Estructura de los documentos

Sistemas Matemáticos

Computacionales

Mathematica

Estructura de los documentos

z Los documentos en Mathematica son

llamados Notebooks, el cual contiene una

lista de celdas. En ellas se introducen las expresiones.

z Todas las celdas están agrupadas por un

corchete en la parte derecha de las mismas.

z Podemos dar formato a nuestros

Diálogo

z Todo se basa en el estilo

pregunta-respuesta, es decir, bajo el formato de entrada (In[n]), y salida (Out[n]).

z Donde:

z (In[n]) Æ Es la operación a realizar

Operaciones elementales

z Podemos utilizar Mathematica como una

calculadora, utilizando los operadores:

z + Æ Adición.

z - Æ Sustracción. z * Æ Multiplicación. z / Æ División.

z Sqrt [n] Æ Raíz cuadrada de "n". z n! Æ Factorial de "n".

z Para ejecutar una operación se utiliza la

Ejercicios – Operaciones

básicas

z Realice las siguientes operaciones en el

mathematica

5

+

4

5

4

2

+

5 4

2

+

4

3

2

(2 )

3 4

3

Comentarios

z Podemos escribir texto en nuestros

archivos sin que esto nos origine errores

en los resultados, simplemente indicándolos como comentarios.

z Para ello debemos encerrar el texto

entre paréntesis-asterisco

Manejo de resultados

z Podemos trabajar con resultados obtenidos

anteriormente fines sin la necesidad de volverlos a escribir. Solo con la siguiente nomenclatura:

z % Æ Para referirse el último resultado. z %% Æ Para referirse al penúltimo resul.

z %n Æ Se refiere al resultado especificado con

el número n.

Ejercicios – Valores numéricos

z y

z (3/2-7/5I)(2/5-8/3I)

z (3./2-7/5I)(2/5-8/3I)

z Sqrt[2] //N

z N[Sqrt[2],50]

z Calcule el Seno de Pi/3

z = con formato decimal

z = con formato decimal con 8 dígitos

z = con280 dígitos

. 3

Sintaxis Elemental

Mathematical Expression Mathematica Form

Addition c+b ö c + b

Subtraction d-e ö d − e

Multiplication 3x ö 3 x or 3∗x

Division 4êr ö 4êy H4êx y is H4êxL∗y L

Exponentiation hl ö h^l

Grouping H2+3L4 ö H2 + 3L 4

Function with an argument fHxL ö f@xD

Discrete iterator i =1, 2, 3, …, 9, 10 ö 8i, 1, 10, 1< or 8i, 10<

Continuous range x=0… 1 ö 8x, 0, 1<

Vector 8a_x, a_y, a_z< ö 8ax, ay, az<

Decimal number 3.567 ö 3.567

Assignment x=3 ö x = 3

Mathematical equality sinHpê2L= 1 ö Sin@Piê2D == 1

Function definition fHxL=sinHxL ö f@x_D := Sin@xD

String `hello world' ö "hello world "

Caracteres especiales

z ; Æ No despliega resultados

z \ Æ Continua en la siguiente línea

z ? Æ Información sobre un comando

z ?? Æ + Información del comando

z Æ Æ Opciones de las funciones

z [ ] Æ Argumentos de funciones

z ( ) Æ Para agrupar términos

z {} Æ Se usan para las listas

Constantes y salidas

z Matemática identifica algunos símbolos como

caracteres especiales, tales como:

z Para indicar el tipo de salida que queremos:

•

•

•

Ejercicios – Constantes internas

z {Pi, E, I, Infinity} z Pi

z N[Pi/4] z N[ /4] z N[E] z e //N z

z 1/0

z 1/Infinity z 1/

π

4

−

Ejercicios - Funciones

z Sqrt[2] z Abs[-5] z Sqrt[-4] z (4+3 I)/(2-I) z Exp[2+9 I] z Log[e]

z Exp[Log[x]] z Cos[Pi/2] z ArcCos[0]

z 5!

Valores en variables

z Una técnica más apropiada para referirse a

resultados anteriores es justamente dar un nombre a dichos resultados.

z b=valor asigna valor a b

z b regresa el valor de b

z b=. o Clear[b] limpia el valor de b

z /. Asigna el valor a la exp

Ejercicio – Valores símples

z x=5 z y=9

z x^2+3y z x+y

z Remove [x,y,p] z p=x+Sin[y]

z p /. {xÆ3.7, yÆ2} z p^2

•p=x+Sin[y]

•x=3.7; y=1.2; p •p^2

Ejercicio - Lista de valores

z (x+y+z)2 donde x=1, y=2 y z=3

z regla = {xÆ1, yÆ2, zÆ3};

z (x + y + z)^2 /. regla

z (x + y^2 + z^3) /. regla

z (x^2 + y - z^2) /. regla

z x=3; y=6; z=9;

z (x + y + z)^2 (x + y^2 + z)^2

Listas

z Cuando se realizan cálculos, a veces es

conveniente juntar varios resultados y tratarlos todos a la vez como uno sólo. Para ello tenemos las Listas.

z Una Lista no es más que una colección

ordenada de cero o más objetos.

z Una lista se puede manejar de muchas

maneras, es decir, hacer operaciones, asignar valores a una variable y en general manejar una lista como si ella fuese un simple número.

Ejercicios – Listas simples

z a={3,5,1}

z a^2+1

z b=3a+2

z a

z b

z a+b

Manipulación de listas

z {a,b,c} lista unidimensional List[a,b,c] z {{a,b,c,d},{e,f,g,h}} lista bidimensional

z lista[[i]] elemento i de la lista z lista[[i,j]] elemento (i,j) de la lista

z Lenght[lista] número de elementos en lista z MatrixForm[lista] lista en forma de matriz

Ejercicios - Listas

z a={x,y,z}

z b={{3,2,5,4},{4,1,6,2},{3,1,1,6}} z a[[3]]

z b[[2]] z b[[2,3]]

z {Length[a],Length[b]} z b//MatrixForm

Formando Listas

z El comando Table[] nos permite formar listas en general z Table[expresión,{b}]

forma una lista de b valores de expresión

z Table[expresión,{i,b}]

forma una lista de los valores de expresión con i tomando valores desde i=1 hasta i=b

z Table[expresión,{i,a,b}]

forma una lista de los valores de expresión con i tomando valores desde i=a hasta i=b

z Table[expresión,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},...]

Ejercicios - Tablas

z Table[a, {6}]

z Table[Random[],{4}] z Table[i^2,{i,6}]

z Table[Exp[x],{x,0.,5.}] z m=Table[i-j,{i,2},{j,2}] z m[[1]]

z %[[2]] z m[[1,2]]

Funciones

z Además de las muchas funciones que el

Mathematica incluye para su uso directo, nos permite definir y manipular nuestras propias funciones.

z f[x_]:=Expresión define la función f de variable x z f[x_,y_]:=Expresion define la función f de variables x y

Ejercicios - Funciones

z f[x_]:=x Cos[x]

z f[2]

z f[x+x2]

z f'[x]

z f[a_, b_, c_]:=ax2+bx+c

z f[1,2,3][x]

Asignación

z Como indicamos anteriormente el símbolo = se

usa para asignar valores a una variable mientras que el símbolo := lo usamos para definir una función.

z Mientras el símbolo = evalúa la expresión del lado

Operadores

z == Igual

z != Diferente

z < > Menor que, Mayor que z <= >= Menor Igual, Mayor Igual

z p && q verdadero si p y q son verdaderos p z p || p verdadero si p o q o ambos son

verdaderos (o lógico)

z Xor[p,q] verdadero si solo p o q son

verdaderos (o lógico)

Operadores Condicionales

z If[condición, entonces]

z If[condición, entonces, caso contrario]

z If[condición, entonces, caso contrario, en otro

caso]

z Which[condición1, entonces1, condición2,

entonces2,...]

z Switch[expresión, forma1, valor1, forma2,

Polinomios

z Teclear únicamente los términos de un

polinomio permite al programa agrupar términos comunes.

5-4x+3x^2-7x+x^2

z La función Expand[exp, var] realiza los

Expand[(a+b)^2] p=(x+1)^2-(y+3)^2

Expand[p,x] Expand[p,y]

z La función Collect[exp, var] agrupa todas las

z La función Factor[exp] factoriza la

expresión.

Factor[2x^3+9x^2+10x+3]

z La Función Simplify[exp] simplifica la

expresión.

p=(2+4x^2)^2(x-1)^3 p2=Expand[p]

Ejercicios - Funciones

z (2+4x^2)^2(x-1)^3

z Expand[(2+4x^2)^2(x-1)^3]

z (2+4x^2)^2(x-1)^3 //Expand

z Poli=(2+4x^2)^2(x-1)^3

z Expand[poli] Factor[%]

z p1=(x+1)^2(y+1)^2

z p2=Expand[p1]

¡Cuidado con las variables!

z

p3=2x^2+2x^3-12xy-10x^2y+18y^2+6xy^2+18y^3

z p3=2x^2+2x^3-12x y-10x^2y+18y^2+6x

y^2+18y^3

z Factor[p3]

z Factor[p4]

Funciones Relacionales

Cociente de dos polinomios

z ExpandNumerator[expr] expande el numerador z ExpandDenominator[expr] expande el denominador z Expand[expr] expande el numerador

dividiendo por el denominador

z ExpandAll[expr] expande nume. y denomi. z Apart[expr] descompone en frac. simples z Together[expr] combina los términos sobre

un denominador común

Ejemplos

)

2

(

)

1

(

4

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

w

+

−

Dominios

z Complexes números complejos C

z Reals números reales R

z Algebraics números algebraicos A

z Rationals números racionales Q

z Integers números enteros Z

z Primes números primos P

Ecuaciones

z x=y es una asignación en la que el valor

de y es asignado a x, mientras que x==y verifica si x es igual a y.

z x=4 x==5

z x==4 % /. xÆ4

z x==6 x

Representación

z Expresiones como 3x3-x2+2x-7==0

representan ecuaciones en Mathematica y es nuestra forma de definirlas

z ecu=x2+2x-15==0

z ecu /. xÆ4

z ecu /. xÆ3

Solución de Ecuaciones

z La función Solve[exp, var] resuelve la ecuación

mostrando la solución para las diferentes variables.

z Solve[izq==der,x] devuelve valores para x (solución) z nombre = izq==der asigna un nombre a la ecuación z nombre = Solve[izq==der,x] asigna un nombre a la solución z x /. solución da valores a x

Ejercicios

z Resuelva las siguientes ecuaciones:

z x2+2x-7=0

z c=6x^2+5 m x+m^2=0

z (x+1)2=x2+2x

z 3x3-2x2+7x-2=3

z 4xy-7x2y+4xy2=0

Solve

z El comando Solve trata siempre de

proporcionar valores para las soluciones de una ecuación. Sin embargo, hay ecuaciones complicadas. Por ejemplo, una ecuación polinomial en una variable, la más alta potencia de la variables es cuatro, entonces

Ejemplos

z Obtenga el valor numérico de la solución de

las siguientes expresiones:

z x^4 - 5 x^2 - 3 =0

z x^6 = 1

z 2 - 4 x + x^5 = 0

z x2+2x-7=0 z (x+1)2=x2+2x

Resolver un sistema de

ecuaciones

z Solve[{izq1==der1,izq2==der2,...},{x,y,...}]

resuelve el sistema de ecuaciones para x,y,...

z Solve[eqns,vars,elims]

Resolver

z a x+y=0, 2 x+(1-a)y=1

z x^2+y^2=1, x+3 y=0

z ec1=2x+y+11z=18

z ec2=x+2y-8z=-3

z ec3=2x+3y+z=10

Resolver de forma aproximada

z NSolve[izq==der,x] da una lista de aproximaciones

numéricas para una ecuación polinómica

z NSolve[izq==der,x,n] igual, con n dígitos de precisión z NSolve[{ec1,ec2,...},{var1,var2,...}] resuelve el sistema

de ecuaciones polinómicas

z FindRoot[izq==der,{x,x0}] busca una solución

numérica para la ecuación con x0 como valor de arranque

z NSolve[{ec1,ec2,...},{{x,x0},{y,y0},...}] busca una solución

Resolver

z x5-x+1=0 z

z f=e-x-x2

z Solve, N[ ], Nsolve[ ], N[Solve[ ]]

z ecus=x2+y3=xy, x+y+x2=1 z ecua=x2+y2=1, Seno(x)-y=0 z Ecui=c2+y2=1, y=x Exp[x]

2 1 + 3 =

Límites

z limit[f,xÆv]

Obtiene el límite de la función f cuando x tiende a v

Limit_B 2

-è!!!!!!!!!!!!!!!_{3 x +1}

-è!!!!!!!!!!!!!!!2 x -1

, x Ø1_F

Limit Sin x -1

2 x -p , x Ø p 4

Limit_Bi

k

jj1 + 3

x

y {

Límites laterales

z Algunas funciones pueden tener

diferentes límites en puntos particulares, dependiendo de la dirección que se use para aproximarse a dicho punto, en ese caso usaremos la opción Direction para indicar la dirección que deseamos.

z DirectionÆ1 límite por la izquierda

Ejemplos

z Obtenga el límite que se aproxima tanto

por la izquierda como por la derecha de las siguientes expresiones:

f x_

=

1

1

+

2

g x_

=

x

x

−

1

h x_

=

x

2

₊

_x

₋

₁

Intervalo de valores

z Puesto que no toda función tiene límite

en un punto particular, el Mathematica

Ejemplos

z Obtenga el límite de las siguientes

expresiones:

Sin

1

x

, x

0

Sin x

, x

→ ∞

Derivadas

z D[f,x] derivada parcial de f respecto de

x, también f´[x] y

z D[f,x,y] derivada parcial de f respecto de

y luego respecto de x ,

z D[f, x₁,x₂, ... ] derivada parcial de f respecto de

x₁,x₂,….,

z D[f,{x,n}] n-ésima derivada de f respecto

de x, es decir

Ejemplos

D x

, x

f x_ = xn

D f x , x

Ejercicios

z Obtenga la 1ª y 2ª derivada parcial de

las siguientes expresiones:

z

z respecto a x

z respecto a y

z respecto a x y

z Cuando diferenciamos una función

conocida se proporcionará un resultado en forma explicita, mientras que cuando diferenciamos una función desconocida f los resultados quedarán en función de f'

D Log x 2, x

D f x

, x

Derivadas Totales

z Para las derivadas totales de una función

Ejercicios

z Obtenga la derivada parcial y total de:

z x2+y2 dx

z x2+y2+z2 dx

z x3-y2 dx

Integrales Indefinidas

z El Mathematica usa la función Integrate[f,x]

para proporcionarnos . Este resultado de la integral indefinida puede ser fácilmente verificado calculando la derivada del resultado y simplificando. La función Integrate asume que

cualquier objeto que no contenga explícitamente la variable de integración, es

independiente de ella y en consecuencia es tratado como una constante.

z Integrate [f,x]

Ejemplos

dx

x

∫

Integrate 1

a+ bx, x

1

a+ bx x

dx

bx

a

f

+

=

1

∫

Sumas y Productos finitos

z Sum[f,{i,b}] suma con i desde 1 hasta b z Sum[f,{i,a,b}] suma con i desde a hasta b

z Sum[f,{i,a,b,d}] suma con i desde a hasta b con paso d

z Product[f,{i,b}] producto con i desde 1 hasta b

z Product[f,{i,a,b}] producto con i desde a hasta b

z Product[f,{i,a,b,d}] producto con i desde a hasta b con

paso d

∏

Ejercicios

z Sum[s,{i,4}]

z Product[x+n,{n,4}]

z Suma de 1/n2 con n de 1 hasta 80

z Suma de (n+1)/(n+2)3 con n de 0 a infinito

z Producto de 1-(1/2n2) con n de 1 a infinito

z Suma de 1/n con n de 1 a infinito

‚

j=0 4

xj

‰ i=1 n

Graficas

z _{Plot[f,{x,xmin,xmax}] grafica f con x de xmin a xmax}

z _{Plot[f,{x,xmin,xmax}, opcion}Æ_{valor] = con la opción indicada} z _{Plot[{f,g,h,...},{x,xmin,xmax}] grafica juntas varias curvas}

z _{Plot[Evaluate[Table[f1,f2,...]],{x,xmin,xmax}] genera la lista de}

funciones y las grafica

z Show[graf] redibuja la gráfica graf

z Show[g1,g2,...] combina las gráficas g1, g2, ...

z Show[graf,option->value] redibujar la gráfica

graf cambiando la opción indicada

z Show[GraphicsArray[{{g1,g2,...},...}]] dibuja un arreglo de

Ejemplo

z g1= gráfica de Seno(x) de 0 a 2Pi

z g2= gráfica de Coseno(x) de 0 a 2Pi

z Mostrar g1 y g2 en una sola figura

•

Gráficas en 2

Dimensiones

Ejemplos

z Graficar las siguientes expresiones:

z fun1=Seno(x) con x de –Pi a Pi

z fun2= de -5 a 5

z

de –Pi/2 hasta Pi/2

x

1 - x 3

Opciones - GridLines

z Dibuja una cuadricula bajo la gráfica,

sus opciones son:

z None – Se ve

z Automatic – No se ve

GridLinesÆ Automatic

z Ejercicio – Dibuje la gráfica de fun con

Opciones - PlotLabel

z Permite poner un título a la gráfica

PlotLabelÆ”Tíulo de la Gráfica”

z Ejercicio:

z En la gráfica anterior escribe el Título

Opciones - PlotStyle

z Permite dar un estilo al dibujado de la

gráfica, dependiendo de el valor asignado

PlotStyleÆThickness[0.008]

z Dibuja la gráfica con un grosor de la

línea de 0.008 puntos

Opciones - AspectRatio

z Es la razón alto-ancho para la gráfica.

z Determina la escala para la imagen final

AspectRatioÆAutomatic AspectRatioÆ1/GoldenRatio

z Observe la diferencia al realizar estas gráficas

z Show[Graphics[Circle[{0,0},1]]];

Opciones - PlotRange

z Establece un rango para y en la gráfica

z Especifica qué puntos se incluyen en la

gráfica

z Puede tomar los siguientes valores

•

•

•

Ejemplos

1. Grafica la tangente de x de 0 a 2Pi

•

•

2. Grafica x5-4.5x4+21.x2-7 de -10 a 14

Opciones- Axes

z Permite manipular los ejes de modo

para que sean representados en la gráfica de la siguiente forma:

AxesÆOpcion

•

•

•

Ejercicio:

z Haga una representación gráfica de las

siguientes expresiones con todas las variantes de Axes.

z De -5 a 5

z De -1 a 1

z De 0 a 2Pi

•

•

3 1

x x

fun = +

Opciones - DisplayFuncion

z Es una opción para gráficas y sonido que

permite especificar cómo desplegarlos:

z Opción por default

DisplayFuncionÆDisplay

z Para que la gráfica no se muestre en

pantalla

Ejercicios

z Realiza las gráficas de las funciones

trigonométricas anteriores utilizando la opción de Identity.

Opciones - GraphicsArray

z Utilizada con Show, permite mostrar las

gráficas como un arreglo (tantas líneas como se le indique)

•

•

z Ejercicio. Represente todas las gráficas

Opciones - AxesLabel

z Permite poner rótulos o etiquetas a los ejes.

• AxesLabeÆNoneSin etiquetas

• AxesLabeÆ”Etiqueta” Especifica la etiqueta para el eje y (2D) y el eje z (3D)

• AxesLabelÆ{“x”,”y”,…} etiqueta para cada eje

z Ejercicio. Realice la gráfica de

y coloque como etiqueta de eje y “Población” y en el eje x “Tiempo” rangoÆ 0 a 3

z Realice la gráfica del Seno de x y etiquete el eje x

“valor de x” y el eje y “Seno de x” (-2Pi a 2Pi)

2

x

e

Opciones - Ticks

z Permite establecer las marcas que

aparecerán en los ejes (escala).

•

•

•

z Ejercicio: Para fun= Cos[Abs[x]],

Opciones - AxesOrigin

z Permite modificar el punto de cruce de

los ejes, se debe especificar el punto de cruce

•

•

z Ejercicio: Establezca 2 diferentes puntos

Opciones - Frame

z Permite dibujar un margen alrededor de

la gráfica, si las marcas (ticks) están activadas se colocan alrededor del márgen. Sus opciones son:

Æ True y Æ False

z Ejercicio: Realice la gráfica del Coseno

de x en un rango de -2Pi a 2Pi,

Opciones - FrameLabel

z Permite colocar “etiquetas” al lado de cada uno

de los márgenes (debe estar activado Frame en True)

FrameLabelÆ{"A","B","C","D"}

z Donde, cada letra representa la etiqueta cada

lado del marco, iniciando abajo en el sentido de las manecillas del reloj.

z Ejercicio: Realiza la gráfica de

con un margen y escribe las etiquetas “arriba, abajo, izquierda y derecha” en su respectivo sitio

Opciones - FrameTicks

z Marcas en el cuadro (escalas). Igual que

el ticks, pero en lugar de que las marcas aparezcan sobre los ejes aparecen

sobre el marco.

z Ejemplo: Para fun= Cos[Abs[x]],

Opciones – DefaultFont

z Permite establecer el tipo de letra que

será utilizada para la generación del gráfico

z Su estructura es:

DefaultFontÆ{”Tipo-Estilo”,tamaño}

z Ejercicio: Realice la Gráfica de la función

e indique 2 diferentes tipos y tamaños de letra para ella.

fun = Abs x -1

Opciones - CMYKColor

z Opción de PlotStyle, permite especificar el

color en el que serán desplegadas las líneas de la gráfica

z CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] z Ejercicio: Genera en una gráfica el Seno de

x, 2x, 3x, 4x de 0 a 2Pi. Colorea las líneas en azul y luego en amarillo. Realiza la misma

Opciones - RGBColor

z Opción de PlotStyle, permite especificar el

color en el que serán desplegadas las líneas de la gráfica

z RGBColor[red, green, blue]

z Ejercicio: Genera en una gráfica el Seno de

Opciones - GrayLevel

z Opción de PlotStyle, permite especificar que

las líneas serán desplegadas en cierta escala de grises, dependiendo de el valor, el cuál debe estar entre 0 y 1.

GrayLevel[valor]

z Ejercicio: Genera en una gráfica el Seno de

Opciones - BackGround

z Permite especificar el color del fondo de la

gráfica.

z Sus opciones pueden contener cualquiera

de las formas y combinaciones vistas anteriormente.

z Ejercicio: Copia 3 de las gráficas que haz

Resumen de Opciones

z Nombre de la Opción Explicación

z AspectRatio la razón alto-a-ancho para la gráfica. se calcula de las coordenadas x e y

z PlotRange rango para y en la gráfica

z PlotLabel una expresión para poner como nombre a la gráfica

z Axes para mostrar o no los ejes

z Axeslabel para poner nombres a los ejes

z AxesOrigin el punto de cruce de los ejes

z Ticks marcas en los ejes. None ocasiona que no haya marcas

z TextStyle el estilo de la letra a usar en el texto de la gráfica

z FormatType el tipo de letra a usar en el texto de la gráfica

z DisplayFunction como mostrar la gráfica. Identity ocasiona que no se muestre

z Frame para mostrar un cuadro alrrededor de la gráfica

z FrameLabel nombres para poner alrrededor del cuadro

z FrameTicks marcas en el cuadro. None ocasiona que no haya marcas

Paquetes adicionales

z Adicional al comando Plot existen un montón

Gráficas de Puntos - ListPlot

z Permite generar gráficas de puntos de la

función especificada

LisPlot[Funcion, {rango}]

z Ejercicios: Genera la gráfica de los

puntos {1,-1},{3,-2},{-2,-4},{1,2}

z Genera 20 puntos para la función

Gráficas Parametrizadas

Planas

ParametricPlot[{fx, fy},{t,tmin,tmax}]

z donde fx y fy son funciones de t en el

intervalo [tmin,tmax], puedes representar curvas dadas por sus ecuaciones

paramétricas.

z Para ver las opciones que tiene este

comando escribe

Algunas curvas planas

z Astroide. Es la curva trazada por un punto fijo

de un círculo de radio r que rueda sin deslizar dentro de otro círculo fijo de radio 4r

{Cos[t]^3,Sin[t]^3},{t, 0, 2Pi}

z Es la curva trazada por un punto fijo de un

círculo de radio r que rueda sin deslizar

z Lemniscata de Bernoulli.

Cos[t]/(1+Sin[t]b2){Sin[t],1},{t,0,2Pi}

z Espiral equiangular.

Exp[t*Cot[a]]{Cos[t],Sin[t]},{t,0,10 Pi}

z Cicloide.

t-Sin[t],1- Cos[t]},{t,0,2Pi}]

Algunos ejemplos

z Realizar las siguientes gráficas paramétricas

haciendo uso de las diferentes opciones:

z {Cos[t],Sin[t]} con t de 0 a 2Pi

z {3 Cos[t],Sin[t]},{t,0,Pi},

z {Cos[3t],Sin[5t+3]},{t,0,2Pi}

z {Sin[t],Sin[“Raíz cuadrada”2 t]},{t,0,10Pi}

z La última curva no parece que se vaya a cerrar.

Gráficas de 3 dimensiones

3 tipos de gráficas

z El Mathematica tiene tres comandos

principales para mostrar una superficie, aunque solo la 1ª es de 3D.

z Plot3D[expr,{x,a,b},{y,c,d}]

grafica expr como una superficie

z ContourPlot[expr,{x,a,b},{y,c,d}]

grafica expr como una gráfica de contorno

z DensityPlot[expr,{x,a,b},{y,c,d}]

Los 3 comandos misma función

z g1=Plot3D[Cos[x y] Cos[x],

{x,0,3},{y,0,4}]

z g2=ContourPlot[Cos[x y] Cos[x],

{x,0,3},{y,0,4}]

z g3=DensityPlot[Cos[x y] Cos[x],

{x,0,3},{y,0,4}]

O también

z Convirtiendo entre los tipos. Es mas fácil

de escribir, la conversión no redibuja la gráfica y por tanto se ahorra tiempo.

z g1=Plot3D[Cos[x y] Cos[x], {x,0,3},{y,0,4}]

z g2=Show[ContourGraphics[g1]]

z g3=Show[DensityGraphics[g1]]

De lo simple a lo complejo

z f[x_,y_]:=Cos[x y] Cos[x]

z Plot3D[f[x,y],{x,0,3},{y,0,4}]

z Cambia los ticks (marcas en los ejes) por

xt={0,1,2,3};yt={0,1,2,3,4};zt={-1,0,1};

z Cambia ahora xt={0,1,2,3) por

xt=(0,0.5,1,1.5,2,2.5,3}

z Cambiemos la cantidad de puntos a plotear,

z Quitemos la malla (líneas sobre la

superficie) “MeshÆFalse”

z da valores diferentes de ploteo para ver

el efecto

z Para cambiar el Punto de Vista (desde

donde se ve la gráfica) “ViewPointÆ {-x,y,z}”, prueba con {-0.6,2.6,1.4}

z Quitemos la caja que la encierra

“BoxedÆFalse”

z Quita también los ejes “AxesÆFalse”

z Cambia el color del ambiente de la

superficie ”AmbientLightÆOpcColor”

z Prueba la opción anterior con c/u de las

opciones de color vistas (Hue,

Ejercicios

z Grafica

y escribe el nombre en cada eje (x,y,z)

z Grafica

sin caja ni ejes

z Modifica la caja (BoxRatios) en 1,2,3

z Colócale una una cuadrícula (FaceGrids)

4 −Hx−1L2−Hy−2L2, x, −2, 2 , y, −3, 3

Sin x y , x, 0, 3 π

2 , y, 0,

z Dibújala ahora dando color a las líneas de la

caja (BoxStyleÆ)

z Quita los colores de la superficie

(LightingÆFalse)

z Modifica los colores por regiones

(ColorFunctionÆHue)

z Agrega tonalidades con LightSourcesÆ

{{{1.3,-2.4,2.},

RGBColor[1,0,0]},{{2.7,0.,2.},RGBColor[0,1,0]},{{-2.3,-1.4,2.},RGBColor[0,0,1]}}];

Realiza las sig. gráficas en 3D

z x2 y2 , sin la caja y la malla

z x2 Seno(y), con 2 diferentes aspecto

z Sin[4x]+Cos[5y] con etiquetas en sus

ejes

z = sin relleno (HiddenSurface)

z Sin[x] Sin[y] y 1-Sin[x] Sin[y] por

Paramétricas en 3D

z ParametricPlot3D[{expr1,expr2,expr3},

{t,a,b}]

curva en paramétricas, parámetro t desde a hasta b

z ParametricPlot3D[{expr1,expr2,expr3,sty

le}, {t,a,b}]

z Este tipo de gráficas debe contener por

lo menos 3 expresiones y 2 variables

z {Sin[t] Cos[u], Sin[t], Sin[u]},

{t,0,Pi},{u,0,2Pi}

z Sin[t] Cos[u], Sin[t] Sin[u], Cos[t]

z 4 Sin[t] Cos[u],4 Sin[t] Sin[u], Cos[t]

z {Sin[t] ,Cos[t],u}

z x,y,x2+y2

z

z Cos[s] Cos[t], Sin[s] Cos[t], Sin[t] con s

de 0 a 2Pi y t de –Pi/2 a Pi/2

z = con s de 0 a7Pi/4, t,-Pi/2,Pi/2