Equilíbrio de Corpos Rígidos

Equilíbrio de Corpos Rígidos

Referências:

Estática – Mecânica Para Engenheiros – Capítulo 5. Autor: R. C. Hibbeler.

Diagrama de Corpo Livre

O diagrama de corpo livre consiste numa representação esquemática mostrando todos as forças que atuam sobre o corpo. Para construir o diagrama de corpo livre, seguimos os seguintes passos:

• Isolar o sistema composto por um ou mais corpos rígidos.

• Esquematizar o contorno do corpo com as suas dimensões.

• Indicar todas as forças aplicadas ao corpo, incluindo força peso e reações de vínculo.

H

d

d

h

F

P

N

at

Vínculos, Apoios e Reações de Apoio

Vínculos são restrições que são impostas ao movimento de um sistema mecânico.

Os vínculos mais comuns são aqueles dados por superfícies que restringem o movimento de translação e/ou rotação de um corpo.

Em sistemas de forças bidimensionais (forças no plano) os principais vínculos são:

Apoio simples (rolete): Esse apoio impede somente o movimento de translação do corpo na direção perpendicular ao plano de apoio. A direção da força de reação é perpendicular ao plano de apoio

x

y

F

Articulação e apoio fixo: Esse apoio restringe a translação do corpo em todas as direções, mas é incapaz de restringir rotações. A direção da força de reação é

desconhecida. Escolhemos duas direções perpendiculares.

x y

y

F

Apoio fixo

Reações de apoio fixo articulação

x

F

Engastamento: Esse apoio restringe a translação e a rotação do corpo em todas as direções. As reações formam um sistema força-binário.

y

F

x

F

M

Reações do engastamento x

• Reações equivalentes a uma força de direção, sentido e intensidade desconhecidos

Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões

As condições de equilíbrio de um corpo rígido em duas dimensões são:

.

0

;

0









M

F

Em termos das componentes das força e momentos, temos:

;

0





M

As somatórias das forças nas direções

x e y devem ser iguais a zero.

A somatória dos momentos das forças na direção perpendicular ao plano x,y é igual a zero, em relação a qualquer ponto ou eixo.

;

0

;

0







A figura mostra três cargas que são aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete (apoio simples) em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.

y

B

B

A

Diagrama de corpo livre:

Resolução:

_F

_,



_M



₀

_.

x



0





F



0

,

0

m

1,20

kN

30

m

kN.0,60

30

m

kN.1,80

75

m

.2,7

0

















M

F

.

Calculando o momento M em relação à articulação B:

j

F





30

kN

ˆ

0

F

0

F

x

x









.

F

F

0

F

30

kN

75

kN

30

kN

30

kN

0

105

kN

y

y B

B











11

Exemplo:

A figura mostra uma barra homogênea, rígida e horizontal OA, de peso P = 20 N, articulada em O (podendo girar em torno de O), sustentada por um cabo BC, preso a uma parede no ponto C, e formando um ângulo de 60º com a horizontal. Um peso 𝑃′ = 10 N está pendurado na extremidade A da barra. Sabendo-se que a

barra está em equilíbrio, determine a tensão T no cabo e o valor da intensidade F da força que a articulação em O exerce sobre a barra. Despreze a espessura da barra.

10 N

60º

T

A

O

C

B

12

Resolução:

P = 20 N

P´ = 10 N

F

F_x F_y

Barra em equilíbrio:

C.M.

෍ 𝐹_𝑥 = 0; ෍ 𝐹_𝑦 = 0; ෍ 𝑀 = 0.

෍ 𝐹_𝑥 = 0 → 𝐹_𝑥 − 𝑇𝑐𝑜𝑠 60𝑜 = 0 𝐹_𝑥 = 𝑇𝑐𝑜𝑠 60𝑜

෍ 𝐹_𝑦 = 0 → 𝐹_𝑦 + 𝑇𝑠𝑒𝑛 60𝑜 − 20 − 10 = 0 𝐹𝑦 + 𝑇𝑠𝑒𝑛 60𝑜 = 30 𝑁

෍ 𝑀 = 0 → 𝑇𝑠𝑒𝑛 60𝑜 4 𝑚 − 20 𝑁 2,5 𝑚 − 10 𝑁 5 𝑚 = 0. 𝑇𝑠𝑒𝑛 60𝑜 4 𝑚 = 100 𝑁𝑚

𝑇 = 28,9 𝑁

𝐹_𝑥 = 𝑇𝑐𝑜𝑠 60𝑜 𝐹_𝑥 = 14,4 𝑁

𝐹_𝑦 = 30 − 𝑇𝑠𝑒𝑛 60𝑜 𝐹_𝑦 = 4,97 𝑁

𝐹 = 𝐹_𝑥2 + 𝐹_𝑦2 = 15,2 𝑁

Diagrama de corpo livre:

y

A

F



x

A

F



B

F



Solução:

Condição de equilíbrio:

. 0 ; 0







x A F kN 4   x A F  



. kN 6 ; 0 kN 6      y y y y B A B A F F F F ; 0 m 0 , 2 . m 0 , 3 . kN 2 m 5 , 1 . kN 2

0     





  m 0 , 2 kN.m 9 y B

F  4,5 kN

y

B

F 1,5 kN.

x A

F

j. i

F_A  4kN 1,5kN F_B  4,5kN j.

Exemplo: Na haste AD mostrada ao lado estão aplicadas uma força vertical no

Solução



q

q

q

)

cos(

q

a

)

cos(

2

a

q

braço em C

braço em B

)

(

3

a

sen

q

A

4 3

5

2,5 kN

B

900 N.m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

Exemplo:

A

4 3

5

2,5 kN

B

900 N.m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

𝑭

_𝑩

𝑭

_𝑨

𝑭

_𝑨

Diagrama de corpo livre:

centro de gravidade

(CG)

2,25 m

0,5 kN

Solução:

Condição de equilíbrio:

. 0 ; 0





Σ𝑀_𝐴 = 0 → −2,5 𝑘𝑁. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . 1,5𝑚 − 0,5𝑘𝑁. 2,25 𝑚 + 3,0𝑚. 𝐹_𝐵 − 0,9 𝑘𝑁𝑚 = 0

4 5

3 cos 𝜃 = 3₅

sen 𝜃 = 4

5

q

𝐹_𝐴𝑥= −1,5 𝑘𝑁 𝑜𝑢 𝐹_𝐴𝑥 = 1,5 𝑘𝑁 ←.

Σ𝐹_𝑦 = 0 → 𝐹_𝐴𝑦 − 2,5 𝑘𝑁. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 0,5 𝐾𝑁+ 𝐹_𝑏= 0

𝐹_𝐴𝑦+ 𝐹_𝑏 = 2,5 𝑘𝑁.

Σ𝐹_𝑥 = 0 → 𝐹_𝐴𝑥 + 2,5 𝑘𝑁. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 → 𝐹_𝐴𝑥 + 2,5 𝑘𝑁. 3

5 = 0

−2,5 𝑘𝑁. 4

5 . 1,5𝑚 − 1,125 𝑘𝑁𝑚 + 3,0𝑚. 𝐹𝐵 −0,9 𝑘𝑁𝑚 = 0

𝐹_𝐵 = 1,675 𝑘𝑁 ↑ 𝐹_𝐴𝑦 = 0,825 𝑘𝑁 ↑

𝐹_𝐴𝑥= 1,5 𝑘𝑁 ←

𝐹_𝐴𝑦+ 𝐹_𝑏 = 2,5 𝑘𝑁. 4

5 + 0,5 𝐾𝑁 →

Exemplo:

Um sistema de forças e momento de binário agem sobre a viga, conforme a figura abaixo. Determine as reações (forças e momento de binário) em A, de modo a manter a viga em equilíbrio. Despreze o peso da viga.

3 m

1 m

Diagrama de corpo livre:

3 m

1 m

2 m

𝑭

𝑭

Condição de equilíbrio:

. 0

; 0





 

M F

Σ𝐹_𝑥 = 0 → 𝐹_𝐴𝑥 − 30𝑘𝑁. 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 + 26𝑘𝑁. cos 𝜃 = 0

Σ𝐹_𝑦 = 0 → 𝐹_𝐴𝑦 − 30𝑘𝑁. 𝑐𝑜𝑠 30𝑜 − 26𝑘𝑁. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0

Σ𝑀_𝐴 = 0 → 𝑀_𝐴 − 30𝑘𝑁. 𝑐𝑜𝑠 30𝑜 . 2𝑚 + 30𝑘𝑁. 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 . 0,3𝑚 − 45 𝑘𝑁𝑚

−26𝑘𝑁. 12

13 . 6𝑚 − 26𝑘𝑁. 5

13 . 0,3𝑚 = 0 𝐹_𝐴𝑥 = 30𝑘𝑁. 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 − 26𝑘𝑁. 5

13 → 𝐹𝐴𝑥 = 5 𝑘𝑁 →

𝐹_𝐴𝑦 = 30𝑘𝑁. 𝑐𝑜𝑠 30𝑜 + 26𝑘𝑁.12

13 → 𝐹𝐴𝑦 ≈ 50 𝑘𝑁 ↑

Exemplo: Determine a força F necessária para puxar o cilindro de 50 kg pelo degrau liso. Considere q = 60º.

𝑭

Solução:

20

490 𝑠𝑒𝑛 20𝑜 0,5 + 490 𝑐𝑜𝑠 20𝑜 0,332 − 𝐹𝑐𝑜𝑠 60𝑜 0,5 − 𝐹𝑠𝑒𝑛 60𝑜 0,332 = 0

𝐹 = 441𝑁

𝜙 = 𝑐𝑜𝑠−1 0,5

0,6 = 33,6

𝑜

෍ 𝑀_𝐵 = 0

na iminência de se desprender do plano inclinado, a normal em A é zero.

𝑁_𝐴 = 0

Peso 𝑃 = 50𝑘𝑔 . 9,8 𝑚/𝑠2 = 490𝑁.

B