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UNIVERSIDAD TECNOL ´

OGICA DE LA MIXTECA

Din´

amica de Funciones Inducidas entre

Productos Sim´

etricos

TESIS

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN MODELACI ´

ON MATEM ´

ATICA

PRESENTA:

LIC. VICTOR MANUEL GRIJALVA ALTAMIRANO

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. FRANCO BARRAG ´

AN MENDOZA

CO-DIRECTOR DE TESIS:

Dr. JES ´

US FERNANDO TENORIO ARVIDE

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Dedico este trabajo a:

A mis padres

Virgen Altamirano Guerra Gabriel Grijalva Santos

A mis hermanos Yuridia y Luis Edgar

A mi inspiraci´on

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Agradecimientos

Agradezco a Dios por darme el regalo de la vida, por darme la oportunidad de conocer a todas las personas que me han hecho crecer como matem´atico y persona.

Agradezco a mis padres que a lo largo de mi carrera me brindaron su apoyo emocional y con esfuer-zo solventaron mis gastos en la universidad.

Agradezco a mis sinodales por hacerme las debidas observaciones y as´ı poder mejorar este trabajo. Extiendo mi gratitud al Dr. Jesús Fernando Tenorio Arvide, por sus multiples sugerencias y por ser un maestro quien siempre exigió un alto nivel académico.

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Prefacio

La temática de la tesis se encuentra dentro de las ramas de la matemática conocidas como topolog´ıa y sistemas dinámicos. En varios fenómenos de la naturaleza el movimiento de los objetos juega un papel imprescindible. La parte de la matemática que se encarga del estudio del movimiento de los objetos y su evolución a través del tiempo se le llama sistemas dinámicos. As´ı, de manera intuitiva, un sistema dinámico es un fenómeno de la naturaleza, un sistema f´ısico o un espacio de puntos, cuyo estado evoluciona con el tiempo mediante una ley determinada. Si el tiempo se considera o se mide en lapsos, se dice que es un sistema dinámico discreto. Por otra parte, además de considerar la dinámica de los objetos, podemos analizar su comportamiento respecto a la cercan´ıa o acumulación entre estos o respecto a ciertos conjuntos, interviniendo de esta forma la topolog´ıa. En este sentido, seanX un espacio métrico yf :X →X una función continua. Dado k ∈ N, la k-ésima iteración de f se define como la composición de f consigo

mismakveces y se denota porfk_{. Considerando un punto}_x_∈_X_{, la ´}_{orbita del punto}_x_bajo_f_{, denotada}

porO(x, f), es la sucesi´on{x, f(x), f2₍_x₎_{, . . . , f}k₍_x₎_{, . . .}_}_{. As´ı, la ´}_orbita_O₍_{x, f}_{) representa el movimiento}

de un objeto, cuya interpretaci´on es como sigue: en el tiempot= 0, un objeto se encuentra en la posici´on

x; en el tiempo t = 1 el objeto ha cambiado de posición y ahora se encuentra en la posiciónf(x); en el tiempo t = 2 el objeto ha cambiado nuevamente de posición y ahora se encuentra en f2₍_x_{); y as´ı} sucesivamente. En tal caso se dice que se analiza la dinámica individual o puntual. De esta manera, la pareja formada por X yf proporcionan un modelo matemático del movimiento, esto es, proporcionan un sistema dinámico discreto, que denotamos por (X, f), cuyo comportamiento depende tanto def como deX. As´ı, es importante estudiar las propiedades dinámicas de la funciónf.

En la literatura es común encontrar el estudio sólo de la dinámica individual o puntual. Sin embargo, en matemáticas y en varios fenómenos de la naturaleza se tiene la necesidad de tener una noción en cuanto a la dinámica de un subconjunto, lo cual motiva a estudiar las propiedades dinámicas en hiperespacios de continuos. Sean X un continuo y f : X → X una función continua. Dado n ∈ _N, consideremos el hiperespacio deX conocido como eln-ésimo producto simétrico de X y definido por:

Fn(X) ={A⊂X:A6=∅y tiene a lo m´asnpuntos},

con la m´etrica de Hausdorff.

La función f induce la funciónFn(f) : Fn(X)→ Fn(X) definida por Fn(f)(A) =f(A), para cada A ∈ Fn(X). De esta forma el sistema dinámico discreto (X, f) induce el sistema dinámico discreto

(Fn(X), Fn(f)). En consecuencia, dadoA∈ Fn(X), analizar la ´orbitaO(A, Fn(f)) es estudiar la din´amica

colectiva.

El objetivo del trabajo de tesis es estudiar la relación que existe entre la dinámica puntual y la dinámica colectiva. Cabe señalar que el primer trabajo que se realiza para estudiar la relación entre estas dos dinámicas fue realizado por W. Bauer y K. Sigmund en 1975 [7]. Sin embargo, en los últimos años este tema ha despertado el interés de varios investigadores, obteniendo varios resultados al respecto, por ejemplo en: [1], [8] y [10].

Para lograr tal objetivo, este trabajo lo hemos distribuido de la siguiente manera.

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II Prefacio

En el Cap´ıtulo 1, realizamos una breve introducción a los espacios métricos, principalmente para fa-miliarizarnos con algunos conceptos y algunas notaciones que son utilizados a lo largo de la tesis. Al final de este cap´ıtulo, damos la definición de lo que es un continuo y algunas propiedades. En particular nos enfocamos en las propiedades del continuo producto simétrico, el cual es el hiperespacio donde trabaja-remos en el Cap´ıtulo 5.

En el Cap´ıtulo 2, damos una breve introducción a los sistemas dinámicos, con la finalidad de fa-miliarizarnos con algunos conceptos y algunas notaciones que son utilizados en los Cap´ıtulos 3, 4 y 5. Empezamos este cap´ıtulo con los sistemas dinámicos discretos, luego, nos enfocamos en los sistemas dinámicos unidimensionales y analizamos algunos ejemplos. Para terminar este cap´ıtulo, estudiamos dos tipos de funciones continuas: las transitivas y las caóticas.

En el Cap´ıtulo 3, analizamos algunos problemas relacionados con el crecimiento de poblaciones que se pueden modelar mediante sistemas dinámicos discretos, espec´ıficamente, estudiamos: el Modelo de Malthus, modelos con crecimiento restringido (Log´ıstico, de Beverton y de Ricker) y algunos modelos lineales. Analizamos y formalizamos la parte matemática y, además, proporcionamos ejemplos.

En el Cap´ıtulo 4, estudiamos varios tipos de funciones dinámicas. En la Sección 4.1 estudiamos las funciones exactas, mezcladoras, débilmente mezcladoras y totalmente transitivas. En la Sección 4.2 estu-diamos las funciones fuertemente transitivas, minimales, irreducibles y semi-abiertas. En ambas secciones vemos algunos ejemplos y algunas relaciones entre ellas. En la Sección 4.3 estudiamos a la conjugación topológica y analizamos la relación que hay entre algunas funciones de las Secciones 4.1 y 4.2 con las funciones conjugadas.

En el Cap´ıtulo 5, estudiamos la relación que existe entre la dinámica puntual y la dinámica colectiva. Para lo cual se analiza el siguiente problema: Sea Malguna de las siguientes clases de funciones: Tran-sitivas, mezcladoras, débilmente mezcladoras, totalmente transitivas, fuertemente transitivas, minimales, irreducibles, sensibles a las condiciones iniciales, caóticas o semi-abiertas. Hallar la relación que existe entre las dos proposiciones siguientes:

a) f ∈ M, b) Fn(f)∈ M.

En la tesis se ha hecho un estudio, dentro de lo posible, sobre la din´amica colectiva del producto sim´etrico. Por tal motivo organizamos y presentamos un texto que sirva como referencia para adentrarse en el estudio de dicho tema.

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´

_{Indice general}

Prefacio I

1. Conceptos en espacios m´etricos 1

1.1. Notaciones y conceptos b´asicos . . . 1

1.2. Espacios m´etricos y propiedades . . . 2

1.3. Convergencia en espacios m´etricos . . . 6

1.4. Funciones entre espacios m´etricos . . . 7

1.5. Continuos . . . 8

1.6. Los Hiperespacios y el producto sim´etrico. . . 12

2. Breve introducción a los sistemas dinámicos discretos 17 2.1. Sistemas dinámicos discretos. . . 17

2.2. Sistemas din´amicos discretos unidimensionales . . . 20

2.3. Diagramas de Cobweb o red de ara˜na . . . 26

2.3.1. La funci´on Tienda . . . 29

2.3.2. La familia Cuadr´atica . . . 35

2.3.3. La funci´on Log´ıstica . . . 36

2.4. Transitividad topol´ogica y caos . . . 40

3. Modelos Matem´aticos mediante sistemas din´amicos discretos 43 3.1. Modelos de Crecimiento Exponencial: Modelo Malthus discreto . . . 43

3.2. Modelos con Crecimiento Restringido . . . 47

3.2.1. Modelo Log´ıstico . . . 48

3.2.2. Modelo de Beverton-Holt . . . 50

3.2.3. Modelo de Ricker . . . 52

3.3. Otra Versi´on del Modelo Log´ıstico . . . 53

3.4. Un Modelo Lineal . . . 54

4. Funciones din´amicas 57 4.1. Funciones exactas, mezclantes y del tipo transitivas . . . 57

4.2. Funciones minimales, irreducibles y semi-abiertas. . . 59

4.3. Conjugaci´on topol´ogica . . . 63

5. Din´amica de funciones entre productos sim´etricos 71 5.1. Funciones inducidas . . . 71

5.2. Conjugaci´on topol´ogica de funciones inducidas . . . 73

5.3. Funciones exactas, mezcladoras y del tipo transitivas . . . 75

5.4. Sensibilidad a las condiciones iniciales . . . 80

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IV ´INDICE GENERAL

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Cap´ıtulo 1

Conceptos en espacios m´

etricos

En este cap´ıtulo introducimos las notaciones, los conceptos y los resultados que utilizamos para el desa-rrollo de nuestro trabajo. Las demostraciones de los teoremas de esta cap´ıtulo se pueden consultar en [11], [14] y [12]. En este cap´ıtulo s´olo se demostraron los teoremas que no son muy conocidos o que son de mucha utilidad en nuestro trabajo.

1.1. Notaciones y conceptos b´

asicos

En esta sección hablaremos del ´ınfimo y del supremo de un conjunto, siempre y cuando existan. El conjunto de los números reales lo hemos denotado comoR, al conjunto de los números reales positivos lo

hemos denotado comoR+, al conjunto de los n´umeros naturales lo hemos denotado comoN, al conjunto

de todos los números enteros lo hemos denotado como _Z, al conjunto de todos los números complejos lo hemos denotado como Cy al conjunto de todos los números irracionales lo hemos denotado como I.

Designamos a los conjuntos con letras mayúsculas:A, B, C, . . . , Z. El conjunto vac´ıo es denotado por∅. En todo el trabajo de la tesis, la unión y la intersección entre conjuntos serán denotadas por ∪ y ∩, respectivamente. Las familias de conjuntos las denotamos por medio de letras caligráficas mayúsculas:A,

B,C,. . .la uni´on y la intersecci´on sobre familias de conjuntos las denotamos porS

yT

, respectivamente. Además, dado un espacio métrico X, Xn denota el producto de X por s´ı mismo n veces. Dada una funciónf :A→B yC⊂A, la restricción def al conjuntoCla denotamos por f |C.

Definici´on 1.1.1. Sea Aun subconjunto no vac´ıo de_R. Se dice queAes:

1. Acotado superiormentesi existe un n´umeroM ∈Rtal quea≤M, para todoa∈A. Al n´umeroM

se le llama cota superior deA.

2. Acotado inferiormente si existe un n´umerom∈Rtal quem≤a, para todoa∈A. Al n´umerom

se le llama cota inferior deA.

3. Acotadosi est´a acotado superior e inferiormente.

Definici´on 1.1.2. Sea Aun subconjunto no vac´ıo deR.

1. Se dice que un n´umeroα∈Resel supremo deAy se escribeα= sup(A), si verifica:

a) αes cota superior deA;

b) si µes cota superior deA, entonces α≤µ.

2. Se dice que un n´umeroβ∈Res el´ınfimodeAy se escribeβ = ´ınf(A), si verifica:

a) β es una cota inferior deA;

b) Siµes una cota inferior deA, entoncesµ≤β.

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2 CAP´ITULO 1. CONCEPTOS EN ESPACIOS M ´ETRICOS

Recordemos el Axioma del supremo:

Axioma 1.1.3. SiS es un conjunto no vac´ıo acotado superiormente enR, entoncesS tiene supremo en

R.

La demostraci´on del siguiente resultado puede consultarse en [3, p´ag. 31].

Teorema 1.1.4. SiS es un conjunto no vac´ıo acotado inferiormente en_R, entoncesS tiene ´ınfimo en_R.

Se conoce bien que si el supremo y el ´ınfimo existen, entonces son ´unicos. Adem´as, si A⊂R con A

acotado y no vac´ıo, entonces ´ınf(A)≤sup(B).

Teorema 1.1.5. SeanAyB dos subconjuntos acotados no vac´ıos de n´umeros reales. Se sigue que:

1. sup(A∪B) = m´ax{sup(A),sup(B)}. 2. ´ınf(A∪B) = m´ın{´ınf(A),´ınf(B)}.

Demostraci´on.

S´olo probaremos la parte 1. Sea α = m´ax{sup(A),sup(B)}. Primero veamos que α es cota superior de A∪B. Sea x∈A∪B. Luego, x∈ A o x∈B. Si x∈ A, entonces x≤sup(A). Si x∈ B, entonces

x≤sup(B). Por lo tanto,x≤máx{sup(A),sup(B)}=α. Ahora veamos queαes la m´ınima cota superior deA∪B. Supóngase queβ es una cota superior deA∪B. Entoncesx≤β, para cadax∈Ay cadax∈B. Note que sup(A)≤β y sup(B)≤β. As´ı,α≤β. Por lo tanto, sup(A∪B) = máx{sup(A),sup(B)}. De forma similar se prueba la parte 2 de este teorema.

Las demostraciones de los siguientes resultados pueden consultarse en [9, p´ag. 3].

Teorema 1.1.6. Sean A y B subconjuntos acotados no vac´ıos de n´umeros reales tales que A ⊂ B.

Entonces: ´ınf(B)≤´ınf(A)≤sup(A)≤sup(B).

Teorema 1.1.7. Sea A un subconjunto de Rno vac´ıo y acotado inferiormente. Si > 0 e ´ınf(A) < ,

entonces existe a∈Atal quea < .

1.2. Espacios m´

etricos y propiedades

En esta sección hablaremos sobre algunas propiedades en espacios métricos tales como: precompacidad, compacidad, completez, etc. Las demostraciones de los resultados estudiados en esta sección pueden consultarse en [11] y [12].

Definición 1.2.1. Sea X un conjunto no vac´ıo. Unamétrica enX es una funciónd:X×X →[0,∞)

que posee las siguientes propiedades:

1. Para todox, y∈X,d(x, y)≥0.

2. Para todox, y∈X,d(x, y) = 0 si y s´olo six=y. 3. Para todox, y∈X,d(x, y) =d(y, x).

4. Para todox, y, z∈X,d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y).

El par (X, d), constituido por el conjuntoX y la m´etricaddefinida sobreX, se denominaespacio m´etrico.

Por lo general a una métricadsobre un conjuntoX también se le llama distancia sobreX, además si

x, y∈X, al n´umerod(x, y) se le denomina distancia entrexyy.

Si debilitamos la definici´on excluyendo a 2, y se permite que existan x, y ∈X con x6=y tales que

d(x, y) = 0,dno es una m´etrica y recibe el nombre deseudom´etrica.

De aqu´ı en adelante, siempre que se trabaje conR, ser´a considerado con la m´etrica usual, esto es, con

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1.2. ESPACIOS M ´ETRICOS Y PROPIEDADES 3

Proposici´on 1.2.2. Sean (X, d) un espacio m´etrico y Xn el producto de X por s´ı mismo n veces.

Sea dπ((x1, x2, . . . , xn),(y1, y2, . . . , yn)) = m´ax{d(x1, y1), d(x2, y2), . . . , d(xn, yn)}. Entonces dπ es una

m´etrica sobreXn_.

Teorema 1.2.3. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A un subconjunto de X. EntoncesA es un espacio

m´etrico con la m´etricad|A:A×A→[0,∞).

Recordemos que si X es un conjunto, se define y denota al conjunto potencia de X como P(X) =

{A⊂X :A6=∅}.

Definición 1.2.4. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X con A 6= ∅. Si {d(x, y) : x, y ∈ A} está

acotado superiormente,el di´ametro deAse denota y define comoδ(A) = sup{d(x, y) :x, y∈A}. En caso contrario diremos queδ(A) =∞. Siδ(A)∈_R, diremos queAes acotado.

Observaci´on 1.2.5. Sean (X, d) un espacio m´etrico,A⊂X con A6=∅ yz∈X. Entonces el conjunto

{d(z, a) :a∈A}es no vac´ıo y acotado inferiormente. Luego, por el Teorema 1.1.4, el conjunto{d(z, a) :

a∈A} tiene ´ınfimo, el cual denotaremos por d(z, A), esto es, d(z, A) = ´ınf{d(z, a) :a∈A}. Obsérvese que la única condición que se le ha pedido al conjuntoA es que sea no vac´ıo.

Definición 1.2.6. Sea (X, d) un espacio métrico. Tomemos un puntoa∈X y un número realr >0. Se

llamabola abierta de centroay radioral conjunto:{x∈X :d(x, a)< r}que lo denotamos porB(r, a).

Definici´on 1.2.7. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA⊂X. El conjuntoAes un conjuntoabiertoenX

si para todo punto x∈A exister >0 tal queB(r, x)⊂A.

Teorema 1.2.8. En un espacio m´etrico (X, d), para cadax∈X yr >0, la bola abierta B(r, x) es un

conjunto abierto.

Teorema 1.2.9. Sean (X, d) un espacio m´etrico y {Ai}i∈I una familia de conjuntos abiertos en X.

Entonces se cumple que:

1. El espacioX y el conjunto∅son abiertos en X. 2. S

i∈IAi es un conjunto abierto enX.

3. SiI es finito, entoncesT

i∈IAi es un conjunto abierto enX.

Definici´on 1.2.10. Sean (X, d) un espacio m´etrico yAun subconjunto deX. Se dice quex∈Aes un

punto interior deAsi existe un n´umero realr >0 tal queB(r, x)⊂A. Al conjunto{x∈A:xes interior deA} se le llamainterior deAy se denota por int(A).

Teorema 1.2.11. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA, B⊂X. Entonces se cumplen:

1. SiA⊂B, entonces int(A)⊂int(B). 2. int(A) es abierto enX.

3. int(A)∪int(B)⊂int(A∪B). 4. int(A)∩int(B) = int(A∩B).

Definici´on 1.2.12. Sean (X, d) un espacio m´etrico y x ∈ X. Se llama entorno del punto x a todo

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Obs´ervese que en particular, una bola abierta de centroxy radiores un entorno de x.

Definici´on 1.2.13. Sean (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X y x ∈ X. Se dice que x es un punto de

acumulaci´on del conjunto A, si todo entorno dexcontiene puntos deA distintos dex. Es decir, si para todo entorno S de xse cumple que (S\ {x})∩A6=∅. Al conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de un conjuntoA se llama conjuntoderivado de Ay se denota comoA0.

Definici´on 1.2.14. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA un subconjunto deX. Si Acontiene todos sus

puntos de acumulaci´on, decimos queA es un conjuntocerrado enX.

Teorema 1.2.15. Sean (X, d) un espacio m´etrico y{Ai}i∈I una familia de conjuntos cerrados. Entonces

se cumple que:

1. El espacioX y el conjunto∅ son cerrados enX.

2. SiI es finito, entoncesS

i∈IAi es un conjunto cerrado enX.

3. T

i∈IAi es un conjunto cerrado enX.

Definici´on 1.2.16. Dado un conjunto A en un espacio m´etrico (X, d), al conjunto A =A∪A0_{, se le}

llamaclausura o cerradura de A.

Teorema 1.2.17. Un conjuntoAen un espacio m´etrico (X, d) es cerrado si y s´olo siA=A.

Teorema 1.2.18. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA, B⊂X. Entonces se cumplen:

1. SiA⊂B, entonces A⊂B.

2. Aes cerrado enX.

3. A∪B=A∪B.

4. A∩B⊂A∩B.

Teorema 1.2.19. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A⊂X. Entonces las siguientes proposiciones son

equivalentes:

1. x∈A,

2. d(x, A) = 0,

3. Para todo entornoS dex,S∩A6=∅.

Teorema 1.2.20. Un conjuntoAen un espacio m´etrico (X, d) es cerrado si y s´olo siX\Aes abierto.

Observaci´on 1.2.21. Sean (X, d) un espacio m´etrico yx∈X. Entonces{x} es cerrado enX.

Teorema 1.2.22. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ={x1, x2, . . . , xn} un subconjunto finito de X.

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1.2. ESPACIOS M ´ETRICOS Y PROPIEDADES 5

Demostraci´on.

Notemos que A = Sn

i=1{xi}, y por la Observaci´on 1.2.21, los conjuntos singulares son cerrados en X.

Por el Teorema 1.2.15 (2), se sabe que la uni´on finita de cerrados es cerrado. As´ı,A={x1, x2, . . . , xn} es cerrado enX.

Definici´on 1.2.23. Un subconjunto A de un subconjunto B en un espacio m´etrico X se dice que es

denso enB si B est´a contenido en la clausura deA, es decir,B⊂A. En particular,A es denso enX o es un subconjunto denso deX siA=X.

Recordemos las siguientes nociones en un espacio m´etrico:

Definici´on 1.2.24. Sean (X, d) un espacio m´etrico,A⊂X yU ⊂ P(X). Se dice queU es unacubierta

de A, siA⊂S_{_B _:_B _{∈ U }}_{. Decimos que}_U _{es una}_{cubierta abierta} _de_A_{, si}_U _{es una cubierta de}_A _y

todos los elementos de U son subconjuntos abiertos deX. Una subcubierta de una cubierta U de A es una colecci´onS de elementos deU que es tambi´en una cubierta deA.

Definici´on 1.2.25. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA⊂X.Decimos queAescompactosi toda cubierta

abierta deAadmite alguna subcubierta finita paraA.

Las demostraciones de los siguientes dos resultados pueden consultarse en [9, p´ag. 8].

Teorema 1.2.26. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Seanx, y ∈ X tales que x 6=y. Entonces existe un

entorno S dexy un entornoT dey conS∩T=∅.

Teorema 1.2.27. Sea (X, d) un espacio m´etrico. SiA yB son dos conjuntos ajenos y compactos deX,

entonces existen abiertos ajenos S yT deX tales queA⊂S yB ⊂T.

Teorema 1.2.28. Sean (X, d) un espacio m´etrico compacto yA⊂X con Acerrado en X. EntoncesA

es compacto.

Demostraci´on.

Sea{Uα:α∈I}una cubierta paraA. Dado queAes cerrado, por el Teorema 1.2.20, se sigue queX\A

es abierto, as´ı,{X\A} ∪ {Uα:α∈I}es una cubierta abierta deX. Dado queX es compacto, la cubierta abierta{X\A} ∪ {Uα :α∈I} admite una subcubierta finita deX. Por lo tanto, al remover X\A de esta subcubierta finita, se produce una subcubierta finita de la cubierta{Uα}deA.

Teorema 1.2.29. Sean (X, d) un espacio m´etrico compacto y sea{Xn}∞n=1una sucesi´on de subconjuntos

cerrados de X tales que para cadan∈N,Xn+1 ⊂Xn. SiU es un abierto de X tal queT∞_n₌₁Xn ⊂U, entonces existeN ∈Ntal queXN ⊂U.

Demostraci´on.

SeaU un abierto enX tal queT∞

n=1Xn ⊂U. EntoncesX\U es cerrado. Por el Teorema 1.2.28, se sigue queX\U es compacto. ComoT∞

n=1Xn ⊂U, se tiene por leyes de De Morgan,X\U ⊂

S∞

n=1X\Xn. Entonces, la familia{(X\Xn) :n∈N}es una cubierta abierta deX\U. Dado queX\U es compacto,

existe una subcubierta finita{X\Xn₁, X\Xn₂, . . . , X\Xn_m} que cubre aX\U. Sea N= m´ax{n1, n2, . . . , nm}. Entonces, S

m

j=1(X\Xnj) =X\XN. Por lo tantoXN ⊂U.

El siguiente resultado es el Teorema de Tychonoff en el caso finito. Para ver una demostraci´on de este resultado consulte [12, p´ag. 267].

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1.3. Convergencia en espacios m´

etricos

En esta secci´on hablaremos sobre las sucesiones, en particular hablaremos de las sucesiones de Cauchy y analizaremos algunas de sus propiedades. Las demostraciones de los resultados estudiados en esta secci´on pueden consultarse en [11].

Definición 1.3.1. Sea X un espacio métrico. Unasucesión enX es una función f :_N→X.

Normal-mente, en vez de utilizar la notación funcional, se utiliza la notación con sub´ındicesf(n) =xn, y se habla de la sucesiónf o {xn}n∈N. El puntoxn se llaman-ésimo término de la sucesión{xn}n∈N.

Definición 1.3.2. Unasubsucesión {yn}n∈Nde la sucesión{xn}n∈N es otra sucesión definida poryn=

xϕ(n), dondeϕ:N→Nes una funci´on creciente. Es decir, se eligen elementos de la sucesi´on original, sin

alterar el orden.

Observación 1.3.3. Toda sucesión es una subsucesión de s´ı misma.

Definición 1.3.4. Sean (X, d) un espacio métrico y{xn}n∈N una sucesión en X. Se dice que x∈X es

punto l´ımite de{xn}n∈N enX, si para cada >0, existen∈Ntal que para cadan>n,xn ∈B(, x).

Se dice tambi´en que{xn}n∈Nconverge axenX y se denota porxn →x. Si {xn}n∈Nno converge enX,

se dice que diverge.

Teorema 1.3.5. El l´ımite de una sucesión convergente en un espacio métrico es único.

Teorema 1.3.6. Sean (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X y x∈ X. Si xes un punto de acumulaci´on

de un conjunto A, entonces existe una sucesi´on{xn}n∈N enA, cuyos t´erminos son distintos dos a dos y

xn→x.

Teorema 1.3.7. Sea A un conjunto no vac´ıo en un espacio m´etrico. Entoncesx∈A si y s´olo si existe

una sucesi´on{xn}n∈NenAcon xn→x.

Demostraci´on.

Veamos que six∈A, entonces existe una sucesi´on{xn}n∈NenAconxn→x. Seax∈A. Six∈A0, por

el Teorema 1.3.6, existe una sucesión enAque converge ax. Six∈A, basta tomar la sucesión constante, es decir, para todon∈_N,xn=x, que está enAyxn→x.

Rec´ıprocamente, supongamos que {xn} es una sucesi´on en A con xn → x. Demostraremos que x∈A. Sea S un entorno dex, luego existe un N ∈Ntal que para todo n≥N,xn ∈S. Dado que la sucesi´on

est´a en A, xn ∈ A para todon ≥ N, es decir, xn ∈ S∩A para todo n≥ N. As´ı,S∩A 6=∅. Por el

Teorema 1.2.19, x∈A.

Definición 1.3.8. Sean (X, d) un espacio métrico y {xn}n∈N una sucesión enX. Se dice que{xn}n∈N

es unasucesión de Cauchy si para cada >0, existen∈_Ntal que para cadam, n≥n,d(xn, xm)< . Obsérvese que los términos de una sucesión de Cauchy se acercan entre s´ı a medida que los ´ındices crecen.

Teorema 1.3.9. En un espacio m´etrico toda sucesi´on convergente es de Cauchy.

El rec´ıproco del teorema anterior no siempre es cierto, pues existen sucesiones que son de Cauchy, pero no son convergentes. Por ejemplo la sucesi´onxn= 1_n es de Cauchy enM = (0,1], pero no es convergente

enM, pues su l´ımite no se encuentra enM.

(17)

1.4. FUNCIONES ENTRE ESPACIOS M ´ETRICOS 7

Teorema 1.3.10. Sean (X, d) un espacio m´etrico y{xn}n∈Nuna sucesi´on de Cauchy enX. Si{xn}n∈N

admite una subsucesi´on convergente enX, entonces{xn}n∈Nconverge y ambas tienen el mismo l´ımite.

1.4. Funciones entre espacios m´

etricos

Es esta sección hablaremos sobre las funciones en espacios métricos, pues serán de gran utilidad en los Cap´ıtulos 3 y 4. Las demostraciones de los resultados estudiados en esta sección pueden consultarse en [14].

Definición 1.4.1. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios métricos y f :X →Y una función.

1. Se dice quef es inyectiva si para todoa, b∈X se tiene que sia6=b, entonces f(a)6=f(b). 2. Se dice quef es suprayectiva o sobreyectiva si para todoy∈Y, existex∈X tal que f(x) =y.

3. Se dice quef es biyectiva sif es inyectiva y suprayectiva.

Definición 1.4.2. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios métricos,f : (X, dX)→(Y, dY) una función ya∈X.

Se dice que f es continua en a, si para cada > 0, existe δ > 0 tal que si dX(a, x) < δ, entonces

dY(f(a), f(x))< . Decimos quef es continua enX si para cadaa∈X,f es continua en a. La demostraci´on del siguiente resultado puede consultarse en [11, p´ag. 157].

Teorema 1.4.3. Seaf :X→Y una funci´on entre espacios m´etricos. Entonces las siguientes propiedades

son equivalentes:

1. f es continua en X.

2. SiV es un subconjunto abierto enY, entoncesf−1₍_V_{) es subconjunto abierto en} _X_.

3. SiT es un subconjunto cerrado enY, entonces f−1(T) es subconjunto cerrado enX.

4. Para todo subconjunto S deX, f(S)⊂f(S).

Definición 1.4.4. Sean (X, dX) y (Y, dY) espacios métricos. Se dice que la funciónf :X→Y esabierta

si para todo U abierto en X, se tiene que f(U) es abierto en Y. Se dice que la funci´on f :X →Y es cerrada si para todoU cerrado en X, se tiene quef(U) es cerrado enY.

Teorema 1.4.5. Si f es una funci´on continua y sobreyectiva del espacio m´etrico compacto X en el

espacio m´etricoY, entoncesY es compacto.

Definición 1.4.6. Dos espacios métricos X y Y son homeomorfos si existe una función biyectiva

f :X→Y tal que f yf−1son continuas.

Teorema 1.4.7. Sea f : (X, τ) → (Y, σ) una funci´on continua y biyectiva. Entonces las siguientes

proposiciones son equivalentes:

1. f es un homeomorfismo.

2. f es cerrada.

(18)

Definición 1.4.8. Sean (X, dX) y (Y, dY) espacios métricos. Se dice que la función f :X →Y es una

isometr´ıa si es biyectiva y adem´as para cualesquierax, y∈X,dX(x, y) =dY(f(x), f(y)). Se dice queX

esisom´etrico al espacioY, si existe una isometr´ıa entre estos dos espacios.

La isometr´ıa es una relaci´on de equivalencia en la clase de los espacios m´etricos.

Teorema 1.4.9. Sean (X, dX) y (Y, dY) espacios m´etricos. Si existe una isometr´ıa entreX yY, entonces

X yY son homeomorfos.

Demostraci´on.

Supóngase que X es isométrico aY. Entonces existe una biyecciónf : (X, dX)→ (Y, dY) tal que para cualesquierax, y∈X,dX(x, y) =dY(f(x), f(y)). Resta probar quef yf−1_{son continuas. Por demostrar} que f es continua. Sea y ∈ X y > 0. Considerese δ= , si dX(x, y) < δ, entonces dX(x, y) < . As´ı

dY(f(x), f(y))< , es decir, f es continua. De manera similar se prueba quef−1es continua.

Definición 1.4.10. Sean (X, d) un espacio métrico y f : (X, d) → (X, d) una función. Se dice que f

es una funci´on de Lipschitz si existe una constante k > 0 tal que d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y), para cada

x, y∈X. En tal caso,kes llamada laconstante de Lipschitz.

Las demostraciones de los siguientes dos resultados pueden consultarse en [9, p´ag. 14].

Proposici´on 1.4.11. Sean (X, d) un espacio m´etrico y f1, f2, . . . , fn funciones de Lipschitz, entonces

f1◦f2◦ · · · ◦fn es una funci´on de Lipschitz.

Teorema 1.4.12. Sean (X, d) un espacio métrico yf : (X, d)→(X, d) una función. Sif es una función

de Lipschitz, entonces f es continua.

Definición 1.4.13. Sean (X, d) un espacio métrico yf :X →X una función de Lipschitz con constante

de Lipschitzk >0. Entonces:

1. Sik≤1, la funci´onf se le llamano expansiva.

2. Sik <1, la funciónf se le llamacontracción, y en tal caso akse le llamaconstante de contracción para f.

Teorema 1.4.14. Sean (X, d) un espacio m´etrico,f : (X, d)→ (X, d) y g : (X, d)→(X, d) funciones.

Si f ygson contracciones, entoncesf◦g es una contracci´on. Aplicando la Proposici´on 1.4.11, se tiene el siguiente resultado:

Corolario 1.4.15. Sean (X, d) un espacio m´etrico yf1, f2, . . . , fncontracciones, entoncesf1◦f2◦ · · · ◦fn

es una contracci´on.

1.5. Continuos

En esta sección hacemos una breve introducción a los continuos. Analizaremos algunas de sus propie-dades y construiremos algunos continuos que son de interés para este trabajo. Las demostraciones de los resultados estudiados en esta sección pueden consultarse en [9] y [11].

Definición 1.5.1. SeaX un espacio métrico. Decimos que los conjuntosS yT son unadisconexión de

X si son no vac´ıos, ajenos, abiertos enX yX =S∪T. Si tales conjuntos existen decimos que X admite unadisconexi´on.

Notemos queS y T también son cerrados en X. Observemos que siX admite una disconexión, ésta puede no ser única. En efecto, si S es abierto y cerrado en X tal que S 6= ∅ y S 6= X, se sigue que

(19)

1.5. CONTINUOS 9

Definici´on 1.5.2. SeaAun conjunto no vac´ıo en un espacio m´etrico (X, d). Decimos queA es disconexo

si admite alguna disconexi´on. Decimos queA es conexosi no es disconexo, es decir, no admite disconexi´on.

Teorema 1.5.3. Sea X un espacio métrico. Entonces X es conexo si y sólo si ∅ y X son los únicos

conjuntos enX que son al mismo tiempo abiertos y cerrados.

Demostraci´on.

Supongamos que X es conexo. Sea A⊂X tal que A es abierto y cerrado en X, con A 6=X yA 6=∅. Observemos que por el Teorema 1.2.20, se sigue que X \A es abierto y cerrado en X. Notemos que

A∩(X\A) =∅yX =A∪(X\A), as´ı,X es disconexo, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, los ´

unicos conjuntos enX que son al mismo tiempo abiertos y cerrados son el∅ yX.

Rec´ıprocamente, probemos el contrarrec´ıproco de esta afirmaci´on. Supongamos queX es disconexo. As´ı, existen U yV abiertos no vac´ıos deX tales queU∩V =∅yX =U∪V. Notemos queU =X\V. En efecto, dado queU∩V =∅, se sigue queU ⊂X\V. Por otro lado, sea x∈X\V. ComoX =U∪V, se tiene quex∈U. En consecuencia,U =X\V. De aqu´ı,U es un abierto y cerrado enX tal que U 6=∅ y

U 6=X.

Teorema 1.5.4. Sea X un espacio m´etrico. Si A yB son subconjuntos deX tales que A es conexo y

A⊂B ⊂A, entoncesB es conexo. En particular,Aes conexo.

Teorema 1.5.5. SeaF una familia de subconjuntos conexos de un espacio m´etricoX. Si existeA0∈ F

tal que para todoA∈ F,A∩A06=∅, entoncesSF es conexo.

Corolario 1.5.6. SiFes una familia de subconjuntos conexos de un espacio m´etricoXtales queT

F 6=∅, entoncesS

F es conexo.

Definici´on 1.5.7. En (_R, d) sea A⊂_R. Decimos que A es un intervalo si para cadax, y ∈A, y para

cadaz∈Rconx≤z≤y se cumple quez∈A.

Teorema 1.5.8. Sea el espacio m´etrico (_R, d) ya, b∈Rcona < b. Entonces [a, b] es conexo.

Corolario 1.5.9. Un subconjuntoAde_Res conexo si y s´olo siAes un intervalo.

Teorema 1.5.10. SiX1, X2, . . . , Xn son espacios m´etricos conexos, entoncesQ

n

i=1Xi es conexo.

Definici´on 1.5.11. Las n-celdas son espacios homeomorfos a [0,1]n, donde [0,1]n se define como el

producto cartesiano denveces el intervalo [0,1].

Note que como [0,1] es conexo. Entonces por el Teorema 1.5.10, las n-celdas [0,1]n _{son conexas. La}

demostraci´on del siguiente resultado puede consultarse en [11, p´ag. 169].

Teorema 1.5.12. Si f es una función continua del espacio métrico conexoX sobre el espacio métrico

Y, entonces Y es conexo.

Definici´on 1.5.13. Sean (X, d) un espacio m´etrico yx∈X.La componente conexa del punto x se define

comoCx=S

{C⊂X :C es conexo yx∈C}.

(20)

Teorema 1.5.14. Sean (X, d) un espacio m´etrico yx∈X. Entonces:

1. SiC es conexo tal quex∈C, entoncesC⊂Cx.

2. Cx es cerrado enX.

Definici´on 1.5.15. Un arco es un espacio homeomorfo al intervalo [0,1].

Dado que un intervalo cerrado es un conjunto conexo y compacto, por los Teoremas 1.5.12 y 1.4.5, se sigue que un arco es conexo y compacto.

Definici´on 1.5.16. Uncontinuoes un espacio m´etrico, compacto, conexo y no vac´ıo. Unsubcontinuoes

uncontinuoel cual est´a contenido como subespacio en otro continuo.

De los Teoremas 1.2.30 y 1.5.10, se sigue que:

Teorema 1.5.17. SiX1, X2, . . . , Xn son continuos, entoncesQ

n

i=1Xies continuo.

Ejemplo 1.5.18. Algunos ejemplos de continuos son los siguientes:

1. El intervalo [a,b], para a, b∈Rcona≤b.

2. Lasn-celdas [0,1]n. En particular, la 2-celda es un continuo (Ver Figura 1.1).

3. Un arco (Ver Figura 1.2).

4. En un espacio m´etrico, la imagen continua de un continuo.

Figura 1.1: Gr´afica del continuo 2-celda.

Figura 1.2: Gr´afica de un arco.

Construir continuos no es una tarea f´acil, por lo cual conviene ver el siguiente resultado que brindar´a una gran herramienta para dicha tarea.

Teorema 1.5.19. SiX es uncontinuo y{An}∞

n=1 es una sucesi´on de subcontinuos deX tales que para toda n∈N,An+1⊂An, entoncesT

∞

n=1An es un subcontinuo deX.

Demostraci´on.

Sea A = T∞

n=1An. Como A es intersecci´on de cerrados, por el Teorema 1.2.15,(3), se sigue que A es

(21)

1.5. CONTINUOS 11 Obs´ervese queX\An es abierto en X, para cada n∈N. Por demostrar queAno es vac´ıo. Sup´ongase

queAes vac´ıo. Por leyes de Morgan

X =X\A=X\

∞

\

n=1

An

!

= (X\A1)∪(X\A2)∪. . .

Entonces la familia {(X\A1),(X\A2), . . .} es una cubierta abierta deX. ComoX es compacto existe una subcubierta finita X\An₁, X\An₂, . . . , X\An_m deX. Sup´ongase, sin p´erdida de generalidad que

n1≤n2≤. . .≤nm. Entonces

X= (X\An₁)∪(X\An₂)∪. . .∪(X\An_m) =X\(An₁∩An₂∩. . .∩An_m) =X\An_m.

En consecuencia Anm = ∅, lo cual conduce a una contradicci´on, pues al ser Anm un subcontinuo es

diferente del vac´ıo. Por lo tanto,Aes diferente del vac´ıo.

Resta probar queA es conexo. Sup´ongase queA no es conexo. Entonces existenU yV cerrados deX, no vac´ıos tales que U ∩V =∅ y A =U ∪V. Al ser X compacto, por el Teorema 1.2.28 se sigue que

U yV son compactos. Entonces por el Teorema 1.2.27 existen I y J abiertos en X tales queU ⊂I y

V ⊂J, conI∩J =∅. N´otese queT∞

n=1An⊂I∪J, entonces por el Teorema 1.2.29 existeN ∈Ntal que

AN ⊂I∪J. De dondeAN = (AN∩I)∪(AN∩J). Observemos que,U∪V =A⊂AN. ComoU 6=∅, sea

k∈U, as´ık∈I. Comok∈A, se sigue quek∈AN∩I. LuegoAN∩I6=∅. De manera similar se prueba

queAN ∩J 6=∅. As´ı,AN no es conexo. Lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto,Aes conexo. De la demostraci´on del Teorema 1.5.19, se puede deducir lo siguente:

Teorema 1.5.20. Si X es un compacto y {An}∞

n=1 es una sucesi´on de compactos tales que para toda

n∈N,An+1⊂An entoncesT∞n=1An es un compacto.

En el siguiente ejemplo se har´a uso del Teorema 1.5.19 para construir un continuo.

Ejemplo 1.5.21. SeanA0= [0,1]×[0,1] yB1= 1₃,1₃

× 1 3, 1 3

, obs´ervese queA0 es un continuo, pues

A0 es el producto de conexos, por lo cual es conexo. Tambi´en A0 es el producto de compactos, por lo cual es compacto.

SeaA1=A0\B1. Obs´ervese queA1es un continuo. SeaB21= 1₉,2₉

× 1 9, 2 9

,B22= 4₉,5₉

× 1 9, 2 9

,B23= 7 9, 8 9 × 1 9, 2 9

,B24= 1₉,2₉

× 4 9, 5 9

,B25= 7₉,8₉

× 4 9, 5 9

,B26= 1₉,2₉

× 7 9, 8 9

,B27= 4₉,5₉

× 7 9, 8 9

yB28= 79, 8 9 × 7 9, 8 9

. SeaA2=A1\B2, dondeB2=B21∪B22∪B23∪B24∪B25∪B26∪B27∪B28, obsérvese que A2 es un continuo. As´ı, sucesivamente se sigue con la construcción de los An. Para una idea geométrica de como son los conjuntos formados, vea la Figura 1.3.

Entonces, por el Teorema 1.5.19, se sigue que A = T∞

n=1An es un continuo. Dicho continuo se conoce

comola Carpeta de Sierpinski.

Observe que el Teorema 1.5.19, nos brinda una herramienta para construir continuos de una manera sencilla. En el ejemplo anterior se construyó la Carpeta de Sierpinski mediante una sucesión de continuos. De manera similar es posible construirel Triángulo de Sierpinski. A continuación enunciaremos algunos resultados sobre la función continuaf :X →Y, dondeX yY son continuos.

Teorema 1.5.22. SeanX yY dos espacios m´etricos compactos. Sif :X→Y es una funci´on continua,

entoncesf es cerrada.

Un caso particular del Teorema 1.5.22, es el siguiente:

Teorema 1.5.23. Sean X y Y dos continuos. Si f : X → Y es una funci´on continua, entonces f es

(22)

Figura 1.3: Gr´afica de los primeros pasos para construir la Carpeta de Sierpinski mediante continuos.

Enseguida citaremos el Teorema del valor intermedio, dicho teorema es muy conocido en cálculo diferencial y nos será de utilidad en las demostraciones de algunos resultados. Su demostración puede consultarse en [3, pág. 177].

Teorema 1.5.24. SeanAun intervalo enRyf :A→Auna funci´on continua enA. Seana, bdos puntos

enA tales quea < b, y seaM ∈R. Si alguna de las siguientes dos condiciones se cumple:

1. f(a)< M < f(b),

2. f(a)> M > f(b),

entonces existe c∈(a, b) tal quef(c) =M.

Teorema 1.5.25. Sean X y Y dos continuos y f : X → Y una funci´on continua. Si f es biyectiva,

entonces f es un homeomorfismo.

Ejemplo 1.5.26. La funci´on h : [0,1] → [0,1] dada por h(x) = sen2₍πx

2 ) es un homeomorfismo. En efecto, notemos que h es continua y [0,1] es un continuo. Para mostrar que h es un homeomorfismo, basta probar quehes biyectiva.

Veamos quehes inyectiva. Observemos queh0₍_x_{) = 2sen(}πx

2 ) cos(

πx

2 )

π

2. Dado que sen(2θ) = 2sen(θ) cos(θ), se tiene que h0(x) = π₂sen(πx)≥0, as´ı,h(x) es creciente en el intervalo [0,1]. Seanx, y∈[0,1] tales que

x6= y. Sin p´erdida de generalidad, supongamos que x < y. Luego, h(x)< h(y), es decir,h(x)6= h(y). Por lo tanto, hes inyectiva.

Por otro lado, veamos que h es sobreyectiva. Observemos queh(0) = 0 y h(1) = 1. Sea x∈ (0,1). De aqu´ı, h(0)< x < h(1). Por el Teorema 1.5.24, existec∈ (0,1) tal quef(c) =x. En consecuencia, hes sobreyectiva. Por lo tanto,hes biyectiva. Por el Teorema 1.5.25, se sabe quehes un homeomorfismo.

1.6. Los Hiperespacios y el producto sim´

etrico.

Las demostraciones de los resultados estudiados en esta secci´on pueden consultarse en [6] y [9].

Definici´on 1.6.1. Sean (X, d) un espacio m´etrico yn∈N. Definimos las siguientes familias de conjuntos

deX:

1. CB(X) ={A⊆X :A6=∅, Aes acotado y cerrado enX};

2. 2X ₌_{_A_⊆_X _:_A₆₌_∅ _y_A_{es compacto}_}_;

(23)

1.6. LOS HIPERESPACIOS Y EL PRODUCTO SIM ´ETRICO. 13 4. Fn(X) ={A⊂X :A6=∅ yAtiene a lo m´asnpuntos};

5. Cn(X) ={A∈2X :Atiene a lo m´asncomponentes}.

Obs´ervese que Fn(X)⊂ Cn(X)⊂2X. Sin= 1, en lugar de escribir C1(X), se escribeC(X). En este

caso C(X) ={A∈2X _:_A_{es conexo} _}_{. Recordemos que dado un espacio m´}_etrico_X _y_A_⊂_X _con _A _no

vac´ıo enX, para todoz∈X, se tiene qued(z, A) = ´ınf{d(z, a) :a∈A}.

Definici´on 1.6.2. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA, B⊂X conAyB no vac´ıos y acotados. Entonces

definimos y denotamos:ρ(A, B) = sup{d(a, B) :a∈A}.

Teorema 1.6.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces la funci´on H : CB(X)× CB(X) → [0,∞),

definida porH(A, B) = máx{ρ(A, B), ρ(B, A)} para todoA, B ∈ CB(X), es una métrica sobre CB(X). Tal métrica se conoce comola métrica de Hausdorff.

Las bolas abiertas en CB(X) se denotarán como B(δ, A), donde A ∈ CB(X) y δ >0. De ahora en adelante, al espacioCB(X) será considerado con la métrica de Hausdorff. Además, cualquier subconjunto de CB(X) será considerado con la métrica de Hausdorff de CB(X) restringida. La métrica de Hausdorff nos permite trabajar con un tipo de conjuntos. Para ello, damos la siguiente definición.

Definici´on 1.6.4. SeaXun continuo. Unhiperespaciode un continuoXes una colecci´on de subconjuntos

deX que satisface algunas propiedades particulares.

Todas las familias dadas en la Definici´on 1.6.1 son hiperespacios y son considerados con la m´etrica de HausdorffH.

Proposici´on 1.6.5. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA, B ∈ CB(X) tales que A={a} yB ={b}. Se

sigue queH(A, B) =d(a, b).

Teorema 1.6.6. Sean (X, d) un espacio m´etrico, yA1, A2, B1, B2∈ CB(X). LuegoH(A1∪A2, B1∪B2)≤

m´ax{H(A1, B1),H(A2, B2)}

Para conocer una equivalencia que tiene la m´etrica de Hausdorff, conviene ver la siguiente definici´on.

Definici´on 1.6.7. Sean (X, d) un espacio m´etrico yA ⊂X con Ano vac´ıo. La nube alrededor de A y

radio r >0 se define y denota como:

N(r, A) ={x∈X :d(x, A)< r}.

Teorema 1.6.8. Sean (X, d) un espacio m´etrico, >0 yA∈ CB(X). Se tiene queN(, A) =S_{_B₍_{, a}_{) :}

a∈A}.

Las demostraciones de los siguientes tres resultados pueden consultarse en [6, p´ag. 65].

Teorema 1.6.9. Sean (X, d) un espacio m´etrico,A, B∈2X y >0. Se sigue que:

H(A, B)< si y s´olo siA⊂N(, B) yB ⊂N(, A).

Teorema 1.6.10. Sean (X, d) un espacio m´etrico, yA, B ∈ CB(X). Entonces H(A, B) = ´ınf{r >0 :

(24)

Teorema 1.6.11. Sean (X, d) un espacio m´etrico,A, B∈ CB(X) y >0. Entonces se cumplen:

1. H(A, B)< , entoncesA⊂N(, B) yB⊂N(, A). 2. SiA⊂N(, B) yB⊂N(, A), entoncesH(A, B)≤.

Definici´on 1.6.12. Sean (X, d) un espacio m´etrico, yA, B ∈ CB(X). Ladistancia Pompeiu-Hausdorff

entre A y B est´a dado por:_D∞(A, B) = sup{|d(x, A)−d(x, B)|:x∈X}.

Teorema 1.6.13. Sean (X, d) un espacio m´etrico, yA, B∈ CB(X). EntoncesH(A, B) =D∞(A, B).

Definici´on 1.6.14. Sea X un continuo, m ∈ _N y U1, U2, . . . , Um subconjuntos de X. Definimos la

siguiente subcolecci´on de 2X_:

hU1, . . . , Umi=

(

A∈2X:A⊂ m

[

i=1

Ui yA∩Ui6=∅, para cadai∈ {1, . . . , m}

)

.

DefinimoshU1, . . . , Umin=hU1, . . . , Umi ∩ Fn(X).

Teorema 1.6.15. Sean X un continuo y B ={hU1, U2, . . . , Umi :m ∈N}, dondeUi es abierto en X,

para cada i∈_N. EntoncesB es una base para una topolog´ıa del hiperespacio 2X _{(la topolog´ıa generada}

porB), denotada porTV y conocida comotopolog´ıa de Vietoris.

TH denota la topolog´ıa inducida por la métrica de Hausdorff. Note que una base paraTH está dada por γH ={B(δ, S) :S ∈2X yδ >0}. La demostración del siguiente resultado puede consultarse en [9,

p´ag. 47].

Teorema 1.6.16. Sea X un continuo. Se tiene que la topolog´ıa de VietorisTV y la topolog´ıa inducida

por la m´etrica de Hausdorff,TH, en 2X son iguales.

De aqu´ı en adelanteτn denotar´a la topolog´ıa TV restringida aFn(X).

Observaci´on 1.6.17. Dado n ∈ N y X un continuo. Notemos que Fn(X)⊂ 2X. As´ı, dado que B es

una base para una topolog´ıaTV en 2X, se sigue queBn ={hU1, . . . , Umin:m∈N}es una base para la

topolog´ıa τn enFn(X).

Teorema 1.6.18. SeanXun continuo yn∈N. La familia{hU1, . . . , Unin :U1, . . . , Un son abiertos en X}

es una base para la topolog´ıa deFn(X).

Demostraci´on.

Sabemos que B = {hU1, . . . , Umin : m ∈ NyU1, . . . , Umabiertos enX} es una base para la topolog´ıa

τn de Fn(X). Veamos que C = {hU1, . . . , Unin : U1, . . . , Un son abiertos enX} es una base para la topolog´ıa τn de Fn(X). Sean U ∈ τn y A ∈ Fn(X) tal que A ∈ U. Dado que Bn es una base para τn, existen m subconjuntos abiertos U1, . . . , Um de X tales que A ∈ hU1, . . . , Umin ⊂ U. Para probar

que C es una base para la topolog´ıaτn, basta verificar que existen nabiertosV1, . . . , Vn deX tales que

A∈ hV1, . . . , Vnin⊂ hU1, . . . , Umin ⊂ U. Consideremos los dos posibles casos:

Caso 1, m ≤ n. En este caso, tomaremos Vi = Ui para cada i ∈ {1, . . . , m} y Vi = Um para cada i∈ {m+ 1, . . . , n}. Entonces,hV1, . . . , Vnin=hU1, . . . , Umin.

Caso 2, m > n. Sea A ={x1, . . . , xk}, con k ≤ n. Para cada i ∈ {1, . . . , k}, pongamosWi = ∩{Uj :

(25)

1.6. LOS HIPERESPACIOS Y EL PRODUCTO SIM ´ETRICO. 15

Observaci´on 1.6.19. Note que dado U ∈ τn y x∈ U, se sigue por el Teorema 1.6.18 que existen n

abiertos enX,U1, U2, . . . , Un, tales quex∈ hU1, . . . , Unin⊂ U.

Teorema 1.6.20. Sea (X, d) un espacio m´etrico. EntoncesF1(X) ={{x} :x∈X} considerado con la

m´etrica de Hausdorff es isom´etrico aX.

Demostraci´on.

Basta mostrar que existe una isometr´ıa entre F1(X) = {{x} : x ∈ X} y X. Considere la funci´on

h:X → F1(X) dada por h(x) ={x}, para cadax∈X. Por la manera en que está definida la función es biyectiva. Además, por la Proposición 1.6.5,d(a, b) = H({a},{b}) = H(h(a), h(b)), con lo cual hes una isometr´ıa entre F1(X) ={{x}:x∈X} yX. Por lo tanto,F1(X) ={{x}:x∈X}es isométrico al espacioX.

Teorema 1.6.21. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se cumple queF1(X) ={{x}:x∈X}es homeomorfo

a X.

Demostraci´on.

Por el Teorema 1.6.20,F1(X) ={{x}:x∈X}es isom´etrico aX. Luego, por el Teorema 1.4.9,F1(X) =

{{x}:x∈X}yX son homeomorfos.

Obs´ervese que, para cadan∈N, se cumple la siguiente contenci´on,F1(X)⊂ Fn(X).

Teorema 1.6.22. Sea (X, d) un espacio m´etrico. EntoncesF1(X) es cerrado enCB(X).

Demostraci´on.

Probemos queF1(X) es cerrado enCB(X). Para probar lo deseado, basta verificar queF1(X)⊂ F1(X).

Sea A ∈ F1(X). Luego, por el Teorema 1.3.7, existe{An} ⊂ F1(X) tal que l´ımAn =A. Veamos que

A∈ F1(X).Sup´ongase queA /∈ F1(X).Seanx∈Ayy∈A\{x}. As´ı,d(x, y) =r >0.Como l´ımAn=A,

para r₂ > 0, existe N ∈ _N tal que para todo n ≥ N, H(An, A) < r2. Fijemos n ≥ N. Luego, por el Teorema 1.6.11,(1),A⊂N(r₂, An). Sup´ongase que An ={z}. As´ı,A⊂N(r₂,{z}).Entoncesd(x, z)< r₂

yd(y, z)< r₂. Luego por desigualdad triangular, d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y)< r. As´ı,d(x, y)< r, lo cual es una contradicci´on. De manera que, A∈ F1(X). As´ı, F1(X) ⊂ F1(X). Por lo tanto, por el Teorema 1.2.17, F1(X) es cerrado en CB(X).

Teorema 1.6.23. Sea (X, d) un espacio m´etrico yXn_{el producto topol´}_{ogico de}_X _{por s´ı mismo}_n_veces.

Sea fn : (Xn_{, dπ}₎_→₍_F

n(X),H) la funci´on definida por fn((x1, x2, ..., xn)) ={x1, x2, ..., xn}, para cada (x1, x2, ..., xn)∈Xn. Entoncesfn es continua y suprayectiva.

Demostraci´on.

Por la manera en que está definidafn, esta función es suprayectiva, resta probar quefnes continua. Sean (x1, x2, . . . , xn)∈Xny >0. Pongamosδ=. Ahora, supóngase quedπ((x1, x2, ..., xn),(y1, y2, ..., yn))<

δ. Entonces, se sigue que m´ax{d(x1, y1), d(x2, y2), . . . , d(xn, yn)}< . Con lo cuald(xi, yi)< , para cada i∈ {1,2, . . . , n}.

Veamos que {x1, x2, . . . xn} ⊂ N(,{y1, y2, . . . yn}). Sea xj ∈ {x1, x2, . . . xn}. Como d(xj, yj) < y d(xj,{y1, y2, . . . yn}) = ´ınf{d(xj, yi) : i ∈ {1,2, . . . , n}} ≤ d(xj, yj), d(xj,{y1, y2, . . . yn}) < , se tiene que xj ∈ N(,{y1, y2, . . . yn}). Luego {x1, x2, . . . xn} ⊂ N(,{y1, y2, . . . yn}).

Similarmen-te, tenemos que {y1, y2, . . . yn} ⊂ N(,{x1, x2, . . . xn}). Por lo tanto, por el Teorema 1.6.11 (2),

H({x1, x2, . . . xn},{y1, y2, . . . yn})< . Con lo cual H(fn(x1, x2, . . . , xn), fn(y1, y2, . . . , yn))< . En con-secuencia,fn es continua en (x1, x2, . . . , xn). De manera quefn es continua enXn.

(26)

Demostraci´on.

Sea fn : (Xn, dπ) → (Fn(X),H). Dado que X es conexo, por el Teorema 1.5.10, se sigue que Xn es

conexo. El Teorema 1.6.23 nos dice que esta funci´on es continua y suprayectiva, por lo cual al ser Xn

conexo y por el Teorema 1.5.12, se sigue que Fn(X) es conexo.

Teorema 1.6.25. Si (X, d) es un espacio m´etrico compacto, entoncesFn(X) es compacto.

Demostraci´on.

Sea fn : (Xn, dπ)→ (Fn(X),H). Dado queX es compacto, por el Teorema 1.2.30, se sigue que Xn es

compacto. El Teorema 1.6.23 nos dice que esta funci´on es continua y suprayectiva, por lo cual al serXn

compacto y por el Teorema 1.4.5, se sigue queFn(X) es compacto.

Por los Teoremas 1.6.24 y 1.6.25, se tiene el siguiente resultado.

(27)

Cap´ıtulo 2

Breve introducci´

on a los sistemas

din´

amicos discretos

En la naturaleza es frecuente encontrar fenómenos naturales en donde el tiempo juega un papel importan-te, por ejemplo la migración de las mariposas monarcas, el crecimiento poblacional de cierto tipo de aves en verano, el número de infectados por el dengue en cierto pa´ıs, etc. Estos tipos de fenónemos naturales han sido de grán interés para los matemáticos pues se han encontrado algunas nociones matemáticas que describen dentro de lo posible estos tipos de fenómenos.

2.1. Sistemas din´

amicos discretos.

La importancia de entender estos procesos naturales resulta útil para modelar, predecir y en algunos casos evitar eventos no deseados, por lo cual en las matemáticas ha surgido el área de sistemas dinámicos discretos.

De forma general, la dinámica de sistemas es el estudio de cómo ciertas cantidades cambian en función de otras variables, que por lo general suele ser el tiempo. De manera formal tenemos la siguiente definición:

Definici´on 2.1.1. Sean (G,∗) un grupo (o un semigrupo con neutro) y (X, τ) un espacio topol´ogico. Un

sistema din´amico es una funci´onϕ:G×X →X continua que cumple las siguientes propiedades: 1. ϕ(0, x) =x, para todox∈X,

2. ϕ(t, ϕ(s, x)) =ϕ(t∗s, x), para todot, s∈Gy para todo x∈X.

Esta definición es probablemente la más formal que se tiene hasta el momento de un sistema dinámico, más adelante daremos otra que será más comprensible y la que usaremos en todo este trabajo. Pero de momento conviene hacer unas observaciones. En este trabajo,IXdenota la función identidad en el espacio

X.

Observaci´on 2.1.2. Para todot∈G, sea ϕt:X →X tal queϕt(x) =ϕ(t, x). En este caso, los puntos

1 y 2 de la Definici´on 2.1.1 , se pueden escribir como:

1. ϕ0(x) =IX, para todox∈X,

2. (ϕt◦ϕs)(x) =ϕt∗s(x), para todox∈X.

Notemos que si para todot∈G, existe una funciónϕt:X →X que cumple con las propiedades 1 y 2 de la Observación 2.1.2, entonces existe una función ϕ: G×X →X con las propiedades 1 y 2 de la Definición 2.1.1. Esto es, las funciones de la Observación 2.1.2, definen sistemas dinámicos.

Dependiendo del campo en el cual se trabaje, un sistema din´amico puede clasificarse en dos clases:

(28)

18 CAPÍTULO 2. BREVE INTRODUCCI ÓN A LOS SISTEMAS DIN ÁMICOS DISCRETOS

Observaci´on 2.1.3. Un sistema din´amico se clasifica en dos grupos:

1. Si (G,∗) = (_Z,+) o bien (G,∗) = (_N,+), se dice que tal sistema es un sistema din´amico discreto.

2. Si (G,∗) = (R,+) o bien (G,∗) = (R+∪ {0},+), se dice que el sistema es un sistema din´amico

continuo o flujo.

A continuación mencionamos un caso particular de la definición original de un sistema dinámico.

Definición 2.1.4. Sea X un espacio métrico. Un sistema dinámico discreto es una función continua

F :_Z×X→X que cumple con las siguientes propiedades:

1. F(0, x) =x, para todox∈X, esto es F(0, x) =IX,

2. F(n, F(m, x)) =F(n+m, x), para todo m, n∈Zy para todox∈X.

En la Definici´on 2.1.4, podemos hacer algunas observaciones.

Observaci´on 2.1.5. Si para todon∈N, definimosFn:X →X tal que Fn(x) =F(n, x).Entonces, en

la Definici´on 2.1.4, los puntos 1 y 2 se pueden escribir como:

1. F0(x) =x, para todox∈X, esto es,F0=IX,

2. Fn◦Fm=Fn+m.

En particular, seaF1=f, dondef :X →Xes una funci´on continua enX. As´ıF2=F1◦F1=f◦f. En general,Fn =f◦f◦. . .◦f◦f

| {z }

nveces

. En este caso (f, X,Z), determina completamente un sistema din´amico.

La parte de la dinámica que estudia este tipo de sistemas discretos, se le llamadinámica topológica. En este trabajo analizaremos este tipo de sistemas dinámicos y la definición que usaremos es la siguiente:

Definición 2.1.6. SeanX un espacio métrico yf :X →X una función continua que cumple con las

siguientes propiedades:

1. f0₍_x_{) =}_x_{, para todo}_x_∈_X_{, esto es}_f0₍_x_{) =}_I

X,

2. fn₍_fm₍_x_{)) =}_fn+m₍_x_{), para todo}_{m, n}_∈

Zy para todo x∈X.

Al par (X, f), constituido por el espacio métricoX y la función continuaf :X→X, se denominasistema dinámico discreto.

Observaci´on 2.1.7. De aqu´ı en adelante,f−n₍_A_{) denota a (}_fn₎−1₍_A_{), es decir, la preimagen de conjunto}

A⊂X.

Definici´on 2.1.8. Sean (X, f) un sistema din´amico yx∈X.

1. La ´orbita futura dexbajof se denota y define comoO+₌_{_fn₍_x_{) :}_n_∈

N}=O+(x, f),

2. La ´orbita pasada dexbajof se denota y define comoO−₌_{_f−n₍_x_{) :}_n_∈

N}=O−(x, f),

3. En general, la ´orbita de un puntox bajo f se denota y define como O =O(x, f) = O+₍_{x, f}₎_∪

O−₍_{x, f}_).

Observación 2.1.9. Con los elementos de la órbita,O(x, f), podemos definir la siguiente sucesión:x0=

x, x1 =f(x0), x2 =f(x1) =f2(x0),. . . ,xn =f(xn−1) =fn(x0). Entonces analizar el comportamiento de la ´orbita es equivalente a estudiar el l´ımite de la sucesi´on{xn}n∈N. Es importante aclarar que en varias

(29)

2.1. SISTEMAS DIN ÁMICOS DISCRETOS. 19 Dado un espacio métricoX y una funciónf :X →X, nos resulta interesante estudiar losx∈X tales quef(x) =x. Por ello, es necesario dar la siguiente definición.

Definición 2.1.10. SeanX un espacio métrico, x∈ X y f : X →X una función continua. Decimos

quexesun punto fijo def o punto de equilibrio sif(x) =x; decimos quexes unpunto peri´odico def

si existen∈Ntal que fn(x) =x. Al conjunto de todos los puntos peri´odicos de f lo denotaremos con

P er(f). Six∈P er(f), entonces

n0= m´ın{n∈N:fn(x) =x}

se le llama periodo dex.

Despues de la Definici´on 2.1.10, podemos concluir las siguientes observaciones.

Observaci´on 2.1.11. Podemos observar que:

1. Sixes un punto fijo def, entoncesx∈P er(f) yxtiene periodo 1. 2. Sixes un punto fijo def, entoncesO(x, f) ={x}.

Observación 2.1.12. Se dice quexes un punto periódico def de periodo nsi y sólo sifn₍_x_{) =} _x_y

para cadai∈ {1, . . . , n−1} se tiene quefi₍_x₎₆₌_x_.

Definición 2.1.13. Sean (X, f) un sistema dinámico yx∈X. Se dice que O(x, f) es asintóticamente

periódica o quexesasintóticamente periódicosi existey∈P er(f) tal que l´ımk→∞d(fk(x), fk(y)) = 0.

Observaci´on 2.1.14. Sean (X, d) un espacio m´etrico,f :X →X continua yx∈X.

1. Sixes un punto peri´odico de periodok, entoncesO+₍_{x, f}_{) =}_{_{x, f}₍_x₎_{, . . . , f}k−1₍_x₎_}_. 2. Seank, m∈N, entonces fk+m(x) =fk(fm(x)) y (fk)m(x) =fkm(x).

Con motivo de seguir estudiando los sistemas din´amicos enunciamos la siguiente definici´on.

Definici´on 2.1.15. Sean (X, d) un espacio m´etrico,f :X →X continua yx∈X. Se dice quexes un

puntopreperi´odicosi existem∈Ntal que fm(x)∈P er(f) yx /∈P er(f).

Ejemplo 2.1.16. Para ver un ejemplo de un punto preperi´odico, consideremos la funci´onf : [−1,1]→_R

tal que f(x) = √1−x2_{. Notemos que si} _x₌₋_{1, se sigue que}_f₍_x_{) = 0,} _f2₍_x_{) =}_f₍_f₍_x_{)) =}_f_{(0) = 1,}

f3(x) =f(f2(x)) =f(1) = 0,f4(x) =f(f3(x)) =f(0) = 1, as´ı, en general:

fm(x) =

(

0, si mes impar;

1, si mes par.

De aqu´ı, para todom∈N,fm(−1)6=−1. Luego,{−1}∈/ P er(f). Observemos quef(−1)∈P er(f). En

efecto, f(f(−1)) =f(0) = 1, as´ı, f2₍_f₍₋_{1)) =}_f₍_f₍_f₍₋_{1))) =} _f_{(1) = 0. En consecuencia,}_f2₍_f₍₋_{1)) =}

f(−1). Por lo tanto,x=−1 es un punto preperi´odico def.

Observaci´on 2.1.17. Seann, m∈Ntales quen < m, entonces existek∈Ntal quefk(fn(x)) =fm(x).

Observaci´on 2.1.18. Note que si x∈P er(f) y nes el periodo de x. Entonces se tiene que fαn(x) =

fn◦. . .◦fn(x)

| {z }

αveces

=x, paraα∈N.

Con el objetivo de seguir estudiando la din´amica que tiene una funci´onf, enunciamos las siguientes definiciones y resultados.

Definición 2.1.19. Sean (X, f) un sistema dinámico yx∈X. Se dice que O(x, f) es asintóticamente

(30)

20 CAPÍTULO 2. BREVE INTRODUCCI ÓN A LOS SISTEMAS DIN ÁMICOS DISCRETOS

Teorema 2.1.20. Sean (X, f) un sistema din´amico y x0, y0 ∈ X. Si l´ımn→∞fn(x0) = y0, entonces

f(y0) =y0.

Demostraci´on.

Supongamos que l´ımn→∞fn(x0) = y0. Luego, por el Teorema 1.3.9, se sigue que {fn(x0)}∞n=1 es una sucesi´on de Cauchy. Notemos que {fn+1₍_x

0)}∞n=1 es una subsucesi´on de {fn(x0)}∞n=1. As´ı, por el Teo-rema 1.3.10, l´ımn→∞fn+1(x0) = y0. Por otro lado, dada la continuidad de f se sigue que f(y0) =

f(l´ımn→∞fn(x0)) = l´ımn→∞fn+1(x0) =y0.

Definici´on 2.1.21. Sean (X, d) un sistema din´amico yx0un punto fijo def. Se dice quex0es unpunto

fijo atractor si existeδ >0 tal que six∈X yd(x, x0)< δ, entonces l´ımn→∞fn(x) =x0.

De forma intuitiva, six0 es un punto fijo atractor, todos los puntos que pertenezcan a laδ-vecindad del punto fijox0se acercar´an eventualmente a ella.

Observación 2.1.22. Sean (X, d) un sistema dinámico yx0un punto fijo def. La definición de punto

fijo atractor x0 es equivalente a:

1. Six∈B(δ, x0), entonces l´ımn→∞fn(x) =x0.

2. Si existe un abiertoU enX conx0∈U tal que x∈U, entonces l´ımn→∞fn(x) =x0.

Definici´on 2.1.23. Sean (X, d) un sistema din´amico yx0un punto fijo def. Se dice quex0es unpunto

fijo repulsor si existeδ >0 tal que six∈B(δ, x0)\ {x0}, entonces existen∈Ntal quefn(x)∈/ B(δ, x0).

Observaci´on 2.1.24. Notemos que un punto fijo repulsor no es necesariamente lo contrario a un punto

fijo atractor. La definición dice que todos los puntos que pertenezcan a la δ-vecindad del punto fijo repulsor, excepto él mismo, se alejarán eventualmente de ella. Observemos que la definición no niega que los puntos de laδ-vecindad, en algún momento pueden retornar.

La importancia de conocer al punto fijo x0 ya sea atractor o repulsor de una función f es que nos brinda información sobre la vecindad dex0. Six0es un punto atractor, entonces las órbitas de todos los puntos cercanos a x0 convergen a x0. Por otro lado, six0 es un punto repulsor, entonces las órbitas de los puntos cercanos a x0 escapan en un tiempo finito que depende de cada punto. A los puntos que no son atractores ni repulsores se les llamapuntos indiferentes opuntos fijos neutros.

2.2. Sistemas din´

amicos discretos unidimensionales

Antes de continuar con la teor´ıa, conviene ver algunos ejemplos para ilustrar los conceptos previamente definidos. Por lo tanto, nuestro primer ejemplo ser´a una de las funciones m´as sencillas.

Ejemplo 2.2.1. Consideremos f :_R→R tal quef(x) =−x3. Observemos que el ´unico punto fijo de

f esx= 0 y f tiene dos puntos peri´odicos de periodo 2, los cuales son 1 y −1. En efecto,f(1) =−1 y

f(−1) = 1. De aqu´ı,f2_{(1) =}_f₍_f_{(1)) =}_f₍₋_{1) = 1 y}_f2₍₋_{1) =}_f₍_f₍₋_{1)) =}_f_{(1) =}₋_1.

Ejemplo 2.2.2. Seana, b∈Ryf :R→Runa funci´on tal quef(x) =ax+b.

Observemos que para cada pareja de valoresa, b se obtiene una función lineal. Por esto, la dinámica de dicha función dependerá de estos valores y es conveniente analizar los posibles valores deayb.

(I) Sia= 0.

En este caso, nuestra funci´on se reduce a f(x) =b. Sea x∈R. Notemos que si x=b se tiene que

f0₍_x_{) =}_I

x, f1(x) = f(x) = b, f2(x) = f(f(x)) =b, as´ı, en general se tiene que fn(x) =b para n≥1. Observemos queO+₍_{b, f}_{) =}_{_b_}_y_O−₍_{b, f}_{) =}_{_f−n₍_b_{) :}_n_∈

N}=R. Por otro lado, six6=b,

(31)

2.2. SISTEMAS DIN ´AMICOS DISCRETOS UNIDIMENSIONALES 21 (II) Sib= 0.

En este caso, nuestra funci´on se reduce af(x) =ax. Seax∈_R. Observemos quef2₍_x_{) =}_f₍_f₍_x_{)) =}

f(ax) =a2_x_{y en general se tiene que} _fn₍_x_{) =}_an_x_{, para} _n_∈

N. Notemos que el ´unico punto fijo

def esx= 0, as´ı, O(0, f) ={0}y O+₍_{x, f}_{) =}_{_an_x_:_n_∈

N}. Por otro lado, para toda pareja de

puntosxyy se tiene que|f(x)−f(y)|=|a||x−y|. As´ı, en general|fn₍_x₎₋_fn₍_y₎_|₌_|_an_x₋_an_y_|₌ |an₍_x₋_y₎_|₌_|_a_|n_|_x₋_y_|_{, para toda}_n_∈

N. Observemos que|a|>0 y|f(x)−f(y)| ≤ |a||x−y|, luego,

f es una función de Lipschitz. Si consideramos una sucesión{xn}n∈N, como en la Observación 2.1.9,

tenemos que:

Si |a|<1, entoncesf es una contracci´on y l´ımn→∞xn = 0.

Si |a|>1, entonces l´ımn→∞xn=∞.

Si a= 1, entoncesO+₍_{x, f}_{) =}_{_x_}_. Si a=−1, entoncesO+₍_{x, f}_{) =}_{_x,₋_x_}_. (III) Sia6= 0 yb6= 0.

En este caso, nuestra funci´on es f(x) =ax+b. Seax∈R. Notemos que

f0₍_x_{) =}_IX

f1₍_x_{) =}_f₍_x_{) =}_ax₊_b

f2₍_x_{) =}_f₍_f₍_x_{)) =}_f₍_ax₊_b_{) =}_a2_x₊_ab₊_b

f3₍_x_{) =}_f₍_f2₍_x_{)) =}_f₍_a2_x₊_ab₊_b_{) =}_a3_x₊_a2_b₊_ab₊_b

.. .

fn₍_x_{) =}_an_x₊_b n

X

k=1

an−k=anx+b

₁₋_an

1−a

.

As´ı, se sigue queO+₍_{x, f}_{) =}_{_x_{} ∪ {}_an_x₊_b1−an

1−a

:n∈N}.

Ejemplo 2.2.3. Sea f : [0,1] → [0,1] tal que f(x) = √1−x2 _{(Vea Figura 2.1). Primero analicemos}

los puntos fijos def. Para ello buscamos los puntosx∈[0,1] tales quef(x) =x, es decir, aquellos que cumplen que √1−x2 ₌_x_{. Usando ´}_{algebra se tiene que} _x₌ _√1

2 ´o x =− 1

√

2. Dado que el dominio de nuestra funci´on es [0,1], el ´unico punto fijo que tienef esx=√1

2. Por otro lado,

f0(x) =IX

f1₍_x_{) =}_f₍_x_{) =}√₁₋_x2

f2₍_x_{) =}_f₍_f₍_x_{)) =}_f₍√₁₋_x2_{) =}q₁₋₍√₁₋_x2₎2₌_x