Semana 1: Números Reales y sus Operaciones

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Semana 1: Números

Reales y sus Operaciones

Taller de Preparación para Prueba

PLANEA

Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

Conalep Tehuacán

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Los números enteros y sus

operaciones

1. Los números enteros. Representación y

valor absoluto

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1. Los números enteros. Representación y

valor absoluto

• El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z.

Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

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1. Los números enteros. Representación y

valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras.

|+ a| = |− a| = a

|+ 12| = |− 12| = 12

Dos números enteros son opuestos o simétricos

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2. Ordenación de los números enteros

• La forma más sencilla de ordenar los números

enteros es mediante su representación en la recta numérica.

• Un número entero a es mayor que un número

entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se

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3. Operaciones con números enteros.

Adición y sustracción

Para sumar dos o más números enteros del mismo

signo se suman los valores absolutos de los

sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero.

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3. Operaciones con números enteros.

Adición y sustracción

Para sumar dos o más números enteros de

distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores

absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero.

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3. Operaciones con números enteros.

Adición y sustracción

Para restar dos números enteros se suma al

minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero.

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3. Operaciones con números enteros.

Multiplicación y división

Para multiplicar dos o más números enteros se

multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos.

+ · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15)

+ · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20)

– · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14)

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3. Operaciones con números enteros.

Multiplicación y división

Para dividir dos números enteros se dividen sus

valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos.

+ : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3)

+ : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9)

– : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3)

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3. Operaciones con números enteros.

Potencias y raíces

La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

• Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.

(+5)2 = 25

• Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

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3. Operaciones con números enteros.

Potencias y raíces

Solo se puede realizar la raíz de un número

entero positivo y de cero.

= ± b Û (± b)2 = a

Ö9 = ± 3 Û (±3)2 = 9

La raíz de un número entero negativo no existe.

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4. Propiedades de los números enteros

La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades:

Suma Multiplicación

Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)

Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) = = (+ 5) + [(+7) + (–9)]

[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) = = (+ 5) · [(+7) · (–9)]

Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)

Elemento opuesto o simétrico

(+3) + (– 3) = 0

Distributiva de la multiplicación con

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4. Propiedades de los números enteros

Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades.

Multiplicación

am · an = am + n (–6)3 · (–6)2 = (–6)3 + 2

División am : an = am – n (–6)3 : (–6)2 = (–6)3 - 2

Potencia de una

potencia (am)n = am · n [(–6)2 ]3·= (–6)2 · 3

Potencia de cero y de uno

a0 = 1

a1 = a

(–6)0 = 1

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5. Operaciones combinadas

Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera:

• Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican.

3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2

• Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro.

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5. Operaciones combinadas

Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden:

1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.

2.º Calcular las potencias y las raíces.

3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición.

4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.

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5. Operaciones combinadas

[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 =

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Números fraccionarios y sus operaciones

1. Fracciones

2. Simplificación y ampliación de fracciones

3. Comparación y ordenación

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1. Fracciones

• Una fracción es el cociente entre dos números

enteros a y b tales que b ≠ 0.

El denominador b indica las partes iguales en que se

divide la unidad.

El numerador a indica las partes que se toman de las

que se ha dividido la unidad.

• Una fracción es propia si el numerador es menor

que el denominador. Por ejemplo .

6

2

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1. Fracciones

• Una fracción es impropia si el denominador

es menor que el numerador. Por ejemplo .

• Dos fracciones son equivalentes cuando

representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de

extremos es igual al producto de medios. es equivalente a Û a · d = b · c

6

9

b

a

(21)

2. Simplificación y ampliación de

fracciones

Fracción ampliada

Se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número mayor que 1.

4 3

8 6 2 · 4 ·2

3 =

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2. Simplificación y ampliación de

fracciones

Fracción simplificada

Se divide el numerador y el denominador entre un divisor común mayor que 1.

Fracción irreducible

Es aquella en la que el máximo común divisor del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es decir,

4

3

2

:

8

:

2

6

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3. Comparación y ordenación

Reducir fracciones a común denominador

consiste en hallar otras con el mismo

denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

• Para comparar fracciones se reducen a común

denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor numerador.

15

20

15

9

3

4

5

3

y ¾m.c.m.(5¾¾¾¾¾¾¾¾ ,3)¾¾=¾15¾¾® y

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3. Comparación y ordenación

• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y

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4. Operaciones con fracciones. Adición y

sustracción

• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan

los numeradores y se mantiene el denominador común.

• Si tienen distinto denominador, se reducen a

común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.

4

9

4

6

4

3

+

=

4

3

4

2

4

5

-

=

6

3

6

10

2

1

3

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4. Operaciones con fracciones. Adición y

sustracción

Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes: Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto 32 41 4 1 3

2+ = +

3 2 4 5 31 32 4 5

31+ + = + ÷÷+

÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 3 4 1 0 34+ =

0 0 5

(27)

4. Operaciones con fracciones.

Multiplicación y división

• Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.

· =

b

a

d

c

d

·

b

a

·

c

15

8

5

4

(28)

4. Operaciones con fracciones.

Multiplicación y división

• Las propiedades de la multiplicación de

fracciones son las siguientes:

Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto 3 2 · 41 4 1 · 32 =

3 2 · 21 · 52 3 2 · 21 ·

52 ÷÷

÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 3 8 1 1 · 3 8 = 1 1 20 20 4 5 ·

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4. Operaciones con fracciones.

Multiplicación y división

• Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el

denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

: =

b

a

d

c

c · ba ·d

15

14

7

5

:

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4. Operaciones con fracciones. Potencias

• Para calcular la potencia de una fracción se

multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.

También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción. ! ! ! " ! ! ! # $ nveces

n ba · ... · b a · b a b a = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ n n n b a b a = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ

9

3

3

3

(31)

4. Operaciones con fracciones. Potencias

• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:

Multiplicación de potencias de

la misma base

División de potencias de la

misma base

Potencia de una potencia q p q p b a b a · b a + ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è

æ = p q p q

b a b a : b

a ÷

-ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è

æ = p q p ·q b a ba ÷ø

ö ç è æ ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ = 7 2 5 2 5 4 3 4 3 4 3 · 4 3 ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è

æ = + = 8 3 8 3 5

21 21

21 :

21 ÷÷ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è

æ = - = 3 ·2 6

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5. Operaciones combinadas

Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:

1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.

2.º Calcular las potencias y las raíces.

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(34)

Potencias y raíces

1. Potencias

2. Operaciones con potencias

3. Cuadrados perfectos

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1. Potencias

• Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales:

• Las potencias están formadas por dos

elementos:

Base: es el factor que se repite.

Exponente: es el número

de veces que se repite la base.

n n veces

a ·a

... · a · a ·

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1. Potencias. Potencias de base 10

• Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.

105 = 100 000

• Las potencias de base 10 tiene la ventaja de

facilitar la escritura de números muy grandes de forma abreviada.

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2. Operaciones con potencias

• El producto de potencias con la misma base es otra potencia con esa misma base y cuyo

exponente es la suma de los exponentes de los factores.

am · an = am + n

34 · 32 = 34 + 2 Þ 81 · 9 = 36 Þ 729 = 729

• El cociente de potencias con la misma base es igual a otra potencia con la misma base cuyo

exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor.

(38)

2. Operaciones con potencias

• Las potencias de exponente 1 son iguales a la base, es decir, cualquier número

elevado a la unidad es ese mismo número. a1 = a

71 = 7

• Cualquier número, distinto de cero, elevado

a cero es siempre igual a la unidad. a0 = 1

(39)

2. Operaciones con potencias

• La potencia de un producto de varios

factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

(a · b)m = am · bm

(8 · 3)2 = 82 · 32 Þ 242 = 64 · 9 Þ 576 = 576

• La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del dividendo y del divisor.

(a : b)m = am : bm

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2. Operaciones con potencias

• La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo

exponente es el producto de los exponentes. (am)n = am · n

(72)3 = 72 · 3

493 = 76

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3. Cuadrados perfectos

• Un cuadrado perfecto es aquel número que se

obtiene de elevar al cuadrado un número natural.

Observando la siguiente figura es fácil deducir que:

1 = 12 9 = 32 25 = 52

4 = 22 6 = 42 36 = 62

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4. Raíces cuadradas

• La raíz cuadrada de un número natural a es

otro número natural b tal que elevado al

cuadrado sea igual al número dado a. = b Û (b)2 = a

(43)

4. Raíces cuadradas

En toda raíz cuadrada distinguimos:

Radical: es el signo de la radicalización.

Radicando, a: es el número del que calculamos la raíz cuadrada.

Índice: es el es exponente al que está elevada la potencia.

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4. Raíces cuadradas

• Cuando al hacer la operación raíz cuadrada

de un número obtenemos un resultado

exacto, estaremos antes una raíz cuadrada

exacta.

• Cuando el último resto es distinto de cero

tenemos una raíz cuadrada entera.

• No existen las raíces cuadradas de los

números negativos.

25

625

=

...

,

30

28

Figure

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Referencias

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