ECUACIONES LINEALES se tendrá entonces un

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La observación de un gran número de problemas económicos, militares o industriales pueden expresarse como un modelo matemático

Si éstas expresiones matemáticas pueden expresarse mediante un SISTEMA DE DESIGUALDADES y

ECUACIONES LINEALES se tendrá entonces un modelo de PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

«La PL es un CONJUNTO de TÉCNICAS RACIONALES de análisis y de resolución de

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Un modelo de

Programación Lineal (PL)

considera

que las variables de decisión tienen un

comportamiento lineal, tanto en la función objetivo

como restricciones del problema. En este sentido, la

Programación Lineal es una de las herramientas

más utilizadas en la Investigación Operativa debido

a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en

general permite una buena aproximación de la

realidad.

Supuestos de la programación lineal.

Programación Lineal (PL)

El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de producto producirá dos veces más de ganancia, contratando el doble de páginas en las revistas doblará el costo relacionado con las revistas. Es una Suposición de Proporción.

Supuestos de la programación lineal.

Programación Lineal (PL)

Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la contribución de cada variable al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de cualquier otra variable.

Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.

Supuestos de la programación lineal.

Programación Lineal (PL)

La última suposición es el Supuesto de Certeza. La Programación Lineal no permite incertidumbre en los valores.

Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los requerimientos más

estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados.

La otra limitación se refiere al

costo de formular un

problema de PL. En teoría, podría usarse PL, por ejemplo,

para hacer las compras semanales de abarrotes. Sin

embargo, sería necesario conocer todas las compras posibles

que pueden realizarse (éstas serían las variables), además de

cada restricción como sabor, número de comidas, vitaminas

y proteínas. Es obvio que el costo de obtener todos estos

datos excede lo que se podría ahorrar si se hicieran las

compras óptimas. Antes de emprender una aplicación de PL,

debe considerarse la disponibilidad y el costo de los datos

necesarios.

Los modelos en base a la

Programación Lineal (PL)

constan:

1.- Declarar las Variables de Decisión:

X1: variable de Decisión 1.

X2: variable de Decisión 1.

X3: variable de Decisión 1.

…

…

Xn: variable de Decisión n.

Los modelos en base a la

Programación Lineal (PL)

constan:

2.- Función Objetivo:

Determina lo que se quiere

lograr en base a los costos, beneficios o

ganancias que se desean percibir u obtener. Se

optimizará el sistema debido a la maximización o

minimización.

Max o Min Z

= C1X1+C2X2+C3X3+…+CnXn

Los modelos en base a la

Programación Lineal (PL)

constan:

3.- Restricciones

: Cantidad, Elementos Constantes.

S.a.: a11 x1 + a12 x2 + . + a1n xn = b1

A21 x2 + a22 x2 + . + a2n xn <= b2

A31 x3 + a32 x3 + . + a3n xn <= b3

. . .

. . .

Am1 x1 + am2 x2 + . + amn xn >= bn

Los modelos en base a la

Programación Lineal (PL)

constan:

4.- Condición de No Negatividad

:

X1, X2 …xn ≥0

Programación Lineal (PL)

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝐶_𝑗𝑋_𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑎_𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑋_𝑗 ≤ 𝑏_𝑖

𝑋_𝑗 ≥ 0

𝑖, 𝑗 = 1, 2, … … . . 𝑛

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝐶_𝑗𝑋_𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑎_𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑋_𝑗 ≥ 𝑏_𝑖

𝑋_𝑗 ≥ 0

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Problema de la Dieta: Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Solución:

Variables de Decisión:

X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Solución:

Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta)

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Solución:

Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Tipos de Soluciones de un

Problema de PL

 Factibles: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución múltiple (si

existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo).

 No factibles: Cuando no existe el conjunto de

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Función objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

a₁x + b₁y ≤ c₁ a₂x + b₂y ≤ c₂ ... ... ... a_nx + b_ny ≤ c_n

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Solución factible

El conjunto intersección, de todos los

semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la

solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Métodos de solución

1. Método gráfico: Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.

2. Método analítico: El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un programa con dos variables: “en un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, esta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor optimo concreto, pero, si lo hace este se encuentra en uno de los vértices de la región”.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

BIBLIOGRAFÍA

1. Taha, H. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Quinta Edición Alfaomega Grupo Editor. México. 1995.

2. Hillier, F. y Lieberman, G. INTRODUCCION A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Séptima Edición. McGraw Hill. México. 2002