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La idea de variable aleatoria es simplemente transformar los elementos del espacio muestral en números reales para que así la operativa pueda ser mayor.
Una variable aleatoria será una aplicación del espacio muestral en el conjunto de los números reales:
De forma que la probabilidad original se transforme en una nueva probabilidad sobre los subconjuntos de números reales de forma que respete a la probabilidad original:
A esta probabilidad se le llama probabilidad inducida por la variable aleatoria .
FUNCION DE DISTRIBUCION.-
No obstante, el trabajo con la probabilidad inducida no es lo suficientemente cómodo porque estamos trabajando con una función de conjunto.
Se define una función real de variable real que de alguna forma viene a sustituir a la aplicación probabilidad. Esta es la que denominaremos como función de distribución.
Obsérvese que esta función juega un papel similar al que cumplía la columna de las frecuencias relativas acumulativas en la Estadística Descriptiva Unidimensional. Nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores por debajo de un número real dado.
La función de distribución verifica las siguientes propiedades:
1) Es obvio por estar definida la función de distribución como una probabilidad.
2)
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Además, de este desarrollo se deduce un importante resultado:
3) La función de distribución es continua por la derecha.
4)
La gráfica de la función de distribución asociada a una variable aleatoria sería del siguiente tipo:
Cuando la función de distribución es discontinua en un punto es porque la probabilidad inducida en ese punto es estrictamente positiva.
Donde obviamente
Asía pues, si entonces por lo que se cumple lo indicado. Como hemos indicado que siempre es continua por la derecha, cuando sea discontinua es porque lo es por la izquierda.
Cuando un punto es un punto de discontinuidad de la función de distribución, se le llama punto de salto.
Al conjunto de los puntos de salto de una función de distribución se llama Soporte de la variable aleatoria.
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Se dice que una variable aleatoria es una variable aleatoria discreta cuando el soporte absorbe toda la probabilidad.
Se dice que una variable aleatoria es una variable aleatoria continua cuando el soporte es vacio. .
VARIABLE DISCRETA.-
En este caso la gráfica de la función de distribución será escalonada (todo el crecimiento se concentra en los puntos de salto)
Se define en este caso una nueva función real de variable real denominada función de cuantía, que mide la probabilidad en cada punto:
Es inmediato que esta función se anula para todos los puntos que no pertenecen al soporte de la variable aleatoria.
Asimismo, también verifica las siguientes propiedades:
1) Es obvio por estar definida la función de distribución como una probabilidad.
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Además, existe una relación entre la función de distribución y la función de cuantía de una variable discreta:
Es decir
Por otra parte, ya hemos visto que
Como ya hemos dicho una variable aleatoria lo único que hace es convertir los posibles resultados de un experimento aleatorio en número reales. Consideremos un ejemplo y hagamos todo el desarrollo.
En un piso formado por 5 estudiantes quieren sortear a quien le corresponde efectuar la limpieza este fin de semana. Para ello usan el procedimiento de los palillos, es decir uno de ellos coge 5 palillos, rompiendo uno de ellos para que quede más corto, a continuación uno los coge todos y muestra solo el extremo de todos ellos y los demás van cogiendo palillos, hasta que alguien coja el palillo más corto que será el encargado de realizar la limpieza.
Basándonos en esto definimos la variable aleatoria como la que nos da el número de extracción en que se determina el limpiador.
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hace al azar, y en consecuencia es igualmente probable elegir cada uno de los palillos que en cada ocasión se ofrecen.
Para que el primero que extrae palillos extraiga el corto será
sin embargo, a partir de aquí para que entre en juego uno nuevo es porque no lo ha elegido el anterior. Luego la probabilidad de que sea el segundo el que se lleve el palillo corto será la probabilidad de que el primero elija uno cualquiera de los largos por la probabilidad de que el segundo elija el corto de entre los cuatro que le ofrecen
la mecánica es la misma en los demás casos, obteniéndose
Por lo tanto su función de distribución será
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donde claramente vemos que es una función escalonada, puesto que en cada tramo se define como una constante, es decir son diferentes peldaños de un escalera. Esto nos dice que estamos ante una variable aleatoria de tipo discreto y por lo tanto tiene sentido definir la función de cuantía que se anulará en casi todo punto, salvo en los saltos de la escalera donde en definitiva
y como ya sabemos la función de cuantía nos sirve para hallar probabilidades fácilmente, por ejemplo hállese la probabilidad de que limpie el 3º o el 4º en elegir:
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Si consideramos como experimento aleatorio lanzar dos dados distintos y nos fijamos en el número de puntos que tiene la cara superior de cada uno, entonces el espacio muestral será
que tiene sucesos elementales que consideraremos equiprobables, por lo que la probabilidad de cada uno de ellos será de
.
Así pues, si consideramos la variable aleatoria que nos da la suma de los puntos de las caras superiores de los dos dados, tendremos que los valores posibles para esta variable están en el conjunto y la probabilidad para esta variable será:
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Por lo que la correspondiente función de distribución será
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donde de nuevo vemos que es una función escalonada. Esto nos dice que estamos ante una variable aleatoria de tipo discreto y por lo tanto tiene sentido definir la función de cuantía que se anulará en casi todo punto, salvo en los saltos de la escalera donde en definitiva
Por lo que estaríamos en condiciones de hallar probabilidades del tipo ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea par?
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VARIABLE CONTINUA.-
En este caso la gráfica de la función de distribución será continua (no hay ningún punto de salto) y lógicamente la probabilidad sobre cualquier punto es cero.
Se define en este caso una nueva función real de variable real denominada función de densidad, que mide la probabilidad en intervalos:
de forma que
Asimismo, también verifica las siguientes propiedades:
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Además, existe una relación entre la función de distribución y la función de cuantía de una variable discreta:
Es decir
Por otra parte, si derivamos
CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS PREVIOS.-
Es necesario repasar algunos conceptos matemáticos básicos para poder abordar los temas de variable aleatoria y modelos de distribuciones de probabilidad.
Solo indicaremos lo imprescindible con objeto de no agobiar.
Para el tema anterior necesitamos el uso de derivadas e integrales. Recordemos lo imprescindible. Sin entrar en el concepto vamos directamente a sus reglas de uso:
Los tipos de funciones con los que trabajaremos se basaran en:
En cuanto a las reglas de derivación para operaciones con funciones:
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finalmente tendríamos la conocida como regla de la cadena, que es la que se utiliza cuando hay una composición de funciones:
así pues aplicando las reglas anteriores tendremos los siguientes ejemplos:
En cuanto a la integración, simplemente decir que para el cálculo de la primitiva de una función el proceso es el inverso del de la derivada de una función.
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donde es una primitiva de , es decir y es una constante denominada constante de integración.
Así tendremos:
Con respecto a las operaciones:
No hay ninguna regla que nos de la integral del producto o del cociente.
Basándonos en la integral indefinida, definiremos la integral definida como la diferencia de una primitiva entre dos valores dados:
Un resultado especialmente útil para la integral definida es que
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Es decir la integral en un intervalo se podrá obtener a trozos, primero hasta un cierto punto y después el resto.
Algunos ejemplos podrían ser:
Para la integral definida tenemos:
Pongamos algunos ejemplos con variables continuas.
Ejercicio 1.- Sea una variable aleatoria continua cuya función de densidad es
a) Hallar el valor de para que sea una verdadera función de densidad. b) Hacer la gráfica de la función de densidad.
c) Hallar la función de distribución y su gráfica. d) Hallar
e) Hallar
Resolución:
a) Para que sea una verdadera función de densidad tiene que verificar que
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por lo que y la función de densidad realmente será
b) La representación gráfica será la parábola restringida al intervalo unidad.
c) Para hallar la función de distribución, habrá que hacerlo en tres intervalos, antes del intervalo unidad, en él y después.
16 Que como podemos observar no tiene saltos.
d)
e) En este caso nos piden una probabilidad condicionada, por lo que habrá que aplicar su fórmula:
Obtengamos cada cosa por separado.
Que las desigualdades sean estrictas o no, no importa, porque la variable es continua
Por lo tanto
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Ejercicio 2.- Se considera el conjunto de familias con ingresos entre y mensuales. Supóngase que los ingresos familiares (en miles de euros) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad
Hallar
a) La función de distribución de los ingresos familiares.
b) El porcentaje de familias con ingresos inferiores a .
c) Si una familia ingresa menos de mensuales, hallar la probabilidad de que ingrese mas de .
Resolución:
a) En este caso tendremos cuatro franjas:
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b) Nos piden el porcentaje, es decir la probabilidad de que los ingresos sean inferiores a miles de euros.
Si se quiere expresar como porcentaje, estamos hablando del .
c) Es una probabilidad condicionada
19 CAMBIO DE VARIABLE.-
Si se realiza la composición de una función real de variable real con una variable aleatoria dada , obtendremos otra nueva variable aleatoria .
Para la que la nueva probabilidad inducida verifica que:
Como vemos coincide con la probabilidad inducida por la variable original sobre la imagen inversa mediante la función de cambio del conjunto en cuestión.
Esto hace que para la función de distribución nos encontremos con la siguiente situación:
Que no podemos expresar en función de la función de distribución original.
Sin embargo, cuando la función es creciente entonces
Es decir
Y en el caso de que la función de cambio sea decreciente entonces
Es decir
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Así, si trabajamos con variable discreta, entonces la nueva variable aleatoria también es discreta. Veamos cual es la probabilidad del soporte de la nueva variable aleatoria.
Y su función de cuantía será:
Si trabajamos con una variable continua, entonces, bajo condiciones de monotonía podemos asegurar que la nueva variable también será continua y para la obtención de su función de densidad nos basaremos en los resultados obtenidos para las funciones de distribución. Estos cuando la variable es continua son:
Luego derivando, obtenemos
Es decir
Y
O sea
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En definitiva, si la función de cambio es monótona, entonces se verifica que
Algunos ejemplos serian:
Ejercicio 3.- Se considera la variable aleatoria discreta que mide el número de días de lluvia al año en Almería. Supongamos que esta viene definida mediante la siguiente función de cuantía:
Si se considera que el número ideal de días de lluvia anuales es de y tomamos la variable que mide la distancia entre el número real de días de lluvia y la cifra ideal. Hallar la función de cuantía de y hallar la probabilidad de que esta sea menor que
.
Resolución:
Nos están diciendo que la nueva variable aleatoria se obtiene como y por tanto la función de cambio será .
Así pues la nueva función de cuantía, sumando las correspondientes probabilidades, vendrá dada por
finalmente,
Obsérvese que como la variable es discreta, no es lo mismo que en el que también habría que considerar el caso .
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Sabemos que para la agricultura solo se aprovecha el de la lluvia caída. Suponiendo que la superficie de Almería sea de , hállese la función de densidad de la variable aleatoria que mide el número de de agua de lluvia aprovechada para la agricultura en Almería en un año. Hallar la probabilidad de que esta cantidad este comprendida entre diez y veinte .
Resolución:
La nueva variable aleatoria se obtiene calculando el número total de litros de agua caídos en la provincia, hallándole el y pasándolo a . Si son lo cientos de litros por metro cuadrado, entonces son los litros por metro cuadrado. Cada
son por lo que la lluvia total será de litros pero como solo se aprovecha el , entonces serán los litros de agua aprovechados. Por otra parte, cada son y cada son litros, por lo que el volumen de agua aprovecha da para agricultura será de
En definitiva podremos decir que y la función de cambio será .
Para poder hacer el cambio de variable utilizamos la fórmula
Por lo que necesitamos conocer
luego
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24 CARACTERISTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA.-
Lo más importante es el concepto de Esperanza Matemática de una variable aleatoria. Este concepto es muy similar al que ya vimos en Estadística Descriptiva de media aritmética.
Se da una definición diferente según que estemos con una variable aleatoria discreta o continua.
Si es una variable aleatoria discreta entonces su esperanza matemática se define como:
Donde obviamente es la función de cuantía para esta variable aleatoria.
Obsérvese que si construimos una tabla estadística unidimensional
Su media aritmética se puede obtener como y si definimos una variable aleatoria basada en esta tabla, donde y su correspondiente función de cuantía como entonces se verifica que . Es decir, la esperanza matemática de una variable aleatoria juega el mismo papel que la media aritmética de una distribución estadística unidimensional.
Si es una variable aleatoria continua entonces su esperanza matemática se define como:
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De la misma forma que hemos definido la esperanza matemática de una variable aleatoria, podemos definir la esperanza matemática de una función de dicha variable aleatoria.
Caso discreto:
Caso continuo:
Es inmediato que las constantes quedan invariantes frente al operador esperanza:
Análogamente para el caso continuo.
Además, el operador esperanza es lineal
Análogamente para el caso discreto.
De forma similar a como ocurría en el caso de Estadística Descriptiva, definiremos la varianza de una variable aleatoria como una medida de dispersión de la misma, siguiendo el mismo criterio. Así:
Pero
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Fórmula abreviada similar a la que ya conocíamos para la varianza en descriptiva.
Asimismo, la desviación típica será la raíz cuadrada de la varianza.
Finalmente mencionemos que los conceptos de Moda, Mediana , Cuantiles, etc. son igualmente aplicables a una variable aleatoria.
Así, la Moda para una variable aleatoria, será aquel valor de la variable que maximiza la función de cuantía (si es discreta) o la función de densidad (si es continua).
En cuanto a la mediana, y por generalización a los cuantiles, habrá que resolver la
ecuación .
Pasemos entonces a la realización de algunos ejercicios
Ejercicio 1.- Sea una variable aleatoria continua cuya función de distribución es
a) Hallar la moda.
b) Hallar la esperanza matemática.
c) Hallar la varianza y la desviación típica.
Resolución:
a) Para poder hallar la moda necesitamos la función de densidad
por lo que habrá que hallar máximos en la densidad. Para ello derivamos e igualamos a para hallar los posibles extremos, y mediante la derivada segunda decidimos si son o no máximos.
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Y esto se anula para . Si hacemos la segunda derivada luego se trata de un máximo. Así pues la moda será .
b) Hallemos la esperanza
Que es un valor que pertenece al intervalo de definición de la variable. Por lo tanto es creible.
c) Para hallar la varianza lo haremos a través de . Por lo tanto necesitamos hallar
en definitiva
Varianza positiva, por lo que al menos no hay un error grave.
Ejercicio 2.- Se considera la variable aleatoria discreta que mide el número de días de lluvia al año en Almería. Supongamos que esta viene definida mediante la siguiente función de cuantía:
Hállese la moda, mediana, tercer cuartil y la varianza.
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Sin más que mirar la tabla observamos como la función de cuantía toma el máximo valor
cuando la variable toma el valor . Por lo tanto
Para hallar mediana y cuartiles necesitamos la función de distribución. Función que podemos expresar diciendo que los saltos se producen cuando la variable pasa de un punto a otro según la siguiente tabla
De aquí podemos deducir que y , puesto que son los primeros valores donde la distribución supera y respectivamente.
Luego
Merece la pena comentar como moda y mediana son iguales y la esperanza matemática está muy próxima. Esto nos dice que la distribución presenta (estadísticamente hablando) un buen comportamiento
Ejercicios propuestos de variable discreta:
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1 2 3 4 5 0,25 0,2 0,15 0,15 a) Hallar el valor de .
b) Calcular . c) Hallar su Esperanza. d) Hallar la Varianza.
2) En una bolsa hay bolas iguales numeradas del al . Consideremos el experimento aleatorio, extraer al azar una bola de la bolsa. Si la bola es par anotamos un , y si es impar anotamos un .
a) Expresa mediante una tabla la función de cuantía de la variable aleatoria. Represéntala.
b) Obtén la función de distribución. Represéntala. c) Calcula la Esperanza de esta variable aleatoria. d) Calcula la Varianza de esta variable aleatoria
3) La función de distribución de una variable aleatoria , viene dada por:
a) Expresa mediante una tabla la función de cuantía y represéntala. b) Representa la función de distribución.
c) Calcula la Esperanza de . d) Calcula la Varianza de .
4) En el experimento aleatorio de lanzar dos monedas sobre una mesa. Consideramos la variable aleatoria : “Número de caras obtenidas”. Se pide:
a) Expresa mediante una tabla su función de cuantía. Represéntala. b) Obtén su función de distribución. Represéntala.
c) Calcula la Esperanza de . d) Calcula la Varianza de .
5) Se sabe que la variable aleatoria solo toma los valores con las siguientes probabilidades:
a) Hallando primero el valor de , obtén la función de distribución.
30 c) Calcula la Varianza y la Desviación Típica.
d) Calcula la probabilidad de que sea menor que sabiendo que es mayor que .
6) Un jugador realiza el experimento aleatorio de “lanzar dos monedas” equilibradas. A partir de la observación del Espacio Muestral asociado al experimento aleatorio, contesta a las siguientes cuestiones:
a) Sabiendo que el jugador gana si salen dos caras, que gana si sale una cara y que pierde si no sale ninguna cara, halla la Ganancia Esperada. Interprétala para saber si el juego es favorable o desfavorable al jugador. b) Sabiendo que el jugador gana si salen dos caras, que gana si sale una
cara, explica razonadamente cuanto debe perder si no sale ninguna cara para que el juego sea equitativo.
7) La variable aleatoria viene dada por la siguiente función de cuantía:
a) Hallar el valor de y determinar la función de cuantía. b) Calcular
c) Calcular
8) Sea una variable aleatoria discreta, cuya función de cuantía viene dada por:
a) Hallar el valor de para que sea una verdadera función de cuantía. b) Calcular y
c) Calcular
9) La función de cuantía de una variable aleatoria viene dada por:
a) Halla el valor de para que sea una verdadera función de cuantía y determínala.
31 c) Calcula
d) Calcula
10)La función de cuantía de una variable aleatoria viene dada por:
a) Hallar el valor de y determinar la función de cuantía. b) Calcular
c) Calcular
d) Calcular
11)La función de cuantía de la variable aleatoria viene dada por:
a) Hallar el valor de y determinar la función de cuantía. b) Calcular para .
12)La función de cuantía de la variable aleatoria viene dada por:
a) Hallar el valor de .
b) Calcular y . c) Calcular la Desviación Típica.
13)La variable aleatoria discreta solo toma los valores . Sabiendo además que su función de cuantía es se pide:
a) Hallar el valor de y . b) Calcular . c) Esperanza.
d) Varianza.
14)De una variable aleatoria discreta se conoce lo siguiente: para . se pide:
a) Hallar el valor de y .
32 c) Calcular .
d) Calcular la Desviación Típica de .
15)Una variable aleatoria toma los valores . Se sabe que tiene como función de cuantía en estos valores y se anula en el resto. Se pide:
a) Hallar el valor de para que sea función de cuantía. b) Calcular la función de distribución.
c) Calcular . d) Calcular la Varianza.
16)Una variable aleatoria toma los valores . Se sabe que tiene como función de cuantía en estos valores y se anula en el resto. Se pide:
a) Hallar el valor de para que sea función de cuantía. b) Calcular .
c) Calcular la Esperanza. d) Calcular la Varianza.
17)Una variable aleatoria toma los valores . Se sabe que tiene como función de cuantía en estos valores y se anula en el resto. Se pide:
a) Hallar el valor de para que sea función de cuantía. b) Calcular la función de distribución.
c) Calcular .
d) Calcular la Desviación Típica.
18)La función de cuantía de la variable aleatoria viene dada por:
-2 -1 0 1 2
0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 a) Calcula y representa la función de distribución. b) Calcula la Desviación Típica.
c) Calcula el Percentil . d) Calcula .
33 b) Calcula la Desviación Típica.
c) Calcula la Mediana. d) Calcula .
20)De una variable aleatoria que sólo toma los valores . Se sabe que
tiene como función de cuantía en estos valores y se anula en el
resto. Se pide:
a) Hallar el valor de , y la distribución de probabilidad. b) Calcula .
c) Calcula la Desviación Típica. d) Calcula la Mediana.
21)Dada la variable aleatoria , se sabe que su función de cuantía es si y se anula en el resto.
a) Calcula la Desviación Típica. b) Calcula el Percentil .
22)De la variable aleatoria se sabe que tiene como función de cuantía
si y se anula en el resto. Se pide: a) Calcula ; . b) Calcula la Desviación Típica.
c) Calcula la Moda. d) Calcula la Mediana.
23)Sea una variable aleatoria discreta con función de probabilidad:
1 2 3 4 5
Calcula la Mediana.
24)Sea una variable aleatoria discreta con función de probabilidad:
-1 0 1 2
34
25)Sea una variable aleatoria discreta con función de probabilidad:
0 1 2 3
a) Calcula el Cuantil de orden . b) Calcula la Mediana.
26)La variable aleatoria sólo toma los valores . Se sabe que tiene como función de cuantía
en estos valores y se anula en el resto. Se
pide:
a) Hallar el valor de , y determina la función de cuantía. b) Calcula .
c) Calcula la Desviación Típica. d) Calcula la Mediana.
27)Sea una variable aleatoria, cuya función de probabilidad viene dada por:
-2 0 1 2
a) Calcula la Moda. b) Calcula la Varianza. c) Calcula la Mediana.
d) Calcula el Cuantil de orden .
28)Los deportistas olímpicos JUAN, LUIS y RAMON disparan una sola vez cada uno, sobre un mismo blanco. Las probabilidades que cada uno tiene de dar en el blanco son:
Si la variable aleatoria mide el número de disparos que han dado en el blanco, se pide:
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Ejercicios propuestos de variable continua:
1) La función de densidad de una variable aleatoria absolutamente continua es
Determinar y sabiendo que
2) Dada la variable aleatoria cuya función de densidad es
Se pide:
a) Calcular el valor de . b) Calcular .
3) Dada una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
Se pide:
a) Esperanza Matemática. b) Desviación Típica.
4) Dada una variable aleatoria continua cuya función de densidad es
Se pide:
a) Función de distribución. b) . c) Esperanza.
d) Varianza.
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a) Calcula el valor de la constante para que sea función de densidad. b) Calcula la función de distribución.
c) Calcula . d) Calcula la Varianza.
6) Dada la variable aleatoria con la siguiente función de densidad
a) Calcula la función de distribución. b) .
c) Calcula la Esperanza. d) Calcula la Varianza.
7) La variable aleatoria tiene como función de densidad
a) Determina la función de densidad. b) Calcula la Desviación Típica. c) Calcula el Percentil . d) Calcula
8) Sea una variable aleatoria continua, con función de densidad
Calcula la Mediana.
9) Sea una variable aleatoria contínua, cuya función de distribución es
Halla los Cuantiles de ordenes
10)La variable aleatoria tiene como función de densidad
37 b) Calcular
11)Se sabe que la variable aleatoria tiene como función de densidad
a) Calcula la Esperanza. b) Calcula la Mediana.
12)Una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad
a) Calcula la Esperanza. b) Calcula la Mediana.
13)La duración de la vida de un virus es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad
a) Hallar el valor de para que sea una función de densidad. b) Calcular la duración de la vida Media de los virus.
c) Calcular la duración Mediana de la vida de los virus.
14)Sea una variable aleatoria absolutamente continua y con función de densidad de probabilidad
Se pide calcular:
a) Función de distribución. b)
c)
d) . e) Varianza.
15)La variable aleatoria tiene como función de densidad
38 a) Hallar la función de distribución. b) Calcular .
c) Calcular la Desviación Típica.
16)Se conoce que la variable aleatoria tiene como función de densidad
a) Calcula la función de distribución. Represéntala. b) Calcula la Varianza.
c) Calcula el Percentil . d) Calcula .
17)Dada la variable aleatoria cuya función de densidad es
Se pide:
a) Calcula la función de distribución.
b) Calcula la probabilidad . c) Calcula la Varianza.
d) Calcula la Mediana.
18)Dada la variable aleatoria cuya función de densidad es
Se pide:
a) Calcula la función de distribución.
b) Calcula la Varianza y la Desviación Típica. c) Calcula el primer Quintil.
d) Calcula la probabilidad .
19)Dada la variable aleatoria cuya función de densidad es
Se pide:
a) Calcula la Desviación Típica. b) Calcula el tercer Cuartil.
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a) Calcula su función de distribución. b) Calcula su Varianza.
c) Calcula . d) Calcula el Percentil .
21)La variable aleatoria tiene como función de densidad
a) Determina la función de distribución. b) Calcula la Desviación Típica.
c) Determina el valor de para que .
d) Calcula .
22)La Tasa de crecimiento industrial en una zona desarrollada y durante un periodo concreto presenta la ley de probabilidad
Se pide:
a) y .
b) Interpretación estadística de los resultados.
23)Se sabe que una variable aleatoria tiene como función de densidad
a) Calcular el valor de y después la Varianza. b) Obtener la función de distribución.
c) Calcular la Mediana. d) Calcular .
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a) Calcula la función de distribución para el valor adecuado de . b) Calcula el Percentil .
c) Calcula .
d) Calcula .
25)La variable aleatoria tiene como función de densidad
Se pide:
a) El valor de la constante para que sea función de densidad. b) Calcula la función de distribución.
c) Calcula la Mediana.
