Ing. Miroslava Reyes Prada Página 1 2. MATRICES
DEFINICION: una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda
columna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.
Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y
el segundo j la columna.
Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.
Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.
Ma t r iz f i la
U n a ma t r iz f ila e s t á co n st i t u id a p o r u n a s o l a f i l a . IGUALDAD DE MATRICES
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 2 Ma t r iz c o lu mn a
L a ma t r iz c o lu mn a t i e n e u n a so l a co l u mn a
Ma t r iz r e c t a n g u la r
L a ma t r iz r e c t a n g u la r t i e n e d i s t i n to n ú m e r o d e f i l a s q u e d e c o l u m n a s , s i e n d o s u d ime n s ió n mx n.
Ma t r iz c u a d r a d a
L a ma t r iz c u a d r a da t i e n e e l m i s m o n ú m e r o d e f i la s q u e d e c o l u m n a s .
L o s e l e me n to s d e l a f o r m a ai i c o n s t i tu ye n l a d ia g o na l p r in c ip a l.
L a d ia g o na l s e c u n d a r ia la f o r m a n l o s e l e m e n to s co n i+ j = n+ 1.
Ma t r iz n u la
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 3 Ma t r iz t r ia n g u la r s u p e r io r
E n u n a ma t r iz t r ia n g u la r s u p e r io r l o s e le m e n t o s s i tu a d o s p o r d e b a j o d e l a d i a g o n a l p r i n c ip a l so n c e r o s .
Ma t r iz t r ia n g u la r in f e r io r
E n u n a ma t r iz t r ia n g u la r in f e r io r l o s e l e m e n t o s s i t u a d o s p o r e n c i m a d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l so n c e r o s .
Ma t r iz d ia g o n a l
E n u n a ma t r iz d ia g o n a l t o d o s l o s e le m e n to s s i t u a d o s p o r e n c i m a y p o r d e b a j o d e l a d i a g o n a l p r i n c ip a l so n n u l o s.
Ma t r iz e s c a la r
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 4 Ma t r iz id e n t id a d o u n id a d
U n a ma t r iz id e n t id a d e s u n a m a t r i z d i a g o n a l e n l a q u e l o s e l e m e n t o s d e l a d ia g o n a l p r i n c ip a l so n ig u a l e s a 1 .
Ma t r iz t r a s p u e s t a
D a d a u n a m a t r i z A , se l l a ma ma t r iz t r a s p u e s t a d e A a la m a t r i z q u e s e o b t i e n e ca m b i a n d o o rd e n a d a m e n t e la s f i l a s p o r la s
c o l u m n a s
P r o p ie d a d e s
( At)t = A
( A + B )t = At + Bt
(α · A)t = α· At
( A · B )t = Bt · At
Ma t r iz r e g u la r
U n a ma t r iz r e g u la r e s u n a m a t r i z c u a d ra d a q u e t i e n e i n v e r sa .
Ma t r iz s in g u la r
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 5 Ma t r iz s i mé t r ic a
U n a ma t r iz s imé t r ic a e s u n a ma t r i z c u a d r a d a q u e v e r if i ca :
A = At.
Ma t r iz a n t is i mé t r ic a o h e mis i mé t r ic a
U n a ma t r iz a n t i s i mé t r ic a o h e mi s i mé t r ic a e s u n a m a t r i z c u a d r a d a q u e v e r if i ca :
A = - At.
Ma t r iz o r t o g o n a l
U n a ma t r i z e s o r to g o n a l s i ve r i f i ca q u e :
A· At = I.
C o m o s e d i jo a n t e r i o r m e n te l a s m a t r ic e s s e d e n o ta n p o r l e t r a s
m a y ú s cu l a s y e l cu e rp o p o r le t r a s m i n ú sc u l a s .
A =
O p e ra c io n e s c o n ma t r ic e s
Suma o resta de matrices
Sea Ay B dos matrices
A =
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 6 A+B=
Nota: la suma de matrices con tamaños diferentes no está definida.
Ejemplo:
A= 1 2 4
-3 2 0 2*3
B= -2 0 4
1 3 -2 2*3
Encuentre A+B, B+A
A+B=
-1 2 8
-2 5 -2
Ley conmutativa
B+A=
-1 2 8
-2 5 -2
Halle A-B
A+(-B)=
3 2 0
-4 -1 2
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 7 Propiedades
Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz. Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A Distributividad:
o De escalar: c(A+B) = cA+cB o De matriz: (c+d)A = cA+dA
Ejemplo
A=
2 3 4
-1 0 1 2*3
K= -2
K*A=
-4 -6 -8
2 0 -2
Ejercicios:
Dadas la matrices
A=
4 3 2
1 2 0 2*3
B=
2 5 -1
0 4 -3 2*3
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 8 En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz. Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:
Donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:
A B C
1 2 3 4 1 5 10 30 70 120
5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304
9 10 11 12 3 7 12 110 278 488
4 8 13
Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones:
C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5
A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6
A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7
A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8
Suma: 174
Se multiplican dos matrices si las columnas de la primerason iguales a las filas de la segunda.
A*B=
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 9 a11*b11 +a12*b21 a11*b12 + a12*b22
A*B a21*b11 +a22*b21 a21*b12 + a22*b22 a31*b11 +a32*b21 a31*b12 + a32*b22 Ejemplo:
2 -3 4 5
A= 4 -2 B= -6 3 2*2
-1 0 3*2
Ejercicio:
Halle A*B
A= 1 2 B= 1 1
3 4 2*2 0 2 2*2
División de matrices
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
Ejemplo:
Resolver
a11 a12 b11 b12
a21 a22 B= b21 b22
Ing. Miroslava Reyes Prada Página 10 Acrosonic durante mayo y junio está dada por las matrices A y B, respectivamente, donde:
Modelo Modelo Modelo Modelo
A B C D
Fabrica I 320 280 460 280
A= Fabrica II 480 360 580 0
Fabrica III 540 420 200 880
Modelo Modelo Modelo Modelo
A B C D
Fábrica I 210 180 330 180
B= Fabrica II 400 300 450 40
Fabrica III 420 280 180 740
Calcule las siguientes matrices. (A+B)(D-C)
2. Halle la matriz C= A*B, donde A= y B= Modelo A 12
C= Modelo B 180
Modelos C 260 Modelo D 500
Modelo A 160
D= Modelo B 250
