Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Octubre 2007

02) Mediciones

0201) Escalas

Desarrollado por el Profesor Rodrigo

Vergara Rojas

En muchas siuaciones experimentales, resulta conveniente ordenar los valores medidos. Una escala es una representación gráfica que permite visualizar globalmente un conjunto de cantidades físicas por medio de su ordenación.

Las reglas básicas para construir una escala son las siguientes:

• Elegimos una cualidad de las cosas a representar.

• Asociamos un número a cada cosa basándose en la cualidad elegida

• Usamos estos números para ordenarlos. Usualmente es de menor a mayor.

En general existen dos tipos de escalas: las lineales y las de potencias.

A) Escala lineal o uniforme

Se caracteriza por que los números asignados a marcas sucesivas colocadas sobre una curva (en particular una recta) tienen diferencia constante.

Se usa cuando los valores a representar tienen órdenes de magnitud similares. En la figura 1 se visualizan diversos tipos de escala lineal.

Para construir una escala lineal se sigue el siguiente procedimiento, el cual se ilustra en la figura 2.

• Se escoge una curva cuyo largo es comúnmente limitado, como por ejemplo una recta de longitud L

• Determinamos sobre esta un trazo a cuyos extremos le asignamos, respectivamente, valores cercanos al valor mínimo (Vmin) y al valor máximo (Vmax) que deseamos representar.

• Obtenemos las marcas intermedias dividiendo el trazo inicial en partes iguales, asignando a estas marcas los valores intermedios correspondientes.

Cualquier valor intermedio V queda ubicado en la escala según

Figura 1) Diversos ejemplos de escala lineal

L

min max

min

V

V

V

V

−

−

=

B) Escala de Potencias

Se caracteriza por que los números asignados a marcas sucesivas colocadas sobre una curva (en particular una recta) tienen como cuociente una potencia constante.

En una escala de potencias, el cero no tiene representación.

Se usan cuando los valores abarcan un amplio rango de órdenes de magnitud.

En particular, la escala de potencia de mayor uso es la de potencias de 10. La figura 3 muestra algunos ejemplos de este tipo de escalas.

Una escala de potencias puede ser tomada como una escala lineal respecto de sus exponentes. Esto se ilustra en la figura 4. Si tapamos los 10 de la escala de potencias de arriba, obtendremos una escala lineal con los exponentes. Para esta escala de exponentes son válidos todas las reglas correspondientes a una escala lineal.

Para construir una escala de potencias de 10

• Se elige un trazo sobre la curva.

• A sus extremos le asignamos potencias de 10 cercanas al menor y al mayor orden de magnitud de los valores a representar.

• Dividimos el trazo inicial en cierto número de partes iguales de modo que a cada marca le corresponda una determinada potencia de 10.

Cuando queremos representar valores en

forma más precisa (factor numérico por potencia de 10) debemos ubicar puntos intermedios entre las marcas de la escala correspondientes a dos potencias de 10 consecutivas, tal como se muestra en la figura 5. En esa figura

Figura 3) Diversos ejemplos de escala de potencias

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

Figura 4) Escala de potencias como escala lineal

Para efectos de aplicar el criterio de escala lineal de exponentes hacemos

10

=

A

⋅

10

L

p

q

p

q

L

p

q

L

p

1

p

=

+

⇒

−

=

⇒

−

=

−

+

Reemplazando

L p

L L

p q

p

₁₀

₁₀

₁₀

₁₀

_A

₁₀

10

A

=

⇒

⋅

=

=

=

⋅

Definiendo

L

=

η

podemos establecer una relación entre A y

η, la que se consigna en la tabla y el gráfico de la figura 6. A partir de estos resultados, se genera la escala logarítmica (moestrada en la figura 7), que permite ubicar un valor cualquiera para un intervalo entre dos potencias de 10 consecutivas.

Para explicar mejor la diferencia entre ambos tipos de escalas, consideremos el siguiente ejemplo. En la tabla 1 tenemos una serie de artículos a los cuales hay que estimar su precio en pesos ($). Los valores estimados hay que colocarlos en una escala en un cuaderno cuadriculado.

Figura 7) Escala logarítmica

Tabla 1) Lista de Artículos a los que hay que estimarles el precio.

Artículo Precio

[$]

Distancia al origen en una escala LINEAL [“cuadritos”] Un “chicle”

Un cuarto de queso “La cuenta de la luz”

Una “tele” Un auto “cero-kilómetros” Un departamento en Viña Un fundo de US $1.000.000

Una buena estimación de los precios de los artículos citados se muestra en la tabla 2:

Inicialmente, representaremos esta lista de precios en una escala lineal de largo igual a 24 “cuadritos de cuaderno”.

En la figura 8 se muestra la manera en que se construye la escala lineal pedida. En el inicio de la escala está el precio $1 del chicle (1), mientras que en el final está el precio $7 del fundo (7).

La distancia _{entre el precio $x del artículo “x” y el} inicio de la escala está dada por:

[

]

[

]

[

]

100 600000000 100 $ 24 cuadrito $ $ $ $ 24 $ $ cuadrito 24 $ $ x 1 7 1 x 1 x 1 7 − − ⋅ = ⇒ − − ⋅ = ⇒ − = −

N° Artículo Precio ($)

1 Chicle 100

2 Queso 500

3 Luz 10000

4 Tele 100000 5 Auto 5000000 6 Departamento 30000000

7 Fundo 600000000

Tabla 2) Asignación de precios representativos (para el fundo se consideró 1 US$ = $600)

1 x 7

[cuadrito] 24

Figura 8) Construcción de la escala lineal de largo 24 [cuadrito]

Tabla 3) Posición de los precios de los artículos, en [cuadrito], en la escala de la figura 8

N° Artículo Precio ($)

1 Chicle 100 0,000000

2 Queso 500 0,000016

3 Luz 10000 0,000396

4 Tele 100000 0,003996

5 Auto 5000000 0,199996

6 Departamento 30000000 1,199996

7 Fundo 600000000 24,000000

Los valores de para cada uno de los artículos está en la tabla 3. En ella se observa claramente que la escala lineal no permitiría una visualización correcta de los datos, pues los precios de los artículos del 1 al 5 serían indistinguibles.

A continuación construiremos otra escala lineal, en la cual los dos precios menores de la lista están separados por un “cuadrito”.

En la figura 9 se muestra la manera en que se construye la escala lineal pedida. En el inicio de la escala está el precio $1 del chicle (1), mientras que en el cuadrito siguiente está el precio $2 del cuarto de queso (2).

La distancia _{entre el precio $x del artículo “x” y el inicio de la escala está dada por:}

[

]

[

]

[

]

100 500 100 $ 24 cuadrito $ $ $ $ $ $ cuadrito 1 $ $ x 1 2 1 x 1 x 1 2 − − ⋅ = ⇒ − − = ⇒ − = −

Los valores de _{para cada uno de los artículos está en la tabla 4. En ella se observa claramente que la} escala lineal no permitiría una visualización correcta de los datos, pues los precios de los artículos desde el 3 en adelante se saldrían de los 24 cuadritos, y los precios del auto, el departamento y el fundo requieren una cantidad estratosférica de cuadritos. Además, considerando que cada cuadrito tiene 0.7 [cm] de lado, la distancia entre el inicio de la escala y el precio del fundo sería aproximadamente

[

]

[

]

[ ]

[

]

cuadrito cm 0.7

cuadrito 10

1.5⋅ 6 ⋅ _ _= ⋅ 6 = ⋅ 4 =

Obviamente, este valor resulta imposible de consignar en una escala en un cuaderno convencional.

Finalmente, construiremos una escala de “potencias de 10” en una recta de 24 “cuadritos” de largo a fin de representar los precios de la lista. En la tabla 5, los precios de los artículos están puestos en notación científica.

1 2 x

[cuadrito]

1

Figura 9) Construcción de la escala lineal con los precios menores separados en 1 [cuadrito]

N° Artículo Precio ($)

1 Chicle 100 0,00

2 Queso 500 1,00

3 Luz 10000 24,75

4 Tele 100000 249,75

5 Auto 5000000 12499,75

6 Departamento 30000000 74999,75

7 Fundo 600000000 1499999,75

[

]

Tabla 5) Precios de los artículos en formato de notación científica

Artículo Precio [$]

Un “chicle” 1,00·102 Un cuarto de queso 5,00·102 “La cuenta de la luz” 1,00·104 Una “tele” 1,00·105 Un auto “cero-kilómetros” 5,00·106 Un departamento en Viña 3,00·107 Un fundo de US $1.000.000 6,00·108

Atendiendo a los datos de la tabla 5 al número de cuadritos disponible, una escala de potencias de 10 muy conveniente es la mostrada en la figura 10, graduada entre $101 _{y $10}9 _{y con 3[cuadrito] de distancia entre} dos potencias de 10 consecutivas.

En la figura 11 se muestra la manera en que se construye la escala de potencias pedida.

Consideremos un valor $X.=10r. A partir de la figura, y aplicando la idea de que una escala de potencias se puede interpretar como una escala lineal respecto de los exponentes:

(

)

(

(

)

)

3 1 $ log 10 10 $ 3 1 r 3 1 2 1 r X 10 X 10 3 1 r X − ⋅ = ⇒ + = ⇒ = = ⇒ + = ⇒ − = − +

[

]

24

[

]

3

1

10 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 ₁₀8 ₁₀9

Figura 10) Escala de potencias de 10 para los datos de la tabla 5

Figura 11) Construcción de la escala de potencias.

[

]

3

1

10 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 ₁₀8 ₁₀9

r

x 10

$ =

N° Artículo Precio ($)

1 Chicle 1,00E+02 3,00

2 Queso 5,00E+02 5,10

3 Luz 1,00E+04 9,00

4 Tele 1,00E+05 12,00

5 Auto 5,00E+06 17,10

6 Departamento 3,00E+07 19,43

7 Fundo 6,00E+08 23,33

[

]

En la tabla 6 se muestra la distancia de cada precio respecto al inicio de la escala, en [cuadrito], y en la figura 12 se muestran los datos ordenados en la escala. Se aprecia que la escala de potencias permite visualizar claramente esta lista de datos que abarca varios órdenes de magnitud, lo cual concuerda con la teoría.

1

1

10

₁₀

₁₀

₁₀

₁₀

₁₀

₁₀

₁₀

₁₀

3

4

2

5

6

7