Semana 1: Números
Reales y sus Operaciones
Taller de Preparación para Prueba
PLANEA
Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
Conalep Tehuacán
Los números enteros y sus
operaciones
1. Los números enteros. Representación y
valor absoluto
1. Los números enteros. Representación y
valor absoluto
• El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z.
Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
1. Los números enteros. Representación y
valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras.
|+ a| = |− a| = a
|+ 12| = |− 12| = 12
Dos números enteros son opuestos o simétricos
2. Ordenación de los números enteros
• La forma más sencilla de ordenar los números
enteros es mediante su representación en la recta numérica.
• Un número entero a es mayor que un número
entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se
3. Operaciones con números enteros.
Adición y sustracción
Para sumar dos o más números enteros del mismo
signo se suman los valores absolutos de los
sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero.
3. Operaciones con números enteros.
Adición y sustracción
Para sumar dos o más números enteros de
distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores
absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero.
3. Operaciones con números enteros.
Adición y sustracción
Para restar dos números enteros se suma al
minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero.
3. Operaciones con números enteros.
Multiplicación y división
Para multiplicar dos o más números enteros se
multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos.
+ · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15)
+ · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20)
– · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14)
3. Operaciones con números enteros.
Multiplicación y división
Para dividir dos números enteros se dividen sus
valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos.
+ : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3)
+ : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9)
– : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3)
3. Operaciones con números enteros.
Potencias y raíces
La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.
• Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.
(+5)2 = 25
• Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.
3. Operaciones con números enteros.
Potencias y raíces
Solo se puede realizar la raíz de un número
entero positivo y de cero.
= ± b Û (± b)2 = a
Ö9 = ± 3 Û (±3)2 = 9
La raíz de un número entero negativo no existe.
4. Propiedades de los números enteros
La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades:
Suma Multiplicación
Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)
Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) = = (+ 5) + [(+7) + (–9)]
[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) = = (+ 5) · [(+7) · (–9)]
Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)
Elemento opuesto o simétrico
(+3) + (– 3) = 0
Distributiva de la multiplicación con
4. Propiedades de los números enteros
Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades.
Multiplicación
am · an = am + n (–6)3 · (–6)2 = (–6)3 + 2
División am : an = am – n (–6)3 : (–6)2 = (–6)3 - 2
Potencia de una
potencia (am)n = am · n [(–6)2 ]3·= (–6)2 · 3
Potencia de cero y de uno
a0 = 1
a1 = a
(–6)0 = 1
5. Operaciones combinadas
Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera:
• Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican.
3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2
• Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro.
5. Operaciones combinadas
Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden:
1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.
2.º Calcular las potencias y las raíces.
3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición.
4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.
5. Operaciones combinadas
[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 =
= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 =
= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 =
Números fraccionarios y sus operaciones
1. Fracciones
2. Simplificación y ampliación de fracciones
3. Comparación y ordenación
1. Fracciones
• Una fracción es el cociente entre dos números
enteros a y b tales que b ≠ 0.
El denominador b indica las partes iguales en que se
divide la unidad.
El numerador a indica las partes que se toman de las
que se ha dividido la unidad.
• Una fracción es propia si el numerador es menor
que el denominador. Por ejemplo .
6
2
1. Fracciones
• Una fracción es impropia si el denominador
es menor que el numerador. Por ejemplo .
• Dos fracciones son equivalentes cuando
representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de
extremos es igual al producto de medios. es equivalente a Û a · d = b · c
6
9
b
a
2. Simplificación y ampliación de
fracciones
• Fracción ampliada
Se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número mayor que 1.
4 3
8 6 2 · 4 ·2
3 =
2. Simplificación y ampliación de
fracciones
• Fracción simplificada
Se divide el numerador y el denominador entre un divisor común mayor que 1.
• Fracción irreducible
Es aquella en la que el máximo común divisor del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es decir,
4
3
2
:
8
:
2
6
3. Comparación y ordenación
• Reducir fracciones a común denominador
consiste en hallar otras con el mismo
denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
• Para comparar fracciones se reducen a común
denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor numerador.
15
20
15
9
3
4
5
3
y ¾m.c.m.(5¾¾¾¾¾¾¾¾ ,3)¾¾=¾15¾¾® y3. Comparación y ordenación
• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y
4. Operaciones con fracciones. Adición y
sustracción
• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan
los numeradores y se mantiene el denominador común.
• Si tienen distinto denominador, se reducen a
común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.
4
9
4
6
4
3
+
=
4
3
4
2
4
5
-
=
6
3
6
10
2
1
3
4. Operaciones con fracciones. Adición y
sustracción
Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes: Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto 32 41 4 1 3
2+ = +
3 2 4 5 31 32 4 5
31+ + = + ÷÷+
÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 3 4 1 0 34+ =
0 0 5
4. Operaciones con fracciones.
Multiplicación y división
• Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.
· =
b
a
d
c
d
·
b
a
·
c
15
8
5
4
4. Operaciones con fracciones.
Multiplicación y división
• Las propiedades de la multiplicación de
fracciones son las siguientes:
Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto 3 2 · 41 4 1 · 32 =
3 2 · 21 · 52 3 2 · 21 ·
52 ÷÷
÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 3 8 1 1 · 3 8 = 1 1 20 20 4 5 ·
4. Operaciones con fracciones.
Multiplicación y división
• Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el
denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
: =
b
a
d
c
c · ba ·d
15
14
7
5
:
4. Operaciones con fracciones. Potencias
• Para calcular la potencia de una fracción se
multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.
También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción. ! ! ! " ! ! ! # $ nveces
n ba · ... · b a · b a b a = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ n n n b a b a = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ
9
3
3
3
4. Operaciones con fracciones. Potencias
• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:
Multiplicación de potencias de
la misma base
División de potencias de la
misma base
Potencia de una potencia q p q p b a b a · b a + ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è
æ = p q p q
b a b a : b
a ÷
-ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è
æ = p q p ·q b a ba ÷ø
ö ç è æ ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ = 7 2 5 2 5 4 3 4 3 4 3 · 4 3 ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è
æ = + = 8 3 8 3 5
21 21
21 :
21 ÷÷ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è
æ = - = 3 ·2 6
5. Operaciones combinadas
Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:
1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.
2.º Calcular las potencias y las raíces.
Potencias y raíces
1. Potencias
2. Operaciones con potencias
3. Cuadrados perfectos
1. Potencias
• Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales:
• Las potencias están formadas por dos
elementos:
Base: es el factor que se repite.
Exponente: es el número
de veces que se repite la base.
n n veces
a ·a
... · a · a ·
1. Potencias. Potencias de base 10
• Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.
105 = 100 000
• Las potencias de base 10 tiene la ventaja de
facilitar la escritura de números muy grandes de forma abreviada.
2. Operaciones con potencias
• El producto de potencias con la misma base es otra potencia con esa misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los factores.
am · an = am + n
34 · 32 = 34 + 2 Þ 81 · 9 = 36 Þ 729 = 729
• El cociente de potencias con la misma base es igual a otra potencia con la misma base cuyo
exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor.
2. Operaciones con potencias
• Las potencias de exponente 1 son iguales a la base, es decir, cualquier número
elevado a la unidad es ese mismo número. a1 = a
71 = 7
• Cualquier número, distinto de cero, elevado
a cero es siempre igual a la unidad. a0 = 1
2. Operaciones con potencias
• La potencia de un producto de varios
factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.
(a · b)m = am · bm
(8 · 3)2 = 82 · 32 Þ 242 = 64 · 9 Þ 576 = 576
• La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
(a : b)m = am : bm
2. Operaciones con potencias
• La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es el producto de los exponentes. (am)n = am · n
(72)3 = 72 · 3
493 = 76
3. Cuadrados perfectos
• Un cuadrado perfecto es aquel número que se
obtiene de elevar al cuadrado un número natural.
Observando la siguiente figura es fácil deducir que:
1 = 12 9 = 32 25 = 52
4 = 22 6 = 42 36 = 62
4. Raíces cuadradas
• La raíz cuadrada de un número natural a es
otro número natural b tal que elevado al
cuadrado sea igual al número dado a. = b Û (b)2 = a
4. Raíces cuadradas
En toda raíz cuadrada distinguimos:
Radical: es el signo de la radicalización.
Radicando, a: es el número del que calculamos la raíz cuadrada.
Índice: es el es exponente al que está elevada la potencia.
4. Raíces cuadradas
• Cuando al hacer la operación raíz cuadrada
de un número obtenemos un resultado
exacto, estaremos antes una raíz cuadrada
exacta.
• Cuando el último resto es distinto de cero
tenemos una raíz cuadrada entera.
• No existen las raíces cuadradas de los
números negativos.
