SEPTIEMBRE 2004
Bloque A
1.- Sean las matrices donde x e y son desconocidos.
− =
= =
1 1 1
2 ,
2 1
0 1
C y y x B A
a) Calcula las matrices ABC y At C (At denota la matriz traspuesta de A). b) Halla x e y para que se verifique ABC = At C.
2.- En una determinada empresa se fabrican x unidades de un producto, y la función de beneficio viene dada por B (x) = − x2 + 12x − 20
a) Calcula el número de unidades producidas x que deben fabricarse para que no haya ni beneficios ni pérdidas.
b) Calcula el número de unidades x que deben fabricarse para que el beneficio sea máximo. ¿A cuanto asciende ese beneficio máximo?
3.- El 70 % de los clientes de una empresa tiene menos de 40 años. De los mayores de 40 años el 10% compra el producto A. El 60 % de los clientes que consumen el producto A tiene menos de 40 años. Calcula la probabilidad de que elegido aleatoriamente un cliente de la empresa, éste sea comprador del producto A.
4.- Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En que entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?
Bloque B
1.- Un banco quiere distribuir a sus empleados entre sus oficinas centrales y sus sucursales. Cada oficina central necesita 10 empleados del tipo A y 6 empleados del tipo B. Cada sucursal necesita 4 empleados del tipo A y 1 empleado del tipo B. Hay un total de 260 empleados del tipo A y 86 empleados del tipo B. Como máximo debe haber 8 oficinas centrales. Si el banco gana tres millones de euros en una oficina central y un millón en una sucursal ¿cuántas oficinas centrales y sucursales deberá abrir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será dicho beneficio máximo?
2.- Dada la siguiente función: f (x) = 92 2 10 1
3 9 3 1
x a si x
x x a si x 2
− + − ≤ −
− + − − < ≤
a) Determina a para que la función f (x) sea continua.
b) Calcula el área del recinto acotado determinado por la función obtenida en el apartado anterior, el eje OX y las rectas x = −1 y x = 1.
3.- Los salarios mensuales de una empresa siguen una distribución normal de media 7.000 € y desviación típica 2.000 €.
b) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 6000 y 9000 €?
c) Sabiendo que un 10 % de las personas ganan más que el trabajador X ¿Cuánto gana el trabajador X?
SOLUCIONES
Bloque A
1.- Sean las matrices A = 1 0 1 2
, B = 2 1 x
y
y C = 1 1 −
, donde x e y son desconocidos. a) Calcula las matrices ABC y A t (A t denota la matriz traspuesta de A).
b) Halla x e y para que se verifique ABC = A t C.
Solución:
a)
ABC = 1 0 · ·
1 2 2 1 x y 1 1 − = · 1 0 1 2 2 1 x y − + − + = 2 2 x x y − + − +
A t C = 1 1 · 0 2 1 1 − = 0 2
b) ABC = A t C ⇒ 2 2 x x y − + − + 02
= ⇒ x = 2; y = 2
2.- En una determinada empresa se fabrican x unidades de un producto, y la función de beneficio viene dada por B (x) = − x2 +12x− 20.
a) Calcula el número de unidades producidas x que deben fabricarse para que no haya ni beneficios ni pérdidas.
b) Calcula el número de unidades x que deben fabricarse para que el beneficio sea máximo. ¿A cuanto asciende ese beneficio máximo?
Solución:
a) Debe cumplirse que: B (x) = 0 ⇒ − x2 +12x− 20 = 0
x =
2
2 4 12 12 4·( 1)·( 20) 1 2
10
2 2·( 1)
b b ac
a − ± − − − − ± − = =− ± − − 2 8 2 =
Deben fabricarse 2 unidades; o 10 unidades.
b) El beneficio es máximo en los valores de B ‘(x) = 0 que hacen negativa a la derivada segunda, B ‘’(x).
B (x) = − x2 +12x− 20 ⇒ B ‘ (x) = − 2x + 12 ⇒ B ‘’(x) = −2
B ‘ (x) = − 2x + 12 = 0 ⇒ x = 6
Como B (6) = −2 < 0, para ese valor, x = 6, se tiene el máximo buscado.
3.- El 70 % de los clientes de una empresa tiene menos de 40 años. De los mayores de 40 años el 10 % compra el producto A. El 60 % de los clientes que consumen el producto A tiene menos de 40 años. Calcula la probabilidad de que elegido aleatoriamente un cliente de la empresa, éste sea comprador del producto A.
Solución:
Sean los sucesos:
[−40] = tener menos de 40 años [+40] = tener más de 40 años A = comprar el producto A
[A / −40] = comprar el producto A si se tiene menos de 40 años [A / +40] = comprar el producto A si se tiene más de 40 años [−40 / A] = tener menos de 40 años si se compra el producto A [+40 / A] = tener más de 40 años si se compra el producto A
Se sabe que:
• P (−40) = 0,70 ⇒ P (+40) = 0,30 • P (A / +40) = 0,10
• P (−40 / A) = 0,60 ⇒ P (+40 / A) = 0,40
Por la probabilidad condicionada se sabe que:
P (+40 / A) =
) (
) 40 / ( · ) 40 ( )
( ) 40 (
A P
A P P
A P
A
P + ∩ = + +
Sustituyendo se tiene:
0,40 =
) (
10 , 0 · 30 , 0
A
P ⇒ P (A) = 0,40 10 , 0 · 30 , 0
= 0,075
La probabilidad de que elegido al azar un cliente de la empresa, este sea comprador del producto A es P (A) = 0,075; esto es, el 7,5 %.
4.- Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5. ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?
Solución:
Si se supone que la puntuación de los candidatos se distribuye normalmente en ambos casos, tendrá una puntuación mejor en la entrevista que más se aleje en desviaciones típicas de la media correspondiente.
En la empresa A:
Si su puntuación ha sido 9, está una desviación típica por encima de la media.
En la empresa B:
B
x = 8; σB = 1,5
Si su puntuación ha sido 8, es 2 : 1,5 = 1,33 desviaciones típicas superior a la media.
Por tanto, su puntuación relativa ha sido mejor en la empresa B.
NOTA: Podría calcularse la probabilidad de que otro candidato esté por debajo de él en cada una de las empresas.
• En la empresa A: P (X < 9) = P 9 7 2
Z −
< = P (Z < 1) = 0,8413
• En la empresa B: P (X < 8) = 8 6 1,5
Z −
<
= P (Z < 1,33) = 0,9082
Bloque B
1.- Un banco quiere distribuir a sus empleados entre sus oficinas centrales y sus sucursales. Cada oficina central necesita 10 empleados del tipo A y 6 empleados del tipo B. Cada sucursal necesita 4 empleados del tipo A y 1 empleado del tipo B. Hay un total de 260 empleados del tipo A y 86 empleados del tipo B. Como máximo debe haber 8 oficinas centrales. Si el banco gana tres millones de euros en una oficina central y un millón en una sucursal ¿cuántas oficinas centrales y sucursales deberá abrir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será dicho beneficio máximo?
Solución:
Se trata de un problema de programación lineal. Sean x e y el número de oficinas centrales y sucursales respectivamente. A partir de los datos del problema podemos plantear las siguientes condiciones:
10x + 4y ≤ 260 6x + y ≤ 86
0 ≤ x ≤ 8 0 ≤ y
La función que nos da los ingresos viene dada por F (x, y) = 3000000x + 1000000y.
Los vértices de esta región son:
A = (0, 0) B = (0, 65) C = (6, 50) D = (8, 38) E = (8, 0)
Veamos en cual de ellos se presenta el máximo de la función de beneficios:
F (0, 0) = 3000000 · 9 + 1000000 · 0 = 0
F (0, 65) = 3000000 · 0 + 1000000 · 65 = 65000000 F (6, 50) = 3000000 · 6 + 1000000 · 50 = 68000000 F (8, 38) = 3000000 · 8 + 1000000 · 38 = 62000000 F (8, 0) = 3000000 · 8 + 1000000 · 0 = 24000000
Por tanto, el máximo se presenta cuando se abren 6 oficinas centrales y 50 sucursales. El beneficio obtenido en este caso es de 68000000 euros.
2.- Dada la siguiente función: f (x) = 92 2 10 1
3 9 3 1
x a si x
x x a si x 2
− + − ≤ −
− + − − < ≤
a) Determina a para que la función f (x) sea continua.
b) Calcula el área del recinto acotado determinado por la función obtenida en el apartado anterior, el eje OX y las rectas x = −1 y x = 1.
Solución:
a) La función f (x) es continua para cualquier valor de x < –1, pues es polinómica. De igual modo para –1 < x < 2 es continua pues también es polinómica. Veamos qué ocurre precisamente para x = –1.
Para que una función f sea continua en un punto x0 se ha de cumplir que:
Calculemos tanto f (–1) como : 1 ( )
x
Lim f x
→−
f (–1) = –9 · (–1) + 2a –10 = 2a – 1 ⇒ 1 ( )
x
Lim f x
→−
1 2 1
( 9 2 10) 2 1
(3 9 3) 9
x
x
Lim x a a
Lim x x a a
− + →− →− − + − = − − + − = +
Para que exista los límites laterales han de ser iguales. Por tanto: 1 ( )
x
Lim f x
→−
2a – 1 = a + 9 ⇒ a = 10
Para este valor de a se tiene que:
f (–1) = 2a – 1 = 19 ⇒ 1 ( )
x
Lim f x
→−
1 2 1
( 9 2 10) 2 1 19
(3 9 3) 9 19
x
x
Lim x a a
Lim x x a a
− + →− →− − + − = − = − + − = + =
Por tanto f (–1) = = 19 y la función es continua en x = –1. 1 ( )
x
Lim f x
→−
b) Para el valor de a = 10, la función que tenemos es:
f (x) = 29 10 1
3 9 7 1
x si x
x x si x 2
− + ≤
− + − < −
≤
Nos piden calcular el área del recinto acotado determinado por la función obtenida en el apartado anterior, el eje OX y las rectas x = −1 y x = 1. En el intervalo comprendido entre x = −1 y x = 1 la expresión de la función f (x) corresponde a la parábola 3x2 – 9x + 7, la cual no corta al eje OX. Por tanto, el área pedida es:
Área =
1 2
1 2 3
1
1 9
(3 9 7) 7
2 x
x x dx x x
−
−
− + = − +
∫
= 1 9 7 12 2 9 7 − + − − − −
= 16 u2
3.- Los salarios mensuales de una empresa siguen una distribución normal de media 7.000 € y desviación típica 2.000 €.
a) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 6000 y 9000 €?
b) Sabiendo que un 10 % de las personas ganan más que el trabajador X ¿Cuánto gana el trabajador X?
Solución:
a) Tenemos una distribución N (7000, 2000). Calculemos P (6000 ≤ X ≤ 9000). Para ello, tipifiquemos haciendo el siguiente cambio de variable: Z = X − µ
σ
P (6000 ≤ X ≤ 9000) = 6000 7000 9000 7000 1 1
2000 2000 2
P − ≤ ≤Z − =P− ≤Z
≤ = P (–0,5 ≤ Z ≤ 1) =
Por tanto, el porcentaje de trabajadores que ganan entre 6000 y 9000 € es el 53,28 %.
b) Llamemos x al sueldo de un trabajador que cobra más que el trabajador X. Sabemos que:
P (x ≥ X) = 0,10 o P (x ≤ X) = 0,90
Tipifiquemos haciendo el siguiente cambio de variable: Z = X− µ σ
P (x ≤ X) = 7000 2000 x
P − ≤Z
= 0,90
Buscando en una tabla de distribución normal tipificada cual es el valor de Z al que le corresponde un probabilidad de 0,90 tenemos que Z = 1,29. Por tanto:
7000 2000 x−
= 1,29 ⇒ x = 9580
El sueldo del trabajador X es de 9580 €.
4.- En un pedido de 50 bombillas se sabe que hay 4 defectuosas. Si el comprador elige dos (sin reemplazamiento) al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean defectuosas?
P (las 2 sean defectuosas) = P (1ª sea defectuosa) · P (2ª sea defectuosa / 1ª fue defectuosa) = = 4 3· 12
