TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO

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TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO

El estudio del Análisis Vectorial se remonta al siglo XVII, cuando el ingeniero holandés Steven (1548-1620), formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, del que se derivó el triángulo de fuerzas y cualquier polígono de fuerzas. Posteriormente se vio que todos

estos principios eran aplicables a magnitudes representadas mediante A AB, 

 

 

  vectores, y que la resultante no era más que la suma de vectores.

1. VECTORES EN EL PLANO

Características de un vector. 2. OPERACIONES CON VECTORES

Suma de vectores de forma gráfica y analítica. Diferencia de vectores de forma gráfica y analítica. Propiedades de la suma de vectores.

Producto de un nº real por un vector.

Propiedades del producto de un nº real por un vector.

3. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL PLANO 4. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES DEL PLANO

5. PROYECCIONES. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR 6. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. EXPRESIÓN CARTESIANA

7. APLICACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR: ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES 8. CRITERIO DE ORTOGONALIDAD

INTRODUCCIÓN

Hay magnitudes que no quedan definidas con sólo un número, sino que requieren además otro tipo de información para quedar completamente determinadas.

Estas magnitudes, denominadas magnitudes vectoriales, como la velocidad, la aceleración…exigen además, una dirección y un sentido para quedar plenamente definidas.

Ante las necesidades que surgen en el estudio de las magnitudes mencionadas, aparece el concepto de vector.

Con el Cálculo Vectorial iniciamos otra parte muy importante de la Geometría: la Geometría Analítica.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

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Geometría Analítica

2 1. VECTORES EN EL PLANO

Supongamos que realizamos un desplazamiento (del tipo derecha-izquierda y arriba-abajo) desde el punto A=(1,3) al punto B=(4,7). independientemente de la trayectoria seguida nos hemos trasladado “3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba”

La traslación se representa geométricamente por un segmento orientado, AB, al que llamamos vector.

Se denomina vector fijo a un par de puntos del plano dados en un cierto orden. El

primer punto es el origen y el segundo es el extremo y se denota AB.

En el ejemplo, los números (3,4) indican la traslación horizontal y vertical, respectivamente. Este par de números reciben el nombre de coordenadas cartesianas del vector AB coordenadas del vector ABBA

     

4,7 1,3  3,4

Las coordenadas de un vector PQ se hallan restando las coordenadas del punto extremo

y el punto origen PQQP

“Las coordenadas de un punto, A indican posición”

“Las coordenadas de un vector, AB, indican traslación”

Ejemplo: El vector PQ, de coordenadas (-2,5), representa una traslación con origen en P(4,-3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto Q?

4,3

 

 2,5

(2,2) 

    

Q P Q P PQ Q PQ

Observa el significado del signo de las coordenadas de un vector

Positiva (>0) Negativa (<0)

1ª Coordenada Traslación a la derecha Traslación a la izquierda

2ª Coordenada Traslación hacia arriba Traslación hacia abajo

A

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3 Imaginemos ahora una bandada de aves que se han trasladado conjuntamente desde los puntos A1, A2, A3… hasta los puntos B1, B2, B3…, respectivamente.

A1(1,1) B1(4,5)

Independientemente de sus puntos de origen y destino, todas las aves han realizado la misma

traslación

 

3,4

1 1BA

A2(1,-1) B2(4,3) A2B2

 

3,4

A3(-2,2) B3(1,6) A3B3 

 

3,4

. . .

. . .

. . .

Los vectores A B1 1, A B2 2, A B3 3,…, que tienen todos las mismas coordenadas, se dicen

equipolentes. Podemos decir entonces que la bandada ha realizado una traslación de vector v(3, 4), sin especificar los puntos de origen ni destino de ninguna de las aves que la componen. Tal vector, que indica simplemente una traslación sin puntos de origen o destino específicos, se denomina vector libre.

Un vector libre se representa igualmente por un segmento orientado, con origen en cualquier punto del plano.

Un vector que sí posee origen y destino específicos se denomina vector fijo.

Ejemplo: Un romboide tiene 3 vértices de coordenadas A(3,4), B(1,1) y C(7,0).Halla las coordenadas del 4º vértice, sabiendo que se encuentra situado en el primer cuadrante.

El vector AD tiene que tener las mismas coordenadas que el vector BC, puesto que ambas traslaciones son equipolentes. Designemos dicha traslación por el vector libre v.

) 1 , 6 ( ) 1 , 1 ( ) 0 , 7

(   

   BC C B v

) 3 , 9 ( ) 1 , 6 ( ) 4 , 3

(   

       

AD D A D A AD A v

v

v

v v

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Geometría Analítica

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CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR LIBRE

1. Dirección: indicada por la recta en la que el vector se apoya, o por cualquiera de sus paralelas. AB ||CD

2. Sentido: el indicado por la punta de flecha.

3. Módulo: es la longitud del segmento que determina o distancia entre el origen y el extremo, se denota por AB

Se calcula a partir de sus coordenadas mediante el teorema de Pitágoras. El módulo del vector vse indica por el símbolo

v

. Por ejemplo, el módulo de v(3,4) es

5 25 4

32 2  

v

Nota: Estas tres características determinan completamente el vector libre, es decir, conociendo las 3 podemos representar el vector sin posibilidad de confundirlo con ningún otro. Para determinar un vector fijo es necesaria una cuarta característica: El punto origen, llamado también punto de aplicación.

Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes AB CDsi tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo:

       

  

 

 

 

 

CD AB

CD AB

CD AB

CD AB

||

Al conjunto de todos los vectores equipolentes entre si se les denomina “vector libre”.

A

B

C

D

A

B

C

D

E

F AB = a

A

B

r

D

C s

A

B B

A

r

C

D

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5 Una forma alternativa de determinar gráficamente un vector es

la siguiente:

 Dar el ángulo, α, que forma con el semieje positivo de las x. Este ángulo se denomina argumento del vector, y determina su dirección y su sentido.

 Dar el módulo, R, del vector.

Ejemplo: Representa gráficamente el vector, v, de módulo R = 2 y argumento α = 30º. Abreviadamente lo escribimos v230º

2. OPERACIONES CON VECTORES

Denominaremos por 2

V al conjunto de vectores libres del plano.

SUMA DE VECTORES DE FORMA GRÁFICA

Recordamos que todo vector libre puede desplazarse libremente por el plano. A la hora de operar situaremos el punto de aplicación de un vector donde más nos convenga.

Método 1: Concatenación

Cada vector indica una traslación. Sumarlos es calcular la traslación total.

Los vectores se encadenan: el origen del 2º coincide con el extremo del 1º

El vector suma se obtiene uniendo el origen del 1º con el extremo del 2º

Método 2: Paralelogramo

Obtendremos el mismo vector suma por un procedimiento distinto

Los vectores se llevan a origen común

Por el extremo de cada vector se traza una paralela al otro vector, formándose un paralelogramo

El vector suma es el “vector

diagonal mayor” del paralelogramo

SUMA DE VECTORES DE FORMA ANALÍTICA

w v

w v

w v w

v w

v

w

v w

v

v vw

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Geometría Analítica

6 Si v

v v1, 2

y w

w w1, 2

entonces v w

v1w v1, 2w2

.

DIFERENCIA DE VECTORES DE FORMA GRÁFICA

Un método es el siguiente:

Si no lo están ya, llevamos los vectores a origen común

w

v = “de w voy a v

DIFERENCIA DE VECTORES DE FORMA ANALÍTICA

Si v

v v1, 2

y w

w w1, 2

entonces v w

v1w v1, 2w2

.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

1. Es una operación interna: 2 2

,b V a b V

a    

    

2. Conmutativa: a,bV2 abba

3. Asociativa: a b c V

 

a b c a

 

b c                2 , ,

4. Elemento neutro: 2 2

0 0

,

0 V AAa aaV

              

5. Elemento simétrico:

0 ) ( 0 ) ( / , 2

2       

                

a ABV a BAV a a a a

Por cumplir todas estas propiedades diremos que

 

V2, tiene estructura de GRUPO ABELIANO.

PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UN VECTOR

Sea el vector libre a y el nº real  , el vector  a es el que tiene: : || 0 : 0 : 1 1

dirección a a

si a a

sentido

si a a

a módulo a a

si se produce una dilatación

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7

Ejemplo: Si v

 

1,4 , t = 3 entonces 3v3

 

1,4 (3,12)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UN VECTOR

Sea

2

, ,

V  y consideremos el cuerpo de los números reales

R,,

.

Las siguientes propiedades relacionan la suma de vectores con el producto de un número real por un vector definido anteriormente.

1. Es una ley externa: 2 2

,

R a V a V

 

     

2. Distributiva respecto de la suma de vectores:

2

, ,

R a b V a b a b

   

      

3. Distributiva respecto de la suma de números reales:

2

, R, a V a a a

     

      

4. Asociativa mixta del producto:

2

, R, a V a a

     

     

5. Neutralidad de la ley externa : 2

1  R, a V 1 aa

RESUMIENDO: el conjunto de vectores del plano V2 con las operaciones suma de vectores “+” y producto de un nº real por un vector “verifica:

 

2

2 , es GRUPO ABELIANO

, , V

V

Las propiedades que relacionan la ley interna " +" con la ley externa " •"

 

 



Por cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que:

El conjunto de vectores del plano con las operaciones definidas

2

, , ,

VR tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL SOBRE EL CUERPO R

3. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL PLANO Dos vectores con distinta dirección

 

u u1, 2

 

se dice que

forman una base del conjunto de vectores V2 del plano, ya que cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

Si además son perpendiculares y tienen de módulo la unidad se dirá que forman una base ortonormal.

{ ⃗ ⃗ } | ⃗ | | ⃗ | ⃗ ⃗

O

2 u

1 u

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Geometría Analítica

8 Fijada la base B

 

u u1, 2

 

 cualquier vector x

del plano se puede poner como

combinación lineal de los elementos de la base, esto es, existirán dos únicos nº  y

que se denominan escalares, de modo que xu1  u2

  

  , a la pareja

 ,

se le

denomina COORDENADAS DEL VECTOR x

EN LA BASE B.

LAS COORDENADAS DE UN VECTOR CAMBIAN SI SE CAMBIA LA BASE, PERO UNA VEZ FIJADA LA BASE LAS COORDENADAS DEL VECTOR SON ÚNICAS.

4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEL PLANO El producto escalar de dos vectores es un número, que mide conjuntamente su tamaño y su grado de paralelismo.

Se define mediante v w v wcos

 

Observa que el signo del producto escalar de dos vectores está relacionado con el tipo de ángulo que forman

0º<  < 90º (agudo) cos

 

 >0 vw0

 = 90º (recto) cos

 

 =0 vw0

90º<< 180º (obtuso) cos

 

 <0 vw0

5. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR PROYECCIONES

v

u

v u proy v

u

v

u

v

w

(9)

9 A la vista de la figura,

u v

proy es el cateto adyacente al ángulo en un triángulo

rectángulo de hipotenusa

v

. Por tanto, usando trigonometría: proyv v cos

 

u

 

Esta fórmula “se parece” a la del producto escalar. De hecho, si la multiplicamos por u

obtenemos

 

 

cos

cos u v

v v

u proy u v proy

u

u u

 

      , es decir

v

u

v

v

proy

u

v

u

proy

u

u

u

Esto es, el producto escalar de dos vectores u y v es igual al módulo de uno de ellos multiplicado por la proyección del otro sobre él.

Sean v y u dos vectores, situados en un origen común.

Trazamos la recta de apoyo de u

y situamos un foco en la vertical a esa recta que pasa por el extremo de v

Solo un segmento de la recta queda “en sombra”. La

proyección de v sobreu es la

longitud de ese segmento, con signo positivo si está del lado al que apunta u, y negativo en caso contrario.

0  u v

proy 0

u v

proy 0

u v proy

v

u v

u

v u proy v

u

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Geometría Analítica

10 6. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. FÓRMULA PARA LA EXPRESIÓN

CARTESIANA

El producto escalar de dos vectores u y v tiene de las siguientes propiedades:  Conmutativa: vwwv

 Asociativa respecto de escalares: k v w

   

  k v   w v

 

k w

 Distributiva respecto de la suma de vectores : u

 

vwuvuw

La propiedad distributiva nos da un método muy fácil para multiplicar escalarmente vectores dados en forma cartesiana.

Ejemplo:

1 2

2 3

v u u

 

  w 5u1 7u2

 

 

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

5 7 5 7 2 3 5 2 3 7

2 5 3 5 2 7 3 7 2 5 3 5 2 7 3 7

v w v u u v u v u u u u u u u

u u u u u u u u u u u u u u u u

         

               

     

        

     

                   

Observemos los valores de los productos escalares cuando se toma una base ortonormal: { ⃗⃗ ⃗⃗ } | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | ⃗⃗ ⃗⃗

 

1 1 1 1 cos 0º 1 1 1 1

u u u u

   

       u2 u2 u2 u2 cos 0º

 

1 1 1 1

   

      

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ || ⃗⃗ | ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ || ⃗⃗ | ( )

Así que el producto escalar anterior queda:

2 13 2

 

5 17 2

2537152136 

w u u u u

v

En definitiva el producto escalar consiste simplemente en sumar el producto de las coordenadas horizontales con el producto de las coordenadas verticales pero CUANDO SE CONSIDERA UNA BASE ORTONORMAL { ⃗⃗ ⃗⃗ } | ⃗⃗ | | ⃗⃗ | ⃗⃗ ⃗⃗

Fórmula del producto escalar para la expresión cartesiana de los vectores:

Si v v u v u1 1 2 2

 

 y w w u w u1 1 2 2

 

 , o lo que es igual, v

v v1, 2

y w

w w1, 2

entonces v w v w1. 2v w1. 2

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11 7. APLICACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR AL CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS

VECTORES

A partir de las dos fórmulas para el producto escalar:

 

cos

v w v w  v wv w11v w22

Si las igualamos:

cos

 

1 1 2 2

cos

 

1 1 2 2

v w v w

v w

v w

v w

 

v w

 

   

 

La última expresión permite calcular el ángulo entre dos vectores expresados en forma cartesiana.

Ejemplo: Calcular el ángulo formado por v(2,5) y w(7,4).

 

 

2.7 5.4 6 6

2 29 65 29 65

2 2 2

2 5 7 4

1 1 2 2 97,94º

cos arccos

262, 05º

v w v w v w

   

   

  

  

   

El primer valor es el que da la calculadora. El segundo valor es su simétrico en el tercer cuadrante, en el que el coseno también es negativo.

De los dos valores, el primero es el válido ya que debe ser 0º< < 180º.

8. CRITERIO DE ORTOGONALIDAD DE VECTORES

“Dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar es nulo”

 

90º cos 0 0

v  w     v w

Ejemplo: ¿Son los vectores v(1,7) y w(11,2)perpendiculares?.

No lo son porque vw(1,7)(11,2)111430

Ejemplo: Encontrar las coordenadas de un vector ortogonal a v(3,2)

Hay infinitas respuestas posibles. La más sencilla consiste en

cambiar las coordenadas de v de orden, y una cualquiera de ellas de signo” Obtenemos nv (2,3), ó bien, nv (2,3)

Los vectores v y nvson perpendiculares, puesto que vw3.22.(3)0.

Además v y el vector nv tienen el mismo módulo.

 

 

2 2 2

2 2 2

3 2 3

2 2

3       

A este vector,nv, se le denomina vector normal a v.

 Gráficamente se observa que v y nv son los “vectores diagonal” de dos rectángulos girados 90°uno respecto a otro.

 Observa en la figura que si v y wforman un ángulo , entonces v y nw forman el ángulo complementario a , es decir 90° - .

w

w

n

Figure

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Referencias

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