TEMA: FUNCIONES:
ÍNDICE:1. Introducción. 2. Dominio y recorrido.
3. Gráficas de funciones elementales. Funciones definidas a trozos. 4. Continuidad.
5. Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. 6. Concavidad y convexidad.
7. Puntos de corte con los ejes. 8. Simetría.
9. Periodicidad. 10. Asíntotas.
11. Tasa variación media
1. INTRODUCCIÓN: Puntos y coordenadas
Para representar en el plano se toman dos rectas perpendiculares OX y OY, llamadas ejes de coordenadas. El eje OX se llama eje de abscisa y el eje OY eje de ordenadas. El punto O es el origen de coordenadas.
Cada uno de estos ejes se gradúa con números positivos y números negativos. De este modo, a cada punto P del plano le corresponde un par de números (x, y) que llamamos coordenadas del punto.
El 1er número o 1ª coordenada “x” corresponde al eje horizontal (abscisa).
El 2º número ó 2ª coordenada “y” corresponde al eje vertical (ordenada)
Cuadrantes
1er cuadrante,
x
0
,
y
0
2º cuadrante,x
0
,
y
0
3er cuadrante,
x
0
,
y
0
4º cuadrante,x
0
,
y
0
Ejemplo: Representar en el plano los siguientes puntos (1, 2); (-3,4); (2,-5); (-4, -3)
Qué es una función: “
y
f
(
x
)
”Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen.
Una función puede venir dada por una fórmula, por ejemplo: la relación y = 5x2 + 1, expresa que la variable x depende de la variable y, por eso se llama a x variable independiente, y a y variable dependiente.
Variable independiente
Representa los distintos valores que se admiten y constituyen el dominio de la función.
Variable dependiente
2. DOMINIO Y RECORRIDO:
Dominio y recorrido:
El dominio “D(f)” de una función son los valores que puede tomar la x.
El recorrido o imagen “R(f)” o “Img(f)” de una función son los valores que toma la y.
Ejemplo: Para la función dada por la fórmula
x
y
4
:El dominio son todos los números reales menos el 0 porque si x = 0,
0
4
y
, que notiene sentido. Es decir D(f) = R-{0}
El recorrido son todos los números reales menos el 0, pues la ecuación
x
4
0
no tienesolución.
Ejercicio
: Indica el Dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Cálculo del Dominio de una función.
a.
Funciones Polinómicas:
D( f ) = R
. Ejemplo:
f
(
x
)
2
x
4
3
x
2
5
x
7
b.
Funciones Racionales:
D
(
f
)
R
{
puntos
donde
se
anula
el
deno
min
ador
}
Ejemplo:
3
6
)
(
3
x
x
x
f
D
(
f
)
R
{
3
}
3
2
12
3
)
(
22
x
x
x
x
f
D
(
f
)
R
{
3
,
1
}
c.
Funciones Radicales (Raíces) :
a.
Índice Impar:
D(f)
= Dominio del radicando
Ejemplo:
f
(
x
)
33
x
2
6
D(f) = R
6
3
)
(
x
x
2
f
D
(
f
)
(
,
2
U
2
,
)
5
2
3
)
(
x
x
x
f
D
(
f
)
R
{
2
}
2
3
)
(
x
x
x
f
D
(
f
)
(
,
0
U
(
2
,
)
Ejercicio
: Calcular el dominio de las siguientes funciones:
a.
5
2
7
3
)
(
2
x
x
x
f
b.
g
(
x
)
8
x
3
7
x
2
9
c.
h
(
x
)
35
x
2
6
x
7
d.
k
(
x
)
2
x
2
3
x
5
e.
(
)
2
1
x
x
l
f.
1
5
3
)
(
2
x
x
x
i
3. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
A cada expresión algebraica de una función le corresponde una gráfica. Mediante la gráfica de una
función podemos apreciar las características principales de dicha función.
a.
Función constante
.
y
f
(
x
)
a
Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0,a) y es paralela al eje OX
b.
Funciones afines y lineales:
I.
Función lineal.
y
f
(
x
)
mx
Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0) y tiene de pendiente m. Se
representa muy fácilmente mediante una tabla de valores.
II.
Función afín.
y
f
(
x
)
mx
n
Su gráfica es una recta que pasa por el punto (0,n) y tiene de pendiente m. Se representa muy
fácilmente mediante una tabla de valores.
c.
Funciones cuadráticas
:
y
f
x
ax
2
bx
c
)
(
Su gráfica es una parábola.(Veamos como representarla)
Curvatura: si
a
0
pero
si
a
0
Vértice:
a
b
V
x2
y
a
b
f
V
f
V
y x2
Puntos de corte con los ejes:
Corte con el eje 0Y tomo x = 0 y calculo “y”
Corte con el eje 0X tomo y =0 y calculo “x” (pueden ser 0,1 ó 2 valores)
Tabla de valores
Ejemplo:
f
(
x
)
y
x
2
x
6
Curvatura: como a = 1 > 0 Convexa (
)
1
1
25
Por tanto el vértice es
)
(
0
`
5
;
6
`
25
)
4
25
;
2
1
(
V
Puntos de corte con los ejes:
Eje 0Y tomo x = 0 entonces
y
f
(
0
)
6
el punto es (0, -6)
Eje 0X tomo y = 0 entonces 0 =
x
2
x
6
y calculo “x”
obtengo dos valores de x, x = -3 y x = 2 (-3,0) y (2,0)
Tabla de valores:
d.
Funciones exponenciales
.
I.
0
)
(
a
a
x
f
y
xII.
0
)
(
a
a
x
f
y
xe.
Valor Absoluto
.
I.
Ejemplo1:
f
(
x
)
x
3
Estudio el signo de x + 3
x
3
0
x
3
Por tanto
3
3
3
3
3
)
(
x
si
x
x
si
x
x
x
f
II.
Ejemplo2:
f
(
x
)
x
2
5
Estudio el signo de
x
2
5
x
2
5
0
x
2
5
x
5
Por tanto
5
5
5
5
5
5
5
)
(
2 2 2x
si
x
x
si
x
x
si
x
x
f
Ejercicio
: Representar las siguientes funciones:
a.
f
(
x
)
3
b.
y
4
x
7
c.
y
x
2
3
x
4
d.
h
(
t
)
4
te.
g
(
s
)
e
sf.
g
(
x
)
3
x
2
4
x
1
g.
h
(
t
)
2
t
5
h.
f
(
x
)
2
x
2
x
3
Funciones Definidas a Trozos:
Ejercicio
: Representa las siguientes funciones:
a.
3
5
3
3
8
2
3
2
)
(
2x
si
x
si
x
x
x
si
x
x
f
b.
2
4
3
2
0
0
)
(
2t
si
t
t
si
t
t
si
t
t
g
c.
1
1
2
1
0
1
2
)
(
2x
si
x
x
si
x
x
si
x
h
xd.
1
)
1
log(
1
1
3
1
6
3
2x
si
x
x
si
x
x
x
si
x
x
j
4. CONTINUIDAD.Idea de continuidad en un punto:
Continuidad en un intervalo:
Una función f(x) es continua en un intervalo “(a, b)” cuando es continua en todos sus puntos.
a) Es continua
b) Es discontinua en el punto x=3, porque supone un salto de dos unidades en f(x). c) Es discontinua en el punto x=0 porque no está definida en el punto f (0).
Tipos de discontinuidad:
a) Discontinuidad evitable.
b) Inevitable de salto finito. (Ejemplo “b” anterior. En este caso el Salto de la función es 2) c) Inevitable de salto infinito (Ejemplo “c” anterior)
Ejercicio: Dada la gráfica de la siguiente función:
Ejercicio. Dada las gráficas de las siguientes funciones:
Estudia:
a) Continuidad en x=3 b) Continuidad en x=0
c) Continuidad en el intervalo (-1, 0) d) Continuidad en el intervalo (-1, 4)
e) Indica en que puntos es continua cada función.
Estudia:
a)
Continuidad en el 0
b)
Continuidad en el 1
5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
Función creciente:
Una función f(x) es creciente en un intervalo si para todo par de valores
x
x
h
se verifica quef
(
x
)
f
(
x
h
)
.Si
x
x
h
f
(
x
)
f
(
x
h
)
Función decreciente:
Una función f(x) es decreciente en un intervalo si para todo par de valores
x
x
h
se verifica quef
(
x
)
f
(
x
h
)
..
Si
x
x
h
f
(
x
)
f
(
x
h
)
Función constante:
Una función f(x) es constante en un intervalo si para todo par de valores
x
x
h
se verifica quef
(
x
)
f
(
x
h
)
.Si
x
x
h
f
(
x
)
f
(
x
h
)
Máximo:Mínimo:
Una función tiene un mínimo en el punto “c”, si existe un intervalo (c-h , c+h) donde se verifica que f(c) < f(x) para todo valor “x” perteneciente al intervalo.
Ejemplo:
Ejercicio: Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de las siguientes funciones (Indicando en caso de que existan los máximos y mínimos absolutos)
6. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.
Función convexa:
Una función es convexa en un intervalo si, al unir dos puntos cualesquiera del intervalo, el segmento queda por encima de la gráfica de la función.
Función cóncava:
Una función es cóncava en un intervalo si, al unir dos puntos cualesquiera del intervalo, el segmento queda por debajo de la gráfica de la función.
Puntos de inflexión:
Ejercicio: Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad, así como los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la siguiente gráfica:
Ejercicio: Estudia todo lo visto hasta ahora en la siguiente función:
7. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES.
Con el eje de abscisas (eje OX): buscamos los puntos “x” de la función
y
f
(
x
)
donde la ordenada es “0” (y = 0) , luego resolvemos la ecuaciónf
(
x
)
0
Con el eje de ordenadas (eje OY): buscamos los puntos “y” de la función
y
f
(
x
)
donde la abscisa es “0” (x = 0), luego resolvemos la ecuacióny
f
(
0
)
Ejemplo: Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones: a)
f
(
x
)
3
x
2
4
x
1
b)
3
5
)
(
x
x
x
g
c)
h
(
x
)
x
2
x
1
d) 2 2
2
10
5
2
)
(
x
x
x
x
a)
f
(
x
)
10
2
x
b)g
(
x
)
7
x
3
c)h
(
x
)
x
2
2
x
1
d)
i
(
x
)
3
x
2
4
x
1
e)j
(
x
)
x
2
3
8. SIMETRÍA.
Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas ( eje OY) cuando
f
(
x
)
f
(
x
)
. Se llama también función par. Una función es simétrica respecto del origen cuando
f
(
x
)
f
(
x
)
. Se llama también función impar.Ejercicio: Estudia la simetría de las siguientes funciones:
5
3
)
(
;
)
(
;
1
)
(
;
)
1
(
1
)
(
;
5
)
(
;
3
)
(
3 2 3 3 2 2 4 3
x
x
x
h
x
x
x
x
g
x
x
x
x
f
x
x
h
x
x
g
x
x
f
9. PERIODICIDAD.Una función es periódica cuando los valores que toma se repiten cada cierto intervalo fijo T; que se llama periodo. Esto es, si:
)
(
)
(
x
T
f
x
f
Ejemplo:
Ejemplos:
a. Funciones trigonométricas.
b. Altura de una noria en función del tiempo c. Péndulo
d. Electrocardiograma.
10.ASÍNTOTAS.
Asíntotas horizontales:
Ejemplo: Asíntota horizontal: y=3
Asíntotas verticales:
Ejemplo:
Asíntota vertical: x=0
Ejercicios:
1. Indica el dominio y recorrido de las funciones:
2. Indica por qué las gráficas adjuntas no corresponden a las de una función:
3. Construye una tabla de valores asociada a cada una de las funciones: a. A cada número le corresponde su mitad.
b. A cada cuadrado le corresponde su superficie: 4. Traza las gráficas del ejercicio anterior:
a.
5. Di si son continuas las siguientes funciones; en caso contrario, da los puntos de discontinuidad, y el dominio:
6. Di si son continuas las siguientes funciones; en caso contrario, da los puntos de discontinuidad, y el dominio:
8. Calcula los puntos de corte con los ejes en el ejercicio anterior: 9. Calcula los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones:
10. Indica entre que valores la función es creciente y entre cuáles decreciente:
11. Dibuja la gráfica de una función que sea decreciente entre 5 y 1; y entre 4 y 6, y creciente entre 1 y 4; y entre 6 y 9.
12. Representa una función f con Dom(f)=[0,7] y R(f)=[1,5] y que, además, cumpla: a. Crece en el intervalo (1,4) y decrece en el resto.
b. Crece en el intervalo (1,3), decrece en el intervalo (3,4) y se mantiene constante hasta x=7.
13. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las gráficas:
14. Indica los máximos y los mínimos de las funciones dadas en el ejercicio anterior
15. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y los mínimos de las funciones dadas por las siguientes gráficas:
17. Indica los intervalos de concavidad y de convexidad en los ejercicios anteriores (25, 27, 28, 30, 31)
18. Dibuja una función que pase por los puntos A(1,3), B(0,1), C(2,0), D(4,3) y E(6,6), siendo A y E máximos, C mínimo y B y D puntos de inflexión. Indica en qué intervalos es cóncava y en cuáles convexa.
19. Completa estas gráficas para que sean simétricas:
20.Di de qué tipo de simetría presentan las siguientes funciones dadas por sus gráficas:
21. Di cuáles de las siguientes funciones son periódicas. En caso afirmativo, determina su periodo.
23. En una finca en la que se plantan dos tipos de hortalizas: tomates y lechugas, se van a utilizar “x” kilos de abono. Las cantidades de kilos de tomates y lechugas obtenidos en función del abono utilizado vienen
dadas respectivamente por las dos funciones siguientes:
10
100
300
)
(
x
x
x
T
y10
30
120
)
(
x
x
x
L
.a. ¿Cuántos kilos de lechuga obtendré si uso 30 kilos de abono? b. ¿Cuántos kilos de abono necesito para obtener 155 kilos de tomate?.
c. ¿Cuál es la función “h(x)” que nos da la cantidad de kilos de hortalizas obtenidas, en función del abono utilizado?
d. ¿Cuántos kilos de hortalizas obtendré con 60 kilos de abono?
24. El dueño de un manantial de agua mineral llega a la conclusión de que, si el precio a que vende la botella es “x” pesetas, sus beneficios vendrán dados por la fórmula
B
(
x
)
10
x
x
2
21
en miles de pesetas por día.Representar la función precio-beneficio e indicar cuál será el precio de la botella para obtener el beneficio máximo.
25. El día uno de mayo el precio del melón es de 200 pesetas el kilo. Cada día que pasa, el precio por kilo disminuye en 2 ptas. Un agricultor tiene el uno de mayo 80 kilos de melones y estima producir cada día 10 kilos más. ¿Cuándo deberá vender el agricultor sus melones?
26. Algunos expertos estimaron, a comienzos de los años noventa, que el SIDA crecía a razón del 20% anual. Si suponemos que en esa fecha, en una determinada ciudad, había 1000 enfermos de SIDA y la
fórmula del crecimiento viene dada por
E
(
t
)
1000
·
1
0
,
20
tse pide: a. ¿Cuántos habría a comienzos de 1993?. ¿Y en el año 2000? b. ¿Cuánto tardará en duplicarse el número de afectados?27. Las funciones de ingresos y costes anuales por la fabricación y venta de “q” unidades de un determinado producto vienen dadas por:
2
04
,
0
2000
)
(
q
q
q
I
yC
(
q
)
1000000
100
q
0
,
001
q
2 . Halla: a. La función que da el beneficio anual.b. ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo? c. ¿Cuál es ese beneficio?
d. El coste de producción de “x” unidades diarias de un determinado producto es
5
25
4
1
2
x
x
y el precio de venta de una de ellas está en función de la producción total es
4
50
x
eurospor cada unidad.
i. Hallar el precio de venta si se producen 12 unidades. ii. Determinar los ingresos al producir 12 unidades. iii. Determinar los beneficios al producir 12 unidades.
