TEMA 4 DINAMICA

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 1

IV. DINÁMICA DE LIQUIDOS

• La hidrodinámica estudia el movimiento de los líquidos en movimiento teniendo en cuenta las causas que lo producen, es decir, las fuerzas actuantes.

• Las fuerzas que pueden actuar sobre un fluido real en

movimiento son:

• Fuerzas interiores:

ƒ Fuerza causada por el gradiente de presiones.

ƒ Viscosidad (nula en fluidos perfectos).

ƒ Elasticidad (nula en fluidos incompresibles).

ƒ Tensión superficial (despreciable frente al resto) • Fuerzas exteriores:

ƒ Gravedad.

ƒ Inercia.

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 2 Z

Equilibrio de fuerzas de una partícula de fluido en movimiento:

dt du dz dy dx X dz dy dx dz dy dx x p p dz dy

p ⎟⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ⋅ ⋅ ρ ρ dt dv dz dy dx Y dz dy dx dz dx dy y p p dz dx

p ⎟⎟⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ∂ + − ⋅ ⋅ ρ ρ dt dw dz dy dx Z dz dy dx dy dx dz z p p dy dx

p ⎟⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ⋅ ⋅ ρ ρ dt du X x

p + =

∂ ∂ ⋅ − ρ 1 dt dv Y y

p + =

∂ ∂ ⋅ − ρ 1 dt dw Z z

p+ =

∂ ∂ ⋅ − ρ 1

Que son las Ecuaciones de Euler para un fluido en movimiento. Si multiplicamos las ecuaciones de Euler respectivamente por dx, dy, dz, y sumamos, se obtiene:

Y X

dx dy dz p dy y p p ∂ ∂ + p p dx x p p ∂ ∂ + dy y p p ∂ ∂ + k dt dw j dt dv i dt du dt v d a k dw j dv i du v d t z y x v r r r r r r r r r r + + = = ⇒ + + = ) , , , ( k Z j Y i X

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dv v dw w dv v du u Zdz Ydy

Xdx dt

t p

dp ⎟+ + + = ⋅ + + ⋅ = ⋅

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ −

− 1 ( ) .

ρ

dt t p dz z p dy y p dx x p p d

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ =

r

que es la Ecuación Fundamental de la Hidrodinámica para un fluido perfecto.

Si la fuerza F deriva de un potencial Fr =−∇U la ecuación se

expresa de la siguiente forma:

dv v dU dt

t p

dp ⎟− = ⋅

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − −

ρ

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 4 GENERALIZACIÓN PARA EL MOVIMIENTO

PERMANENTE DE LÍQUIDOS PERFECTOS. EC. DE BERNOUILLI

io gravitator campo k g k Z j Y i X

Fr = r+ r+ r =− r ⇒

permanente movimiento t p ⇒ = ∂ ∂ 0 perfecto líquido cte ⇒ = ρ

La Ecuación Fundamental de la Hidrodinámica queda:

0 1 0 1 = ⋅ ⋅ + + ⇒ = ⋅ + ⋅

+ v dv

g dz dp v d v dz g dp γ

ρ r r

Que integrada entre dos puntos (1→2) de una línea de corriente:

0 ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 2 1 2 2 1 2 1

2 − + − + vv =

g z z P P γ cte H g v z P g v z P = = + + = + + 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 γ γ

esta expresión, denominada Ec. de Bernouilli, representa el

principio de conservación de la energía mecánica, ya que supone la invariabilidad a lo largo de una trayectoria o línea de corriente de la energía por unidad de peso H (energía específica) de un fluido perfecto.

En la Ec. de Bernouilli podemos distinguir tres tipos de energía específica:

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 5

p/γ, que es la energía de presión por unidad de peso que posee la molécula de fluido sometida a la presión p. Se mide en m y se denomina altura de presión.

v2/2g, que es la energía de velocidad por unidad de peso que posee la molécula de fluido que se desplaza a la velocidad v. También se mide en m y se denomina altura cinética.

La suma de estas tres magnitudes es, en total, la energía mecánica por unidad de peso que posee una determinada partícula en una línea de corriente. Su representación gráfica define el plano de carga de una determinada corriente.

1

2 z1

p1/γ v12/2g

v22/2g

p2/γ

z2

Plano de referencia Trayectoria

Línea piezométrica Línea de energía ó plano de carga

H1=H2

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 6 GENERALIZACIÓN DE LA EC. DE BERNOULLI PARA

LÍQUIDOS REALES. PÉRDIDAS DE CARGA

Dado que los líquidos reales tienen viscosidad, el movimiento de los mismos generará unas perdidas de energía en forma de calor, originada por el rozamiento entre las moléculas y por el rozamiento de estas con los contornos que transportan al líquido. Por lo tanto, el principio de conservación de la energía mecánica a lo largo de una trayectoria se expresará de la siguiente forma:

2 1 2

2 2

2 2

1 1

1

2 1 2

1

2

2 →

Δ + +

+ = +

+

Δ + =

H g

v P z

g v P z

H H

H

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 7

donde ΔH12 son las perdidas de carga totales por unidad de peso expresadas en m. ΔH12 también se puede expresar como las pérdidas de carga unitaria por unidad lineal recorrida por el líquido J multiplicado por la longitud total de la trayectoria L.

) ( ) / ( )

( 2

1 m J m m L m

H = ⋅

Δ

La representación gráfica de la Ec. de Bernouilli generalizada será la siguiente:

1

2 z1

p1/γ v12/2g

v22/2g

p2/γ

z2

Plano de referencia Trayectoria

Línea piezométrica Plano de carga estática

Línea de energía

H1

H2

ΔH1→2=J·L

L

Los rozamientos hacen que el plano de carga inicial, que en el teorema de Bernouilli para líquidos perfectos permanecía horizontal, vaya bajando cada vez más para no volver a recuperar nunca su anterior posición.

En los cálculos hidráulicos se consideran dos tipos de pérdidas de carga:

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 8

• Las producidas en las singularidades de las tuberías o piezas especiales (codos, curvas, derivaciones, tomas, válvulas, estrechamientos, etc.) (hs).

ΔH12= hc+hs

Si la conducción se compone de varios (i) tramos de longitudes desiguales, con una J diferente en cada uno de ellos, y diversos elementos singulares (j), las pérdidas de carga totales en la misma serán:

=

= =

=

→ = + = ⋅ +

Δ j n

j sj i

n i

i i s

c h J L h

h H

1 1

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 11 POTENCIA DE UNA CORRIENTE LÍQUIDA EN UNA

SECCIÓN TRANSVERSAL

La potencia de una corriente líquida N es la energía total que lleva el flujo a través de una sección transversal S en la unidad de tiempo.

Para un tubo elemental de corriente:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

g v p z dQ H

dQ dN

2

2

γ γ

γ

Para toda la sección de la corriente:

dQ g

v P z N

S

⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + ⋅

=

∫∫

2

2

γ γ

Para el cálculo de esta integral es necesario conocer la distribución de presiones y de las velocidades en la sección transversal analizada:

• En un movimiento paralelo y uniforme en la sección el valor de (z+p/γ) se mantendrá constante en la sección transversal S y v2/2g será asimismo constante en toda la sección resultando que:

Q

H

dQ

H

dQ

g

v

p

z

N

S S

=

=

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

∫∫

γ

∫∫

γ

γ

γ

2

2

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 12

∫∫

∫∫

⎟⎟⋅ = ⋅ + ⋅ +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + ⋅

=

S S

dQ g v Q

p z dQ

g v p z N

2 )

( 2

2 2

γ γ

γ γ

γ

Se define el coeficiente de CORIOLIS α como:

Q V

dQ v

S

⋅ ⋅ =

∫∫

2

2

α

y por tanto:

media

H Q g

V p

z Q

N ⎟⎟ = ⋅ ⋅

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ + ⋅ ⋅

= α γ

γ γ

2

2

El coeficiente α es la relación existente entre la energía cinética real de la corriente y la energía cinética que tendría si la velocidad fuese constante e igual a la velocidad media en la sección V, con lo que tendría igual caudal.

α siempre tiene un valor superior a 1. En régimen

turbulento, que es el habitual en las aplicaciones agrarias de la hidráulica, α varía aproximadamente entre 1,01 y 1,10, por lo que se suele suponer α = 1.

POTENCIA DE UNA MÁQUINA HIDRÁULICA

Las máquinas hidráulicas se insertan en una corriente hidráulica bien para suministrarle energía (bombas) o bien para extraérsela y consumirla en otros usos (turbinas).

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 13

(

)

B B B H Q H H Q H Q H Q N N N H H H ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − = − = γ γ γ

γ 2 1 ( 2 1)

1 2

1 2

La potencia de una turbina hidráulica será:

( )

( ) ( ) T

T T H Q H H Q H Q H Q N N N H H H ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − = − = η γ η γ η γ γ

η 1 2 ( 1 2)

2 1

2 1

La Ec. de Bernouilli para una corriente con máquinas hidráulicas se expresa de la siguiente forma:

− = + Δ →

+ 2 1 2

1 H H H H

H B T

FUERZAS HIDRODINÁMICAS. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Para variar la velocidad de una corriente líquida en dirección y/o en magnitud se necesita siempre una fuerza, y de acuerdo con el principio de acción y reacción, el líquido ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el cuerpo que provoca el cambio de velocidad. Esta fuerza de la corriente se llama fuerza hidrodinámica.

Una corriente de agua desarrolla una serie de fuerzas hidrodinámicas cuyo conocimiento es necesario para diseñar bombas, turbinas, anclajes de codos, de tuberías, etc.

T

1 2 B

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Hidráulica 2º Grado en Ingeniería de las Industrias Agroalimentarias/Horticultura y Jardinería 14

Consideremos una porción de fluido en un tubo de corriente, de masa m y limitado por las secciones 1 y 2:

P1

P2

V1

V2

W

R S1

S2

n1

n2

Si esta porción de fluido esta sometida a una fuerza Fr

durante un intervalo de tiempo dt, se cumplirá la segunda Ley de Newton:

) var

(impulso iación cantidad de movimiento v

d m dt F dt

v d m a m

F = ⋅ = ⋅ ⇒ r⋅ = ⋅ r =

r r

r

Integrando esta ecuación entre las dos secciones del tubo de corrienteinstantes y considerando un tiempo t se obtiene:

) (

)

( 2 1 2 1

2

1 0

v v V

v v m t F v

d m dt

F t

r r r

r r

r r

− ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅

= ⋅

ρ

) (v2 v1 Q

Fr =

ρ

⋅ ⋅ r − r Ecuación de la cantidad de movimiento

Si consideramos todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la porción de líquido considerado:

) ( 2 2 1 1

2 2 2 1

1

1 S n P S n W R Q v n v n

P

Fr = ⋅ ⋅ r − ⋅ ⋅ r + r + r = ⋅ ⋅ ⋅ r − ⋅ r

ρ

Figure

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