Series

(1)

Objetivo:

Se pretende que el estudiante:

• Determine convergencia o divergencia de

series.

• Emplee series para resolver problemas

numéricos.

6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

6.3. SERIES ALTERNANTES

6.4. SERIES DE POTENCIAS

(2)

6. 1.

SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

6.1.1 DEFINICIÓN

Sea

{

a

n

}

una sucesión infinita. Y sea

S

n

=

a

1

+

a

2

+

a

3

+

L

+

a

n

.

La sucesión de suma parciales

{ } {

S

n

=

S

1

,

S

2

,

S

3

,

_L

}

=

{

a

1

,

a

1

+

a

2

,

a

1

+

a

2

+

a

3,_L

}

,

denotada como

∑

∞

, se llama

Serie Infinita

.

=1

n n

a

Ejemplo

Sea la sucesión

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

n n

a

2 1

Algunos términos de la sucesión serían

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

L

, 8 1 , 4 1 , 2 1

La sucesión de sumas parciales sería

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ ₊ ₊ ₊

= _L _L

L ,

8 7 , 4 3 , 2 1 ,

8 1 4 1 2 1 , 4 1 2 1 , 2 1 ,

, , ₂ ₃ 1 S S

S

6.1.2 CONVERGENCIA DE SERIES

Una serie

S

_n

=

∑

a

_n

, es convergente

si y sólo si

_n

n

S

lim

∞ →

existe. Caso contrario; es decir, si

n

no existe, se

n

S

lim

∞ →

dice que la sucesión es

divergente

.

En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma

S

, es decir

ocurrirá que

S

_n

S

.

n→∞

=

lim

Si tuviésemos

o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería

muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las

series geométricas

y las

series

(3)

telescópica

que si se les puede determinar

, y luego mencionaremos criterios

para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos

n

S

n

S

6.1.3 LA SERIE GEOMÉTRICA.

Una serie geométrica es de la forma

a

+

ar

+

ar

2

+

ar

3

+

L

+

ar

n−1

La suma parcial de los n términos está dada por

(

)

r

a

S

n n

−

=

1

1 . ¡Demuéstrela!

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

(

)

r

a

lím

S

lím

n

n n

n

−

=

∞ → ∞

→

₁

1 .

Observe que si

r

≥

1 entonces

(

)

=

∞

−

∞

→

_r

r

a

lím

n

₁

1 (

¿P

OR QUÉ

?

) y por tanto la

serie geométrica es

divergente

Si

r

<

1 , entonces

(

)

r

a

r

a

lím

n

−

=

−

∞

→

₁

1 la serie es

convergente

.

Ejemplo

Determinar si la serie + + +

8 1 4 1 2 1

es convergente o no. SOLUCIÓN:

Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con

2 1

=

a y

2 1

=

r es decir una

serie de la forma

∑

∞

=1

2 1

n

n y por tanto converge a 1

1 2 1 2 1

= − =

(4)

6.1.4 SERIES TELESCÓPICA

Para este tipo de serie también es posible obtener

, se lo hace

empleando fracciones parciales.

n

S

Ejemplo

Sea la serie

∑

_{( )(} ₎

∞

=

+ + 1

2 1

1

n

n . Obtener Sn.

SOLUCIÓN:

Empleando fracciones parciales, tenemos:

(

)(

)

(

2

) (

1 1

2 1 2 1

1

+ + + =

+ + + = + +

n B n A

n B n

A n

n

)

Si n=−1 entonces:

(

) (

)

A

B A

=

+ − + + − =

1

1 1 2 1 1

Si n=−2 entonces:

(

) (

)

1 1

1 2 2 2 1

− =

+ − + + − =

B B

B A

Por tanto:

(

)(

)

∑

∞

= ∞

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ − + =

+ +

1 1

2 1 1 1 2

1 1

n n

n n n

n

Obteniendo algunos términos de su desarrollo

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ − +

∑

∞

= 2

1 1 1 5

1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1

1

n n n

n

L

Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término.

Entonces

2 1 1

+ − =

n

S_n , por tanto 1

2 1

1 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ − =

∞ → ∞

→ S lím n

lím

n n n

(5)

Ejercicios Propuestos 6.1

1.Encuentre la serie infinita que es la secuencia indicada de suma parcial. Si la serie es convergente, encuentre su suma. (SUGERENCIA: Hallar , sabiendo que

)

n

a

n n

n S a

S = ₋1+ a)

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

n n

S

2

1 _b)

_{{ }}

_{

₍

₎

_}

1 2 ln +

= n S_n

2.Encuentre y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma:

n

S

a)

∑

₍

₎

+∞

=1 +

1 1

n

n b)

n

∑

+∞

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

1 2 5

c)

∑

₍

₎₍

₎

+∞

=1 − +

2 3 1 3

1

n

n d)

∑

+∞

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ₊

1

3 4 2

1

n

n n

e)

∑

₍

₎₍

₎

+∞

=1 + +

3 2

1

n

n n

6.1.5 CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA

TEOREMA

Si la serie

∑

a

n

converge entonces

lim

_→_∞ n

=

0

n

a

Es decir si

lim

≠

0 entonces la serie

∞

→ n

n

a

∑

a

n

diverge

Ejemplo

La serie

∑

∞

=1 +

1

n

n n

es divergente debido a que 1 1=

+

∞

→ n

n lím

n

Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple

el teorema. No olvide que

lim

=

0

∞

→ n

n

a

es una condición necesaria pero no

(6)

Ejemplo.

La serie

∑

∞

=1

1

n

n, llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante),

sin embargo 1=0

∞

→ _n

lím

n

6.1.6 PROPIEDADES

DE

LAS SERIES CONVERGENTES.

Si

∑

a

n

y

∑

b

n

convergen y si

C

es una constante,

entonces también convergen

∑

Ca

n

y

∑

(

a

n

±

b

n

)

y

además

1. ∑

Ca

_n

=

C

∑

a

_n

2. ∑

(

a

_n

±

b

_n

)

=

∑

a

_n

±

∑

b

_n

6.1.7 TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE

(7)

6. 2.

SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

TEOREMA

Una serie

∑

a

n

de términos no negativos converge si y

sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.

6.2.1 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS.

6.2.1.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea

f

una función continua positiva, no creciente,

definida en el intervalo

[

1 ,

∞

)

y suponga que

a

n

=

f

( )

n

para todo entero positivo . Entonces la seria

n

∑

∞

=1

n n

a

converge si y sólo si la integral impropia

∫

∞

1

)

(

x

dx

f

converge.

Ejemplo 1

Determine si la SERIE ARMÓNICA

∑

∞

=1

1

n n

converge o diverge SOLUCIÓN:

Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes.

= =

[ ]

= =∞

∞ → ∞

→ ∞

∫

lím x lím N

x lím

x n

N n

N

n

ln ln

1 1

1

1 1

(8)

Ejemplo 2.

Sea la serie “p”

∑

∞

=1

1

n P

n , determine para qué valores de “ ” converge y para que p

valores diverge. SOLUCIÓN:

Analizando la integral

∫

∞ → ∞

=

N P n

P

x lím

x 1

1

1 1

Si P=1, tenemos la serie armónica, que es divergente

Si p≠1, la integración es diferente

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− + −

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ − − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

+ − =

−

∞ →

+ − + −

∞ → +

−

∞ → ∞

→

∫

1 1 1

1 1 1 1

1

1 1

1

P P N lím

p p

N lím p

x lím x lím

P n

P P

n N P n

N P n

Ahora, si P>1 ,

1 1 1 1 1

0 1

− = ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− + − ∞−

p P

P

3 2 1

, la integral converge

Si P<1, =∞ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− + − ∞

∞ −

1 1 1

1

P P

P

3 2 1

la integral diverge

En conclusión, la serie

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≤

− >

=

∑

∞₌ _SiSi_PP _divergeconvergea p n

n P

1

1 1 1

1

Ejemplo 3

Determine si la serie

∑

∞

=2 ln

1

n n n

converge o diverge. SOLUCIÖN:

Aplicando el criterio de la integral

∫

=

[

(

) ( )

−

]

=∞

∞

→ lnln lnln2

ln 1

2

N lím x

x x

Por tanto diverge

Ejercicios propuestos 6.2

Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica

1)

( )

∑

+∞

=2

2

ln 1

n n n

2)

∑

3)

+∞

= −

1

n n

ne

(

) (

)

∑

+∞

=1 +1 ln +1

1

(9)

6.2.1.2 CRITERIO DE COMPARACIÓN ORDINARIA

Suponga que

0 ≤

a

n

≤

b

n

para

n

≥

N

Si

∑

b

n

converge, entonces

∑

a

n

converge.

Si

∑

a

n

diverge, entonces

∑

b

n

diverge

Ejemplo.

∑

∞

=1 −

2

1 2

n n

n _{converge o diverge.}

SOLUCIÓN:

Empleando el criterio de comparación.

Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador:

∑

∞

= ∞

=

= =

1 1

1 2

1 2 1 2

1 2

n n

n n n n

n

Resulta una serie divergente ¿por qué?

Los términos de la serie dada deben ser mayores que los de esta serie, para que la serie

dada sea divergente. (Si esto no ocurriese habrá que cambiar de serie o de criterio). Se observa que

2 2 ₁ ₂

2 n

n n

n _>

− para ∀n≥1.

Por tanto se concluye que la serie dada es divergente. Note que también se puede aplicar el criterio de la integral.

Ejemplo 2

(

)

∑

∞

=1 3 +1

n n

n

SOLUCIÓN: Utilicemos la serie

∑

∞

= ∞

=

1

1 3

n n n

n

n _.

Esta serie es geométrica convergente ¿por qué?

Los términos de la serie dada deben ser menores que los de esta serie, para que la serie

dada sea convergente. Observamos que:

(

)

n

n n

n

n ₁ ₃

3 + < .

(10)

6.2.1.3 CRITERIO DE COMPARACIÓN DE LÍMITE.

Suponga que

a

≥

0 ,

b

n

>

0 y que

L

b

a

n n

n→∞

=

lim

Si

0 <

L

<

∞

entonces

∑

a

n

y

∑

b

n

convergen o

divergen juntas.

Si

L

=

0 y

∑

b

n

converge entonces

∑

a

n

converge.

Ejemplo 1

∑

∞

= − +

−

1

2 3 ₂ ₁₁

2 3

n n n

Solución:

Igual que el criterio anterior busquemos una serie de trabajo.

∑

∞

= ∞

=

1 2 1

3

1 3 3

n

n n n

n

tenemos una serie convergente ¿por qué? Obtenemos ahora

1

11 6 3

2 3 lim 3

11 2

2 3

lim ₃ ₂

2 3

2 2 3

= + −

− =

+ −

−

∞ → ∞

→ _n _n

n n

n n n

n

n n

Por tanto la serie dada es también convergente.

Ejemplo 2

∑

∞

=1 +

2

1

n n n

converge o diverge.

Solución:

Nuestra serie de trabajo seria

∑

∞

= ∞

=

1 1

2

1 1

n n

La serie armónica (divergente) Entonces:

lim 1

1 1 1 lim

2 2

= + =

+

∞ → ∞

→

n n

n

n n

(11)

6.2.1.4 CRITERIO DEL COCIENTE

Sea

∑

a

n

una serie de términos positivos y suponga que

L

a

lím

n n

n

=

+ ∞ →

1

Si

L

<

1 la serie converge.

Si

L

>

1 la serie Diverge.

Si

L

=

1 no se puede concluir.

Ejemplo 1

∑

∞

=1 !

2

n n

n converge o diverge.

SOLUCIÓN:

En este caso

! 2

n a

n

n = entonces

(

)

(

( )

)

! 1 2 2 ! 1 2 1 1

n n n

a

n n

n = ₊ = ₊

+ +

Luego

( )

(

)

0 1 2 !

2 ! 1 2 2

1 ₌

+ = + =

∞ → ∞

→ + ∞

→ lím n

n n n lím a

a lím

n n

n

n n n n

El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente.

Ejemplo 2

∑

∞

=1 30

3

n n

n converge o diverge.

SOLUCIÓN:

En este caso 3₃₀

n a

n

n = entonces

(

)

₃₀

(

( )

)

₃₀

1

1 3 3 1

3

+ = + = +

+

n n

a

n n

n

(12)

( )

(

)

(

1

)

3 1 3

3 3 1 3 3 30 30 30 30 30

1 _⎟ ₌

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + = ∞ → ∞ → ∞ → + ∞ → n n lím n n lím n n lím a a lím n n n n n n n n

El resultado es un número mayor que, por tanto la serie es divergente.

Ejemplo 3

∑

∞ =1 ! n n n

SOLUCIÓN:

En este caso n _n

n n

a = ! entonces

(

)

(

)

n

(

)(

)

n

(

)

n n n n n n n n n n a 1 ! 1 1 ! 1 1 ! 1 1 1 + = + + + = + + = ₊ + Ahora

(

)

e n lím n n n n n lím n n lím n n n n lím a a lím _n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 ! 1 ! 1 ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → + ∞ →

El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente.

Ejercicios propuestos 6.3

Determine la convergencia o divergencia de las series:

a)

(

)

∑

+∞

=1 + 2

1 1

n n

b)

∑

+∞

=1 +

2

1 1

n n

c)

∑

+∞ = + 1 2 1 n n senn

d)

∑

+∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 cos n n

π _e)

∑

+∞

=1 +1

n n

n _f)

∑

+∞

=1 !

20

n n

n

h)

∑

+∞

=1 !

n n

n

n _i)

(

)

(

)

∑

+∞ = + + 1 2 ! 2 1 n n

n _j)

(

)

∑

+∞

(13)

6. 3.

SERIES ALTERNANTES

Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos

alternados, es decir series de la forma

∑

( )

o también

∞

=

+

−

1

n

n n

a

∑

( )

∞

=

−

1

n

n n

a

TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES

Una serie alternante con

a

_n

≥

a

_n₊₁

>

0 . Si

=

0

∞

→ n

n

a

lím

entonces la serie converge.

Ejemplo 1

Sea la serie

∑

( )

− = − + − +_L

∞

= +

4 1 3 1 2 1 1 1 1 1

1

n n

n Determine si es convergente o

divergente. SOLUCIÓN.

Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes.

Comparamos

n an

1

= con

1 1

1= ₊ +

n

an . Se observa que:

n n

1 1 1 _<

+

los términos son decrecientes.

Segundo, veamos si =0

∞

→ n

nlíma

Se observa que: 1=0

∞

→ _n

lím

n

Por tanto la serie armónica alternante es convergente.

Ejemplo 2

Sea la serie

∑

( )

∞

= +

−

1 1

2 1 1

n

n _{Determine si es convergente o divergente.}

SOLUCIÓN.

Primero. En este caso an _n

2 1

= y 1 ₁ 2

1 + + = _n

n

a

Se observa que

_{( )}

_n _n

2 1 2 2

1 _<

(14)

Segundo. 0 2

1 ₌ ∞

→ n

n

lím

Por tanto la serie es convergente.

A continuación analicemos el teorema

TEOREMA

Si

∑

a

n

converge, entonces

∑

a

n

también converge.

Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces

la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge

no necesariamente la serie de términos positivos converge.

6.3.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA.

DEFINICIÓN.

Una serie

∑

a

n

converge absolutamente

si

∑

a

n

converge

Ejemplo

La serie

∑

( )

∞

= +

−

1 1

2 1 1

n

n _{es absolutamente convergente, debido a que}

∑

∞

=1 2 1

n

n es

convergente

DEFINICIÓN.

Una serie

∑

a

n

es

condicionalmente convergente

si

∑

a

n

converge y

∑

a

n

diverge.

Ejemplo

La serie

∑

( )

∞

= +

−

1

1 1 1

n n

n es condicionalmente convergente, debido a que

∑

∞

=1 1

n n

(15)

Las series de términos positivos convergentes son absolutamente

convergentes

Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir

rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas

especiales.

6.3.2 CRITERIO DEL COCIENTE ABSOLUTO.

Sea

∑

a

n

una serie de términos no nulos y suponga

que

L

a

lím

n n

n

=

+ ∞ →

1

.

Si

L

<

1 la serie

converge absolutamente

.

Si

L

>

1 la serie

diverge

.

Si

L

=

1

no se concluye.

Ejemplo

Muestre que la serie

∑

( )

∞

= +

−

1 1

! 3 1

n

n n

n es absolutamente convergente.

SOLUCIÓN:

Aplicando el criterio del cociente tenemos:

(

)

₍

₎

0

1 3 3

! ! 1 3 3 !

3 ! 1 3 1

1 _⎟₌

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ =

∞ → ∞

→ +

∞ → + ∞

→ lím n

n n n lím

n n lím a

a lím

n n n

n n n n

Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente

convergente.

6.3.3 CRITERIO DE LA RAÍZ.

Sea

∑

a

n

una serie infinita y suponga que

lím

a

L

n

n→∞

=

.

Si

L

<

1 la serie

converge absolutamente

.

Si

L

>

1 o

L

=

∞

la serie

diverge

.

(16)

Ejemplo 1

Analice la serie

∑

( )

∞

=

+

−

1

2 1 2 3 1

n

n n n

n

.

SOLUCIÓN:

Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz.

3 3 3 0

2 1 2

= =

+

∞ → +

∞ → ∞

→ lím _n

n lím n

lím a lím

n n n

n n

n n n

convergente.

Ejemplo 2

Analice la serie

(

)

[

]

∑

∞

=1 ln1+ 1

n

.

Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz.

(

)

[

]

_[

₍

₎

_]

[

(

)

]

1 0

1 ln

1 1

ln 1 1

ln 1

= ∞ = + =

+ =

∞ → ∞

→ ∞

→ lím n

n lím

a lím

n n n n

n

n n

n n n

convergente.

Ejercicios Propuestos 6.4

Determine la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de las siguientes series numérica:

a.

( )

(

)

∑

+∞

= −

+ −

1 1

4 3 1 1 1

n n

n

b.

∑

( )

+∞

=

−

1

! 1

n n

c.

∑

( ) ( )

+∞

=

+

+ −

1

1 2

! 1 2

5 1

n

n n

n d.

∑

( )

+∞

= −

−

1

3 12 1

n

n n n

n

e.

∑

( )

+∞

=

−

1

1 ln 1

n n

n f. • + • + • +7•8+L

1 6 5

1 4 3

1 2 1

(17)

6. 4.

SERIES DE POTENCIAS

Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos.

6.4.1 DEFINICIÓN.

Una serie de potencia en “

x

” tiene la forma:

∑

=

+

L

∞

=

3 3 2 2 1 0 0

x

a

x

a

x

a

x

a

n

n n

Una serie de potencia en “

x

−

x

0

” tiene la forma:

(

−

)

=

+

(

−

)

+

(

−

)

+

(

−

)

+

L

∑

∞

=

3 0 3

2 0 2

0 1 0 0

0

a

x

a

x

a

x

a

n

n n

Algo importante aquí es determinar los valores de “

x

”, para los cuales la

serie numérica correspondiente sea convergente.

6.4.2 INTERVALO DE CONVERGENCIA.

Empleando el criterio del cociente absoluto para que la serie

∑

∞

=0

n

n n

x

a

sea

convergente

tenemos:

1 lim

1 1 1

1 1

<

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

<

+ ∞ →

+ + ∞ →

n n n

n n

n n n

n n

n n n

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

Ahora, suponga que

L

a

n n

n

=

+ ∞ →

1

(18)

L

x

L

x

L

x

1

1 <

<

−

<

A

L

R

=

1 se lo llama

Radio de Convergencia

.

Si

L

=

0 entonces

=

∞

0

1

1 L

R

(el radio de convergencia es infinito),

es decir la serie converge para todo número real.

Si

L

=

∞

entonces

1 =

0 ∞

=

R

(el radio de convergencia es cero)

Ejemplo 1

Determine el intervalo de convergencia para

∑

∞

=0

n n

ax .

SOLUCIÓN

Aplicando el criterio del cociente para que sea convergente:

1 1

1 1 lim

1 lim

1 1 1

< < −

< <

∞ →

+

∞ →

+ + ∞ →

x x

x ax ax

x a

n n n n

n n

n n n

Se requiere además determinar la convergencia o divergencia en los puntos extremos. En este caso:

Si x=−1 , tenemos

∑

( )

una serie no convergente ¿porqué? ∞

=

−

0 1

n

a

Si x=1 , tenemos

∑

( )

una serie no convergente. ¿porqué? ∞

=0 1

n n

a

Finalmente el intervalo de convergencia para la serie dada es: −1<x<1

(19)

Ejemplo 2

(

)

∑

∞

=0 +12

n

n n

n

x _.

SOLUCIÓN

Aplicando el criterio del cociente

(

)

(

)

(

)

2 2

1 2 1

1 2 2

1 lim

1 2 1 2

2 lim

1 lim

1 1

< < −

<

< + +

< + • +

<

∞ →

+ +

∞ →

+ + ∞ →

x x

n n x

x n n

x x a

x a

n

n n n

n n

n n n

En los puntos extremos:

Si x=−2, tenemos

( )

(

)

∑

(

( )

)

∑

( ) ( )

∑

∞

= ∞

= +

− = +

− =

+ −

0 0

0 1

1 1 2

1 1 2 2

1 2

n n n

n

n n

n una serie

alternante convergente ¿Por qué?. Si x=2, tenemos

( )

(

)

∑

(

)

∑

∞

= ∞

= +

0

0 1

1 2

n n

n

n una serie divergente ¿Porqué?

Finalmente, el intervalo de convergencia sería −2≤x<2

Ejemplo 3

∑

∞

=0 !

n n

n x

.

SOLUCIÓN

(

)

(

)

1 0

1 1 1 lim

1 ! 1 ! lim

1 ! ! 1 lim

1 lim

1 1 1

<

< +

< • +

<

∞ → ∞ →

+

∞ →

+ + ∞ →

x n x

n n

n x

x n n

x x a

x a

n n

n n n

n n

(20)

Entonces, la serie es convergente para x∈R (para todo x)

Ejemplo 4

∑

∞

=0 !

n n

x n .

SOLUCIÓN

(

)

( )

(

)

1 1 1 lim

1 !

! 1 lim

1 !

! 1 lim

1 lim

1 1 1

< ∞

< +

<

∞ → ∞ →

+

∞ →

+ + ∞ →

x n x

n n n x

x n

x a

n n

n n n

n n

n n n

Veamos para x=0, !0 0, tenemos una serie convergente. 0

=

∑

∞

=

n n

n

Finalmente la serie dado converge sólo para x=0.

Ejemplo 5

∑

(

)

∞

=

−

0 1

n

x n .

SOLUCIÓN

(

)(

)

(

)

(

)

2 0

1 1 1

1 1

1 1 lim 1

1 1 1 lim

1 1

1 1 lim

1 lim

1 1 1

< <

< − < −

< −

< + −

< −

− +

<

∞ → ∞ →

+

∞ →

+ + ∞ →

x x x

n n x

x n

x a

n n

n n n

n n

(21)

Ahora, en x=0,

∑

(

)

tenemos una serie no convergente. ∞

=

−

0 1 0

n

En x=2,

∑

(

)

∑

( )

, una serie no convergente. ∞

= ∞

=

= −

0 0

1 1

2

n n n

n

n n

Por tanto la serie converge para x∈

( )

0,2

Ejercicios propuestos 6.5

Determine el intervalo de convergencia para:

a)

∑

( ) ( )

+∞

=

− −

−

1

1 2 1

! 1 2 1

n

n n

n

x _b)

∑

(

)

+∞

=

−

1 ! 1

n

n x

c)

∑

+∞

=1 !

n n

n

n x

n _d)

( )

∑

+∞

=2 ln

n n

n x

e)

∑

₍

_{( )}

₎

∞ +

∞ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

n

n n

x

ln 3 2

6.4.3 SERIE DE TAYLOR

Una serie de potencia particular es la serie de Taylor.

Suponga que:

=

∑

(

−

)

=

+

(

−

)

+

(

−

)

+

(

−

)

+

_L

∞

=

3 0 3

2 0 2

0 1 0 0

0

)

(

x

a

x

a

x

a

x

a

x

f

n

n n

Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función

f

Evaluando

en

x

=

x

₀

[

]

[

]

[

]

[

n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

f

(

₀

)

=

₀

+

₁ ₀

−

₀

+

₂ ₀

−

₀ 2

+

₃ ₀

−

₀ 3

+

_L

+

₀

−

₀

]

Obtenemos:

a

0

=

f

(

x

0

)

Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en

x

=

x

₀

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

1

0 0 2

0 0 3 0 0 2 1 0

1 0 2

0 3 0 2 1

3

2 )

´(

3

2 )

´(

− −

−

+

−

+

−

+

=

−

+

−

+

−

+

=

n n

x

na

x

a

x

a

x

f

x

na

x

a

x

a

x

f

L

Entonces:

a

1

=

f

´(

x

0

)

(22)

( )( )

[

]

( )(

)

[

]

( )( )

[

]

( )(

)

[

]

2 0 2 0 0 0 0 3 2 0 2 0 0 3 2

2 )

´´(

1

2

3

2 )

´´(

1

2

3

2 )

´´(

a

x

f

x

a

n

x

a

x

f

x

a

n

x

a

x

f

n n n n

=

−

+

−

+

=

−

+

−

+

=

− −

L

De la última expresión, se tiene

2 )

´´(

₀ 2

x

f

a

=

Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en

x

=

x

₀

( )( )

( )(

)(

)

[

]

( )( )

( )(

)(

)

[

]

( )( )

3 0 3 0 0 3 0 3 0 3

2

3 )

´´´(

2

1

2

3 )

´´´(

2

1

2

3 )

´´´(

a

x

f

x

a

n

a

x

f

x

a

n

a

x

f

n n n n

=

−

+

=

−

+

=

− −

L

De la última expresión, se tiene

!

3 )

´´´(

₀ 3

x

f

a

=

Por lo tanto:

[

]

[

]

[

]

[

]

∑

∞ =

−

=

+

−

+

−

+

−

′

+

=

0 0 0 3 0 0 ´´´ 2 0 0 ´´ 0 0 0

!

)

(

)

(

!

3 )

(

!

2 )

(

)

(

)

(

)

(

n n n

x

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

_L

Si

x

₀

=

0 se llama

Serie de Maclaurin

, es decir:

=

∑

[ ]

=

+

′

+

′′

+

′′′

+

L

∞ = 3 2 0

6 )

0 (

2 )

0 (

)

0 (

)

0 (

!

)

0 (

)

(

x

f

x

f

x

f

x

n

f

x

f

n n n

Ejemplo 1

Hallar la serie de Taylor para _f₍_x₎₌_ex_{, alrededor de} ₀ 0 = x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x x x e x f e x f e x f e x f = ′′′ = ′′ = ′ = ) ( ) ( ) ( ) ( ⇒ 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( = ′′′ = ′′ = ′ = f f f f

Luego, reemplazando en: = + ′ + ′′ 2+ ′′′ 3+_L

6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

(x f f x f x f x

f

Resulta

∑

(23)

¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA!

Observe que podemos tener una buena aproximación de _e0.1 utilizando la serie:

10517 . 1

) 1 . 0 ( 6 1 ) 1 . 0 ( 2 1 1 . 0 1 1 . 0

3 2

1 . 0

≈

+ +

+ ≈

e e

Ejemplo 2

Hallar la serie de Taylor para _f₍_x₎₌_e−x_{alrededor de} ₀

0 =

x

SOLUCIÓN:

Empleando la serie anteriormente encontrada:

∑

∞

=

0 !

n n x

n x e

Sería cuestión de reemplazar −x por x, es decir:

( )

_{( )}

L

+ + − + − =

+ − + − + − + − + = −

= − =

−

∞

= ∞

=

−

∑

4 3 2

4 3

2

0 0

! 4 1 ! 3 1 2 1 1

) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ! 1 !

x x x x e

x x

n x n

x e

x

n

n n n

n x

Ejemplo 3

Hallar la serie de Taylor para 2

) (x ex

f = alrededor de x0 =0

SOLUCIÓN:

Ahora, es cuestión de reemplazar _x2 por _x_{, es decir:}

( )

L

+ + + + + =

+ +

+ = =

=

∑

∞

= ∞

=

8 6 4 2

4 2 3

2 2 2 2

0 2

! 4 1 ! 3 1 2 1 1

) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 1

! !

2 2

x x x x e

x x

x x n

x n

x e

x

n n

(24)

Ejemplo 4

Hallar la serie de Taylor para f(x)=senx alrededor de x₀ =0

SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f x x f V IV cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( = = − = ′′′ / − = ′′ = ′ = ⇒ 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( = = − = ′′′ = ′′ = ′ = V IV f f f f f f

6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

(x f f x f x f x

f Se obtiene:

_{( )}

(

)

∑

∞ = + + − = + − + − = + + + − + + = 0 1 2 7 5 3 5 3 ! 1 2 1 ! 7 1 ! 5 1 ! 3 1 ! 5 1 0 ! 3 1 0 0 n n n n x x x x x senx x x x senx L L

¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA!

Ejemplo 5

Hallar la serie de Taylor para f(x)=cosx alrededor de x₀ =0

SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f

IV₍ ₎ _cos

sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( = = ′′′ / − = ′′ − = ′ = ⇒ 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( = = ′′′ − = ′′ = ′ = IV f f f f f

6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

(x f f x f x f x

f Se obtiene:

_{( )}

( )

∑

∞ = − = + − + − = + + + − + + = 0 2 6 4 2 4 3 2 ! 2 1 ! 6 1 ! 4 1 2 1 1 cos ! 4 1 ! 3 0 ! 2 ) 1 ( 0 1 cos n n n n x x x x x x x x x x L L

(25)

Ejemplo 6

Hallar la serie de de Taylor para _f₍_x₎₌_eix_{alrededor de} ₀

0 =

x

SOLUCIÓN:

Sería cuestión de reemplazar ix por x, en la serie de f(x)=ex es decir:

( )

4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 L 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 L L L L senx x n n n n n ix x x x i x x ix x ix x ix x i x i x i x i ix ix ix ix ix ix n x i n ix e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ ₊ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ ₊ = + + + − − + = + + + + + + = + + + + + + = = =

∑

∞ = ∞ = 5 3 cos 4 2 5 4 3 2 5 5 4 4 3 3 2 2 5 4 3 2 0 0 ! 5 1 ! 3 1 ! 4 1 2 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 5 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ! !

Recuerde que:

( )

( )( )

1 1 1 1 1 2 2 4 2 3 2 = − − = = − = − = = − = i i i i i i i i i

Por lo tanto, se concluye que

e

ix

x

i

x

sen

cos

+

=

Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER

6.4.4 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.

Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal

manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia,

aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia.

Ejemplo 1

Obtener la serie de f(x)=cosxa partir de la serie del seno.

SOLUCIÓN:

La serie del seno es:

∑

( )

₍

₎

∞ = + + − = 0 1 2 ! 1 2 1 n n n n x senx

Derivándola se tiene:

(26)

Ejemplo 2.

a) Encuentre una serie de potencia para

x x f

+ =

1 1 ) (

La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1y razón r=−xentonces:

∑

( )

∑

( )

∞

= ∞

=

− = − = + =

0 0

1 1

1 ) (

n

n n n

n _x

x x

x f

b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de f(x)=ln

(

x+1

)

Integrando ( )

∫

∫ ∑

( )

∑

( )

∞

=

+ ∞

= +

− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− =

+ = + =

0

1

0

1 1 1

1 1 1 ln ) (

n

n n n

n n

n x x

dx x x

x f

c) Determine su intervalo de convergencia.

Aplicando el criterio

1 1

1

1 2 1 lim

1 1 2 lim

1 2

< < −

<

< + +

∞ →

+ +

∞ →

x x

n n x

x n n x

n

n n n

Si x=−1, tenemos

( ) ( )

( )

=− − − − −_L

+ − = + −

−

∑

∞

=

+ ∞

=

+

4 1 3 1 2 1 1 1 1 1

1 1

0

1 2

0

1

n

n n

n

n una serie

divergente. ¿por qué?

Si x=1 tenemos

∑

( ) ( )

∑

( )

∞

= ∞

=

+

+ − = + −

0 0

1

1 1 1 1

1 1

n n n

n n

n

n una serie alternante convergente.

Por tanto su intervalo de convergencia es x∈

(

−1,1

]

Ejercicios Propuestos. 6.6

1. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para

) tan( )

(x x

f = alrededor de x₀ =0.

b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para g(x)=sec2(x). c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los primeros

tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para h(x)=ln(cos(x)).

2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f(x)=lnx

alrededor de x0 =1.

b) Determine su intervalo de convergencia.

(27)

a. f(x)=ln(x+1)

b. f(x)=

∫

e−x2dx

c. f(x)=x2ln(x+1)

d. f(x)=arctgx

e. f(x)=xarctgx

f. =

∫

dx

x senx x

f( )

g.

2 1 ) (

x x x f

+ =

h. _f₍_x₎₌_x3_cos_x2

i.

2 ) (

x x

e e x f

−

+ =

4. Calcular usando series de potencias:

a.

∫

e−x dx

1

0 2

b.

∫

exsenxdx 2

0

π

c. dx

x x

∫

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

1

0

| 1 cosh

d.

∫

sen xdx 2

1

0

e.

∫

arctgx dx 2

1

0 2

f.

∫

xsenh xdx

1

0 5. Considere la función f(x)=arctan(x)

a. Determine una representación para f en series de potencias de x y especifique su intervalo de convergencia.

b. A partir de la serie obtenida aproxime el valor de π. Utilice los cincos primeros términos de la serie.

6. Considere la función f(x)=xe−x2

a. Determine una representación para f en series de potencia de x.

b. Diferencie término a término la serie ontenida y a partir de este resultado demuestre que

( )

1

! 2

1 2 1 1

1 + ₌

−

∑

+∞

= +

n

n n

n n _.

7. Utilice la Serie Binomial

(

)

_⎟⎟ +_L

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =

+ 2 3

3 2

1 1

1 x p p x p x p x