TP Nº 01 Ejercicios Resueltos

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Mecánica Racional – TP Nº 1 – Ejercicios Resueltos - 25/8/16 12:57:00 p.m. 1/8

Facultad de Ingeniería - UNMdP

Mecánica Racional

Trabajo Práctico

Nº 1

: Cinemática Plana y de la Partícula

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 5

Escriba las ecuaciones polares del movimiento del punto 𝑈 del mecanismo de la figura. Determine las expresiones de la velocidad y la aceleración en coordenadas polares y cartesianas. Demuestre que la trayectoria del punto 𝑈 es una limaçon (caracol de Pascal). Encuentre por inspección puntos de la trayectoria y grafíquela en forma aproximada.

Figura 1.1

Solución

Las expresiones de los vectores posición, velocidad y aceleración son 𝑟 = 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘

𝑟 = 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 𝑟 = 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘

(1.1)

en coordenadas cartesianas y

𝑟 = 𝜌𝑒

-𝑟 = 𝜌𝑒-+ 𝜌𝜃𝑒/

𝑟 = 𝜌 − 𝜌𝜃1 _𝑒

- + 𝜌𝜃 + 2𝜌𝜃 𝑒/

(1.2)

(2)

Mecánica Racional – TP Nº 1 – Ejercicios Resueltos - 25/8/16 12:57:00 p.m. 2/8 determinar las expresiones del radio vector, 𝜌, y del ángulo 𝜃 que indica su dirección en función del tiempo. En este problema, resulta sencillo escribir la posición del punto 𝑈 como la suma del vector posición del punto 𝐶 desde el origen (que describe una circunferencia de radio 𝑎 desplazada una distancia a respecto del origen de coordenadas) y el vector posición de la posición del punto 𝑈 respecto del 𝐶 (que mantiene su módulo constante). De esta forma, el vector posición en coordenadas cartesianas del punto 𝐶 es:

𝑟₆ = 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝚤 + 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝚥, (1.3)

Ahora podemos escribir 𝜌6 en función de tiempo como

𝜌₆ = 𝑥1_{+ 𝑦}1_, (1.4)

de donde resulta

𝜌₆ = 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 1 _{+ 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡} 1_{= 𝑎 2 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡} _. (1.5)

Esta ecuación puede ser simplificada utilizando la relación 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠1 ?@

1 − 1 (ver https://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonométricas), con lo que resulta

𝜌₆ = 2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ?@₁ . (1.6)

Sumamos ahora el tramo 𝐶𝑈 de la barra, que como se observa en la figura, tiene la misma dirección que 𝜌₆. De esta forma,

𝜌B = 𝜌6 + 𝑎 = 2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠

𝜔𝑡 2 + 𝑎.

(1.7)

Una vez obtenida la expresión de 𝜌_B t , estamos en condiciones de obtener sus derivadas primera y segunda respecto del tiempo. Estas son la velocidad y la aceleración radial respectivamente:

𝜌_B = −𝑎 ∙ 𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 2

(1.8)

y

𝜌_B = −𝜔1

2 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

2 .

(1.9)

Pasemos ahora a obtener la expresión de la coordenada polar 𝜃 en función del tiempo. Precisamos relacionar 𝜃 con el ángulo barrido por la biela, 𝜔𝑡, que se conoce para todo tiempo. Consideremos para esto el triángulo que forman la biela, la barra con la corredera y el semieje positivo de las 𝑥, para el que podemos plantear las ecuaciones

𝑥E = 𝑅 + 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 𝜌E∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

(3)

Mecánica Racional – TP Nº 1 – Ejercicios Resueltos - 25/8/16 12:57:00 p.m. 3/8 𝜃 =𝜔𝑡

2, (1.11)

es decir, el ángulo girado por la barra es igual a la mitad del que gira la biela (esto es fácil de comprobar en forma empírica si graficamos mecanismo en varias posiciones).

Se deducen en forma inmediata las expresiones de la velocidad y la aceleración angular:

𝜃 =𝜔 2 , 𝜃 = 0.

(1.12)

(1.13) Tenemos ya toda la información para escribir los vectores posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares, como lo solicita el enunciado del problema. Al reemplazar los resultados en las ecuaciones (1.7), (1.8), (1.9), (1.10), (1.12) y (1.13) en las ecuaciones (1.2) resulta

𝑟 = 2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

2 + 𝑎 𝑒

-𝑟 = −𝑎 ∙ 𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

2 𝑒-+ 2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

2 + 𝑎 𝜔𝑡 𝜔

2 𝑒/

𝑟 = −𝜔1

2 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

2 − 2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

2 + 𝑎 𝜔𝑡1 𝑒-− 2𝑎 ∙ 𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

2 𝜔

2 𝑒/

(1.14)

(1.15)

(1.16)

La trayectoria del punto U, dada por la ecuación (1.14) describe una limaçon, cuya ecuación genérica es del 𝜌 = 𝐵 +A cos𝜃. Es interesante mencionar que la limaçon con 𝐴 = 𝐵 recibe el nombre de cardiode.

El modelo de WM del problema está en el archivo TP1-EJ5.wm2d.

El modelo ilustra la trayectoria de varios puntos sobre la barra. Entre ellos, la trayectoria roja corresponde a la solución analítica presentada más arriba. Es interesante observar que los puntos ubicados en forma simétrica respecto del punto de articulación entre las barras describen la misma trayectoria. Así, resultan coincidentes las trayectorias verde y negra y las trayectorias roja y naranja.

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Ejercicio 8

Una barra de longitud 𝐿 = 0.8𝑚 se desliza en un hueco con geometría circular, según se ilustra en la figura.

Determine:

a) La velocidad del punto de la barra que coincide con el punto 𝐶 del vínculo cuando el extremo derecho pasa por la posición 𝐴 con velocidad 𝑉_N = 4 𝑚 𝑠.

b) La posición del centro instantáneo de rotación de la barra respecto del vínculo y respecto de la misma barra.

c) La velocidad angular de la barra y la velocidad en componentes cartesianas de su extremo izquierdo.

Figura 1.2

Solución

(5)

Mecánica Racional – TP Nº 1 – Ejercicios Resueltos - 25/8/16 12:57:00 p.m. 5/8 Figura 1.3

Se crean dos sistemas de referencia: el (𝚤, 𝚥), con ejes alineados con las direcciones horizontal y vertical, para representar la posición del CIR respecto del punto 𝐶; y el (𝚤R_{, 𝚥}R₎_{con el primer}

eje alineado con la barra y el segundo en la dirección perpendicular, para representar la posición del CIR respecto de la barra.

Hay que notar que el vector 𝑟_EST tiene la misma longitud, o sea el mismo módulo pero diferentes componentes según en qué sistema se lo represente:

• Respecto del borde del hueco

𝑟_EST = 0.25𝚤 + 0.25𝚥 (1.17)

• Respecto de la barra

𝑟_EST = 0𝚤′ + 0.251 _{+ 0.25}1_{𝚥′ = 0𝚤′ + 0.25 · 2𝚥′} (1.18)

Asimismo, el CIR se encuentra en la parte superior de la circunferencia que completaría el hueco, por lo cual la distancia entre el CIR y el punto 𝐴 es de 0.5m. De esta manera se puede conocer la velocidad de rotación instantánea de la barra respecto del CIR. Para esto se toma un sistema coordenado con origen en el CIR:

𝑉_N = 𝜔×𝑟_N; y por ser 𝜔 ⊥ 𝑟_N→ 𝜔 = Z[

\] =

Z[

\[ = 8

\^_ `

(1.19)

Luego, como toda la barra tiene la misma velocidad angular la velocidad 𝜔, la velocidad del punto 𝐶 es:

𝑉₆ = 𝑉N

𝑟_N · 𝑟6 = 2 2 = 2.828 𝑚

𝑠

(1.20)

Para averiguar la velocidad absoluta del extremo 𝐸, se debe conocer su posición respecto del CIR. En esquema de la Figura 1.4 se puede observar que la posición de 𝐸 respecto del CIR se puede obtener mediante:

(6)

𝑟_b|EST = −0.565𝑖′′ + 0.065𝚥′′ 𝑚 . (1.22)

Finalmente se puede obtener su velocidad su velocidad como sigue:

𝑉_b = 𝜔×𝑟_b = 𝚤′′₀ 𝚥′′₀ 𝑘′′_𝜔 −0.565 . 065 0

= −0.52𝚤RR_{− 4.52𝚥}RR_{+ 0𝑘}RR 𝑚

𝑠 . (1.23)

(7)

Ejercicio 10

Demuestre el Teorema del Engrane Plano utilizando el esquema de la Figura 1.5. El Teorema del Engrane Plano dice: “La normal al punto de contacto entre los perfiles determina sobre la recta 𝑂_h− 𝑂₁ segmentos cuyas longitudes son inversamente proporcionales a las velocidades angulares de los perfiles”.

Figura 1.5

Solución

La solución del ejercicio consiste en demostrar la siguiente relación 𝜔h

𝜔₁ = 𝑙1

𝑙_h. (1.24)

Para esto consideremos la Figura 1.6, donde se grafican el punto de contacto 𝑃₆, los vectores 𝑟 que para cada cuerpo describen la posición del Punto de contacto respecto del centro de rotación, las velocidades 𝑣_h y 𝑣₁ consecuentes del producto vectorial 𝜔_h×𝑟_h y 𝜔₁×𝑟₁ respectivamente.

(8)

Mecánica Racional – TP Nº 1 – Ejercicios Resueltos - 25/8/16 12:57:00 p.m. 8/8 interferir. Es decir, se requiere que la velocidad normal del punto de contacto sea la misma para los dos cuerpos en cuestión, esto es 𝑣_l_m = 𝑣_l_n = 𝑣. Tenemos así

𝑣_h ∙ cos 𝜃_h = 𝑣₁∙ cos 𝜃₁ (1.25) Los cuerpos giran con velocidad w1 y w2 respecto de los centros 𝑂h y 𝑂1 respectivamente.

Podemos por lo tanto escribir

𝑣h = 𝜔h×𝑟h

y 𝑣₁ = 𝜔₁×𝑟₁ (1.26)

las que reemplazadas en (2) resultan en

𝜔_h∙ 𝑟_h∙ cos 𝜃_h = 𝜔₁∙ 𝑟₁∙ cos 𝜃₁ (1.27) Es importante notar que (1.27) se especializó para el caso e era que el ángulo entre las direcciones de 𝜔_r y las 𝑟_r es en todo momento igual a 90°.

Del análisis de la Figura 1.6, se observa que 𝑟h ∙ cos 𝜃h = 𝑟sm y 𝑟₁∙ cos 𝜃₁ = 𝑟_s_n

(1.28)

Considerando las ecuaciones (3) podemos también escribir

𝜔_h∙ 𝑟_s_m = 𝜔₁∙ 𝑟_s_n (1.29)

En la Figura 1.7 se observa el triángulo rectángulo formado por 𝑟_s_m − 𝑟_s_n (paralelas a la recta tangente), 𝑙_h − 𝑙₁ y la recta paralela a la normal que pasa por el punto 𝑂₁. Aplicando el Teorema de Tales (http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales) sobre este triángulo se obtiene:

𝑙_h 𝑟_s_m =

𝑙₁ 𝑟_s_n.

(1.30)

Finalmente, de la combinación de las ecuaciones (1.29) y (1.30) resulta la demostración del teorema:

𝜔h

𝜔₁ = 𝑟_s_n 𝑟_s_m =

𝑙1

𝑙_h. (1.31)