GUÍA DE PROBLEMAS Centro de masa 1)- Encontrar las coordenadas del centro de masa del sistema de partículas mostrado en la figura

(1)

Cátedra: Física I

Unidad 5a:

Teoremas de conservación (primera parte)

GUÍA DE PROBLEMAS Centro de masa

1)- Encontrar las coordenadas del centro de masa del sistema de partículas mostrado en la figura

Resp.:

(

0 .

37 m

,

0 .

64 m

)

y

3 .2 2 .3 1 .1 5 .2 3 . _0.273

3 2 1 5 11

3 .3 5 .2 2 .2 1 .3 12 . _1.09

3 2 1 5 11

0.2

i i i i i i

i i i

CM CM CM

i i i

CM

m r m x m y

r x y

m m m

kg m kg m kg m kg m kg m

x m

kg kg kg kg kg

kg m kg m kg m kg m kg m

y m

kg kg kg kg kg

r

= ⇒ = =

− − − + −

= = = −

+ + +

+ − −

= = =

+ + +

= −

∑

 



₍

_{73 ; 1.09}_m _m

₎

2) Sea un sistema formado por dos partículas, cuyas masas, posiciones y velocidades respecto a un sistema de referencia en reposo, en el instante

t

=

0

son:

)

/

0 ,

/

3 (

)

/

0 ,

/

2 (

)

2 ,

3 (

)

3 ,

2 (

2

1

2 1

s

m

s

m

v

s

m

s

m

v

m

r

m

r

kg

m

kg

m

=

→ →

a) Determine la posición del centro de masa a

t

=

0 s

b) La velocidad del centro de masa a

t

=

0 s

c) La posición del centro de masa a

t

=

10 s

(2)

( )

(

)

(

) (

)

( )

(

)

(

) (

)

( )

1 1 1

)

1 . 2 ; 3 2 . 3 ;2 8 ; 7

0 2.7 ; 2.33

3 3

)

1 . 2 ;0 2 . 3 ;0 8 . ;0 .

0 2.7 ;0

3 3

)

10 0

i

i i i i i

i CM i i

CM CM

i i i

CM

dr

m r m m v

dr dt

r v

m dt m m

a

kg m m kg m m kgm kgm

r s m m

kg kg

b

kg m s m s kg m s m s kg m s kg m s

v s m s m s

kg kg

c

r s r s v

= ⇒ = = =

+

= = =

+

= = =

= +

∑



 _ 

 



  

₍

_{) (}

₎

₍

₎

( )

(

) (

)

(

)

( )

(

)

(

) (

)

2 2 2

.10 2 ; 3 2 ;0 .10 22 ; 3

10 0 .10 3 ;2 3 ;0 .10 33 ; 2

1 . 22 ; 3 2 . 33 ; 2 88 ; 7

10 29.33 ; 2.33

3 3

CM

s m m m s m s s m m

r s r s v s m m m s m s s m m

kg m m kg m m kgm kgm

r s m m

kg kg

= + =

= + = + =

+

= = =

  



3) En ausencia de fuerzas exteriores sobre un sistema de partículas que interactúan entre si, es muy común utilizar como origen de un sistema de referencia al Centro de Masa. ¿Por qué el Sistema Centro de Masa es un sistema inercial?

Sea un sistema de partículas en las cuales actúan fuerzas externas e internas: ext _,in

i i i j

j

F F =  +

∑

F

Del problema anterior:

donde y

i i i

CM T CM i T i i i i

i i

m v

v M v p M m p m v

m

=

∑

⇒ =

∑

=

∑

=

∑



    

Derivando con respecto a t

, ,

ext in

T CM i T CM i i j

i i i j

M a =

∑

F ⇒ M a =

∑

F +

∑

F

Como Fi j,in= −Fj iin,

 

se obtiene:

ext

T CM i

i

M a =

∑

F

La aceleración del centro de masa solo depende de las fuerzas exteriores, si estas últimas son nulas el centro de masa se moverá con un movimiento rectilíneo uniforme y por lo tanto será un sistema inercial.

Impulso lineal

4) Una masa cae libremente ¿Cuál es su impulso lineal después de haber caído una distancia h?

Resp. = p m= 2. .g h

2 2

1 1 2

2 2

2

h h h

y gt h gt t

g h

(3)

5) Una pelota de masa m cae sobre el piso y rebota en forma vertical. Justo antes de golpear el piso su velocidad es v0 y precisamente después del golpear el piso, su velocidad es vf. ¿Cuál fue el cambio de

momento de la pelota debido a la colisión con el piso?

Resp.

∆

P

=

m

(

v

_f

+

v

₀

)

(

0

) (

0

)

f i f f

J = ∆ =p p  −p m v =  −v =m v +v

6) En una práctica de tiro al blanco, una mujer dispara una bala de 3 g con una velocidad horizontal de 250 m/s a una sandía de 5 kg que se halla en reposo en la parte superior de un poste. La bala se aloja en la sandía. ¿Cuál es la velocidad con que la sandía se despega del poste?

Resp. = 0,15 m/s

si van juntas:

0,15

i f

b bi b bf s sf

bf sf f

b bi b f s f

b bi f

b s

p p

m v m v m v

v v v

m v m v m v

m v _m

v _s

m m

=

= +

= =

= +

= =

+

7)- Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s. ¿Qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 milésimas de segundo?

Resp.: F = 3000 N

(

)

3000

i f

m v v P

F N

t t

+ ∆

= = =

∆ ∆

8) Como se muestra en la figura una bala de 20 g y velocidad 50 m/s le pega a un bloque de 7 kg que se halla en reposo sobre una mesa. La bala se clava en el bloque después de la colisión. Encuéntrese a) La velocidad del bloque después de la colisión

V

Resp. V = 0,14 m/s )

si van juntas:

0,142

i f

b bi b bf B Bf

bf Bf f

b bi b f B f

b bi f

b B

a p p

m v m v m v

v v v

m v m v m v

m v _m

v _s

m m

=

= +

= =

= +

= =

+

(4)

9) Una partícula de masa m que viaja con una velocidad v0 a lo largo del eje x dispara repentinamente

un tercio de su masa con rapidez 2v0 paralela al eje y. Exprésese la velocidad de la partícula residual

en la notación i, j, k. (utilice lo analizado en el problema 16)

0

0 0

0

1 _; 2 _; ₂

3 3

Conservacion de p En x

En y 0 En z

0 0

3

2 3 _ˆ _{ˆ 0}_ˆ

2

a r ay

r rx

a ay r ry

r rz rz

rx r

r a

ry ay

r

m m m m v v

mv m v

m v m v

m v v m

v v v

m

v v i v j k m

v v v

m

= = =

=

= +

= ⇒ =



= =

_⇒ ₌ ₋ ₊

 

= − = −

 

10)- Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 segundos. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?

Resp.: vf = 10 m/s

( )

4 ₄

2 0

0 0

4 4 . 50 12.5

12.5

6.25 100 .

100 . ₁₀ 10

f

v _s

s f

f

F t at b

F b

N

F s a N a _s

N

F t _st

dp _N

F dp Fdt mdv Fdt m dv Fdt mv _st N s

dt

N s _m

v _s

kg

= +

= =

= = ⇒ =

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒

= =

∫

11) Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad

inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de

masa m2 = 5 kg cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s. Éste último cuerpo tiene adosado un resorte en

(5)

Resp.:

v

_f

=

5 m

/

s

(

)

1 1

2 2

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

2 , 10

5 , 3

1120

Conservacion de p

5

i

f f f

i i

i i f f

m

m kg v _s

m

m kg v _s

N

k _m

v v v

m v m v _m

m v m v m m v v _s

m m

= =

=

= =

+

+ = + ⇒ = =

+

12)- ¿Es cierto que la aceleración de una pelota de béisbol, luego de haber sido golpeada por el bate, no depende de la fuerza con que fue golpeada?

Luego de ser golpeada por el bate la fuerza es cero así que la única aceleración que actuara sobre la pelota será la de la gravedad.

Masas variables

13)- Una ametralladora está fija a una plataforma que rueda sin fricción sobre unos rieles. La

plataforma se mueve con una velocidad v con respecto al suelo y la ametralladora dispara en sentido contrario. Las balas se mueven con una velocidad urespecto de la plataforma, o sea con una velocidad

u

v+ respecto al suelo. La ametralladora dispara n balas, cada una de masa m por segundo. ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre el sistema?

(6)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

sea la masa total del sistema, que incluye la plataforma la amaetralladora y las balas

b b

b

p t dt p t dp

F

dt dt

M p t Mv

p t dt nm u v dt M nm dt v nm u v dt M nm dt v Mv

F nm u

dt

+ −

= =

=

+ = + + −

+ + − −

= =

como dispara n balas por segundo:

b

p

F nm u

t

∆

= =

∆

14) En un motor a retropropulsión la fuerza de empuje está dada por →f =−µv→_e(de las notas de clase, fórmula (4.21), Sección 4.2); donde v→ees la velocidad relativa (respecto al motor) de salida de los gases

y µ dm/dt (caudal de chorro de gas).

Mostrar que en realidad la (4.21) es una aproximación a primer orden.

Está dada en las notas de clases págs. 14 y 15

15) Un cohete está en el espacio exterior, lejos de cualquier planeta, cuando enciende su motor. En el primer segundo de encendido, el cohete expulsa 1/120 de su masa por segundo, con una velocidad relativa al cohete de 2400m/seg.¿Cuál es su aceleración?

Resp.

19 .

5 m

/

seg

2

De acuerdo a la (4.27) de las notas de clases

v

R

dt

dm

M

dt

V

d

a

→

→ →

−

=

1

1 3 1

2

1 1 _{8.13 10} _{2400 /}

120

19.512

R

dm _s _s _{y v} _{m s}

M dt

m

a _s

→

− − −

→

= = × =

=

16) Un cohete tiene una masa de 14600 kg, correspondiendo 12000 kg a su combustible, mientras espera su despegue desde la rampa de lanzamiento. Se dispara verticalmente hacia arriba y en la combustión los gases son expulsados a razón de 145 kg/s a una velocidad relativa al cohete de 950 m/s. Suponemos que tanto el caudal de los gases expelidos, como su velocidad relativa se mantienen constantes durante todo el vuelo.

a) ¿Cuál es el empuje del cohete?

(7)

e) ¿Cuál será la expresión de la aceleración de nuestro cohete en función del tiempo? (Suponemos

g

=

9 .

8 m

/

s

2

=

cte

.

)

a) De acuerdo a la (4.28) de las notas de clases

f

_empuje

v

R

→ →

=

µ

=(950 m/s)(145 kg/s)=

₁

_.

₃₈

_×

₁₀

5

N

b) Si el caudal se mantiene constante, tendremos que la masa de combustible disminuirá de acuerdo a:

m

t

kg

t

kg

s

t

inicial masa

c

(

)

=

12000

_

_

_

_

−

µ

=

12000

−

(

145 /

)

El combustible se agotará totalmente

m

_c

(

t

₁

)

=

0

, cuando:

s

kg

t

m

t

c

/

145 12000

)

0 (

1

=

µ

=82.7 s

c) Para que el cohete pueda despegar es necesario que la fuerza inicial de empuje →

f

_e, sea mayor que el peso

inicial del cohete. Es decir,

µ

→

v

R

>

M

₀→

g

(1).

En nuestro caso tenemos que →

f

_e

=

.

1 .

38 ×

10

5

N

Por su parte

M

₀→

g

=

(

14600

kg

)

(

9 .

8 m

/

s

2

)

=

1 .

43 ×

10

5

N

. Es decir que el cohete no podrá despegar exactamente en el momento de la ignición, pues no se cumple la condición (1), pero esta condición puede ser alcanzada en un tiempo posterior, cuando la masa del cohete haya disminuido convenientemente por la quema de combustible. Es decir cuando para un cierto instante posterior

t

=

t

*

, se verifique

→ →

−

=

M

t

g

v

R

(

₀

µ

*

)

µ

.

Calculamos

s

m

s

m

s

kg

g

v

M

t

R

₎

₄

/

8 .

9 /

950 /

145 14600

*

₌

0

₋

₌

₋

₂

_≈

µ

El cohete volará en realidad un tiempo

t

₁

−

t

*

, durante unos 4 s quemará combustible en la rampa hasta que la aceleración suministrada por el empuje del motor iguale a la gravedad.

d) Para que el cohete despegará en el momento de la ignición, debería cumplirse que

t

*

=

0

. Es decir

kg

s

m

N

g

v

M

g

v

M

_R _R

₁₄₀₈₂

/

8 .

9

10

38 .

1

0

* 5

0 *

0

₋

_⇒

₌

×

₌

=

µ

donde

M

₀*

=

14082

kg

es la masa máxima de cohete más combustible, necesaria para despegar en el

(8)

daría una aceleración instantánea →

a

=

−

→

g

. Para cualquier masa inicial del cohete,

M

₀

<

M

₀*(por ejemplo cargando menos combustible en el cohete), la ignición le proveería de una aceleración instantánea mayor que la gravedad

e) Utilizando la (4.30) tenemos que

M

f

v

dt

dM

M

a

ext

R

→ → →

+

=

1

, donde →

→

−

=

g

M

f

_ext

y M(t)=M₀ −µt. Es

decir →

→ →

−

=

g

t

M

v

a

R

µ

0

que es la (4.31). reemplazando por los valores que da el problema

g

t

s

kg

N

t

a

−

×

=

→

)

/

145 (

14600

10

38 .

1 )

(

5

Note que la expresión anterior será positiva solo para

t

*

<

t

≤

t

₁. Para

t

>

t

₁la aceleración es nula (no hay más combustible).

17) Sea el caso de un carrito lleno de agua, que se mueve con velocidad constante →v y que va perdiendo parte del agua por un orificio en su fondo con velocidad constante µ =−dm/dt.

Compruebe que el carrito seguirá moviéndose con velocidad constante, pese a la pérdida de agua.

Ver notas de clase págs. 23 y 24

Leyes de Kepler 18) Probar que:

Cuanto más lejos de la Tierra está un satélite, tanto más lentamente se desplaza en el espacio y tanto más largo es su período de revolución.

2

Suponemos orbita circular y despreciamos todas las atracciones gravitaciones que no sean de la teirra:

cuanto más grande sea r más lenta su velocidad La velocidad se relaciona con

T S S S T

S

GM m m v _v GM

r = r ⇒ = r ⇒

2

2 3

el periodo como:

2 4 _{cuanto más grande sea r más grande el periodo}

S

T

r

v T r

T GM

π π

= ⇒ = ⇒

(9)

(

)

6370 2

2 _{5414,58 s 90,24min}

S S

R Km

h R r

T

v v

π π

=

+

= = = =

20) Para un satélite en órbita circular a 6.6 radios terrestres (R=6370 Km.) Calcular su velocidad orbital y su período.

Rta: v0 =3.1Km/seg y τ =24 horas (satélite sincrónico).

2 11

2

24

6,67x10

5,98x10

3080,15 3,08 2 _{85761,30s 23,82horas}

T

T S

S

Nm G

kg

M kg

GM _m _km

v _s _s

r r T

v π

− =

=

= = =

21) Idem que en el caso anterior pero para la Luna que orbita a 60 radios terrestres aproximadamente (suponemos una órbita circular).

Rta: v0 =1Km/seg y τ_Lunar =27.3días

2 11

2

24

6,67x10

5,98x10

1021,57 1,02 2 _{2350728,73s 27,2días}

T

T S

S

Nm G

kg

M kg

GM _m _km

v _s _s

r r T

v π

− =

=

= = =

22) ¿En qué punto de la órbita elíptica tiene mayor rapidez un planeta?

(10)

23) El asteroide Pallas tiene un período orbital de 4.62 años y una excentricidad orbital de 0.233. Calcule el eje mayor de su órbita

( 6.67 10 11_N_m2/_Kg2 _y _M 1.99 1030 _Kg.

Sol = ×

×

= −

γ )

Rta: ₄_.₁₅_×₁₀11m

2 2

2 3 ₃ 11

2

365 24 3600

4.62 145696320

1 1 1

de la tercera ley

4 _4.148x10

4 S

S

dias hr s

T años s

año dia hr

T GM

T a a m

GM π

π

= =