UTFSM - MAT 024 Segundo Semestre 2007 Gu´ıa de Ejercicios Certamen 2
1.- Campos de Vectores
1. Haga un bosquejo cualitativo de los siguientes campos de vectores en el plano:
(i) X(x, y) =−yˆı+xˆ.
(ii) X(x, y) =y2ˆı+x.ˆ
(iii) X(x, y) =y5ˆı+ (x+y2)ˆ.
2. Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales en el punto indicado:
(a) (x2+y)ˆı+z2ˆ−xzˆken (-3,0,1).
(b) xyzˆı+ sinyˆ−z3kˆ en (0, π/4,1).
(c) xˆı−yˆ+ezˆken (1,1,0).
3. SeaA(x, y, z) = (3x2+y)ˆı−(sinx−z)ˆ+αkˆ. Encuentre α tal que∇ ·A= 0.
4. SeaA(x, y, z) = (sinx−z)ˆı+αˆ+zyk.ˆ Hallar α tal que∇ ·A=−x.
5. SeaA(x, y, z) =x2ˆı−(x+y+z)ˆ−xzk.ˆ Calcule∇ ×(∇(∇ ·A)) en el punto (1,-1,2).
6. Siges un campo escalar y X un campo vectorial, pruebe que
(a) ∇ ·(gX) =g∇ ·X+∇g·X.
(b) ∇ ×[∇ ×X+∇g] =∇ ×(∇ ×X).
7. Sea −→r(x, y, z) =xˆı+yˆ+zˆk. Considere la funci´on u:R3−→ R, u=f(k−→rk), donde f es una funci´on dos veces diferenciable.
(a) Demuestre que ∇u= 1 k−→rkf
0(k−→r k)−→r
(b) Encuentre la forma m´as general para f si ∇u=−k−→rk−3−→r.
(c) Encuentre∇u, si u=e−k−→rk2.
(d) Usando los resultados del problema anterior, pruebe que
∆u=f00(k−→rk) + 2 k−→rkf
2.- Integrales de L´ınea
1. SiC=C1SC2, calcule la integral
I
C
y2dx+xdy
donde:
(a) C1 es el segmento rectil´ıneo que une el punto (0,2) con el punto (−5,−3).
(b) C2 es el arco de par´abolax= 4−y2 desde el punto (−5,−3) al punto (0,2).
2. Calcule las siguientes integrales curvil´ıneas.
(a) RC(x4/3+y4/3)ds, dondeC es el arco de la astroide x2/3+y2/3 =a2/3.
(b) R
Ce
√
x2+y2
ds, dondeC es el circuito convexo limitado por las curvasr =a,θ= 0, θ=π/4, y (r, θ) son las coordenadas polares.
(c) HC (x+y)dxx2−+y(x2−y)dy, dondeCes la circunferencia x2+y2 =a2, recorrida en sentido
antihorario.
(d) RC(x2+y2)dx+ (x2−y2)dy, dondeC es la curva y= 1− |1−x|, 0≤x≤2.
3. Hallar la masa del arco de la par´abolay2 = 2px, 0≤x≤p/2, si su densidad lineal en cada punto es ρ(x, y) =|y|.
4. Hallar la masa del arco de la curvax=at,y= a2t2, z = a
3t3, 0≤t≤1, cuya densidad
var´ıa seg´un la ley ρ(x, y) =
q
2y a.
5. Encuentre los momentos est´aticos
Sy =
Z
C
xds, Sx =
Z
C
yds
del arco C de la astroide x2/3 +y2/3 = a2/3, x > 0, y > 0, respecto de los ejes de coordenadas.
6. Un resorte de densidad constante 1 se encuentra a lo largo de la h´elicer(t) = (cost, sint, t), 0 ≤ t ≤ 2π. Encuentre el momento de inercia alrededor del eje z y el radio de giro alrededor de este eje.
7. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzasF(x, y, z) = 12(y2+z2, x2+z2, x2+
y2),a lo largo de la curva|x|+|y|= 1 en el plano XY.
8. Sea V el campo de velocidades de un fluido. Encuentre el flujo del campo V = (x− y)ˆı+xˆ a trav´es de la elipsex2+ 4y2= 4.
(a) La circunferencia de radio 3 centrada en el origen.
(b) La recta que une los puntos (0,3), (3,0).
(c) Las respuestas para (a) y (b) son las mismas. ¿Ser´an iguales para todas las curvas que van de (0,3) a (3,0)?
10. Seax=f(t),y=g(t) la parametrizaci´on cualquiera de una curvaC desde (0,0) hasta (1,2).
(a) Demuestre que R
Cydx+xdy= 2.
(b) Demuestre que RCydx+xdy depende s´olo de los puntos extremos de cualquier curva C.
11. SeaT el tri´angulo de v´ertices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), orientado en el orden inducido por estos puntos. Calcule:
I
T
zdx+xdy+ydz.
3.- El Teorema de Green 1. Encuentre el valor de la integral
Z
C
cos{∠(1,n)}ˆ ds
si ∠(−→a ,−→b) es el ´angulo entre −→a y −→b, C es la cardioide ρ = 1−cosθ dada en coor-denadas polares, 1es un vector unitario que define una direcci´on fija y ˆn es la normal unitaria exterior aC.
2. Considere el campo vectorial
F(x, y) = −yˆı+xˆ x2+y2 .
(a) Calcule ∇ ×F.
(b) Eval´ue H
F · dr a lo largo de cualquier curva cerrada simple (curva de Jordan). Explique sus resultados.
3. Considere el campo de fuerzas
F(x, y) = −yˆı+ (x−1/2)ˆ (x−1/2)2+y2
4. Calcule la integral curvil´ınea
Z
C
(ϕ(y)ex−my)dx+ (ϕ0(y)ex−m)dy,
donde ϕ(y) y ϕ0(y) son funciones continuas y C es un camino arbitrario que une los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), el cual, junto con el segmento recto P Q encierra una
regi´on R de ´area A.
5. Determine dos funciones con diferenciales continuasP(x, y) yQ(x, y), de tal modo que la integral curvil´ınea
I =
I
C
P(x+a, y+b)dx+Q(x+a, y+b)dy
para cualquier camino cerrado C no dependa de las constantes ayb.
6. ¿Qu´e condici´on debe satisfacer una funci´on diferenciable f(x, y) para que la integral
curvil´ınea Z
C
f(x, y)(ydx+xdy)
no dependa del camino de integraci´on?
7. Calcule las ´areas de las figuras limitadas por las siguientes curvas, mediante integrales curvil´ıneas
(a) La astroide x=acos3t,y =asin3t, 0< t <2π.
(b) El lazo del folium de Descartes x3+y3 = 3axy, (a > 0). Indicaci´on: Hacer y =tx.
(c) La lemniscata (x2+y2)2 =a2(x2−y2).Indicaci´on: Hacer y=xtanα.
8. Sea el campo vectorialF = (20x2−4xy3)ˆı−6x2y2ˆy sea Γ una curva suave en
R2.
(a) ¿Qu´e puede decir, conceptualmente hablando, acerca de la integral R
ΓF·dr?
(b) Evalue la integralI =RΓF·dr, donde Γ es la parte de la curva x4−6xy2 = 4y2, comprendida entre los puntos (0,0) y (2,1).
9. Encuentre el valor deHCF ·n dsˆ donde
F = 2(x−4) ˆı+yˆ (x−4)2+y2 +
xˆı+ (y−4) ˆ x2+ (y−4)2
4.- Integrales de Superficie 1. CalculeRR
S dσ, dondeS es:
(a) la superficie x =ucosv, y = usinv, z = −u+acosv (u ≥ 0), acotada por los planosx= 0 yz= 0 (a >0).
(b) el torox= (b+acosu) cosv, y= (b+acosu) sinv, z =asinv, donde 0< u <2π, 0< v <2π.
2. Eval´ue RRS−→F ·n dσˆ , donde F = zˆı +xˆ+ 3y2zˆk y S es la superficie del cilindro x2+y2 = 16, incluida en el primer octante entre z= 0 yz= 5.
3. SiF =yˆı+ (x−2xz)ˆ−xykˆ, eval´ueRRS(∇ ×−→F)·n dσˆ , dondeS es la superfice esf´erica x2+y2+z2 =a2 sobre el plano xy.
4. Calcule RRSz2dσ, donde S es la parte de la superficie del cono dado en coordenadas esf´ericas 0≤r≤a, 0≤θ≤2π,ϕ=cte.
5. Encuentre el ´area de la parte de la superficie esf´erica x2 +y2 +z2 = R2 cortada por el cilindro x2+y2 = Rx. Halle el plano tangente a dicha superficie en el punto (R/2,0,√3R/2).
6. Calcule el flujoRR
S
− →
F ·n dσˆ del campo−→F = (x, y, z) a trav´es del tri´angulo con v´ertices A = (a,0,0), B = (0, b,0), C = (0,0, c) con respecto a un vector normal dirigido al semiespacio que contiene al origen. Considere a,b,c >0.
7. Hallar la masa de la c´apsula parab´olicaz= 12(x2+y2), 0≤z≤1, cuya densidad var´ıa seg´un la ley %(x, y, z) =z.
8. Halle el momento de inercia de una distribuci´on homog´enea de masa sobre la superficie de una bola de radio ay masaM, alrededor de su di´ametro.
9. Encuentre la masa de un cascar´on esf´ericox2+y2+z2 =R2donde la densidadδ(x, y, z) viene dada por
δ(x, y, z) =
(
z2, z≥px2+y2;
0, z <px2+y2.
5.- Teorema de la Divergencia de Gauss
1. Encuentre el flujo del campo de vectoresF(x, y, z) = zˆı+yˆı+xkˆ que cruza la esfera unitaria x2+y2+z2= 1.
2. Sea S la esfera unitaria centrada en el origen, B la bola encerrada por S. Sea F~ un campo vectorial en R3 tal que el producto escalar entre F~ y cualquier punto (x, y, z) cumple F~ ·(x, y, z)≡0 enS. Demuestre o refute:
Z Z Z
B
3. Demuestre que el volumen del cuerpo limitado por una superficie cerradaS es igual a
V = 1 3
Z Z
S
(xcosα+ycosβ+zcosγ)dσ,
donde cosα,cosβ y cosγ son los cosenos directores de la normal exterior a la superficie S.
4. Eval´ueRR
S
− →
F ·n dσˆ , dondeF = 4xzˆı−y2ˆ+yzˆkyS es la superficie del cubo acotado por x= 0,x= 1, y= 0,y= 1, z= 0,z= 1.
5. CalculeRR
Sr·n dσˆ , donder= (x, y, z) y S es una superficie cerrada.
6. El flujo del fluido dado por su campo de velocidades V = xˆi+y2ˆk pasa por la parte del cono x2+y2 = (z−1)2, z ∈ [0,1]. Encuentre el flujo neto del fluido a trav´es de esta superficie en la direcci´on de la normal exterior.
7. Encuentre el flujo del vector V =yzˆı+xzˆ+xykˆ a trav´es de la superficie lateral del cilindro x2+y2≤a2 (0≤z≤h).
6.- Teorema de Stokes
1. Sea el campo de vectoresF(x, y, z) =xzˆı+ 2xyˆ+ 3xykˆ, y γ la frontera de la porci´on del plano 3x+y+z= 3 contenida en el primer octante. Considere una orientaci´on de γ y usando el Teorema de Stokes, calcule
I
γ
F·dr.
2. Calcule la integral
Z
C
(x2−yz)dx+ (y2−xz)dy+ (z2−xy)dz,
tomada sobre el arco de la h´elice circular x = acost, y = asint, z = 2πht desde el punto A(a,0,0) hasta el punto B(a,0, h). Indicaci´on: Complete la curva C con un segmento rectil´ıneo.
3. Sea B un campo vectorial diferenciable definido sobre una vecindad de la superficie orientable S cuya frontera∂S es una curva simple cerrada. Demuestre que:
I
∂S
B×dr=−
Z Z
S
(n× ∇)×Bdσ
4. Considere el campo vectorial enR3:
F(x, y, z) = (x2+y)ˆı+ 3xyˆ+ (2xz+z2)ˆk
definido en una regi´on simplemente conexa que contiene a S que es la superficie del paraboloide z= 4−x2−y2 encima del planoxy. CalculeRR
S(∇ ×F)·n dσb , donde bn
tiene la componente zpositiva.
5. Eval´ueRRS(∇×F)·bn dσ, dondeF = (x2+y−4)ˆı+3xyˆ+(2xz+z2)ˆk, ySes la superficie de: (a) el hemisferio norte de x2+y2+z2 = 16; (b) el paraboloide z = 4−(x2−y2) sobre el plano xy.
6. SeaF =yˆı−z2 2ˆ−
x2
2 ˆkel campo de velocidades de un fluido. Determine la circulaci´on
a lo largo de la curvaCubicada en el primer octante, obtenida al intersectar el cilindro x2+y2 =a2 con los planosz=b,z= 0, x= 0,y= 0.
7. Sea F(x, y, z) un campo vectorial irrotacional definido en todo el espacio a excepci´on del eje z. Sea C1 la circunferencia x2+y2 = 1,z= 0, con orientaci´on antihoraria; sea
C2la circunferenciax2+y2= 4,z= 1, con orientaci´on horaria; seaC3 la circunferencia
(x−2)2 +y2 = 1, z = 0, con orientaci´on antihoraria; sea C
4 la circunferencia (x−
1)2+y2= 9, z= 0, con orientaci´on horaria. Suponga queHC1F·dr= 5. Calcule:
(a) H
C2F·dr.
(b) H
C3F·dr.
(c) H
