Tema 16 Números complejos

(1)

NÚMEROS COMPLEJOS

,

ℂ

CPR. JORGE JUAN

_Xuvia-Narón

En determinadas ocasiones pueden aparecer en el desarrollo de una expresión algebraica ó en la solución de una ecuación, raíces cuadradas ó de índicepar con el radicando negativo, que en el campo de los números reales no tienen sentido o solución.

Para solucionar este inconveniente, se denomina

i=



1

y se denomina unidad imaginaria, de forma que cualquier raíz de índice par tenga ahora sentido, pudiéndose escribir

1.

1. .

a

a i

 







 

4

1.4 1. 4

4. i

2 i

 







 

Se verifica:

i= i

i2= i.i=

 

2

1.

1

1 

 



 

i3= i2.i= -1.i= -i

i4= i2.i2= (-1).(-1)= 1

……….

in= i4.c + r= i4.c . ir= (i4)c.ir= 1c.ir= 1.ir= ir siendo ésta una de las potencias anteriores.

n  4 por la prueba de la división: n= 4.c + r

r c r, resto de la división. Como el divisor es, 4, puede tomar los valores, r= 0, 1, 2, 3

Se hace necesario ampliar el conjunto de los números conocidos ó números reales, ℝ, con un nuevo conjunto denominado de los números complejos, ℂ, en el que los números reales sean un caso particular de ellos y las raíces de índice par y radicando negativo tengan existencia.

Se llama número complejo a una expresión de la forma:

z= a+b.



1

= a+bi

aℝ Parte real del número complejo bℝ Parte imaginaria del número complejo

(2)

Los números complejos, zℂ, no pueden representarse sobre la recta real, sin embargo es posible hacer una representación geométrica de los mismos sobre un plano, denominado plano complejo. A cada número complejo le corresponde un punto de este plano y viceversa.

Así dado un sistema de coordenadas rectangular, O,X,Y, sobre su eje de abscisas, X, se representa la parte real, a, del número complejo y sobre su eje de ordenadas, Y, se representa la parte imaginaria, b, del número complejo. El número

complejo, z= a+bi, queda asociado con el punto, P(a,b), del plano de coordenadas.

A cada número complejo, z= a+bi, le corresponde un punto, P(a,b), del plano cartesiano que se llama su afijo,

y recíprocamente, a cada punto del plano cartesiano le corresponde un número complejo. De este modo queda establecida una aplicación biyectiva entre los puntos del plano cartesiano y los números complejos.

El punto afijo, P, del número complejo, z, determina con el origen de, O, del sistema de coordenadas, O,X,Y, un único vector, OP, que representa al número complejo.

Se establece pues el isomorfismo

b P

ℂ  ℝxℝ z= a+bi

a+bi  (a,b) O z

a

de forma que para un número complejo, z, no nulo se define:

Módulo del complejo, z

Es el módulo del vector, OP, o distancia desde el punto, P, o punto afijo del número complejo al origen de coordenadas, O.

z= a+bi= =

a

2



b

2= OP

expresión que puede ser desarrollada a través de la expresión

z=

z z

.



(

a



bi

).(

a



bi

)



a

2



b i

2

.

2



a

2



b

2

.( 1)





a

2



b

2

El módulo de un número complejo, z, tiene las propiedades:

z= 0  z= 0

-z=z

z1+ z2z1+z2

z1= (z1- z2) + z2z1- z2+z2

(3)

z1-z2z1- z2

z1. z2=z1.z2

c.z=c.zcℝ

z1-z2z1- z2

Argumento del complejo, z

Es el ángulo medido en el sentido contrario a las agujas del reloj que forma el semieje positivo, X, del sistema de coordenadas rectangular, O,X,Y, con el vector, OP, asociado al complejo, z.

= arco tg

b

a

El módulo y el argumento del número complejo no nulo, z, definen las coordenadas polares de su afijo. Se verifica:

a= .cos 

b= .sen 

expresiones que permiten escribir para el número complejo

z= a+bi= .cos  + .sen  i= .(cos +i.sen )= 

binómica Trigonométrica Polar Formas del número complejo, z

pudiéndose establecer la equivalencia

(a,b) (,) (,+2k)

Se deduce:

Si, b= 0, el número complejo, z, se transforma en un número real, de lo que se deduce que los números reales, ℝ, son un subconjunto de los números complejos, ℂ .

z= a+0i= a ℝℂ

Los números reales son números complejos con la parte imaginaria nula.

Si, a= 0, el número complejo, z, se transforma en un número imaginario puro.

z= 0+bi= bi ℂ

Si, a= 0, y, b= 0, se tiene el número complejo cero, 0.

(4)

Dos números complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias.

z= a+bi 

 z=z’  a+bi= a’+b’i  a= a’ b= b’ z’= a’+b’i 

El conjugado,

z

, de un número complejo no nulo, z= a+bi, es otro número complejo que tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginara.

z

= a-bi

El conjugado del conjugado de un número complejo, z, es el propio número complejo, z

z



z

z= a+bi

z

= a-bi

z

= a-(-b)i= a+bi

El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados de dichos números complejos.

'

z



z

 

z

z= a+bi z’= c+di

z

= a-bi

z

'

= c-di z+z’= (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i

'

z



z

= (a+c)-(b+d)i

z



z

'

= (a-bi)+(c-di)= (a+c)+(-b-d)i= (a+c)-(b+d)i

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números complejos.

. '

z z



z z

z= a+bi z’= c+di

z

= a-bi

z

'

= c-di z.z’= (a+bi).(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i

. '

z z

=

(ac-bd)-(ad+bc)i

z z

. '

= (a-bi).(c-di)= (ac-bd)+(-ad-bc)i= (ac-bd)-(ad+bd)i

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

z=

z

 zℝ

z= a+bi

z

= a-bi

z=

z

 a+bi= a-bi  a= a  z= a+0i= a b= -b  2b= 0  b= 0

La suma y el producto de un complejo y su conjugado da como resultado un número real.

z+

z

= xℝ

(5)

(a+bi)+(a-bi)= 2a+0i= 2a= xℝ

(a+bi).(a-bi)= a2-b2i2= a2+b2= yℝ

El afijo que representa al conjugado de un número complejo es simétrico con respecto al eje de abscisas, X,del sitema de coordenadas, O,X,Y, del afijo del número complejo, z.

Escribir en forma modulo-argumento los complejos:

3+2i

2 2

3 2



i



3 

2 

13 33º 41'24"

2 213º 41'24"

3 tg









se escribe entonces:

3+2i=

13

33º41' 24 "

1-i

2 2

1  

i

1  

( 1)



2 135º

1 315º

1 tg













1-i=

2

135º

-2-5i

2 2

2 5

i

( 2)

( 5)

29  





 



5 68º11'54"

248º11'54"

2 tg













(6)

Representar en forma binómico los complejos:

350º 350° = 3.(cos 50° + i.sen 50°) = 3(0’643 + 0’766 i)= 1’929 + 2’298 i

2180º 2180° = 2.(cos 180° + i.sen 180°) = 2 (-1 + 0 i) = - 2

1220º 1220° = 1.(cos 220° + i.sen 220°) = - 0’766 – 0’643 i

Las operaciones que se definan con los números complejos han de ser tales que incluyan en su definición a esas mismas operaciones definidas sobre los números reales, de forma que estas últimas sean un caso particular de las primeras.

Sumar, restar

La suma o resta de números complejos da como resultado otro número complejo cuya parte real sea la suma o resta de las partes reales de dichos complejos y cuya parte imaginaria sea la suma o resta de las partes imaginarias de dichos complejos.

(a+bi)  (c+di)= (a  c) + (b  d)i

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa

z,z’ℂ  z+z’= z’+z= z”ℂ

(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i= (c+a)+(d+b)i= (c+di)+(a+bi)

(2-3i)+(-3+i)= (2-3)+(-3+1)i= -1-2i

(-3+i)+(2-3i)= (-3+2)+(1-3)i= -1-2i

Asociativa

z,z’,z”ℂ  z+(z’+z”)= (z+z’)+z”= ℂ

(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)]= (a+bi)+[(c+e)+(d+f)i]= (a+c+e)+(b+d+f)i= [(a+c)+(b+d)i]+(e+fi)= [(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)

(5+2i)+(3-4i)]+(-9+8i)= (8-2i)+(-9+8i)= -1+6i

(5+2i)+[(3-4i)+(-9+8i)]= (5+2i)+(-6+4i)= -1+6i

Elemento neutro

zℂ, e=0+0i ℂ  z+e= e+z= zℂ

(a+bi)+(0+0i)= (a+0)+(b+0)i= a+bi= (0+a)+(0+b)i= (0+0i)+(a+bi)

Elemento simétrico

zℂ,  -zℂ  z+(-z)= (-z)+z= e= 0+0i ℂ

(7)

(5+2i)+[(-5)+(-2)i]= [(5+(-5)]+[(2+(-2)i]=(0+0i)= (-5+5)+(-2+2)i= [-5+(-2)i]+(5+2i)

Anticonmutativa para la resta

z,z’ℂ  z-z’= -(z’-z)= z”ℂ

(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i= -(c-a)-(d-b)i= -[(c-a)+(d-b)i]= -[(c+di)-(a+bi)]

(2-3i)-(-3+i)= [(2-(-3)]+[(-3)-1]i= 5-4i

(-3+i)-(2-3i)= (-3-2)+[(1-(-3)]i= -5+4i

-[(-3+i)-(2-3i)]= -(-5+4i)= 5-4i

Multiplicar

El producto de dos números complejos da como resultado otro número complejo obtenido aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o resta y teniendo en cuenta el valor de las potencias de la unidad imaginaria, i.

(a+bi).(c+di)= ac + adi + bci + bdi2= (ac - bd) + (ad + bc)i

si los números complejos están escritos en su forma trigonométrica:

a+bi= 1.(cos 1+i.sen 1)

c+di= 2.(cos 2+i.sen 2)

entonces

(a+bi).(c+di)= 1.(cos 1+i.sen 1). 2.(cos 2+i.sen 2)=

1.2.(cos 1 . cos 2 + i.cos 1 . sen 2 + i.sen 1 . cos 2 + i2.sen 1 . sen 2)=

1.2.(cos 1 . cos 2 + i.cos 1 . sen 2 + i.sen 1 . cos 2 -sen 1 . sen 2)=

1.2.(cos 1 . cos 2 - sen 1 . sen 2 + i.cos 1 . sen 2 + i.sen 1 . cos 2)= 1.2.[(cos 1 . cos 2 - sen 1 . sen 2)+ i.(cos 1 . sen 2 + sen 1 . cos 2)]=

1.2[cos(1+2)+i sen(1+2)]=

1 2

1

.

2_ _

 



La multiplicación de números complejos tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa

z,z’ℂ  z.z’= z’.z= z”ℂ

(

a+bi).(c+di)= a.c+a.di+b.ci+b.di2= (a.c-b.d)+(a.d+b.c)i=

(c.a-d.b)+(d.a+c.b)i= c.a+d.ai+c.bi+d.bi2= (c+di).(a+bi)

(7 - i).(5 + 2.i) = 35 + 14.i - 5.i -2.i ² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i

(8)

Asociativa

z,z’,z”ℂ  z.(z’.z”)= (z.z’).z”= ℂ

(a+bi).[(c+di).(e+fi)]= [(a+bi).(c+di)].(e+fi)

[(2-3i).(5+i)].(4-7i)= (10+2i-15i-3i²).(4-7i)= (13-13i).(4-7i)= 52-91i-52i+ 91i²= -39-143i

(2-3i).[(5+i).(4-7i)]= (2-3i).(20-35i+4i-7i²)= (2-3i).(27-31i)= 54-62i-81i+93i²= -39-143i

Elemento neutro

zℂ, e=1+0i ℂ  z.e= e.z= zℂ

(a+bi).(1+0i)= a.1+a.0i+b.1i+b.0i2= (a+0)+(0+b)i= a+bi= 1.a+0.ai+1.bi+0.bi2= (1+0i).(a+bi)

Distributiva del producto con respecto a la suma de números complejos

z,z’,z”ℂ  z.(z’+z”)= z.z’+z.z”= ℂ

(a+bi).[(c+di)+(e+fi)]= (a+bi).(c+di)+(a+bi).(e+fi)

(1-2i).[3i+(2-7i)]= (1-2i).(2-4i)= 2-4i-4i+8i²= -6-8i

(1-2i).3i+(1-2i).(2-7i)= (3i-6i²)+(2-7i-4i+14i²)= (3i+6)+(-12-11i)= -6-8i

El conjunto de los números complejos, ℂ, con las propiedades vistas hasta aquí para la suma y el producto tiene estructura de Anillo Conmutativo, (ℂ,+,.).

Elemento simétrico

z 0ℂ,  z-1ℂ  z.z-1= z-1.z= e= 1+0i ℂ

z=a+bi

z-1= x+yi se verifica

(a+bi).(x+yi)= 1+0i

(ax-by)+(ay+bx)i= 1+0i

Igualando las partes reales y las partes imaginarias de los dos miembros de esta ecuación

ax-by= 1  a2x-aby= a



bx+ay= 0 b2x+aby= 0

x.(a2+b2)= a x= ₂

a

₂

a



b

(9)

b. ₂

a

₂

a



b

+ ay= 0 ay= 2 2

ba

a

b





y= 2 2

b

a

b





se tiene entonces para el inverso del número complejo, z= a+bi

z-1= ₂

a

₂

a



b

+ 2 2

b

a

b





i

El conjunto de los números complejos, ℂ, con las propiedades que tiene para la suma y el producto tiene estructura de Cuerpo Conmutativo, (ℂ,+,.).

Multiplicar por dos métodos distintos los complejos 3i.(2-2i)

multiplicando directamente en forma binómico los números complejos, se tiene

3i. (2-2i) = 6i - 6i²= 6i – 6(-1)= 6+6i

otro método sería pasando dichos complejos primero a su forma módulo-argumento, para posteriormente multiplicarlos.

2 2

3i  0 3  93

90º 3

270º 2

tg 





 



 = 90º

3i= 390º

2 2

2 2 i  2  ( 2)  8

2 135º

315º 2

tg 



 

 



= 135º

2-2i=

8

135º porque la gráfica de este complejo se haya en el cuarto cuadrante.

Multiplicando en forma módulo-argumental

3i. (2-2i) = 390º .

8

135º= (3.

8

)90º + 315º = (3.

8

)405°

transformando este resultado a la forma binómica, se escribe





45º

2 2 3 16 3 16

(3 8) 3 8 cos 45 . 45 3 8. . 6 6

2 2 2 2

i sen  i  i i

   _  _   

(10)

Dividir

La división de dos números complejos se hace multiplicando el número complejo numerador o dividendo de la expresión por el complejo conjugado del denominador o divisor de la expresión.

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ).( )

a bi a bi c di ac adi bci bdi ac bd bc ad i ac bd bc ad i

c di c di c di c d i c d c d c d

          

    

      

La división también puede considerarse como el producto de un número complejo por el inverso del número complejo del denominador o divisor.

si los números complejos están escritos en su forma trigonométrica:

a+bi= 1.(cos 1+i.sen 1)

c+di= 2.(cos 2+i.sen 2)

su conjugado

c-di= 2.[cos (-2)+i.sen (-2)]= 2.(cos 2 - i.sen 2)

entonces



 





 



1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2

.(cos

.

.(cos

.

(

).(

)

(

).(

)

.(cos

.

.(cos

.

i sen

a

bi

a

bi

c

di

c

di

c

di

c

di

i sen



































2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

. cos

.cos

.

.cos

.

. cos

.cos

.

.cos

.

i

sen

i sen

sen

i

sen

i sen

sen

 



 















_{ }























1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

. cos

.cos

.

.cos

.

. cos

.cos

.

.cos

.

i

sen

i sen

sen

i

sen

i sen

sen



























1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

. (cos

.cos

.

)

.(

.cos

cos

.

)

. cos

.cos

.

.cos

.

sen

i sen

sen

i

sen

i sen

sen



























 

1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2

2

2 2 2

. cos(

)

.

(

)

. cos(

)

.

(

)

. 1

. cos

i sen

sen







































1 2 1 1

1 2 1 2

2 2

. cos(

)

i sen

.

(

)

 





(11)

Efectuar la operación:

(5 3 ).(1

)

(1

)

3 i

i









2

(5 3 ).(1

)

5 5

3

3 5 2

3 8 2

(1

) 3

1 2

i















2

2 2 2

8

2 (8

2 ).(1 2 )

8 16

2

4 12 14

12 14

12

14 1 2

(1 2 ).(1 2 )

1

2 1 4

5

5 i

i



















1 1 2i



2 2 2

1 1.(1 2 )

1 2

1

2 1 2

(1 2 ).(1 2 )

1

2 1 4

5

5 i

i













2

3

4

5 i

i



2

2 2 2

2 3

(2 3 ).(4 5 )

8 10

12

15 23 2

23 2

23

2 4 5

(4 5 ).(4 5 )

4

5 16 25

41

41 i

i



















Hallar, k, de forma que el cociente:

2 ki

k

i

 



, sea: Un número real.

Un número imaginario puro.

Tenga la parte real igual a la parte imaginaria.

el cociente viene dado por la expresión

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 ( 2

).(

)

2

3 (

2)

3

2 (

).(

)

1

1 ki

ki

k

i

k

i

k i

ki

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

 

























para que este cociente sea un número real

2 2

2

0

1 k

k







; 2

2

0 k

 

;

k

2



2

;

k

 

2

para que este cociente sea un número imaginario puro

2

3

0

1 k

k







;



3 k



0

;

k



0

(12)

2

2 2

3

2

1

1 k

k







;

2

3 k

k

2 





;

k

2



3 k

 

2

0

ecuación de segundo grado que tiene por soluciones

2

1

Potencia de exponente natural de un número complejo

Atendiendo a la multiplicación de números complejos se escribe

zn= (a+bi)n= [(cos +i.sen )]n= n(cos n+i.sen n)= n

n

si el número complejo tiene de módulo la unidad, se obtiene una expresión conocida como la

Fórmula de Moure. Esta fórmula combinada con el desarrollo del binomio de Newton, permite obtener fácilmente las razones trigonométricas del seno y del coseno, de ángulo, n, múltiplo del ángulo, , conocidas las razones trigonométricas del seno y del coseno de dicho ángulo, .

zn= [1.(cos +i.sen )]n= 1n.(cos n+i.sen n)= cos n+i.sen n=

0

.

n

n k k

k

n

a

b

k





 

 

 



Hallar la expresión de, sen 4x, y de, cos 4x, en función de las razones trigonométricas del ángulo, x.

se considera el complejo en forma módulo argumento, 1 x. Su cuarta potencia viene dada por:

(1x) 4

= 144.x= 14x= 1.(cos 4x+i.sen 4x)= cos 4x + i.sen 4x

por otro lado se tiene:

1x= 1.(cos x+i.sen x)= cos x+i.sen x

Por lo que:

(1x) 4

= (cos x + i.sen x)4

aplicando el binomio de Newton a esta expresión:

(cos x+i.sen x)4= cos4 x+ 4i.cos³ x.sen x+6cos ² x.(i.sen x)²+4cos x·(i.sen x)³+(i.sen x)4= cos4 x+4i.cos³ x.sen x-6cos ² x·sen ² x-4cos x·sen³ x i+sen4 x

igualando las partes reales y las partes imaginarias en ambos resultados obtenidos:

cos 4x= cos4 x-6cos² x·sen² x+sen4 x

sen 4x= 4cos³ x.sen x-4cos x·sen³ x

3 9 4.1.2

3 9 8

3 1

2.1

2

(13)

Raíz de un número complejo

Raíz cuadrada de un número complejo, z= a+bi, es en general otro número complejo tal que

z



a



bi

= x+yi

se verifica entonces



a



bi



2= (x+yi)2

a+bi= x2 + 2xyi + y2i2= (x2-y2)+2xyi

igualando las partes reales y las partes imaginarias en ambos miembros de esta ecuación resulta una sistema de ecuaciones no lineales.

a= x2-y2 b= 2xy

resolviendo este sistema se tiene calculada la raíz cuadrada del número complejo, z.

Raíz n-ésima de un número complejo, z, es en general otro número complejo, , tal que

n

z

=  / n = z

= 1.(cos +i.sen )= ₁ 



n=



₁n.(cos n+i.sen n) z= .(cos +i.sen )= 

teniendo en cuenta la última igualdad

n= [1.(cos +i.sen )]n=



₁n.(cos n+i.sen n)= .(cos +i.sen )= z

dado que los dos complejos han de ser iguales, han de tener iguales sus módulos, y sus argumentos han de diferenciarse en un múltiplo de, 2

1 n



=  

_

₁

_

n

_

n=  

2 k

n











se

escribe entonces para la raíz n-ésima del número complejo, z

kℤ, k= 0,…,n-1





2

1 1

2

2 . cos

.

. cos

.

n n _k n

n

k

z

i sen

n



 



































_



_

(14)

Todo número complejo, z, distinto de cero tiene n-raíces distintas verificándose:

Todas las n-raíces tienen el mismo módulo, n

_

Los afijos de estas n-raíces están situadas sobre una circunferencia de centro el origen

del sistema de coordenadas cartesiano, O,X,Y, y radio, n

_

A la primera de estas n-raíces le corresponde un afijo que forma un ángulo con el eje positivo, X, del sistema de coordenadas, O,X,Y, de, 2

n

_{. A la segunda de las n-raíces le}

corresponde un afijo que está girado un ángulo, 2

n

, con respecto al primer afijo, y así

sucesivamente con el resto de las n-raíces.

Hallar las raíces cúbicas de 8.

se escribe el número complejo en su forma módulo-argumental. De esta forma:

2 2

8 

8 

0 

64 

8 0º

0 180º

8 tg









 = 0º

calculando los valores precisos:

3

8 

2

;

0º

3 

;

360º

120º

3 

;

720º

240º

3 

las raíces cúbicas son las que tienen módulo igual a, 2, y argumento, 0°+120°k, donde, k, puede tomar los valores, 0, 1, y, 2. Se tienen pues las tres raíces:

20° = 2(cos 0°+i.sen 0°) = 2(1+0i)= 2

120º

1

3

2 2.(cos120

.

120)

2.

1

3

2

2 i sen





i



i







_



_

  









240º

1

3

2 2.(cos 240

.

240)

2.

1

3

2

2 i sen





i



i







_



_

  









Hallar las raíces cuartas de 2+2i.

se escribe el número complejo en su forma módulo-argumental. De esta forma:

|2+2i| =

2



2



8 45º

2 225º

2 tg







(15)

el módulo de todas las raíces cuartas será:

4 8

8 

8

para hallar los argumentos hay que calcular

45º

4

= 11° 15´

360º

4

= 90°

dando a, k, los valores, 0, 1, 2, y, 3, se obtienen las cuatro raíces cuartas de, 2+2i, que son:

8

.(cos 11° 15´ + i.sen 11° 15´) = 1’,297.(0’981 + 0’195.i)= 1’272 + 0’253.i

8

.(cos 101° 15´ + i.sen 101° 15´) = 1’297.(-0’195 + 0’981.i) = -0’253 + 1’272.i

8

.(cos 191° 15´ + i.sen 191° 15´) = 1’297.(-0’981 – 0’195.i) = -1’272 – 0’253.i

8

.(cos 281° 15´ + i.sen 281° 15´) = 1’297.(0’195 – 0’981.i) = 0’253 – 1’272.i

7 

4i

7 4



i



a bi



verificándose que:

7+24i= (a+bi)2= a2+2abi+b2i2= a2-b2+2abi

igualando las partes reales y las partes imaginarias de cada miembro de esta ecuación resulta el sistema de ecuaciones no lineales:

7= a2-b2

24= 2ab b=

24

12

2 a



a

sustituyendo este resultado en la primera ecuación de este sistema de ecuaciones no lineales

2

2 2

2

12

144

7 a

a









_

_









eliminando los denominadores de esta expresión se escribe

2 4

7 a



a



144

(16)

4 2

7

144

0 a



a





resulta una ecuación bicuadrada, que tiene por soluciones:

16

-9

de la primera de las soluciones se:

a=

16  

4

b= 3

la segunda solución al ser negativa no da permite calcular ninguna solución real para, a. Las soluciones de la raíz cuadrada son pues:

7 

4 i

= 43i= (4+3i)

Resolver la ecuación: z2+(2+i)z-(13-13i)= 0

como resulta una raíz de un número complejo, ésta se hace a parte:

55 48



i



a bi



verificándose que

55-48i= (a+bi)2= a2+2abi+b2i2= a2-b2+2abi

igualando las partes reales y las partes imaginarias de cada miembro de esta ecuación resulta el sistema de ecuaciones no lineales:

55= a2-b2

-48= 2ab b=

48

24

2 a

a





sustituyendo este resultado en la primera ecuación de este sistema de ecuaciones no lineales

2

2 2

2

24

576

55 a

a











_

_









eliminando los denominadores de esta expresión,

55 a

2



a

4



576

y pasando finalmente todos los términos al primer miembro,

a

4



55 a

2



576 

0

resulta una ecuación bicuadrada que tiene por soluciones:

64

-9

2

7 49 4.1( 144)

7 49 576

7

25

2.1

2

2 a

















2

(2

)

(2

)

4.1.( (13 13 ))

(2

)

(4 1 4 ) 52 52

(2

)

55 48

2.1

2

2 i

i

z





















 















2

55 ( 55)

4.1.( 576)

55 3025 2304

55 5329

55 73

2.1

2

(17)

de la primera de las soluciones se:

a=

64  

8

a=8 b= -3 a= -8 b= 3

la segunda solución al ser negativa no da permite calcular ninguna solución real para, a. Las soluciones de la raíz cuadrada son pues:

8-3i

55 48



i



-8+3i

si se lleva este resultado a la expresión de la solución, z, se tiene:

(2

)

(8 3 )

6

4 3 2

2

2 i

i









 

z=

(2

)

(8

3 )

10

2

5

2

2 i

i











  

2 2

(2

)

(8

3 )

10

2

5

2

2 i

i











  

(2

)

(8

3 )

6

4

3

2

2 i

i













 

Exponenciación de un número complejo

Se define así a una expresión del tipo:

ez= ea.(cos b + i.sen b) z= a+bi

De ésta se deduce la:

Fórmula de Euler

z= iy  ez= eiy= e0.(cos y + i.sen y)= 1.(cos y + i.sen y)= cos y + i.sen y

z= -iy  ez= e-iy= e0.(cos (-y) + i.sen (-y))= 1.[cos (-y) + i.sen (-y)]= cos y – i.sen y

sumando ambos resultados

(18)

cos

2

iy iy

e

y







restando ambos resultados

eiy - e-iy= 2i sen y de donde

cos

2

iy iy

e

y

i





Forma exponencial de un número complejo

Si se tiene en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo

z= a+bi= .(cos +i.sen )

y la fórmula de Euler para le expresión, ei ei=cos +i.sen 

se deduce

z= .(cos +i.sen )= .ei

Logaritmo neperiano de un número complejo

El logaritmo neperiano de un número complejo, z, es en general otro número complejo, , que verifica por la definición de logaritmo.

Ln z=  e= z

teniendo en cuenta que

z=a+bi= .(cos +i.sen )

= x+yi

se escribe

ex+iy= z= .(cos +i.sen )

ex.(cos y + i.sen y)= .(cos +i.sen ) que escrito en forma polar se tiene

ex= 

y= 

(19)

ex=  x= ln = lnz

y= = arg z+2k

de donde se escribe finalmente

ln z= = x+yi= ln z+(arg z+2k)i kℤ

Potencia de exponente complejo de un número complejo

Sean los números complejos

z= a+bi distinto de cero,

= x+yi

se define la potencia de un número complejo con exponente complejo de la forma