PP1 Las seis proyeccciones configuran el desarroyo de un cubo o hexaedro

(1)

Sistema diédrico

Fundamentos del sistema :

Definición : Sistema de representación del espacio basado en la proyección cilíndrico ortogonal de los elementos geométricos en planos de proyección (dos como mínimo) perpendiculares entre sí.

Proyección cilíndrico ortogonal : Cuando a un elemento geométrico se le proyecta perpendicularmente sobre un plano de proyección.

a1 A

90

Planos de proyección : Planos sobre los que se proyectan los elementos geométricos.

Planos de proyección principales : Planos horizontal y vertical de proyección.( Perpendiculares entre sí). Diedro Planos auxiliares de primer orden : Planos de perfil. triedro

Planos auxiliares de segundo orden : Planos que completan el hexaedro de proyección.

Planos auxiliares de tercer orden : Resultan del giro de los planos de proyección anteriormente citados.

P.V .

P.H.

P.P

Diedro Triedro Hexaedro

Funcionamiento del sistema : El sistema diedrico permite representar elementos que están en el espacio tridimensional en el plano, para ello se procede primero a proyectar los elementos geométricos en el espacio tridimensional ortogonalmente sobre los planos de proyección, posteriormente estos planos se abaten de manera que ocupen un mismo espacio plano bidimensional.

P.V.

P.H.

a1 a

2

A a3

P.V.

P.H.

P.P

a1 a

2

A

(2)

Abatimiento de los planos de proyección : El plano vertical define el plano de referencia, el resto de los planos giran para situarse en el mismo plano.

P.H.

P.H . P.V.

P.V.

El plano horizontal gira entorno a la recta de intersección ( denominada linea de tierra) con el plano vertical formando un único plano.

P.V .

P.H.

PP PP

Un plano auxiliar de perfil gira entorno a la recta de intersección con el plano vertical de proyección Pv

Pv

Ph

Ph Ph1

Lt

Lt PP

PP PP1

Las seis proyeccciones configuran el desarroyo de un cubo o hexaedro

(3)

Cuadrantes y bisectores

:

Cuadrantes

Los planos principales de proyección (vertical y horizontal) dividen el espacio en cuatro cuadrantes .

P.H.

P.V.

1c

1c 2c

2c

3c 3c

4c

Ph

Ph Pv

Pv

Los puntos situados por encima del Ph, tienen cota positiva 1c,2c, los que están por debajo tienen cota negativa, 3c, 4c.

Los puntos situados a la derecha del pv. Tienen alejamiento positivo 1c, 4c. Los situados a la iz-quierda tienen alejamiento negativo 2c, 3c.

Cota : distancia de un punto al plano horizontal Alejamiento : distancia de un punto al plano vertical.

Bisectores :

Los planos bisectores dividen a los cuadrantes formando octantes.

1o 2o 3o

4o

5o

6o 7o

8o

Los puntos situados en los bisectores tienen siempre igual cota y alejamiento.

1b 2b

Primer bisector : pasa por 1º y 3º cuadrante Segundo bisector : pasa por 2º y 4º cuadrante.

Representacion de elementos geometricos :

Representacion del punto

Los puntos se representan por sus proyecciones en los planos principales de proyeccion, plano horizontal y vertical. Proyeccion del punto en el plano horizontal a1.

Proyeccion del punto en el plano vertical a2.

En determinadas ocasiones sera necerario hallar una tercera proyeccion sobre un plano auxiliar de perfil a3...

La distancia de la proyeccion a1 a la linea de tierra corresponde a la distancia del punto representado al plano vertical, alejamiento.

(4)

Coordenadas de un punto :

A (x,y,z)

A (-x,y,z)

X

:

distancia

del punto al plano de perfil

:

alejamiento

del punto al plano vertical

: altura o

cota

, distancia del punto al plano horizontal

y

z

X

y

z

a3

P.V.

P.V. P.H .

P.H .

P.P

a

a 1

1

1 a

a

a 2

2

A

A ZZ

ZZ

X X

X+ X+

-X -X YY

YY

Y Y

YY

0

Cota z z

Alejamiento YY

El punto de referencia 0, o el plano de perfil, se pueden situar en cualquier sitio, como norma general pondremos las proyecciones horizontal a1, y vertical a2 a la derecha de 0 si x es positivo, y ala izquierda si x es negativo.

X positivo

X positivo X negativo

(5)

a3 a3

a3

a3 a3a3

a a11 a a 22 A

X Y

O

A (x,y,z)

Punto situado en el primer diedro:

Abatimiento de los planos de proyección, el plano vertical permanece fijo , los demás giran para situarse en el mismo plano.

Representación en perspectiva

Representación en el sistema diédrico A (8,2;16,8;8,8)

Proyección horizontal, vertical y tercera proyección de un punto en los diferentes diedros

a3 a3

P.V. P.V.

P.H . P.H .

P.P P.P

a

a11 aa11

a a 22

A A

ZZ

X X YY

0 0

Z

a

a₁₁ aa11

a

a₂₂ aa22

ZZ

X X

Y Y

0 0

Cota z Cota z

Alejamiento Y Alejamiento Y

Alejamiento Alejamiento

(6)

a3

a1

A A

Z Z

X X

Y Y

O

PP

O

Cota (z)

Alejamiento (-y) Alejamiento (y)

Distancia (x)

A (x,-y,z)

Punto situado en el segundo diedro :

a a 22

a3 a3

a a11

a a11

a3 a3

a

a 22 aa 22

a

a11 aa11

2ºD

Representación en perspectiva Abatimiento de los planos de proyección, el plano vertical permanece fijo , los demás giran para situarse en el mismo plano. Abatimiento de los planos de proyección, el plano vertical permanece fijo , los demás giran para situarse en el mismo plano.

(7)

P .V.

A A

Z Z

X X

Y Y

O

PP

O

Cota (-z)

Alejamiento (-y)

A (x,-y,-z)

Alejamiento (y) a3 a3 a

a11

a a11

a a11

a a 22

a a 22 a3

a3

a3 a3

a a 22

3ºD

Punto situado en el tercer diedro:

Representación en perspectiva Abatimiento de los planos de proyección, el plano vertical permanece fijo , los demás giran para situarse en el mismo plano.

(8)

a3

a3 a3

P .V.

P .H .

P .P

P .Pg

a1

a1 a1

a2

a2 a2

A

Z _Z

X _X

Y

PP PP

O O

Cota (z) Alejamiento (y)

A (x,y,-z)

Alejamiento (y) O

a a 22

4ºD

Punto situado en el cuarto diedro:

(9)

P .V.

A Z

X Y

PP

O

Alejamiento (y)

A (x,y,z)

A (x,y,0)

a a11

a a 22

a a 22 a3

a3

a3 a3

a3 a3 Puntos situados en los planos de proyección:

Representación en el sistema diédrico

Punto situado en el semiplano anterior del plano horizontal

a3 a3

a a11 a a 22 A

X Y

O a3

a3

(10)

P .V.

A Z

X Y

PP

O

A (x,y,z)

A (x,0,z)

a a11

a a 22

a a 22 a3

a3

a3 a3

Puntos situados en los planos de proyección:

a3 a3

a a11

a a 22 A

X Y

(11)

A Z

X Y

PP

O

Alejamiento (-y)

A (x,y,z)

A (x,-y,0)

a a11

a a11 a

a 22

a a 22 a3 a3

a3 a3

Puntos situados en los planos de proyección:

A

Z

X Y

O

a3 a3

a a11

a a11

(12)

P.V. P.V. P.V. P.V. _P.V. P.V. P.H. P.H. P.H.

P.H. _P.H.

P.H. P.P P.P P.P P.P _P.P P.P R R R R R R R R R R R R r1 r1 r1 r1 r1

r1 r1 r

1

r1 _r

1 r1 r1 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 r2 TV2 TH2

TH2 TH2

TH2 TH2 TH2 TV2 TV2 TV2 TV2 TV2

TV1

TH1

TV1 TV1

TV1

TV1 _T_V₁

V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. V.m. b2

b2 b2

b2 b2 b2 b2 b2 b2 b1 b1 b1 b1 b1 b1

b1 _b

1 P.v. P.v. P.h. P.h. B1 B1 B2 B2

- Rectas paralelas al Plano horizontal.

- Rectas paralelas al Plano vertical.

(13)

P.V.

P.V. P.V.

P.V.

P.H.

P.P

P.P P.P

P.P

R

R R

R

R R R

r1

r1 r1

r1

r1 r1

r1

r1 r2

r2

r2 r2

r2

r2 r2

r2

TH2

TH1

TH1 V.m.

V.m.

V.m. V.m.

V.m.

V.m. V.m.

V.m.

V.m. V.m.

V.m.

V.m. V.m.

V.m.

P.v.

P.h.

B1 B2

- Rectas perpendiculares al plano horizontal.

- Rectas perpendiculares al plano vertical.

R

P.v.

P.h.

B1 B2

TV2

TV1

TV1 T

V1

TV1

(14)

TH1 TH1 TH1

TH1

TV2 TV2 TV2 TV2 TV2 TV2 TV2

TV2 TV2 TV2

TV1 TV1

TV1

TV1 TV1

(16)

P.V.

P.V. P.V.

P.H.

2

V.m.

V.m. R

R

P.v.

P.h. B1

B1

B2

- Rectas de perfil perpendiculares al segundo bisector.

r3

r3 r3

r3

TH2

TH2 TH2

TH2

TH2 TH2

TH1

TH1 TH1

TH1

TH1 TH1

TH1

TH1 T

H1

TV2

TV2 TV2

TV2

TV2 TV2

TV2

TV1 TV1 TV1

TV1

TV1 T

V1

TV1 TV1

i3

i2 _i2

i2 _i₂

i1

a1 a1

a1

a2

a2 a2

a2

A

PP

(17)

P.V. P.V.

P.V.

P.H.

P.P P.P

P.P

R R

- Rectas oblicuas paralelas al primer bisector.

TH2

TH2 _T_H2

TH2 _T

H2

TH2 _T

H2

TH2

TH1

TH1 _T_H₁

TH1 _T

H1

TH1

TV2

TV2 _TV2 _TV2

TV2 _T

V2

TV2 _T_V2

TV2

TV1

TV1 _T_V₁

TV1 _T

V1

TV1

a1

a1G

b1G

b1

a1G

a1

a2

a2G

b2G

b2

a2G

a2

R

P.v.

P.h. B1

B2

A

1c

1c 1c

4c

2c 3c

3c 3c

VM con giro

TH2

TH2 _TH2

TH2 _T_H2

TH2

TH1

TH1 _T_H₁

TH1 _TH1

TH1

TV2

TV2 _T_V2

TV2

TV1

TV1 _T_V₁

TV1

a1

a1 _a₁

a2

a2 _a₂

A 1c 4c 4c 4c 2c 2c 2c 3c

VM con giro

R R R P.v. P.h. B2 P.V. P.H. P.P R

r

1

r

2 TH2

TH1

TV2

TV1

i2

i2 _i₂

2

TH2

TH1

TV2

TV1

a1

a2

1c

1c 1c 4c

2c 3c

2

TH2

TH1

TV2

TV1

a1

a2

1c 4c

4c

4c 2c

2c

2c 3c

- Rectas oblicuas no paralelas a los bisectores.

=

= =

= = =

i1

i2

(20)

P.V.

P.H.

P.P

P

P2

P2 P2

P.V.

P.P

P

P2

Ph

P2 P2

P.V.

P.H.

P.P

P

P2

r1

r2

r2 2

s

2

s

2

s

1

s

1

s

1

s

1

w

1

w

1

w

2

w

2

w

2

w

1

Tv Tv1

1

Tv Tv1

1

Tv

1

Tv

Tv2 Tv2

Tv2 _Tv2

(21)

P.V.

P.H.

P.P _P

P1

P1 P1

P1

P.V.

P.P P

Ph

P2 r1

r1

r2

r2 2

s

2

s

2

s

1

s

1

s

1

s

1

w

1

w

1

w

2

w

2

w

2

w Tv2

Rectas que pertenecen al plano

Planos paralelos al plano vertical de proyección.

Pv

P1

P.V.

P.H.

P.P

P

1

Th

1

Th

1

Th

1

Th Th2

Th2

1

Tv Tv1

(22)

P.V.

P.V. P.V.

P.H.

P.P

P.P P.P

P

P P

P1

P1 P1 P3

P3 P3

P3

P3 P1

P1

P1 P1

P1´

Rectas que pertenecen al plano :

Planos paralelos a los planos bisectores.

2- Planos paralelos al primer bisector.

P2

P2 P2

P2

P2 P2

PP

a3 _a₂

a1

Proyecciones del plano y su tercera proyección

1

s

1

s

2

s

2

s

3

s

r1

r3

r2

1

w

1

w

2

w

2

w

1

Tv Tv1

1

Tv

1

Th´

1

Th

1

Th

1

Th

Th2 Th2

Th2

Tv2 Tv2

Recta S, paralela a LT.

Recta W, oblicua, y paralela al primer bisector Recta R, de perfil paralela al primer bisector

S

R

W

A

45º

P.v.

P.h. B1

(23)

P1

Planos paralelos a los planos bisectores.

1- Planos paralelos al primer bisector.

P2

1

w

2

w

1

Tv

1

Th Th2 Tv2

Recta W, oblicua, y perteneciente al primer bisector

Recta R, de perfil perteneciente al primer bisector

P.v.

P.h.

B1P

P3

P3 P3

P3

P1

P1 P1

P1

P.V.

P

Ph

Pv

P2

P2 P2

P2

PP

PP PP

a3

a2

a2 a2

a1

P.P

r1

r2

2

s

1

s Tv_Tv12ThTh12

3

s

1

s

(24)

Planos paralelos a los planos bisectores.

2- Planos paralelos al primer bisector.

1

Tv

1

Th

Th2

Recta W, oblicua, y paralela al primer bisector Recta R, de perfil paralela al primer bisector

C

P.v.

P.h. B1

P

P3

P3 P3 P3

P3 P3

P1´

P1´ P1´ P1

P1 P1

P1

P1 P1

P.V.

P.V. P.V.

P.H.

P.P

P.P P.P

P

P P

P2

P2 P2

P2

P2 P2

PP

PP PP

r1

r2

r2 2

s

2

s

1

s

1

s

1

Tv Tv1

1

Th Th1

Th2

Tv2 _Tv2 Tv2

3

s

S

1

w

2

w

2

w

1

w

(25)

Planos paralelos a los planos bisectores.

2- Planos paralelos al segundo bisector.

1

Th

Recta W, oblicua, y paralela al segundo bisector Recta R, de perfil paralela al segundo bisector

A

P

P3

P3 P3

P3

P1

P1 P1

P1

P.V.

P.H.

P.P

P.P P

P

P2

P2 P2

P2

PP

PP PP

r1

r2

r2 2

s

2

s

1

s

1

s

1

Tv

1

Tv Tv1

1

Th

1

Th

1

Th Th2

Th2 Th2

Tv2

Tv2 Tv2

1

w

2

w

R

1

Tv Tv2

Th2

R 3

s

1

w

2

w P.v.

P.h.

(26)

3

s

Planos paralelos a los planos bisectores.

2- Planos paralelos al segundo bisector.

B P P3 P3 P3 P3 P3 P3 P3 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P.V. P.V. P.V. P.V. P.H. P.H. P.H. P.H. P.P P.P P.P P.P P P P P P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 PP PP PP P.v. P.h. B2 a3 a3 a3 a3 a3 a3 a3 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a1´ a1´ a1´ a1 a1 a1 a1 a1 a1 a1 A A A A 2 s 2 s 1 s 1 s r1 r1

r2 r2

1 w 1 w 2 w 2 w 1 Tv 1

Tv Tv1

1

Tv

1

Th

1

Th Th1

1

Th

Th2

Th2 Th2

Th2

Tv2

Tv2 Tv2

Tv2 R r3 r3 S W P3 P1P2

a3a1a2

(27)

Planos paralelos a los planos bisectores.

1- Planos paralelos al segundo bisector.

(28)

Planos perpendiculares a los planos de proyección.

1- Planos perpendiculares al plano vertical de proyección.

Proyecciones del plano.

Recta R, paralela al PV.

P1

P1 P1

P1

P.V.

P.H.

P.P

P.P P

P

P2

P2 P2

P2

P2 P2

P2

90

90 X

X

1

s

1

s

2

s

2

s

1

Tv

1

Tv

1

Tv

1

Tv

1

Th

1

Th

1

Th

1

Th

Th2

Tv2

VM

VM Recta perpendicular al PV.

R

r1

r2

P1 P2

P2

1

Th Th2 1

w

1

w

2

w

2

w

W

(29)

Planos perpendiculares a los planos de proyección.

2- Planos perpendiculares al plano horizontal de proyección.

Recta R, paralela al Ph.

P1

P1 P1

P1

P1 P1

P.V.

P.H.

P.P

P.P P

P

P2

P2 P2

P2

P2 P2

90

90 X

X

1

s

2

s

1

Tv

1

Tv

1

Th Th2

Tv2

Recta perpendicular al Ph.

r1

r2

1

Th Th2

1

w

2

w

Recta oblicua

S

R

(30)

Plano de perfil.

Recta R, paralela al Ph.

P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P.V. P.V. P.V. P.V. P.V. P.H. P.H. P.H. P.H. P.H. P.P P.P P.P P.P P.P PP PP PP PP PP PP PP PP PP PP P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2 P2

Recta perpendicular al Ph.

Recta oblicua Recta oblicua R S V W 1

Th Th1´

1´ Th 1´ Th 1 Th Th2

Th2´ Th2

r3 r3 r1 r1 r2 r2 3

s

3

s

1

Tv Tv1 Tv1

(31)

Ejemplos de rectas que pertenecen al plano :

Planos oblicuos.

1- Caso general.

P1

P1 P1

P1

P1 P1

P1

P.V.

P.V. P.V.

P.V.

P.H.

P.P

P.P P.P

P.P P

P P

P

P2

P2 P2

P2

P2 P2

P2

Recta paralela al Ph.

Recta frontal, paralela al Pv. Recta oblicua

P3

P.H.

P.P

P3 P2

P1

P

P.V.

P.H.

PP

R r2

r2 r1

r1

1

Tv

1

Tv

1

Tv

1

Tv Tv2

Tv2

S

1

s

1

s

2

s

2

s

1

Th

1

Th Th2

Th2

Tv2

Tv2 1

Th

1

Th

Th2

Th2 V

v2

v2 v1

(32)

P1

P1 P1 P2

P2

P2 P2

i1

i1 i2

i2 Pv.

Ph. PP.

B

P

P1 P2

P3

I

i1 i2

r2

r2 r1

r1 a1

a2 _Tv2

Tv2 Tv1

Tv1

Planos oblicuos perpendiculares a los bisectores.

1- Plano oblicuo perpendicular al primer bisector.

- Plano oblicuo perpendicular al primer bisector.

- Plano oblicuo perpendicular al segundo bisector. 2- Plano oblicuo perpendicular al segundo bisector.

- Intersección delplano oblicuo con el primer bisector.

- Intersección del plano oblicuo con el segundor bisector. Ph.

B

P2

P

Pv.

P1

II

i1

i2

P2

Ph.

A

a1

a1 a2

a2 =

(33)

Pv. PP.

B

P

P1 P2

P3

I

i1 i2

Ph. P2

P

Pv.

P1

II P2

Ph. B

Planos oblicuos perpendiculares a los bisectores.

1- Plano oblicuo perpendicular al primer bisectorl.

(34)

Rectas notables en el plano.

1- Recta de máxima pendiente :

Recta cuya proyección horizontal es perpendicular a la traza horizontal

del plano. Determina el ángulo que forma el plano con el plano

tal de proyección.

P1

P1 P1P1

P1 P.V.

P.V. Ph

Ph P2

P2 P2P2

P2

P.P

r2 r2 R2R2

r2

r2 r2 r2

r1

r1 r1r1

r1 R

R

2- Recta de máxima inclinación :

Recta cuya proyección vertical es perpendicular a la traza vertical del

plano. Determina el ángulo que forma el pano con el plano vertical

de proyección.

90º

V2 V2V2

H1 H1H1

V1

V1 V1

V1 _V1_V1

H2 H2H2

H2

H2 H2 (R) (R)

(R) (R)

A A

Calculo del ángulo A, que forma el plano con el PH. Con abatimiento de la recta R.

Calculo del ángulo B, que forma el plano con el PV. Con abatimiento de la recta R.

(V2) (V2)

B B (H1)

(35)

Intersecciones.

Intersecciones :

Entre rectas

Intersecciones entre rectas :

Entre planos

Entre rectas y planos

Caso general

r1 r2

s1

s1 s2

s2

s2 Tv1

Tv1

Tv2 Tv2

Tv2

Tv2 Th1

Th1

Th2 Th2

i1

i2 La intersección de dos rectas es un punto i

en el que sus proyecciones i1,i2 coinciden con las proyecciones r1,r2 ; s1,s2 de las rectas.

Casos particulares : En el caso de las rectar de perfil es necesario hallar su tercera proyección para situar el punto de intersección i. Casos particulares : En el caso de las rectar de perfil hallar su tercera proyección.

Casos particulares : -1 Intersección de una recta con los planos bisectores.

Casos particulares : - 1 Intersección de un plano con otro paralelo a los planos de proyección. - 2 Intersección de planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo. - 3 Intersección de un plano con planos paralelos a la linea de tierra. - 4 Intersección de un plano con los bisectores.

2

r3 _r₃

TH2 TH2 TH2

TH2

TH1 TH1 TH1

TH1

TV2 _T

V2 TV2

TV1 TV1 TV1 TV1

TV1 i3

i3

i2 i2

i2 _i2

i2

i1 _i1

i1 i1

i1

PP PP

´ Comparten un punto de intersección

2

B1

r3 r3

TH2 _TH2

TH2

TH1 _TH1

TH1

TV2 _TV2

TV2

TV1 _TV1

TV1

a1 _a₁

a1

a2

a2 a2

a3

PP _PP

Ejemplo 1

(36)

Intersecciones entre planos.

Caso general

P.V.

P

Ph

P.P

P1

P1 P1

P1

P2 P2

P2

P2 _P2

P2

Q

Q2

Q2 _Q2

Q1

Q1 Recta de intersección Ri

ri1

ri2 ri2

ri2

TH2

TH1

TV2

TV1

La recta de intersección tiene su traza vertical donde se cortan las trazas verticales de los planos, y su traza horizontal donde se cortan las trazas horizontales.

Casos particulares : - 1 Intersección de un plano con otro paralelo a los planos de proyección.

- 2 Intersección de planos cuyas trazas se cortan fuera del dibujo.

ri2

(37)

P1 P1

P1

P2 P2

P2

Q2 Q2

Q2

Q1

Q1 Q1

X2

X1 r2

r1 s1

s2 i2

i1 -3 Intersección de planos paralelos a la linea de tierra

-4 Intersección de un plano con los bisectores

-5 Intersección de tres planos que se cortan en un punto

* Es necesario hallar la tercera proyección de los planos para situar la recta de intersección.

PP PP

Ri3

Ri3 ri2

ri2

ri2 ri1

ri1

ri1 Ejemplo 1

Q3

Q3 P3

P3 Ejemplo 2

x2 x2

x1

a2

a1

* Dibujamos una recta x auxiliar que pertenece al plano P, y hallamos el punto de intersección de esta recta con los bisectores, obtenemos los puntos A, y B. A es el punto de intersección de la recta con el primer bisector, y B con el segundo. Uniendo el punto A (sus proyecciones a1,a2) con el punto de corte de las trazas del plano P1,P2, obtenemos ri1,ri2, proyecciones de la recta de intersección del plano con el primer bisector. Uniendo el punto B (sus proyecciones b1,b1), con el punto de corte de las trazas del plano obtenemos s1,s2, proyecciones de la recta S de ción del plano con el segundo bisector.

b1b2

(38)

A- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro proyectante al horizontal dado por sus trazas.

B- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro proyectante al vertical dado por sus trazas.

A2

B2

C2

A1

B1

C1

P2

P1

X2

Y2

Y1

X1

S2

S1

La solución, recta s, se obtiene directamente uniendo los puntos de intersección X,Y.

Recta de intersección - S

A2

B2

C2

C1

(39)

A- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro paralelo al horizontal dado por sus trazas.

B- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro proyectante al vertical dado por sus trazas.

A2

B2

C2

A1

B1

C1

P2

P1

X2

Y2

Y1

X1

S2

S1

Recta de intersección - S

A2

B2

C2

C1

(40)

C- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro paralelo a la linea de tierra dado por sus trazas.

D- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro de perfil dado por sus trazas.

P2

P1

A2

B2

C2

A1

C1

B1

X2

Y2

X1

Y1

A3

B3

C3

X3

Y3

PP

P3

La recta de intersección se

obtiene en la tercera

proye-cción del plano P y el plano

A,B,C.

La recta de intersección se

obtiene directamente en los

puntos de corte A2, B2, la

verdadera magnitud de la

recta de intersección S, se

obtiene en la tercera

proyec-ción S3.

S2

S1

S3

1ºc

2ºc

(41)

E- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con el primer bisector dado por sus trazas.

F- intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro oblicuo P dado por sus trazas.

P2

P1

A2

B2

C2

A1

C1

B1

X2

Y2

X1

Y1

A3

B3

C3

X3

Y3

PP

P3

La recta de intersección se

obtiene en la tercera

proye-cción del plano P y el plano

A,B,C.

S2

S1

S3

B3

1ºc

2ºc

P2

P1

A2

B2

C2

A1

C1

B1

X2

Y2

X1

Y1

A2

B2

C2

V

1 V

1 P2

P2

Se realiza un cambio de plano

vertical, de manera que

trans-formamos el plano P, en un

plano proyectante al nuevo

vertical, se procede como

en los casos anteriores.

X2

Y2

(42)

* Ejercicio de selectividad.

- Determinar la intersección de los planos ABCD y EFGH y completar la representación indicando

con claridad la visibilidad de sus aristas, considerando los planos opacos.

D2

D2 _C2_C2

A2

A2 _B2_B2

D1 D1

A1 A1

C1 C1

B1 B1 F1

F1 E1

E1 H11H11

G2=H2 G2=H2

E2=F2 E2=F2

D2

D2 _C2_C2

A2

A2 _B2_B2

D1 D1

A1 A1

C1 C1

B1 B1 F1

F1 E1

E1 H1H1

G2=H2 G2=H2

E2=F2 E2=F2

X2 X2

Y2 Y2

Solucción

Z2 Z2

Z1 Z1

G1 G1 X1 X1

(43)

Interseeción entre rectas y planos.

Procedimiento general . - Se incluye a la recta R en un plano Q.

- Se halla la intersección de los planos P, y Q . Obtenemos la recta de intersección S. - La intersección de las rectas R,y S es el punto i, punto de intersección buscado.

P _P

P1 P1

P2 P2

Q2

Q1

R _R

S

i1 i2 i

Q

Figura de análisis :

Enunciado gráfico :

r1 r1

r2 r2

Tv1 Tv1 Tv1

Tv2 Tv2

Tv2

Th1 Th1

Th1

Th2 Th2

s1 s2 Solución :

* Parte vista de la recta

Casos particulares :

(44)

A2 A2

B2 B2

C2 C2

C1 C1

B1 B1

A1 A1

R2 R2

R1

R1 X2

X1

Y1 Y2

I2

I1

Intersección recta plano

Intersección entre rectas y planos - Resolución de problemas.

1- El plano esta definido por tres o más puntos.

A- Conocimientos previos : intersección de un plano oblicuo A,B,C, con otro proyectante al horizontal dado

por sus trazas.

A2

B2

C2

A1

B1

C1

P2

P1

X2

Y2

Y1

X1

S2

S1

Recta de intersección - S

Incluimos a la recta R en un plano proyectante al vertical P. Hayamos la recta de intersección de los los planos P , y A,B,C, recta S. El punto de corte entre S y R nos da I, punto de intersección buscado.

P2

(45)

A2 A2

B2 B2

C2 C2

C1 C1

B1 B1

A1 A1

R2 R2

R1 R1

X2

X1

Y1 Y2

I2

I1

1- Hallar el punto de intersección de la intersección del plano A,B,C, y la recta R.

Solución directa

Obtenemos la recta de intersección S entre los planos A,B,C, y un plano proyectante ( no dibujado) directa-mente uniendo los puntos X,e Y. El punto de intersección entre la recta R y el plano A,B,C es el punto I,inter-sección de las rectas R, y S.

Atención a la partes vistas y ocultas de la recta R (prevalece el plano A,B,C, sobre los planos de pro-yección)

Perspectiva del proceso Intersección recta - plano

Perspectiva del plano A,B,C

Perspectiva del plano A,B,C Perspectiva de la recta RPerspectiva de la recta R A

B

C A2

B2

C2

B1 A1

C1

R R2

(46)

Perspectiva del plano y la recta

Perspectiva del plano y la recta Perspectiva de la intersección Perspectiva de la intersección S X

Y

Y1

X1

I

Partes vistas y ocultas de la recta

Partes vistas y ocultas de la recta A2 Solución en perspectivaSolución en perspectiva

B2

C2

C1

B1 A1

R2

R1 X2

X1

Y1 Y2

I2

I1

Solución en diedrica

R A

B

C

R

R2

R1

R

I

I2

I1

R2

R1

A2

B2

C2

C1

B1 A1

I2

(47)

Perpendicularidad.

Entre rectas y planos

Una recta es perpendicular a un plano cuando las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano con el mismo nombre

Casos particulares :

90

90 90

90

P2

P2 P2

P1

P1 P1

r2

r2 r2

r1

r1 r1

Rectas perpendiculares a planos paralelos a la linea de tierra.

Rectas perpendiculares a planos de perfil.

Rectas perpendiculares a planos paralelos a los de proyección.

Rectas perpendiculares a planos que pasan por la linea de tierra. 3ª P.

Ejercicios :

1º Plano perpendicular a una recta y que pase por un punto A exterior a la recta

2º Plano perpendicular a una recta y que pase por un punto A que perte-nece a la recta. ( Distancia punto recta)

3º Recta perpendicular a plano y que pasa por un punto A exterior al plano. ( Distancia punto a plano)

4º Plano perpendicular a una recta y que pase por una recta S dada. (Mínima distancia entre rectas )

Entre planos

Caso general

Procedimiento . Se traza una recta perpendicular al plano dado, cualquier plano que pertenezca a la recta es perpendicular al plano. Infinitas soluciones.

R R

R

90 90 90

90

P _P _P

Q Q1...

Th1 Th1

Th2 Tv1 Th2 Tv1

Tv2 Tv2

Q2

Q1

Plano perpendicular a otro paralelo a la linea de tierra. Plano perpendicular a otro que pasa por la linea de tierra.

(48)

Distancias.

Distancias

Entre puntos

r2

r1

Punto a plano

Punto a recta

Caso general

Procedimiento . Se traza una recta R perpendicular al plano P que pase por el punto dado A se obtiene el punto de intersección I de la recta R con el plano P,( incluyendo la recta R en un plano Q) la distancia del punto al plano es el segmento A I.

Procedimiento . Se traza un plano P perpendicular a la recta R dada y que pase por el punto A igualmente dado, se halla el punto de intersección I entre el plano P y la recta R, ( incluyendo a la recta R en un plano Q ). El segmento AI, es la distancia del punto A a la recta R.

R

R R R R

R R

90 90 90

P P

P

P P

Q Q

Distancia de un punto a un plano paralelo a la linea de tierra. Distancia de un punto a un plano que pasa por la linea de tierra. La distancia entre dos puntos es el segmento de recta que los une.

a2

a1

a1 a1

b2

b2 b2

b1

b1 b1

d2

d2 d1

d1 d1

Verdadera magnitud en tre dos puntos

(B) 90

90

D Vm

D Vm Diferencia

de cotas

Diferencia

de cotas Diferencia de alejamientos Diferencia de alejamientos

(A)

A

_A

A

R

S S

S

S S

S

P P

P

A

T T

T

I

D

D U U

T

Q Q

X X

(50)

Distancias.

Distancias

Entre una recta y un

plano paralelo a ésta Q _Q

90 90 ₉₀

Procedimiento :Se reduce al caso de la distancia de un punto a un plano. Desde un punto A cualquiera de la recta R se traza una recta S perpendicular al plano se obtiene el punto I de intersección de S con P, el segmento AI es la distancia de la recta al plano.

Procedimiento :

1º- Por un punto cualquiera A de la recta S, se traza una recta T paralela a la recta R.

2º- Se hallan las trazas del plano P definido por las rectas S, y T.

3º- Desde un punto B cualquiera de la recta R, trazamos una recta U pendicular al plano P, definido por las rectas S,y T.

4º- Hallamos el punto de intersección C de la recta R con el plano P ( yendo la recta R en un plano Q ).El segmento CB, es la mínima cia entre las rectas.

5º- Por el punto de intersección C, trazamos una recta W, paralela a la recta T.

6º- Donde la recta W corta a la recta S obtenemos el punto D.

7º- Desde el punto D trazamos una recta X paralela a la recta U, donde esta recta X corta a la recta R, obtenemos el punto E. El segmento DE es la Mínima distancia entre las rectas R, Y S.

R

_R

R

_R

A

A _A

S

_S

I

_I

P

_P

P

_P

D

Minima distancia

entre dos rectas

que se cruzan en

el espacio

S

A

A _A

T

T _T

B _B

C _C

U _U

Q _Q

W D

X E

V

(51)

Minima distancia

entre dos rectas

que se cruzan en

el espacio

1º- Cuando una de las rectas es perpendicular a uno de los planos de proyección :

S2

S2 S2

S2

S2 S2

S1

S1 S1

S1 R2

R2 _R2

R2 R2

R2

R1

R1 R1

R1 N2

N1 Md

Md

Md Md

Md

H1 H1

V2 V2

P2 P2

P1 P1

Q2 Q2

Q1 Q1

El cálculo de la distancia es directa trazando desde R1 una perpendicular a S.

Explicación : En este caso se puede reducir el problema a la distancia entre dos planos paralelos.

(52)

Minima distancia

entre dos rectas

que se cruzan en

el espacio

2- Una recta paralela a la linea de tierra y otra de perfil : La solución es directa hallando la tercera proyección.

R2 R2

R1 R1

V2 _V2

H1 H1

V1 h2 V1 h2

S2=S1 S2=S1

Pp

R3

S3 Md

(53)

a2 a2

a1 a1

i1 i1

i2 i2

P2 P2

P1 P1

r1

r2

Tv2

Tv1

Th1 Th1

Th1

Th2 Th2

Th2

d1 d2

d2

s1 s1

s2 s2

Q2 Q2

Q1 Q1

d1 Distancia de un punto a un plano

Ejemplo 1

Ejemplo 2

R R R

90 90 90

P

P _P _P

Q Q

A

S S

I I

D

Solución :

(54)

P1 P1

P2 P2

a2 a2

a1 a1

a3

P3 r3

r3

Tv2

Tv1 Th1´

Th1

Th2 i2

i2 i1

i1

d1

d1 d2

d2

i3

d3

Vm

PP

b1 b1

b2

b2 _b3

P1

P1P2 P2

P3

Distancia de un punto a un plano

Distancia de un punto a un plano paralelo a la linea de tierra.

Distancia de un punto a un plano que pasa por la linea de tierra.

Solución :

Solución : Enunciado gráfico :

(55)

r1

r1 r1

r2

r2 r2

a2

a2 a2

a1

a1 a1

s2

s1

P2

P1

Q2

Q1

t2

t1 i2

i1

d2

d1

Tv2

Tv2 Tv2

Tv1

Tv1 Tv1

Th1

Th1 Th1

Th1

Th2

Th2 Th2

Th2

Distancia de un punto a una recta

Caso general :

R R R R

P P

P

A

_A

A

I

D

I

Q Q

S S

S T T

90

Nota :Es necesario repasar -Plano perpendicular a recta y que pasa por un punto

Solución : Enunciado gráfico :

(56)

Mínima Distancia entee dos rectas que se cruzan en el espacio.

R

_R

P

_P

S

A

A _A

T

T _T

B _B

C _C

U _U

Q _Q

W D

X E

Enunciado gráfico :

V _V

R2

R1

S2

(57)

R2

R1

S2

S1 A2

A1 T2

T1 P2

P1 B2

B1

U2

U1 V2

V1 H1

H2

Q2

Q1 C2

C1 V2

V1 W2

W1

D2

D1

X2

X1 E2

E1

Md2 Md2

Md1 Md1

Mínima Distancia entee dos rectas que se cruzan en el espacio.

Procedimiento :

1º- Por un punto cualquiera A de la recta S, se traza una recta T paralela a la recta R.

2º- Se hallan las trazas del plano P definido por las rectas S, y T.

3º- Desde un punto B cualquiera de la recta R, trazamos una recta U pendicular al plano P, definido por las rectas S,y T.

4º- Hallamos el punto de intersección C de la recta R con el plano P ( yendo la recta R en un plano Q ).El segmento CB, es la mínima cia entre las rectas.

5º- Por el punto de intersección C, trazamos una recta W, paralela a la recta T.

6º- Donde la recta W corta a la recta S obtenemos el punto D.

(58)

Cambio de plano

Transformar un plano oblicuo A,B,C en un plano proyectante al vertical de proyección

P2

A2

B2

C2

A1

C1

B1

V

H

V₁

V 1

R2

R1

P1

V2

V1

P2

X2 Y2

X1

Y1

Podríamos también hallar las trazas del plano A,B,C.

(59)

P2

A2

B2

C2

A1

C1

B1

V

V H

H

R2

R2 R1

R1

P1

V2

V2 V2

V2

V1

Si queremos hallar las trazas de un plano oblicuo definido por los puntos A,B,C. Lo podemos hacer

de una

manera más sencilla,

trazando primero una recta r horizontal que pertenezca al plano A,B,C. Y posteriormente

trazando una recta paralela S a R. Las trazs de estas dos rectas nos indican la posición de las trazas del plano

P1,P2.

Paralelas

S2

S2 S1

S1

Si lo que se pretende es únicamente halla las trazas del Plano A;B;C. No es necerário emplear un cambio de

plano.

(60)

Ejercicio de aplicación :

Halllar el circuncentro del triangulo dado A;B;C.

A2

B2

C2

A1

C1

B1

V

1º Metodo: utilizando un cambio de plano vertical

* Nota : Este método se realizo en clase como ejercicio de aplicación pero no es el más adecuado, en el

ejercicio siguiente se explicará un método abreviado.

P2

A2

B2

C2

A1

C1

B1

V H

H V

1

R2

R1

P1

V2

V1

P2

Continua

(P2)

S2

S1

(S) ©

(61)

1º Metodo abreviado: Sin utilizar un cambio de plano, Hallamos las trazas del plano directamente con las

horizontales R,yS.

P2

A2

B2

C2

A1

C1

B1

V H

R2

R1

P1

V2 V2 V2

V1

(P2)

©

(B) (A)

S2

S1

H1

(H1)

(T)

T2

T1 U2

(62)

Cambio de plano :

Ejercio de aplicación : Hallar la intersección de un plano oblicuo A,B,C. Con un plano oblicuo P1,P2, dado

por sus trazas.

S2

S1

A2

B2

C2

A1

C1

B1

X2

Y2

X1

Y1

A2

B2

C2

V

1 V

1 P2

P2

Se realiza un cambio de plano

vertical, de manera que

trans-formamos el plano P, en un

plano proyectante al nuevo

vertical, así en la nueva proyección

vertical los puntos de intersección

se hallan directamente.

X2

Y2

_S2

90 P2

P2

P1

(63)

A2

B2

C2

A1

C1

B1

P2

P1

P2

A2

B2

C2

A1

C1

B1

V H

R2

R1

P1

V2 V2

V2

V1 S2

S1

Q2

Q1

H1 H2

I2

I1

X2 X2

Y2 Y2

X1 X1

Y1 Y1

Otro procedimiento para solucionar el ejercicio anterior consistiria en hallar las trazas del plano A,B,C,

utilizando las horizontales R,yS (plano Q). Posteriormente hallamos la recta de intersección de los planos P y Q,

obteniendo la recta I, y los puntos X e Y. El resultado es el mismo, pero más laborioso que realizando un cambio

de plano.

(64)

P2

A2

B2

C2

A1

C1

C1 C1

B1

B1 B1

R2 R2

R1 R1

P1

V2

V2 V2

V2

V1 V1 S2

S2

S1 S1

Q2

Q1

H1 H1

H2 H2

I2 I2

I1 I1

X2 X2

Y2 Y2

X1 X1

Y1 Y1

E2

F2 D2

E1

D1

F1

Hallar la intersección de los planos A;B;C. Y E;F;G. (Sin cambio de plano)

- Se halla las trazas de los dos planos

P, y Q. Mediante rectas horizontales.

- Se obtiene la recta de intersección I,

y los puntos de corte X, e Y.

(65)

A2 A2

B2 B2

C2 C2 V

V H H

HH V₁ V₁ R2 R2

R1 R1

P2

Hallar la intersección de los planos A;B;C. Y E;F;G. (Con cambio de plano)

A2 A2

C2 C2

A1 A1

C1 C1

E2 E2

F2 F2

D2 D2

E1 E1

D1 D1

F1 F1

B2 B2

B1 B1

X2 X2

X1 X1

X2 X2

Y2 Y2

Y1 Y1 Y2 Y2

A2

B2

C2

A1

C1 C1

B1 B1

E2

F2 D2

E1

D1

F1

(66)

C2

C2 C2

C2 C2 D2

D2 D2

D2 D2 A2

A2 A2

A2 A2 E2

E2 E2

E2 E2 B1

B2 B2

B2 B2 C1

C1 C1 F1

F2 F2

F2 F2 F1

F1 F1

B1

B1 B1 D1

D1 D1 A1

A1 A1

E1

E1 E1

Dados los planos ABC, y EFG. Hallar su intersección, indicando partes vistas y ocultas.

(Referencia la horizontal AB.)

90

90 X2

Y2 X1

(67)

Ángulo entre planos

Procedimiento 1

P Q

T _R _S

A

I

1º- Dados los planos P, Y Q, hallamos la recta de intersección I, de los dos planos.

2º- Trazamos un plano T, perpendicular a la recta I

3º- Hallamos la recta de intersección R de T y P

4º- Hallamos la recta de intersección S de T y Q

5º- El ángulo que forman R, y S es el ángulo que forman los planos P, y Q.

Hallar el ángulo que forman los planos P, Y Q.

P2

P2 P1

P1 Q2

Q2 Q1

Q1

I2

I2 I1

I1 T2

T1 V2

V2 H1

H1

H2 H2

U

1º- Hallamos la recta i de intersección de P, y Q

90