Espacio probabil´ıstico
Rafael Matas S´anchez
16 de Junio de 2011
´Indice
1. Definici´on 2
2. Definici´on axiom´atica 3
3. Propiedades del c´alculo de probabilidades 4
4. Espacio probabil´ıstico 6
El concepto de probabilidad se remonta al siglo XVII debido a la co-rrespondencia entre Pascal y Fermat sobre varios temas planteados por el jugador Caballero de M´er´e, el famoso de aquellos problemas de M´er´e dec´ıa:
“¿Cu´al es la probabilidad de sacar al menos un seis doble al lanzarnveces dos veces y cu´antas veces hay que tirar los dos dados para que la probabilidad sea 1/2? ”
La respuesta a este y otros problemas planteados por el citado jugador dada por los dos matem´aticos franceses se considera el origen de la teor´ıa de la probabilidad.
No obstante, con anterioridad, otro jugador italiano expres´o su sorpresa que, al jugar con tres dados la suma 10 apareciera m´as veces que la suma 9 cuando ambas sumas, seg´un ´el, ten´ıa los mismos casos favorables, a saber:
Casos favorables del 9 : 126 135 144 225 234 333 Casos favorables del 10 : 136 145 226 235 244 334
Galileo dio su respuesta en su obra“Consideraciones sobre el juego de los dados ”pero se omiti´o ese capitulo en su primera edici´on. Posteriormente, se public´o este capitulo en una edici´on m´as completa.
Laplace, alrededor del siglo XIX, en su libro“Teor´ıa anal´ıtica de las pro-babilidades ” incorpor´o a su obra el trabajo de todos sus predecesores.
1.
Definici´
on
Por tanto, nos toca dar las definiciones que surgen por preguntas natura-les de los experimentos.
Definici´on: Llamaremos frecuencia absoluta de un suceso a las veces,
k = f(A), que se presenta el suceso en un n´umero de pruebas, n.
De esta definici´on sale una de las propiedades, aunque evidente, funda-mental: No puede haber m´as presencia del suceso que pruebas realizadas, esto es:
Definici´on: Llamaremos frecuencia relativa de un suceso A al cociente de las veces que se presenta el suceso A entre el n´umero de pruebas que se realiza el experimento.
fr(A) =
f(A)
n
Definiciones hist´oricas:Laplace defini´o el concepto de probabilidad de la forma siguiente:
“ La probabilidad de un suceso es el cociente entre el n´umero de caso favorables y el n´umero de casos posibles ”
P(A) = numeros de casos f avorables´
numeros de casos posibles´
A principios del siglo XX el matem´atico Richard Von Misses formul´o el concepto de probabilidad como l´ımite de frecuencias relativas dando lugar a la ley del azar:
P(A) = l´ım
n→∞
f(A)
n
donde f(A) es el n´umero de veces que se presenta el suceso A.
Esta definici´on tuvo serias objeciones por parte de Cramer y Wald pro mezclar conceptos te´oricos con emp´ıricos y que generaban dificultades de ti-po matem´atico.
A Kolmogoroff se debe la primera axiomatizaci´on del concepto de proba-bilidad, que es aceptada por todo el mundo en este momento.
No obstante, esta axiom´atica ha sido generalizada por el matem´atico franc´es A. Renyi que bas´andose en el concepto de probabilidad condicionada construye el concepto de probabilidad quedando la axiom´atica de Kolmogo-roff en un simple ejemplo.
2.
Definici´
on axiom´
atica
siguientes axiomas:
Axioma 1: Para todo sucesoA de S se verifica que 0 ≤ P(A)
Axioma 2: Si A y B son dos sucesos incompatibles entonces
P(A∪B) = P(A) +P(B) Axioma 3:P(Ω) = 1.
3.
Propiedades del c´
alculo de probabilidades
De estos tres axiomas se obtienen varias consecuencias que se utilizan habitualmente en el c´alculo de probabilidades.
Probabilidad del suceso contrario:
P(Ac) = 1−P(A)
En efecto, tenderemos queAyAcson sucesos incompatibles y cuya uni´on
es el suceso seguro por tanto tendremos que
1 = P(Ω) = P(A∪B) = P(A) +P(Ac) despejando queda la f´ormula.
Probabilidad del suceso imposible
P(∅) = 0
El suceso imposible es incompatible con cualquier suceso, en particular con el suceso seguro, aplicando lo anterior
y despejando queda demostrado.
Probabilidad de la uni´on de sucesos
P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B)
Demostraci´on: Los sucesoA−B,B−AyA∩B son sucesos incompatibles dos a dos y su uni´on da A∪B. Quedando
P(A∪B) = P(A−B) +P(B−A) +P(A∩B) Por otra parte
A = (A−B)∪(A∩B) y B = (B −A)∪(A∩B)
P(A) = P(A−B) +P(A∩B) y P(B) = P(B−A) +P(A∩B) despejandoP(A−B) yP(B−A) y sustituyendo en la anterior obtenemos la f´ormula de la uni´on de dos sucesos.
Ahora podemos definir con probabilidad cuando dos sucesos son incom-patibles.
Definici´on: Decimos que dos sucesosA y B son dos sucesos incompati-bles si
P(A∩B) = 0
Propiedades de Boole: La probabilidad de la uni´on de dos sucesos es inferior o igual a la suma de las probabilidades de los dos sucesos. Igual sucede con la intersecci´on
0 ≤ P((A∪B), P(A∩B) ≤ P(A∪B) +P(A∩B) = P(A) +P(B) Implicaci´on de sucesos: Si un suceso implica otro entonces la proba-bilidad del primero es inferior o igual al segundo:
Si A implica B existe otro suceso C que cumple las condiciones de ser incompatible con A y cuya uni´on esB. A saber, B−A. Por tanto:
P(B) = P(A∪(B−A)) = P(A) +P(B−A)≥P(A)
Propiedad fundamental de la probabilidad: Ning´un suceso tiene m´as probabilidad que el suceso seguro.
Siempre tendremos que A implica Ω y como consecuencia de lo anterior tendremos que
P(A) ≤ P(Ω) = 1
asi, con el primer axioma, llegamos a la conclusi´on de que
0 ≤ P(A) ≤ 1
Regla de Laplace: Consideremos un sistema completo de sucesos ele-mentales, A1, A2, · · ·, An, de un experimento con probabilidad
equiproba-ble, sucesos con la misma probabilidad. Tendremos que el sucesoAes la uni´on de varios sucesos elementales, que, sin perder generalidad, consideremos que son los k primeros. Como
Ω = A1∪A2∪ · · · ∪An
P(Ω) = P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An)
con lo que
P(Ai) =
1
n
puesto que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad y como
P(A) = P(A1) +P(A2) +· · ·+P(Ak)
P(A) = k
n
4.
Espacio probabil´ıstico
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar una moneda trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es el doble de obtener cruz. Calcula las probabilidades de los sucesos elementales para que la funci´on sea una funci´on de probabilidad y exista espacio probabil´ıstico.
En efecto, el espacio muestral se compone de dos sucesos, cara y cruz que est´an relacionados con su probabilidad
P(C) = 2P(†) Como
Ω = C∪ † ⇒ 1 = P(C) +P(†) Sustituyendo
1 = 2P(†) +P(†) ⇒ P(†) = 1 3
5.
Ejercicios
1. Se tiene una moneda trucada de probabilidad 3/4. Se hacen 1000 tira-das. Calcula el n´umero de veces que probablemente sale cara.
2. Halla la probabilidad de sacar 2 caras y 4 cruces al lanzar seis monedas.
3. Halla la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) Extraer una bombilla defectuosa si de 500 bombillas examinadas se han encontrado seis defectuosas.
b) Extraer una figura de una baraja de 40 cartas.
c) La aparici´on de una tirada de dos dados de la suma de 8 a 11.
4. Halla la probabilidad de que la suma de las caras visibles de un dado sea m´ultiplo de 5.
5. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de
b) Sea amarilla
c) Sea verde
d) No sea roja
e) Sea roja o verde
f) No sea verde
6. ¿Cu´al es la probabilidad de al lanzar dos dados la suma valga 3, 4 o 5?
7. Halla la probabilidad de un suceso sabiendo que la suma del cuadrado de su probabilidad y la probabilidad de su suceso contrario es 5/9.
8. Se ha trucado una moneda de forma que la probabilidad de obtener cara es el triple de obtener cruz. ¿Cu´al es la probabilidad de los sucesos elementales?
9. Un dado se ha trucado de forma que la probabilidad de sacar un n´umero es proporcional a dicho n´umero. Calcula la probabilidad de todos los sucesos elementales.
10. Un italiano le expres´o a Galileo su sorpresa al lanzar tres dados que la suma de 9 saliera menos veces que 10.
11. A un congreso de cient´ıficos asisten 100 congresistas. Todos hablan alg´un idioma, franc´es o ingl´es, y de ellos 80 hablan ingl´es y 40 franc´es. Elegido dos congresistas al azar, calcula la probabilidad de que no se puedan entender sin int´erprete.
12. Los n´umeros del 1 al 100, se alinean al azar. Calcula la probabilidad de que 2 y 3 est´en seguidos y en ese orden.
13. Se lanzan dos monedas al azar. Calcula la probabilidad de obtener dos caras.
14. Halla la probabilidad de obtener “al menos un tres” al lanzar dos dados.
15. Sea A y B dos sucesos cualesquiera. Demuestra que
16. Se ha lanzado un dado. Si ha salido impar, calcula la probabilidad de que el n´umero sea primo.
17. Se ha comprobado que en una ciudad est´an enfermos de varicela el 60 %, de sarampi´on el 50 % y 20 % con ambas enfermedades. Calcula:
a) probabilidad de que elegido un ni˜no al azar, tenga alguna enfer-medad.
b) En un colegio de 450 ni˜nos ¿Cu´antos ni˜nos est´an sanos?
18. Dados dos sucesos, A y B, con probabilidades:
P(A) = 3
8, P(B) = 1
2, P(A∩B) = 1 4 Calcula las siguientes probabilidades:
a) P(A∪B) b) P(Ac) c) P(Ac∪Bc) d) P(Bc)
e) P(Ac∩Bc) f) P(A∩Bc) g) P(Ac∩B) h) P(A4B)
19. Halla la probabilidad de lanzar n veces un dado se obtenga al menos un seis doble. ¿Cu´antas veces hay lanzar los dos dados para que la probabilidad de obtener al menos un seis doble sea 1/2?
20. Dado el espacio muestral Ω = {a1, a2, a3, a4}. Se definen las siguientes funciones de Ω en <.
a) p(a1) = 1/2,p(a2) = 1/3, p(a3) = 1/4,p(a4) = 1/5.
b) p(a1) = 1/2,p(a2) = -1/2, p(a3) = 1/2,p(a4) = 1/5.
