Problemas de física propuestos y resueltos: Capacitancia Preparado por: Pilar Cristina Barrera Silva
Sears-Zemansky, volumen 2, 13 edición
24.12 Un capacitor cilíndrico tiene un conductor interno de 1,50 mm de radio y un conductor externo de 3,50mm de radio. Los dos conductores están separados por vacío, y el capacitor completo mide 2,80 m de largo. (a) halle la capacitancia por unidad de longitud. (b) el potencial del conductor interno es 350 mV mayor que el del conductor externo. Halle la carga (magnitud) y signo en ambos conductores.
Solución:
(a)aplico el concept de capacitancia para el condensador cilíndrico:
! " =
#$%!
&' ("#"$) reemplazando valores numéricos se obtiene: !
" = 6,56𝑋10
+,,𝐹/𝑚
(b)se sabe que C=Q/𝑉-#-, entonces determino la carga
𝑄 = 6,56𝑋10+,,𝑋 2,80 𝑋 350 𝑋10+.= 6,43𝑋10+,,𝐶
El conductor interno tiene esta carga con valor positivo y el conductor externo tiene la misma carga con valor negativo.
Sears-Zemansky, volumen 2, 13 edición
24.13 Un capacitor esférico contiene una carga de 3,30 nC cuando está conectado a una diferencia de potencial de 220 V. Si sus placas están separadas por vacío y el radio interno de la coraza exterior es de 4,00 cm, halle: (a) la capacitancia (b) el radio de la esfera interior (c) el campo eléctrico inmediatamente afuera de la superficie de la esfera interior.
Solución: (a)𝐶 =/
0; reemplazando valores: 𝐶 = 1,50𝑋10 +,,𝐹
(b) ya que la capacitancia de este capacitor es: 𝐶 =1$%!-$-#
-#+-$ al despejar 𝑅, se obtiene:
𝑅, = !-#
1$%!-#2! al reemplazar los valores numéricos se obtiene: 𝑅# = 0,0309𝑚
Que equivale a 3,09 cm
(c) aplicando ley de Gauss para r≥ 𝑅, 𝐸 =1$%3
!4# reemplazando para el radio interno:
Capacitor de placas paralelas: Consiste en dos láminas paralelas cada una de área A separadas una distancia d, las placas tienen cargas iguales y
opuestas con densidad superficial +𝜎 y –𝜎. Determine la capacitancia de este dispositivo.
Solución:
El campo eléctrico entre las láminas es igual a: 𝐸 = %5
!, la diferencia
de potencial entre 0 y d es: 𝑉67 = −%5
!𝑑, determino el potencial
𝑉76 = 5
%!𝑑; la capacitancia es: 𝐶 = 58%!
57 , simplificando: 𝐶 = 8%!
7
Capacitor cilíndrico: Consiste en dos cilindros concéntricos de radios a y b y
longitud L (de cada uno), los cilindros tienen cargas iguales y opuestas, de tal forma que el cilindro interno tiene carga +q y el externo tiene carga –q. Determine la capacitancia de este dispositivo.
Solución:
Ya que la relación carga a potencial permite determinar la capacitancia, determino a partir de ley de Gauss el campo eléctrico entre a y b: 𝐸2𝜋𝑟𝐿 =%3
!
Entonces el campo eléctrico es: 𝐸 =#$"%3
!4
Ahora determino la diferencia de potencial entre a y b a partir de: 𝑉 = − ∫ 𝐸@⃗. 𝑑𝑟⃗ Entonces: 𝑉9: = − ∫ #$"%3
!4𝑑𝑟 = :
9 −
3 #$"%!ln (
: 9)
Ya que este potencial se ha determinado en la dirección del campo eléctrico, debemos calcular 𝑉:9;#$"%3
!ln ( :
9) finalmente la capacitancia es: 𝐶 = #$"%!
&' (%&)
Orden de magnitud de la capacitancia: Las placas paralelas de un capacitor están separadas 1,00 mm. Determine el área de las placas para que la capacitancia sea de 1,00 F.
Solución:
La capacitancia es: 𝐶 =8%!
Capacitor esférico: Consiste en dos cascarones concéntricos de radios a y b, los cascarones tienen cargas iguales y opuestas, de tal forma que el interno tiene carga +q y el externo tiene carga –q. Determine la capacitancia de este dispositivo.
Capacitor esférico: Para un capacitor esférico de radios R1 y R2. Muestre que si R2
tiende a infinito la capacitancia resulta ser: 𝐶 = 4𝜋𝜖6𝑅,.
Solución: Se sabe que para un capacitor esférico la capacitancia es: 𝐶 =4𝜋𝜖6 𝑅,𝑅#
𝑅#− 𝑅,
Factorizo 𝑅# y aplico la aproximación: 𝑅# tiende a infinito: 𝐶 = 4𝜋𝜖6 𝑅,𝑅#
𝑅#(𝑅#
𝑅# − 𝑅𝑅,#)
= 4𝜋𝜖6𝑅,
Capacitor de placas paralelas: Si el capacitor está diseñado de tal manera que cada uno de los conductores es circular y tiene un radio de 5,00 cm, estando separados por una distancia de 0,500 mm. (a) determine la capacitancia de este dispositivo (b) si al condensador se le aplica una diferencia de potencial de 6,00 voltios determine la cantidad de carga que se transfiere de una placa circular a la otra.
Carga en un condensador de placas paralelas: Para un condensador de placas cuadradas de 6,50 cm de lado y separadas 1,00 mm se conecta a una batería de 8,00 voltios, esperando que se cargue por completo el capacitor. (a) determine la carga almacenada en el condensador (b) determine la cantidad de energía que se almacena originalmente en el capacitor (c) Se desconecta entonces la batería del condensador y se incrementa la separación entre las placas a 2,50 mm. Determine en cuanto se incrementa la energía al modificar la separación entre las placas. Asumir que la carga se mantiene constante.
Solución:
(a) C= Q/V; la carga es: Q=CV; 𝑄 =%!8
7 𝑉 = 2,99𝑋10+,=𝐶
(b) 𝑈6 = /#!# = 1,20𝑋10+>𝐽
(c)𝑈?@A9B=#!3#∗= 2,98𝑋10+>𝐽
Δ𝑈 = 𝑈?− 𝑈6 = 1,78𝑋10+> 𝐽
Aproximación de un capacitor esférico: La capacitancia de un condensador esférico es: 𝐶 =1$%!-$-#
-#+-$ muestre que cuando los radios de las cortezas esféricas son
casi iguales, la capacitancia del sistema es de manera aproximada la capacitancia de un condensador de placas paralelas: 𝐶 =%!8
7 donde 𝐴 es el área de la esfera y 𝑑 =
Capacitores en serie y en paralelo: (a)Muestre que al conectar en serie dos capacitores la capacitancia equivalente se puede determinar a partir de:
,
!()*+,&-(./( = , !$+
, !#
(b) si ahora se conectan en paralelo muestre que la capacitancia equivalente resulta ser igual a: 𝐶C3D@E9BCAFC = 𝐶,+ 𝐶#
Energía almacenada en un capacitor: Muestre que la energía almacenada en un condensador es igual a:
𝑈 = 𝑄2𝐶# =𝐶𝑉2# =𝑄𝑉2 Solución:
Se sabe que el potencial corresponde al trabajo por unidad de carga: 𝑣 =7G73 es decir se requiere realizar un trabajo para ubicar las cargas en cada una de las placas del capacitor de placas paralelas:
Entonces 𝑑𝑊 = 𝑣𝑑𝑞 =3
!𝑑𝑞 integrando: 𝑊 = ∫ 373
! /
= =
/# #!
Densidad de energía dentro de un condensador: corresponde a la energía almacenada en la unidad de volumen entre las placas paralelas de un condensador. Determinar este valor.
Solución:
𝜂 = 𝑈𝜐 = 1 2 𝐶𝑉#
𝐴𝑑 =
𝜖6𝐴 (𝐸𝑑)#
2𝑑𝐴𝑑 = 𝜖6𝐸#
2
Red de capacitores: Determinar la capacitancia equivalente en las siguientes configuraciones, sabiendo que cada capacitor tiene un valor de 2,00 𝜇𝐹.
Física Halliday Resnick, volumen 2, tercera impresión.
Física Halliday Resnick, volumen 2, tercera impresión.
30.30 Un capacitor de placas paralelas con aire, tiene una capacitancia de 100 pF (a) halle la energía almacenada si se aplica una diferencia de potencial de 50,0 voltios. (b) ¿Es posible determinar la densidad de energía en puntos intermedios entre las placas? Si la respuesta es afirmativa, determínela y grafique de manera aproximada la
densidad de energía como función de la distancia entre placas.
Sears Zemansky, volumen 2, 13 edición
24.34 Un capacitor está formado por dos esferas huecas conductoras concéntricas separadas por vacío. La esfera interior tiene un radio de 12,5 cm y la esfera exterior tiene un radio de 14,8 cm. Se aplica al capacitor una diferencia de potencia de 120 V (a) halle la densidad de energía en r= 12,6 cm inmediatamente afuera de la esfera interior. (b) halle la densidad de energía en r= 14,7 cm, inmediatamente adentro de la esfera exterior (c) para un capacitor de placas paralelas, la densidad de energía es uniforme en la región entre las placas, excepto cerca de los bordes de éstas. ¿esto también se cumple para un condensador esférico?
Solución:
(a) La densidad de energía es: 𝜂 =%!H#
# ; El campo eléctrico entre r1 y r2 es igual a
𝐸 =1$%/
!4#; ya que no conozco la carga: 𝐶 = 𝑄/𝑉 entonces Q= CV=
1$%!-$-# -#+-$ 𝑉
El valor numérico de la carga en cada capacitor es: Q= 1,07 X10-8 C
Entonces en r= 12,6 cm E=6,06X103 V/m y la densidad de energía será:
𝜂 = 1,63𝑋10+1𝐽/𝑚.
(b) en r= 14,7 cm realizando cálculos similares: 𝜂 = 8,84 𝑋10+I 𝐽/𝑚.
Propuesta de circuito: Para la siguiente configuración de condensadores, cada uno de éstos vale 1,00 𝜇𝐹, la diferencia de potencial aplicada es igual a 20,0 Voltios. (a) halle la capacitancia equivalente (b) hallar la diferencia de potencial en cada capacitor (c) halle la carga en cada capacitor.
Solución:
Primero determino la capacitancia equivalente entre a y b, sumando c1 y c2 en serie: !,
$# = , !$+
,
!# 𝐶,#=
0,500𝜇𝐹 , ahora sumo este resultado conC3 en
paralelo:
𝐶,#. = 1,50 𝜇𝐹; ahora determino la capacitancia
equivalente entre a y c: Cequivalente1234: !,
$#01= , !$#0+
,
!1 despejando: 𝐶,#.1 =
6,02𝑋10+J𝐹
Hallo la carga total en el circuito aplicando la ley: sumatoria de caídas de tensión en una malla es igual a cero: (tengo en cuenta: C=Q/V)
20,0= /2 ,,I= L+
/2
,,==L; de donde la carga total es:
𝑄M = 1,20𝑋10+I𝐶
Con esta carga total puedo determinar la diferencia de potencial entre a y b: Vab= Qtotal /C123 ; Vab= 8,00 voltios
Entonces en C4 se aplican 12,0 voltios
Como conozco la diferencia de potencial entre a y b el potencial de C3 es 8,00 voltios,
entonces la carga en C3 es: QC3= C3Vab
QC3= 1,00𝜇 X 8,00 = 8,00 𝜇𝐶
Ya que la carga total se distribuye entre C12 y C3:
Qtotal= QC12+QC3
Entonces la carga en C12 es: QC12= Qtotal- QC3= 4,00X10-6C
Conociendo la carga en C12 puedo determinar el potencial en cada uno de éstos; ya que
tienen el mismo valor de capacitancia, cada condensador queda con 4,00 voltios
Resumen de resultados:
(a) Capacitancia equivalente1234: 𝐶,#.1 = 6,02𝑋10+J𝐹
(b) V1= 4,00 voltios; V2= 4,00 voltios V3= 8,00 voltios V4= 12,0 voltios
Física Halliday Resnick, volumen 2, tercera impresión.
30.43Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, como se ilustra. Muestre que la capacitancia está dada por:
𝐶 =2𝜖6𝐴 𝑑 (
