Laboratorio Nº 01: Simulación de la Serie de Fourier Mediante el Software Matlab
John Frei Apaza Coaquira David Rivas Astuhuaman Alvaro Fernandez Perez
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad Nacional de Ingeniería Lima, Perú
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Resumen-Este documento es el Informe Final para la experiencia de laboratorio N°1 del curso EE513 - Telecomunicaciones I, sección M. La experiencia de laboratorio se realizó en el Laboratorio de Telecomunicaciones de la Universidad Nacional de Ingeniería, el cual está a cargo de la Ing. Virginia Romero Pérez.
I. DATOS OBTENIDOS
La gráfica en MatLab de la función periódica en el tiempo que se usó para la experiencia de laboratorio es la siguiente:
Fig. 1 Señal usada en el laboratorio
La señal es un pulso cuadrado impar de amplitud 5Vpp, periodo 20ms y de 10ms de duración.
La serie de Fourier de dicha función hallada de forma analítica es la siguiente:
� � = + ∑ − cos �� − cos ��
� ∗ � ∗ cos � ∗�
∗ �
∞
�=
Algunas aproximaciones resaltantes con su respectivo “n” son las siguientes:
Para n=1:
Fig. 3 Aproximación para n=1 Para n=3:
Fig. 4 Aproximación para n=3
Para n=5:
Fig. 5 Aproximación para n=5 Para n=15:
Fig. 6 Aproximación para n=15 Para n=50:
Fig. 7 Aproximación para n=50
II. RESPUESTA A PREGUNTAS
Las siguientes preguntas serán respondidas en base a la experiencia realizada en el laboratorio.
A. De lo observado en el computador y del desarrollo teórico, aproxime el ancho de banda de la señal que se le asignó.
B. ¿Qué diferencias importantes observa entre la función ideal y la obtenida por la serie de Fourier?
Se pueden observar muchas diferencias importantes, como, por ejemplo:
• Se observa una distorsión en la gráfica en los puntos donde existe un cambio de pendiente en la curva.
• La función obtenida por la serie de Fourier converge de rápidamente, pues para un n=15 ya se aproxima bastante bien.
•
C. ¿Cuántos armónicos fueron necesarios para una mejor aproximación de la función que se le asigno?
Para la función que se muestra en la Fig.1 se necesitan al menos 15 armónicos para obtener una aproximación relativamente estable.
Comparando para n=50 y n=15 vemos que no hay mucha diferencia.
D. Se cumplió los objetivos de la experiencia?
Sí, los objetivos de la práctica fueron exitosamente cumplidos ya que se mejoró el dominio del MatLab y su pudo obtener una correcta aproximación de una función ideal mediante la serie de Fourier.
E. Tuvo problemas con el uso del Matlab?
No, ya que hemos usado el MatLab previamente en otros cursos de la carrera y ya tenemos cierto dominio de la versión instalada en mi PC.
III. ENTREGA DE HOJA DE DATOS
Aproximación de la Serie de Fourier T = input('PERIODO: ');
M = 1024;
m = input('ARMONICOS: ');
c = input('CICLOS: ');
t = 0:T/M:c*T;
z = 0;
for n = 1:m;
y =((-20)*(cos(n*pi/2)-
cos(n*pi))/((n*pi).^2)).*cos((2*pi*n/T)*
t);
z = z + y;
end k=5/4+z;
x=linspace(0,T*c,10000);
d=[0:T:T*c];
p=5*pulstran(x,d-10,'tripuls',10, 0);
plot(t,k,'k.',x,p,'g.');
grid minor;
xlabel('time(ms)');
ylabel('AMPLITUDE');
title('TRIANGULAR WAVE FORM (n=50)');
axis([0 T*c -2 8])
Espectro de frecuencia t=-20:0.00001:20;
n = 20;
for w=1:n
q(1,w)=abs(((-20)*(cos(w*pi/2)- cos(w*pi))/((w*pi).^2)));
end j=1:n;
stem(j,q,'r.');
grid minor
xlabel('armonico') ylabel('amplitude')
title('Amplitude spectral');
IV. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES Después de haber realizado de forma exitosa la experiencia de laboratorio se pasará a detallar lo mencionado.
A. Observaciones
Para la realización del experimento se recomienda tener presente lo siguiente:
• Se recomienda graficar todos los armónicos en una misma gráfica junto con la señal ideal y con gráficas de distinto color para poder observar correctamente la aproximación.
• Para poder cambiar cada armónico al presionar una tecla se recomienda usar el comando de MatLab
“pause ( )”.
• Se presentan problemas para la aproximación cuando la duración del pulso es corta debido al fenómeno de Gibbs.
B. Conclusiones
En base a los resultados obtenidos en el laboratorio se obtuvieron las siguientes conclusiones:
• Se demostró que una función periódica puede ser correctamente aproximada mediante el uso de la serie de Fourier.
• La aproximación mejora a medida que aumenta el número de armónicos usados en la serie de Fourier.
• El MatLab tiene un importante uso en el área de Telecomunicaciones al permitir simular ondas, sus aproximaciones y sus espectros de frecuencia.
VI. BIBLIOGRAFIA
1) Biografía de Joseph Fourier, Sangakoo, disponible en: http://www.sangakoo.com/blog/fourier/
2) Fenómeno de Gibbs, LAFA: Laboratorio de Análisis de Fourier Aplicado, disponible en:
http://www4.ujaen.es/~jmalmira/gibbs_almira.pdf
3) Series de Fourier y fenómeno de Gibbs, Roberto Rodríguez del Rio & Enrique Zuazua, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Complutense de Madrid, Madrid, España, disponible en:
http://eprints.ucm.es/8364/1/cubo.pdf
