente actividad con la que se pretende que descubran otra ruta de solución para la suma de números enteros del 1 al 10, se puede pedir a los estudiantes que completen la siguiente tabla. Posteriormente se busca que los estudiantes verifiquen cómo varían los números de la segunda columna y que relacionen esos números con los de la primera columna.
No. de sumandos
Resultado de la suma
1 1
2 3
3 6
10 5
6 21
28
⋮
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Cuando los estudiantes lleguen a la casilla del número “n” tendrán que buscar una expresión general que represente el valor de la suma de los primeros números naturales, a partir de los casos particulares previos. Los estudiantes pueden notar que si multiplican un número de la primera columna por su consecutivo obtienen como resultado el doble del número correspondiente en la segunda columna. Entonces la expresión general para la suma de los primeros n números naturales es:
(𝑛)(𝑛+1)2
o
𝑛2+𝑛
2
Otra ruta de solución para poder encontrar la suma de los números naturales del 1 al 10 podría basarse en la siguiente representación figural:
Los estudiantes tienen que establecer relaciones y observar patrones para poder definir cuantos cuadritos tendrá la figura 5, y posteriormente la figura n se darán cuenta que la respuesta son iguales a las que obtuvieron con la tabla.
(𝑛)(𝑛+1)2
o
𝑛
2+𝑛
2
Al término de la actividad se les pedirá a los estudiantes que reflexionen acerca de los resultados obtenidos con la siguiente pregunta ¿la fórmula o las fórmulas a las que se llegó, solo pueden ser utilizadas para encontrar la suma de los números naturales del 1 al 10, o podremos obtener otras sumas?
Tarea 2. Sucesiones de figuras (Triángulos y palillos). Observa la sucesión de figuras en la cual y completa la tabla. Toma en cuenta que en cada figura subsecuente se le incrementa un triángulo sobre el mismo renglón.
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No. de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No. de palillo. No. de bolas.
Posiblemente los estudiantes completen la tabla fácilmente a partir de observar cómo se comportan las cantidades correspondientes a las primeras figuras, pero es probable que algunos construyan las figuras restantes para completar la tabla.
No. de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No. de palillo. 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
No de bolas. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Posteriormente se pedirá a los estudiantes que compartan sus observaciones, y den respuesta a las siguientes preguntas con el objetivo de favorecer los procesos de reflexión y comunicación que son esenciales para el desarrollo de un entendimiento conceptual:
1.- ¿Qué relaciones observan entre el número de triángulos que se forman y el número de palillos que los integran? En primera instancia, probablemente los estudiantes comenten que el número de palillos va aumentando de dos en dos para cada figura. Es probable que observen que si suman 1+2 el resultado es 3 y ese será el número de palillos que integran al triangulo 1, si suman 2+3 el resultado es 5 y ese es el número de palillos en la figura 2. Entonces pueden tratar de repetir el procedimiento para los demás triángulos con la finalidad de obtener evidencia que sustente la conjetura que el número de palillos en una de las figuras se obtiene al sumar la posición de la figura con la posición siguiente.
2.- Después de comentar algunas relaciones y regularidades que existen entre el número de triángulos y el número de palillos que los integran, se tratará de que generalicen el resultado: ¿Si hablamos de la figura n cuantos palillos la integran? Con lo comentado anteriormente los estudiantes pueden generalizar el resultado y llegar a las siguientes expresiones simbólicas:
19 b) 2n+1= Numero de palillos.
De esta manera ellos lograran identificar patrones, realizar generalizaciones y representar simbólicamente la generalidad. Después de haber concluido esta parte de la actividad se les indicara a los estudiantes que respondan y reflexionen en casa las siguientes preguntas: 1.- ¿existe alguna relación entre el número de triángulos y el número de bolas?
2.- ¿se podrá representar de manera general esta relación entre triángulos y bolas? ¿Cuál sería la expresión simbólica que representa la relación anterior?
Tarea 3. Diagonal en una cuadrícula de 𝑛 × 𝑚 cuadritos.
En un rectángulo como el que se muestra en la figura, ¿cuantos cuadrados cortara una diagonal en un rectángulo de n x m cuadritos? Se Iniciara considerando diversos casos particulares para poder observar relaciones, regularidades e invariantes.
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21 Fig. 1
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 4
Con las figuras anteriores nos damos cuenta que las conjeturas establecidas hasta el momento son incorrectas pero nos ayudan a establecer nuevas, las cuales enunciamos a continuación. 1.- si la altura y lo largo de un rectángulo formado por cuadros son múltiplos, el número de cuadros que corte la diagonal será igual a lo largo de dicho rectángulo.
2.- si la altura y lo largo de un rectángulo no son múltiplos entonces el número de cuadros que corte la diagonal será igual al número de cuadros de la altura menos uno más el número de cuadros de lo largo.
Se propuso realizar otras figuras para aplicar las conjeturas establecidas y obtener evidencia adicional que las apoye.
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Después de observar las relaciones y establecer conjeturas con la ayuda de las figuras se observó que, dada una figura rectangular formada por m cuadrados de largo y n cuadros de ancho, la diagonal trazada entre dos de sus vértices cortara: (n-1)+ m cuadros, si m y n son primos relativos. Por otra parte, si m es múltiplo de n o viceversa, entonces el número de cuadrados que corta la diagonal será el máximo de m y n. En general, el número de cuadros por los que atraviesa la diagonal en una cuadrícula de 𝑛 × 𝑚 es igual a mn-MCD (m, n). Cabe mencionar que durante el desarrollo para la solución de este problema, resultó complicado establecer relaciones entre las características de las diferentes figuras y en la articulación de saberes.
Tarea 4. Número de cuadrados
Observa las siguientes figuras y responde ¿cuántos cuadros se pueden formar considerando cada una de las cuadrículas? En la figura1 se forma un cuadrado de 2x2 y cuatro de 1x1, entonces en total se observan 5 cuadros. Lo cual para los estudiantes tampoco será complicado identificar. En la figura 2 observamos que se forma un cuadro de 3x3, cuatro de 2x2 y nueve de 1x1, por lo cual sabemos que se forman 14 cuadros en total. En la figura número 3 observamos un cuadro de 4x4, cuatro de 3x3, 9 de 2x2 y dieciséis de 1x1, para formar 30 cuadros en total.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
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se identificó que si vamos sumando el número total de cuadros de 1x1 que se pueden formar, los que tienen medidas de 2x2 hasta los de 5x5, se obtiene la suma de los cuadrados de los primeros cinco números naturales. Por lo tanto se propuso que para calcular el total de cuadros en una cuadrícula con lado de longitud n, el total de cuadrados se puede encontrar mediante la siguiente suma.
12+22+ 32+42+52+---+(n-1)2+ n2=
Al llegar a esta suma surgieron dificultades para obtener el resultado en su forma general por lo que se sugirió revisar el procedimiento para deducir la fórmula ejemplificado en un libro de cálculo (Spivak, 2010, p. 37). Partiendo de la expresión
(K+1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1
Para encontrar la fórmula de la suma de los cuadrados de los primeros números naturales daremos valores a k, k=1, k=2, k=3, k=4, k=5, k=n.
(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1 (2+1)3-23= 3(2)2+3(2)+1 (3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1 (4+1)3-43=3(4)2+3(4)+1 (5+1)3-53=3(5)2+3(5)+1
⋮
(n + 1)3-n3=3(n)2+3(n)+1
Posteriormente realizamos las sumas de los binomios al cubo como se muestra en seguida. (2)3-13= 3(1)2+3(1)+1
(3)3-23=3(2)2+3(2)+1
(4)3-33= 3(3)2+3(3)+1 (5)3-43= 3(4)2+3(4)+1 (6)3-53= 3(5)2+3(5)+1
⋮
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Si sumamos todos los elementos anteriores en forma de renglón podremos observar lo siguiente.
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=( 3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1) +
+(3(3)2+3(3)+1)+ (3(4)2+3(4)+1) + (3(5)2+3(5)+1)+---+ 3(n)2+3(n)+1
Al observar nuestra igualdad de sumas nos daremos cuenta que podemos realizar algunas operaciones y factorizar algunos elementos.
−1 + (𝑛 + 1)3
= 3(12+ 22 + 32+ 42 + 52+ ⋯ + 𝑛2) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 𝑛)
+ 𝑛
−1 + (𝑛 + 1)3 = 3(12+ 22 + 32+ 42 + 52+ ⋯ + 𝑛2) + 3[ 𝑛(𝑛 + 1) 2 ] + 𝑛
−1 + 𝑛3 + 3𝑛2+ 3𝑛 + 1 = 3(12+ 22+ 32+ 42+ 52+ ⋯ + n2) + 3𝑛2+3𝑛 2 + 𝑛
𝑛3+3𝑛2+3𝑛− [ 3𝑛
2+3𝑛
2 ]−𝑛
3 = 1
2+ 22+ 32+ 42+ 52+ − − − + 𝑛2
2𝑛3+6𝑛2+6n−3𝑛2−3𝑛−2𝑛 2
3 = 1
2 + 22+ 32+ 42+ 52+ ⋯ + 𝑛2
De lo anterior obtenemos que.
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛
6 = 1
2+ 22+ 32 + 42+ 52 + ⋯ + 𝑛2
2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛 6 = 1
2 + 22+ 32+ 42+ 52+ ⋯ + 𝑛2
𝑛 (2𝑛2 + 3𝑛 + 1)
6 = 1
2+ 22+ 32+ 42+ 52+ ⋯ + 𝑛2
𝑛 (2𝑛 + 1) (𝑛 + 1)
6 = 1
2+ 22+ 32+ 42+ 52+ ⋯ + 𝑛2
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CAPITULO IV. RESULTADOS
En esta parte del trabajo se describen los resultados de la experimentación. En primer lugar se bosquejan los aspectos esenciales del proceso de solución implementado por los estudiantes, resaltando los estrategias empleadas para resolver los problemas, así como las relaciones que utilizaron y los elementos del pensamiento matemático que emergieron al abordar las tareas con múltiples rutas de solución.
4.1. Tarea 1. Suma de los primeros números naturales
La primera tarea a desarrollar consistió en sumar los primeros diez números naturales. El profesor sugirió a los estudiantes realizar la suma de una manera distinta a sumar consecutivamente cada uno de los números. Elisa propuso sumar el primer término con el último, el segundo término con el penúltimo. Para explicarnos, lo que ella propone, unió los términos a sumar con líneas.
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En el caso de Manuel, también sumó los números por pares consecutivos (1+2, 3+4, 5+6, 7+8, 9+10), además propuso sumar los números 1+2+3, y sumó por separado los números abreviados con los puntos suspensivos (4+5+6+7), más el resto, que eran 8+9+10, y obtuvo la siguiente suma 1+2+3+22+8+9+10=55. Entonces, el profesor le pidió que obtuviera el resultado de otra forma. Luna, por su parte, únicamente realizó la suma término a término. Como los estudiantes tuvieron dificultades para encontrar otra ruta de solución, el profesor les sugirió colocar la suma como se muestra en seguida y explicar si esta forma de representarla podría facilitar el proceso de solución.
+ 1 +2 +3 + ⋯ +9 +10 10 +9 +8 + ⋯ +2 +1 11 +11 +11 + ⋯ +11 +11
Después de un tiempo se les pidió a los estudiantes expresaran sus ideas. Elisa comentó, que se sumaron dos veces los primeros diez números naturales y se obtuvo como resultado ciento diez y para encontrar el resultado lo dividió entre dos y obtuvo cincuenta y cinco. Por otra parte, Alberto explicó que el resultado de esa suma no era el correcto, porque se estaba sumando dos veces el mismo número de lo cual le dio ciento diez, y para que sea correcto hay que dividirlo entre dos. Manuel concluyó lo mismo que sus compañeros, observó que se estaban sumando dos veces los mismos valores, por lo tanto el resultado que obtuvo lo dividió entre dos, para llegar a cincuenta y cinco.
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Como ya no hubo mayor participación, el profesor propuso organizar la información de las sumas parciales en una tabla, la cual contenía solo algunos de los valores. Pidió a los estudiantes completar los valores faltantes de la tabla.
Elisa comentó que pudo obtener los primeros resultados faltantes de la tabla, pero cuando quiso generalizar el resultado se confundió y ya no supo cómo continuar. Se le preguntó porque se había confundido pero, solo dijo que no pudo hacer más. Posteriormente, se cuestionó a todo el grupo si ya habían terminado la actividad pero la mayoría de los estudiantes dijo que no. Solo Alberto comento que había realizado algo y se le pidió compartir sus ideas con el grupo.
El estudiante realizó una tabla en el pizarrón y explicó cómo fue obteniendo cada resultado. Multiplicó los números de la primera columna, el uno por el dos y el resultado lo dividió entre dos, obteniendo uno [1 x 2= 2, 2/2=1] el cual fue el primer valor de su tabla, después multiplicó dos por tres, el resultado fue seis, lo dividió entre dos y obtuvo tres, que es el segundo resultado de su tabla, posteriormente tres por cuatro le dio doce, entre dos seis, que fue el resultado del tercer renglón de la tabla y así sucesivamente. .
Número de sumandos
Resultado de la suma
1 1
2 3
3 6
4 10
5
6 21
7 28
8 9 10
⋮
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El profesor preguntó cuál sería el valor de la suma si hubiera n sumandos. Alberto agregó los valores de n+1 y n+2 a las siguientes dos casillas, pero calculó sus resultados dándole valor de diez a n obteniendo, n+1= 11 y n+2= 12, y multiplicó once por doce, obteniendo ciento treinta y dos y al dividirlo entre dos el resultado fue sesenta y seis. Pero de ahí ya no pudo generalizar el resultado para n sumandos. Se les sugirió a los estudiantes se apoyaran de las ideas de Alberto para seguir trabajando y poder determinar la forma general de la suma de los primeros n números naturales.
Manuel empezó a buscar algunas relaciones y mencionó que si n podría ser cualquier número entonces, el resultado podría ser 55+11 porque consideró que se necesita un resultado para hallar el valor de n y completar la tabla, sugirió que si agregaba una literal x con valor de uno podría ir calculando los valores de n [tabla 1], y además propuso otra tabla en donde n=11[tabla 2]
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Se observó que cometió un error en la primera resta [n -10] porque el resultado ahí debió haber sido uno, pero las demás operaciones las realizó de manera correcta. Mostró estos resultados y el profesor le preguntó, ¿Cómo quedaría si no conocieras el valor de n? el estudiante dijo no tener aún una respuesta, entonces se le sugirió revisar nuevamente lo que ya había propuesto su compañero Alberto en el pizarrón y trabajar con ese resultado previo. Se dio un tiempo de diez minutos más para trabajar. Alberto llamó al profesor para explicarle lo que había hecho. El estudiante fue multiplicando los valores de la primera columna, el primero por el segundo [1x2], el segundo por el tercero [2x3] y así de manera consecutiva y a cada resultado lo dividió entre dos y obtuvo el valor, para cada n. Y cuando quiso encontrar la forma general para calcular el valor de n propuso, n(n+1) y el resultado dividirlo entre dos. Demostró su forma general con n=3.
Luna explicó que ella observó los datos de su tabla y se dio cuenta que podía calcular el valor
de n con la siguiente formula, n2- 1. Porque probó para n=2 y había obtenido el resultado esperado, pero el profesor le pidió hacer pruebas para otros valores y entonces se dio cuenta que su fórmula no era correcta.
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como resultado sesenta y seis, (como se muestra en la tabla que realizó). consideró que esto solo funciona para valores mayores a los que ya se tienen, pero pensó que podría calcular la sucesión de 1, 2, 3, 4,⋯, n, y seria (n+1) o (n+2), como ya lo había dicho que n podría ser cualquier número tenemos hasta donde n= 4, adonde n seria la posición y según Luna, n podría dar valor a otra incógnita, formando una formula dependiendo de la posición en la que se encuentre, (n+m) aunque dijo no estar del todo segura, dio un ejemplo en donde n=5 y m toma el valor del lugar en donde se encuentra cada figura. (El profesor se dio cuenta de que la estudiante no tenía bien organizadas sus ideas porque primero dijo que n representa la posición y después le dio el valor de la posición a otra incógnita a la que nombro m) no fue necesario mencionarle su error, ella misma observó que la forma general que había propuesto no era correcta, y dijo que no sabía que más hacer.
Como la mayoría de los estudiantes no pudo establecer la fórmula general para calcular la suma, se les propuso realizar la suma utilizando una sucesión de figuras formadas por cuadros, en las cuales los estudiantes contaron el número de cuadros que integraban cada figura desde la figura uno hasta la figura n, y se les dijo que construyeran más figuras si lo consideraban necesario.
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aumentando a la base de la figura y el resultado dividirlo entre dos para así obtener el número de cuadros que tiene la figura n. La forma general que anotó fue la siguiente.
Después el profesor preguntó a Alberto si ya había llegado a la forma general para calcular el número de cuadros que integran la figura n, Alberto realizó varias figuras y explicó el procedimiento para calcular el número de cuadros para cada una. En la figura uno, es uno más dos de la figura dos serian tres que son los cuadros que están en la figura dos, más tres de la figura tres serian seis que es el número de cuadros de la figura tres, más cuatro de la figura cuatro serian diez que son los cuadros que forman la figura cuatro, y entonces en la figura cinco se da cuenta que puede formar un rectángulo, le agregó cuadros imaginarios y se dio cuenta que le dio el doble de cuadros en relación a la figura original, entonces el profesor le preguntó, y ¿para la figura n? , el estudiante respondió dibujando un rectángulo de base n+1 y de altura n y multiplico n(n+1), pero como lo explicó en su figura cinco es el doble de los cuadros, entonces para que salga el número de cuadros exactos se dividió entre dos, concluyendo lo siguiente como resultado para la figura n.
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uno, a la cual le agregó un cuadro imaginario entonces la figura quedo de dos de base por uno de altura, multiplicó la base por la altura al resultado lo dividió entre dos y obtuvo uno que es el número de cuadros que tiene la figura uno.
Luna le comentó al profesor, que ella realizó más figuras a partir de las cuales encontró la
fórmula. Ejemplificó el resultado con la figura cinco que se sabe está formada por quince cuadritos, para obtener la fórmula ella agregó cuadros imaginarios, con esto la estudiante se dio cuenta que esta actividad era similar a la tabla que estaba tratando de completar anteriormente porque en el renglón cinco el valor era quince, al igual que la sucesión de figuras, la figura cinco tiene quince cuadros a la cual le agregó cuadros imaginarios hasta formar un rectángulo que si los sumamos todos los cuadros saldría el doble [30 cuadros] y si lo dividimos entre dos seria quince que el número de cuadros que tiene la figura cinco y para resolverlo multiplicó [5(5+1)] y al resultado que fue treinta lo dividió entre dos y obtuvo quince. Explicó que el cinco eran los cuadros de la altura y [5+1] se refirió a la base de la figura original más un cuadro imaginario. El profesor preguntó ¿cómo quedaría para la figura n? , Luna respondió que si fuera n sería lo mismo solo que en lugar de números, iría n, y escribió, 𝑛(𝑛+1)
2 =
𝑛2+𝑛 2
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En seguida se invitó a los estudiantes a explicar lo que habían realizado, pero no hubo participaciones, entonces el profesor les planteó la siguiente pregunta: ¿Qué les pareció la actividad? Algunos estudiantes dijeron que al principio un poco difícil pero que al final se dieron cuenta que con todo lo que realizaron les ayudó, porque cuando trabajaron con las figuras les fue más fácil.
Comentario. Se observó que una estudiante utilizó como primera estrategia sumar pares de números que le daban el mismo resultado y posteriormente relacionó esta estrategia, con la segunda forma que sugirió el profesor y esto le facilitó llegar a la solución, algunos no entendieron las indicaciones para la primera parte. Las distintas formas en que se organizó la información les facilitó a los estudiantes resolver la tarea, además se observó que a la mayoría de los estudiantes les resulto más fácil resolver el problema con la sucesión de figuras. Esta tarea les permitió modelar la información de diferente manera y con la sucesión de figuras se les facilitó a los estudiantes identificar un patrón y llegar a la solución.
Algunos estudiantes manifestaron que al inicio de la actividad les pareció un poco difícil pero al ir modelándola de diferentes formas se dieron cuenta que si relacionaban cada una de las estrategias, se les facilitó obtener la solución. A pesar de que se les presentó la información a los estudiantes de diferentes maneras, la actividad tuvo algunas limitaciones porque el profesor no cuestionó a los estudiantes sobre cómo obtener la suma para otros valores particulares que pudieran haberlos apoyado a centrar la atención en las operaciones que realizaban y así lograran generalizar y expresar simbólicamente el resultado.
Estudiante Estrategia Conexiones Observaciones
Elisa Sumó parejas de números que le dieron el mismo resultado.
Transformó una suma en producto.
Tuvo dificultades para resolver el problema cuando se
organizó la
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Alberto Sumó parejas de números pero no se observaron regularidades y eso no le permite simplificar.
No pudo establecer conexiones por la estrategia que utilizó. Manuel Siguió la misma estrategia que
utilizó Alberto.
Observó los valores en la tabla y estableció relaciones entre el producto de los valores consecutivos y el resultado. Identificó patrones en las figuras.
Pudo expresar en forma general la suma de los numero naturales desde 1 hasta n y la probó sustituyendo algunos en n.
Se le facilito llegar a la forma general cuando se le presento la información organizada en sucesiones de figuras.
Luna Realizó la suma termino a término. Al observar a tabla y los valores obtenidos por un compañero propuso una forma general que no fue la correcta pero a partir de ahí pudo deducirla.
De una formula incorrecta dedujo la forma correcta a través de la sustitución de valores y en la formula y calculando resultado.
Llego a la formula general después de
plantear una
conjetura incorrecta.
Conexiones. Lograron transformar una suma en producto además de que algunos estudiantes establecieron relaciones entre las diferentes formas de modelar la información para facilitar la solución de la tarea. Pudieron también relacionar una sucesión figurar con una suma de números naturales consecutivos e identificaron las ventajas de la sucesión figural sobre la tabla como medio para obtener la fórmula general.
ESTUDIANTE ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Elisa Estableció relaciones. Cuando sumó parejas de números que le dieron el mismo resultado, comunicó resultados cuando le explicó al profesor la forma en que resolvió su tarea. Justificó resultados
cuando calculó el número de cuadros que integran la figura seis, sustituyendo valores en su forma general.
Alberto Comunicó sus resultados, cuando explicó cómo obtuvo los valores faltantes en su tabla a todo el grupo. Experimentó cuando agrego (n+1) y (n+2) al final de su tabla y le dio valores de diez y de once a n respectivamente en cada ecuación para calcular los resultados. Estableció relaciones Cuando la información se organizó en figuras integradas por cuadritos y cálculo el número de cuadros para cada figura, sumando los numero de figura de manera consecutiva.
Manuel Experimentó, cuando sumo los números de dos en dos aunque no era lo que la tarea pedía. Estableció relaciones cuando desarrollo la suma de los datos en forma de columna obteniendo un total de ciento diez y dividir entre dos para llegar al valor correcto. Cuando se les presento la información en una sucesión de figuras
Identificó patrones, al realizar más figuras en su cuaderno de las cuales se apoyó para lograr establecer la forma general.
35 4.2. Tarea 2. Sucesiones de figuras.
Observa la sucesión de figuras, completa la tabla y contesta lo que se pide.
Fig.1 Fig.2 Fig.3
No. de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No. de palillo.
No de bolas.
1.- ¿qué relaciones observan entre el número de triángulos que se forman y el número de palillos que los integran?
2.- ahora que ya han comentado las relaciones que existen entre el número de triángulos y el número de palillos que los integran contesten:
¿Si hablamos de la figura “n” cuanto palillos la integran?
Elisa consideró a n igual al número de palillos que integra a cualquier figura ypropuso para la figura uno que n= 3 y entonces le sumó tres y obtuvo seis, a este resultado lo dividió entre dos, y le dio como resultado tres, que es el número de bolas que están en la figura uno, se le preguntó que si el procedimiento también funcionaba para obtener el número de elementos de la figura dos. Elisa realizó las operaciones, supuso que n=4, y sumó cuatro más tres, obtuvo siete y al dividirlo entre dos no obtuvo un número entero y se dio cuenta que la conjetura que había propuesto no era la correcta. [Pero no se dio cuenta que en realidad la figura dos está integrada por cinco palillos y no por cuatro como ella lo propuso] el profesor le pidió observar bien sus operaciones.
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número de palillos en la figura cuatro n valdría 7, entonces el profesor le preguntó ¿para la figura n cuál sería el valor?, como no pudo contestar se le sugirió observar qué relación había entre el número de figuras y el número de palillos y también la relación entre el número de bolas y de número de figura. Después de observar sus figuras y los resultados de la tabla Elisa concluyó que n seria el número de la figura y la forma de calcular el número de palillos que integra la figura n seria sumando dos veces n más uno, [2n+1], posteriormente propuso que la forma general para calcular el número de bolas que están dentro de cualquier figura seria n+2
Alberto sugirió sumar el número de la posición de una figura y el número consecutivo a ésta, y al resultado lo consideró como el número de palillos de la figura más pequeña, de las dos que se estaban sumando. Para obtener el número de palillos de la figura número cuatro sumó cuatro más cinco son nueve [nueve es el número de palillos de la figura cuatro], y así sucesivamente. El profesor le preguntó ¿cuál sería el número de palillos para la figura n? Alberto dijo que si después de la figura 10 esta n entonces la figura n seria diez y la que sigue seria la figura n+1 y entonces el número de palillos seria n+(n+1) a lo que el maestro le preguntó, ¿Así quedaría el resultado? O ¿podrías expresarlo de otra manera? Y el estudiante respondió que también podría ser dos n más uno [2n+1], Alberto comentó que para la calcular el número de bolas de la figura n, seria n+ 2. Con lo anterior pudimos observar que el número de palillos en la figura n es igual a 2n+1 y el número de bolas es n+2.
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profesor le preguntó ¿Cómo representó el número de palillos para la figura n? El estudiante respondió que era n más n más uno, [n+(n+1)] y dijo que para el número de bolas de la figura n, seria n+2.
Se solicitó la participación de algún estudiante más pero no hubo una respuesta favorable. Luna permaneció muy callada durante el desarrollo de la actividad pero al observar su trabajo escrito se pudo identificar que realizó una figura más para poder completar la tabla y responder las preguntas. En el renglón de la tabla correspondiente al número de triangulo, ella agregó el triángulo n para calcular el número de palillos y de bolas respectivamente. En sus notas manifestó que la relación de la primera figura es que se le suma dos palillos y dos bolas al número de figura, [solo para la figura uno] posteriormente escribió que por cada dos palillos aumentaba una bola. Y concluyó que para calcular el número de palillos para la figura n será 2n+ 1 y para calcular el número de bolas será n+2, en donde n representó el número de figura para cada dos caso.
38
Se identificó que el agregar preguntas adicionales a las sucesiones de figuras, les apoya a los estudiantes a observar relaciones e identificar patrones que les permitió establecer conjeturas las cuales pueden comparar y compartir con sus compañero y así resolver el problema.
Estudiante Estrategia Conexiones Observaciones
Elisa
Propuso unas fórmulas que eran incorrectas pero a partir de ellas dedujo las correctas.
Sustituyó valores para demostrar que su forma general propuesta era correcta.
Se le sugirió observar la relación que existía entre el número de figura y el número de palillos y número de bolas. Alberto Identificó relaciones entre el
número de la figura y el número de palillos que contiene.
Utilizó la factorización para expresar la forma general de diferente forma.
Le fue fácil observar relaciones entre las figuras.
Manuel Estableció relaciones entre el número de figura y el número de bolas.
Sustituyó valores para justificar sus resultados.
Después de observar relaciones propuso dos formas de representar la forma general que representa el número de palitos para la figura n
Luna Realizó una figura as para identificar un patrón, estableció relaciones entre el número de palillos y el número de bolas.
Pudo expresar una formula a partir de observar patrones.
Solo realizó el trabajo en su cuaderno.
Conexiones. Los estudiantes emplearon métodos de factorización para llegar a la forma general solicitada, además realizaron sustitución de valores para probar sus resultados. Fueron capaces de realizar generalizaciones de forma verbal y conectar esas generalizaciones con las expresiones simbólicas correspondientes. En esta tarea el uso de una tabla les permitió identificar las regularidades que fueron útiles para solucionar el problema.
ESTUDIANTE ELEMENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Elisa Experimentó, cuando dijo que n era igual al número de palillos que integraba cada figura, pero su conjetura solo se cumplía para la figura uno.
Alberto Estableció relaciones, entre la suma de los números de triángulos y el número de palillos que las integran, a partir de esto estableció las siguientes conjeturas, 2n+1= al número de palillos de la figura n y n+2= al número de bolas que contiene la figura n.
Manuel Experimentó, dándole valores a n de acuerdo al número de figura, comunicó sus resultados mediante ejemplos en los cuales les dio valores a n de acuerdo al número de figura.
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4.3. Tarea 3. Cuadros que atraviesa una diagonal en una cuadrícula de n x m.
En un rectángulo formado por cuadrados ¿cuantos cuadrados cortara una diagonal trazada entre dos de sus vértices cuando hablamos de un rectángulo de n x m cuadritos? Para este problema se sugirió a los estudiantes realizar rectángulos de diferentes medidas formados por cuadros de uno por uno y que trazaran la diagonal entre dos de sus vértices para que observaran y analizaran casos particulares como un medio para obtener un resultado general para una cuadrícula de n x m.
Elisa explicó que ella había realizado rectángulos de diferentes medidas, y observó, que para calcular el número de cuadros de un rectángulo de base par, sumó la base más altura y al resultado le restó dos; Y en los de base impar, sumó la base más la altura y al resultado le resto solo uno y así calculo el número de cuadros que corta la diagonal en un rectángulo de base impar, para justificar su afirmación propuso como ejemplo un rectángulo de base par con las siguientes medidas, altura dos y de base cuatro, en donde la suma de la base más la altura da como resultado seis, le restó dos y obtuvo cuatro y este fue el número de cuadros que corto la diagonal. Después utilizó un rectángulo de base impar con medidas de base cinco y de altura dos que al sumarlas obtuvo siete menos uno el resultado fue seis, siendo este el número de cuadros que corta la diagonal de un rectángulo de base cinco y altura dos.
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comprobación no le resulto correcto para todas las figuras entonces se le pidió seguir trabajando y de ser posible construir más figuras para poder establecer la respuesta correcta. Alberto dibujó diversos casos particulares, a partir de los cuales estableció que hay dos formas generales de responder el problema, una para cuando la base y la altura son números pares, para este caso dijo que en un rectángulo de n por m, la forma general es [𝑛.𝑚
2 ] y la prueba para
un rectángulo de dos por ocho, (2)(8)
2 = 8 siendo ocho el número de cuadros que corta la
diagonal, y para cuando la base y la altura son impares, el número de cuadros que cortara una diagonal para un rectángulo de (n) (m) seria 𝑛.𝑚
2 + 1, y probo para un rectángulo de (2) (3), (2).(3)
2 + 1 = 4 , siendo cuatro el número de cuadros que corta la diagonal.
Se le pregunto si esas formas generales que propuso, pueden ser utilizadas para cualquier
rectángulo sin importar la medida de la base y la altura, a lo que respondió que dependiendo la altura será el número entre que se divida y a el número entre que se divida se le irá restando uno, para sumarlo al resultado de la división, dio un ejemplo de figuras con lados impares, si es de altura tres y de largo cinco, seria tres por cinco igual a quince, entre tres, seria cinco, más dos obtuvo siete. (3).(5)
3 + 2 = 7, y siete es el número de cuadros que corta la diagonal
dentro de un rectángulo de tres por cinco, y se le volvió a preguntar ¿cómo sería la fórmula para el de altura cuatro?, y explicó que cambiaría la división, seria entre cuatro y en lugar de sumar dos, le sumaria tres, posteriormente se le pido respondiera ¿Cuál sería la fórmula para un rectángulo de (n) (m)?
41
el objetivo de que los estudiantes compartan sus ideas y solucionen el problema] la mayoría de las aportaciones que hicieron contribuyeron a que quisieran encontrar la forma general de manera grupal. Uno de los estudiantes propuso, que para cuando m y n son múltiplos la formula podría ser [n+m-n] o solo m. al observar la formula los estudiantes manifestaron estar de acuerdo por lo que se les preguntó, ¿cómo podrían expresarlo para las siguientes figuras? [Se dibujó lo siguiente en el pizarrón]
Comentaron que podría ser la suma n + n igual a m en el caso de la segunda figura cuando n=2 y m=4, dijo que sería 2+2=4 y como m=4, lo mismo podría ser para otras figuras que sean similares como estas [se refirió a las figuras que puso el profesor] Alberto manifestó no estar de acuerdo y explicó su razón con un contraejemplo, dijo que para una figura de altura dos y de largo seis y otra figura de altura seis y de largo dos, no se cumple porque si n= 2, [n+n] sería [2+2=4] no daría seis y explicó que de acuerdo a lo que ya habían comentado los compañeros, el concluyó que en un rectángulo de n por m el número de cuadros que cortara una de sus diagonales será igual al lado más largo de la figura si m y n son múltiplos.
