Sec 7.3-7.4: Introducción a Vectores y producto punto – editado

SECCIÓN 7.3 INTRODUCCION

A VECTORES

Introducción

• Cantidades tales como área, volumen,

longitud, temperatura y tiempo se componen únicamente de una magnitud y se pueden describir completamente con un valor real.

Introducción - continuada

• Conceptos como: velocidad y fuerza tienen magnitud y también dirección.

• Frecuentemente se representan como un segmento de línea dirigido – esto es un segmento de línea al que se le asigna una dirección.

Vector de desplazamiento

• 𝑃𝑄 es un vector de

desplazamiento con punto inicial P y punto final Q.

• El vector de desplazamiento

PQ, también se puede denotar

∆r

• Los componentes de ∆r = PQ son <q₁ – p₁, q₂ – p₂>, donde P tiene coordenadas (p_{1 ,} p₂) y Q, (q_{1 ,} q₂) .

Vector de desplazamiento

• La magnitud del vector

𝑃𝑄 es la distancia

recorrida de P a Q y se denota 𝑃𝑄

• 𝑄𝑃 es un vector con la misma magnitud que

Vectores Equivalentes

• Vectores que tienen la misma magnitud y dirección se llaman

equivalentes.

• Los vectores 𝑢 𝑦 𝑣 son equivalentes (𝑢 = 𝑣 )

• En matemáticas, un vector NO está determinado por su localización,

sino sólo por su magnitud y dirección.

• Un vector se puede trasladar,

Ejemplo Físicos

• Si un avión está descendiendo a una velocidad constante de 100 km / h, y su línea de vuelo

forma un ángulo de 20 º con la horizontal.:

Suma de Vectores

• 𝐴𝐵 puede representar el movimiento de una partícula por una trayectoria sobre un

segmento de línea que va de A a B.

• Entonces, nos referimos a 𝐴𝐵 como un vector de desplazamiento.

• Un desplazamiento 𝐴𝐵 seguido de un

desplazamiento 𝐵𝐶 se puede describir como el desplazamiento 𝐴𝐶.

Suma de Vectores(cont.)

• Dos vectores cualesquiera se pueden sumar

colocando el punto inicial del segundo vector en el punto terminal del

primero…

• Luego, dibuje el segmento de recta que une el punto inicial del primer vector con el punto terminal del

segundo.

• Esto se conoce como una

Suma de Vectores(cont.)

• Otra forma de sumar dos

vectores es trasladarlos para que tengan el mismo punto inicial, digamos 𝑃𝑅 𝑦 𝑃𝑄…

• Luego, crear vectores

equivalentes a los primeros dos,

𝑅𝑆 = 𝑃𝑄 𝑦 𝑄𝑆 = 𝑃𝑅, para

completar un paralelogramo.

• Luego, 𝑃𝑆 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝑄

Múltiplo escalar

•

Si

m

es un escalar and v es un vector,

entonces

m

v es un vector con

•

magnitud igual a



m



veces



v



(la

magnitud de v) y

•

dirección igual a la de v (si

m

> 0) o

dirección opuesta a la de v (si

m

< 0).

Vectores como pares ordenados

• Si 𝑃𝑄es un vector en el plano XY, entonces

existen muchos

vectores equivalentes a

𝑃𝑄

• Solo existe un vector

𝑎 = 0𝐴 con punto incial en el origen, que es

Vectores como pares ordenados (cont.)

• Para cada vector, existe un par ordenado único de números reales, (a₁, a₂) , que describen el punto terminal de un vector equivalente con punto inicial en el origen.

• Dicho de otra forma, cada par ordenado, (a₁, a₂), determina un vector OA, donde 0 es el origen y A tiene coordenadas (a₁, a₂).

Componentes de un vector

• Usamos el símbolo a₁, a₂

cuando un par ordenado representa un vector y escribimos : a = a₁, a₂.

• Los números a₁ y a₂ son los

componentes del vector a₁, a₂.

• Si A es el punto (a₁, a₂), como se muestra, entonces llamamos a OA el vector de posición

Magnitud

• La magnitud de un vector a = a₁, a₂ se denota 𝑎 .

Ejemplo

• Trace los vectores en un plano XY

a = –3, 2, b = 0, –2,

c = ⅘, ⅗

y determinar su magnitud.

Ejemplo

– (cont)

Suma de Vectores (cont)

• Podemos expresar la suma de dos vectores usando pares ordenados como sigue:

Multiplicación por un escalar

• Si m es un escalar y 𝑂𝐴 corresponde a a = a₁, a₂, entonces el par ordenado

determinado m𝑂𝐴 es (ma₁, ma₂).

• Multiplicación por un escalar se

Ejemplo

• Si a = 2, 1,

determinar 3a y –2a, y trace cada vector.

• Solución:

3a =

= 32, 1

Ejemplo - continuación

• …–2a, y trace cada vector.

• Solución:

–2a =

= –22, 1

Otras Definiciones

• El vector cero 0 y el opuesto de un vector a = a₁, a₂, –a, se definen como sigue:

Resta de Vectores

• Vector subtraction se define

a – b = a + (–b).

Resta de Vectores -Ejemplo

Resta de Vectores (cont.)

Si representamos a y b por el vector PQ y el

vector PR,

respectivamente, con el mismo punto inicial,

Vectores especiales

•Dos vectores especiales, i y j, se definen como sigue:

•Los vectores i y j son vectores unitarios.

•Un vector unitario es un vector de magnitud 1.

•Noten: 𝑖 = 12 + 02= 1

•El vector c = ⅘, ⅗ que vimos

Vectores especiales (cont)

• Los vectores i y j se pueden usar para expresar vectores de una forma alterna.

• Especificamente, si a = a₁, a₂, entonces

a = a₁, 0 + 0, a₂ = a₁1, 0 + a₂0, 1

=a₁i + a₂ j

Vectores especiales (cont)

Ejemplo

• Si a = 5i + j and b = 4i – 7j, expresar 3a – 2b como una combinación linear de i y j.

Componentes y ángulos

• Sea θ un ángulo en posición estándar, medido desde el lado positivo del eje de x hasta el vector como se muestra.

a = a₁, a₂ = a₁i + a₂j

• Note que

Componentes y ángulos

Ejemplo

• Exprese el vector v como una combinación lineal de sus componentes.

• Solución

Ejemplo

• Hallar un vector unitario que va en la misma dirección que el vector a = 5, –12.

• Solución

• Primero debemos determinar la magnitud de a

SECCIÓN 7.4 EL

Producto punto

Sea a = < a₁, a₂> = a₁i + a₂ j y b = < b₁, b₂> = b₁i + b₂ j,

entonces el producto punto de a por b , se denota 𝑎 ∙ 𝑏 y se define:

Ejemplo

• Determinar a  b, si

• Solución

Propiedades del Producto Punto

El ángulo entre vectores

• Dos vectores, distintos de cero, a = a₁, a₂ y b = b₁, b₂

se pueden representar en el plano coordenado como un segmento de línea dirigido que empieza en el origen y llega hasta los puntos A(a₁, a₂) and B(b₁, b₂),

respectivamente.

El ángulo entre vectores (cont.)

Noten que

• 0 ≤ θ ≤ π

• a y b son paralelos si θ = 0 ó θ = π

• a y b son ortogonales o perpendiculares si θ = 𝜋

2

Ejemplo

• Si el ángulo entre a = 4, –3 y b = 1, 2 es como se muestra, determinar el ángulo entre los vectores.

• Solución

Ejemplo

Sea a = ½i – 3j y b = –2i + 12j. Determinar si los vectores son paralelos.

Solution: Por definición a y b son paralelos si θ = 0 ó

θ = π

• Como θ = arccos(–1), θ = π.

Vectores Ortogonales

Dos vectores, distintos de cero, a = a₁, a₂ y b = b₁, b₂ son ortogonales (o perpendiculares) si y solo si el producto punto

de a por b es cero, 𝑎 ∙ 𝑏 = 0.

Demostremos que los siguientes vectores son ortogonales:

a) i, j