Existencia global y explosión de la solución de un problema de difusión reacción

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSTGRADO SECCIÓN DE POSTGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. EXISTENCIA GLOBAL Y EXPLOSIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE DIFUSIÓN - REACCIÓN. TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA AUTOR:. Lic. JULIO JOSÉ AUGUSTO BECERRA SAUCEDO. ASESOR:. Dr. ULISES ZAVALETA CALDERÓN. Trujillo - Perú 2016.

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(3) UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSTGRADO SECCIÓN DE POSTGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. EXISTENCIA GLOBAL Y EXPLOSIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE DIFUSIÓN - REACCIÓN. TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA AUTOR:. Lic. JULIO JOSÉ AUGUSTO BECERRA SAUCEDO. ASESOR:. Dr. ULISES ZAVALETA CALDERÓN. Trujillo - Perú 2016. N◦ REG: .......

(4) DATOS PERSONALES DEL AUTOR APELLIDOS Y NOMBRES: JULIO JOSÉ AUGUSTO BECERRA SAUCEDO DIRECCIÓN:. JR. NICOLÁS DE PIÉROLA 770 INT 31. CHEPÉN. TELÉFONO FIJO:. (044) 668114. CELULAR:. 948982674. CORREO ELECTRÓNICO: [email protected].

(5) JURADO CALIFICADOR. DR. OBIDIO ELISBAN RUBIO MERCEDES PRESIDENTE. MS. NELSON OMAR ARAGONES SALAZAR SECRETARIO. DR. ULISES ZAVALETA CALDERÓN ASESOR.

(6) DEDICATORIA Dedicado a: mis padres, Julio y Cecilia, y a mis hermanos, Fernando y Leslie..

(7) AGRADECIMIENTO Le agradezco a Dios por haberme acompañado y guiado a lo largo de mis estudios, por su fortaleza en los momentos de debilidad y por brindarme una vida llena de aprendizajes, experiencias y sobre todo felicidad. Le doy gracias a mis padres, Julio y Cecilia, por su apoyo constante, por los valores que me inculcaron, y por haberme dado la oportunidad de tener una excelente educación en el transcurso de mi vida. Y sobre todo, por ser ejemplos de vida a seguir. A mis hermanos, por ser parte de mi vida y representar la unidad familiar. A Fernando por ser un ejemplo de constancia y trabajo. A Leslie por enseñarme a enfrentar la vida a pesar de las adversidades, por estar a mi lado y arrancarme siempre una sonrisa. A mi asesor, Prof. Ulises Zavaleta Calderón, por todo el apoyo brindado a lo largo de mi carrera, por su tiempo, dedicación y por los conocimientos transmitidos. A mis profesores de la maestría, por todas sus enseñazas, que hicieron de mi no sólo un mejor académico sino también mejor persona. Agradezco también al Bach. Manuel Argomedo Salirrosas, por sus sugerencias que permitieron resolver algunos inconvientes presentados en la programación en Matlab..

(8) Índice general. RESUMEN. 3. ABSTRACT. 4. INTRODUCCIÓN. 6. MARCO CONCEPTUAL TEÓRICO. 13. 1.1. Ecuación de Difusión - Reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.2. Condiciones de Frontera en una Ecuación en Derivadas Parciales. 14. 1.3. Soluciones Explosivas en Ecuaciones en Derivadas . . . . . . . .. 15. 1.4. Semigrupos de Operadores Lineales y Acotados . . . . . . . . . .. 16. 1.5. Teorema del Punto Fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.6. Algunas Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 1.6.1. Desigualdad de Gronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.6.2. Desigualdad de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.6.3. Desigualdad de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.7. Principio de Comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. MATERIAL Y MÉTODOS 2.1. Objeto de estudio. 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2.1. Espacios Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2.2. El Espacio de Banach (E, X, ||.||E ) . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.2.3. El Espacio de Banach C a,b (Ω × (0, T ); R). . . . . . . . . .. 27. 2.3. Métodos y Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28.

(9) 2 2.3.1. Método de semigrupos de operadores. Existencia y unicidad de la solución de un problema de difusión - reacción .. 28. RESULTADOS. 43. DISCUSIÓN. 60. CONCLUSIONES. 61. RECOMENDACIONES. 62. Referencias Bibliográficas. 63. APÉNDICES. 69. A. Solución propia minimal de un problema de difusión - reacción. 70. 1. Solución propia de una ecuación de difusión - reacción con condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 2. Construcción de la solución propia minimal de un problema de difusión - reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. B. Método de Diferencias Finitas. 74. ANEXOS. 76. A. Ejemplo de explosión en una ecuación de difusión - reacción. 77. B. Simulaciones Numéricas. 80.

(10) RESUMEN En este trabajo se hace un estudio analítico sobre la existencia global y local de la solución de un problema de difusión - reacción. Se demuestra que si la solución existe localmente entonces ésta llega a explotar en tiempo finito. Este resultado se extiende al caso en que la solución exista globalmente.. Se llega a concluir que el tiempo máximo de existencia de la solución depende del dominio, del término que representa la reacción en la ecuación y de una función prueba específicamente definida para este trabajo. Así mismo se contrasta el resultado obtenido con el de otros autores y se plantea la posibilidad de extender la existencia local a global usando el concepto de solución propia.. Además se presentan simulaciones numéricas de las soluciones de ecuaciones particulares del tipo difusión - reacción cuyos resultados son constrastados con el análisis realizado.. Palabras claves: problema de difusión - reacción, existencia global, existencia local, solución explosiva, tiempo de exposión..

(11) ABSTRACT This work presents an analytical study on the local and global existence of the solution of diffusion - reaction problem. We show that if the solution exists locally then, it blows up in finite time. This result covers the case that the solution exists globally.. We concluded that the maximum time of existence of the solution depends on the domain, the term representing the reaction in the equation and a test function defined specifically for this job. Likewise the found result is contrasted with the others authors’ results and we propose the possibility of extending the local existence to the global one using the proper solution framework.. Moreover, we show numerics simulations of the solutions of particular diffusion - reaction problems and such results are contrast with the analysis exposed.. Keywords:. diffusion. -. reaction. problem,. local existence, blow up solution, blow up time.. global. existence,.

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(13) INTRODUCCIÓN Muchos problemas físicos son modelados analizando el balance de dos fenómenos: la difusión y la reacción. Según [47], puede entenderse al primero como la dispersión de las especies (sustancias) involucradas en el proceso a lo largo del dominio físico del problema (movimiento local), y el segundo, como el proceso de interacción mediante el cual se generan o se consumen las especies involucradas (crecimiento, cambios de estado, etc).. Las ecuaciones de difusión - reacción son modelos matemáticos que explican cómo la concentración de una o más especies distribuidas en un espacio (dominio físico) se transforman bajo la influencia de dos procesos: reacciones químicas locales y difusión. Estos tipos de ecuaciones cubren una amplia variedad de modelos físicos en muchos campos de la ciencia, como por ejemplo, procesos biológicos de aparición de manchas en la piel de ciertos animales [30, 47], ondas viajantes [23, 30, 46], dinámica de poblaciones y reacciones químicas [30], entre otros.. En general, una ecuación de difusión - reacción es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de la forma:. ∂u (x, t) = div(k(x).∇u(x, t)) + f (x, t, u(x, t), ∇u(x, t)), ∂t. (1). donde x ∈ Ω ⊂ Rn , Ω es un conjunto abierto y t ∈ [0, +∞). u : Ω × R+ 0 −→ R es la función incógnita. k y f son funciones debidamente definidas según el tipo de problemas que se estudien..

(14) 7 Asociados a la ecuación (1) puede considerarse tanto condiciones iniciales como condiciones de frontera, del tipo Dirichlet, Neumman, Robin o mixtas.. En este trabajo se considera el problema particular:.  ∂u(x, t)    − ∆u(x, t) = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ Ω × (0, +∞),    ∂t u(x, 0) = u0 (x),      u(x, t) = 0,. x ∈ Ω,. (2). (x, t) ∈ ∂Ω × (0, +∞),. donde Ω ⊂ Rn , Ω es conjunto abierto y acotado con frontera suave, f es continua en (x, t) y localmente Lipschitz en u. u0 ∈ L∞ (Ω) y es además no negativa en Ω.. Se dice que una solución u(x, t) de (2) existe localmente cuando u está definida en t ∈ [0, T ), para T < +∞. Si T = +∞, entonces se dirá que la solución existe de forma global.. Actualmente existe una amplia bibliografía respecto a la existencia local y global de soluciones de (2) cuando f (x, t, u) = g(x, t), f ≡ 0, f (x, t, u) = up ó. f (x, t, u) = eu , ver por ejemplo [1, 2, 8, 9, 11, 12, 14, 26, 27, 30, 33, 36, 37, 40, 45, 46, 49].. En [1, 2] Arrieta y Rodríguez estudiaron el problema:.  ∂u(x, t)    = ∆u(x, t) + f (x, u(x, t)), (x, u(x, t)) ∈ Ω × R+ 0 , t > 0,   ∂t     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,   u(x, t) = 0,      ∂u(x, t)    = g(x, u(x, t)), ∂η. (3). x ∈ ΓD , t > 0, x ∈ ΓN , t > 0,. donde Γ = ∂Ω = ΓD ∪ΓN es una partición disjunta de la frontera de Ω, f y g son funciones suaves. Los subíndices D y N en Γ indican la parte de la frontera con condiciones del tipo Dirichlet y Neumman, respectivamente. u0 ∈ L∞ (Ω),.

(15) 8. u0 (x) ≥ 0 para x ∈ Ω. Bajo ciertas hipótesis adicionales sobre f y g se llegó a establecer que la solución de (3) está definda globalmente sobre una vecindad de Ω, y que además, es acotada. Esto es, existen δ, M > 0 tales que:. u(x, t, u0 ) ≤ M.. sup 0≤t<∞, x∈B(x0 ,δ)∩Ω. Aquí se introdujo un concepto nuevo de solución débil, denominada solución propia minimal (estudiado por Váquez y Galaktionov en [19, 20, 43, 48]), que bien puede ser una solución clásica bajo algunas consideraciones.. En [40] se generaliza este resultado cuando ΓN = ∅ y f localmente Lipschitz en x, con f → −∞ cuando u → +∞. Se demuestra la existencia global de la solución y que además existe una función continua no negativa M (x, t) tal que:. 0 ≤ u(x, t) ≤ M (x, t). Chen y Derrick en [9] estudiaron el problema en su forma vectorial:.  ∂u(x, t)    = ∆u(x, t) + f (u(x, t)), x ∈ Ω, t > 0    ∂t x ∈ Ω,. u(x, 0) = φ(x),      u(x, t) = 0,. (4). x ∈ ∂Ω, t > 0,. donde Ω ⊂ Rn , es un dominio acotado con frontera ∂Ω suave y las funciones. u = (u1 , u2 , ..., um ) y f = (f1 , f2 , ..., fm ) son vectoriales con m ≥ 1.. Enfocando el problema desde la Teoría de Semigrupos y apoyándose en la solución positiva del problema:.   ∆Φ + f (Φ) = 0,  . Φ|∂Ω = 0,. y considerando φ ∈ C α (Ω, Rm ), para α ∈ (0, 1) y f una función localmente Lipschitz con f (0) = 0 y satisfaciendo algunas condiciones de desigualdad, se determinó que la solución existe globalmente con decaimiento exponencial, esto es:. u(x, t) → 0, t → +∞ , ∀x ∈ Ω..

(16) 9 A un resultado similar llegaron Mounmeni y Derradji en [37] en el caso. m = 2. Los resultados en [9] son los mismos a los que se llegó en [8] para los casos g(u) = 1 y h(u, ∇u) = 0. Cuando en (4), f (u) = |u|α u, para α > 0 se determinó que la solución existe de forma global para algunos valores de. α = α(n) y funciones φ ∈ C0 (Ω) ∩ Lp (Ω), para ciertos p > 1 (ver [10, 11, 49]).. Un trabajo muy interesante, fue el de Meneses y Quass ([35, 36]) quienes estudiaron el problema de la forma:.    ∂u(x, t) = F (∆u(x, t), x) + up (x, t) (x, t), ∈ Ω × (0, +∞) ∂t  u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.. (5). donde u : Ω × (0, +∞) −→ R, F : Sn × Ω −→ R y f : R −→ R.. Sn denota al conjunto de matrices reales n × n y simétricas y Γ = Ω × (0, +∞). Aquí se introduce el concepto de solución viscosa. Haciendo uso de la teoría de semigrupos, del principio de comparación y bajo ciertos supuestos sobre F y u0 se determinó que existe un exponente p = p(F ), denominado exponente crítico, tal que u(x, t) está definida para todo t > 0.. Como se ha visto líneas atrás, la existencia de soluciones de (2) está, generalmente,. garantizada. sólo. para. tiempos. ‘pequeños’.. Más. aún,. existe la posibilidad que a partir de condiciones iniciales regulares, las soluciones desarrollen ciertas singularidades en un tiempo finito.. Una forma muy conocida de aparición de singularidades se da cuando existe un tiempo T0 < +∞ tal que la solución de (2), esté definida para. t ∈ [0, T0 ) y que lı́mt→T0− |u(x, t)| = +∞, es decir, la solución u explote. A este valor T0 se le denomina, justamente, tiempo de explosión.. Como escribe [39], por muchos años, algunos autores consideraron para este tipo de problemas que las soluciones explosivas eran ejemplos de patología, útiles para establecer solamente las condiciones necesarias para.

(17) 10 la obtención de soluciones globales, sin embargo estas soluciones obtuvieron un significado más físico cuya aplicabilidad sigue aumentando aún en estos tiempos (ver [30, 23, 46, 47]).. Hoy en día existen muchos trabajos que tratan sobre a la existencia de soluciones explosivas en problemas de difusión - reacción [2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 25, 27, 28, 29, 30, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 48, 49]. Algunos de estos trabajos discuten la posibilidad de extender las soluciones definidas localmente en [0, T ) a [0, +∞) y que exponen además resultados correspondientes los denominados exponentes de fujita los cuales permiten dar una respuesta apriori sobre la presencia de soluciones explosivas para determinadas ecuaciones de la forma (4) con m = 1 ó F (∆u(x, t), x) = ∆u(x, t) en (5). Los estudios en este campo están destinados a controlar de forma condicionada el fenómeno de explosión, analizar la tasa de explosión de las soluciones y la regularidad de las mismas.. Los estudios sobre la explosión de la solución u en tiempo finito T0 > 0 están clasificados en casos, éstos dependen de la forma en particular que tiene f . Cuando f (u) = up , p > 1, los trabajos de [15] y [19] establecen que u explota si 1 < p < 1 + 2/n para una clase de funciones u0 ∈ L∞ .. Ishige [28] reúne varios resultados respecto a la explosión de las soluciones de (4) para m = 1: se obtuvo que conforme t → T0 la solución 1. 1 − p−1. u(x, t) toma un comportamiento similar a (p − 1)− p−1 T0. .. Por otro lado, en [8] se determinó que si φ(x) ∈ C01+β (Ω̄) la solución de un problema similar a (4) explota en un tiempo T0 dado por:. Z p 1 T0 ≤ ( φΦdx)−2α αc2 Ω. donde α y Φ son tomados como en [9] y c2 es una constante a determinar..

(18) 11 Similarmente, en [44] se desarrollan cotas superiores para la solución de (5) con F (∆u, x) = ∆u y se hallaron algunas estimaciones para el tiempo de explosión T0 .. En [2, 3, 8, 13] estudian problemas como (3) y (4). Se establecieron resultados complementarios sobre existencia global de soluciones y explosión de las mismas. En [1, 2], si f (u) es acotada superiormente por una clase de funciones βup , β > 0, 1 ≤ p < 2r − 1 , para r > 1, entonces la solución explota en tiempo finito, si por el contrario 1 < 2r − 1 < p, entonces la solución u existe globalmente y es acotada. A un criterio similar se llega en [9], sólo que en este caso se trabajó para sistemas.. En consecuencia y por todo lo mencionado anteriormente, surgen preguntas al tratar problemas de la forma (2), (3), (4) ó (5): ¿la solución será global y acotada?, si no es global, ¿habrá explosión? y si la solución explota, ¿cuándo lo hace?. En esta Tesis se pretende dar respuestas a estas preguntas.. Los objetivos principales que se persiguen en este trabajo son: (a) determinar las condiciones necesarias para la existencia global de la solución de (2). Sin embargo, si la solución sólo estuviera definida localmente, entonces, (b) analizar si existe la posibilidad de presentarse explosión y, (c) estimar el tiempo de explosión.. Para los resultados de existencia y unicidad se soluciones se empleará la Teoría de Semigrupos, y algunos elementos del análisis funcional y real. Los conjuntos bases en los que se trabajará serán los espacios C k , Lp , H01 . Asi también se realizarán simulaciones numéricas usando el lenguaje de programación C y la herramienta PDEtool de Matlab para la validación de los resultados..

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(20) MARCO CONCEPTUAL TEÓRICO 1.1. Ecuación de Difusión - Reacción Una ecuación de difusión - reacción es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de la forma:. ∂u (x, t) = div(k(x).∇u(x, t)) + f (x, t, u(x, t), ∇u(x, t)), ∂t donde: - x ∈ Ω ⊂ Rn , Ω es un conjunto abierto y t ∈ [0, +∞). x es la variable espacial y t es la variable temporal. - k : Ω −→ R es una función denominada coeficiente de difusión. - u : Ω × [0, +∞) −→ R es la función incógnita. - El gradiente de u(x, t), ∇u(x, t), es con respecto a la variable x. - La divergencia, div(k(x).∇u(x, t)), es con respecto a la variable x. - f : Ω × [0, +∞) × R ×Rn −→ R es una función continua que representa la reacción asociada al fenómeno que modela esta ecuación. - El término div(k(x).∇u(x, t)) representa la difusión asociada al fenómeno que modela esta ecuación..

(21) 14. 1.2. Condiciones de Frontera en una Ecuación en Derivadas Parciales Asociadas a la ecuación (1) se consideran condiciones de frontera de cuatro tipos: a) Condición de Dirichlet, es de la forma:. u(x, t) = g(t), x ∈ ∂Ω, t > 0, si g ≡ 0, se dirá que las condiciones de Direchlet son nulas. b) Condición de Neumann, es de la forma:. ∂u(x, t) = h(t), x ∈ ∂Ω, t > 0, ∂η donde η es el vector normal unitario exterior a Ω. c) Condiciones mixtas, son de la forma:.   u(x, 0) = g(t),. x ∈ Γ1 , t > 0,.   ∂u(x, t) = h(t), x ∈ Γ2 , t > 0, ∂η donde ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 y Γ1 ∩ Γ2 = ∅. d) Condición de Robin, es de la forma:. a(x, t)u(x, t) + b(x, t). ∂u(x, t) = h(t), x ∈ ∂Ω, t > 0. ∂η. donde a y b son funciones continuas..

(22) 15. 1.3. Soluciones Explosivas en Ecuaciones en Derivadas En el estudio de problemas modelados por ecuaciones de difusión reacción se posee, por lo general, una teoría de existencia y unicidad para tiempos cortos, sin embargo puede ocurrir que la solución “deje de existir” en un tiempo finito. La forma más simple en que aparece este fenómeno es cuando la solución tiende a infinito a medida que la variable temporal t se acerca a un tiempo finito, T > 0.. Para ilustrar mejor la idea, considerar el problema:.    du(t) = f (u(t)) dt  u(0) = u0 > 0,. (6). donde f es positiva, creciente y regular. En particular, cuando f (u) = up , p > 1, esta ecuación tiene como única solución a: 1. u(t) = Cp (T − t)− p−1 , 1. −1 donde T = u1−p y Cp = (p − 1)− p−1 . 0 (p − 1). En este simple ejemplo puede verse que la solución u(t) es regular para todo 0 < t < T y que u(t) → +∞ cuando t → T − . Cuando esto ocurre se dice que. u. “explota”. (blow. -. up. en. la. literatura. inglesa),. es. decir,. lı́m |u(t)| = +∞ y a este valor de T se le denomina, como se mencionó. t→T −. anteriormente, tiempo de explosión. Motivado por este ejemplo, [16] describe al concepto de explosión como el fenómeno por el cual la solución no está globalmente definida porque tiende al infinito en un tiempo finito.. Los primeros resultados rigurosos que prueban la aparición de este fenómeno de explosión en ecuaciones en derivadas parciales fueron los.

(23) 16 obtenidos por Kaplan (1963) y Fujita (1966) [16]. Vazquez y Galaktionov [19, 20], Pérez [39] y Pulkkinen [41, 42] estudiaron el caso de explosión en ecuaciones parabólicas semilineales, es decir, problemas de la forma (4) y (5). De Pablo en [15], establece condiciones en las que se presenta explosión para la ecuación (3) sin condiciones de frontera.. 1.4.. Semigrupos. de. Operadores. Lineales. y. Acotados La idea de semigrupo es una de las más importantes para la descripción de procesos que dependen del tiempo en términos del análisis funcional. Por ejemplo, considerando un proceso físico descrito por la ecuación y su condición inicial:. du(t) = Au(t), dt. u(0) = u0. (7). donde A es el generador de un semigrupo {T (t)}t≥0 . Entonces la solución del problema (7) es u(t) = T (t)u0 para todo u0 ∈ D(A) (aquí, D(A) es cierto conjunto funcional apropiado para el estudio del problema). Si bien ésta es la solución, surge ahora el inconveniente en hallar cuál es el semigrupo generado por la ecuación y en darle una forma explícita a la función u(t).. En lo que sigue se darán algunas definiciones y resultados que irán preparando la base para los teoremas de existencia y unicidad de soluciones del problema (2). Además, asumiremos que X es un espacio de Banach con norma ||.||X . Definición 1. Un semigrupo {T (t)}t≥0 sobre X es una familia de operadores lineales acotados T (t) : X −→ X para todo t ≥ 0, tal que: (a) T (t + s) = T (t) o T (s),. ∀ t, s ≥ 0. (b) T (0) = I , con I como el operador identidad sobre X..

(24) 17 Definición 2. El generador de un semigrupo {T (t)}t≥0 es un operador lineal. A : D(A) ⊂ X −→ X tal que: Ax = lı́m+ t→0. donde D(A) = {x ∈ X : lı́m. t→0+. T (t)x − x , t. ∀ x ∈ D(A),. T (t)x − x existe}. t. Definición 3. Un semigrupo {T (t)}t≥0 es fuertemente continuo si y solamente si la aplicación t 7→ T (t)x es continua en [0, +∞) para todo x ∈ X, esto es,. lı́m T (t)x = T (s)x, t→s. ∀ x ∈ X.. Definición 4. Un semigrupo {T (t)}t≥0 es uniformemente continuo si y solamente si:. lı́m ||T (t) − I||X = 0.. t→0+. Teorema 1. Todo semigrupo fuertemente continuo de operadores acotados. {T (t)}t≥0 tiene un generador D(A), el cual satisface las siguientes propiedades: a) A : D(A) ⊆ X −→ X es un operador lineal. b) si x ∈ D(A), entonces T (t)x ∈ D(A) y. d T (t)x dt. = T (t)Ax = AT (t)x,. ∀t > 0. Teorema 2. Sea {T (t)}t≥0 un semigrupo fuertemente continuo, entonces existen constantes ω ≥ 0 y M ≥ 1 tales que:. ||T (t)||X ≤ M eωt . Lema 1. Si A es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo, entonces el dominio D(A) es denso en X y A es un operador lineal cerrado..

(25) 18 Lema 2. Sea {T (t)}t≥0 un semigrupo fuertemente continuo y sea A su generador. Entonces: a) Para todo x ∈ X:. 1 lı́m h→0 h. Zt+h T (s)xds = T (t)x. t. b) Para todo x ∈ X,. Rt. T (s)xds ∈ D(A) y:  t  Z Zt A  T (s)xds = T (s)Axds = T (t)x − x. 0. 0. 0. c) Para todo x ∈ D(A):. Zt T (t)x − T (s)x =. Zt T (τ )Axdτ =. s. AT (τ )xdτ s. Teorema 3. Sea L : D(L) ⊂ H −→ H un operador denso definido positivo sobre un espacio de Hilbert H, con ran(L) = H, y sea su inverso un operador compacto. Sean λk los autovalores de L correspondientes a las autofunciones. φk tal que {φk }k≥0 es un sistema ortonormal completo. Entonces −L genera un semigrupo {T (t)}t≥0 sobre H y:. T (t) = e−Lt , t ≥ 0, donde, para el elemento x ∈ H:. x=. +∞ X. ck φk ,. k=1. se tiene −Lt. e. x :=. +∞ X k=1. e−λk t ck φk ..

(26) 19 Teorema 4. Sea Ω ⊂ Rn , un conjunto abierto y acotado. El operador. L = −∆ en H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) satisface las siguientes propiedades sobre el espacio de Hilbert L2 (Ω): a) Es un operador denso en L2 (Ω) y definido positivo. b) La inversa de ∆ es compacto. c) Si Ω es difiomorfo C 2 a un conjunto convexo, entonces de la ecuación de Poisson:.   Lu = 0,. x ∈ Ω,.  u = 0,. x ∈ ∂Ω. se tiene que ran(L) = L2 (Ω). d) El operador L = −∆ genera un semigrupo fuertemente continuo sobre. L2 (Ω).. Para los objetivos de este trabajo se necesitaron de los siguientes resultados:. 1.5. Teorema del Punto Fijo Teorema 5. Sean S un subconjunto cerrado de un espacio de Banach (X, ||.||X ) y la transformación T : S −→ S tal que:. ||T (x) − T (y)||X ≤ k||x − y||X ,. ∀ x, y ∈ S, 0 ≤ k < 1.. Entonces T tiene un único punto fijo en S , es decir, existe un único x0 ∈ S que satisface T (x0 ) = x0 ..

(27) 20. 1.6. Algunas Desigualdades 1.6.1. Desigualdad de Gronwall Teorema 6. Sean λ : [a, b] −→ R continua y µ : [a, b] −→ R+ continua y no negativa. Si una función continua v : [a, b] −→ R satisface. Zb v(t) ≤ λ(t) +. µ(s)v(s)ds, a. para a ≤ t ≤ b, entonces, sobre el mismo intervalo,. Zt v(t) ≤ λ(t) +. λ(s)µ(s)e. Rt s. µ(τ )dτ. ds.. a. En particular, si λ(t) = λ es una constante, se tiene Rt. v(t) ≤ λe. s. µ(τ )dτ. .. Si además, µ(t) = µ es una constante, entonces. v(t) ≤ λeµ(t−a) .. 1.6.2. Desigualdad de Minkowski Sea Ω ⊂ Rn , Ω abierto y acotado y 1 < p < ∞. Si f, g ∈ Lp (Ω) entonces:.  p1.  Z . |(f + g)(x)|p dx ≤ . Ω.  p1.  Z.  p1. . |f (x)|p dx + . Ω. ó en su versión en normas:. ||f + g||Lp (Ω) ≤ ||f ||Lp (Ω) + ||g||Lp (Ω). Z Ω. |g(x)|p dx.

(28) 21. 1.6.3. Desigualdad de Holder Sea Ω ⊂ Rn , Ω abierto y acotado, 1 < p < ∞ y q tal que. 1 p. +. 1 q. = 1. Si. f ∈ Lp (Ω) y f ∈ Lp (Ω) entonces f.g ∈ L1 (Ω) y además:  p1 .  Z. Z |(f.g)(x)|dx ≤ . |f (x)|p dx . . Ω. Ω.  1q Z. |g(x)|q dx. Ω. ó en su versión en normas:. ||f.g||L1 (Ω) ≤ ||f ||Lp (Ω) .||g||Lq (Ω). 1.7. Principio de Comparación Considerar el problema.  ∂u(x, t)    − ∆u(x, t) = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ Ω × (0, T )    ∂t u(x, 0) = u0 (x), x∈Ω      u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ), donde Ω ⊂ Rn , conjunto abierto y acotado, u : Ω × [0, T ) −→ R, u0 ∈ L∞ (Ω) y. f : Ω × [0, T ) × R −→ R. Sean los conjuntos: GT = Ω × (0, T ), GT = Ω × [0, T ) y ΓT = Ω × {0} ∪ ∂Ω × (0, T ) El siguiente teorema permite comparar dos soluciones del problema anterior en. GT . Teorema 7. Sean u, v ∈ C 2 (GT ) ∩ C(ḠT ) tales que:. f (x, t, u) + ∆u(x, t) −. ∂u(x, t) ∂v(x, t) ≤ f (x, t, v) + ∆v(x, t) − , ∂t ∂t. sobre GT . Además u ≥ v sobre ΓT . Entonces:. u(x, t) ≥ v(x, t). ∀ (x, t) ∈ GT ..

(29) 22 Este teorema muestra además, que si Ω es conexo y u0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, entonces u(x, t) ≥ 0, ∀(x, t) ∈ Ω × [0, T ]. Por otro lado, el siguiente colorario demuestra la unicidad de soluciones: Corolario 1. Sean u1 , u2 ∈ C 2 (GT ) ∩ C(ḠT ) soluciones de la ecuación:. ∂u(x, t) = ∆u(x, t) + f (x, t, u), ∂t. (x, t) ∈ GT ,. y además u1 (x, t) = u2 (x, t) sobre Ω × (0, T ). Entonces:. u1 (x, t) = u2 (x, t). ∀ (x, t) ∈ GT ..

(30) MATERIAL Y MÉTODOS 2.1. Objeto de estudio El objeto de estudio de este trabajo es el problema en derivadas parciales:.    ∂u(x, t) − ∆u(x, t) = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ Ω × (0, +∞),     ∂t u(x, 0) = u0 (x),      u(x, t) = 0,. x ∈ Ω, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, +∞),. donde: Ω ⊂ Rn , Ω es conjunto abierto y acotado con frontera suave, f es una función continua en (x, t) y globalmente Lipschitz en u, esto es, existe una constante L > 0 tal que:. |f (x, t, u(x, t)) − f (x, t, v(x, t))| ≤ L|u(x, t) − v(x, t)|, ∀x ∈ Ω, t > 0. u0 ∈ L∞ (Ω) y además es no negativa en Ω. En los trabajos de [35, 36] se consideró que u0 es uniformemente continua y acotada.. Antes de avanzar, es necesario recalcar que se ha resuelto el problema (2) usando como hipótesis básicas que: 1. la solución u(x, t) no presenta explosión en la variable espacial x y, 2. de presentarse explosión en la variable temporal t, éste lo haría para. T > 0, es decir, no hay explosión en la condición inicial..

(31) 24. 2.2. Instrumentación Los espacios en los que se trabajó son los siguientes:. 2.2.1. Espacios Funcionales Sea el multi índice α = (α1 , α2 , ..., αn ), con αi enteros no negativos y. |α| =. n X. αi . Se denota la derivada de orden α como:. i=1. Dα =. ∂ |α|. , ∂xα1 1 ∂xα2 2 ...∂xαnn. entonces: Definición 5. Sea Ω un subconjunto abierto y acotado de Rn con n ≥ 1. Se definen los espacios:. (a) U CB(Ω) como el conjunto de funciones u : Ω −→ R que son uniformemente continuas y acotadas sobre Ω.. (b) C(Ω) como el conjunto de funciones u : Ω −→ R que son continuas. (c) C k (Ω) como el conjunto de funciones u : Ω −→ R tales que Dα u es continua sobre Ω para todo |α| < k .. (d) C ∞ (Ω) como el conjunto de funciones u : Ω −→ R que son infinitamente diferenciables sobre Ω y continuas sobre Ω.. (e) C0∞ (Ω) como el conjunto de funciones u : Ω −→ R que son infinitamente diferenciables sobre Ω, son continuas sobre Ω y tienen soporte compacto. Los espacios U CB(Ω), C(Ω), C ∞ (Ω) y C0∞ (Ω) son espacios de Banach con norma:. ||u||∞ = sup |u(x)| x∈Ω k. El espacio C (Ω) es un espacio de Banach con norma:. ||u||k = sup |u(x)| + x∈Ω. k X i=1. di u(x) sup | | dxi x∈Ω.

(32) 25 Definición 6. Sea Ω un subconjunto abierto y no vacío de Rn con n ≥ 1. Se definen:. (a) El espacio Lp (Ω) es el conjunto de clases de equivalencia de funciones R de valor real (o complejo) medibles u : Ω −→ R tal que Ω |u(x)|p dx < ∞. Lp (Ω) es un espacio de Banach con la norma. ||u||Lp (Ω).  p1  Z =  |u(x)|p dx ,. 1≤p<∞. Ω. (b) El espacio L∞ (Ω) es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor real (o complejo) medibles u : Ω −→ R tal que existe. M ≥ 0 tal que |u(x)| ≤ M c.t.p. L∞ (Ω) es un espacio de Banach con la norma ||u||L∞ (Ω) = ı́nf{M ≥ 0 : |u(x)| ≤ M c.t.p. en Ω}. (c) Para p ∈ [1, ∞] y k ∈ N se definen los espacios de Sobolev como: W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)/Dα u ∈ Lp (Ω), ∀ |α| < k} W k,p (Ω) es un espacio de Banach con la norma: ||f ||W k,p (Ω) = (. X. 1. ||Dα f ||pLp (Ω) ) p ,. 1≤p<∞. |α|<k. ó. ||f ||W k,∞ (Ω) = máx ||Dα f ||L∞ (Ω) |α|≤k. Si p = 2, entonces el espacio W k,2 (Ω) es un espacio de Hilbert y será denotado por H k (Ω).. (d) H0k = H k Ω ∪ C0∞ (Ω)..

(33) 26 En base a los espacios definidos anteriormente surgen: Definición 7. Sea T ∈ [0, +∞] y dado el espacio de Banach X con norma. ||.||X . Se definen: (a) C([0, T ]; X) = {u : [0, T ] −→ X, u es continua}, con la norma: ||u||C([0,T ];X) = sup ||u(t)||X t∈[0,T ]. (b) C k ((0, T ); X) = {u : (0, T ) −→ X, u es k veces diferenciable en (0, T ) y continua sobre [0, T ]}, con la norma:. ||u||C k ([0,T ];X) = sup ||u(t)||X + t∈[0,T ]. k X. sup ||. i=1 t∈[0,T ]. (c) Lp ([0, T ]; X) = {u : [0, T ] −→ X, u es medible y. RT 0. di u(t) ||X dti. ||u(t)||pX dt < +∞}.. con la norma:. ||u||Lp ([0,T ];X). ZT 1 = ( ||u(t)||pX dt) p ,. 1≤p<∞. 0. (d) L∞ ([0, T ]; X) = {u : [0, T ] −→ X, u es medible y sup ||u(t)||X < +∞}, t∈[0,T ]. con la norma:. ||u||L∞ ([0,T ];X) = sup ||u(t)||X t∈[0,T ]. (e) U CB([0, T ], X) = {u : [0, T ] −→ X, u es uniformemente continua y acotada}, con la norma:. ||u||U CB([0,T ],X) = sup ||u(t)||X t∈[0,T ]. Estos espacios con las normas definidas respectivamente son Espacios de Banach. Empero, los espacios siguientes fueron construidos convenientemente para este trabajo..

(34) 27. 2.2.2. El Espacio de Banach (E, X, ||.||E ) Dado el espacio de Banach X con norma ||.||X , se define el espacio:. E = {u ∈ C([0, +∞); X) : sup e−kt ||u(t)||X < ∞} t≥0. con k > 0 y sea la aplicación:. ||.||E : E −→ R como:. ||u||E = sup e−kt ||u(t)||X t≥0. Entonces la aplicación ||.||E es una norma y el espacio (E, X, ||.||E ) es un espacio de Banach.. Es necesario resaltar que el espacio E también puede ser tomado como:. E = {u ∈ L∞ ([0, +∞); X) : sup e−kt ||u(t)||X < ∞} t≥0. con la misma norma ||.||E definida anteriormente, así es también un espacio de Banach. Cuando no haya lugar a confusión se tomará E = (E, X, ||.||E ), habiendo expresado explícitamente el espacio X.. 2.2.3. El Espacio de Banach C a,b (Ω × (0, T ); R) Sean Ω ⊆ Rn , con Ω abierto y acotado, T ≤ +∞ y a, b ∈ N. Se define el espacio:.     u : Ω × (0, T ) −→ R tal que:    C a,b (Ω × (0, T ); R) = u(., t) : Ω −→ R, u(., t) ∈ C a (Ω) , ∀ t ∈ (0, T ),      u(x, .) : (0, T ) −→ R, u(x, .) ∈ C b (0, T ) , ∀ x ∈ Ω. Este es un espacio de Banach con la norma:. ||u||a,b. q = ||u(., t)||2a + ||u(x, .)||2b.

(35) 28 Así mismo el espacio:.     u : Ω × (0, T ) −→ R tal que:    C ∞,∞ (Ω × (0, T )) = u(., t) : Ω −→ R, u(., t) ∈ C ∞ (Ω) , ∀ t ∈ (0, T ),      u(x, .) : (0, T ) −→ R, u(x, .) ∈ C ∞ (0, T ) , ∀ x ∈ Ω. también es de Banach con la norma:. ||u||∞,∞ = ||u(., t)||∞ + ||u(x, .)||∞. 2.3. Métodos y Técnicas Existen diferentes métodos, tanto análiticos como numéricos, que son utilizados para solucionar ecuaciones en derivadas parciales, en particular, para solucionar ecuaciones de difusión - reacción. Entre los muchos métodos analíticos se tienen el método variacional, el método espectral [30], el método de semigrupos (el cual se usará para resolver nuestro problema y será detallado en lo que sigue y está basado en [4, 26, 33, 38]), el método de transformadas integrales y diferenciales [7, 24], el método de funciones de Green, los métodos topológicos [46], entre otros de interés ([31, 23]). Entre los métodos numéricos se tiene con más frecuencia los métodos de diferencias finitas (MDF) [17, 22], el de los elementos finitos (MEF), el de los volúmenes finitos (MVF) y de Transformadas y Descomposición de Dominios ([7]).. 2.3.1. Método de semigrupos de operadores. Existencia y unicidad de la solución de un problema de difusión - reacción La idea de aplicar el marco de semigrupos para problemas no lineales de ecuaciones en derivadas parciales ha sido ampliamente utilizado en problemas de difusión y reacción ( Kovács [4], Galaktionov y Vázquez [19, 20, 48], De Assis [14], Iancu [26] y Machado [34]). Si bien es cierto que este método no resuelve de manera explícita el problema (2), sino mas bien nos proporciona un marco.

(36) 29 funcional adecuado para aproximar soluciones y establecer en que espacios están dichas soluciones. En esta sección se desarrollaron los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para el problema (2).. Se consideró el problema de Cauchy:.   u̇(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > 0,. (8).  u(0) = u0 ∈ X, donde −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo {T (t)}t≥0 sobre X, f : [0, T ] × X −→ X es una función continua en t y de Lipschitz en u, es decir, f ∈ C([0, T ] × X; X). Notar que es posible considerar T = +∞. Primero se hizo una diferencia entre una solución clásica y una solución débil o (mild solution) de (8). Definición 8. La función u : [0, T ) −→ X es una solución clásica de (8) en. [0, T ) si y sólo si u ∈ C 1 ([0, T ]; X) ∩ C([0, T ); D(A)), y u satisface el problema (8). Definición 9. La función u : [0, T ) −→ X es una solución débil del problema (8) si y sólo si u ∈ C([0, T ); X) y u soluciona (8). El siguente lema ofrece una forma general para obtener la solución de (8) basada en lo que se conoce cómo la fórmula de variación de parámetros usado en la solución de ecuaciones en derivadas ordinarias. Lema 3. Sea f ∈ L1 ([0, T ); X) y u0 ∈ X. Entonces la solución de (8), si es que existe, está dada por la fórmula:. Zt T (t − s)f (s, u(s))ds.. u(t) = T (t)u0 + 0. Notar que toda solución débil u de (8) satisface necesariamente (9).. (9).

(37) 30 En el siguiente teorema se asegura la existencia y unicidad de la solución débil para el problema (8): Teorema 8. Sea f : [0, T ] × X −→ X una función continua en t y globalmente Lipschitz sobre X. Si −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo {T (t)}t≥0 , entonces para cada u0 ∈ X el problema de valor inicial (8) tiene una única solución débil u ∈ C([0, T ]; X). Además la aplicación u0 7→ u es Lipschitz de X en C([0, T ]; X). Demostración: Se concoce que f ∈ C([0, T ] × X; X) es globalmente de Lipschitz sobre X, es decir:. ||f (t, u) − f (t, v)||C([0,T ];X) ≤ ||u − v||X Además, como −A es el generador del semigrupo fuertemente continuo {T (t)}t≥0 , entonces, por el Teorema 2:. ||T (t)||C([0,T ];X) ≤ C, donde C = M ewt Ahora, para u0 ∈ X se define la transformación:. F : C([0, T ]; X) −→ C([0, T ]; X) como. Zt T (t − s)f (s, u(s))ds.. (F u)(t) = T (t)u0 +. (10). 0. tomando la diferencia y acotando: Zt ||(F u)(t) − (F v)(t)||C([0,T ];X) = ||. T (t − s)[f (s, u(s)) − f (v, v(s))]ds||C([0,T ];X) 0. Zt ≤. ||T (t − s)||C([0,T ];X) .||f (s, u(s)) − f (v, v(s))||C([0,T ];X) ds 0. Zt ≤. M L||u − v||X ds ≤ M Lt||u − v||X , 0.

(38) 31 Así se obtiene:. ||(F u)(t) − (F v)(t)||C([0,T ];X) ≤ M Lt||u − v||X Luego, por inducción se tiene: n. Zt. n. ||(F u)(t)−(F v)(t)||C([0,T ];X) ≤ M L. (M Ls)n−1 (M Lt)n ||u−v||X ≤ ||u−v||X , (n − 1)! n!. 0. juntando extremos se tiene. ||(F n u)(t) − (F n v)(t)||C([0,T ];X) ≤. (M Lt)n ||u − v||X , n!. (M Lt)n < 1, entonces n! por el teorema del punto fijo, F tiene un punto fijo u ∈ C([0, T ]; X). Este punto luego, para un n suficientemente grande se tendrá que. fijo es la solución de la ecuación integral dada en el Lema 3 y por tanto es una solución débil del problema (8).. Por otro lado, sea v una solución débil del problema de valor inicial (8) con condición inicial v0 , entonces: ||(F u)(t) − (F v)(t)||C([0,T ];X) = ||u(t) − v(t)||X Zt ≤ ||T (t)u0 − T (t)v0 ||X +. ||f (s, u(s)) − f (s, v(s))||X ds 0. Zt ≤ M ||u0 − v0 ||X + M L. ||u(s) − v(s)||X ds, 0. y usando la desigualdad de Gronwall, implica que:. ||u(t) − v(t)||X ≤ M eM LT ||u0 − v0 ||X. ∀t ∈ [0, T ],. finalmente. ||u − v||X ≤ M eM LT ||u0 − v0 ||X lo cual implica que si u0 = v0 , entonces u(t) = v(t), ∀t ∈ [0, T ] . Por lo tanto, la solución del problema (8) es única. Además, de la última desigualdad se obtiene que la aplicación u0 7→ u es Lipschitz.2.

(39) 32 Corolario 2. Si A y f satisfacen las condiciones del anterior entonces para cada g ∈ C([0, T ]; X) la ecuación integral. Zt T (t − s)f (s, w(s))ds. w(t) = g(t) + 0. tiene una única solución débil w ∈ C([0, T ]; X).. El siguiente teorema da una caracterización de la solución u(t) de (8) en caso de presentarse el fenómeno de explosión:. Teorema 9. Sea f. : [0, +∞) × X −→ X, una función globalmente. Lipschitz en t y localmente Lipschitz en u. Si −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo {T (t)}t≥0 sobre X, entonces para cada u0 ∈ X existe Tmax ≤ +∞ tal que el problema de valor inicial (8) tiene una única solución débil en [0, Tmax ). Si Tmax < +∞ entonces:. lı́m ||u(t)||X = +∞.. t→Tmax. Este teorema es sustancial y trascedente para los fines de este trabajo, pues nos indica que si la solución existe localmente entonces necesariamente ha de presenta explosión y, por tanto será no acotada.. Teorema 10. Si −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo {T (t)}t≥0 sobre X y sea f : [0, T ] × X −→ X una función continuamente diferenciable, entonces la solución débil de (8) para u0 ∈ D(A) es una solución clásica.. Para los detalles de las demostraciones de los teoremas 9 y 10 ver [38]..

(40) 33 Teorema 11. (Existencia y unicidad). Sean Ω ⊂ Rn , un subconjunto abierto, convexo y acotado, q : Ω×[0, T )×R una función continua y diferenciable en la tercera variable con derivada acotada. Entonces el problema:.  ∂u(x, t)    − ∆u(x, t) + q(x, t, u(x, t)) = g(x, t) (x, t) ∈ QT ,    ∂t x ∈ Ω,. u(x, 0) = u0 (x)      u(x, t) = 0. (11). (x, t) ∈ ΓT ,. donde QT = [0, T ) × Ω y ΓT = [0, T ) × ∂Ω, tiene una única solución débil. Demostración: La formulación del problema abstracto a (11) es:.   u̇(t) + Au(t) = F (t, u(t)), t > 0,. (12).  u(0) = u0 ∈ L∞ (Ω), donde F (t, u(t)) = −q(·, t, u(·, t)) + g(·, t) y alguna constante k > 0 se tiene: |. ∂q es acotada, es decir, para ∂u. ∂q(x, t, u) | ≤ k. ∂u. Para usar el Teorema 8 se tiene que probar que la función F es localmente Lipschitz en u:. ||F (t, u(t)) −. F (t, v(t))||2L2 (Ω). Z | − q(x, t, u(x, t)) + q(x, t, v(x, t))|dx. = Ω Z. |. =. ∂q(x, t, w(x, t)) 2 | |u(x, t) − v(x, t)|2 dx ∂w. Ω. ≤ k 2 ||u(t) − v(t)||2L2 (Ω) . Uniendo extremos y extrayendo la raíz cuadrada se tiene:. ||F (t, u(t)) − F (t, v(t))||L2 (Ω) ≤ k||u(t) − v(t)||L2 (Ω) , por tanto, F es de Lipschitz en u. En consecuencia, por el Teorema 8, la ecuación (12) tiene una única solución débil 2..

(41) 34 Obsérvese que si la función h(x, t, u) = g(x, t) − q(x, t, u) es diferenciable entonces por el Teorema 10, la solución débil del problema (12) es también una solución clásica.. Notar además que este teorema nos muestra que la solución:. u ∈ C([0, T ); L2 (Ω)), y agregando la hiótesis de diferenciabilidad sobre h, se tiene que:. u ∈ C([0, T ); L2 (Ω)) ∩ C 1 ((0, T ); L2 (Ω)). Para algunas variantes del teorema de existencia y unicidad se pueden consultar [47, 49].. Básandose ahora en los resultados de [35, 36], y asumiendo que. F (∆u(x, t), x) = ∆u(x, t) con Ω = Rn se plantearon los siguientes resultados que permiten hacer cierta estimación del tiempo de existencia: Teorema 12. Sea el problema:.    ∂u(x, t) = ∆u(x, t) + f (x, t, u(x, t)), x ∈ Rn , t > 0, ∂t  u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Rn ,. (13). y considerar el problema homogéneo de difusión:.   ut (x, t) = ∆u(x, t), x ∈ Rn , t > 0,  u(x, 0) = u0 (x),. (14). n. x∈R ,. Sea {S(t)}t≥0 el semigrupo generado por el problema (14). Si f es una función continua en (x, t) y de Lipschitz en u, es decir, ∃ L > 0 tal que:. |f (x, t, u(x, t)) − f (x, t, v(x, t))| ≤ L|u(x, t) − v(x, t)|,. ∀ x ∈ Rn , ∀ t > 0,. y u0 (x) ∈ U CB(Rn ), u0 ≥ 0 y u no idénticamente nula. Entonces existe T1 < T tal que (13) tiene una única solución débil en [0, T1 ] y además:. u(x, t) ∈ U CB(Rn × [0, T1 ])..

(42) 35 Demostración: El semigrupo {S(t)}t≥0 generado por la ecuación (14) está definido como (Fórmula de Gauss - Weierstrass):. 1 (S(t)f )(x) = n (4πt) 2. Z e. −|x−y|2 4t. f (y)dy,. t > 0, x ∈ Rn ,. Rn. donde (S(0)f )(x) = f (x). Se demuestra que este semigrupo es un semigrupo de contracción (ver [33]), es decir:. ||S(t)f ||p ≤ ||f ||p ,. t > 0, 1 ≤ p ≤ +∞.. ó. ||S(t)||p ≤ 1,. t > 0, 1 ≤ p ≤ +∞.. Se define el operador G : U CB([0, T ), C(Rn )) −→ U CB([0, T ), C(Rn )) como:. Zt S(t − s)f (s, u(s))ds. G(u) = S(t)u0 + 0. donde. T. es. el. tiempo. máximo. de. existencia. de. la. solución. y. f ∈ C([0, T ] × C(Rn ); C(Rn )). Se demostrará que existe un 0 < T1 < T tal que G es un operador contracción en [0, T1 ] y por, el Teorema del Punto Fijo, existirá un único punto fijo u, que a la vez, será la única solución débil de (13). En efecto: Primero, por cuestiones de espacio, se denota: ||.||U CB([0,T ),C(Rn )) = ||.||0 . Luego: Zt ||G(v) − G(u)||0 = ||. Zt S(t − s)f (s, v(s))ds −. 0 t Z. ≤. S(t − s)f (s, u(s))ds||0 0. ||S(t − s)(f (s, v(s)) − f (s, u(s)))||0 ds 0. Zt ≤. ||S(t − s)||L∞ ([0,T ],C(Rn )) .||(f (s, v(s)) − f (s, u(s))||C([0,T ];C(Rn )) ds 0. Zt ≤. L||v(s) − u(s)||C(R) ds 0.

(43) 36 ≤ L||v − u||U CB([0,T ),C(Rn )) T1 ,. para 0 < t < T1 ,. < |||v − u||U CB([0,T ),C(Rn )) ,. cuando T1 <. donde T1 es tomado como cualquier valor menor a. 1 . L. 1 , L. Por tanto, G es un. operador contracción. Se sigue entonces que tiene un único punto fijo u y es además la única solución débil de (13).. Por otro lado, cambiando la hipótesis de Lipschitz de f a una de diferenciabilidad se tiene el siguiente resultado:. Teorema 13. Si f es continua en (x, t) y diferenciable en la tercera variable con derivada acotada, es decir, ∃ k > 0 tal que:. |. ∂f (x, t, s)| ≤ k, ∂s. ∀ t > 0, x ∈ Rn , s ∈ R,. y u0 (x) ∈ U CB(Rn ), u0 ≥ 0 y u no idénticamente nula. Entonces existe T2 < T tal que (13) tiene una solución débil en [0, T2 ] y. u(x, t) ∈ U CB(Rn × [0, T2 ]). Demostración: En este caso, se tiene que:. ∂f (s, u) ∈ U CB([0, T ), C(Rn )) ∂u Y definido el operador G de la misma forma anterior se tiene: Zt ||G(v) − G(u)||0 ≤. ||S(t − s)||L∞ ([0,T ],C(Rn )) .||(f (s, v(s)) − f (s, u(s))||C([0,T ];C(Rn )) ds 0. Zt ||(f (s, v(s)) − f (s, u(s))||C([0,T ];C(Rn )) ds. ≤ 0. Zt ≤. ||. ∂f (s, u(s)) ||0 .||v − u||0 ds ∂u. 0. ≤ k||v − u||U CB([0,T ];C(Rn )) T2 ,. para 0 < t < T2 ,. < ||v − u||U CB([0,T ];C(Rn )) ,. cuando T2 <. 1 , k.

(44) 37 donde T2 < k1 . Por tanto, G es un operador contracción. Así también, existe un único punto fijo que es la única solución débil de (13).. Con los resultados obtenidos anteriormente, se observa que la existencia sólo está garantizada para intervalos ‘cortos’ [0, T ). La idea es, justamente, lograr extender este valor de T a +∞.. Antes de mencionar el resultado principal de este trabajo, consideremos primero una variante muy estudiada del problema (2):.  ∂u(x, t)    − ∆u(x, t) = g(u(x, t)), (x, t) ∈ Ω × [0, T ],    ∂t x ∈ Ω,. u(x, 0) = u0 (x),      u(x, t) = 0,. (15). (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],. donde g : R −→ R es localmente Lipschitziana. La formulación abstracta de este problema es:.   u̇(t) + Au(t) = g(u(t)), t > 0,. (16).  u(0) = u0 ∈ X, donde A : D(A) ⊂ X −→ X es un operador lineal denso en X.. Existen dos resultados muy similares que dan solución a (16), de los cuales se ha creido conveniente escribir la demostración del segundo: Teorema 14. ([14]) Asumiendo que f : X −→ X es globalmente Lipschitz, con constante de Lipschitz L y dado u0 ∈ X, entonces existe una solución suave de (16) dada por:. Zt T (t − s)f (u(s))ds,. u(t) = T (t)u0 + 0.

(45) 38 para todo t ≥ 0. Además existe una dependencia continua con respecto a u0 :. ||u(t) − v(t)||X ≤ eLT ||u0 − v0 ||X , para todo t > 0, donde v es una solución del problema (16) con condición inicial. v0 . Teorema 15. ([34]) Dado u0 ∈ L∞ (Ω), existe una única función u definida en un intervalo maximal [0, Tmax ) tal que u ∈ L∞ ((0, T )×Ω) para todo T < Tmax y es solución de la ecuación integral:. Zt T (t − s)g(u(s))ds,. u(t) = T (t)u0 +. (17). 0. para todo t ∈ [0, tmax ). Además se cumple que si Tmax = +∞ ó Tmax < +∞ entonces lı́mt→Tmax ||u(t)||L∞ = +∞. Más aún, u depende continuamente de u0 , esto es, para todo T < Tmax existe . >. 0 y C. <. ∞ tal que, si ||v0 − u0 ||L∞. ≤. entonces. ||v − u||L∞ ((0,T )×Ω) ≤ C||v0 − u0 ||L∞ (Ω) , donde v es la solución de (17) con valor inicial v0 . Demostración: La demostración está dividida en tres partes: (a) Existencia: Se considerará primero el caso en que g es globalmente Lipschitz con constante de Lipschitz L > 0. Sea el espacio de Banach. (E, L∞ (Ω)) con X = L∞ (Ω), es decir: E = {u ∈ L∞ ([0, +∞); L∞ (Ω)) : sup e−kt ||u(t)||L∞ (Ω) < ∞} t≥0. donde k es una constante a ser escogida, y la norma asociada:. ||u||E = sup e−kt ||u(t)||L∞ (Ω) t≥0. Dado u ∈ E se define la aplicación:. Zt T (t − s)g(u(s))ds. Φ(u)(t) = T (t)u0 + 0.

(46) 39 para todo t ≥ 0. Se demostrará que Φ(u) ∈ E, en efecto:. Zt ||Φ(u)(t)||L∞ (Ω) = ||T (t)u0 +. T (t − s)g(u(s))ds||L∞ (Ω) 0. Zt ≤ ||T (t)(u0 )||L∞ (Ω) +. ||T (t − s)g(u(s))||L∞ (Ω) ds 0. Zt ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) +. ||g(u(s))||L∞ (Ω) 0. Por otro lado:. ||g(u(s))||L∞ (Ω) = ||g(u(s)) − g(0) + g(0)||L∞ (Ω) ≤ ||g(u(s)) − g(0)||L∞ (Ω) + ||g(0)||L∞ (Ω) ≤ L||u(s) − 0||L∞ (Ω) + |g(0)| ≤ L||u(s)||L∞ (Ω) + |g(0)| Por tanto:. Zt ||Φ(u)(t)||L∞ (Ω) ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) +. ||g(u(s))||L∞ (Ω) 0. Zt ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) +. (L||u(s)||L∞ (Ω) + |g(0)|)ds 0. Zt = ||u0 ||L∞ (Ω) +. Zt |g(0)|ds. L||u(s)||L∞ (Ω) ds + 0. 0. Zt ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) + L||u||E. eks ds + t|g(0)|. 0 kt. = ||u0 ||L∞ (Ω) + L. e −1 ||u||E + t|g(0)| k. Extrayendo los extremos:. ekt − 1 ||u||E + t|g(0)| k ekt − 1 ≤ e−kt ||u0 ||L∞ (Ω) + e−kt L ||u||E + e−kt t|g(0)| k L 1 ≤ ||u||L∞ (Ω) + ||u||E + |g(0)| k ek. ||Φ(u)(t)||L∞ (Ω) ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) + L e−kt ||Φ(u)(t)||L∞ (Ω).

(47) 40 tomano el supremo se obtiene que:. ||Φ(u)(t)||E ≤ ||u||L∞ (Ω) +. L 1 ||u||E + |g(0)| < ∞ k ek. Así se tiene que Φ(u) ∈ E. Ahora, sean u, v ∈ E:. Zt ||Φ(u)(t) − Φ(v)(t)||L∞ (Ω) = ||T (t)u0 +. T (t − s)g(u(s))ds 0. Zt − (T (t)u0 +. T (t − s)g(v(s))ds)||L∞ (Ω) 0. Zt = ||. T (t − s)(g(u(s)) − g(v(s)))ds||L∞ (Ω). 0 t Z. ≤. ||T (t − s)(g(u(s)) − g(v(s)))||L∞ (Ω) ds 0. Zt ≤. L||u(s) − v(s)||L∞ (Ω) ds 0. Zt ≤ L||u − v||E. eks ds. 0 kt. = L||u − v||E. e −1 k. extrayendo los extremos, multiplicando por e−kt y tomando el supremo:. e−kt ||Φ(u)(t) − Φ(v)(t)||L∞ (Ω) ≤ e−kt L||u − v||E ||Φ(u) − Φ(v)||E ≤. ekt − 1 k. L ||u − v||E k. si se escoge k > L entonces Φ tiene un punto fijo u ∈ E, que es además la solución del problema (17). Considerar ahora el caso donde g es localmente de Lipschitz. Sea M = ||u0 ||L∞ (Ω) + 1 y se define g : R −→ [0, +∞) como:.     g(M ), u > M,    g(u) = g(u), |u| ≤ M,      g(−M ), u < −M..

(48) 41 De la definición se tiene que g es globalmente de Lipschitz. Así la solución de la ecuación integral:. Zt T (t − s)g(u(s))ds,. u(t) = T (t)u0 +. (18). 0 ∞. ∞. es u ∈ L ([0, +∞), L (Ω)). Luego:. Zt ||u(t)||L∞ ([0,+∞),L∞ (Ω)) = ||T (t)u0 +. T (t − s)g(u(s))ds||L∞ ([0,+∞),L∞ (Ω)) 0. ≤ ||T (t)u0 ||L∞ ([0,+∞),L∞ (Ω)) Zt + ||T (t − s)g(u(s))||L∞ ([0,+∞),L∞ (Ω)) ds 0. Zt ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) +. ||g(u(s))||L∞ (−M,M ) ds 0. ≤ ||u0 ||L∞ (Ω) + K M t, donde k M = ||g||L∞ (−M,M ) . Si se escoge T suficientemente pequeño, de tal manera que: k M T ≤ 1, entonces ||u(t)||L∞ (Ω) ≤ M para todo t ∈ [0, T ] y por tanto u satisface la ecuación (18) en [0, T ]. Por la unicidad (ver parte (b)), se garantiza la existencia de una solución definida en un intervalo maximal [0, Tmax ).. Para mostrar que Tm = +∞, ó Tm < +∞ y. lı́m ||u(t)||L∞ (Ω) = +∞,. t→Tmax. suponer que Tmax < +∞, y asúmase que existe una sucesión {tj }j∈N tal que tj → Tmax y ||u(tj )||L∞ (Ω) ≤ A < ∞, donde:. A = máx{||u1 ||L∞ ((0,T )×Ω) , ||u2 ||L∞ ((0,T )×Ω) } Se fija δ > 0 tal que δk A+1 ≤ 1. Si el problema (18) inicia con valor inicial u(tj ) entonces se tiene una solución vj definida en [0, δ]. Por otro lado si en el problema (18) se toma el valor inicial vj se obtiene una solución definida en [0, tj + δ]. Pero para un j suficientemente grande se tendría tj +δ > Tmax , pero esto es imposible puesto que u es una solución máximal..

(49) 42 (b) Unicidad: Supongamos que u1 y u2 son dos soluciones de (17) en [0, T ] y sea A definido anteriormente. Tomando la diferencia:. Zt u1 (t) − u2 (t) =. T (t − s)(g(u1 (s)) − g(u2 )(s))ds 0. de esto: Zt ||u1 (t) − u2 (t)||L∞ (Ω) ≤. ||g(u1 (s)) − g(u2 (s))||L∞ (Ω) 0. Zt ≤ k. ||u1 (s) − u2 (s)||L∞ (Ω) ds 0. para todo t ∈ [0, T ], donde k es la constante de Lipschitz de g en [−A, A]. Usando la desigualdad de Gronwall con λ = 0, µ = k y v = u1 − u2 se concluye que:. ||u1 (t) − u2 (t)||L∞ (Ω) ≤ 0 donde se obtiene que u1 (t) = u2 (t) para t ∈ [0, T ]. (c) Dependencia Continua: Dado T < Tmax , se define MT = ||u||L∞ ((0,T )×Ω) + 1. Tomando g definido anteriormente, pero con M = MT , LT es la constante de Lipschitz de g y sean u una solución de (18) y v una solución de (18) con valor inicial v0 ∈ L∞ (Ω), entonces:. Zt ||u(t) − v(t)||L∞ (Ω) ≤ ||u0 − v0 |L∞ (Ω) + LT. ||u(s) − v(s)||L∞ (Ω) ds 0. y por la desigualdad de Gronwall:. ||u − v||L∞ ((0,T )×Ω) ≤ eT LT ||u0 − v0 ||L∞ (Ω) . En particular, si eT LT ||u0 − v0 ||L∞ (Ω) ≤ , con = e−T LT , se tiene que. ||u − v||L∞ ((0,T )×Ω) ≤ MT . Por tanto v es una solución de (17) con valor inicial v0 .2 Un resultado similar obtuvo [14] usando el espacio:. E = {u ∈ C([0, +∞); X) : sup e−kt ||u(t)||X < ∞} t≥0.

(50) RESULTADOS En la bibliografía tratada se menciona que, en el problema (15) cuando. g(u(t)) = up (t) ó g(u(t)) = u(t)|u(t)|p−1 , la solución presenta explosión en tiempo finito, siendo T el tiempo máximo de existencia. Es aquí donde se plantea la idea de extender la solución local a todo t > 0 usando el concepto de solución propia presentado en [1, 2, 6, 20].. Ahora sí se enuncia el resultado principal de este trabajo: Teorema 16. Sea el problema:.  ∂u    (x, t) = ∆u(x, t) + f (x, t, u(x, t)), x ∈ Ω, t > 0,    ∂t u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,      u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0. donde f es continua en (x, t) y de Lipschitz en u con constante de Lipschitz L, satisfaciendo una de las dos condiciones: i) f (x, t, −u) = −f (x, t, u) ii) f (x, t, 0) = 0 y u0 ∈ L∞ (Ω), con u0 (x) ≥ 0, para x ∈ Ω. Sea k > 0 se define la función:. φ(x, t) : Ω × (0, +∞) −→ R como:. φ(x, t) = e−k(||x||. 2 +t2 ). ..

(51) 44 Entonces:. (I) Existe una constante C > 0 tal que: Z ZT Ω. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ≤ 2C||u||L1 ([0,T ];H01 (Ω)) ∂t. 0. ó:. Z ZT Ω. √ ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ≤ 2C T ||u||L2 ([0,T ];H01 (Ω)) ∂t. 0. (II) Si existe un 0 < T < +∞ tal que: Z u(x, t)φ(x, t)dx = +∞ Ω. cuando t → T . Entonces u(x, t) está definida en [0, T ), siendo T el tiempo de explosión. Además se define la solución propia minimal (ver Apéndice A) del problema como:. ū(x, t) =.   u(x, t), t ∈ [0, T )  +∞,. t ∈ [T, +∞).. (III) Sea T < +∞ tiempo de explosión. Si se verifica que: - u ∈ L∞ ((0, T ); L∞ (Ω)) ∩ L2 ((0, T ); L∞ (Ω)) y:. ||u||L2 ((0,T );L∞ (Ω)) ≤ ||u||L∞ ((0,T );L∞ (Ω)) - existe δ > 0 tal que:. ||u||L∞ ((0,T );L∞ (Ω)) ≤ δ||u(., t)||L∞ (Ω). 1 ≤ |Ω|. Z u(x, t)φ(x, t)dx Ω. ∀ t ∈ [0, T ). entonces para todo T0 ∈ (0, T ), existe δ1 = δ1 (T0 ) tal que:. ||u||L2 ((0,T );L∞ (Ω)) ≤. |Ω| √ .||u0 ||L∞ (Ω) |Ω| − Dδ1 T.

(52) 45. ∀t ∈ [0, T0 ]. Así se obtiene que: T < donde D = C +. √. 1. |Ω| Dδ1. 2 ,. 1. 2k|Ω| 2 e− 2 .. Demostración:. De la ecuación:. ∂u (x, t) = ∆u(x, t) + f (x, t, u(x, t)) ∂t multiplicando por φ(x, t) e integrando sobre Ω × [0, T ), donde T es el tiempo máximo de existencia dado por los Teoremas 12 ó 13:. Z ZT Ω. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx = ∂t. 0. Z ZT Ω. Z ZT ∆u(x, t)φ(x, t)dtdx+ f (x, t, u(x, t))φ(x, t)dtdx,. 0. Ω. 0. Notar que φ(., t) ∈ C ∞ (Ω), ∀ t ∈ [0, T ]. Aplicando la identidad de Green e intercambiando el orden de integración: Z ZT. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx = ∂t. Ω 0. ZT Z. ∂u (x, t)φ(x, t)dSdt − ∂η. 0 ∂Ω ZT Z. +. ZT Z ∇u(x, t)∇φ(x, t)dxdt 0 Ω. f (x, t, u(x, t))φ(x, t)dxdt 0 Ω. tomando el valor absoluto y usando la desigualdad triangular: Z ZT. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. ZT Z ≤. Ω 0. ∂u (x, t)φ(x, t) dSdt + ∂η. 0 ∂Ω ZT Z. ZT Z |∇u(x, t)∇φ(x, t)| dxdt 0 Ω. |f (x, t, u(x, t))φ(x, t)|dxdt. + 0 Ω. Estimando las integrales por separado:. 1) ZT Z 0 ∂Ω. ∂u (x, t)φ(x, t) dSdt ≤ ∂η. ZT Z 0 ∂Ω. ∂u (x, t) . |φ(x, t)| dSdt ∂η.

(53) 46.   ZT Z  |∇u(x, t).η(x)|dS  dt ≤ 0. ∂Ω.   ZT Z  |∇u(x, t)|.|η(x)|dS  dt ≤ 0. ∂Ω.   ZT Z  |∇u(x, t)|dS  dt ≤ 0. ∂Ω.   ZT Z  |∇u(x, t)|.1dS  dt = 0. ∂Ω.   21   21  Z ZT Z   ≤ |∇u(x, t)|2 dS  .  12 dS   dt  0. ∂Ω. ∂Ω. ZT. 1. ||∇u(., t)||L2 (∂Ω) .|∂Ω| 2 dt. = 0. ZT ≤. 1. ||∇u(., t)||L2 (Ω) .|Ω| 2 dt 0. = |Ω|. 1 2. ZT ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt 0. 1. ZT ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt. ≤ |Ω| 2. 0. 2) ZT Z 0.   ZT Z  |∇u(x, t)|.|∇φ(x, t)|dx dt |∇u(x, t)∇φ(x, t)|dxdt ≤ 0. Ω. Ω. pero: ∇φ(x, t) = (e−k(||x||. 2 +t2 ). (−2kx1 ), . . . , e−k(||x||. ||∇φ(x)||2 = (e−k(||x||. 2 +t2 ). (−2kx1 ))2 + · · · + (e−k(||x||. = e−k(||x||. 2 +t2 ). 2 +t2 ). (4k 2 [x22 + x22 + · · · + x2n ]). = 4k 2 ||x||2 e−k(||x||. 2 +t2 ). (−2kxn )) 2 +t2 ). (−2kxn ))2.

(54) 47 por tanto:. ||∇φ(x)|| = 2k||x||e−k(||x||. 2 +t2 ). ≤. √. 1. 2ke− 2. en consecuencia, en la desigualdad anterior:     ZT Z ZT Z √ 1  |∇u(x, t)∇φ(x)|dx dt ≤  |∇u(x, t)|. 2ke− 2 dx dt 0. 0. Ω. Ω. √ =. 2ke √. =. − 12. 1. 2ke− 2.   ZT Z  |∇u(x, t)|dx dt 0 ZT. Ω.   Z  |∇u(x, t)|.1dx dt. 0. ≤. √. 1. 2ke− 2. ZT. Ω.  1  1  2 2 Z Z   2 2 |∇u(x, t)| dx .  1 dx  dt . 0. Ω. Ω.  1 T 2 Z Z √ 1 − 12 2   dt 2ke |Ω| 2 = |∇u(x, t)| dx √ =. ≤. √. 1. 1. 0 ZT. 1. 0 ZT. 2ke− 2 |Ω| 2. 1. 2ke− 2 |Ω| 2. Ω. ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt. ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt 0. 3) ZT Z. ZT Z |f (x, t, u(x, t))φ(x, t)|dxdt ≤. 0. |f (x, t, u(x, t))|.|φ(x, t)|dxdt 0. Ω. Ω. ZT Z ≤. |f (x, t, u(x, t))|dxdt 0. Ω. Por otro lado, de la definición de Lipschitz de f con v = −u y usando i):. |f (x, t, u) − f (x, t, v)| ≤ L|u − v| |f (x, t, u) − f (x, t, −u)| ≤ L|u − (−u)| |f (x, t, u) + f (x, t, u)| ≤ L|u + u|.

(55) 48. |2f (x, t, u)| ≤ L|2u| |f (x, t, u)| ≤ L|u|, o de la misma definición de Lipschitz de f con v = 0 y usando ii):. |f (x, t, u) − f (x, t, v)| ≤ L|u − v| |f (x, t, u) − f (x, t, 0)| ≤ L|u − 0| |f (x, t, u) − 0| ≤ L|u| |f (x, t, u)| ≤ L|u| En ambos casos, resulta que:. |f (x, t, u)| ≤ L|u|. Por tanto:. ZT Z 0. Ω.   ZT Z  |f (x, t, u(x, t))|dx dt |f (x, t, u(x, t))φ(x)|dxdt ≤ 0. Ω.   ZT Z  L|u(x, t)|dx dt ≤ 0. Ω.   ZT Z = L  |u(x, t)|.1dx dt 0. ZT ≤ L. Ω.   21   21  Z Z   |u(x, t)|2 dx .  12 dx  dt . 0. Ω. Ω.   21 ZT Z 1 = L|Ω| 2  |u(x, t)|2 dx dt 0 1. Ω. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt. = L|Ω| 2. 0. ≤ L|Ω|. 1 2. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt 0.

(56) 49 Luego, reuniendo las estimaciones se tiene: Z ZT. ZT Z. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. ∂u (x, t)φ(x, t) dSdt + ∂η. ≤ 0 ∂Ω ZT Z. Ω 0. ZT Z |∇u(x, t)∇φ(x, t)| dxdt 0 Ω. |f (x, t, u(x, t))φ(x, t)|dxdt. + 0 Ω. ≤ |Ω|. 1 2. ZT ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt +. √. − 21. 2ke. |Ω|. 0 1. 1 2. ZT ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt 0. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt. + L|Ω| 2. 0. . =. 1 2. |Ω| +. √ 2ke. − 12. |Ω|. 1 2. ZT. ||∇u(., t)||L2 (Ω). 0 1. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt. + L|Ω| 2 0. 1. Sea B = |Ω| 2 +. Z ZT Ω. √. 1. 1. 2ke− 2 |Ω| 2 , entonces:. ∂u (x, t)φ(x)dtdx ∂t. ZT ≤ B. ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt + L|Ω|. 1 2. 0. 0. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt 0. 1. Sea ahora C = máx{B, L|Ω| 2 }, entonces:. Z ZT Ω.  ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. ≤ C. 0. = C. 0. . ||∇u(., t)||L2 (Ω) + ||u(., t)||L2 (Ω) dt. 0. ZT ≤ 2C. ||u(., t)||L2 (Ω) dt. ||∇u(., t)||L2 (Ω) dt + 0. ZT. . ZT. ZT. ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. = 2C||u||L1 ([0,T ];H01 (Ω)).

(57) 50 o también:. Z ZT Ω. ZT. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. ≤ 2C. 0. ZT ||u(., t)||H01 (Ω) dt = 2C. ||u(., t)||H01 (Ω) .1dt. 0. . 0. ZT. ≤ 2C  √.  21  ||u(., t)||2H 1 (Ω) dt . . ZT. 0. 0.  12 12 dt. 0. = 2C T ||u||L2 ([0,T ];H01 (Ω)) En consecuencia se tiene que:. Z ZT Ω. 0. Z ZT Ω. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ≤ 2C||u||L1 ([0,T ];H01 (Ω)) ∂t √ ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ≤ 2C T ||u||L2 ([0,T ];H01 (Ω)) ∂t. 0. Con esto queda demostrado (I).. Por otro lado:. Z ZT Ω.  Z. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. =. 0. u(t, x).φ(x, t)|T0 −. =. u(t, x).φ(x, t)|T0 dx. Ω. Z ≥. u(x, t). Z ZT. −. u(x, t).. u(t, x).φ(x, t)|T0 dx −. Entonces: Z ZT Z ∂φ T u(x, t). (x, t)dtdx u(x, t).φ(x, t)|0 dx − ∂t Ω 0. ∂φ (x, t)dtdx ∂t. 0. Ω. Ω. Ω. ∂φ (x, t)dt dx ∂t. 0. Ω. Z. . ZT. Z ZT u(x, t). 0. Ω. Z ZT ≤. ∂φ (x, t)dtdx ∂t. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. Ω 0 ZT. ≤ 2C. ||u(., t)||H 1 (Ω) dt 0. 0. extrayendo los extremos: Z Ω. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. Z ZT − Ω 0. ∂φ u(x, t). (x, t)dtdx ∂t. ZT ≤ 2C. ||u(., t)||H 1 (Ω) dt 0. 0.

(58) 51 Z. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. Z ZT ≤. ∂φ u(x, t). (x, t)dtdx + 2C ∂t. Ω 0. Ω. ZT ||u(., t)||H 1 (Ω) dt 0. 0. Ahora:. Z. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. Z (u(x, T ).φ(x, T ) − u(x, 0)φ(x, 0))dx. = Ω. Ω. Z ≥. Z (u(x, T ).φ(x, T )dx −. Ω. u(x, 0)φ(x, 0))dx Ω. y de esto:. Z. Z. Z (u(x, T ).φ(x, T )dx −. ≤. u(x, 0)φ(x, 0))dx. Ω. Ω. Ω. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. y además:. Z ZT Ω. ∂φ u(x, t). (x, t)dtdx ∂t. Z ZT ≤. 0. |u(x, t)|.| Ω. 0. Z ZT ≤ Ω. √ 1 |u(x, t)|. 2ke− 2 dtdx. 0. √ =. 2ke. − 12. ZT Z |u(x, t)|.1dxdt 0. ≤. √. ∂φ (x, t)|dtdx ∂t. 1. 2ke− 2. Ω. ZT.   21   12  Z Z   |u(x, t)|2 dx .  12 dx  dt . 0. √ =. 1 2. 2k|Ω| e. Ω − 12. Ω. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt 0. ≤. √. 1 2. 2k|Ω| e. − 12. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt 0. Reemplazando en:. Z ZT Ω. 0. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. Z ≥ Ω. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. Z ZT −. u(x, t). Ω. 0. ∂φ (x, t)dtdx ∂t.

(59) 52 o equivalentemente se tiene:. Z. Z ZT. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx + ∂t. ≤ Ω. Ω. 0. Z ZT u(x, t).. ∂φ (x, t)dtdx ∂t. 0. Ω. pero se sabe que:. Z. Z. Z u(T, x).φ(x, T )dx −. u(x, 0)φ(x, 0))dx. Ω. Ω. Ω. Z ZT Ω. ∂φ u(x, t). (x, t)dtdx ∂t. ZT √ 1 1 ≤ 2k|Ω| 2 e− 2 ||u(., t)||L2 (Ω) dt. 0. 0. Z ZT Ω. u(x, t).φ(x, t)|T0 dx. ≤. ∂u (x, t)φ(x, t)dtdx ∂t. ZT ≤ 2C. ||u(., t)||H01 (Ω) dt. 0. 0. entonces:. Z. ZT. Z u(T, x)φ(x, T )dx −. Ω. u(x, 0)φ(x, 0))dx. ≤ 2C. ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. Ω. √. 1 2. 2k|Ω| e. +. − 12. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt 0. equivale a:. ZT. Z. Z u(x, T )φ(x, T )dx. ≤. 0. Ω. Ω. √ +. ||u(., t)||H01 (Ω) dt. u(x, 0)φ(x, 0))dx + 2C. 1. 1. 2k|Ω| 2 e− 2. ZT ||u(., t)||L2 (Ω) dt 0. por el principio del máximo, la solución es no negativa:. Z. ZT. Z u(x, T )φ(x, T )dx ≤. Ω. |u0 (x)||φ(x, 0)|dx + 2C 0. Ω. √ +. ||u(., t)||H01 (Ω) dt. 1. 1. 2k|Ω| 2 e− 2. ZT ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. Z ≤. |u0 (x)||φ(x, 0)|dx + (2C + Ω. √. 1 2. − 12. 2k|Ω| e. ZT ||u(., t)||H01 (Ω) dt. ) 0.

(60) 53 luego: Z. Z u(x, T )φ(x, T )dx ≤. Ω. ||u0 ||L∞ (Ω) dx + (2C +. √. 1 2. 2k|Ω| e. ). 1. 0 T Z. Ω. ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + (2C +. √. 1. ZT. − 12. 2k|Ω| 2 e− 2 ). ||u(., t)||H 1 (Ω) dt 0. ||u(., t)||H 1 (Ω) dt 0. 0. haciendo D = (2C +. √. 1. 1. 2k|Ω| 2 e− 2 ) se tiene que: ZT. Z u(x, T )φ(x, T )dx ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + D. ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. Ω. Z u(x, t)φ(0, T )dx → +∞, cuando t → T. Por tanto, si para T > 0, se tiene que Ω. ZT ||u(., t)||H01 (Ω) dt. entonces. →. +∞,. de. esto. se. tiene. que:. 0. ||u(., t)||H01 (Ω) dt → +∞ y en consecuencia |u(x, t)| → +∞. Con esto queda demostrado (II).. Para demostrar (III) se parte de la última desigualdad obtenida:. ZT. Z u(x, T )φ(x, T )dx ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + D. ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. Ω. pero, por ser T tiempo de explosión, se cumple que:. Z. Z u(x, t)φ(x, t)dx, ∀t ∈ [0, T ). u(T, x)φ(x, T )dx > Ω. Ω. entonces:. ZT. Z u(x, t)φ(x, t)dx < |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + D Ω. ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. Se conoce que:. ||u(., t)||H01 (Ω) ≥ ||u(., t)||L2 (Ω) , ∀t ∈ [0, T ],.

(61) 54 y además: u(x, t) < +∞ para t ∈ [0, T ). entonces para T0. < T,. existe δ1 = δ1 (T0 ) > 0 tal que:. ||u(., t)||H01 (Ω) ≤ δ1 ||u(., t)||L2 (Ω) , ∀ t ∈ [0, T0 ], y como Ω es acotado se cumple que:. ||u(., t)||L2 (Ω) ≤ ||u(., t)||L∞ (Ω) , ∀ t ∈ [0, T0 ], en consecuencia:. ||u(., t)||H01 (Ω) ≤ δ1 ||u(., t)||L∞ (Ω) , ∀ t ∈ [0, T0 ], Por otro lado:. Z. Z. |u(x, t)|.|φ(x, t)|dx. u(x, t)φ(x, t)dx ≤ Ω. Ω Z. ≤. ||u(., t)||L∞ (Ω) dx Ω. = |Ω|.||u(., t)||L∞ (Ω) y sea δ > 0 tal que:. Z u(x, t)φ(x, t)dx ≥ δ|Ω|.||u(., t)||L∞ (Ω) , ∀ t ∈ [0, T ), Ω. ≥ |Ω|.||u||L∞ ((0,T );L∞ (Ω)) Ahora, regresando a la desigualdad:. ZT. Z u(x, t)φ(x, t)dx < |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + D. ||u(., t)||H01 (Ω) dt 0. Ω. o de forma equivalente:. ZT |Ω|.||u||L∞ ((0,T );L∞ (Ω)) ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + D. δ1 ||u(., t)||L∞ (Ω) dt 0. √ ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) + Dδ1 T ||u||L2 ((0,T );L∞ (Ω)).

(62) 55 pero como: ||u||L2 ((0,T );L2 (Ω)) ≤ ||u||L∞ ((0,T );L∞ (Ω)) entonces:. √ |Ω|.||u||L∞ ((0,T );L∞ (Ω)) − Dδ1 T ||u||L2 ((0,T );L∞ (Ω)) ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) √ (|Ω| − Dδ1 T )||u||L2 ((0,T );L∞ (Ω)) ≤ |Ω|.||u0 ||L∞ (Ω) donde se obtiene que:. ||u||L2 ((0,T );L∞ (Ω)) ≤. |Ω| √ .||u0 ||L∞ (Ω) |Ω| − Dδ1 T. para todo t ∈ [0, T0 ]. Y para que la desigualdad tenga sentido se debe cumplir. √. que: |Ω| − Dδ1 T > 0, es decir:. T <. |Ω| Dδ1. 2. .2.