Monterrey, Nuevo León a
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY P R E S E N T E .
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sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución, distribución pública, distribución electrónica y reproducción, asi como la digitalización de la misma, con fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO.
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Análisis de las Respuestas de los Estudiantes al Trabajar una
MEA (Model-Eliciting Activity), Actividad Reveladora del
Pensamiento con las Tablas de Multiplicar en Educación Básica
-Edición Única
Title Análisis de las Respuestas de los Estudiantes al Trabajar una MEA (Model-Eliciting Activity), Actividad
Reveladora del Pensamiento con las Tablas de Multiplicar en Educación Básica -Edición Única
Authors Erica Valdespino Medina
Affiliation Tecnológico de Monterrey, Universidad Virtual
Issue Date 2011-11-01
Discipline Ciencias Sociales / Social Sciences
Item type Tesis
Rights Open Access
Downloaded 18-Jan-2017 11:35:30
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación
Análisis de las respuestas de los
estudiantes al trabajar una MEA (Model-Eliciting Activity), actividad
reveladora del pensamiento con las tablas de multiplicar en educación
básica.
Tesis para obtener el grado de:
Maestría en Educación
Presenta:
Erica Valdespino Medina
Asesor tutor:
Mtra. Sonia Gutiérrez Cantú
Asesor titular:
Dra. Ma. De los Ángeles Domínguez Cuenca
ii
iii
Dedicatoria
Dedico la presente:
A mis hijos Daniel y Erick por su gran amor y madurez que me
demostraron durante los días de la Maestría.
A mi padre que me enseñó a luchar por mis ideales, a ser feliz y sonreír.
A mi madre y hermanos por su apoyo incondicional.
A mis amigos Ceci, Laurita, Nurit, Guillermo y Gerardo que han dejado
iv
Análisis de las respuestas de los estudiantes al trabajar una MEA
(Model-Eliciting Activity), actividad reveladora del pensamiento en las
tablas de multiplicar en educación básica
Resumen
El objetivo del presente trabajo es analizar las respuestas de los alumnos de tercer grado
de Educación Primaria al trabajar la actividad reveladora del pensamiento con las tablas
de multiplicar. El enfoque metodológico que se siguió es de tipo cualitativo. La población
del estudio fueron 16 niños de tercer grado de primaria de la Ciudad de México, con
experiencia en trabajo colaborativo, conocimiento y manejo de la multiplicación, así
como contar con experiencias cercanas a la resolución de problemas matemáticos. Para la
recolección de datos se utilizaron los instrumentos: prueba piloto y principal, escala
estimativa, escala de observación, registro de observación y cuestionario. En el análisis
de los datos se manejaron procedimientos analíticos. Los principales hallazgos son: la
actividad reveladora de pensamiento como su nombre lo refiere es un instrumento que da
evidencia del conocimiento matemático y habilidades cognitivas previas o en proceso de
los alumnos en la resolución de problemas. La actividad reveladora es un instrumento que
genera posibilidades para el aprendizaje de la Matemática, las cuales rompen con
creencias sobre una y única respuesta. Finalmente, la relevancia del presente estudio para
la educación es el cambio de concepción de los niños en el aprendizaje escolar mediante
la demostración física y verbal de la diversidad de posibilidades como la forma de dar
v
Tabla de contenidos
Hoja electrónica de firmas…...………ii
Resumen………..iv
Índice de figuras………..ix
Introducción……… x
Capítulo 1. Planteamiento del problema………... 14
1.1 Marco contextual………. 15
1.2 Antecedentes del problema………. 16
1.3 Planteamiento del problema……… 20
1.4 Objetivos de la investigación……….. 23
1.5 Hipótesis……….. 24
1.6 Justificación de la investigación……….. 25
1.8 Limitaciones y delimitaciones………. 26
Capítulo 2. Marco teórico……….………. 29
2.1 Educación Matemática……….………... 29
2.1.1 Resolución de problemas………. 40
2.1.2 Errores matemáticos.………:………. 44
2.2 Actividad reveladora de pensamiento……… 45
vi
2.3 La multiplicación……… 52
2.3.1 El algoritmo de la multiplicación………. 55
2.3.2 Errores de la multiplicación……….……….... 57
2.4 Grupos colaborativos y reflexivos………. 60
2.4.1 Conversaciones……….. 63
2.4.2 Prácticas colaborativas y reflexivas……….. 66
Capítulo 3. Metodología………68
3.1 Método………...68
3.2 Población y muestra……….71
3.2.1 Criterios de selección………....72
3.3 Temas, categorías e indicadores de estudio……… 73
3.4 Técnicas de recolección de datos……… 74
3.4.1 Escala estimativa……….. 74
3.4.2 Registro de observación……….. 75
3.4.3 Escalas de observación……… 76
3.4.4 Cuestionario………. 76
3.5 Prueba piloto………... 78
3.6 Aplicación de instrumentos……… 80
3.6.1 Aplicación de la prueba piloto……….80
3.6.2 Prueba principal………81
vii
3.6.4 Escala de observación……… 84
3.6.5 Cuestionario para la prueba principal……… 84
3.7 Captura y análisis de datos……… 85
Capítulo 4. Análisis de resultados ...……… 88
4.1 Presentación de resultados………... 89
4.1.1 Resultados de la prueba piloto ………. 89
4.1.2 Resultados de la escala estimativa para la prueba piloto………... 91
4.1.3Resultados del cuestionario de la prueba piloto………. 95
4.1.4 Resultados de la prueba principal ……….. 97
4.1.5 Resultados del registro de observación ………. 99
4.1.6 Resultados de la escala de observación……….. 104
4.1.7 Resultados del cuestionario de la prueba principal……… 105
4.2 Análisis e interpretación de los resultados……… 107
4.2.1 Momentos de aplicación de la MEA……….……..107
4.2.2 Acciones y pautas de interacción ante la MEA………...109
viii
Capítulo 5. Conclusiones……….………...………118
5.1 Conclusiones...………..118
5.2 Limitaciones……….124
5.3 Recomendaciones……….125
5.4 Futuras investigaciones………127
Referencias………129
Apéndices………..135
ix
Índice de figuras
Figura 1. Triángulo Didáctico………...30
Figura 2. Proceso de Evaluación……….. 51
Figura 3. Representación multiplicativa de Vergnaud………...………….. 60
Figura 4. Porcentajes de los procedimientos de la MEA..……….... 93
Figura 5. Porcentajes del conocimiento multiplicativo en la MEA…...…………94
Figura 6. Porcentajes de las condiciones comunicativas en la MEA...………...95
Figura 7. Porcentajes de evaluación en la MEA………...………96
Figura 8.Porcentajes de las respuestas de los alumnos ante la MEA…..……....98
Figura 9. Porcentajes de las acciones de los alumnos en la MEA………...105
Figura 10. Porcentajes de las respuesta de los estudiantes en la MEA………...107
Figura 11. Diferentes formas de representar la multiplicación………. 110
Figura 12. Lectura y comprensión durante la MEA………113
Figura 13. Representación de la multiplicación……….115
x
Introducción
En los últimos años ha crecido el interés por estudiar y mejorar la enseñanza de la
Matemática en el aula escolar. La presente investigación destaca la importancia de evocar
las soluciones matemáticas de los alumnos donde estos ponen en juego sus
conocimientos, habilidades y actitudes con el objetivo de influir en la forma de conocer,
saber hacer y ser con la Matemática.
La educación matemática a través de la resolución de problemas ha modificado
hoy en día la manera de presentar el conocimiento matemático. La actividad reveladora
de pensamiento crea en el aula un ambiente y situaciones de aprendizajes diferentes para
el estudiante de tal forma que éstos generan un conjunto de posibilidades que rompe con
preceptos y los conduce a la participación y colaboración entre sus iguales.
En la presente investigación, como ejercicio analítico, se realizaron
comparaciones constantes entre las observaciones durante la actividad y la encuesta
aplicada a los alumnos, con la finalidad de estudiar las respuestas, actitudes, prácticas,
creencias y significados que los menores atribuyen a la resolución de un problema
matemático. Los resultados emitidos por los participantes y observados durante la
actividad reveladora de pensamiento ante el concepto de la multiplicación apuntan hacia
un modelo de evolución en el aprendizaje y conocimiento matemático mediante los
xi
La MEA motiva a los alumnos actuar en el aprendizaje de las Matemáticas
mediante el uso de sus recursos inmediatos como demostraron ser principalmente:
la planeación, la ejecución y la colaboración para la resolución del problema
matemático. Al mismo tiempo que los niños rescatan y ponen en juego aquellas
habilidades poco tomadas en cuenta para la resolución de problemas como: la
argumentación, la reflexión, la búsqueda de posibilidades.
La actividad crea diversidad de posibilidades de resolución matemática como
puente de evolución en el aprendizaje de las mismas.
Mediante la MEA los alumnos rompen con esquemas y sistema de creencias en
relación a una y única respuesta para la solución del problema así como aprender
del error. Y con lo anterior reconocer sus limitaciones y con ello a construir
nuevos significados y en consecuencia nuevas formas de actuar como el permitir
al otro que explique su solución y que posiblemente puede ser otra opción
correcta.
La actividad demuestra el conocimiento de la multiplicación mediante el uso de
materiales, el lenguaje matemático y el trabajo colaborativo y reflexivo con un
grupo de compañeros. Con lo anterior se destaca la forma en cómo los estudiantes
generalizan los conocimientos, analizan el origen del concepto multiplicativo para
entenderlo así como identificar la inversa a la multiplicación como lo es la
división.
La importancia de la evaluación formativa para el aprendizaje de las matemáticas
xii El estudio está conformado por cinco apartados. El capítulo uno presenta el
planteamiento del problema en el cual se encuadra como contexto para la investigación:
las respuestas de los alumnos ante una actividad reveladora de pensamiento con el
concepto de la multiplicación. En el capítulo dos se desarrolla el marco teórico que apoya
a la investigación mediante la descripción y definición de las principales teorías como:
educación matemática, la actividad reveladora de pensamiento, la multiplicación y los
grupos colaborativos y reflexivos.
En el capítulo tres se expone la metodología para investigar las respuestas de los
participantes ante la actividad reveladora de pensamiento el cual se centra en el método
cualitativo por obtener datos descriptivos de un colegio particular, nivel primaria de la
ciudad de México. El capítulo cuatro muestra los resultados y análisis de la investigación
considerando: los momentos de aplicación, las acciones, las pautas de interacción y los
significados de los educandos ante la actividad reveladora de pensamiento.
El capítulo cinco señala las conclusiones como son: el aprendizaje matemático se
hace público y evidente ante el alumno, los compañeros y el docente; los estudiantes
hacen conciencia sobre sus propios conocimientos matemáticos así como el de sus
compañeros creando en colaboración la diversidad matemática. La MEA se construye
desde planteamientos abiertos y de acuerdo a la realidad de los niños, mediante una
perspectiva crítica, reflexiva y colaborativa.
Finalmente, las ideas, reflexiones y hallazgos plasmados en este trabajo
xiii las diferentes posibilidades de enseñar Matemáticas y mantener la flexibilidad para
construir aprendizajes y conocimientos matemáticos en conjunto con sus estudiantes y
14
Capítulo 1
Planteamiento del problema
La situación del mundo actual ha conducido al hombre a modificar los modos de
vida y de pensamiento para adaptarse y llevar una vida de la mejor manera. La
globalización, la diversidad cultural, los avances tecnológicos así como los valores de los
seres humanos son los ejes principales que han dado como resultado, nuevas y diferentes
exigencias en la educación (Delors, 1996). Como consecuencia, la educación se ve
demandada por cambios en: las instituciones, el contexto, los planes y programas de
estudios, el quehacer del docente, la participación activa de los alumnos, entre otros. De
lo anterior que, surjan diferentes y nuevas formas de pensar y cuestionar el significado y
la práctica educativa.
Para la educación matemática, los cambios se centran en la forma en cómo los
estudiantes aprenden con relación al contenido, tomando como base a la resolución de
problemas así como las posibles soluciones, la naturaleza de las justificaciones y los
argumentos que utilizan los mismos. De tal manera que, no sólo se requiere de una
comprensión conceptual de los contenidos, sino también de un desarrollo de destrezas
procedimentales, un pensamiento estratégico (formular, representar y resolver problemas)
y las capacidades de comunicar y explicar matemáticamente (Chamorro, 2006).
Con base a lo anterior, el objetivo de la presente investigación es realizar un
15 (MEA), actividad reveladora de pensamiento (durante la presente investigación se
utilizará la actividad reveladora de pensamiento o MEA para la descripción) con las
tablas de multiplicar de tercer grado de Educación Básica Primaria, con la finalidad de
conocer los alcances y significados de los alumnos en la enseñanza de las Matemáticas y
que vaya más allá de una resolución de problemas. Por lo que el presente capítulo plantea
el marco contextual, los antecedentes del problema, el planteamiento del problema, los
objetivos, la hipótesis, la justificación, las limitaciones y delimitaciones de la
investigación.
1.1 Marco contextual
La investigación se llevó a cabo en una escuela privada ubicada en México,
Distrito Federal, zona sur de la ciudad. El colegio tiene 13 años ofreciendo educación
preescolar y primaria, es de clase socioeconómica media-media e imparte clases en los
grados desde maternal hasta sexto año de primaria.
La escuela se caracteriza por ser una comunidad educativa integrada por los
educandos, los padres de familia y los docentes, con una meta en común: Educar con
calidad y calidez humana, en un ambiente agradable y adecuado. Ofrece educación
bilingüe (español-inglés) para niñas y niños en edad de cursar los grados de preescolar y
primaria, en un ambiente agradable y de retos personales. Colegio laico, incorporado a la
Secretaría de Educación Pública con turno matutino, mixto y dedicado a proporcionar una
formación integral, incluyendo valores y responsabilidades. El modelo educativo se basa
16 El proceso de enseñanza aprendizaje va dirigido a maximizar el potencial
intelectual del niño ayudándolo a descubrir su propio sistema de aprendizaje, colocando
al alumno y al maestro en un rol activo, mientras los estudiantes desarrollan sus
capacidades de manera natural, interactuando con sus compañeros. Lo cual podrá
contribuir al análisis de los grupos reflexivos ante el tema de la Matemática.
Se pretende que los estudiantes puedan trabajar en el aula con las mismas
habilidades y conocimientos, tanto en equipo como de manera individual, fortaleciendo
su autonomía y capacidad para detectar sus propios aciertos y errores. Para complementar
la participación activa se imparten materias como conversación en Inglés, taller de
matemáticas y pensamiento lógico, clases de cómputo, entre otras.
Cada maestro de la escuela cuenta con título profesional y su papel como docente
es ser mediador, coadyuvando así a la formación de las capacidades y habilidades del
pensamiento necesarias para el desarrollo integral del ser humano. Los grupos están
compuestos de 25 niños aproximadamente, en instalaciones adecuadas y áreas verdes,
siendo el total de su población de 150 alumnos aproximadamente.
La misión de la escuela es proporcionar a su comunidad escolar los beneficios del
aprendizaje que favorezcan el desarrollo de las habilidades, a través de la realización del
trabajo significativo en beneficio propio, de sus familias y de la comunidad, con respeto,
disciplina y alegría (Alcalde, 2006).
Así mismo el colegio tiene como visión intentar ser una institución líder en la
educación humano-formativa, formadora de niños y niñas que sean académicamente y
17 principal es proporcionar a los estudiantes y los profesores, en un esfuerzo conjunto y
congruente, los elementos y estrategias académico formativas que les permitan un mejor
desarrollo del entorno; formar individuos que utilicen los valores –respeto, honestidad y
solidaridad- como herramienta para establecer un código de conducta que les permita
interactuar de manera adecuada en la sociedad.
Con base al contexto anterior se considera que tanto la escuela como los alumnos
y los maestros contribuyan al proceso de la investigación debido a su experiencia de
enseñanza-aprendizaje y trabajo colaborativo. Para consideración del presente estudio se
toma en cuenta que los menores tienen la experiencia de cursar un taller de matemáticas
en el cual se contextualiza la enseñanza matemática.
El análisis para la MEA requiere de la experiencia previa en el trabajo
colaborativo y respetuoso de los participantes con la finalidad de que en la resolución de
problemas se logre estudiar los resultados que los mismos utilizan con relación al tema de
las tablas de multiplicar. La investigación se desarrolló en el grupo de tercer año,
integrado por 8 niños y 8 niñas con edades entre 8 y 9 años.
1.2 Antecedentes del problema
La década de los noventa se caracterizó por la idea de modernizar la educación:
educación de calidad, para lo cual se realizaron una serie de reformas educativas que
consistían en el cambio de planes y programas educativos, uso de materiales de
instrucción, así como innovación en la Educación Básica en México (Gajardo, 1999).
En los últimos años, la enseñanza Matemática se ha centrado en la solución de
18 resolver dificultades y comprender los conceptos, de tal forma que logren entender los
principios Matemáticos. Para lo cual se ha tenido la necesidad de insertar la secuencia de
los contenidos y el tratamiento didáctico como objetivo principal para la resolución de
problemas (Mendoza, 2004).
La resignificación de la noción de problema matemático comenzó a analizarse en
el salón de clases, en los libros de texto, en la estructura de los contenidos, así como en su
didáctica. De tal forma que la resignificación para la resolución de problemas en
Matemáticas se mantiene en proceso debido a las necesidades de adaptación y
conocimiento de la misma tanto para docentes como para los alumnos.
Hoy en día se considera que existe una gran distancia entre la reforma educativa y
lo que sucede en la práctica. El proceso de resignificación de un problema matemático y
la resolución de problemas han generado en los docentes, principalmente, tendencias
predominantes para adquirir estilos de preguntar, así como elevar su nivel cognitivo para
que la enseñanza de las Matemáticas y el planteamiento de problemas sean significativos
para los estudiantes, siendo que, los problemas matemáticos adoptan modalidades
complejas (Mendoza, 2004).
Dado a lo anterior, se ha estudiado la resolución de problemas desde la
identificación de las estrategias solucionadoras de pensamiento bajo dos métodos
diferentes: a) la actuación de los expertos, donde sus esquemas de conocimiento y sus
acciones en la resolución de problemas requiere de un manejo eficaz, siendo que en la
mayoría de las ocasiones el docente representa sus esquemas de solución de problemas
19 tareas de solución de problemas, donde se muestra la necesidad de enseñar a los
estudiantes algo que les sirva con carácter general en la solución de diferentes tipos de
problemas matemáticos (Nickerson, 2003).
En relación con este último, surge la inquietud de analizar las respuestas de los
alumnos en la resolución de problemas matemáticos como la forma de conocer las
evidencias de éstos y la construcción de resultados en el conocimiento matemático. De
manera que las condiciones del salón de clases y las actividades que se planeen a los
estudiantes permitan el desarrollo y aplicación de las estrategias propias de los mismos y
que posibiliten el aprendizaje.
La escuela en la cual se lleva a cabo la investigación cuenta con el contexto
preciso para la resolución de problemas al tener un lugar específico para llevar a cabo las
Matemáticas. Sin embargo no existen evidencias dentro de éste que permitan conocer en
los alumnos el desarrollo de las estrategias y las habilidades para la resolución y
comprensión de problemas, así como los procesos de aprendizaje y la trascendencia de
los mismos.
El taller de matemáticas es el espacio en el cual los educandos realizan diversas
actividades y ejercicios con materiales manipulables, mediante equipos de trabajo de dos,
tres o cuatro personas dependiendo la actividad y con una hora de duración a la semana.
Los temas que se abordan en el taller son seleccionados de acuerdo a las necesidades de
los grupos. Por lo que, para el grado de tercer año el tema matemático principal es el
relacionado con las tablas de multiplicar el cual se aborda y ejercita con mayor frecuencia
20 El taller propiamente no cuenta con un fundamento teórico de aprendizaje o
instrucción para el desarrollo de las clases, siendo que el profesor responsable del taller
actúa de acuerdo a su experiencia en la forma en cómo él aprendió la Matemática. Las
actividades del taller se realizan con base a la diversidad de los materiales didácticos, así
como ejercicios de libros de apoyo de Matemáticas o ejercicios impresos. El taller inicia
con la presentación escrita del tema, durante el desarrollo se realizan ejercicios con
materiales diversos (manipulables o escritos). Y finalmente el docente ejecuta el cierre de
la clase cuestionando a los alumnos sobre las operaciones que realizaron durante la
misma.
Si bien, la escuela realiza una distinción por enseñar las Matemáticas, creando
talleres por medio de la utilización de diversos materiales manipulables y el trabajo
colaborativo, lo anterior no ha sido suficientemente significativo para el aprendizaje de
las Matemáticas, demostrando tanto en el salón de clases como en los exámenes que no
alcanzan los resultados esperados.
Cabe mencionar que tanto directivos, coordinadores y el profesor del taller
reconocen el intento por realizar diversos análisis y evaluaciones de los temas que se
abordan durante el taller de matemáticas, sin embargo la falta de tiempo o el
desconocimiento de actividades no permite a los estudiantes visualizar, verbalizar,
analizar y reflexionar sus habilidades y procedimientos en la resolución del problema
matemático.
Así mismo los responsables de la enseñanza aclaran que no han realizado
21 con respecto al tema de las tablas de multiplicar así como tampoco se han cuestionado si
se requiera de hacer algo distinto, ya que para ellos, las tablas de multiplicar implican
sólo la memorización por parte de cada uno de los alumnos.
En relación a los ejercicios del taller se puede mencionar que sólo llevan a cabo la
ejercitación del algoritmo de las tablas de multiplicar, representadas en forma escrita
horizontal o vertical y estableciendo cierto tiempo para la solución de los mismos. Sin
embargo en este tipo de práctica, el docente reconoce que los ejercicios no representan
una actividad significativa en el aprendizaje de los estudiantes, ya que descubrieron que
algunos de ellos no avanzan en el conocimiento y aprendizaje de las tablas de multiplicar.
Los resultados de las investigaciones de Campa (1998) aluden que la noción de
multiplicación que se enseña en la escuela continúa siendo una constante práctica sin
sentido y como consecuencia al día de hoy se mantiene la idea del aprendizaje de la
multiplicación como sólo el ejercicio mecánico y memorístico que recae en el niño.
Finalmente, la escuela reconoce que los alumnos requieren de actividades que les
permita analizar y reflexionar los conceptos y ejercicios que realizan para mejorar su
aprendizaje. Así mismo se destaca la necesidad de contar con un modelo de recursos
analíticos y reflexivos que puedan aplicarse tanto en el aula como en su vida cotidiana y
modificar el sentido de aprendizaje Matemático.
1.3 Planteamiento del problema
La escuela enseña un conocimiento matemático a través de la experiencia de los
docentes, se caracteriza por la reproducción de los conocimientos matemáticos y los
22 demostrable para los alumnos. En la mayoría de los casos, la enseñanza de la Matemática
en educación básica se distingue sólo por la mecanización o ejercitación de un concepto,
sin darle un sentido o aplicación en su entorno.
Lo anterior se distingue como un problema inicial en los estudiantes con relación
al conocimiento y la aplicación de las tablas de multiplicar, ya que desde el constructo
social se reproduce la idea sobre la misma como un ejercicio de memorización por parte
de los mismos y reproduciendo la propia escuela la creencia de la mecanización. Además
que el aprendizaje del concepto matemático se convierte en un ejercicio individual, donde
la ayuda o aportación que pueda proporcionar un grupo colaborativo y reflexivo, queda
lejos de ser aprovechado para la construcción del aprendizaje y los significados
matemáticos. `
Ahora bien, desde la didáctica y los procesos de aprendizaje, los docentes utilizan
diferentes formas de abordar el concepto de las tablas de multiplicar como son: el juego,
los audios, las tablas pitagóricas, las loterías u otros materiales que solicitan la
memorización del alumno. Sin embargo esto no ha sido suficiente para demostrar mejores
resultados en el aprendizaje y mucho menos la aplicación demostrable del concepto
multiplicativo en los problemas de la vida cotidiana.
Por lo que al día de hoy se requiere de la interacción del saber con el estudiante de
tal manera que éste dé evidencias de la forma en cómo construye su conocimiento, así
como el diálogo que pueda generar durante el aprendizaje como una forma de apropiarse
del conocimiento. Siendo lo anterior, un tema de trascendencia para la enseñanza de la
23 El objeto de estudio de la presente investigación está centrado en el alumno,
inmerso en un contexto social y que se encuentra en constante interacción con el
concepto matemático de manera que, al trabajar con la MEA, se den evidencias de los
procesos del aprendizaje, así como las posibles formas de evaluar tales y aplicar los
conocimientos fuera del aula.
De lo anterior, se cuestiona: ¿En qué manera la actividad reveladora de
pensamiento permite analizar las respuestas de los estudiantes en términos del
aprendizaje del proceso de la multiplicación, para el desarrollo de un pensamiento
matemático?, ¿Cómo actúa el alumno ante el conocimiento matemático con la actividad
reveladora de pensamiento?, ¿Qué efectos origina en el pensamiento matemático del
educando las diferentes posibilidades de respuestas en la resolución de problemas en la
actividad reveladora de pensamiento? y ¿Cómo el alumno da evidencias de la
construcción de sus significados y conocimientos matemáticos inmerso en el diálogo y
equipo reflexivo?
Tal como se ha planteado, es importante pensar que el aprendizaje de la
Matemática de forma tradicional debe trascender en la práctica actual del aula. Es
necesario crear ambientes donde la resolución de problemas represente una actividad
cotidiana, así como ordenadores o programas de pensamiento, que generen tanto, en los
estudiantes como en los maestros, un aprendizaje en el que sea posible varias soluciones
y de las cuales surja un cambio de pensamiento hacia un nivel superior donde la
24 Finalmente, la instrucción en la resolución de problemas proporcionará un medio
por el cual el alumno construya un aprendizaje matemático donde las evidencias
muestren el desarrollo de sus procesos de aprendizaje y los conduzca al desarrollo de sus
habilidades: la comprensión, la búsqueda, la comparación y la explicación; las cuales
provoquen un cambio en el pensamiento matemático y al mismo tiempo trascienda para
la educación matemática.
1.4 Objetivos de la investigación
La dinámica y las pautas de interacción que se dan durante la enseñanza del
conocimiento matemático, así como los significados y los efectos que se construyen en la
resolución de un problema son evidencia del pensamiento y las acciones que se pueden
generar en los estudiantes ante el conocimiento matemático y su realidad.
Por lo que el objetivo de la presente investigación fue reconocer en qué manera la
MEA permitió analizar la actitud y las respuestas de los estudiantes en términos del
aprendizaje del proceso de la multiplicación, para el desarrollo de un pensamiento
matemático, así como el trabajo colaborativo como una manera de aprendizaje
significativo. Lo anterior como una manera de resignificar el conocimiento y el
aprendizaje matemático, así como el medio para la resolución.
Así mismo, los alumnos ante la actividad reveladora de pensamiento pueden
desarrollar ciertos pensamientos y acciones que posiblemente nunca se han cuestionado y
mucho menos los han hecho conscientes ante diversas soluciones, de tal forma que
observar la manera en cómo ciertas dinámicas grupales, palabras y acciones van
25 grupo de compañeros, en un contexto real y en diversas situaciones generalicen una
nueva y diferente forma de aprender.
El interés será el identificar las pautas de acción e interacción que los alumnos
muestren en la actividad reveladora de pensamiento; reconocer las estrategias y
habilidades que origina el pensamiento matemático; la actitud de los estudiantes ante las
diferentes posibilidades de respuestas y analizar la construcción de significados de los
educandos ante la resolución de un problema como una manera de transformar su
conocimiento. Finalmente, con lo anterior se pretende generar la resignificación en la
forma de aprender y aplicar el conocimiento matemático, así como la forma de
interaccionar con el saber matemático.
1.5 Hipótesis
En los estudios cualitativos, el investigador va generando hipótesis de trabajo que
se afinan paulatinamente conforme se recaban datos. Son emergentes, flexibles y
contextuales, se adaptan a los datos y avatares del curso de la investigación (Rodríguez,
1999). Por lo anterior y para efectos de la presente investigación se intentará predecir la
manera en cómo se construye el lenguaje y pensamiento matemático en los alumnos,
mediante las pautas de interacción entre un grupo determinado de compañeros así como
el conocimiento matemático, donde tales sean recursivas, es decir que permita la
construcción y trabajo colaborativo mediante el cuestionamiento: ¿qué?, ¿cuándo?,
¿dónde? , ¿cómo?, y ¿por qué? de la resolución del problema, siendo está dinámica de
trabajo una pauta representativa para la resolución de un problema; así como las
26 Así mismo, el que los estudiantes compartan una situación y escuchen otras voces
para la resolución del problema dará como resultado un diálogo matemático, tratando de
lograr escuchar sus propias voces y soluciones, así como las del grupo para que
re-signifiquen la idea de diversidad de posibilidades en los problemas.
1.6 Justificación de la investigación
La Secretaría de Educación Pública por medio de los Programas de Estudio para
Educación Básica, tercer grado (2009) tiene como propósito afrontar los nuevos retos de
la educación globalizadora. El desarrollo de las competencias en la educación, tanto de
maestros como de los alumnos, es el medio por el cual se pretende obtener mejores
resultados para la enseñanza y el aprendizaje. En Matemáticas el objetivo primordial es
dominar los contenidos matemáticos, así como el desarrollo de las habilidades para que
los educandos respondan a determinados problemas escolares y de la vida.
La metodología didáctica para la enseñanza de la Matemática consiste en llevar a
las aulas actividades que despierten el interés de los escolares y los inviten a reflexionar,
encontrando diferentes formas de resolver problemas y formular argumentos que validen
los resultados. El Programa de Estudio para Educación Básica (2009) refiere que para
alcanzar tales objetivos es necesario el desarrollo de competencias en los niños como son:
a) resolver problemas de manera autónoma, b) comunicar información matemática; c)
validar procedimientos y resultados; d) manejo de técnicas eficientemente.
Sin embargo, a casi veinte años de la reforma educativa en México, los cambios
27 formas de tratar los problemas matemáticos no son las mismas que antes de su
incorporación, pero tampoco son las esperadas. Los niños ya no aprenden en el contexto
de siempre, aunque los algoritmos y la rutina no los abandonan del todo” (Ávila, 2004.
p.100).
Ante los resultados anteriores, la investigación pretende trabajar con la actividad
reveladora de pensamiento como una forma de contribuir a las necesidades del aula y las
demandas institucionales en el aprendizaje de las Matemáticas, mediante el
reconocimiento de aquellas variables didácticas que provoquen las acciones y el
aprendizaje matemático de los estudiantes. El propósito es ir más allá de una situación
didáctica y resolución de problemas, en donde la actuación del sujeto sea evidente y que
tal contribuya en el pensamiento y conocimiento matemático.
La MEA promueve la planeación, la organización y la evaluación de la resolución
de problemas matemáticos. Los resultados que se obtengan de tal actividad pueden
contribuir en la construcción de situaciones didácticas que promuevan de forma constante
y consciente del aprendizaje y conocimiento matemático. Finalmente la actividad
reveladora de pensamiento puede contribuir como la transición para el cambio en la
enseñanza de la Matemática.
1.8 Limitaciones y delimitaciones
La investigación se llevó a cabo con participantes que cuentan con experiencia en
trabajo por equipos dentro de un taller de matemáticas y el cual cuenta con un
28 tiempo con el que se cuenta para la investigación puede resultar limitante ya que desde el
punto de vista de la Antropología se considera como un periodo razonable el de un año
para llevar a cabo el estudio de un fenómeno, aunque para el caso de un aula con tres
meses se considera suficiente (Rodríguez, 1999).
Para efectos de la investigación se aplicó la prueba piloto con la finalidad de
conocer el ambiente y reacciones tanto de los estudiantes como del docente ante la MEA,
siendo que el tiempo y la dinámica de la aplicación pueden variar de acuerdo a lo
planeado. El tiempo aproximado es de 4 semanas, con previa aprobación de la escuela,
docente de grupo y alumnos.
Los recursos humanos para la presente se encuentran disponibles y dispuestos a
colaborar, por lo que no existe dificultad para la aplicación. Dado entonces que las
limitantes que surjan durante la misma y que podrían influir son: la escasa colaboración y
ausencia de los educandos; los tiempos que la profesora de grupo proporcione para la
investigación debido a las actividades extra escolares que solicita de forma esporádica la
Secretaría de Educación Pública como: el concurso del Himno Nacional Mexicano; la
prueba de Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE),
entre otros: “Los presentes Lineamientos son de observancia y aplicación obligatoria para
todo el personal de las Escuelas Particulares de Educación Inicial, Básica, Especial y para
Adultos en el Distrito Federal, con autorización y reconocimiento de validez oficial de
29
Capítulo 2
Marco teórico
Cualquier actividad da como consecuencia un resultado y sea cual sea éste se
puede evidenciar de diversas maneras, explícita o implícitamente. Una actividad que
pueda revelar o demostrar la forma de pensar de un individuo ante diferentes acciones
puede resultar primordial, siendo que el análisis de tales respuestas logre demostrar un
nivel superior de quién o quiénes la ejecuten.
Actualmente, las posibles respuestas de los estudiantes ante los conocimientos
matemáticos representan un reto cognitivo que va más allá de la ejercitación de acciones
y que sólo refuerza un conocimiento. Es decir, el hecho de fortalecer únicamente un
concepto de forma sistemática, limita el pensamiento, la construcción de razonamiento,
así como la explicación consciente de una situación matemática.
Por lo anterior, el pensamiento y la actitud de los estudiantes ante las Matemáticas
desde el desarrollo cognitivo y el contexto social en que se encuentre inmerso, distingue
la importancia de las estructuras mentales superiores, así como las estrategias y procesos
que un grupo pueda explicar en los individuos y que permitan revelar su forma de pensar,
actuar y construir su conocimiento matemático. Siendo que, las actividades reveladoras
de pensamiento son aquellas que elucidan, como lo refiere su nombre, el pensamiento de
30 documenten su estrategia de solución y la compartan, se toma en cuenta la generalización
y la argumentación de la respuesta (Domínguez, 2009).
Para fines de la presente investigación se realizará un análisis sobre las respuestas
de los estudiantes al trabajar una Model-Eliciting Activity (MEA), actividad reveladora
de pensamiento en la comprensión de las tablas de multiplicar en tercer año de Educación
Básica Primaria.
El presente capítulo está integrado por cuatro apartados, el primero trata de
mostrar el origen y fundamento de la educación matemática, la resolución de problemas y
el error matemático. Dentro del segundo subcapítulo, se explica el estudio y desarrollo de
la actividad reveladora de pensamiento (Model Eliciting Activities, MEA) y la
evaluación. En el tercer subcapítulo, se realiza una explicación del concepto de
multiplicación, el algoritmo y las dificultades para la enseñanza del mismo. Por último, el
cuarto apartado está centrado en los grupos colaborativos y reflexivos como contexto que
favorece el trabajo en equipos y la reflexión del conocimiento.
2.1 Educación Matemática
En este sentido y desde la literatura, se parte del estudio de la educación
matemática vista como una ciencia que se construye de ideas prácticas en relación a la
enseñanza y aprendizaje de los saberes matemáticos y enseñados. Por lo que, la
educación matemática no sólo es un acto científico, sino que también es una empresa
31 (Waldegg, 2003). Es decir, la educación matemática permite realizar una análisis sobre
los quehaceres en la enseñanza y el aprendizaje de los sujetos ante el conocimiento.
En tal sentido, la educación matemática implica un vínculo entre el conocimiento
matemático y la sociedad, así como la aportación de otras ciencias como la filosofía,
historia, psicología, antropología, entre otras. De modo que la interacción de los
educandos con el aprendizaje de las Matemáticas, forma un sistema de interacción
comunicacional que conduce a una producción de ideas (cognición) y conocimientos
matemáticos (Waldegg, 2003).
Sobre la base de las consideraciones anteriores, resalta la perspectiva teórica que
propone el desarrollo de una rama del conocimiento relativamente autónoma, designada
como didáctica de las matemáticas que surge como paradigma en Francia; la cual realiza
una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación específicos
(Triángulo didáctico) como se muestra en la Figura 1. Así como su interés por la
producción y comunicación de los conocimientos matemáticos, representada por
[image:33.612.211.454.512.633.2]investigadores como Brousseau, Chevallard y Vergnaud (Gálvez,1994).
Figura 1. Triángulo didáctico
Situaciones didácticas Saber
32 La didáctica de las matemáticas, viene a representar el cambio en la educación y
es considerada por Chevallard como innovadora debido a su interés por la formación
matemática de los docentes, así como la producción de materiales de apoyo para el
trabajo de los maestros en el aula. Tomando las consideraciones anteriores, surge la idea
de la producción de conocimientos para controlar y producir tales acciones sobre la
enseñanza. Por lo tanto se plantea, la importancia de la investigación científica en los
procesos que tienen lugar en el dominio de la enseñanza escolar de la Matemática
(Gálvez, 1994).
Así mismo Brousseau en Gálvez (1994) propone el estudio de las condiciones en
las cuales se constituyen los conocimientos; el control de estas situaciones que permitirán
reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar de conocimientos. Toma como
punto de partida la idea de que el conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza
de las Matemáticas no es resultado de la simple fusión de conocimientos provenientes de
dominios independientes, como son las Matemáticas y las demás ciencias, sino que
requiere de investigaciones específicas.
Es decir, no basta con realizar observaciones y análisis de los procesos que se dan
en el aula, sino que se da prioridad a las condiciones en que se reproduce la apropiación
del saber por parte de los educandos y para ello se requiere un grado de control sobre
ellas, lo que implica que se debe participar en la producción de las situaciones didácticas
33 De manera que, Brousseau en Gálvez (1994) define el objeto de estudio de la
didáctica de las matemáticas como un conjunto de relaciones establecidas explícita y /o
implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende
eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el
profesor) con la finalidad de lograr la apropiación de un saber constituido o en vías de
constitución.
Las relaciones que se establecen entre maestro, alumno y el saber, conocidas
como contrato didáctico, se crean de forma explícita e implícitamente, definiendo las
reglas de funcionamiento dentro de la situación: distribución de responsabilidades,
asignación de plazos temporales a diferentes actividades, permiso o prohibición del uso
de determinados recursos de acción, etc. Lo esencial para una situación didáctica es el
carácter intencional, el haber sido construida con el propósito explícito de que alguien
aprenda algo (Gálvez,1994).
Así mismo las pautas relacionales establecidas en el contexto educativo,
desarrollan situaciones que pueden ser interesantes para la construcción del conocimiento
de los educandos, así como la posibilidad de generar conciencia de sus procesos
cognitivos. De manera que, el resultado de lo anterior, cambiaría el lugar del docente y
sus quehaceres, así como el contexto del aula, debido a los efectos de la nueva
autoimagen de los estudiantes.
El objetivo fundamental de la didáctica de las matemáticas es averiguar cómo
34 caso resultan determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y
subsecuentemente, de sus conocimentos. Además, no sólo las contextos de éxito son de
interés para analizar, sino también las situaciones didácticas que fracasan. Su análisis
puede constituir un aporte a la didáctica si se permite identificar los aspectos de la
situación que resultaron determinantes para su decadencia (Gálvez,1994).
De tal forma, al considerar las situaciones didácticas como objeto de estudio de
las didácticas de las matemáticas es necesario desarrollar una metodología para su
análisis, en donde es rescatable el comportamientos de los estudiantes ante las
sitiuaciones, así como los efectos que se construyan. Para Brousseau, el momento
fundamental de la investigación en didáctica lo constituye el análisis a priori de la
situación. El investigador en Didáctica debe ser capaz de prever los efectos de la
situación que ha elaborado, antes de ponerla a prueba en el aula; sólo posteriormente
podrá contrastar sus previsones con los comportamientos observados (Gálvez,1994).
Para analizar las situaciones didácticas, Brousseau las modeliza, utilizando
elementos de la teoría de los juegos y de la teoría de la información. Para una situación
didáctica determinada se identifica un estado inicial y el conjunto de los diversos estados
posibles, entre los que se encuentra el estado final que corresponde a la solución del
problema involucrado en la misma. Se explicitan las reglas que permiten pasar de un
estado a otro. La situación es descrita, entonces en términos de decisiones que los
jugadores pueden tomar en cada momento y de las diferentes estrategias que pueden
35 Por tanto, el sujeto ante el conocimiento, construirá desde sus saberes y
experiencias un constructo diverso y propio, sin embargo, los procesos implicados para el
desarrollo, creación, adquisición y constante evaluación de las prácticas educativas,
conduce al individuo a adjudicarse control y conciencia de los mencionados, que le
permitan conocerse, y crear una postura o posición ante las situaciones y prácticas
educativas que se le presenten.
Cabe considerar, que a lo largo de la filosofía y de las ciencias, las actividades
enfocadas en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática han sido propuestas desde
diferentes posturas de pensamiento humano y construcción de conocimiento como: el
racionalismo establecido en la razón; el empirismo cimentado en la experiencia; el
intelectualismo basado en la mediación entre el racionalismo y el empirismo y finalmente
Kant quien intenta la mediación entre el racionalismo y el empirismo, por lo que admite
un factor racional y un factor empírico en el conocimiento humano (Hessen,1997). De
manera que, el tipo de pensamiento del cual construya un individuo será de igual forma
importante para el modo de observar y construir su conocimiento, siendo lo anterior un
inicio considerable para su autoconocimiento.
Con base al anterior orden y dirección, Brousseau (citado en Gálvez,1994)
propone la siguiente clasificación para facilitar el análisis de las situaciones didácticas, la
36 a) Las situaciones de acción, las cuales permiten que los individuos
tomen decisiones que hagan falta para organizar la actividad en la resolución
del problema planteado.
b) Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación
de informaciones entre las personas. Tratando de utilizar un lenguaje claro,
adecuándolo a la información que desean comunicar.
c) Las situaciones de validación, los alumnos deben elaborar pruebas
para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo
que dicen es cierto.
d) Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer
convenciones sociales. Se intenta que el conjunto de estudiantes de una clase
asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido
elaborado por ellos en situaciones de acción, de formulación y de validación
(p.43).
Así mismo, una parte importante del análisis de una situación didáctica, lo
constituye la identificación de las variables didácticas y el estudio, tanto teórico como
experimental, de sus efectos. Se trata de precisar las condiciones de las que depende que
sea ése el conocimiento que interviene y no otro. Entre las variables que intervienen en
una situación hay algunas denominadas variables de comando, que pueden ser
manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos
37 Por lo tanto, la finalidad de la didáctica de las matemáticas es el conocimiento de
los fenómenos y procesos relativos a la enseñanza de las Matemáticas para controlarlos y
a través de ese control, optimizar el aprendizaje de los niños. Brousseau en Gálvez (1994)
plantea que es preciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir
de los saberes definidos culturalmente en los programas escolares.
Con base al panorama anterior definido, la escuela forma parte de un sistema
educativo el cual regula los planes y programas y por ende la concepción en la forma de
enseñar y reproducir los procesos de adquisición del conocimiento, tanto de los docentes
como de los estudiantes. Enseñar las Matemáticas desde situaciones didácticas que
involucre no sólo a la institución y al docente, sino también incluya en la acción el
aprendizaje del que tanto se a cuestionado.
Por lo que el contexto educativo (aula) es generador principal de pautas para
ejercer situaciones didácticas (por medio de consignas) diferentes que regulan la forma de
analizar y construir un conocimiento e inclusive llegar a la argumentación y la reflexión;
desde una atención no sólo en los contenidos, sino en la organización, estructura y
posibilidades que se puedan adquirir en tal contexto, en particular con el relacionado a la
enseñanza de la Matemática.
En consecuencia es de importancia hacer énfasis en la interacción
sujeto-situación-reflexión como una manera inicial en donde el alumno se relaciona con un
concepto de tal forma que éste se encuentre inmerso en múltiples condiciones de
38 didácticas que se le presenten durante la adquisición, análisis y reflexión de tales
aprendizajes, deben generar un sentido significativo para lograr una relación entre tal
conocimiento y su realidad, así como el proceso para llegar a tal.
Así mismo, es de importancia señalar que durante los últimos años se han
realizado estudios sobre las principales situaciones didácticas que se edifican a favor de la
construcción de una educación enfocada en el aprendizaje y no sólo de los conceptos,
sino también del autoconocimiento de las habilidades y estrategias cognitivas que
permitan al educando distinguir la construción de su propio conocimiento y en donde la
intervención del docente es lo menor posible, es decir, aquellas situaciones donde el niño
sea capaz de confrontar problemas de forma independiente y reflexiva.
Brosseau (citado en Gálvez,1994) refiere algunas de las características principales
para las situaciones didácticas como son:
• Los alumnos se responsabilizan de la organización de su actividad para tratar de
resolver el problema propuesto, es decir, formular proyectos personales.
• Los alumnos deben anticipar y luego verificar los resultados de su actividad.
• La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples decisiones por
parte de los alumnos y la posibilidad de conocer directamente las consecuencias
de sus decisiones a fin de modificarlas, para adecuarlas al logro del objetivo
perseguidos, se permite que éstos intenten resolver el problema varias veces.
• Los alumnos pueden recurrir a diferentes estrategias para resolver el problema
39 problema. Es indispensable que en el momento de plantear el problema los
estudiantes dispongan al menos de una estrategia (base) para que puedan
comprender la consigna y comenzar su actividad de búsqueda de solución.
• La manipulación de las variables de comando permite modificar las situaciones
didácticas y bloquea el uso de algunas estrategias, generando condiciones para la
aparición y la estabilización de otras (subyacentes al conocimiento que se quiere
enseñar).
• Los alumnos establecen relaciones sociales diversas: comunicaciones, debates o
negociaciones con sus iguales y con el maestro (p.47).
Las situaciones anteriores ejemplifican algunos momentos actuales de la
enseñanza de las Matemáticas ante la necesidad educativa de evolucionar y en el cual el
conocimiento matemático se construye más allá de un símbolo o resolución de un
problema. Sin embargo, es ineludible conocer cómo las anteriores situaciones han
actuado y generado efectos en la construcción del pensamiento, que permiten realizar
diferentes análisis de los mismos.
Si bien es cierto que la didáctica de las matemáticas construye una idea basada en
situaciones de interacción entre el sujeto, el saber y el maestro; no obstante, existe una
visión antropológica que analiza tales situaciones didácticas ya que se encuentran
inmersas en una sociedad dominante, donde la cultura y la ideología juegan un papel
40 un objeto clave en la didáctica Antropológica propuesta por Chevallard, el cual presupone
la idea de saber científico y de manipulación sobre el mismo (Cardelli, 2004).
Dado que las personas están inmersas en una cultura e ideología, de donde
emergen prácticas sociales y educativas que marcan las conductas y las relaciones del
sujeto con el saber, por medio de los diseños y ejecución de los procesos didácticos, es
importante establecer una conciencia crítica que permita analizar las pautas e ideas que
obstaculizan la transformación de los saberes.
Es decir, si bien las situaciones didácticas se caracterizan por la importancia de las
interacciones entre el sujeto, saber y maestro, así como los efectos de tales interacciones,
el contexto socio-cultural juega un papel principal para el desarrollo de las prácticas
educativas ya que tanto la sociedad como la misma institución marcan ciertas ideologías
que impactan la práctica docente y por ende en la enseñanza-aprendizaje.
Paulo Freire (citado en Sánchez, 2000, p.253) menciona que “es necesario una
pedagogía crítica y radical. Decodificar el currículum oculto, dialógicamente entre el
educando y el educador para lograr una transformación”. Es decir, la práctica educativa
actual, debe ser cuestionada desde las diversas formas de transmitir o construir un
conocimiento, así como las conductas, pautas, situaciones o relaciones que marcan el
contexto aula e institución con la finalidad de generar posibilidades críticas y reflexivas,
para el cambio educativo. Por tal motivo, es necesario mantener una conciencia crítica
ante las situaciones que se presenten a los educandos, así como la necesidad de crear en
41 prácticas de aprendizaje.Hechas las consideraciones anteriores, a continuación se
analizarán las acciones que puedan revelar el pensamiento de los estudiantes posterior a
la resolución de un problema matemático.
2.1.1 Resolución de problemas
La Matemática ha encontrado su definición en la práctica debido a las amplias
formas de resolver un problema, siendo que la anterior se colocará en un postura
aparentemente exclusiva, en donde para la educación matemática la comprensión de ésta
permita dar diversas posibilidades a la forma de aprenderla y enseñarla.
La resolución de problemas ha venido a modificar el aprendizaje de la
Matemática, debido a que hoy en día se pretende que los niños construyan su
conocimiento mediante actividades que despierten su interés.“Las implicaciones de este
cambio se extendieron a las formas de adquisición de los algoritmos, la interacción entre
los alumnos y el tipo de tareas propuestas por los profesores” (Ávila, 2004, p. 69).
Sin embargo, la concepción que tienen los actores de la educación sobre la
palabra “problema” recae en la idea del uso de ciertas técnicas mecánicas que ceden
respuestas de forma inmediata a una situación. “Los problemas deben ser, sobre todo ,
situaciones que permitan desencadenar acciones, reflexiones, estrategias y discusiones
que llevan a la solución buscada y a la construcción de nuevos conocimientos o al
42 La idea de la enseñanza de la Matemática que surge de esta concepción es que los
estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de
situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que
permita conjeturar y aplicar información, discutir, inventar y comunicar ideas, así como
probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación (Vilanova, 2001, p.1).
Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la Matemática
consiste en reflexionarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas,
refutaciones y cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y
cultural. La idea que subyace a esta visión es que “saber matemática” es “hacer
matemática”. Lo que caracteriza a la anterior es precisamente su hacer, sus procesos
creativos y generativos.
De acuerdo a lo anterior y para fines de la presente investigación es importante
destacar el interés de ambas visiones, donde el concepto matemático, así como la forma
en cómo se construye un pensamiento matemático con base a ciertas habilidades;
constituyen una visión de ella, de tal manera que ambas se complementen para un
objetivo en común, el conocimiento y el pensamiento matemático.
Hasta el momento, no hay un marco explicativo completo sobre cómo se
interrelacionan los variados aspectos del pensamiento matemático. En este contexto,
parece haber un acuerdo general sobre la importancia de estos cinco aspectos según
Schoenfeld (1992): a) los conocimientos base son los recursos matemáticos con los que
43 son aquellas habilidades que el alumno utiliza durante la resolución del problema; c) los
aspectos metacognitivos en la resolución de problemas se relacionan con la manera en
que se seleccionan y despliegan los recursos matemáticos; d) los sistemas de creencias los
cuales son abstraídos de las experiencias personales y de la cultura a la que uno pertence,
esto conduce a la consideración de la comunidad de práctica de la matemática; e) la
comunidad de práctica, en los últimos años considera el aprendizaje matemático como
una actividad inherentemente social (tanto cognitiva) y como una actividad esencialmente
constructiva, en lugar de receptiva.
Lo anterior es una forma de contextualizar la mirada y la práctica de resolución
de problemas en la educación matemática, lo cual genera una serie de posibilidades para
entender la diversidad de aprendizajes matemáticos, así como la manera de hacerse
concientes de tales mediante la representación mental y que puedan ser utilizados en la
vida cotidiana. Por ejemplo, existen los comerciantes de ambulantaje, que logran dominar
el tema de estimaciones y manejo del dinero, debido a las necedidades de su vida laboral
e inclusive algunos sin estudios escolarizados. Sin embargo han aprendido conceptos de
suma, resta, multiplicación y división, e inclusive estimación, bajo un aprendizaje y
método propio, dado por su entorno. De esto, la idea de no hacer a un lado el contexto,
las pautas de aprendizaje, el lenguaje y las estrategias con los que interactúa el
conocimiento matemático.
Así mismo, existen investigaciones que señalan en la práctica que la resolución de
44 las distinciones entre buenos y malos resolutores; c) la instrucción en resolución de
problemas y d) el estudio de la metacognición (Vilanova, 2001, p. 4).
No obstante, existen aspectos fundamentales que permanecen sin dirección en el
área de la resolución de problemas y en cada uno de los aspectos particulares
relacionados con ella. Según Schoenfeld (1992) :
• Se necesita mucha más claridad sobre el significado del término resolución de
problemas.
• Con relación a los recursos, resta elaborar una interacción dinámica entre los
recursos y otros aspectos del comportamiento al resolver problemas, es decir,
analizar cómo interactúan los recursos , con las estrategias, las creencias y las
prácticas.
• Con relación a las heurísticas o estrategias, mucho del trabajo teórico ya ha sido
hecho, pero los temas que quedan pendientes, que tienen más que ver con la
práctica y la implementación.
• Con respecto a las concepciones y creencias, este campo ha re-emergido como
foco de investigación y necesita una concentración de la atención. Está poco
conceptualizado y necesita simultáneamente nuevas metodologías y nuevos
marcos explicativos.
• Con respecto a las prácticas y a los significados a través de los cuales son
aprendidas, su importancia parece haber sido reconocida pero lo único que se
45 Lo anterior afirma que la solución de un problema tiene características que lo
favorecen y que lo limitan en la práctica, lo cual le confiere particularidades que deberán
tomarse en cuenta para el desarrollo y la ejecución en la enseñanza y aprendizaje. Por lo
cual y para fines de la presente investigación se enfoca en la resolución del problema
desde el análisis de la MEA como una manera de dar evidencia a los procesos o
estrategias en la solución de un problema, así como la forma de evaluar tales procesos
dentro y fuera del salón de clases.
2.1.2 Errores matemáticos
El error para la Didáctica de la Matemática es un estado de aprendizaje del
estudiante ya que al igual que los aciertos, el error va construyendo el aprendizaje. Desde
el aspecto psicológico, el aprendizaje de los individuos se enfrenta ante conflictos
cognitivos tanto internos (plano individual) como externos (plano social) que conduce a
un estado de misconcepciones, es decir, “ concepciones momentáneas no correctas, en
espera de consolidación cognitiva mejor elaboradas y más críticas” (D'Amore, 2005. p.
51).
Por lo que, hablar de los errores de los alumnos en el aprendizaje de las
Matemáticas vá más allá de la evaluación negativa. Se trata de darle un sentido de
aprendizaje en espera de la consolidación cognitiva y la construcción del conocimiento.
Aprender del error es un cambio de concepción y de paradigma en la práctica educativa.
Finalmente, bajo esta misma línea, los estudiantes también se enfrentan a
46 como son: de naturaleza ontogenética (limitaciones neurológicas), de naturaleza didáctica
(mala elección de contenido) y de naturaleza epistemológica (desconocimiento del
contenido) (D'Amore, 2005).
2.2 Actividad reveladora de pensamiento
De acuerdo con los estudios de la American Association for the Advancement of
Science en Ciencia:conocimientos para todos (A.A.A.S., 1997), refiere que la enseñanza
basada en la ciencia, las Matemáticas y la tecnología, constituye la base científica para un
cambio en los hábitos mentales de los individuos y resolver con sensibilidad y
objetividad los problemas individuales y sociales. Es decir, los sistemas educativos
modernos, encargados de la enseñanza se deben comprometer a la construcción de una
manera diferente de ver y transmitir la enseñanza, tomando en cuenta todos los sistemas y
subsistemas inmersos con la finalidad de generar modos científicos de pensar para los
individuos como en las sociedades.
Para lo cual, se requiere de una serie de construcciones en el contexto educativo
en que se encuentre inmerso el individuo y que al mismo tiempo respete la divesidad
social. Por tanto, una propuesta para generar un pensamiento diferente es por medio de
forjar en los alumnos potencialidades de sus inquietudes matemáticas por medio de la
indagación y el descubrimiento de sus propias necesidades y por consiguiente el hallazgo
de sus procesos cognitivos.
Las consideraciones anteriores, distinguen la importancia de una enseñanza de las
47 centrado en las soluciones más que en las preguntas; el empleo del razonamiento crítico
en lugar de la memoria; la comprensión del contexto en lugar de los detalles en la
información; la argumentación en lugar de la recitación; animar a los alumnos a trabajar
juntos, a compartir libremente ideas e información entre ellos o a usar instrumentos
modernos para ampliar sus posibilidades intelectuales (A.A.A.S., 1997).
Es trascedental considerar las situaciones didácticas como una forma diferente y
necesaria para generar la construcción de un conocimiento, sin embargo es de inevitable
beneficio para la presente investigación cuestionarse, qué hay más allá de la resolución de
un problema, así como la construcción de los efectos que se producen en la anterior.
Dando esencia al interés y atención en la forma en que se dan evidencias en los
procedimientos de pensar ante un problema o mejor dicho ante la solución y las
posibilidades del mismo.
Domínguez (2009) estudia la MEA como una manera de elucidar el pensamiento
de los estudiantes por medio del trabajo colectivo (grupo de 3 o 4 estudiantes), con la
intensión de resolver un problema el cual contenga más de una respuesta y más de una
manera de plantear la misma. Mediante el uso de una metodología donde los estudiantes
documenten su estrategia de solución, compartan con los compañeros las mismas, así
como la generalización de la estrategia y la argumentación a su respuesta, siendo ésta
última la de mayor trascendencia (Lesh &Doerr, 2003).
Para lo cual se considera que los contextos de los problemas sean realistas, que
