PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD
Julián Alfaro Sáez
23 de mayo de 2006
Índice
1. INTRODUCCIÓN 1
1.1. Problemas de las transformaciones de Galileo a altas velocidades . . . 2
1.2. Problemas de las transformaciones de Galileo con los fenómenos electromagnéticos . . . 2
2. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL. ECUACIONES DE LORENTZ-EINSTEIN 2 3. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS 6 3.1. Transformación de una longitud . . . 6
3.2. Transformación de un intervalo temporal . . . 7
3.3. Transformación de una velocidad . . . 7
3.4. Transformación de una masa . . . 8
4. SIMULTANEIDAD 10 5. EL PRINCIPIO DE CAUSALIDAD 11 6. ENERGÍA CINÉTICA RELATIVISTA Y ENERGÍA TOTAL 12 7. INVARIANZA DE LAS LEYES FÍSICAS EN LA TEORÍA RELATIVISTA 13 7.1. Leyes del movimiento de Newton . . . 13
7.2. Leyes de la teoría electromagnética de MAXWELL . . . 14
1. INTRODUCCIÓN
La formulación de las leyes fundamentales de la Mecánica Clásica se basa en la hipótesis de que los fenómenos físicos tienen lugar en un espacio euclídeo de tres dimensiones. También se presupone que dichos fenómenos pueden ordenarse en el contínuo de una sola dimensión de la varible tiempo. El tiempo no solo se considera independiente del espacio y sus coordenadas cartesianas (x,y,z), sino también del posible movimiento de los sistemas de referencia en los que se realize la observación. La masa de los cuerpos también se la supone independiente del movimiento de los sistemas de referencia y en general se plantea la invarianza con respecto al grupo de transformaciones de Galileo.
Si (O1,x1,y1, z1) es un sistema coordenado jo, y (O2,x2,y2,z2) es un sistema que se mueve con respecto
del anterior con una velocidad v (vx,vy,vz) las ecuaciones de TRANSFORMACIÓN DE GALILEO nos relacionan las coordenadas de los puntos del espacio en un sistema y otro
x1 = x2+vxt
y1 = y2+vyt
z1 = z2+vzt
(1)
Como la variable tiempo es idéntica en un sistema y otro, se pueden derivar estas transformaciones con respecto a ella. Con la 1aderivada obtenemos la velocidad y con la 2a la aceleración
vx1 = vx2+vx
vy1 = vy2+vy
vz1 = vz2+vz
ax1 = ax2
ay1 = ay2
Debido al caracter lineal de las ecuaciones (1) es obvio que las aceleraciones de una partícula referidas a ambos sistemas son iguales. En otras palabras, la Segunda Ley de la Dinámica de Newton es invariante con respecto a las transformaciones de Galileo.
En el caso de las velocidades se advierte que no son iguales en ambos sistemas, sino que hay que sumar la velocidad relativa. Puede armarse que toda ley física que dependa de la velocidad relativa con respecto a un sistema de referencia primario no será, en principio, invariante. Por esta razón las leyes de la electrodinámica y de la óptica no son invariantes respecto de las transformaciones de Galileo, ya que dependen de la velocidad de las partículas y de la luz.
Además de estos problemas de índole matemática, se pueden enumerar una serie de hechos y experiencias que nos sugieren la necesidad de introducir unas transformaciones distintas a las de Galileo:
1.1. Problemas de las transformaciones de Galileo a altas velocidades
1. Las velocidades de las partículas nunca son mayores que la de la luz en el vacio c. Se encuentra experimentalmente que la velocidad de una partícula no cerece indenidamente al aumentar su energía, sino que tiende asintóticamente a c.
2. La composición de velocidades de Galileo no es aplicable en las reacciones nucleares, donde las partículas poseen velocidades cercanas a la de la luz. En esta situaciones la velocidad resultante es siempre menor que v+V y nunca mayor que c
3. La dilatación temporal. Se ha observado que para mesones de alta energía de la rediación cósmica, el tiempo transcurre unas nueve veces mas lento que en el laboratorio, luego la medida del tiempo no es la misma en todos los sistemas inerciales
1.2. Problemas de las transformaciones de Galileo con los fenómenos
electro-magnéticos
1. Los experimentos de Michelson-Morley, de Jaseva-Murray-Jones y otros. Todos ellos han tra-tado de determinar los efectos de la velocidad orbital de la Tierra sobre la velocidad de propagación de la ondas luminosas. Si existiese un sistema de referencia absoluto jo, se podría esperar se moviera con respecto a el con velocidad constante c, y por tanto se podría determinar la velocidad orbital de la Tierra. En todos estos experimentos no se ha observado efecto alguno sobre la velocidad de la luz que siempre es constante en cualquier sistema que efectuemos la medida
2. El experimento de Trouton-Noble: si existe un sistema de referencia absoluto jo dos cargas estáticas en la Tierra se moverían con respecto a él, de manera que además de la fuerza electrostática, debiera existir una fuerza magnética. En la experiencia de Trouton-Noble no se observó tal fuerza
2. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL.
ECUA-CIONES DE LORENTZ-EINSTEIN
Lorentz desarrolló unas ecuaciones de transformación que expresaban la dependencia de las dimensiones lineales de un cuerpo y su velocidad relativa con respecto a un sistema inercial primario, para evitar los problemas en los cambios de coordenadas. Una parte considerable de la relatividad fué expuesta por este cientíco en 1904, pero hay que tener en cuenta que consideraba real la existencia del sistema primario en reposo y el éter como medio elástico donde se propagan las ondas electromagnéticas.
En 1905 Albert Einstein consiguió explicar dichas ecuaciones sin recurrir a la existencia del éter. Propuso dos postulados, uno de ellos expresa la invarianza formal de las leyes físicas y el otro resume el resultado de ciertos experimentos en la determinación de la velocidad de la luz.
Estos postulados son los PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL y pueden enunciarse como sigue:
1er POSTULADO
Es físicamente imposible detectar el movimiento uniforme de un sistema de referencia mediante obser-vaciones realizadas totalmente dentro del sistema
2o POSTULADO
La velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor constante en todos los sistemas inerciales
A partir de estos postulados se pueden obtener las ecuaciones de transformación buscadas, y que como veremos coinciden con las de Lorentz.
En el marco geométrico de la mecánica clásica la distancia entre dos puntos de coordenadas(xa, ya, za) y(xb, yb, zb)es invariante, es decir, la distancia entre los puntos es la misma en ambos sistemas inerciales es
rab2 = (xa1−xb1) 2
+ (ya1−yb1) 2
+ (za1−zb1) 2
= (xa1−xb1) 2
+ (ya1−yb1) 2
+ (za1−zb1) 2
Siendo el tiempo una magnitud independiente del sistema de referencia y que no interviene en la distancia entre los puntos. En el marco de la Teoría de la Relatividad ambas magnitudes no son invariantes y debemos buscar una magnitud correspondiente al tiempo que sea invariante.
Para esto imagemos dos sistemas inerciale y en el momento que sus orígenes coinciden se emite un destello de luz desde este origen común. Por el 2o Postulado la luz se propaga en ambos sistemas a la
misma velocidad c y por tanto
x2
1+y12+z21
t2 1
= x22+y22+z22 = c2
La luz llega a(x1, y1, z1)en el instantet1y al punto (x2, y2, z2)en el instantet2, y se obtiene que
x12+y12+z12−c2t21 = x22+y22+z22−c2t22 = 0 (2)
De esta manera las magnitudes espaciales y el tiempo, relacionados según la ecuación (2) , son in-variantes en ambos sistemas de referencia. Al igual que en la Mecánica Clásica la distancia espacial entre dos puntos es invariante, en la Teoría de la Relatividad se puede denir un espacio de cuatro dimensiones donde el tiempo está en igualdad con las variables espaciales donde las distancias también se conservan invariantes. Este es un espacio de MINKOWSKY en el que un punto viene dado por el tetravector
(x, y, z, ict) donde i=√−1
Al ser el tiempo una coordenada más del espacio-tiempo relativista las ecuaciones de transformación deberán incluirlo y por tanto las ecuaciones de transformación generales deberán ser
x1 = Axxx2 + Axyy2 + Axzz2 + Axtt2
y1 = Ayxx2 + Ayyy2 + Ayzz2 + Aytt2
z1 = Azxx2 + Azyy2 + Azzz2 + Aztt2
t1 = Atxx2 + Atyy2 + Atzz2 + Attt2
(3)
x1
y1
z1
t1
=
Axx Axy Axz Axt
Ayx Ayy Ayz Ayt
Azx Azy Azz Azt
Atx Aty Atz Att
x2
y2
z2
t2
En estas ecuaciones los subíndices 1 se reeren al 1ersistema y los subíndices 2 al 2o sistema
Las ecuaciones de transformación son lineales debido a que por el 2oPostulado la 2aLey de la Dinámica
mas que calcular la velocidad del origen del 2o sistema, cuyas coordenadas sonx2= 0, y2= 0, z2= 0
, y las ecuaciones (3) serán
x1 = Axtt2
y1 = Aytt2
z1 = Aztt2
t1 = Attt2
dx1
dt1
= Axt
Axt
=cte , dx1 dt1
= Axt
Axt
=cte , dx1 dt1
=Axt
Axt
=cte
Lo mismo se puede hacer con los planos cooerdenados y ver que su velocidad también es constante. Por todo esto concluimos que la la ecuación de transformación (3) es la que buscamos y de hecho nos resta obtener el valor de los coecientes constantesAij
Para su obtención vamos a suponer que el primer sistema está jo y que el segundo se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v. Con este método no se pierde generalidad y de paso facilita los cálculos a realizar.
En la gura (1) se observan los sistemas de referencia y ayudan a advertir que las ecuaciones (3) se
convierten en
x1 = Axxx2+Axtt2
y1 = y2
z1 = z2
t1 = Atxx2+Attt2
(4)
Supongamos ahora que desde el punto P(x1, y1, z1)se lanza un rayo de luz. La distanciadσque recorre
dicho rayo en el espacio tetradimesional es invariante de bido al 2o Postulado, con lo cualdσ2
1 = dσ22
y
dx2
1+dy12+dz12−c2dt21 = dx22+dy22+dz22−c2dt22 (5)
Diferenciando las transformaciones (4) y sustituyendo en la ecuación (5) se obtiene
dx22 A2xx−A2txc2+dy22+dz22−c2
A2tt+A
2
xt
c2
dt22+dx2dt2 2AxxAxt−c22AtxAtt
=
= dx22+dy22+dz22−c2dt22
De donde podemos deducir que
A2xx−A2txc2= 1
A2tt+
A2
xt
c2 = 1
Y despejando los valores de las constantes en función deAxt, a la que desde ahora llamaremos
simple-menteA
Axx=Att= r
1 + A
2
xt
c2 =
r
1 +A
2
c2
Atx=
Axt
c2 =
A c2
Sustituimos ahora los valores de estas constantes en las ecuaciones (4) con lo que se transforman en
x1 =
r
1 +A2
c2 x2+At2
y1 = y2
z1 = z2
t1 = A
c2 x2+
r
1 + A2
c2 t2
La velocidad relativa v entre los sistemas se puede obtener a partir de la velocidad de el origen de coordenadas del sistema 2 , para el quex2= 0, y2= 0, z2= 0, y las ecuaciones anteriores son
x1 = 0 +At2
y1 = 0
z1 = 0
t1 = 0 +
r
1 + A2
c2 t2
la velocidad relativa será
v= dx1
dt1
= r A 1 + A2
c2
y f inalmente el valor de A es A= r v 1−v2
c2
Sustituyendo el valor de A en las ecuaciones (4) se obtienen las ecuaciones de transformación buscadas
x1=
s
1 + v2
c21−v2 c2
x2 +
v
r
1−v2 c2
t2
y1= y2
z1= z2
t1= v
c2
r
1−v2 c2
x2+
s
1 + v2
c21−v2
c2
t2
Que se pueden simplicar de la siguiente forma
x1= r 1
1−v2 c2
(x2+vt2)
y1= y2
z1= z2
t1= r 1
1−v2 c2
t2+ v
c2 x2
Si nalmente llamamos γ=r 1 1−v2
c2
(Obsrvese que siempre γ >1)obtenemos las
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ-EINSTEIN
x1= γ (x2+vt2)
y1= y2
z1= z2
t1= γ
t2+ v
c2 x2
x2= γ (x1−vt1)
y2= y1
z2= z1
t2= γ
t1− v
c2x1
Estas son las ecuaciones que se deben aplicar suponiendo ciertos los postulados de la Relatividad Especial de EINSTEIN y, como se puede comprobar, coinciden con las ecuaciones que LORENTZ propuso en el año 1904 basándose en la existencia del eter como soporte elástico de las vibraciones y ondas electromagnéticas. Estas transformaciones explican los fenómenos y experiencias que no tienen cabida en la Mecánica Clásica y se pueden destacar en ellas una serie de características:
a) La Transformación de LORENTZ-EINSTEIN se reduce a la de GALILEO si la velocidad de la luz c fuese innita
b) La velocidad relativa v entre losdos sistemas no puede ser mayor que c, pues en ese caso x, y, z, t toman valores imaginarios en uno u otro sistema de referencia
c) Tenemos solo cuatro ecuaciones independientes, ya que la columna de la derecha se puede deducir de la de la izquierda y viceversa, como se puede comprobar de forma sencilla d) La columna de la derecha es semejante a la de la izquierda sin mas que intercambiar los
subíndices 1 y 2 y -v por +v
Estas dos últimas características son generales para cualquier magnitud (velocidad, masa, etc) y no solo para las coordenadas y el tiempo. Por tanto se podrán aplicar las dos reglas siguientes:
1. La medida de una magnitud en un sistema, expresada en función de su medida en el otro, y su relación inversa son equivalentes
2. Si una magnitud en un sistema se conoce en función de su valor en otro sistema, la relación inversa se obtiene cambiando los subíndices 1 y 2 y el signo de la velocidad relativa v
La Transformación de LORENTZ-EINSTEIN nos prorporciona el modo de pasar las coordenadas espaciales y el tiempo de un sistema inercial a otro. A continuación vamos a deducir a partir de ellas las ecuaciones de transformación de otras magnitudes.
3. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS
3.1. Transformación de una longitud
Supongamos un segmentoL en el sistema 2 (móvil) cuya longitud espacial es L2 (4x2,4y2,4z2) =
h
x02−x2
,y20 −y2
,z20 −z2
i
, como se indica en la gura 2. Este segmento está moviéndose junto al sistema 2 y con respecto a un observador situado allí estaría en reposo, es decir, el sistema 2 es es el sistema "propio" del segmento.
Según las transformaciones de LORENTZ-EINSTEIN que hemos estudiado en la sección anterior
x02=γx01−vt1
Con lo cual tenemos que
4x2= x
0
2−x2= γ
x01−x1
= γ4x1
4y2= 4y1
4z2= 4z2
De ahí se deduce que un observador situado en el sistema 1 mediria un segmento cuyas longitudes referidas a los ejes serían
L1 (4x1, 4y1,4z1) = L1
4x2
γ ,4y2,4z2
Es decir, que dicho segmento para el observador en el sistema 1 tiene la misma longitud en las direcciones perpendiculares al movimiento relativo que para el observador situado en el sistema 2. Pero en la dirección del movimiento, la longitud que observa diere en un factor 1/γ con respecto a lo que se observa en el
sistema propio 2.
Al ser 1/γ < 1 se tiene que en el sistema 1 existe una reducción de la longitud en la dirección del
movimiento, es decir, en el eje X.
La longitud propia de un objeto, medida en una cierta dirección, es siempre MAYOR que la misma longitud medida en un sistema de referencia que se mueve en esa dirección particular
3.2. Transformación de un intervalo temporal
Imaginemos ahora que el observador en el sistema 2 mide la duración de un suceso que se produce en un punto jo de su sistema (x2, y2, z2)y que transcurre desde el instantet2hasta elt
0
2.
La duración será pués4t2=t
0
2−t2, de manera que aplicando la transformación temporal de
LORENTZ-EINSTEIN
4t2=t
0
2−t2=γ
t01− v c2x
0
1
−γt1−
v c2x1
=γ4t1−
v c2 4x1
La distancia que recorre el punto donde se produce el suceso (jo para el sistema 2) es en el sitema 1
4x1=v4t1 y por lo tanto
4t2=γ
4t1−
v c2 v4t1
=γ4t1
1−v
2
c2
=γ4t1 γ2 =
4t1
γ
Finalmente obtenemos que
4t1=γ4t2
Es decir, la duración del fenómeno medida en el sistema 1 (jo) diere de la experimentada en el sistema propio 2 (móvil) en un factorγ, y comoγ >1 , se deduce que el fenómeno dura más cuando se mide en ese
sistema
La duración de un fenómeno en un sistema propio es siempre MENOR que la duración del mismo fenómeno medida por un observador en movimiento
3.3. Transformación de una velocidad
En este apartado vamos a obtener las ecuaciones de transformación de una velocidad. Si consideramos un objeto que se mueve de manera que un observador situado en el sistema propio 2 mide una velocidad
v2 (v2x, v2y, v2z), en el sistema 1 otro observador obtendrá una velocidad diferente v1 (v1x, v1y, v1z). En primer lugar analizaremos la situación en el eje X y después para las dos direcciones espaciales restantes.
La velocidadv1xes por denición dxdt1
1 , y en el otro sistemav2x=
dx2
dt2, con los cual tenemos que
v1x=
dx1
dt1
= dx1
dt2
dt2
dt1
dx1
dt2 =
d
dt2[γ(x2+vt2)] =γ(v2x+v)
dt2
dt1 =
d dt1
h
γt1− v
c2x1
i
=γ1− v c2v1x
v1x=γ2(v2x+v)
1− v c2v1x
Despejando el valor de la velocidad del objeto en el eje X se obtienen las ecuaciones de transformación buscadas
v1x=
v2x+v
1 +v2xv
c2
v2x=
v1x−v
1−v1xv
c2
En el eje Y la componente de la velocidad del objeto es
v1y=
dy1
dt1
= dy1
dt2 dt2 dt1 dy1
dt2 =
dy2
dt2 =v2y
dt2
dt1 =γ
1− v c2v1x
v1y=v2yγ
1− v c2v1x
Y nalmente las ecuaciones de transformación para el eje Y son
v1y=
v2y
γ1 +v2xv
c2
v2y=
v1y
γ1−v1xv
c2
Con el eje Z se opera de la misma forma que en el eje Y, obteniéndose unas ecuaciones similares. Finalmente tenemos las ecuaciones de transformación de la velocidad de un objeto entre los dos sistemas inerciales
v1x=1 +v2xv+v
2xv
c2
v1y=
v2y
γ
1 +v2xv
c2
v1z= v2z
γ1 +v2xv
c2
v2x=1v−1xv−v
1xv
c2
v2y=
v1y
γ
1−v1xv
c2
v2z= v1z
γ1−v1xv
c2
A la vista de estas ecuaciones se pueden extraer las siguientes conclusiones
1. Si la velocidad de la luz fuese innita, las transformaciones de las velocidades serían las dadas por la Mecánica Clásica
2. Si la velocidad relativa entre los dos sistemas inerciales fuese tan grande como la de la luz, la velocidad del objeto estimada en el sistema 1 sería v1x=c , v1y=v1z= 0, con lo cual se perderia toda noción de movimiento
3.4. Transformación de una masa
Para obtener la ecuación de transformación de una masa supondremos que el momento lineal o cantidad de movimiento de un cuerpo es una magnitud que se conserva en esta Teoría Especial de la Relatividad.
Tenemos dos esferas A y B exactamente iguales y cuya masa, medida en el mismo sistema es la misma para ambas. Colocamos la esfera A en un sistema inercial 2 que se mueve con una velocidad relativa v con respecto de otro sistema 1 que suponemos jo, de tal manera que en un momento dado sus orígenesO1yO2
coinciden. Los ejes X de ambos sistemas coinciden y tanto la esfera A como la B se mueven en sus respectivos sistemas sobre los ejes Z y en dirección al origen.
En el momento en que los orígenes de los sistemas coinciden las dos esferas se encuentran y se produce un choque frontal totalmente elástico. Después del choque las esferas se moverán en sus respectivos sistemas con la misma velocidad inicial u, pero en sentido opuesto.
Vamos a considerar las velocidades de cada esfera, medidas desde el sistema 1 que consideramos jo:
ESFERA A
Antes del choque
u1x= 1 +u2xu+v
2xv
c2
= 0 +v 1 + 0v
c2
=v
u1y= 0
u1z= u2z
γ1 +u2xv
c2
=
u2z
γ1 + 0v
c2
=−
u v
Después del choque
u1x= 1 +u2xu+v
2xv
c2
= 1 + 00 +vv
c2
=v
u1y= 0
u1z= u2z
γ1 +u2xv
c2
=
u2z
γ1 + 0v
c2
= uv
ESFERA B
Antes del choque u1x= 0 u1y= 0 u1z=u Después del choque u1x= 0 u1y= 0 u1z=−u Resumiendo los resultados en una tabla
Antes del choque Después del choque Esfera A (v , 0 ,−uγ) (v , 0 , uγ)
A continuación aplicamos el Teorema de Conservación del Momento Lineal dentro del sistema 2, a la coordenada Z y obtenemos la siguiente igualdad
−mA
u
γ +mBu=mA u
γ−mBu
Las masas mA y mB son distintas pues cada esfera está en un sistema inercial diferente y aunque en el mismo sistema sus masas den una medida idéntica, al cambiar de sistema las medidas de sus masas observadas en uno y otro sistema no tienen porqué coincidir
Simplicando la anterior ecuación tenemos la ecuacion de transformación de la masa que buscábamos
mA=γ mB
Esta transformación nos indica que una partícula que se mueve con velocidad relativa v con respecto a un cierto observador da una medida de su masa que diere en un factor γcon respecto a la misma medida
realizada cuando esté en reposo respecto de dicho observador. La masa de un cuerpo aumenta por tanto con su velocidad respecto de un observador jo.
La ecuación anterior se puede escribir en función de la masa propiam0 (en reposo) de la partícula
m=γ m0
La masa de un cuerpo en movimiento relativo con respecto de un cierto observador es MAYOR que su masa propia medida en un sistema jo
4. SIMULTANEIDAD
En primer lugar supongamos que un observadorO1, situado en el sistema 1, ve dos sucesos A y B que,
para él, ocurren en unas mismas coordenadas espaciales X y al mismo tiempo. No tienen por que ser iguales las coordenadas Y y Z
x1A=x1B , y1A6=y1B , xz1A6=z1B , t1A=t1B
Estos dos sucesos serán pués simultáneos para dicho observador. Veamos qué sucede cuando se observan desde un sistema inercial 2 , que se mueve con velocidad relativa v en la dirección del eje X. Aplicando las transformaciones de LORENTZ-EINSTEIN
t2A=γ
t1A−
v c2x1A
=γ t1B−
v c2x1B
=t2B
Dos sucesos que ocurren en la misma coordenada X, y que son simultáneos para un observador, también lo son para el resto de los observadores situados en otros sistemas inerciales
Los dos sucesos no es necesario que tengan lugar en el mismo punto, pues sus cooerdenadas Y y Z pueden ser diferentes
Vamos a ver qué ocurre si los sucesos no tienen el mismo valor de la coordenada X. Si son simultáneos paraO1, entoncest1A=t1B, pero por serx1A6=x1B, no son simultáneos para el otro observador O2.
Realmente el intervalo de tiempo que transcurre entre los sucesos A y B, visto desde el sistema 2 es
t2B−t2A=γ v
c2
(x1A−x1B)
y puede ser positivo o negativo, es decir que el suceso A tenga lugar antes o después que el B, según sea el signo dex1A−x1B
5. EL PRINCIPIO DE CAUSALIDAD
Acabamos de estudiar que dos sucesos simultáneos en el sistema 1 no lo son en el sitema 2, salvo que ocurran en la misma coordenada X. Se puede dar incluso el caso en que el orden temporal de los sucesos sea diferente para cada sistema, ya que
t2B−t2A=γ h
(t1B−t1A)−
v
c2(x1B−x1A)
i
Y los signos det2B−t2A yt1B−t1A pueden ser diferentes.
Este parece ser un resultado que viole el principio de causalidad, según el cual la causa necesariamente ocurre antes que el efecto, cualquiera que sea el sistema en que se efectue la medida.
Para comprobar que esto no es así y que el principio de causalidad se respeta en la teoría relativista, vamos a suponer dos sucesos A y B de tal forma que A es la causa y B es el efecto en el sistema 1. En el sistema tetradimensional relativista tienen distintas coordenadas en los sistemas 1 y 2
Sistema 1 Sistema 2 Suceso A (x1A ,y1A ,z1A,t1A) (x2A ,y2A ,z2A,t2A)
Suceso B (x1B ,y1B ,z1B,t1B) (x2B ,y2B ,z2B,t2B)
Supongamos que en el Sistema 1 se observa que A→B y vamos a comprobar que así debe suceder también
en el Sistema 2
Si A→B =⇒
t1B−t1A>0
x1B−x1A=v1t1B−t1A Siendov1la velocidad de propagación de la señal desde A hasta B
t2A=γ
t1A− v
c2 x1A
t2B=γ
t1B− v
c2 x1B
⇒ t2B−t2A=γ h
(t1B−t1A)−
v
c2(x1B−x1A)
i
=
=γ h(t1B−t1A)−
vv1
c2 (t1B−t1A)
i
=γ (t1B−t1A) h
1−vv1 c2
i
Si no se respetase el principio de causalidad y fueset2B−t2A<0, entonces comoγ >0 y t1B−t1A>0 , se obtendría como consecuencia que
1−vv1
c2 <0 =⇒ vv1> c
2 y f inalmente v 1> c
Es decir, la señal se debería transmitir a una velocidad superior a la de la luz, lo cual vimos en sección 3 que es imposible. Por tanto esto no puede suceder y en el Sistema 2 también A es la causa de B, y se cumple que t2B−t2A>0
En las guras 4 y 5 se ha representado el espacio de sucesos, donde las ordenadas son la distancia a un punto-suceso dado A y las abcisas el tiempo. La primera de ellas representa la situación en la Mecánica Clásica donde cualquier punto situado a la izquierda puede ser causa de A (pasado) y cualquier punto a la derecha puede ser efecto (futuro).
En cambio la situacion de la Mecánica Relativista es diferente y viene indicada en la gura 5. Se advierte que hay una zona entre las rectas ct y -ct que contiene puntos-suceso los cuales no pueden ser causa ni efecto del suceso A, debido a la nitud del valor máximo de propagación de las señales, que es c.
6. ENERGÍA CINÉTICA RELATIVISTA Y ENERGÍA
TO-TAL
En esta sección se va a obtener el valor de la Energía Cinética de una partícula de masa propiam0, medida
en reposo en un sistema que a su vez se mueve con velocidad relativa v respecto de un cierto observador situado en otro sistema inercial. Para este otro observador la masa de la partícula será m=γ m0.
Para comenzar vamos a hallar la expresión del trabajo
dW =−→F d−→r =d
− →p
dt d −
→r =d−→p d−→r dt =d
− →p −→v
Comod(−→p −→v) =−→p −dv→+d−→p −→v, entonces el trabajo será
dW =d(−→p −→v)− −→p −dv→=d(m−→v −→v)−m−→v d−→v =d mv2−mvdv
y si tenemos en cuenta la relación entre la masa y la masa propia y ademas llamamosβ =vc
dW =d γm0v2
−γm0vdv=d
m0v2
p
1−β2
!
−pm0v
1−β2dv
Integrando desde v = 0 hastav , es decir desdeβ = 0 hata β, calcularemos la energía empleada en
dotar de esa velocidad a la partícula, lo que por denición es su Energía Cinética
Ec= Z β
0
dW =m0c2
Z β
0
"
d β
2
p
1−β2
!
−p β
1−β2dv
#
=m0c2
β2
p
1−β2 +
p
1−β2−1
!
=
=m0c2
1
p
1−β2 −1
!
=m0c2(γ−1)
De manera que
Esta expresión viene a sustituir a la de la Mecánica Clásica Ec =12mv2, pero coincide con ella cuando
vc, pues desarrollando en serie la expresión (7)
Ec =m0c2
1
2
v2
c2 +
3 8
v4
c4 +· · ·
=1 2m0v
2+m 0
3 8
v4
c2 +· · · '
1 2m0v
2
Si escribimos la ecuación (7) como sigue
Ec =γm0c2−m0c2=mc2−m0c2=4mc2
Ec =4mc2
La diferencia entre la masa total observada m y la masa propia en reposom0, multiplicada por c2,
es la Energía Cinética de la partícula. Si este resultado se mantiene en sistemas disipativos, entonces cuando se produzca una pérdida de masa(4m <0), ésta deberá ser acompañada de una gran pérdida
de Energía Cinética en forma de radiación.
Existe por tanto una equivalencia entre la masa y la Energía y el cambio en una de ellas viene acompa-ñado por una variación opuesta en la otra. Los principios de conservación de la masa y de la energía, que en la Mecánica Clásica se dan de manera separada, en la Mecánica Relativista se unican en un solo principio de conservación masa-energía
De la ecuaciónEc=mc2−m0c2se puede obtener que mc2=Ec+m0c2
Ecuación que nos da un término como suma de otros dos. Al términomc2 se le denomina energía
total de la partícula ym0c2 es su energía en reposo. Estas energías no existen en la Mecánica
Clásica, donde solo existe la energía cinética.
La Energía Total de una partícula es la suma de su energía en reposo mas su energía cinética
ET =E0+EC
7. INVARIANZA DE LAS LEYES FÍSICAS EN LA TEORÍA
RE-LATIVISTA
7.1. Leyes del movimiento de Newton
Para la obtención de las transformaciones de Lorentz-Einstein hemos supuesto como válida la 1a
Ley de la Dinámica de Newton o principio de Inercia y por tanto se debe cumplir cualquiera que sea el sistema de referencia elegido.
Se puede comprobar fácilmente observando que si el cuerpo no está sometido a ninguna fuerza en el sistema 1, su movimiento es rectilíneo y uniforme en dicho sistema, siendov1x, v1y, v1zconstantes.
Aplicando las ecuaciones de transformación de las velocidades se deduce quev2x, v2y, v2z tambien son constantes para el observador del sistema 2 y para quien el cuerpo también describe una trayectoria recta, de manera que tampoco observa ninguna fuerza sobre él.
La 2a ley de la dinámica de Newton es mas bién una denición del concepto físico de fuerza y
como tal deición también se mantiene en la teoría de la Relatividad. Con lo cual para ambos sistemas tenemos que
− →
F1=
d−→p1
dt1
y −→F2=
d−→p2
dt2
Lo que no es cierto es que las fuerzas observadas en los dos sistemas sean iguales, es decir que no se cumple necesariamente que−→F1=
− →
F2. En realidad esto solo sucede cuando la fuerza
− →
F1 está dirigida
en la dirección del movimiento relativo de ambos sistemas (No tiene componentes perpendiculares) y en general se cumple que−→F16=
− →
F2.
Así pués−→F1=
− →
F2+
− →
F , donde −→F depende del del fenómeno físico estudiado en particular. Vamos a
La fuerza eléctrica observada en el sistema 2 viene dada por la ley de Coulomb
− →
F2=
− → FE =K
qAqB
r3 − →r =q
B
− → EA
Pero para un observador situado en el sistema 1 la fuerza observada es
− →
F1=
− → F2+
− →
F =−→FE+
− → FM
Esta última fuerza−→FM es la denominada fuerza magnética y su valor es
− →
FM =qB −→
v ×−→BA
De esta manera se obtiene la expresión de la fuerza de Lorentz
− → F1=qB
− →
EA+qB −→
v ×−→BA
=qB −→
EA+−→v ×
− → BA
De todo esto se deduce que las fuerzas magnéticas y el campo magnético−→B son una consecuencia
relativista de una fuerza electrostática cuando la carga se mueve con respecto al observador. Las fuerzas magnéticas se producen por el movimiento de las cargas eléctricas.
La 3aley de newton o principio de acción y reacción no es invariante para un par de sistemas
inerciales, de modo que las fuerzas que son iguales y opuestas en un sistema no lo son necesariamente en el otro.
7.2. Leyes de la teoría electromagnética de MAXWELL
De las cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, debidas a MAXWELL, se pueden obtener las ecuaciones de ondas que nos explican la propagación de las radiaciones electromagnéticas. En el vacio se tiene que
∇2−→E − 1
c2 ∂2−→E
∂t2 = 0
∇2−→B − 1
c2 ∂2−→B
∂t2 = 0
2−→E = 0
2−→B = 0
Ecuaciones que no son invariantes para una transformación galileana como es fácil de comprobar. En cambio en la teoría relativista sí que son invariantes y tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales
2−→E1=2
− →
E2=· · · 2
− → B1=2
− →
B2=· · ·