Unidad 1 Números Complejos 12211522 Herrera Soto Marcos Humberto

Texto completo

(1)

1

Instituto Tecnológico De Tijuana

Subdirección Académica

Departamento De Sistemas Y Computación

Periodo: Agosto - Diciembre 2013

Ing. Tecnologías De La Información Y Comunicaciones

Algebra Lineal

(6TI3A)

Unidad 1

Números Complejos

12211522 Herrera Soto Marcos Humberto

M.C. María Eugenia Bermúdez Jiménez

Horario:

11-12

Aula: 303 Días: L-J

11-12 LB:TA Días: V

(2)

2

Índice

(3)

3

1.1.-

Definición

y origen de los números complejos

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La

implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

El origen de los números complejos está en la imposibilidad de sacar raíces cuadradas a números negativos dentro del sistema de números hasta entonces conocido, el de los reales. Por lo que continuando con el mismo proceso histórico que ha llevado al hombre a inventar números, la invención de más números a partir de los reales es para darle solución a las raíces cuadradas negativas. En otras palabras, en el sistema de los números complejos ya se pueden obtener raíces cuadradas a números negativos.

Números Complejos

Un número complejo es un par ordenado de números reales.

Un número complejo z = (x,y) se escribe comúnmente como (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño):

z = x + i y

De acuerdo a la definición, la expresión analítica del conjunto de los números complejos es:

C ={(a; b)/a€R ^b€R}

Los complejos de la forma (a;0) reciben el nombre de números complejos reales puros (CR) y se encuentran situados en el eje real. Los complejos de la forma (0; b) se

denominan complejos imaginarios puros y se ubican sobre el eje imaginario. (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

i= (0,1) z= a + ib

(4)

4

1.2.- Operaciones fundamentales con números complejos

 Suma:

Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i

Para sumar dos números complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales.

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

 Resta

Sean Z = a + bi y W = c+di

La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado.

Z - W = (a - c) + (b - d)i

 Producto

Sean Z = a + bi y W = c + di

Se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i2 = -1.

Z x W = (ac - bd) + (ad + bc)i

 División

Sean Z1 = a + ib y Z2=c + id

1.3.- Potencias de ‘i’, módulo o valor absoluto de un número

complejo

Potencias de i

Todo el problema de obtener un resultado de raíces cuadradas de números negativos

se concentra en la raíz cuadrada de menos uno, , como puede verse en los siguientes ejemplos:

(5)

5 De donde se obtienen las siguientes igualdades:

Puede verse que a partir de i5 se repiten cíclicamente los 4 valores iniciales de las primeras cuatro potencias de i.

Módulo de un número complejo

El módulo de un complejo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria.

Sea z un número complejo, se define el módulo de z, y lo notarnos por |z|, como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:

|z| = +(z · z´)1/2

Si el número complejo en forma binómica viene dado por z = a + b·i, se tiene que |z|2 = (a + b·i)·(a - b·i) = a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada expresión analítica del módulo de un número complejo:

|z| = (a2 + b2)1/2

Propiedades

|z| = 0 ==> z = 0 |-z| = |z| |z´| = |z|

|z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular). |z1| - |z2| < |z1 - z2|

|z1 · z2| = |z1| · |z2|

Si c C R, |c·z| = |c| · |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.

Dado el complejo z = (a; b)

El módulo del vector oz se representa con |oz| = |z| = p .

Para calcularlo se emplea el teorema de Pitágoras en el triángulo:

oaz: |z|2 = p2= a2+ b2 luego:|z|2=p=

(6)

6

1.4.- Forma Polar y exponencial de un número complejo

 Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

 Forma exponencial

La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el símbolo eiθ, para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar:

z = r(cos θ + i sen θ),

La fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ

1.5.- Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces

de un número complejo.

 Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo

zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθes válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

(7)

7 Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre.

 Ejemplo

Siendo zi =1+ i y z2 = -6, calcular

(8)

8

Referencias

[1] https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-1-numeros-complejos/1-1-definicion-y-origen-de-los-numeros-complejos

[2]http://www.fic.umich.mx/~lcastro/complejos.pdf

[3]http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/1_Nu

meroscomplejos.pdf

[4] http://algebralinealichan.blogspot.mx/2012/12/3-2-operaciones-fundamentales-con.html

Figure

Actualización...