Fórmulas de Ito para Flujos Estocásticos y sus Aplicaciones

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POSGRADO UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES. “FÓRMULAS DE ITÔ PARA FLUJOS ESTOCÁSTICOS Y SUS APLICACIONES”. Tesis presentada por el bachiller: Freddy Aurelio Begazo Zegarra para optar el Grado Académico de Maestro en Ciencias: Matemáticas, con mención en Modelación Matemática Asesora: Dra. Claudia Luque Justo. AREQUIPA-PERÚ 2019.

(2) “FÓRMULAS DE ITÔ PARA FLUJOS ESTOCÁSTICOS Y SUS APLICACIONES. Tesis presentada por:. Bach. Freddy Aurelio Begazo Zegarra. Jurado dictaminador:. Dr. Dugan Paul Nina Ortiz. Mg. Yaan Agustı́n Bedoya Barriga. Dra. Claudia Luque Justo (Asesora).

(3) Dedicado a mi esposa Magaly, a mis hijos Fernando y Lucia por ser mi fuente de motivación e inspiración. A mi madre y hermanas por el apoyo y confianza de siempre. A mi familia por el estimulo constante. A mis amigos, en especial a Claudia mi asesora..

(4) Resumen En este trabajo estamos interesados en estudiar la existencia y unicidad de soluciones ξt para Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE) definidas sobre una variedad Riemanniana compacta M . Como las soluciones ξt , pueden ser vistas como aplicaciones continuas sobre la variedad M , entonces es natural estudiar su flujo. A partir de ahı́, obtendremos algunas aplicaciones geométricas asociadas a este flujo estocástico. Comenzamos realizando un breve análisis del Cálculo Estocástico. Luego, mostramos existencia y unicidad de soluciones para EDE definidas sobre una variedad M . En base a este análisis consideramos a ξt como la solución de la EDE sobre M y damos condiciones para que esta defina un flujo de homeomorfismo sobre M , ası́ mismo, probamos que este flujo es un difeomorfismo sobre M y que satisface la fórmula de Itô. Finalmente, veremos aplicaciones geométricas de este flujo. A saber, veremos como actúa este flujo, primero, sobre campos de vectores X sobre la variedad M y luego sobre 1formas θ. Para finalmente calcular la fórmula de Itô para el flujo ξt actuando sobre un campo de tensores K. Palabras Clave: Variedades Riemannianas, Ecuaciones Diferenciales Estocásticas, Integral de Itô y Flujos Estocásticos..

(5) Abstract In this thesis work we are interested in studying the existence and uniqueness of solutions ξt for Stochastic Differential Equations (EDE) defined on a compact Riemannian manifold M . Since the solutions ξt can be seen as continuous applications on the manifold M , then it is natural to study their flow. From there, we will obtain some geometric applications associated with this stochastic flow. We begin with a brief analysis of Stochastic Calculus. Then, we show the existence and uniqueness of solutions for EDEs defined on a manifold M . Based on this analysis, we consider ξt as the solution of the EDE on M and we give conditions so that this defines a flow of homeomorphism on M , likewise, we prove that this flow is a diffeomorphism on M and that satisfies Itô’s formula. Finally, we will see geometric applications of this flow. Namely, we will see how this flow acts, first, on vector fields X on the manifold M and then on 1 -forms θ. To finally calculate the formula of Itô for the flow ξt acting on a field of tensors K. Keywords: Riemannian Manifold, Stochastic Differential Equations, Integral of Itô and Stochastic flows..

(6) Índice general 1 Preliminares. 6. 1.1. Nociones de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2. Procesos Estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.3. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 1.4. Integración Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.5. 1.4.1. Integral para procesos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1.4.2. Extensión por aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Fórmula de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2 Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sobre Variedades. 20. 2.1. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.2. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sobre Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 2.3. EDE Sobre Variedades Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Formulación de EDE de Tipo Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . 26. 2.3.2. EDE sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 2.4. Flujos Estocásticos sobre Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 2.5. Flujos Estocásticos sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 3 Formulas de Itô para Flujos Estocásticos. 38. 3.1. Formula de Itô para ξt actuando sobre Campos de vectores . . . . . . . . . 38. 3.2. Formula de Itô para ξt actuando sobre 1-formas . . . . . . . . . . . . . . . 42. 3.3. Formula de Itô para ξt actuando sobre Campos de tensores . . . . . . . . . 45. 1.

(7) INTRODUCCIÓN Las ecuaciones algebraicas, diferenciales e integrales son usadas en las ciencias aplicadas, ingenierı́a, economı́a y en las ciencias sociales para caracterizar el estado actual de un sistema fı́sico, económico o social y pronosticar su evolución en el tiempo. En general, algunos coeficientes de estas ecuaciones no se conocen con precisión debido a una información insuficiente o a fenómenos aleatorios inherentes del problema. Ası́, los problemas que surgen a partir de estas ecuaciones cuyos coeficientes son dados al azar se conocen como Problemas Estocásticos, surgiendo ası́ como una necesidad el estudio y análisis de las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas. Mediante la modelación de diversos fenómenos aleatorios, el cálculo estocástico tiene amplias aplicaciones en las diferentes áreas de investigación. Estos modelos están regidos por Ecuaciones Diferenciales Estocásticas y son definidos sobre diferentes espacios. Por ejemplo: sobre variedades, podemos considerar a la tierra como una esfera de dimensión 2 y modelar una Ecuación Diferencial Estocástica sobre la tierra; en el área de ingenierı́a, las fuerzas que actúan en un avión desde el despegue hasta el aterrizaje dependen de manera compleja de las condiciones ambientales y el patrón de vuelo, estas fuerzas pueden ser modeladas por Ecuaciones Diferenciales Estocásticas; en biologı́a, las propiedades óseas necesarias para desarrollar articulaciones artificiales confiables varı́an significativamente con los individuos y sus edades; en finanzas, donde los precios de las acciones y su evolución en el tiempo dependen de un gran número de factores que no pueden ser descritos por modelos determinı́sticos y a menudo están regidos por una Ecuación Diferencial Estocástica. Una vez introducido un nuevo tipo de ecuaciones diferenciales, llamadas Ecuaciones Diferenciales Estocásticas, que proporcionan la propagación en el tiempo del estado de un sistema impulsado por semimartingalas, será necesario establecer las condiciones bajo las cuales la solución de este tipo de ecuaciones existe y es única. También, como es natural. 2.

(8) en las Ecuaciones Diferenciales, es natural estudiar y analizar los flujos asociados a estas ecuaciones e intentar obtener algunas aplicaciones y/o verificar resultados conocidos para sistemas determinı́sticos. En este trabajo de tesis, estudiaremos la existencia y unicidad de soluciones para las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas definidas sobre variedades Riemannianas y principalmente, estaremos interesados en analizar las relaciones entre las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas de tipo Stratonovich y sus flujos estocásticos de difeomorfismos generados por estas ecuaciones. Basados en este análisis, buscaremos obtener una versión de la fórmula de Itô para estos flujos estocásticos actuando sobre campos de tensores con la finalidad de dar algunas aplicaciones geométricas y topológicas de estos flujos. La teorı́a de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas fue iniciada por K. Itô en 1942, en la actualidad, es bien sabido que la teorı́a de las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas es muy utilizada en el desarrollo de diferentes areas de investigación, pues proporciona herramientas esenciales para el análisis de las Ecuaciones Diferenciales Parciales determinı́sticas, vibraciones aleatorias y otros problemas estocásticos en ciencias e ingenierı́a. El estudio de esta teorı́a ha sido desenvuelta en varias direcciones. Una de ellas, es el estudio de los procesos de difusión cuyo generador infinitesimal es asociado a ciertos operadores diferenciales parciales de segundo orden. Otra dirección, es el estudio y análisis de la Ecuación Diferencial Estocástica en si misma considerando a esta ecuación como un sistema dinámico perturbado por un ruido. Sobre una variedad M , consideramos una Ecuación Diferencial Estocástica (EDE) de tipo Itô; dϕt = f0 (ϕt , t)dt +. m X. fk (ϕt , t)Btk. k=1. donde. (Bt1 , ..., Btm ). es un movimiento Browniano estándar. El último término de esta ecua-. ción puede ser considerado como un ruido o perturbación aleatoria adjunta a la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) dϕt = f0 (ϕt , t)dt. Entonces, como en el caso de las EDO, es razonable preguntarnos si las soluciones ϕs,t (x) definen un flujo de difeomorfismos, esto es; • ϕs,t (x) es continua en s, t y x casi siempre. • La aplicación ϕs,t (x) : M → M es un difeomorfismo para cada s < t casi siempre.. 3.

(9) • ϕs,u = ϕs,t (ϕt,u ) para cualquier s < t < u casi siempre. La prueba de esto no es tan sencilla como en el caso de las EDO’s, esto debido a que se requiere analizar cuidadosamente muchos argumentos sobre conjuntos de medida nula. El primer trabajo sobre el análisis de este problema fue dado por Gihman en 1950 y Blagovescénskii Freidlin en 1961, ellos estudiaban la regularidad de soluciones con respecto al dato inicial. A finales de 1970, se dio un enfoque mas extenso sobre la propiedad de difeomorfismo de la solución ϕs,t (x), estas contribuciones fueron dadas por Elworthy (1988), Ikeda y Watanabe (1981), Kunita (1984) y otros.. Organización del trabajo Este trabajo de tesis esta formado por tres capı́tulos que serán descritos a continuación. Capı́tulo 1. Este capı́tulo será dividido en cinco secciones. En la primera sección, damos algunas nociones de la teorı́a de probabilidades necesarias para el desarrollo de este trabajo. En las secciones dos y tres, damos una introducción a la teorı́a del cálculo estocástico, comenzamos con la noción de proceso estocástico y definimos algunos procesos importantes como martingala, semimartingala y principalmente el movimiento Browniano. En las dos ultimas secciones, enunciamos la fórmula de Itô para la integral de Stratonovich. Una de las principales herramientas que destacamos en este capı́tulo, es la conocida fórmula de Itô generalizada (reescrita utilizando la integral de Stratonovich) dada en el Teorema 4, que describe la regla de diferenciación para la composición de dos procesos estocásticos. Las principales referencias para el contenido de este capı́tulo, son los libros de Ikeda y Watanabe (1981), Hsu (2002), Émery (1989), Elworthy (1988) y Kunita (1984). Capı́tulo 2 Este capı́tulo será dividido en cinco secciones. En las primeras secciones, damos la noción de EDE, primero sobre el espacio Euclidiano y luego sobre variedades Riemannianas, que son una generalización natural de las EDE en el espacio Euclidiano. Consideramos sobre una variedad Riemanniana M , una EDE de tipo Stratonovich dξt =. m X. Xtk (ξt ) ◦ dBtk. k=0. 4.

(10) donde (Bt1 , ..., Btm ) es un movimiento Browniano estándar. O de tipo integral ξt = ξ0 +. Z tX m. Xsk (ξs ) ◦ dBsk. 0 k=0. luego, establecemos condiciones necesarias y suficientes para la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones. Una vez tratadas las EDE sobre variedades Riemannianas, en las dos últimas secciones estudiamos bajo que condiciones la solución {ξt : t ≥ 0} define un flujo de difeomorfismos sobre la variedad. Estos resultados están mas próximos a los resultados dados para el caso de espacios Euclidianos. Buenas referencias para el desenvolvimiento de este capı́tulo son los trabajos de Kunita (1984) y Hsu (2002). Capı́tulo 3 Una vez discutidas las relaciones entre las EDE y sus respectivos flujos, deseamos obtener una versión de la fórmula de Itô para estos flujos actuando sobre campos de tensores. A fin de obtener esto, dividimos este capı́tulo en tres secciones. En la primera sección, sobre la variedad Riemanniana M consideramos la derivada del flujo solución {ξt : t ≥ 0} que consiste de las aplicaciones lineales dadas por (ξt )∗ = Tx ξt : Tx (M ) → Tξt (x) (M ) actuando sobre campos de vectores V ∈ T M . Luego, motivados por el trabajo de Kunita (1984), obtenemos la fórmula de Itô para el flujo solución ξt actuando sobre los campos de vectores V . En la segunda sección, consideramos 1-formas θ ∈ T M ∗ sobre M y obtenemos la fórmula de Itô para el flujo solución ξt actuando sobre θ. En la tercera sección, consideramos campos de tensores K del tipo (p, q) que toman valores en una variedad diferenciable arbitrária M , es decir: K ∈ Txp,q M = Tx M ⊗ ... ⊗ Tx M ⊗ Tx M ∗ ⊗ ... ⊗ Tx M ∗ | {z } | {z } p veces. q veces. Luego, calculamos fórmula de Itô para el flujo solución de un sistema dinámico estocástico cualquier, actuando sobre los campos de tensores K. Buenas referencias para este capı́tulo son los trabajos de Kunita (1984), Elworthy (1982), Elworthy y Rosenberg (1996), Elworthy y Yor (1993), Elworthy, Le Jan y Li (1999), Li (1994), Abraham, Marsdem y Ratiu (1983).. 5.

(11) Capı́tulo 1 Preliminares En este capı́tulo revisamos brevemente algunos conceptos básicos de probabilidad y de cálculo Estocástico. En particular se estudia al movimiento Browniano recordando su definición y enunciando algunas de sus propiedades, para ası́ estudiar la Integral de Itô, con respecto al movimiento Browniano. Algunas referencias para este capı́tulo, relacionadas a la teorı́a del cálculo estocástico y para ver algunas demostraciones omitidas a lo largo del mismo, pueden encontrarse en los trabajos de Rincón (2006), Oksendal (2013), Luque (2011), Kunita (1984).. 1.1. Nociones de Probabilidades. En esta sección se revisan algunos conceptos relacionados a la teorı́a de la probabilidad. Como el espacio de probabilidad, que consta de una terna ordenada (Ω, F, P ) donde Ω es un conjunto arbitrario no vacı́o que puede ser interpretado como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Al conjunto Ω se le llama espacio muestral, y a un elemento tı́pico de el se le denota por ω. El segundo elemento es una colección no vacı́a F de subconjuntos de Ω, llamada σ − álgebra. A los elementos de F, subconjuntos de Ω, se les llama eventos o conjuntos medibles. Finalmente, el tercer elemento es una función P : F → [0, 1], llamada medida de probabilidad, que cumple los siguientes axiomas establecidos por A. Kolmogorov: 1. P (Ω) = 1 2. P (A) ≥ 0 para cualquier A en F. 6.

(12) 3. P es σ − aditivo, es decir, si A1 , A2 , ... es una sucesión de eventos, disjuntos dos a dos, entonces P(. ∞ [. An ) =. n=1. ∞ X. P (An ). n=1. Recordemos que, el número P (A) mide la frecuencia con la que se observa el evento A, cuando se realiza el experimento aleatorio. A la pareja (Ω, F) se le llama espacio medible. En particular, si B(R) denota la σ − álgebra mas pequeña que contiene a todos los intervalos abiertos de R, entonces se tiene el espacio medible (R, B(R)). A los elementos de la σ − álgebra B(R) se les llama Borelianos o conjuntos Borel medibles. Una variable aleatoria (v.a.) X es una función X : Ω → R que transforma a los elementos de Ω en números reales y tal que para cualquier conjunto Boreliano B se cumple que X −1 (B) es un elemento de F. En este caso también se dice que X es una función medible (Ω, F) → (R, B(R)), o simplemente que es F − medible. Mediante una de estas funciones uno puede pensar que el azar no escoge elementos de Ω como resultados del experimento aleatorio, sino números reales. Las operaciones básicas de suma, diferencia, producto y cociente (cuando existe) de v.a.s producen v.a.s. Procesos lı́mite de variables aleatorias (cuando existen) resultan también ser v.a.s. El espacio medible (R, B(R)) puede convertirse en un espacio de probabilidad con la ayuda de una variable aleatoria X de la siguiente manera. Para cada conjunto Boreliano B se define la función PX (B) = P (X −1 B), que resulta ser una medida de probabilidad sobre B(R). Se le llama la distribución de X, y encierra en ella toda la información probabilı́stica de X. De manera equivalente puede estudiarse la función de distribución de X definida por F (x) = P (X ≤ x) para cualquier número real x. Por ejemplo, la variable X tiene una distribución normal o gausiana con parámetros µ ∈ (−∞, ∞) y σ 2 ∈ (0, ∞) si su función de distribución es Z. x. F (x) = −∞. 1 2 2 √ e−(u−µ) /2σ du. 2πσ 2. En este caso se dice que X tiene distribución N (µ, σ 2 ). De particular importancia es el concepto de esperanza de una variable aleatoria o mas generalmente el de esperanza de una función de una variable aleatoria. Si g es una función real de variable real tal que la. 7.

(13) composición g(X) es una variable aleatoria, entonces se define la esperanza de g(X) como sigue ∞. Z. g(x)dF (x),. E(g(X)) = −∞. en donde F (x) es la función de distribución de X y la integral indicada es una integral de Riemann-Stieltjes, sobre la cual se asume su existencia. Para la distribución normal mencionada antes puede demostrarse que E(X) = µ y V ar(X) = σ 2 . La esperanza condicional de una variable aleatoria integrable X, dada una sub − σ − álgebra G ⊆ F, es una variable aleatoria, denotada usualmente por E(X|G), que es integrable, G − medible y satisface la igualdad Z. Z E(X|G)dP =. G. XdP, G. para cualquier G en G. Estas tres propiedades caracterizan de manera única, en el sentido casi seguro, a la esperanza condicional. En particular, cuando la integral anterior se realiza sobre la totalidad Ω se obtiene la igualdad E(E(X|G)) = E(X). Cuando X es G − medible sucede que X mismo cumple con la definición de esperanza condicional y por la unicidad se tiene que E(X|G) = X. Por otro lado también usaremos el hecho de que si X es independiente de G entonces la esperanza condicional E(X|G) es la constante E(X).. 1.2. Procesos Estocásticos. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias {Xt : t ∈ T} parametrizada por un conjunto T, usualmente interpretado como un conjunto de tiempos y llamado naturalmente espacio parametral. Se dice que el proceso es a tiempo discreto en caso de que el conjunto de parámetros sea un conjunto discreto, por ejemplo T = {0, 1, 2, ...}. En este caso el proceso consiste de una sucesión {X0 , X1 ...} de variables aleatorias. Por. 8.

(14) otro lado, se dice que el proceso es a tiempo continuo cuando el conjunto de parámetros consiste de un subintervalo de R, por ejemplo T = (a, b). En lo sucesivo consideraremos procesos en donde las variables aleatorias toman valores reales y el espacio parametral es el intervalo [0, ∞). Un proceso estocástico es entonces una función de dos variables X : [0, ∞) × Ω → R,. tal que para cada t ≥ 0, la función ω 7→ Xt (ω) es una variable aleatoria, mientras que para cada ω en Ω, la función t 7→ Xt (ω) es una trayectoria del proceso. En principio no hay ninguna condición sobre estas trayectorias, pueden ser continuas o no serlo, aunque una hipótesis común es suponer trayectorias càdlàg, es decir, continuas por la derecha con lı́mite por la izquierda. Por simplicidad denotaremos un proceso por Xt anteponiendo tal adjetivo para evitar confusiones. Una filtración es una familia de σ − álgebras (Ft )t≥0 si, para 0 ≤ s ≤ t, se cumple Fs ⊆ Ft ⊆ F. Al espacio (Ω, F, P, (Ft )t≥0 ) se le llama espacio de probabilidad filtrado. El cual representaremos por (Ω, F∗ , P ). Si (Ft )t≥0 es una familia creciente de σ − álgebras de subconjuntos de Ω entonces el proceso X : [0, ∞) × Ω → R, es llamado Ft − adaptado si la función ω → X(t, ω) es Ft − medible. Todo proceso estocástico Xt determina una filtración natural dada por Ft = σ{Xs : 0 ≤ s ≤ t}. Claramente todo proceso es adaptado a su filtración natural. En este caso a la σ − álgebra Ft se le interpreta como la “historia” del proceso al tiempo t, pues en ella se encuentran todos los posibles eventos o sucesos que el proceso haya tenido hasta ese momento. Adicionalmente se dice que una filtración es continua por la derecha cuando Ft+ = ∩s>t Fs coincide con Ft . Es de utilidad también conocer alguna noción de igualdad entre procesos estocásticos. Se dice que dos procesos Xt y Yt son equivalentes, o también que uno es una modificación 9.

(15) del otro, si para cada t ≥ 0 se cumple P (Xt = Yt ) = 1. En tal caso se dice que la variable Xt es igual a Yt casi seguramente y se escribe Xt = Yt c.s. Un tipo de igualdad más fuerte establece que los procesos son indistinguibles si P (Xt = Yt. para cada t ≥ 0) = 1.. Esto significa que con probabilidad uno las trayectorias de los dos procesos son idénticas. Claramente la indistinguibilidad es más fuerte que la equivalencia. Sin embargo, cuando los procesos son continuos, es decir, cuando sus trayectorias son funciones continuas del parámetro, ambas nociones de igualdad coinciden. Una caracterı́stica importante que cumplen algunos procesos es la de tener incrementos independientes. Esta propiedad, que usaremos mas adelante, puede escribirse de la siguiente forma: Para cualquier partición 0 = t0 < t1 < ... < tn , las variables incremento Xt0 , Xt1 − Xt0 , ..., Xtn − Xtn−1 son independientes, es decir, la función de distribución conjunta de todas ellas coincide con el producto de las funciones de distribución individuales. Finalmente, detallamos algunos tipos de procesos de reconocida importancia. Proceso de Markov Un proceso estocástico Xt es de Markov si para cada 0 ≤ s ≤ t y A ∈ B(R), con probabilidad uno se cumple P (Xt ∈ A|Fs ) = P (Xt ∈ A|Xs ). Esta igualdad establece que el estado del proceso al tiempo futuro t > s es independiente del pasado (tiempos antes de s) cuando el estado del proceso al tiempo presente s es conocido. Esta propiedad es equivalente a la que exhiben los sistemas dinámicos deterministas, cuya evolución queda perfectamente determinada una vez que se establece la ley de movimiento y un estado inicial del sistema, no influyendo lo sucedido antes del estado inicial. Un proceso de Markov determina por tanto una función de probabilidad de transición dada por p(s, x, t, A) = P (Xt ∈ A|Xs = x),. 10.

(16) en donde 0 ≤ s ≤ t, x ∈ R y A ∈ B(R). Esta función de cuatro variables proporciona la probabilidad de que el proceso se encuentre en el conjunto A al tiempo t dado que se encontró en el estado x en un tiempo anterior s. Inversamente, dada una función de transición de esta forma (junto con algunas hipótesis adicionales) y una distribución de probabilidad inicial, es posible construir un proceso de Markov cuya función de transición es la dada. Martingala Un proceso Xt es una martingala (Lévy) si es adaptado, integrable y para 0 ≤ s ≤ t, con probabilidad uno se cumple E(Xt |Fs ) = Xs Las martingalas son procesos que están relacionados con los juegos justos. Si Xt representa la fortuna de un jugador que apuesta continuamente entonces la igualdad anterior se interpreta del siguiente modo. En promedio la fortuna del jugador al tiempo t dada toda la historia del juego hasta el tiempo s ≤ t es la fortuna del jugador al tiempo s, es decir, el juego es justo pues el jugador en promedio no pierde ni gana. Cuando se cumple E(Xt |Fs ) ≤ Xs , se dice que el proceso es una supermartingala, se trata entonces de un juego desfavorable al jugador pues en promedio su fortuna disminuye. En caso de la desigualdad contraria el proceso es una submartingala, juego favorable al jugador. Cuando tomamos la esperanza en la ecuación se obtiene E(Xt ) = E(Xs ). Esto quiere decir que todas las variables aleatorias que conforman una martingala tienen la misma esperanza. En particular, si la variable aleatoria inicial X0 es cero entonces E(Xt ) = 0 para cualquier t ≥ 0. Semimartingala Si denotamos por (Ω, F∗ , P ) un espacio de probabilidad filtrado damos la noción de semimartingala. Un proceso Yt es una semimartingala (esto es adaptado con filtración) si admite una descomposición del tipo Y = X + A, donde X es una F∗ − martingala local continua y. 11.

(17) A es un proceso F∗ − adaptado de variación finita tal que A0 = 0. Las semimartingalas son una herramienta muy útil puesto que muchos procesos, que pueden ser definidos explı́citamente, son semimartingalas. El espacio de semimartingalas es el menor escenario para la realización del cálculo estocástico.. 1.3. Movimiento Browniano. El fenómeno natural conocido ahora como movimiento Browniano tiene una larga e interesante historia. El primer registro, aunque no ası́ la primera observación del fenómeno, data de 1828 cuando el botánico Robert Brown reportó en una revista cientı́fica que granos de polen suspendidos en una cierta substancia y vistos a través de un microscopio, realizaban un movimiento irregular e inexplicable. Este extraño movimiento fue objeto de muchas discusiones, y muy diversas hipótesis fueron formuladas en ese entonces con la intención de dar una explicación al fenómeno observado. Hoy en dı́a este movimiento es entendido y explicado a través de las múltiples colisiones aleatorias de las moléculas del lı́quido con los granos de polen. Llegar a tal aseveración tomó muchos años pues debió aceptarse la teorı́a cinético molecular de la materia, y el seminal trabajo de Einstein de 1905 sobre el movimiento Browniano contribuyó decididamente a tal tarea. Las observaciones reales y directas del movimiento de los granos de polen u otras partı́culas sugieren que el fenómeno satisface las siguientes propiedades: (a) El movimiento es continuo. (b) Parece tener desplazamientos independientes en intervalos de tiempo disjuntos. (c) Debido al gran número de colisiones del grano de polen con las moléculas circundantes en longitudes de tiempo no pequeños, y teniendo en cuenta el teorema del lı́mite central, los incrementos pueden modelarse como variables aleatorias gausianas. La estructura matemática de un proceso estocástico, es decir una colección de variables aleatorias {Bt : t ≥ 0}, ha resultado exitosa para modelar este tipo de fenómenos. La variable Bt puede entonces interpretarse como la posición de una partı́cula Browniana al tiempo t. La definición matemática, en el caso unidimensional, es la siguiente. Definición 1 Un movimiento Browniano estándar unidimensional es un proceso estocástico {Bt : t ≥ 0} tal que. 12.

(18) a) B0 = 0 casi siempre. b) Las trayectorias t 7→ Bt son continuas. c) El proceso tiene incrementos independientes. d) La variable Bt − Bs tiene distribución N (0, t − s) para 0 ≤ s < t. Las condiciones que aparecen en esta definición son consecuencia directa de las observaciones del fenómeno fı́sico, pero ello no garantiza que tal objeto matemático exista. En 1923 el matemático norteamericano Norbert Wiener demostró la existencia de un proceso con tales condiciones. Es por esta razón que a menudo a este proceso también se le llama proceso de Wiener y se le denota también por {Wt : t ≥ 0}. En sentido estricto el movimiento Browniano es el fenómeno fı́sico mientras que su modelo matemático es el proceso de Wiener, aunque es común llamar a ambas cosas por el mismo nombre: movimiento Browniano. Se tiene entonces que cada variable aleatoria Bt tiene distribución N (0, t) y por lo tanto E(Bt ) = 0 y V ar(Bt ) = E(Bt2 ) = t. En particular para 0 ≤ s < t se cumple E|Bt − Bs |2 = t − s. También haremos uso de la identidad E|Bt − Bs |4 = 3(t − s)2 para 0 ≤ s < t. Otro de los muchos resultados interesantes del movimiento Browniano es el teorema de caracterización de Paul Lévy que establece que un proceso cualquiera {Xt : t ≥ 0} es un movimiento Browniano si y sólo si tiene trayectorias continuas, empieza en cero, y tanto {Xt : t ≥ 0} como {Xt2 − t : t ≥ 0} son martingalas. A través de este resultado o directamente de la definición, puede demostrarse que los siguientes procesos son versiones del movimiento Browniano: 1 a) Xt = Bc2 t con c > 0 constante. c b) Xt = tX1/t para t > 0 con X0 = 0. c) Xt = Bt+s − Bs con s ≥ 0 fijo.. 1.4. Integración Estocástica. El objetivo de esta sección es definir la integral de Itô de un proceso {Xt : 0 ≤ t ≤ T } respecto del movimiento Browniano, es decir, una integral de la forma 13.

(19) T. Z. Xt dBt 0. Definiremos la integral estocástica en varios pasos. Primero para procesos simples y después, por aproximación, para procesos mas generales. Consideraremos entonces como elementos iniciales un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) y un movimiento Browniano estándar unidimensional {Bt : t ≥ 0} junto con su filtración natural (F)t≥0 . Asumiremos que el proceso {Xt : 0 ≤ t ≤ T }, visto como función X : Ω × [0, T ) → R, es FT ⊗ B[0, T ] − medible. El termino FT ⊗ B[0, T ] corresponde a la mı́nima σ − álgebra generada por el espacio producto FT × B[0, T ]. Supondremos además que el proceso es adaptado, es decir, para cada t en el intervalo [0, T ], la variable aleatoria Xt es Ft −medible. Denotaremos por L2 (P ) al espacio vectorial de variables aleatorias X que son cuadrado integrables, es decir, que cumplen la condición kXkL2 (P ) = (E|X|2 )1/2 < ∞ La función X 7→ kXkL2 (P ) define una norma en L2 (P ), y este espacio es completo respecto de esta norma, es decir, es un espacio de Banach. Esto quiere decir que toda sucesión de Cauchy en este espacio tiene limite en él. A la convergencia usando esta norma se le llama convergencia en L2 (P ). Por ejemplo, la variable aleatoria Bt del movimiento Browniano pertenece a L2 (P ), pues kXkL2 (P ) = (E|Bt |2 )1/2 =. √. t<∞. En lo que resta del trabajo consideraremos procesos con espacio parametral el intervalo [0, T ], con T > 0 fijo. También, denotaremos por L2 (P × dt) al espacio de Banach de procesos {Xt : 0 ≤ t ≤ T }, que cumplen la condición kXkL2 (P ×dt). Z = E. T. 1/2 |Xt |2 dt < ∞.. 0. Por ejemplo el movimiento Browniano B = {Bt : 0 ≤ t ≤ T } pertenece a este espacio pues kBkL2 (P ×dt). Z = E 0. T. 1/2 Z |Bt | dt = 2. T. 1/2 Z = E|Bt | dt 2. 0. 0. 14. T. 1/2 T 2 1/2 tdt = < ∞. 2.

(20) 1.4.1. Integral para procesos simples. Sea 0 = t0 < t1 < ... < tn = T una partición finita del intervalo [0, T ]. Un proceso estocástico simple es un proceso de la forma. Xt =. n−1 X. Xtk · 1[tk ,tk+1 ] (t),. k=o. en donde Xtk es una variable aleatoria Ftk -medible y cuadrado integrable. La expresión 1[a,b) (t) corresponde a la función indicadora del intervalo [a, b). Un proceso simple es entonces un proceso “constante” por pedazos con trayectorias càdlàg, y las condiciones solicitadas garantizan que el proceso es adaptado y tiene trayectorias cuadrado integrables. Denotaremos por H02 al espacio vectorial de todos los procesos simples. La integral estocástica de Itô de un proceso simple X respecto del movimiento Browniano, denotada por I(X), se define entonces naturalmente como la variable aleatoria Z I(X) =. T. Xs dBs = 0. 1.4.2. n−1 X. Xtk (Btk+1 − Btk ).. k=0. Extensión por aproximación. Ahora extendemos la integral estocástica a procesos un poco más generales. sea H2 el espacio de todos los procesos {Xt : 0 ≤ t ≤ T } medibles y adaptados, tales que Z E(. T. |Xt |2 dt) < ∞.. 0 2. El espacio H resulta ser un subespacio lineal cerrado de L2 (P × dt). Observe que la única diferencia entre estos dos espacios es que a los elementos de H2 se les pide que sean medibles y adaptados. Claramente todo proceso simple es un elemento de H2 . Tenemos entonces la contención de espacios H02 ⊂ H2 ⊂ L2 (P × dt), en donde puede probarse que H02 es denso en H2 respecto a la norma en L2 (P ). Esto significa que para cualquier proceso X en H2 existe una sucesión de procesos X k en H02 tales que lı́m kX − X k kL2 (P ×dt) = 0. k→∞. Este procedimiento de aproximación puede llevarse a cabo de la siguiente forma. Mediante la técnica de truncación todo proceso en H2 puede ser aproximado por un proceso 15.

(21) acotado. A su vez todo proceso en H2 que es acotado se puede aproximar por procesos acotados y continuos. Y éstos a su vez se aproximan por procesos simples de la forma n X Xtk · 1[tk ,tk+1 ] (t), k=0. en donde 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T es una partición finita de [0, T ] Propiedades de la integral La integral estocástica de Itô cumple varias propiedades aunque sólo mencionaremos algunas de ellas aquı́, a manera de resumen de las caracterı́sticas señaladas antes. Primeramente debemos mencionar que la integral It : L2loc → L2 (P ) es lineal y su esperanza es cero, es decir, para c constante y cualquiera procesos Xs y Ys en L2loc , Rt Rt Rt a. 0 (cXs + Ys )dbs = c 0 Xs dBs + 0 Ys dBs , c.s. Rt b. E( 0 Xs dBs ) = 0, c.s. Cuando la integral estocástica se restringe al espacio H2 , entonces se cumple también la isometrı́a de Itô: Rt Rt c. E| 0 Xs dBs |2 = E 0 |Xs |2 ds. Y vista como un proceso, la integral es una martingala , es decir, es integrable, adaptada y para 0 ≤ s ≤ t, se cumple Rt Rs d. E( 0 Xu dBu |Fs ) = 0 Xu dBu . Existe además una versión continua de tal proceso. En general, para X ∈ L2loc , la integral ya no es una martingala sino una martingala local.. 1.5. Fórmula de Itô. Una de las herramientas fundamentales para estudiar las EDE es llamada la fórmula de Itô, que describe una regla de diferenciación para el cambio de variables o composición de funciones. 16.

(22) Teorema 2 (Fórmula de Itô.) Si f es una función de clase C 2 , entonces 1 df (Bt ) = f 0 (Bt )dBt + f 00 (Bt )dt. 2 1 Ejemplo Si f (x) = x2 entonces la fórmula de Itô establece que 2 Z t Z 1 t 1 2 1 2 Bs dBs + B − B0 = 1ds 2 t 2 2 0 0 es decir, Z 0. t. 1 1 Bs dBs = Bt2 − t. 2 2. Este resultado habı́a sido encontrado antes, ahora lo hemos obtenido de manera inmediata 1 de la fórmula de Itô. De manera análoga, para la función f (x) = x3 se obtiene 3 Z t Z t 1 3 2 Bs dBs = Bt − Bs ds. 3 0 0 1 xn+1 , de la fórmula de Itô se sigue que n+1 Z Z t 1 t 1 n+1 n B − nBsn−1 ds. Bs dBs = n+1 t 2 0 0. Más generalmente, para f (x) =. Presentamos una regla de diferenciación para la composición de dos procesos estocásticos que es una generalización de la formula de Itô conocido. Teorema 3 Sea Ft (x), t ∈ [0, a], x ∈ Rn un proceso aleatorio continuo en (t, x), satisfaciendo: (i) Ft (x) es dos veces continuamente diferenciable en x. (ii) Para cada x, Ft (x) es una semimartingala continua y esta satisface. Ft (x) = F0 (x) +. m Z X j=1. t. fsj (x)dYsj ,. ∀x ∈ Rn. 0. donde Yt1 , ..., Ytn son semimartingales continuas, ftj (x), t ∈ [0, a], x ∈ Rn son procesos aleatorios que son continuos en (t, x) y que satisfacen:. 17.

(23) a) ftj (x) son dos veces continuamente diferenciables en x. b) Para cada x, ftj (x) son procesos adaptados. Si Xt = (Xt1 , ..., Xtn ) son semimartingales continuas, entonces para la composición: Ft (Xt ) = F0 (X0 ) +. m Z X j=1. +. n X m Z X i=1 j=1. 0. t. t. fsj (Xs )dYs. +. 0. n Z X i=1. 0. t. ∂Fs (Xs )dXsi ∂xi. ∂fsj (Xs )dhY j , X i is ∂xi. n Z 1 X t ∂ 2 Fsj + (Xs )dhX i , X j is . 2 i,j=1 0 ∂xi ∂xj. Observe que la fórmula anterior no es como la fórmula clásica para el diferencial de las funciones compuestas, donde no aparecen los dos últimos términos. Veremos más adelante que si reemplazamos las integrales de Itô por las integrales de Stratonovich, entonces tenemos una regla similar a la regla clásica. Ver el siguiente teorema. Teorema 4 Ft (x), t ∈ [0, a], x ∈ Rn es un proceso estocástico continuo en (t, x),. F : [0, a] × Rn → R (t, x) → Ft (x) satisfaciendo: (i) Para cada t, Ft (.) es una aplicación de clase C 3 que va desde Rn en R. (ii) Para cada x, Ft (x) es una semimartingala continua y esta satisface. Ft (x) = F0 (x) +. m Z X j=1. t. fsj (x) ◦ dYsj ,. ∀x ∈ Rn. 0. donde Yt1 , ..., Ytn son semimartingales continuas, ftj (x) son procesos aleatorios satisfaciendo las condiciones a) y b) del teorema anterior.. 18.

(24) Sea ahora Xt = (Xt1 , ..., Xtn ) semimartingalas continuas. Entonces la derivada de la composición es dada por. dFt (Xt ) = (dFt )(Xt ) +. d X ∂Ft i=1. Ft (Xt ) = F0 (X0 ) +. m Z X j=1. ∂xi. t. fsj (Xs ). 0. ◦. dYsj. +. (Xt ) ◦ dXti d Z X i=1. 19. 0. t. ∂Fs (Xs ) ◦ dXsı̂ ∂xi.

(25) Capı́tulo 2 Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sobre Variedades En este capı́tulo estamos interesados en estudiar y analizar la teorı́a de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE) sobre Variedades Diferenciables, y dar condiciones necesarias y suficientes para la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones. Finalmente dar condiciones para la existencia de flujo estocástico sobre variedades. Para nuestro estudio, nos basaremos en los aportes de Oksendal (2013), Luque (2011), Kunita (1984), Hsu (2002).. 2.1. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sobre R. Iniciamos nuestro análisis, para una EDE dξt = b(t, ξt )dt + σ(t, ξt )dBt. (2.1). definida sobre R, donde t toma valores en el intervalo [0, T ] y con condición inicial ξ0 , que es una variable aleatoria F0 -medible e independiente del movimiento browniano. Observamos que la incógnita de esta ecuación es el proceso ξt y los coeficientes b(t, x) y σ(t, x) son funciones que toman valores reales y son definidos sobre [0, T ] × R. La ecuación dada en (2.1) puede ser escrita en su forma integral como sigue: Z ξt − ξ0 =. t. Z b(s, ξs )ds +. 0. σ(s, ξs )dBs 0. 20. t.

(26) en donde la primera integral es una integral de Riemann mientras que la segunda integral es una integral estocástica de Itô. El proceso de solución puede interpretarse como el estado de un sistema que evoluciona de manera determinista gobernado por la parte no aleatoria de la ecuación pero perturbado por un ruido aditivo dado por la integral estocástica. A un proceso ξt dado en (2.1) se llama proceso de Itô y para que esta ecuación tenga alguna solución se debe imponer algunas condiciones en los coeficientes. De manera análoga el caso determinista, existen teoremas básicos de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales estocásticas que establecen condiciones de regularidad para los coeficientes b y σ, bajo las cuales la ecuación tiene solución única. El siguiente teorema es uno de tales resultados. Teorema 5 (Existencia y unicidad.) Si los coeficientes b(t, x) y σ(t, x) de la ecuación satisfacen la condición de Lipschitz en la variable x, |b(t, x) − b(t, y)|2 + |σ(t, x) − σ(t, y)|2 ≤ K|x − y|2 , y la condición de crecimiento en x, |b(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2 ),. para alguna constante K > 0, entonces existe un proceso estocástico ξt solución de la ecuación que es adaptado, continuo, uniformemente acotado en L2 (P ), es decir, sup0≤t≤T E(ξt2 ) < ∞, y es además único. En este caso a tal solución se le llama solución fuerte de la ecuación. Una idea de la demostración para este resultado es semejante al caso deterministico, y hace uso del método de iteraciones de Picard. Mediante este método se define la sucesión de procesos (0). ξt (n+1) ξt. Z = ξ0 +. = ξ0 ,. t. b(s, ξs(n) )ds. 0. Z +. t. σ(s, ξs(n) )dBs. 0. Para que las iteraciones de Picard tengan sentido es necesario verificar que los integrandos involucrados son efectivamente susceptibles al ser integrados respecto de la respectiva diferencial. Luego, para comprobar que tal sucesión de procesos es convergente se demuestra que, con probabilidad uno, esta sucesión constituye una sucesión de Cauchy en el 21.

(27) espacio de funciones continuas C[0, T ], respecto de la norma uniforme kξk = sup0≤t≤T |ξt |. Dado lo anterior, existe entonces un proceso continuo ξ, tal que con probabilidad uno, (n). ξt. converge a ξt de manera uniforme en el intervalo [0, T ]. Adicionalmente puede de(n). mostrarse que el proceso lı́mite es L2 -acotado en [0, T ], y que la convergencia ξt. → ξt. 2. también es válida en L (P ). También debe demostrarse que el proceso que resulta del lı́mite es efectivamente solución de la ecuación estocástica. Para ello se toma el lı́mite en la ecuación que define las iteraciones, y se verifica la convergencia uniforme en [0, T ] con probabilidad uno, término a término. Cuando algunas de las condiciones que requiere el teorema de existencia y unicidad no se cumplen, la solución de ecuación estocástica puede no existir.. 2.2. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas sobre Rn. En esta sección, extenderemos nuestro análisis dado en la sección anterior para el caso de una EDE definida sobre el espacio euclidiano Rn . Sea Bt = (Bt1 , ..., Btm ), t ∈ [0, T ] un movimiento Browniano m-dimensional definido sobre el espacio de probabilidad (Ω, Fα , P ). Para el par s, t de [0, T ] tal que s < t, denotamos por Fs,t el menor σ − campo completo para el cual todo Bu − Bv ; s ≤ v ≤ u ≤ t son medibles. Entonces la familia de σ − algebra {Fs,t } es creciente en t, decreciente en s; Fs,t ⊆ Fs0 ,t0 si s0 < s y t ≤ t0 . Entonces Bt − Bs ; t ≥ s es un Fs,t - martingala para cualquier s. Dadas las aplicaciones X k : [0, T ] × Rn → Rn , continuas para cada k = 0, ..., m podemos considerar la EDE dξt =. m X. X k (t, ξt )dBtk + X 0 (t, ξt )dt. (2.2). k=1. con condición inicial ξ0 = x ∈ Rn Definición 6 Dado el tiempo s ∈ [0, T ] y un estado x ∈ Rn , un proceso estocástico continuo ξt , t ∈ [s, T ] con valores en Rn es llamado solución de la EDE dada en (2.2) con. 22.

(28) condición inicial ξs = x, si este proceso es (Fs,t )- adaptado para cada t ≥ s y satisface Z t m Z t X k k X 0 (r, ξr )dr. ξt = x + X (r, ξr )dBr + k=1. s. s. Por conveniencia con respecto de las notaciones, escribiremos a menudo dt como dBt0 luego, la EDE dada en (2.2) se puede reescribir como m Z t X ξt = x + X k (r, ξr )dBrk . k=0. (2.3). s. El objetivo de esta sección es analizar y comprender el teorema de existencia y unicidad de soluciones para una EDE dada en (2.3) para cualquier condición inicial de coeficientes X0 , ...Xm globalmente Lipschitz continuo, es decir, existe una constante positiva L tal que |X k (t, x) − X k (t, y)| ≤ L|x − y| se cumple para todo t ∈ [0, T ] y x, y ∈ Rn . Teorema 7 (Existencia y Unicidad.) Suponga que los coeficientes X 0 , ..., X m de la ecuación (2.3) son globalmente Lipschitz. Entonces la ecuación tiene una única solución para cualquier condición inicial dada. Además esta en Lp para cualquier p ≥ 1. Demostración: Debemos construir la solución empezando en x en un tiempo s. Para esto utilizaremos el método de aproximaciones sucesivas. En efecto, comenzamos definiendo una secuencia de procesos estocásticos (Fs,t ) continuos, por inducción. ξt0 = x .. . ξtn. = x+. m Z X. t. X k (r, ξrn−1 )dBrk ,. n ≥ 1.. s. k=0. entonces se tiene ξtn+1. −. ξtn. =. m Z X k=0. t. {X k (r, ξrn ) − X k (r, ξrn−1 )}dBrk. s. por lo tanto tenemos para p ≥ 2 h. E sup s≤u≤t. ξun+1. −. ξun. pi. Z u m h X pi E sup s≤u≤t {Xk (r, ξrn ) − Xk (r, ξrn−1 )}dBrk ≤ (m + 1) p. s. k=0. 23.

(29) Por la desigualdad de Doob’s y la desigualdad de Burholder cada término correspondiente a k ≥ 1 es dominado por. p. q E. h Z. t. {...}dBrk. pi. p. ≤q C. (p). p −1 2. t−s. E. hZ. s. t. p. {...} dr. i. s. p. ≤q C. (p). t−s. p −1 2. p. LE. hZ. t. ξrn. −. ξrn−1. p. dr. i. s. el término correspondiente a k = 0 es dominado por p q. t. Z. p. p. ξrn − ξrn−1 dr. t−s L E. i. s. luego conseguimos hZ h pi n+1 n ≤ c1 E E sup s≤u≤t ξu − ξu. t. p. ξrn − ξrn−1 dr. i. s. El lado izquierdo lo denotamos por. (n) pt .. Esto implica Z. (n) pt. ≤ c1. t. ρn−1 dr. r. s. por iteración, conseguimos (n). pt. ≤. cn1 n (0) a ρt n!. entonces 1 1 ∞ ∞ n n h X X pi c1 n (0) o p p E sup s≤u≤t ξun+1 − ξun ≤ a ρt < +∞ n! n=0 n=0 (0). como ρt. < ∞. Por lo tanto, ξtn converge uniformemente en [s, t] casi siempre y en la. norma Lp . Denotamos el lı́mite como ξt , que es un proceso continuo (Fs,t )- adaptado. Rt Rt Además, s X k (r, ξrn )dBrk converge a s X k (r, ξr )dBrk en la norma Lp , ya que la variable Rt cuadrática de s {X k (r, ξrn ) − X k (r, ξr )}dBrk converge a 0 en la norma Lp . La convergencia es valida para k = 0, obviamente. Consecuentemente ξt es una solución de la ecuación (2.3).. 24.

(30) Vamos a probar la unicidad de la solución. Sea ξt y ξet soluciones de la ecuación (2.3). Define Tn = inf {t > 0; |ξt | ≥ n o |ξet | ≥ 0} (= ∞ si {...} = φ). Entonces se tiene ξtTn. Tn − ξet =. n Z X k=0. t∧Tn. o n Tn X k (r, ξrTn ) − X k (r, ξet ) dBrk .. s. por un calculo similar a lo anterior, obtenemos: t∧Tn. hZ h Tn p Tn e ] ≤ c1 E E sup s≤u≤t ξu − ξt. p. Tn dr]. ξrTn − ξet. s. Denotamos por ρt =. E[sup s≤u≤t |ξuTn. Tn. p. − ξet | ], donde n es fijo. Tenemos ρ ≤ c1. Rt s. ρr dr.. Tn Por el lema de Gronwall’s, tenemos ρt = 0. Esto prueba ξtTn = ξet .. Puesto Tn ↑ ∞, tenemos ξt = ξet , con lo que completamos la demostración.. . En el teorema anterior, la solución ξt ocurre para todo el tiempo porque hemos asumido que los coeficientes son globalmente Lipschitz, lo que implica que puede crecer de forma lineal. Cuando los coeficientes son solo localmente Lipschitz, tenemos la posibilidad de explosión. Por ejemplo, dada la ecuación diferencial:   dξt = ξ 2 t dt  ξ0 = 1 separando variables e integrando Z 0. t. 1 dξt = ξt2 −1 ξt. Z. t. dt 0. t. = t 0. −1 1 + = t ξt ξ0 −1 = t−1 ξt 1 = ξt 1−t Tenemos que ξt =. 1 , explota en el tiempo t = 1. 1−t. 25.

(31) 2.3. EDE Sobre Variedades Diferenciales. En esta sección estudiamos a las EDE sobre variedades, generalizando de manera natural la noción de las EDE sobre el espacio euclidiano Rn . Comenzamos considerando una EDE sobre una variedad M definimos esta ecuación a partir de campos de vectores sobre la variedad. Luego, utilizando el Teorema de mergullo de Whitney, de donde, es posible mergullar M en un espacio euclidiano y mediante este mergullo extendemos los campos de vectores en el espacio ambiente (es decir en Rn ), obteniendo ası́ una EDE extendida en Rn , de donde por la sección anterior tenemos que existe la solución y es única.. 2.3.1. Formulación de EDE de Tipo Stratonovich. En esta sección, realizaremos una comparación de las EDE del tipo Itô con la del tipo de Stratonovich, esta comparación se realiza con el fin de utilizar el teorema de existencia de soluciones para una EDE del tipo Itô sobre el espacio euclidiano. Una razón por la cual consideramos las EDE de tipo Stratonovich es porque, es la que mejor se adapta para aplicaciones geométricas, pues este tipo de ecuaciones se transforman naturalmente sobre difeomorfismos. Este tipo de fórmulas tienen una ventaja que es que satisfacen el teorema fundamental del cálculo y toman una forma similar a la de una EDO. Ası́, el cálculo estocástico en esta formulación se torna mas conveniente cuando estudiemos las EDE sobre variedades. Supongamos que X k ; k = 0, ..., m son campos de vectores diferenciables sobre Rn . Para cada t ∈ [0, T ] fijo, cada X k puede ser considerado como una función X k : Rn → Rn y consideramos la EDE sobre Rn de tipo Stratonovich: dξt =. m X. X k (ξt ) ◦ dBtk. k=0. o en su forma integral: ξt − ξ0 =. Z tX m. X k (ξs ) ◦ dBsk. 0 k=0. Donde la integral es dada en el sentido Stratonovich. Luego podemos convertir la integral de Stratonovich en su equivalente Integral de Itô, esto es:. 26.

(32) ξt − ξ0 =. Z tX m. X. k. (ξs )dBsk. 0 k=0. 1 + 2. Z tX m. ∇X l X k (ξs )dhB k , B l is .. 0 k=0. Aquı́ ∇X l X k es la derivada covariante del campo X k a lo largo del campo X l . Ası́, la fórmula de conversión de integral de Itô-Stratonovich en este escenario esta dada por la siguiente proposición. Proposición 8 La formula de Itô para integrales de Stratonovich se describe de la siguiente forma: Sea el proceso ξt solución de la ecuación dξt =. m X. Xtk (ξt ) ◦ dBtk. k=0. y f ∈ C 2 (Rn ). Entonces f (ξt ) = f (ξ0 ) +. Z tX m. Xsk f (ξs ) ◦ dBsk. 0 k=0. o df (ξt ) =. m X. Xtk f (ξt ) ◦ dBtk. k=0. Con todo esto, podemos definir la solución de una EDE de tipo Stratonovich como sigue: ξt − ξ0 =. Z tX m. Xsk (ξs )dBsk. 0 k=0. 1 + 2. Z tX m. ∇X l Xsk (ξs )dhB k , B l is .. 0 k=0. Definición 9 Bajo las condiciones anteriores, sea la EDE de tipo Stratonovich.  dξt = Pm X k (ξt ) ◦ dB k t t k=0 ξ = x. (2.4). 0. donde X k es una variable aleatoria F0 -medible. Entonces, decimos que el proceso ξt es solución de la ecuación diferencial estocástica (2.4).. 27.

(33) 2.3.2. EDE sobre Variedades. En esta sección pretendemos construir EDE sobre variedades diferenciables, dar condiciones para la existencia de su solución y mostrar la unicidad de su solución. Por último, mostrar algunas propiedades de estas soluciones, como se transforman mediante difeomorfismos. Definición 10 Sea M una variedad diferenciable y compacta, de dimensión n, (Ω, F∗ , P ) un espacio de probabilidad filtrado. Un proceso continuo ξt definido en [0, τ ] ( τ tiempo de explosión) es una semimartingale a valores en M si f (ξt ) es una semimartingala a valores reales para todo f ∈ C ∞ (M ). Por la formula de Itô claramente se observa que si M = Rn en la definición, entonces ξ es una semimartingala a valores en Rn . Ası́ para construir nuestra EDE sobre la variedad M , consideramos X k , k = 0, ...m campos de vectores sobre la variedad M , Bt = (Bt1 , ..., Btm ) un movimiento Browniano y dBt0 = dt y una variable aleatoria ξ0 ∈ F0 que sirve como condición inicial de la ecuación:  dξt = Pm X k (ξt ) ◦ dB k t t k=0 ξ ∈ M 0. Nos referimos a esta ecuación como EDE (Xtk , Btk , ξ0 ). Definición 11 Una semimartingale ξt que toma valores en M , es una solución de una EDE (Xtk , Btk , ξ0 ) si para todo f ∈ C ∞ (M ), se tiene df (ξt ) =. m X. Xtk f (ξt ) ◦ dBtk .. k=0. o en su forma integral f (ξt ) = f (ξ0 ) +. m Z X k=0. t. Xsk f (ξs ) ◦ dBsk .. o. Vamos a mostrar que la EDE (Xtk , Btk , ξ0 ) tiene una única solución. La estrategia será, extender la ecuación a una ecuación sobre un espacio euclidiano mediante el conocido Teorema de Mergulho de Whitney. 28.

(34) Teorema 12 (Teorema de Mergulho de Whitney) Sea M una variedad diferenciable. Entonces existe un Mergulho i : M → RN para algún N tal que la imagen i(M ) es un subespacio cerrado de RN . A menudo identificamos M = i(M ) y suponemos que M es una subvariedad cerrada de RN . Supongamos que M es una subvariedad cerrada de RN . Ası́, si X ∈ M entonces tiene N coordenadas {X 1 , ..., X N } como punto en RN . La siguiente proposición muestra que las N funciones coordenadas f i (x) = xi puede servir como un conjunto natural de funciones esto para la fórmula de Itô sobre M . Proposición 13 Supongamos que M es una subvariedad cerrada de RN . Sea f 1 , ..., f N las funciones coordenadas. Sea ξ un proceso continuo que toma valores en M i) ξ es una semimartingala en M si y sólo si es una semimartingala a valores en RN , o equivalentemente, si y sólo si f i (X) es un semimartingala en R para cada i = 1, ..., N. ii) ξ es una solución de EDE(Xtk , Btk , ξ0 ) si y sólo si para cada i = 1, ..., N. i. df (ξt ) =. m X. Xtk f i (ξt ) ◦ dBtk. k=0. Demostración: i) Supongamos que el proceso ξ es una semimartingala a valores en M , entonces por definición tenemos que para toda f ∈ C ∞ (M ), f (ξ) es una semimartingala a valores en R. Además, cada f i para i = 1, ..., N es una función diferenciable sobre M , entonces f i (ξ) = ξ i es una semimartingala a valores en R. Por tanto, ξ es una semimartingala a valores en RN . Para la recı́proca, supongamos que el proceso ξ es una semimartingala en M a valores en RN . Sea f ∈ C ∞ (M ), como M es una subvariedad cerrada de RN , entonces la función f puede ser extendida a una función f˜ ∈ C ∞ (RN ) con f ≡ f˜ en M . Ası́ mismo, f (ξ) = f˜(ξ) es una semimartingala a valores en R, esto quiere decir que, ξ es una semimartingala a valores en M . 29.

(35) ii) Para la vuelta, supongamos que ξ es solución de la EDE (Xtk , Btk , ξ0 ) para un tiempo de parada τ , entonces para cada f ∈ C ∞ (M ) se cumple: Z t 0≤t<τ f (ξt ) = f (ξ0 ) + Xsk (f (ξs )) ◦ dBsk , 0. En particular para cada f i ∈ C ∞ (M ) tenemos, Z t i i Xsk (f i (ξs )) ◦ dBsk , f (ξt ) = f (ξ0 ) +. 0≤t<τ. 0. Ahora para la ida, supongamos que cada f i ∈ C ∞ (M ) con i = 1, ..., N satisface; i. df (ξt ) =. m X. Xtk f i (ξt ) ◦ dBtk. k=0. o en su forma integral, i. Z. i. f (ξt ) = f (ξ0 ) +. t. Xsk (f i (ξs )) ◦ dBsk ,. 0≤t<τ. 0. Sean f ∈ C ∞ (M ) y f˜ ∈ C ∞ (RN ) su extensión a RN , entonces f (ξt ) = f˜(f 1 (ξt ), ..., f N (ξt )) y aplicando la fórmula de Itô a este proceso resulta que, d(f (ξt )) = fxi (f 1 (ξt ), ..., f N (ξt )) ◦ d(f i (ξt )) m X 1 N Xtk f i (ξt ) ◦ dBtk = fxi (f (ξt ), ..., f (ξt )) ◦ k=0. = {fxi (ξt1 , ..., ξtN ). m X. Xtk f i (ξt ))} ◦ dBtk. k=0. =. m X. Xtk f (ξt ) ◦ dBtk. k=0. En esta última parte utilizamos la regla de la cadena para diferenciación de funciones compuestas. Ası́ mismo, integrando la última ecuación obtenemos que el proceso ξ que toma valores en M , es solución de la EDE. (Xtk , Btk , ξ0 ) esto en un tiempo de parada τ . . 30.

(36) Volviendo a la EDE(Xtk , Btk , ξ0 ), fijamos un mergulho de M en RN y consideramos M como una subvariedad cerrada de RN . Cada campo vectorial Xtk es al mismo tiempo una función diferencial en M y se puede extender a un campo vectorial X̃k en RN . Ası́ obtenemos la EDE: dξt =. m X. X̃tk (ξt ) ◦ dBtk. k=0. ˜ Puesto que ξ˜ que viene a ser una ecuación extendida en RN tiene una solución única ξ. comienza en M y los campos vectoriales X̃tk son tangentes a M en ξ0 , se espera, como en las ecuaciones diferenciales ordinarias, que ξ˜ nunca deja M . Proposición 14 Sea ξ˜ la solución de la ecuación extendida EDE(X̃tk , Btk , ξ0 ) ξ0 ∈ M . Entonces ξt ∈ M t ∈ [0, T ]. Proposición 15 Supongamos que φ : M → N es un difeomorfismo entre las variedades M y N . Si ξt una solución de EDE (Xtk , Btk , ξ0 ), entonces φ(ξt ) es una solución de EDE (φ∗ Xtk ; Btk , φ(ξ0 )) sobre N Demostración: En efecto, como ξt una solución de EDE (Xtk , Btk , ξ0 ), entonces para todo f ∈ C ∞ (M ) se tiene:. Z. t. Xsk (f (ξs )) ◦ dBsk .. f (ξt ) = f (ξ0 ) + 0 ∞. Denotamos por Y = φ(ξ) e seja ϕ ∈ C (N ). Si f = ϕ ◦ φ ∈ C ∞ (M ) y utilizando el hecho que Xtk (ϕ ◦ φ)(ξs ) = (φ∗ Xtk )ϕ(Ys ) obtenemos que; ϕ(Yt ) = ϕ(φ(ξt )) Z. t. = ϕ(φ(ξ0 )) + Xsk (ϕ ◦ φ)(ξs ) ◦ dBsk Z t 0 = ϕ(Y0 ) + (φ∗ Xsk )ϕ(Ys ) ◦ dBsk . 0. Por tanto, Y = φ(ξ) es una solución de EDE (φ∗ Xtk ; Btk , φ(ξ0 )) sobre N , con lo que concluimos la demostración.. . 31.

(37) 2.4. Flujos Estocásticos sobre Rn. Consideramos sobre Rn , una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) dada por: m X dϕt = X 0 (t, ϕt ) + X k (t, ϕt )ukt dt k=1. (2.5). donde ut = (u1t , ..., um t ) es una función diferenciable por partes. Si denotamos por ϕs,t (X) la solución de la ecuación (2.5) que inicia en (s, x), que si los coeficientes X 0 , ..., X m son globalmente diferenciables lipschitz continuos, entonces ϕs,t define un flujo de homeomorfismo, es decir, cumple con las siguientes condiciones. 1. ϕs,t (X) es lipschitz continua en (s, t, x) 2. Para r < s < t, ϕr,t (X) = ϕs,t ◦ ϕr,s (X) 3. Para cada s < t; la aplicación ϕs,t : Rn → Rn es un homeomorfismo. Ahora, si consideramos una EDE sobre Rn , dada por:  dξt = Pm X k (t, ξt ) ◦ dBt k=0 ξ = x. (2.6). 0. En la sección anterior, vimos que si los coeficientes Xk son globalmente lipschitz continuos, entonces existe una única solución ξt (x) que es continua en (t, x) casi siempre. Observamos que la solución ξt (x) de (2.6) es continua en (t, x) casi siempre. Ası́, para cada t > 0 la solución ξt (x) define una aplicación ξt (·, ω) : Rn → Rn continua en casi todo ω ∈ Ω. En esta sección, estamos interesados en ver bajo que condiciones la solución ξt (x) de (2.6) define un flujo estocástico sobre Rn . 32.

(38) Teorema 16 Supongamos que los coeficientes de la EDE.  dξt = Pm Xk (t, ξt ) ◦ dBt k=0 ξ = x. (2.7). 0. son globalmente lipschitz continuos. Entonces la solución, denotada por ξt (x, ω) que satisface las siguientes propiedades. 1. Para cada t > 0 y x ∈ Rn , tenemos que ξt (x, ω) es Ft - medible. 2. Para casi todo ω ∈ Ω, ξt (x, ω) es continua en (t, x) y satisface. lı́m ξt (x, ω) = x t→0. 3. Para casi todo ω ∈ Ω; ξu+t (x, ω) = ξt,t+u (ξt (x, ω), ω) 4. Para casi todo ω ∈ Ω, la aplicacion ξt : (·, ω)Rn → Rn es un homeomorfismo sobreyectivo para todo t > 0 Por tanto la solución ξt (t, w) de la EDE (2.7) define un flujo estocástico. Demostración: Claramente los incisos 1 y 2 son consecuencia inmediata del hecho que el proceso ξt es solución de la EDE descrita en el Teorema. Para mostrar el inciso 3, observamos que: ξt (x) = x +. m Z X k=0. t. X k (s, ξs (x))dBsk. 0. es solución de la EDE, con tiempo inicial t=0 hasta t, entonces:. 33.

(39) ξt+u (x) = x + = x+ " =. m Z X. t+u. k=0 0 "Z m t X 0 k=0 Z m X t. x+. X k (s, ξs (x))dBsk X k (s, ξs (x))dBsk +. X k (s, ξs (x))dBsk. t. # X k (s, ξs (x))dBsk +. k=0 0 m Z t+u X. = ξt (x) +. k=0. #. t+u. Z. Z. t+u. X k (s, ξs (x))dBsk. t. X k (s, ξs (x))dBsk. t. Para mostrar 4, comenzamos mostrando la propiedad de inyectividad de la aplicación ξt , consideramos el Lema 2.4 del trabajo de Kunita (1984); pag 214, donde se tiene: h i2p E ξt (x) − ξt (y) ≤ C(p)|x − y|2p donde C(p) es una constante positiva que depende de p. Si p < 0, claramente tenemos que, ξt es inyectiva, pues si x 6= y, entonces ξt (x) 6= ξt (y) casi siempre. Luego, tomando p p tan grande como > 2(n + 1), por el Lema 4.1 del trabajo de Kunita (1984); pag 224, 2 consideramos el proceso. ηt (x, y) =. 1 |ξt (x) − ξt (y)|. donde tenemos que, existe una constante C2 (p) tal que, para cualquier δ > 0, se tiene: E[|(ηt (x, y)−ηt0 (x0 , y 0 )|p ] ≤ C2 (p)δ −2p {(|x−x0 |p +|y−y 0 |p +|x|p +|x0 |p +|y|p +|y 0 |p )(|t−t0 |p/2 )} para t > 0 y x, x, x0 , y 0 tal que |x − y| ≤ δ y |x0 − y 0 | ≤ δ Pero, esto implica que el proceso ηt (x, y) es continuo en el dominio {(t, x, y)/t > 0, |x − y| ≥ δ} y como δ es arbitrario tenemos que el proceso ηt (x, y) es continuo en el dominio {(t, x, y)/t > 0, x 6= y} esto prueba que la aplicación ξt : Rn → Rn es inyectiva para cualquier t > 0 casi siempre. Ahora pasamos a mostrar la sobreyectividad de la aplicación ξt (x), para eso usamos b n = Rn S{∞} la el Lema 4.2 del trabajo de Kunita (1984); pag 225. Consideramos R. 34.

(40) compactificación a un punto de Rn y x b = |x|−2 x, entonces para ηt (b x) =. 1 , 1 + ξt (x). si x b ∈ Rn y es = 0 si x b=0. tenemos que, para cualquier p > 0 existe una constante C3 (p) positiva tal que: E[|(ηt (b x) − ηt0 (xb0 )|p ] ≤ C3 (p){(|x − x0 |p + |t − t0 |p/2 } Ası́, tomamos p > 2(n + 3), entonces por el teorema de Kolmogorov, el proceso ηt (b x) es continuo en x b = 0. Por tanto, ξt (·, ω) puede ser extendido para una aplicación continua b n en si mismo para todo t > 0 casi siempre. La extensión ξet (x, ω) es continua en de R bn → R b n es (t, x) casi siempre. Fijamos ω ∈ Ω y observamos que la aplicación ξet (·, ω) : R homotópica a la aplicación identidad. Ası́, ξet (·, ω) = x y por la teoria de Topologia algebraica, tenemos que es una aplicación sobreyectiva. Luego, la restricción de ξet (·, ω) para Rn es también una aplicación sobreyectiva pues ξet (∞, ω) = ∞: Por tanto la aplicación ξt (·, ω) : Rn → Rn es biyectiva. Luego, existe su aplicación inversa ξt−1 (·, ω) : Rn → Rn bn → que es también biyectiva. Esta aplicación es continua, pues ξt su extensión ξet−1 (·, ω) : R b n es continua, esto debido a que ξe( ·, ω) es inyectiva, continua del espacio compacto R bn R en si mismo. Por tanto, ξ(·, ω) es un Homeomorfismo, con lo que se concluye la prueba del teorema.. . Teorema 17 Sea k un entero positivo. Suponga que los coeficientes de la siguiente EDE:.  dξt = Pm Xk (t, ξt ) ◦ dBt k=0 ξ = x 0. son funciones de clase C k , cuyas k-ésimas derivadas son localmente Holder continuas de orden α, para algún α > 0 y sus derivadas para el k-ésimo orden son limitados. Entonces la aplicación ξt (·, ω) : Rn → Rn es un C k difeomorfismo para todo t > 0 casi siempre.. 35.

(41) Demostración: La diferenciabilidad de la aplicación ξt : Rn → Rn es dada por el Teorema 3.3, del trabajo de Kunita (1984); pag 223. Ası́, es suficiente mostrar que la matriz jacobiana ∂ξt (x) ∂x. ∂ξt (x) =. !. es no singular para cualquier x casi siempre. Si mostramos esto, entonces por el Teorema de la función implı́cita tendremos que la aplicación inversa ξt−1 (·) es también de clase C k . Ahora, por el Teorema 3.1 del trabajo de Kunita (1984); pag 218, la matriz jacobiana satisface la siguiente EDE lineal ∂ξt = I +. m Z X k=0. t. Xk0 (s, ξs (x))∂ξs dBsk. 0. Consideremos la ecuación:. Kt (x) = I −. m Z X k=0. t. Ks (x)Xk0 (s, ξs (x)). ◦. dBsk. 0. −. m Z X. Ks (x)Xk0 (s, ξs (x))2 dr. k=1. que claramente tiene una única matriz solución Kt (x), que cumple αp. E[|Kt (x) − Kt0 (x0 )|p ] ≤ C4 (p){|x − x0 |αp + (1 + |x| + |x0 |)αp (|t0 − t| 2 } con lo que Kt (x) es continua en (t, x) casi siempre. Luego, aplicando la fórmula de Itô, para el proceso dado por Mt (x) = Kt (x)∂ξt (x) Z Kt (x)∂ξt (x) = I +. t. Z. 0. t. Ks (x)d(∂ξs (x)) + hK(x), ξ(x)it. dKs (x).∂ξs (x) + 0. Por tanto, por la definición del proceso Kt (x), tenemos que ∂ξt (x) tiene una matriz inversa Kt (x) para cualquier (t, x) con lo que ∂ξt (x) es no singular para cualquier (t, x) casi siempre.. . 36.

(42) 2.5. Flujos Estocásticos sobre Variedades. Sea M una variedad diferenciable, compacta y conexa. Sobre la variedad M consideramos la EDE:.  dξt = Pm X k (t, ξt ) ◦ dBt k=0 ξ = x. (2.8). 0. Por lo visto en la sección anterior, tenemos que existe sobre M un proceso ξt (x), t > 0 que es la solución de la EDE dada. Ası́, podemos considerar a: ξt : M → M como una aplicación continua.. Teorema 18 Sea ξt solución de la EDE sobre M ; entonces: 1) La aplicación ξt : M → M es un homeomorfismo para t > 0, casi siempre. 2) Las aplicaciones ξt , ξt,t+u y ξt+u satisfacen: ξt+u = ξt,t+u ◦ ξt. para. t, u > 0. A partir de 1) y 2) se dice que ξt es un flujo estocástico. Demostración: Observamos que 2) es una consecuencia inmediata del Teorema 16. Para el inciso 1), como M es compacto y ξt es continua, entonces claramente la solución de la EDE.(2.8) ξt es un homeomorfismo de M .. 37. .

(43) Capı́tulo 3 Formulas de Itô para Flujos Estocásticos En este capitulo estudiamos como el flujo estocástico de difeomorfismos, determinado por una EDE sobre una variedad M , actúa naturalmente sobre el espacio de campos de tensores y define un proceso estocástico con valores en el espacio de campos de tensores. Nuestro objetivo será obtener una nueva versión de la fórmula de Itô que rige el proceso ξt sobre campos de tensores. El desarrollo de este capı́tulo está basado en los trabajos de Kunita (1984), Hsu (2002), Elworthy (1984).. 3.1. Formula de Itô para ξt actuando sobre Campos de vectores. Sea M una variedad diferenciable compacta y conexa de dimensión d. Denotemos por C ∞ (M ) el conjunto de funciones de clase C ∞ sobre M . Para cada x en M , denotemos por Tx M a el espacio tangente en x y por T M al fibrado tangente. Dado un campo vectorial X sobre M , denotamos por Xx la restricción de X en el punto x. Sea φ un difeomorfismo sobre la variedad M . El diferencial (dφ)x de la aplicación φ es por definición la aplicación lineal que va del espacio tangente Tx M al espacio tangente. 38.

(44) Tφ(x) M dada por: (dφ)x : Tx M → Tφ(x) M Xx → (dφ)x (Xx ),. donde (dφ)x (Xx ) es un campo en Tφ(x) M , que de ahora en adelante será denotado por (φ∗ )x (Xx ) y satisface (φ∗ )x (Xx )(f ) = Xx (f ◦ φ). ∀f ∈ C ∞ (M ). Definimos un nuevo campo vectorial φ∗ X por (φ∗ X)x = φ∗φ−1 (x) Xφ−1 (x) entonces se tiene. (φ∗ X)f (x) = (φ∗ )φ−1 (x) Xφ−1 (x) f (x) = Xφ−1 (x) (f ◦ φ)(φ−1 (x)) = X(f ◦ φ)(φ−1 (x)). ∀x ∈ M. para cualquier f de C ∞ (M ). Para φ∗ X campo sobre M , usamos la coordenada local (x1 , ..., xn ) y tenemos que P P i ∂ ∂ . Entonces, el campo φ∗ X es expresado como φ∗ X = (φ∗ X)i (x) X = X (x) ∂xi ∂xi donde (φ∗ X)i (x) =. X. X j (φ−1 (x)). j. ∂φi −1 (φ (x)) ∂xj. y φi (x) = xi (φ(x)). Esto sigue inmediatamente al establecer f (x) = xi (x). La derivada de Lie del campo vectorial X con respecto al campo Y , es el campo vectorial LY X definido por LY X = [Y, X] = Y X − XY. 39.

(45) En base a todo esto, ahora consideramos al proceso ξt (x) como la solución de la EDE de tipo Stratonovich dada en (Capı́tulo 2). Por lo mostrado en el Capitulo anterior tenemos que ξt define un flujo estocástico de difeomorfismos sobre M . Entonces, veremos como actúa este flujo sobre el espacio de campos de vectores.. Teorema 19 Sea ξt solución de la EDE sobre M ( P k dξt (x) = m k=0 Xk (t, ξt )(x) ◦ dBt ξ0 = x Si ξt es un flujo estocástico de difeomorfismos sobre M . Entonces (ξt )∗ X es un campo sobre M que satisface la siguiente versión de la fórmula de Itô. m X. d(ξt )∗ X = −. (LXk (t) ξt )∗ X ◦ dBtk. k=0. Demostración: X ∈ Tx M , entonces (ξt )∗ X es un campo en M (ξt )∗ X(f ) = X(f ◦ ξt )(ξt−1 (x)) para f ∈ C ∞ (M ), luego, definimos los procesos Ft (y) = X(f ◦ ξt )(y) y Mt (x) = ξt−1 (x) y aplicando la fórmula de Itô, a la composición Ft ◦ Mt tenemos d(Ft ◦ Mt ) = (dFt )(Mt ) +. n X ∂Ft i=1. ∂xi. (Mt ) ◦ dMti. (3.1). Como ξt es solución de la EDE, entonces. dFt (x) =. m X. X (Xk (f ◦ ξt )) (x) ◦ dBtk. k=0. Luego, (dFt )(Mt ) = =. m X. X (Xk (f ◦ ξt )) (ξt−1 (x) ◦ dBtk. k=0 m X. (ξt )∗ XXk f (x) ◦ dBtk. k=0. 40. (3.2).

(46) Por otro lado; si Mt = ξt−1 (x) = ((ξt−1 )1 (x), ..., (ξt−1 )n (x)) entonces (dMt )i = (dξt−1 )i (x) m X = − Xk (ξt−1 )i (x) ◦ dBtk k=0. = − = −. m X k=0 m X. Xk Pi (ξt−1 )(x) ◦ dBtk (ξt−1 )∗ Xk (t)Pi (ξt−1 (x)) ◦ dBtk. k=0. = −. m X. {(ξt−1 )∗ Xk }i (ξt−1 (x)) ◦ dBtk. k=0. donde Pi es proyección de la coordenada i−ésima, (Pi (x) = xi ), además, {(ξt−1 )∗ Xk }i es el coeficiente i−ésimo del campo (ξt−1 )∗ Xk esto es: (ξt−1 )∗ Xk =. n X ∂Ft i=1. ∂xi. (Mt ) ◦. dMti. n X ∂ {(ξt−1 )∗ Xk }j ∂xj j=1. m X n X ∂ Ft (ξt−1 (x)){(ξt−1 )∗ Xk }i (ξt−1 (x)) ◦ dBtk = − ∂x i k=0 i=1. = − = = = = =. n m X X. {(ξt−1 )∗ Xk }i. ∂ Ft (ξt−1 (x)) ◦ dBtk ∂xi. k=0 i=1 m X − (ξt−1 )∗ Xk Ft (ξt−1 (x)) ◦ dBtk k=0 m X − Xk (Ft ◦ ξt−1 )(ξt (ξt−1 (x))) ◦ dBtk k=0 m X − Xk (Ft ◦ ξt−1 )(x) ◦ dBtk k=0 m X − Xk (X(f ◦ ξt )(ξt−1 (x)) ◦ dBtk k=0 m X − Xk (ξt )∗ Xf (x) ◦ dBtk k=0. 41. (3.3).

(47) Por tanto, reemplazando las ecuaciones (3.2) y (3.3) en la ecuación (3.1) tenemos d(Ft ◦ Mt ) =. m X. (ξt )∗ XXk f (x) ◦ dBtk −. X. Xk (ξt )∗ Xf (x) ◦ dBtk. k=0. =. m X. [(ξt )∗ XXk − Xk (ξt )∗ X]f (x) ◦ dBtk. k=0 m X. = −. = −. k=0 m X. [Xk (ξt )∗ X − (ξt )∗ XXk ]f (x) ◦ dBtk [LXk (ξt )∗ X]f (x) ◦ dBtk. k=0. Por tanto, d(ξt )∗ X = −. m X. LXk (ξt )∗ X ◦ dBtk. k=0. con lo que concluimos la prueba.. 3.2. . Formula de Itô para ξt actuando sobre 1-formas. En esta sección damos una versión de la fórmula de Itô para el flujo estocástico actuando sobre 1-formas. Sea ξt el flujo solución de la EDE sobre M dada por:  dξt = Pm Xk (t, ξt ) ◦ dB k t k=0 ξ = x 0. con ξt flujo solución, entonces su derivada es la aplicación dada por. ((ξt )∗ )x : Tx M −→ Tξt (x) M Xx −→ ((ξt )∗ )x (Xx ). y su aplicación dual, es dada por: (ξt∗ )x : Tξt (x) M ∗ −→ Tx M ∗ θξt (x) −→ (ξt∗ )x (θξt (x) ). 42.

(48) que satisface: (ξt∗ )x θξt (x) (Xx ) = θξt (x) (((ξt )∗ )x Xx ) Ası́, consideramos. (ξt∗ θ)x = (ξt∗ )x θξt (x) hξt∗ θ, Xix = hθ, (ξt )∗ Xiξt(x). La derivada de Lie de una 1-forma θ, se define por: 1 Lx θ = lı́m {ξt∗ θ − θ} t→0 t hLx θ, Y i + hθ, Lx Y i = X(hθ, Y i) para X, Y campos en M . Teorema 20 Sea ξt solución de la EDE:  dξt = Pm Xk (t, ξt ) ◦ dB k t k=0 ξ = x ∈ M. (3.4). 0. Si ξt es un flujo estocástico de difeomorfismos sobre M . Entonces, para θ una 1−f orma en Tx M ∗ , se tiene que (ξt∗ )θ es una 1-forma que satisface la siguiente versión de la fórmula de Itô sobre Tx M ∗ . ∗. d(ξt ) θ =. m X. (ξt∗ )(LXk θ) ◦ dBtk. k=0. Demostración: Sea θ una 1-forma en Tx M ∗ y sea ξt el flujo solución dado por la EDE (3.4) dξt∗ θ(V )x. =. m X. (ξt )∗ LXk θ(V )x ◦ dBtk. k=0. para cada x ∈ M y V ∈ Tx M . ξt∗ θ(V. ) − θ(V ) =. m Z X k=0. 43. 0. t. ξs∗ Xk θ(V )x ◦ dBsk.

(49) Mas esto equivale a mostrar que: hθ, (ξt )∗ V iξt (x) − hθ, V iξt (x) = −. m Z X k=0. t. hLXk θ, (ξs )∗ V iξs (x) ◦ dBsk. 0. En efecto, sean x ∈ M y V ∈ Tx M . Aplicamos la fórmula dhX, Y i = hdX, Y i+hX, dY i para el proceso hθ, (ξt )∗ V iξt (x) , entonces dhθ, (ξt )∗ V iξt (x) = hdθ, V iξt (x) + hθ, d(ξt )∗ V iξt (x). (3.5). de donde por el Teorema (19), dado en la sección anterior d(ξt )∗ V (ξt (x)) = −. m X. LKk (ξt )∗ V ◦ dBtk. k=0. Por otro lado, aplicando la fórmula de Itô para F (y) = θ(y)(ξt )∗ V (y); Mt = ξt (x), la composición de los procesos:. d(F ◦ Mt ) = (dF )(Mt ) +. d X ∂F (Mt ) ◦ dMti ∂x i i=t. Ası́, por la ecuación (3.5) tenemos: (dF )(Mt ) = hθ, −. m X. LXk (ξt )∗ V ◦ dBtk i. k=0. Además, d m X X ∂F i Xk hθ, ξt V iξt (x) ◦ dBtk (M ) ◦ dMt = ∂X i i=1 k=0. Luego;. d(F ◦ Mt ) = − +. m X. hθ, LXk (ξt )∗ V iξt(x) ◦ dBtk. k=0 m X. Xk hθ, ξt V iξt(x) ◦ dBtk. k=0. =. m X. {Xk hθ, ξt V iξt(x) − hθ, LXk (ξt )∗ V iξt } ◦ dBtk. k=0. =. m X. hLXk θ, (ξt )∗ V iξt ◦ dBtk. k=0. 44.