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EDO – Teoría de la existencia y la prolongabilidad
Contenidos:
Teorema de Ascoli – Arzelá ··· 2
Teorema de Cauchy – Peano ··· 4
Teorema de Picard – Lindelöf ··· 9
Lema de Wintner ··· 12
Lema de Gronwall ··· 18
Teorema de las soluciones aproximadas ··· 21
Teorema de dependencia Lipschitz de las condiciones iniciales ··· 23
Teorema de dependencia continua de parámetros ··· 24
Teorema de diferenciabilidad de Peano ··· 26
Teorema de dependencia diferenciable de valores iniciales ··· 28
2
A lo largo del capítulo estudiaremos la teoría de existencia y unicidad, la teoría de la prolongabilidad y la dependencia de parámetros.
El primer teorema que vemos es el teorema de Cauchy-Peano o Teorema de existencia Global.
Idea del teorema: En aplicación del teorema de Ascoli – Arzelá se construye una sucesión de poligonales de Euler, que son soluciones aproximadas del PVI.
Como vemos que va a ser relevante, recordamos el teorema de Ascoli-Arzelá.
Para ello tenemos que recordar primero qué significaba la equicontinuidad.
Definición: Equicontinuidad.
Diremos que una sucesión de funciones {𝑓𝑘} ⊂ 𝒞([𝑎, 𝑏]) es equicontinua si, y sólo si:
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑞 ∀𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏], |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 ⟹ |𝑓𝑘(𝑥) − 𝑓𝑘(𝑦)| < 𝜀, ∀𝑘 ∈ ℕ
Salta a la vista que es un concepto muy similar al de límite (y continuidad por lo tanto) en funciones de variable real. La idea que representa formalmente es la de que “a más cerca estén dos puntos 𝑥, 𝑦 más cerca estarán sus imágenes, independientemente del miembro de la sucesión de funciones”. Algo así como una continuidad “sobre toda la sucesión”.
Teorema: Ascoli – Arzelá.
Dada una sucesión {𝑓𝑘} ⊂ 𝒞([𝑎, 𝑏]). Si es equicontinua y uniformemente acotada entonces existe una subsucesión uniformemente convergente en [𝑎, 𝑏].
Demostración.
Consideremos el conjunto numerable ℚ ∩ [𝑎, 𝑏], subconjunto de [𝑎, 𝑏].
Ordenamos dicho conjunto:
ℚ⋂[𝑎, 𝑏] = {𝑥1, 𝑥2, … } =: 𝐵 Sea ahora:
{𝑓𝑘(𝑥1)}𝑘∈ℕ⊂ ℝ
Una sucesión acotada de números. Por compacidad podemos extraer una subsucesión convergente. Digamos:
{𝑓𝑘1(𝑥1)}
𝑘∈ℕ⊂ {𝑓𝑘(𝑥1)} ⊂ ℝ Considero ahora la sucesión acotada:
{𝑓𝑘1(𝑥2)}
{𝑓𝑘1} ⊂ {𝑓𝑘} ⊂ ℝ Y extraigo la sucesión convergente:
{𝑓𝑘2(𝑥2)}𝑘∈ℕ⊂ {𝑓𝑘1(𝑥2)}
𝑘∈ℕ⊂ ℝ
3
Repitiendo el proceso recurrentemente tenemos:
𝑓11(𝑥), 𝑓21(𝑥), 𝑓31(𝑥), … 𝑓12(𝑥), 𝑓22(𝑥), 𝑓32(𝑥), … 𝑓13(𝑥), 𝑓23(𝑥), 𝑓33(𝑥), …
𝑒𝑡𝑐.
La primera sucesión es convergente en 𝑥1
La segunda sucesión es convergente en 𝑥1 por ser subsucesión de 𝑓𝑘1(𝑥2) y en 𝑥2 por construcción.
De forma análoga, la tercera sucesión es convergente en 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. Y así sucesivamente.
Aplicamos argumento de la diagonal. Consideramos:
𝑓𝑘 ≔ {𝑓𝑘𝑘(𝑥)}𝑘 = 𝑓11(𝑥), 𝑓22(𝑥), 𝑓33(𝑥), …
¿Es uniformemente convergente esta sucesión?
Sí, lo es. Demostración:
Veamos que es de Cauchy uniformemente. Por equicontinuidad se tiene que, dado 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 de forma que:
∀𝑥, 𝑦: |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 ⟹ |𝑓𝑘(𝑥) − 𝑓𝑘(𝑦)| <𝜀
3, ∀𝑘 Nota: 𝛿 depende exclusivamente de 𝜀.
Utilizamos la densidad de ℬ = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … }. Dado 𝛿 > 0, para cada 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
existe 𝑦 ∈ 𝐵 de forma que:
𝑥 ∈ 𝐵(𝑦, 𝛿) ⟺ |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 Entonces el siguiente conjunto:
{𝐵(𝑦, 𝛿)}𝑦∈ℬ
Es un recubrimiento de [𝑎, 𝑏]. Por compacidad, este recubrimiento admite un subrecubrimiento finito. Esto es: existen 𝑦1, … , 𝑦𝑗∈ ℬ de tal manera que:
|𝑥 − 𝑦𝑖| < 𝛿, ∀𝑥, ∀𝑦𝑖
Por último, tenemos que en dichos puntos 𝑦𝑖 la sucesión 𝑓𝑘 es convergente. Es decir que existe 𝑁𝑖 natural, de tal manera que:
|𝑓𝑛(𝑦𝑖) − 𝑓𝑚(𝑦𝑖)| <𝜀
3, ∀𝑛, 𝑚 > 𝑁𝑖 Tomemos: 𝑁 = max
𝑖=1,…,𝑗𝑁𝑖
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Entonces, si 𝑛, 𝑚 > 𝑁 se tiene que |𝑓𝑛− 𝑓𝑚| < 𝜀. En efecto:
|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑚(𝑥)| = |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑦𝑗) + 𝑓𝑛(𝑦𝑗) − 𝑓𝑚(𝑦𝑗) + 𝑓𝑚(𝑦𝑗) − 𝑓𝑚(𝑥)| < 𝜀 Por lo tanto 𝑓𝑘 converge uniformemente en ℬ. QED.
Vamos con el teorema de existencia de Cauchy-Peano.
Teorema (Cauchy-Peano): Sea 𝐹: 𝐷 = [𝑡0− 𝑇, 𝑡0+ 𝑇] × 𝑈 → ℝ𝑛 donde 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 es un entorno abierto de 𝜉0.
Se supone que 𝐹 es continua en 𝐷 y está acotada por 𝑀. Esto es, que para cualquier (𝑡, 𝑥) ∈ 𝐷 se tiene |𝐹(𝑡, 𝑥)| ≤ 𝑀.
Entonces, para el PVI
{𝑥′(𝑠) = 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠)) 𝑥(𝑡0) = 𝜉0
Existe al menos una solución definida en (𝑡0− 𝜏, 𝑡0+ 𝜏), 𝜏 > 0
Fig 1. Teorema de Cauchy – Peano.
Demostración.
Dividiremos la demostración del teorema en tres partes.
Parte 1
En primer lugar, damos una definición previa.
Definición: Soluciones aproximadas.
Diremos que 𝑦𝜖: [𝑡0− 𝜏, 𝑡𝑜+ 𝜏] → ℝ𝑛 es una solución aproximada del problema de valores iniciales con error 𝜖 > 0 si:
𝑈 𝐷
𝑇 𝑡0 𝜉0
ℝ ℝ𝑛
ℝ𝑛 𝑀 𝐹
( )
5 1) (𝑡, 𝑦𝜖(𝑡)) ∈ 𝐷 cuando 𝑡 ∈ [𝑡0− 𝜏, 𝑡0+ 𝜏]
2) 𝑦𝜖 es continua en [𝑡0− 𝜏, 𝑡0+ 𝜏] y tiene derivada acotada, salvo, como mucho, en un número finito de puntos.
3) |𝑦𝜖′(𝑡) − 𝐹(𝑡, 𝑦𝜖(𝑡))| ≤ 𝜖 para cualquier 𝑡 ∈ [𝑡0− 𝜏, 𝑡0+ 𝜏] salvo quizás en aquellos puntos en los que la derivada no está acotada.
4) 𝑦𝜖(𝑡0) = 𝜉0
Bueno, vamos a ver que las poligonales de Euler son soluciones aproximadas del problema de valores iniciales para una elección adecuada del paso ℎ y del intervalo de definición.
Proposición 1. Sea 𝐹 continua en 𝐷, y sea 𝜏 tal que 𝐵̅(𝜉0, 𝜏 · 𝑀) ⊂ 𝑈, donde 𝑀 es una cota de 𝐹 en 𝐷. Entonces, para cualquier 𝜖 > 0 existe una poligonal de Euler
𝑦𝜖: [𝑡0− 𝜏, 𝑡𝑜+ 𝜏] → ℝ𝑛
Que es solución aproximada del problema de valores iniciales con error 𝜖.
Fig 2. Poligonales de Euler como soluciones aproximadas
Demostración.
Vamos a construir poligonales 𝜖-aproximadas. Demostraremos, simplemente, que cumplen la definición. Las construiremos, además, en el intervalo [𝑡0, 𝑡0+ 𝜏].
Naturalmente, en la otra mitad del intervalo es completamente análogo.
Elegiremos como paso de la poligonal ℎ = 𝜏/𝑘, donde 𝑘 es un natural que determinaremos a continuación.
El intervalo queda entonces dividido en 𝑘 trozos mediante 𝑘 + 1 puntos.
{𝑡0, … , 𝑡𝑘} Los cuales generan otros tantos 𝜉𝑗, definidos por:
𝜉𝑗≔ 𝜉𝑗−1+ ℎ · 𝐹(𝑡𝑗−1, 𝜉𝑗−1)
𝑈 𝐷
𝑇 𝑡0 𝜉0
ℝ ℝ𝑛
ℝ𝑛 𝑀
{ }
𝐹
𝜏
{ }
𝜏 · 𝑀
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La poligonal va a ser la interpolación lineal entre estos valores. Probamos que las poligonales cumplen las propiedades de las soluciones aproximadas.
1) 𝑡 ∈ [𝑡0− 𝜏, 𝑡0+ 𝜏] ⟹ (𝑡, 𝑦𝜖(𝑡)) ∈ 𝐷
𝑡𝑗− 𝑡𝑗−1= ℎ. Entonces |𝜉1− 𝜉0| = |ℎ · 𝐹(𝑡0, 𝜉0)| ≤ ℎ · 𝑀. Por inducción:
|𝜉𝑗− 𝜉0| ≤ 𝜏 · 𝑀
Se ha elegido 𝜏 tal que 𝐵(𝜉0, 𝜏 · 𝑀) ⊂ 𝑈. Por convexidad, las poligonales de Euler pertenecen al dominio. ∎
2) Es obvio que son continuas y además el valor siempre es finito porque la imagen de un punto para cierto 𝑡 es 𝐹 que está acotada. ∎
3) Fijado 𝑘 se tiene que el valor de la poligonal es:
𝑃𝑘(𝑡) = 𝜉𝑗+ 𝐹(𝑡𝑗, 𝜉𝑗) · (𝑡 − 𝑡𝑗), ∀𝑡 ∈ [𝑡𝑗, 𝑡𝑗+1] Queremos demostrar que:
|𝑃𝑘′(𝑡) − 𝐹(𝑡, 𝑃𝑘(𝑡))| < 𝜖
Por la continuidad uniforme (por compacidad) de 𝐹, dado 𝜖 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que: si |𝑡 − 𝑠| < 𝛿 y |𝜉 − 𝜂| < 𝛿 entonces:
|𝐹(𝑡, 𝜉) − 𝐹(𝑠, 𝜂)| < 𝜖 Tomemos 𝑘 de tal manera que:
ℎ = 𝜏 𝑘 ≤ 𝛿 Así, si 𝑡 ∈ [𝑡𝑗, 𝑡𝑗+1] entonces: 𝑀
|𝑃𝑘′(𝑡) − 𝐹(𝑡, 𝑃𝑘(𝑡))| = |𝐹(𝑡𝑗, 𝜉𝑗) − 𝐹 (𝑡, 𝜉𝑗+ 𝐹(𝑡𝑗, 𝜉𝑗)(𝑡 − 𝑡𝑗))|
Dado que |𝑡 − 𝑡𝑗| < ℎ ≤ 𝛿 y |𝜉𝑗− (𝜉𝑗+ 𝐹(𝑡𝑗, 𝜉𝑗)(𝑡 − 𝑡𝑗)) ≤ ℎ · 𝑀 ≤ 𝛿 queda que:
|𝑃𝑘′(𝑡) − 𝐹(𝑡, 𝑃𝑘(𝑡))| < 𝜖, ∎
Parte 2
Proposición: Sea {𝜖𝑘} sucesión acotada de números positivos. Entonces la sucesión {𝑦𝜖𝑘} ⊂ [𝑡0, 𝑡0+ 𝜏] de soluciones 𝜖𝑘-aproximadas del PVI es equiacotada y equicontinua.
Demostración:
Observamos que, para un solución aproximada 𝑦𝜖𝑘 que naturalmente cumple las condiciones 1),2) se sigue, por iteración en los intervalos [𝑡𝑗, 𝑡𝑗+1] del teorema fundamental del cálculo, que dado 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0+ 𝜏]:
𝑦𝜖𝑘(𝑡) = 𝑦𝜖𝑘(𝑡0) + ∫ 𝑦𝜖′(𝑠) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
7 Demostración de equiacotada:
|𝑦𝜖𝑘(𝑡) − 𝜉0| = |∫ 𝑦′(𝑠) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
| ≤ ∫ |𝐹 (𝑠, 𝑦𝜖𝑘(𝑠))| · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
+ 𝜖𝑘· 𝜏 ≤ 𝜏 · (𝑀 + 𝜖𝑘) Demostración de equicontinuidad.
𝑦𝜖𝑘(𝑡) − 𝑦𝜖𝑘(𝑡̅) = ∫ 𝑦𝜖(𝑠) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑡̅
Por lo tanto:
|𝑦𝜖(𝑡) − 𝑦𝜖(𝑡̅)| ≤ 𝜖 · (𝑡 − 𝑡̅) + ∫ |𝐹(𝑠, 𝑦𝜖(𝑠))| · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡̅
≤ (𝑀 + 𝜖) · (𝑡 − 𝑡̅)
QED
Parte 3
Hallar una solución del PVI es equivalente a hallar una 𝑥(𝑡) que satisfaga:
𝑥(𝑡) = 𝜉0+ ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
, (𝟏)
Tomemos las 𝜖𝑘 soluciones aproximadas dadas por las poligonales de Euler.
Tomemos 𝑦𝑘 subsucesión uniformemente convergente dada por el teorema de Ascoli – Arzelá.
Veamos entonces que su límite uniforme es una solución de (1).
Sea 𝛿 > 0 tal que, por la continuidad uniforme de 𝐹, si |𝜉 − 𝜂| < 𝛿 entonces:
|𝐹(𝑡, 𝜉) − 𝐹(𝑡, 𝜂)| ≤ 𝜖/3𝜏 Tomemos 𝑘 suficientemente grande como para que:
|𝑥 − 𝑦𝑘| < min (𝛿, 𝜖/3) Y también:
𝜖𝑘 < 𝜖/3𝜏 Entonces:
|𝑥(𝑡) − 𝜉0− ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
| ≤
≤ |𝑥(𝑡) − 𝑦𝑘(𝑡) + 𝑦𝑘(𝑡) − 𝜉0− ∫ 𝐹(𝑠, 𝑦𝑘(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
+ ∫ 𝐹(𝑠, 𝑦𝑘(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑡0
− ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
| ≤
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≤ 𝜖
3+ 𝜖𝑘· 𝜏 +𝜖 3≤ 𝜖
Como 𝜖 es tan pequeño como se desee, queda probada la convergencia. QED.
Tal y como hemos visto, Cauchy – Peano sólo nos asegura la existencia de solución, no la unicidad. Vamos a ver otro teorema basado en los sistemas de ecuaciones diferenciales que da condiciones suficientes para la existencia de solución única a nivel local. Primero tenemos que revisitar algunos conceptos.
Definición: Lipschitzidad local.
Decimos que una función 𝑓: ℝ𝑛→ ℝ𝑚 es localmente Lipschitz si dado cualquier punto 𝑥 ∈ ℝ𝑛 existe un entorno suyo en el que 𝑓 es globalmente Lipschitz.
Definición: Lipschitzidad global.
Decimos que una función 𝑓: ℝ𝑛→ ℝ𝑚 es globalmente Lipschitz si existe una constante 𝐿 tal que:
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ 𝐿 · |𝑥 − 𝑦|, ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 Observaciones:
1) En particular, si 𝐷𝑓 continua y acotada en el dominio 𝐷 de definición, por el teorema del valor medio se prueba que 𝑓 cumple la hipótesis de Lipschitzidad local, y además:
𝐿 = 𝑛 · sup{|𝐷𝑖𝑓(𝑥)|: 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑖 = 1, … , 𝑛}
2) La constante de Lipschitz permite controlar la distancia entre soluciones.
Esto motiva el siguiente Lema:
Lema: Dependencia continua de las condiciones iniciales.
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 soluciones de 𝑥′ = 𝐹(𝑡, 𝑥), supongamos 𝐹 función 𝐿-lipschitziana en un entorno de las gráficas de 𝑥, 𝑦 para 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]. Entonces, si 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]:
|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)| ≤ 𝑒𝐿·(𝑡−𝑡0)· |𝑥(𝑡0) − 𝑦(𝑡0)|
Demostración:
Se obtiene directamente derivando.
𝑑
𝑑𝑡· |𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|2= 2 · |𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)| · |𝐹(𝑡, 𝑥) − 𝐹(𝑡, 𝑦)| ≤ 2𝐿|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|2 Entonces:
|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)| ≤ 𝑒𝐿·(𝑡−𝑡0)· |𝑥(𝑡0) − 𝑦(𝑡0)|
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Teorema (Picard-Lindelöf): Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ × ℝ𝑛→ ℝ𝑛 continua y 𝐿-lipschitz con respecto a la segunda variable 𝜉 ∈ ℝ𝑛 en 𝐷 entorno de (𝑡0, 𝜉0). Entonces el PVI:
𝑥′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑥), 𝑥 ∈ ℝ𝑛 Tiene una única solución en 𝑡 ∈ (𝑡 − 𝛿, 𝑡 + 𝛿), con 𝛿 > 0.
Fig 3. Teorema de Picard – Lindelöf.
Demostración:
𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ × ℝ𝑛→ ℝ𝑛 𝑥: [𝑡 − 𝛿, 𝑡 + 𝛿] → ℝ𝑛
𝑥′= 𝐹(𝑡, 𝑥) 𝑥(𝑡0) = 𝜉0
Podemos suponer que 𝑈 = [𝑡0− 𝑇, 𝑡0+ 𝑇] × 𝐵̅(𝜉0, 𝜌). Utilizaremos el teorema del punto fijo de Banach. Encontrar una solución del PVI es encontrar una 𝑥(𝑡) tal que:
𝑥(𝑡) = 𝜉0+ ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
, 𝑡 ∈ [𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿]
Definimos la aplicación:
𝜙(𝑦(𝑡)) = 𝜉0+ ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑡0
𝜙: 𝒞([𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿], ℝ𝑛) → 𝒞([𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿], ℝ𝑛) 𝑀 𝐷
𝑡0 𝑇 𝜉0
ℝ ℝ𝑛
𝑈
ℝ𝑛
𝐹
𝛿
𝜌 𝑈
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Vamos a ver que 𝜙 es una aplicación contractiva sobre el espacio métrico 𝒞([𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿], ℝ𝑛) para una cierta elección de 𝛿 > 0 y con la norma del supremo con el peso 𝑒𝐿𝑡.
Para que esté bien definido 𝜙 debe tener sentido 𝐹(𝑠, 𝑦(𝑠))
Para 𝑠 ∈ [𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿], luego 𝑦(𝑠) ⊂ 𝐵(𝜉0, 𝜌) ⟺ |𝑦 − 𝜉0| < 𝜌. Por lo tanto:
sup
𝑠∈[𝑡0−𝛿,𝑡0+𝛿]
|𝑦(𝑠) − 𝜉0| < 𝜌 Tomemos el espacio de funciones:
𝔹 = {𝑦 ∈ 𝒞((𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿)): |𝑦 − 𝜉0| < 𝜌 ∀𝑡 ∈ [𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿]}
Elegiremos 𝛿 para que:
𝜙: 𝔹 → 𝔹 Es decir que:
|𝜙(𝑦(𝑡)) − 𝜉0| < 𝜌, ∀t ∈ [t0− δ, t0+ δ]
Esto es:
|𝜉0+ ∫ 𝐹(𝑠, 𝑦(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
− 𝜉0| ≤ ∫ |𝐹(𝑠, 𝑦(𝑠))| · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
= 𝑀 · (𝑡 − 𝑡0) ≤ 𝑀𝛿 < 𝜌 Con lo cual, hemos de escoger 𝛿 tal que:
𝛿 < 𝜌 𝑀
Nota: Seguimos suponiendo 𝐹 acotada al igual que antes, lógicamente.
Ahora, sean 𝑦, 𝑧 ∈ 𝔹 veamos que 𝜙 contractiva en 𝔹 para la siguiente distancia:
|𝑦 − 𝑧|𝐿 = sup
𝑡∈[𝑡𝑜,𝑡0+𝛿]
{𝑒−𝐿𝑡|𝑦 − 𝑧|}
Veámoslo:
|𝜙𝑦 − 𝜙𝑧|𝐿 = sup
𝑡∈(𝑡0−𝛿,𝑡0+𝛿){𝑒−𝐿𝑡· |∫ 𝐹(𝑠, 𝑦) − 𝐹(𝑠, 𝑧) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
|} ≤
≤ sup
𝑡 {∫ 𝑒−𝐿𝑡· 𝐿 · |𝑦 − 𝑧|𝐿· 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
} ≤ |𝑦 − 𝑧|𝐿· sup
𝑡 {1 − 𝑒𝑡0−𝑡}
En efecto, 𝜙 es contractiva constante 𝐶 = 1 − 𝑒−𝐿𝑡< 1, con lo cual existe un punto fijo.
QED.
11 Observaciones:
1) Se ha probado que 𝜙(𝑦(𝑠)) ≔ 𝜉0+ ∫ 𝐹(𝑠, 𝑦(𝑠)) · 𝑑𝑠𝑡𝑡
0 es contractiva en el espacio de funciones continuas en (𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿) que distan de 𝜉0 menos que 𝜌, y que por lo tanto en dicho entorno, que corresponde a la zona rallada en verde en la figura 3, existe una única solución.
2) El tamaño 𝛿 del intervalo de existencia-unicidad depende de 𝜌, definido previamente, y de 𝑀 cota de 𝐹.
3) El tamaño 𝛿 es independiente de 𝐿 constante de Lipschitzidad.
4) Se deduce que la solución es prolongable hasta un 𝑡1 tal que |𝑡1− 𝑡0| no exceda ni 𝑇 ni tampoco 𝜌/𝑀. Recordemos, 𝑇 es la “anchura” de 𝑈 utilizada en Cauchy – Peano.
5) Utilizamos la norma con peso exponencial porque así 𝛿 no depende de la constante 𝐿.
6) Cauchy – Peano supone únicamente la continuidad de 𝐹 e implica existencia. Al exigirle a 𝐹 también Lipschitzidad podemos asegurar unicidad, sin embargo el intervalo en el que existe solución única no depende de la constante de Lipschitzidad, si no del tamaño del entorno de 𝜉0= 𝑥(𝑡0) y de la cota de 𝐹.
Podemos preguntarnos si es posible llevar a 𝛿 más allá de min(𝑇, 𝜌/𝑀). Esto motiva la siguiente etapa de nuestro estudio. La prolongabilidad de soluciones.
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Empezamos viendo algunas definiciones previas.
Definición: Intervalo de definición y prolongaciones.
Sea 𝑥 una solución del PVI e 𝐼 aquel intervalo centrado en 𝑡0 en el cual está definida. Designaremos mediante el par (𝑥, 𝐼) a dicha solución asociada al intervalo. Diremos que (𝑥̃, 𝐼̃) es prolongación de (𝑥, 𝐼) si:
1) 𝐼 ⊂ 𝐼̃
2) 𝑥̃ = 𝑥, ∀𝑡 ∈ 𝐼
Ambos 𝐼, 𝐼̃ pueden ser intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos, semicerrados o semirectas.
Definición: Prolongabilidad.
Diremos que (𝑥, 𝐼) es no prolongable si no existe prolongación de (𝑥, 𝐼).
Lema: Dada (𝑥, 𝐼) siempre existe una prolongación suya (𝑥̃, 𝐼̃) que es no prolongable.
Demostración:
Sea 𝒫 = {(𝑥𝛼, 𝐼𝛼)}𝛼
Diremos que (𝑥𝛼, 𝐼𝛼) ≼ (𝑥𝛽, 𝐼𝛽) ⟺ 𝐼𝛼⊂ 𝐼𝛽
Se tiene que (𝒫, ≼) es totalmente ordenado.
Sea (𝑥𝛼, 𝐼𝛼) cadena de prolongaciones.
Si defino (𝑥, 𝐼) tal que 𝐼 = ⋃ 𝐼𝛼 𝛼, tal (𝑥, 𝐼) es una cota superior.
Entonces, por le lema de Zorn existe elemento maximal. Entonces, por definición, dicho maximal constituye una solución no prolongable. ∎
Definición: Punto de acumulación.
Diremos que 𝜉0 es un punto de acumulación de 𝑥(𝑡) cuando 𝑡 → 𝑡0− si existe una sucesión {𝑡𝑘} → 𝑡0− de tal manera que 𝑥(𝑡𝑘) → 𝜉0.
Con ésta última definición quiere decirse, formalmente, que (𝑡0, 𝜉0) es un punto de acumulación de la gráfica {(𝑡, 𝑥(𝑡)): 𝑡 < 𝑡0}. Es decir que:
Dado 𝜖 > 0 existe 𝜏 > 0 de tal manera que 0 < 𝑡0− 𝜏 < 𝜖 y |𝑥(𝑡0− 𝜏) − 𝜉0| < 𝜖
Vemos el primer lema importante de prolongabilidad.
Lema (de Wintner): Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ × ℝ𝑛→ ℝ𝑛 continua, con 𝐷 entorno abierto de (𝑡0, 𝜉0). Si existe solución de 𝑥′= 𝐹(𝑡, 𝑥) definida en (𝑡0− ℎ, 𝑡0) con ℎ > 0 y 𝜉0 es punto de acumulación de 𝑥(𝑡) cuando 𝑡 → 𝑡0−, entonces ∃ lim
𝑡→𝑡0−𝑥(𝑡) = 𝜉0.
13 Demostración:
Tenemos el cilindro 𝐴 = [𝑡0− 𝑇, 𝑡0] × 𝐵̅(𝜉0, 𝜀1), suponiendo 𝐹 continua en 𝐴, que es compacto.
Se tiene 𝐹 está acotada por 𝑀 en 𝐴.
Sea 𝜖 > 0 que podemos suponer 𝜖 < 𝜀1. Y tomemos 𝛿 = 𝜖/4𝑀. Tomemos también 𝑡1∈ [𝑡0− 𝑇, 𝑡0] tal que |𝑡1− 𝑡0| < 𝛿. Y además |𝑥(𝑡1) − 𝜉0| < 𝜖/2, cosa que podemos suponer por ser 𝜉0 punto de acumulación en 𝑡 → 𝑡0−. Consideremos:
𝑉 = {𝑡 ∈ (𝑡1, 𝑡0): |𝑥(𝑡) − 𝜉0| > 𝜖}
Se trata de probar que 𝑉 = ∅ Supongamos que no.
Tomamos 𝑡̅ = inf 𝑉. Entonces |𝑥(𝑡) − 𝜉0| ≤ 𝜖 < 𝜀1 cualquiera que sea 𝑡 ∈ (𝑡1, 𝑡̅).
Entonces, cuando 𝑡 pertenece a dicho intervalo 𝑥(𝑡) ∈ 𝐵(𝜉0, 𝜀1), esto es, en dicho intervalo la gráfica está en 𝐴. Esto no puede pasar:
Por el teorema del valor medio, y teniendo en cuenta quién es 𝑡1:
|𝑥(𝑡̅) − 𝜉0| ≤ |𝑥(𝑡̅) − 𝑥(𝑡1)| + |𝑥(𝑡1) − 𝜉0| ≤ 𝜖 +𝜖 2=3
4𝜖 < 𝜖
Pero tal como hemos definido 𝑡̅ se tiene que |𝑥(𝑡̅) − 𝜉0| ≥ 𝜖. Contradicción.
QED.
Fig 4. Siendo 𝜉0 pto de acumulación y bajo las hipótesis, es imposible encontrar puntos en la zona verde.
𝒕𝟎 𝒕𝟎− 𝑻
𝝃𝟎 𝑫
ℝ𝒏
ℝ 𝜺𝟏
𝑨
𝜹 𝒕𝟏
𝝐/𝟐 𝝐/𝟐
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Observación: La función 𝑥 no podría por ejemplo ser un llamado seno del topólogo porque entonces 𝐹 → ∞ en 𝑡 → 𝑡0−, y 𝐹 es acotada por compacidad.
Definición: Frontera extendida.
Sea un conjunto 𝐷 y 𝜕𝐷 = 𝐷̅ ∖ 𝐷̇ su frontera topológica definimos la frontera extendida como:
1) 𝜕𝐷 ∪ {∞}, si 𝐷 no acotado.
2) 𝜕𝐷, si 𝐷 acotado.
Corolario (de Wintner) PRIMERA VERSIÓN:
Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 continua con 𝐷 abierto.
Sea (𝑥, 𝐼) solución de 𝑥′ = 𝐹(𝑡, 𝑥) que suponemos no prolongable a la derecha.
Entonces 𝐼 = [𝑡0, 𝑡1) es abierto por la derecha, y además, si 𝑡 → 𝑡1− los puntos de acumulación de 𝑥 están en la frontera extendida de 𝐷.
Demostración:
Fig 5. Consecuencia de Wintner: Las situaciones 𝑥1, 𝑥2 son posibles; 𝑥3 no.
ℝ ℝ𝑛
𝑡0 𝑡11 𝑡12
𝑥(𝑡)
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡)
𝜕𝐷 𝐷
15 Si 𝐼 = [𝑡0, ∞) trivial.
Supongamos que el intervalo es finito (en el sentido de: longitud finita).
Si lim
𝑡→𝑡1−𝑥(𝑡) = ∞ entones 𝜉1 está en la frontera extendida.
Si existe un punto de acumulación finito 𝜉1 entonces el lema de Wintner asegura que existe el límite. Dicho punto 𝜉1 no puede pertenecer al interior de 𝐷 porque entonces el problema:
{ 𝑦′ = 𝐹(𝑡, 𝑥) 𝑦(𝑡0) = 𝑥(𝑡1)
Tendría solución y la solución (𝑥, 𝐼) sería prolongable, contradicción.
La única posibilidad es que 𝜉1 pertenezca a la frontera topológica. QED.
Corolario (de Wintner) SEGUNDA VERSIÓN:
Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 con 𝐷 abierto.
Sea (𝑥, 𝐼) solución de 𝑥′ = 𝐹(𝑡, 𝑥) que suponemos no prolongable a la derecha.
Dado cualquier compacto 𝐾 ⊂ 𝐷 la solución escapa de 𝐾 en un 𝑡𝑘 < sup 𝐼, quiere decirse: 𝑥(𝑡) ∉ 𝐾, ∀𝑡 > 𝑡𝑘.
Demostración:
Supongamos 𝐼 = (𝑇0, 𝑇1), y una sucesión 𝑡𝑗→ 𝑇1 de tal manera que (𝑡𝑗, 𝑥𝑗) ∈ 𝐾. Por definición de compacidad, existe (𝑇1, 𝜉) = lim
𝑗→∞(𝑡𝑗, 𝑥𝑗(𝑡)) ∈ 𝐾 ⊂ 𝐷. Por el lema de Wintner existe (𝑇1, 𝜉) = lim
𝑡→𝑇1(𝑡, 𝑥(𝑡)), un punto interior de 𝐷. La solución (𝑥, 𝐼) podríamos prolongarla con una solución local a la derecha de del problema con valor inicial 𝑥(𝑇1) = 𝜉. Contradicción.
Fig 6. Si la solución no escapase de 𝐾 antes de llegar a sup 𝐼 entonces sería prolongable ℝ
ℝ𝑛
𝜕𝐷 𝐷
𝐾
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Observación: El comportamiento de la solución en 𝑡 → 𝑡1 no tiene por qué ser tan simple; puede ser muy diverso (oscilatorio, asintótico…).
Veamos algunos ejemplos de todo esto.
Ejemplo 1. Consideramos el domino 𝐷 = (−2,2) × (−2,2) con el PVI:
{𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) 𝑦(0) = 1
Tiene solución 𝑦 = 𝑒𝑡, que alcanza frontera en (−2, log(2)) y por el lema de Wintner no es prolongable.
Ejemplo 2. Consideremos ahora 𝐷 = {(𝑡, 𝑦): 𝑡 > 0, 𝑦 > 0} con el problema:
{𝑦′(𝑡) = 𝑦13𝑡 𝑦(1) = 𝑦0 Por integración elemental:
𝑦(𝑡) = (𝑦0
2 3+2
3(𝑡 − 1))
3 2
Entonces para valores positivos de 𝑦0 las soluciones no prolongables a la izquierda llegan a 𝑦 = 0, ya que si 𝑦(𝑡) = 0 tiene solución 𝑡0> 0. El límite de la gráfica de estas soluciones no prolongables a la izquierda es el punto (𝑡0, 0).
Ejemplo 3. Sea el problema de valores iniciales con 𝐷 = {(𝑡, 𝑦): 𝑡 < 1, 𝑦 ∈ ℝ}
𝑦(𝑡) = {
𝑦′(𝑡) = {
0, |𝑦| ≥ 1 1
(1 − 𝑡)2· √1 − 𝑦2, |𝑦| < 1 𝑦(0) =1
2
Las ecuaciones satisfacen las condiciones del teorema de existencia si 𝑡 ≠ 1. Por integración elemental se obtiene una solución no prolongable a la derecha:
𝑦(𝑡) = sin ( 1
1 − 𝑡− 1 +𝜋 4)
Es un ejemplo de solución que oscila en 𝑡 → 1 y no tiene límite. Los infinitos puntos de acumulación de la gráfica para 𝑡 → 1 están en la frontera del dominio.
Observa que la unicidad falla para los valores iniciales 𝑦(𝑡0) = 1.
17 Por último, un resultado de prolongabilidad.
Sea 𝐷 dominio abierto de 𝐹 continua, tal que [𝑡0, 𝑡1] × ℝ𝑛⊂ 𝐷. Si ||𝐹|| acotada por 𝑀, entonces cualquier solución no prolongable (𝑥, 𝐼) del problema del valor inicial 𝑥(𝑡0) = 𝜉 alcanza el punto 𝑡 = 𝑡1.
Basta observar que para la solución no prolongable 𝑥(𝑡) se tiene la acotación para todo 𝑡 ∈ 𝐼:
||𝑥(𝑡) − 𝜉|| ≤ 𝑀 · |𝑡 − 𝑡0|
De aquí se deduce que la solución es no prolongable ya que tiene que abandonar el compacto 𝐾 = [𝑡0, 𝑡1] × 𝐵(𝜉, 𝑀 · |𝑡1− 𝑡0|) en un tiempo 𝑡 < sup 𝐼 y tiene que hacerlo por los puntos (𝑡1, 𝑥), con lo cual 𝑡1 < sup 𝐼.
Lo que acabamos de utilizar es una comparación entre soluciones de dos ecuaciones con mismo dato inicial: 𝑥′= 𝐹(𝑡, 𝑥), 𝑥′= 𝐺(𝑡, 𝑥). En este caso, 𝐺 = 𝑀.
Estos criterios de comparación pueden utilizarse con las desigualdades cambiadas, para obligar a nuestra solución a irse al infinito antes de un tiempo 𝑡. Las soluciones de la ecuación auxiliar las denominamos barreras. Y de esto trata el siguiente capítulo, del criterio de comparación de soluciones.
18 Lema (de Gronwall):
Sean las funciones continuas 𝑦, 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ con 𝑔(𝑡) ≥ 0 tales que se cumple:
𝑦(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡) + ∫ 𝑔(𝑠) · 𝑦(𝑠) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑎
Entonces:
𝑦(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡) + ∫ 𝑔(𝑢) · 𝑓(𝑢) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑢𝑡 · 𝑑𝑢
𝑡 𝑎
Hacemos algunas observaciones antes de demostrarlo.
Observación 0: El lema nos da una estimación de 𝑦 en la que 𝑦 no aparece en el lado derecho, por lo tanto nos sirve para estimar soluciones de una inecuación integral.
Observación 1: El término de la derecha en (2) es una iterante de Picard asociada a la ecuación lineal homogénea 𝑥′(𝑡) = 𝑔(𝑡) · 𝑥(𝑡) cuya solución viene dada por 𝑥(𝑡) = 𝑘 · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 . La idea pues, es definir ℎ(𝑡) = ∫ 𝑔(𝑠) · 𝑦(𝑠) · 𝑑𝑠𝑎𝑡 y usar una variación de parámetros ℎ(𝑡) = 𝑘(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 .
Observación 2: Si existiese igualdad:
𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡) + ∫ 𝑔(𝑠) · 𝑦(𝑠) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑎
Y si 𝑓 fuese derivable:
𝑦′(𝑡) = 𝑓′(𝑡) + 𝑔(𝑡) · 𝑦(𝑡)
Que es una ecuación lineal. Por tanto, resolviendo la homogénea:
𝑦′(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑡) ⟷ 𝑦(𝑡) = 𝑘 · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡
La no homogénea la resolveríamos tomando 𝑦(𝑡) = 𝑘(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 . Esta idea es usada en la demostración. Veamos cómo exactamente.
Demostración:
Escribimos el término de la derecha de (2).
ℎ(𝑡) = ∫ 𝑔(𝑠) · 𝑦(𝑠) · 𝑑𝑠
𝑡 𝑎
= 𝑘(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 Derivando ahora estas dos expresiones, por el TFC.
𝑔(𝑡) · 𝑦(𝑡) = 𝑘′(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 + 𝑘(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 · 𝑔(𝑡) (𝟐)
(𝟑)
19 Utilizando (2).
𝑦(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡) + ℎ(𝑡)
⟹ ℎ′(𝑡) = 𝑔(𝑡) · 𝑦(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)ℎ(𝑡) Cosa que podemos decir usando que 𝑔(𝑡) ≥ 0
Ahora, por (3)
𝑘′(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 + ℎ(𝑡) · 𝑔(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)ℎ(𝑡) 𝑘′(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 ≤ 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡)
𝑘′(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡)𝑓(𝑡)𝑒− ∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡
𝑘(𝑡) ≤ ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑢)𝑒− ∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑎𝑢 𝑑𝑢
𝑡
𝑎
Entonces:
ℎ(𝑡) = 𝑘(𝑡) · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 ≤ ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑢)𝑒− ∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑎𝑢 𝑑𝑢
𝑡 𝑎
· 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 =
= ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑢)𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 𝑑𝑢
𝑡
𝑎
Por tanto, sustituyendo:
𝑦(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡) + ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑢)𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 𝑑𝑢
𝑡 𝑎
, ∎
Veamos un caso particular muy útil. Digamos que 𝑓(𝑡) = 𝐶. Entonces se deduce que:
𝑦(𝑡) ≤ 𝐶 · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡 Demostración:
Según el teorema:
𝑦(𝑡) ≤ 𝐶 + 𝐶 · ∫ 𝑔(𝑢)𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 𝑑𝑢
𝑡
𝑎
Observamos que dentro de la integral tenemos una derivada.
𝑑
𝑑𝑢(𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 ) = −𝑔(𝑢)𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 Entonces denominando, para simplificar:
𝐹(𝑢) = 𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡
20 𝑦(𝑡) ≤ 𝐶 + 𝐶 · ∫ (−𝐹(𝑢)) · 𝑑𝑢
𝑡 𝑎
= 𝐶 + 𝐶 · (𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑡)) = 𝑦(𝑡) ≤ 𝐶 · 𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑎𝑡
En este corolario estamos comparando 𝑦(𝑡) con la solución del problema de valores iniciales 𝑥′(𝑡) = 𝑔(𝑡) · 𝑥(𝑡) con dato inicial 𝑥(𝑎) = 𝐶. Esto sugiere una prueba alternativa del lema de Gronwall basada en propiedades de monotonicidad del operador iterante de Picard.
Lema:
Sea 𝑔: [𝑎, 𝑏] → [0, +∞) continua y 𝛽: [𝑎, 𝑏] → ℝ continua. Supongamos que 𝑦: [𝑎, 𝑏] → ℝ continua y verifica para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]:
𝑦(𝑡) ≤ ∫ (𝑔(𝑠)𝑦(𝑠) + 𝛽(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑎
Entonces:
𝑦(𝑡) ≤ ∫ 𝛽(𝑢)𝑒∫ 𝑔(𝑠)·𝑑𝑠𝑢𝑡 𝑑𝑢
𝑡 𝑎
Demostración:
Para una función ℎ(𝑡) ∈ 𝒞[𝑎, 𝑏] se definió el iterante de Picard correspondiente al problema de valores iniciales:
{𝑧′= 𝑔(𝑡) · 𝑧 + 𝛽(𝑡) 𝑧(𝑎) = 0 Como:
𝑇ℎ(𝑡) = ∫ (𝑔(𝑠)ℎ(𝑠) + 𝛽(𝑠)) · 𝑑𝑠
𝑡
𝑎
Pues bien, este operador es monótono. Suponiendo que ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡) ≥ 0 para cualquier 𝑡 del intervalo de definición, entonces𝑇ℎ1− 𝑇ℎ2≥
La hipótesis del lema dice que:
𝑦(𝑡) ≤ 𝑇𝑦(𝑡) Aplicando 𝑇 repetidas veces tenemos que:
𝑦(𝑡) ≤ 𝑇𝑦(𝑡) ≤ ⋯ ≤ 𝑇𝑘𝑦(𝑡)
Y sabemos que la sucesión de iterantes converge uniformemente a la solución del problema lineal. Es decir:
𝑦(𝑡) ≤ ∫ 𝛽(𝑢)𝑒∫ 𝑔(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 𝑑𝑢
𝑡 𝑎
21
El lema de Gronwall se obtiene de lo anterior con el cambio 𝑦̃(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑓(𝑡).
QED.
Observación: 𝛽(𝑠) = 𝑓(𝑠)𝑔(𝑠)
Teorema (de las soluciones aproximadas de la ecuación):
Sea 𝐹 una función 𝐿-Lipschitz.
Supongamos 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡) dos soluciones aproximadas al sistema 𝑥′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑥), quiere decirse:
||𝑥1′ − 𝐹(𝑡, 𝑥1(𝑡))|| ≤ 𝜀1
||𝑥2′ − 𝐹(𝑡, 𝑥2(𝑡))|| ≤ 𝜀2 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
Con un error 𝛿 en el dato inicial: ||𝑥1(𝑎) − 𝑥2(𝑎)|| ≤ 𝛿 Entonces:
||𝑥1(𝑡) − 𝑥2(𝑡)|| ≤ 𝛿 · 𝑒𝐿(𝑡−𝑎)+ (𝜀1+ 𝜀2) ·𝑒𝐿(𝑡−𝑎)− 1 𝐿
Demostración:
Sea 𝑦(𝑡) = 𝑥1(𝑡) − 𝑥2(𝑡) Entonces:
||𝑦(𝑡)|| = ||𝑥1(𝑡) − 𝑥2(𝑡)|| = ||𝑥1(𝑎) + ∫ 𝑥1′(𝑠)𝑑𝑠
𝑡 𝑎
− 𝑥2(𝑎) − ∫ 𝑥2′(𝑠)𝑑𝑠
𝑡 𝑎
|| =
= ||𝑥1(𝑎) + ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥1(𝑠))𝑑𝑠
𝑡 𝑎
− 𝑥2(𝑎) − ∫ 𝐹(𝑠, 𝑥2(𝑠))𝑑𝑠
𝑡 𝑎
|| ≤
≤ 𝛿 + ∫ ||𝐹(𝑠, 𝑥1(𝑠)) − 𝐹(𝑠, 𝑥2(𝑠))|| 𝑑𝑠
𝑡 𝑎
+ (𝜀1+ 𝜀2)(𝑡 − 𝑎) ≤
≤ 𝛿 + ∫ 𝐿 · ||𝑦(𝑠)||𝑑𝑠
𝑡 𝑎
+ (𝜀1+ 𝜀2)(𝑡 − 𝑎)
22 Utilizando el lema de Gronwall en ||𝑦(𝑡)||:
||𝑦(𝑡)|| ≤ 𝛿 + (𝜀1+ 𝜀2)(𝑡 − 𝑎) + ∫ (𝛿 + (𝜀1+ 𝜀2)(𝑠 − 𝑎)) · 𝐿 · 𝑒∫ 𝐿𝑑𝑢𝑠𝑡 𝑑𝑠
𝑡 𝑎
= Evaluando la integral y operando:
= 𝛿 · 𝑒𝐿(𝑡−𝑎)+ (𝜀1+ 𝜀2) ·𝑒𝐿(𝑡−𝑎)− 1 𝐿
QED.
Un ejemplo de esto: la ecuación del péndulo.
𝑥′′+ 𝜆 sin(𝑥) = 0
Donde 𝑥(𝑡) es la desviación angular respecto de la posición de equilibrio, pero no sabemos integrarla. Entonces, suponiendo pequeñas oscilaciones de modo que 𝑥~sin (𝑥), sustituimos en la fórmula su aproximación lineal:
𝑥′′+ 𝜆𝑥 = 0
Y eso sí que sabemos integrarlo. Estamos comparando las soluciones de dos ecuaciones distintas.
(1) {
𝑥′′+ 𝜆 sin(𝑥) = 0 𝑥′(0) = 𝑣0
𝑥(0) = 𝑥0
, (2) {
𝑦′′+ 𝜆𝑦 = 0 𝑦′(0) = 𝑣0
𝑦(0) = 𝑥0
Con mismos datos iniciales pues. Y queremos ver cómo se aproxima 𝑥 a 𝑦 para tiempos pequeños. Estamos buscando entonces soluciones aproximadas. El problema se plantea como:
{𝑥′= 𝑓1(𝑡, 𝑥)
𝑥(𝑡0) = 𝜉0 , {𝑦′ = 𝑓2(𝑡, 𝑥) 𝑦(𝑡0) = 𝜉1
Donde 𝑓2 es una aproximación de 𝑓1 y los datos 𝜉0, 𝜉1 están próximos: es un error en la medida. Entonces: ¿Cómo de cerca están 𝑥, 𝑦?
Ejercicio: Usar el teorema de las soluciones aproximadas para estimar el error del caso no lineal respecto de la linealización.
23
Vamos a estudiar ahora el problema de la dependencia de parámetros y condiciones iniciales. Veamos un ejemplo que lo ilustra. Consideremos de nuevo la ecuación del péndulo.
𝑥′′+ 𝜆 sin(𝑥) = 0
Aquí, 𝜆 es un parámetro que depende de la elongación del péndulo. (Más concretamente, 𝜆 = 𝑔/𝐿)
Datos iniciales:
{𝑥(0) = 𝜉0 𝑥′(0) = 𝑣0 {𝑥1(𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑥2(𝑡) = 𝑥′(𝑡)→ { 𝑥1′(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝑥2(𝑡) = 𝑥′′= 𝜆 · sin (𝑥1)
⟹ (𝑥1 𝑥2)
′
= ( 𝑥2
𝜆 sin(𝑥1)) , (𝑥1(0)
𝑥2(0)) = (𝜉0 𝑣0)
La solución 𝑥1𝑥2 depende de 𝑔, 𝐿. ¿Cómo se comporta la solución ante cambios en dichos parámetros?¿Y ante variaciones en los valores iniciales?
Empezamos con una consecuencia directa del lema de dependencia continua de las condiciones iniciales (página 8):
Teorema (de dependencia Lipschitz de los parámetros iniciales):
Sea 𝐹 localmente Lipschitz respecto de las variables 𝑥 en un abierto 𝐷.
Sea una solución 𝑥 del problema de valores iniciales con dato 𝑥(𝑡0) = 𝜉0 en el intervalo [𝑡0, 𝑡1].
Entonces existe 𝑟 > 0 tal que la solución del problema con datos iniciales:
𝑦(𝑡0) = 𝜉1, ||𝜉0− 𝜉1|| < 𝑟
Está definida en el intervalo [𝑡0, 𝑡1], y en dicho intervalo verifica:
||𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|| ≤ 𝑒𝐿(𝑡−𝑡0)· ||𝜉0− 𝜉1||
Demostración:
Existe un entorno compacto 𝐾 de la gráfica de 𝑥 contenido en 𝐷, de manera que existe 𝜌 > 0 tal que {(𝑡, 𝐵(𝑥(𝑡), 𝜌)) : 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]} ⊂ 𝐾. Consideremos la constante de Lipschitz 𝐿 de 𝐹 en 𝐾. La elección 𝑟 = 𝑒−𝐿(𝑡1−𝑡0)· 𝜌 y el lema nos aseguran que, a la derecha de 𝑡0:
||𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|| ≤ 𝑒𝐿(𝑡−𝑡0)· ||𝜉0− 𝜉1|| ≤ 𝑒𝐿(𝑡−𝑡1)𝜌
Lo cual quiere decir que 𝑦 prolongable hasta 𝑡 = 𝑡1 y su gráfica permanece en 𝐾 hasta el valor 𝑡 = 𝑡1, y así tenemos la estimación en [𝑡0, 𝑡1]
||𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|| ≤ 𝑒𝐿(𝑡−𝑡0)· ||𝜉0− 𝜉1||
24
Fig 7. La pertenencia a 𝐾 nos asegura que 𝑦 prolongable hasta 𝑡1 y aplicando el lema de condiciones iniciales surge la aproximación que da el teorema.
Teorema (de dependencia continua con respecto a parámetros):
Sea:
𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ𝑡× ℝ𝑥𝑛× ℝ𝜆𝑚 → ℝ𝑛
Continua en 𝐷 abierto, y localmente Lipschitz respecto de la variable 𝑥 en todos los puntos de 𝐷. Quiere decirse: localmente existe 𝐿 de tal manera que:
||𝐹(𝑡, 𝑥; 𝜆) − 𝐹(𝑡, 𝑦; 𝜆)|| ≤ 𝐿 · ||𝑥 − 𝑦||
Consideramos las soluciones 𝑥(𝑡, 𝜆) del problema:
𝑃𝜆{𝑥′ = 𝐹(𝑡, 𝑥; 𝜆) 𝑥(𝑡0) = 𝜉0
Si existe solución del problema para 𝜆 = 𝜆0, sea 𝑥(𝑡, 𝜆0) en el intervalo 𝐽 a la derecha de 𝑡0, 𝐽 = [𝑡0, 𝑡0+ ℎ], de forma que la gráfica (𝑡, 𝑥(𝑡), 𝜆0) ∈ 𝐷, ∀𝑡 ∈ 𝐽.
Entonces existe 𝜀 > 0 tal que si |𝜆 − 𝜆0| ≤ 𝜀 existe solución 𝑥(𝑡, 𝜆) en 𝐽, y además:
𝜆→𝜆lim0𝑥(𝑡, 𝜆) = 𝑥(𝑡, 𝜆0) 𝐷 ℝ𝑛
𝑡0 𝑡1 ℝ
𝜉0
𝜉1 2𝜌
𝐾
25 Demostración:
Por el teorema de existencia y unicidad sabemos que 𝑥(𝑡, 𝜆) está definida en el intervalo [𝑡0− 𝛿, 𝑡0+ 𝛿]. Trataremos de probar una estimación de:
||𝑥(𝑡, 𝜆) − 𝑥(𝑡, 𝜆0)||
Que usaremos para prolongar la solución al intervalo 𝐽 tomando 𝜖 suficientemente pequeño.
Al igual que en el teorema anterior, la gráfica 𝑥(𝑡, 𝜆0) en 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0+ ℎ] tiene un entorno compacto 𝐾 = {(𝑡, 𝜉): 𝜉 ∈ 𝐵(𝑥(𝑡, 𝜆0), 𝜌)} tal que 𝐾 × 𝐵(𝜆0, 𝜌) ⊂ 𝐷.
Denotamos 𝐷𝜆 ⊂ ℝ𝑡× ℝ𝑥𝑛 al dominio de definición de 𝐹𝜆= 𝐹(·,·, 𝜆).
Todas estas funciones son Lipschitz constante 𝐿 uniforme en 𝐾 para todos esos valores de 𝜆.
Sea 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡, 𝜆) − 𝑥(𝑡, 𝜆0),
𝑥′(𝑡, 𝜆) − 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆); 𝜆) = 𝑥′(𝑡, 𝜆0) − 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆0); 𝜆0) = 0 𝑦′(𝑡) = 𝑥′(𝑡, 𝜆) − 𝑥′(𝑡, 𝜆0) = 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆); 𝜆) − 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆0); 𝜆0)
No podemos asegurar que esto tienda a cero en 𝜆 → 𝜆0 porque necesitamos controlar el comportamiento de las soluciones.
Usando esta última ecuación diferencial:
||𝑦(𝑡)|| ≤ ∫ ||𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠, 𝜆0); 𝜆0) − 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠, 𝜆0); 𝜆)|| · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
+
+ ∫ ||𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠, 𝜆0); 𝜆) − 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠, 𝜆); 𝜆)|| · 𝑑𝑠
𝑡 𝑡0
≤
≤ sup
𝑠∈[𝑡0,𝑡0+ℎ]||𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠, 𝜆0); 𝜆0) − 𝐹(𝑠, 𝑥(𝑠, 𝜆0); 𝜆)|| · |𝑡 − 𝑡0| + 𝐿 · ∫ ||𝑦(𝑠)|| · 𝑑𝑠
𝑡
𝑡0
Que resumimos en:
||𝑦(𝑡)|| ≤ 𝐶(𝜆) · (𝑡 − 𝑡0) + 𝐿 · ∫ ||𝑦(𝑠)|| · 𝑑𝑠
𝑡
𝑡0
Usando Gronwall, obtenemos:
||𝑦(𝑡)|| ≤ 𝐶(𝜆) ·𝑒𝐿(𝑡−𝑡0)− 1 𝐿
Si |𝜆 − 𝜆0| suficientemente pequeño, por continuidad uniforme de 𝐹 (por compacidad), podemos hacer 𝐶(𝜆) tan pequeño como se quiera para que 𝑥(𝑡, 𝜆) no salga de 𝐾 antes de 𝑡 = 𝑡0+ ℎ. Esto prueba la prolongabilidad de 𝑥(𝑡, 𝜆) a [𝑡0, 𝑡0+ ℎ]. La convergencia 𝑥(𝑡, 𝜆) → 𝑥(𝑡, 𝜆0) se deduce de la estimación ya que 𝐶(𝜆) → 0 en 𝜆 → 𝜆0.
QED
26
Fig 8: De forma análoga al otro teorema, se puede probar que si 𝜆, 𝜆0 están suficientemente cerca, entonces 𝑥(𝑡, 𝜆) no sale del compacto que genera la solución 𝑥(𝑡, 𝜆0) que existe localmente por
teorema de unicidad y existencia y es prolongable a 𝑡0+ ℎ
A continuación se estudia la diferenciabilidad respecto a parámetros y condiciones iniciales.
Teorema (de diferenciabilidad de Peano o de dependencia diferenciable respecto de parámetros):
Supongamos 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ𝑡× ℝ𝑥𝑛× ℝ𝜆𝑚 → ℝ𝑛 continua en un abierto 𝐷 y diferenciable respecto de 𝑥, 𝜆 con derivadas parciales continuas.
Entonces, si existe solución 𝑃𝜆0 para 𝜆0 fijo definida en 𝐽 = [𝑡0− ℎ, 𝑡0+ ℎ] existe un 𝜀 > 0 tal que si |𝜆 − 𝜆0| < 𝜀 entonces la solución de 𝑃𝜆 existe en 𝐽.
Además, dicha solución 𝑥(𝑡, 𝜆) es derivable respecto 𝜆 en el punto 𝜆 = 𝜆0 y su derivada parcial
𝐷𝜆𝑗𝑥(𝑡, 𝜆) = 𝑦𝑗(𝑡) = 𝜕𝑥
𝜕𝜆𝑗(𝑡) Cumple el sistema:
𝐸𝐷 {𝑦𝑗′(𝑡) = 𝐷𝑥𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆0); 𝜆0) · 𝑦(𝑡) + 𝐷𝜆𝑗𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆0); 𝜆0) 𝑦𝑗(𝑡0) = 0
𝑡0 𝑡0+ ℎ
λ0 λ0+ 𝜌 ℝλ𝑚
ℝ𝑡 ℝ𝑥𝑛
𝐾
𝐾 × 𝐵(𝜆0, 𝜌)
27 Veamos tan sólo de dónde sale ED.
Ecuación de 𝑥(𝑡, 𝜆)
𝑑𝑥
𝑑𝑡(𝑡, 𝜆) = 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆); 𝜆) 𝑥(𝑡0, 𝜆) = 𝜉0 Si derivamos respecto de 𝜆𝑗:
𝑑
𝑑𝑡(𝐷𝜆𝑗𝑥(𝑡, 𝜆)) = 𝑑
𝑑𝑡𝑦(𝑡) = 𝐷𝑥𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆)) · 𝐷𝜆𝑗𝑥(𝑡, 𝜆) + 𝐷𝜆𝑗𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜆); 𝜆) Si hacemos 𝜆 = 𝜆0 en 𝐷𝜆𝑥(𝑡, 𝜆) obtenemos 𝑦(𝑡).
Veamos un ejemplo de todo esto.
𝑃𝜆{𝑥′ = 2𝑡𝑥 + 2𝜆𝑡 · sin(𝑥) 𝑥(0) = 1
1. Consideramos la solución en 𝜆 = 0
⟹ 𝑥(𝑡, 0) = 𝑒𝑡2
2. Calculamos cómo depende de 𝜆 alrededor de 𝜆 = 0. Para ello calculamos:
𝜕𝑥(𝑡, 𝜆)
𝜕𝜆 |
𝜆=0
3. 𝑥(𝑡, 𝜆) estará definido si 𝜆 es pequeño en cualquier intervalo acotado [−𝑁, 𝑁] alrededor de 𝑡 = 0.
Llamemos:
𝑦(𝑡) =𝜕𝑥(𝑡, 𝜆)
𝜕𝜆 |
𝜆=0
Que es solución de la ecuación paramétrica.
𝑦′(𝑡) = 𝐷𝑥𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 0); 0) · 𝑦(𝑡) + 𝐷𝜆𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 0); 0) 𝑦′(𝑡)= (2𝑡 + 𝑡𝜆 cos(x)) · 𝑦(𝑡) + 𝑡 · sin (𝑥) Particularizando para 𝑥(𝑡, 0) = 𝑒𝑡2, 𝜆 = 0
28 Entonces:
{𝑦′(𝑡) = 2𝑡 · 𝑦(𝑡) + 𝑡 · sin (𝑒𝑡2) 𝑦(0) = 0
Que es una ecuación lineal homogénea que se puede integrar.
Teorema (de dependencia diferenciable respecto a valores iniciales):
Sea 𝐹: 𝐷 ⊂ ℝ𝑡× ℝ𝑥𝑛 → ℝ𝑛 con 𝐷 abierto y 𝐹 tiene derivadas parciales continuas respecto de la variable 𝑥. Consideremos el problema para (𝑡0, 𝜉) ∈ 𝐷:
𝑃𝜉 {
𝑥′(𝑡, 𝜉) = 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜉)) 𝑥(𝑡0) = 𝜉 = (
𝜉1
⋮ 𝜉𝑛
)
Suponemos que para 𝜉 = 𝜉0 fjo el problema 𝑃𝜉 tiene solución única en el intervalo cerrado 𝐽 alrededor de 𝑡0.
Entonces:
1) Existe 𝜀 > 0 tal que 𝑃𝜉 tiene solución única en 𝐽, digamos 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝜉), siempre que ||𝜉 − 𝜉0|| < 𝜀.
2) La solución es diferenciable en 𝜉 = 𝜉0 3) Si
𝑧𝑗(𝑡) =𝜕𝑥(𝑡, 𝜉)
𝜕𝜉𝑗
Donde 𝐷𝑥𝐹 representa la matriz diferencial de 𝐹 respecto de 𝑥, entonces estas derivadas parciales cumplen la llamada ecuación variacional:
{
𝑧𝑗′(𝑡) = 𝐷𝑥𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡, 𝜉0)) · 𝑧𝑗(𝑡)
𝑧𝑗(𝑡0) =
( 0
⋮ 0 1 0⋮ 0)
= 𝑒𝑗, (j-ésimo vector canónico)
