Arquitectura abierta para el control de movimiento del manipulador SCORBOT-ER III

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Profesional Adolfo López Mateos

Departamento de Ingeniería en Control y Automatización

Arquitectura abierta para el control de

movimiento del manipulador

SCORBOT-ER III

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN

PRESENTAN

Martínez Martínez Nallely

Montelongo Vázquez Carlos Manuel

Olvera Martínez Juan Rodolfo

ASESORES

M. en C. Ricardo Tapia Herrera

M. en C. René Tolentino Eslava

UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"

TEMA DE TESIS

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACION

POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN _{TESIS COLECTIVA y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL}

DEBERA(N)DESARROLLAR _{C. NALLELY MARTÍNEZ MARTÍNEZ}

C. CARLOS MANUEL MONTELONGO V ÁZQUEZ C. JUAN RODOLFO OLVERA MARTÍNEZ

"ARQUITECTURA ABIERTA PARA EL CONTROL DE MOVIMIENTO DEL MANIPULADOR SCORBOT-ER III"

DESARROLLAR UNA ARQUITECTURA ABIERTA PARA EL CONTROL DE MOVIMIENTO DE UN MANIPULADOR INDUSTRIAL.

.:. OBTENER PARÁMETROS DEL ROBOT . • :. REALIZAR MODELADO DEL ROBOT .

• :. DESARROLLAR EL CONTROL PID RETROALIMENTADO . • :. INTEGRAR EL CONTROLADOR AL MANIPULADOR. .:. REALIZAR PRUEBAS DEL LABORA TORIO.

ASESORES

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M. EN C. RICARDO TAPIA HERRERA M. EN C.

ｒｅｎｾｔｬｎｏ＠

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ACA ...ｾ＠

CONTENIDO

Relaciòn de figuras ____________________________________________ I

Relaciòn de tablas ____________________________________________ IV

Resumen ____________________________________________________ V

Introducción _________________________________________________ VI

Objetivo ____________________________________________________ IX Capítulo 1. Estado del Arte _____________________________________ 1 Capítulo 2. Fundamentos de Robótica ___________________________ 18

2.1. Robots Manipuladores………..18

2.2. Cinemática del Manipulador ... 19

2.2.1. Cinemática Directa ... 19

2.2.2. Representación de Denavit-Hartenberg ... 25

2.2.3. Cinemática Inversa ... 30

2.2.4. Análisis de la Velocidad y Aceleración ... 34

2.3. Dinámica del Manipulador:... 38

2.4. Control del Manipulador ... 49

2.4.1. Control PD (Proporcional-Derivativo) o Realimentación de Velocidad ... 51

2.4.2. Control PID ... 53

Capítulo 3. Desarrollo de la ArquitecturaAbierta __________________ 57 3.1. Parámetros Primarios del SCORBOT-ER III ... 58

3.2. Modelado Cinemático del Manipulador ... 59

3.2.1. Resolución de la Matriz de Transformación Homogénea de Brazo ... 59

3.2.2. Cinemática Inversa ... 62

3.2.3. Jacobianos y Velocidades ... 66

3.2.4. Dinámica ... 70

3.3. Control.……….……….… 2

3.4. Cálculo de parámetros del Puente H……….……….… 5

3.5. Integración del hardware……….………..100

3.5. Integración del software……….……….104

Capítulo 4. Pruebas con Arquitectura Abierta y Arquitectura Cerrada 108 4.1. Control de Movimiento con Arquitectura Cerrada ... 108

4.2. Pruebas con Arquitectura Abierta ... 111

4.3. Análisis de Resultados de Ambas Arquitecturas ... 114

Conclusiones ______________________________________________ 117 Bibliografía ________________________________________________ 119

ANEXO A “Solución de la cinemática directa del manipulador SCORBOT-ER

matrices de transformación homogénea” __________________________ 127

ANEXO D “Programa que soluciona la dinámica por Euler-Lagrange” ___ 131

ANEXO E “Diagrama esquemático de puente H y cálculo de resistencias” 142

ANEXO F “Especifícaciones técnicas de tarjetas Phidget 1047 y 1002” __ 144

ANEXO G “Programa del PIC 16F877a ADC/PWM” _________________ 146

ANEXO H “Cable DB50 para el control del SCORBOT-ER III” _________ 148

ANEXO I “Conexión eléctrica hardware” __________________________ 150

I

Relación de figuras

II

________________ 54 3.1.- Asignación de sistemas de ejes a cada articulación del SCORBOT-ER III. _ 58 3.2.- Esquema de la geometría del manipulador SCORBOT-ER III. __________ 62 3.3.- Localización del centro de masas del eslabón 1. ____________________ 72 3.4.- Localización del centro de masas del eslabón 2. ____________________ 73 3.5.- Localización del centro de masas para el eslabón 3. _________________ 74 3.6.- Localización del centro de masas del eslabón 4. ____________________ 75 3.7.- Localización del centro de masas del eslabón 5. ____________________ 75 3.8.- Esquema de control no lineal por partición [1]. ______________________ 82 3.9.- Gráfica de la señal de error al aplicar las ganancias de Kp=diag(200) y

Kv=diag(10). __________________________________________________ 87

3.10.- Gráficas de la dinámica de error con las ganancias de control adecuadas. _ 88 3.11.- Gráfica de la posición angular sin control PID. _____________________ 89 3.12.- Gráfica de posición angular aplicando el PID. _____________________ 90 3.13.- Gráfica de la respuesta de posición angular a una perturbación de par. ___ 91 3.14.- Gráfica de la respuesta a una secuencia de referencias angulares. ______ 92 3.15.- Gràfica de la IEC, en lazo cerrado sin control PID. __________________ 93 3.16.- Gràfica de la IEC, al aplicarle control PID y con referencia constante. ____ 93 3.17.- Gràfica de la IEC sin aplicarle control PID, y con trayectoria como referencia. ___________________________________________________________ 94 3.18.- Gràfica de la IEC, al aplicarle una trayectoria como referencia y el controlPID. ___________________________________________________________ 95 3.19.- Esquemático de puente H. ___________________________________ 96 3.20.- Esquema del hardware de la arquitectura abierta del SCORBOT-ER III. _ 103 3.21.- Arquitectura interna de la HMI. _______________________________ 106 3.22.- HMI de control para el SCORBOT-ER III. _______________________ 107 4.1.- Plataforma Robotics Software 3.4® _{para programación de movimientos del}

SCORBOT-ER III. ____________________________________________ 109 4.2.- a) Vibraciones en arranque, b) Vibraciones en frenado (velocidad 1). ____ 107 4.3.- a) Vibraciones en arranque, b) Vibraciones en frenado,c) Vibraciones en

III

IV

Relación de tablas

No. Descripción Pág.

1.1.- Relación de las capas de programación con la tarea a realizar por el robot Stäubli RX60 [3] ____________________________________________________ 3

3.1.- Tabla de Parámetros de Denavitt-Hartenberg del SCORBOT-ER III._______59

V

Resumen

El siguiente trabajo muestra el diseño y desarrollo de una arquitectura abierta para el control de los movimientos de un manipulador de 5 grados de libertad de tipo articulado. Este desarrollo incorporó el diseño de software por una interfaz gráfica, además del hardware que representa la etapa de control y de potencia para alimentar los motores que proveen el movimiento del manipulador.

Para el desarrollo de esta arquitectura se realizó un análisis previo del manipulador, incorporando los fundamentos teóricos de la robótica, dicho análisis comprendió la solución de la cinemática directa donde se obtuvieron los parámetros de Denavit-Hartenberg, se construyó la matriz de transformación homogénea del brazo que modela la posición y orientación del efector final con respecto a la base.

Para aplicar la ley de control, se utilizó el método de partición de leyes de control o de par calculado, el cual está conformada por dos leyes de control, una basada en el modelo matemático y la ley servo la cual utiliza la ecuación del error de posición para el cálculo de las ganancias del PID, las cuales hacen que el error de posición y velocidad converjan a cero.

VI

de la ley de control se convierte a una analógica, la señal analógica va a un PIC con un PWM programado que alimenta la etapa de potencia del motor, y dependiendo el ancho de pulso la velocidad del eslabón se regula haciendo que el error de posición se corrija.

VII

Automatización Tecnologías de la Producción indican que la robótica ha adquirido un lugar importante en la automatización industrial, debido a la demanda de calidad, rapidez y producción dentro de un proceso.

La FIR (Federación Internacional de Robótica) clasifica a los robots manipuladores según su estructura mecánica en robots articulados, SCARA, robots lineales, robots cilíndricos y robots paralelos. Los robots manipuladores generalmente cuentan con una arquitectura cerrada para su control de movimiento, la cual no permite modificaciones del software y hardware dentro del sistema del controlador,

Los robots manipuladores en la industria realizan tareas de soldadura, transporte de materiales, sellado, corte de metales y telas, ensamblado y pintura de piezas automotrices; estas tareas son realizadas en largas jornadas de trabajo sin presentar problemas para los robots, además la reprogramación de la tarea a realizar permite que el manipulador trabaje con diferentes piezas o moldes y a diferentes velocidades.

VIII

algunos casos la arquitectura cerrada no es una limitante para realizar una o varias tareas ya que se tiene el control adecuado de los movimientos del manipulador.

Instituciones como El Centro de Investigación CARTIF, La Universidad China de Hong Kong y La Universidad de Buenos Aires consideran que los robots manipuladores con un controlador diseñado con arquitectura abierta son más flexibles para utilizarse en una industria que demanda diferentes procesos, una arquitectura abierta brinda al sistema la característica para modificar cualquier elemento del controlador del manipulador ya sea software o hardware; lo que representa que un robot manipulador realice las tareas de varios manipuladores con arquitectura cerrada, ya que la arquitectura abierta permite modificar los algoritmos y la etapa física de control para adaptar al manipulador a otro proceso. Tal es el caso del robot manipulador SCORBOT ER-III que presenta las siguientes limitaciones; un control deficiente en sus perfiles de velocidad, la forma de seguir una trayectoria previamente establecida y el rechazo a nuevos dispositivos que mejoren su funcionamiento.

IX

ni genera problemas con el funcionamiento del mismo. Además se busca incrementar la velocidad de motores empleando puentes h y modulación por ancho de pulso para la regulación de la señal de activación, esto permite aprovechar al máximo la capacidad de los motores y hace que el control sobre los perfiles de velocidad sea preciso. Por otro lado un esquema de control a lazo cerrado como el PID representa una solución al problema de control de movimiento específicamente control de velocidad, posición y rechazo a perturbaciones.

Para el desarrollo del nuevo controlador digital se modelan cada una de las articulaciones del robot en base al modelo ya existente basado en cinemática directa e inversa; del modelo analítico del robot es posible obtener los parámetros para la correcta sintonización de un control PID, el cual junto con el control sobre los perfiles de velocidad de los motores en cada articulación mejora la precisión en el movimiento.

Objetivo

1

Capítulo 1. Estado del Arte

Debido a la arquitectura cerrada con la que se diseñan los controladores de manipuladores robóticos y máquinas-herramienta, tanto las modificaciones que se necesitan realizar a estos para ser utilizados en otras tareas como modificar algunos de sus parámetros no son posibles, debido a su estructura tanto interna como externa, las cuales están previamente definidas para realizar funciones específicas y difícilmente permiten modificaciones. Por ello hoy en día el desarrollo de controladores con arquitectura abierta es una opción que brinda a un sistema robustez y características para ser adaptado o modificado según las diferentes necesidades que tengan los usuarios finales. Se han realizado varios trabajos sobre este tema, a continuación se presentan algunas de las investigaciones relevantes, en las cuales se muestran los beneficios que conlleva la implementación de una arquitectura abierta en manipuladores robóticos industriales y máquinas-herramienta.

Gámez G. J., et al (1997), implementaron una arquitectura abierta para el control de cada una de las articulaciones de un robot industrial Stäubli RX60; desarrollaron una plataforma experimental para la implementación de algoritmos de control en robots manipuladores, esta plataforma es un manipulador industrial con 6 grados de libertad que cuenta con un controlador CS8. Para la implementación se integró un sensor de fuerza y un sensor de par que posteriormente se incorporaron a través de los puertos PCI (Interconexión de Componentes Periféricos) libres dentro de la placa base del manipulador. Para acceder a las rutinas de las articulaciones del robot utilizaron una serie de rutinas específicas denominadas LLI (Interfaz de

2

Nivel Bajo) las cuales generaban referencias de posición, velocidad o par. Por otra parte, para el diseño e implementación de la nueva arquitectura se utilizó la plataforma Tornado II® que junto con VxWorks 5.2®, ofreció las herramientas necesarias para la programación, depuración y monitorización de un sistema de control en tiempo real.

El sistema se dividió en 2 niveles; el primer nivel o nivel superior era el encargado de funcionar como interfaz entre los sensores y las tareas a realizar, este a su vez se encargaba de ejecutar el software de control en tiempo real. El segundo nivel o nivel inferior era el encargado de controlar el movimiento del robot basándose en el conocimiento de posición, velocidad y par que obtenían previamente a partir de las rutinas LLI, esto podía ser utilizado para tomar decisiones en el nivel superior. La estructura del sistema de control la dividieron en capas de programación (Fig. 1.1), debido a la complejidad del robot.

Fig. 1.1.- Arquitectura de capas del sistema de control para el robot Stäubli RX60 [3].

3

subetapas, la primera de ellas se encargaba del control del movimiento del robot; la segunda subetapa era la encargada de ejecutar el software de control en tiempo real, además servía como interfaz entre los sensores y las tareas a realizar. La tercera capa servo era la encargada de generar la relación entre el software y el hardware, esta etapa permitía definir las referencias de posición, velocidad o ambas.

Esta plataforma de control la probaron con el lijado del borde de un tablero circular. En la tabla 1.1 se muestra la relación directa que tenía el algoritmo de control con la realización de una tarea.

Tabla 1.1.-Relación de las capas de programación con la tarea a realizar por el robot Stäubli RX60 [3].

CAPA O NIVEL ACCIÓN A REALIZAR

Nivel de tarea Lijado del borde de un tablero

circular.

Nivel de programación Utilización del robot para indicar los puntos.

Nivel de ejecución Ejecución en tiempo real del proceso de lijado. Lectura y escritura de I/O. Control de la aplicación Utilización del algoritmo de control

multivariable diseñado. Control del movimiento Generación de trayectorias.

Control del brazo robot Configuración de los parámetros internos de control (Kp, Kv, K) de las

articulaciones así como

precompensación de la fricción. Control de los motores Aplicación de las señales físicas a los

motores.

4

Otro trabajo es el de Xuecai Z., et al (1997), quienes desarrollaron un sistema de control de un robot manipulador con arquitectura abierta basada en una PC (Computadora Personal) y una tarjeta conectada a un DSP (Procesador de Señal Digital), para esta arquitectura consideraron una plataforma operacional normalizada y un entorno con lenguajes de programación Microsoft C®, el cual debía ser suministrado a los usuarios, todo esto para darle al sistema un buen rendimiento además de universalidad.

El hardware del sistema (Fig. 1.2), estaba conformado por un equipo compatible PC, una tarjeta de control de movimiento DSP de varios ejes, servoamplificadores, fuente de alimentación y un robot manipulador. La PC se empleó como un sistema maestro, este se encargaba de proporcionar una interfaz operador-robot que contenía una plataforma operativa multifuncional y un entorno de programación fuera de línea en lenguaje C. Los servoamplificadores y la fuente de alimentación eran usados por los controladores del motor del robot manipulador. El controlador de movimiento DSP de varios ejes, lo utilizaron para la planificación y el control de movimiento de nivel bajo, incluyendo la programación de la cinemática, planificación de movimiento, señal de salida de control, vigilancia del estado del sistema y control de error. Todos estos componentes le brindaron al sistema universalidad y compatibilidad pudiendo así utilizarse en cualquier robot manipulador.

5

Fig. 1.2.- Arquitectura del hardware diseñada para el control de los movimientos del robot manipulador [12].

La plataforma operativa era una interfaz multifuncional hombre-máquina ejecutado en Windows. Dentro de la plataforma operacional existían diferentes requerimientos que la plataforma debía cumplir para que el programa pudiera ser ejecutado.

Fig. 1.3.- Bloques que conforman la arquitectura del software establecida para organizar las tareas a realizar por el hardware del manipulador [12].

6

operar el robot manipulador. El módulo de comunicación, estaba constituido por el programa anfitrión de comunicación, la comunicación buffer y el programa de comunicación DSP. Este módulo establecía el flujo de información entre la PC y el DSP. La librería de movimiento DSP, contenía todas las funciones llamadas por el temporizador ISR, las cuales están relacionadas con la cinemática del robot, la planificación de rutas de acceso y la interpolación, algoritmos de control, modos de operación y así sucesivamente.

El programa principal del DSP controlaba el programa timer ISR y supervisaba los comandos en tiempo real desde la PC. El programa ISR, servía como el módulo principal en el controlador de movimiento DSP de varios ejes. Esta propuesta de sistema la probaron en un mesa de trabajo de 2 ejes, las cuales se consideraban como 2 robots, en donde demostraron la fiabilidad y efectividad del sistema.

7

El desarrollo del sistema se presenta en la Fig. 1.4, en donde se muestra la estructura con la cual cubrieron los requerimientos para el control de un motor lineal permanentemente magnético. El sistema que desarrollaron se basó en el funcionamiento de un PMLM (motor lineal permanentemente magnético), del cual obtuvieron un modelo dinámico lineal basándose en los parámetros de inercia, constante de viscosidad, tensión de alimentación del motor, corriente de armadura, entro otros.

Fig. 1.4.- Modelo para el control de movimiento de un motor lineal permanentemente magnético [7].

Para el modelo del PMLM tomaron en cuenta las ondas presentes en el movimiento principal del motor, entre las ondas de fuerza del movimiento se encontraban las ondas parásitas que existían de manera permanente debido a la estructura magnética que presentaba el motor. En este mismo modelo también tomaron en cuenta la fricción ya que era una perturbación inevitable en el sistema mecánico, esta fricción la dividieron en estática y dinámica.

8

retroalimentación que implementaron fue diseñado usando la técnica de regulación cuadrática lineal para hacer robusto y óptimo el rendimiento nominal del sistema.

El sistema que propusieron también contaba con un observador de perturbaciones ya que estos se presentaban frecuentemente en el uso de PWM (Modulación por ancho de pulso), para controlar el motor, tomaron un sistema de tercer orden para el cálculo e implementación del observador del sistema, ya que con esta construcción podía ser ajustado para satisfacer el seguimiento requerido a pesar de las perturbaciones. Utilizaron un sistema de autoajuste para actualizar los parámetros utilizados en todas las alimentaciones y mantener la eficiencia en los modelos de las mismas y garantizar el rendimiento máximo.

Incluyeron un filtro Notch, el cual permitió eliminar las frecuencias de banda estrechas que aparecieron en el sistema, este filtro fue ajustado con las frecuencias de resonancia. Además utilizaron la transformada de Fourier para derivar iterativamente las frecuencias de resonancia del sistema y ampliar la resolución del filtro. Por último el error geométrico que surgía de las imperfecciones del diseño de su mecanismo lo solucionaron creando un compensador del error geométrico el cual partía del modelado de los errores de la máquina. Este modelo se hizo a partir del almacenamiento de los desplazamientos de la posición que se tenían cuando realizaron una calibración de los componentes del sistema.

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análisis de las señales lo hicieron con una tarjeta DS2001. El manejo de los actuadores lo asignaron a una tarjeta DS2101. La lectura de los codificadores rotatorios se hizo con una tarjeta DS3002 y la tarjeta DS4001 tenía la tarea de la lectura de los sensores de límite y proveía al sistema de un temporizador.

El desarrollo de la plataforma del software la realizaron en MATLAB® y SIMULINK®, estas plataformas de programación ofrecían las herramientas necesarias para desarrollar la programación del algoritmo de control del sistema. La interfaz de usuario que diseñaron la hicieron en el panel virtual CONTROLDESK® con el que contaba la tarjeta dSPACE. El sistema que desarrollaron, lo pusieron a prueba en un sistema de controlador lineal que utiliza MLPM, en este observaron el buen rendimiento que proveía el sistema, esto lo hicieron proponiendo una trayectoria senoidal (Fig.1.5), la cual siguieron con el controlador original con el que contaba el sistema del motor lineal (Fig. 1.6), cabe mencionar que el sistema utilizó codificadores rotatorios de alta resolución, comprobando la alta fidelidad con la cual contaba el sistema de arquitectura abierta que desarrollaron (Fig. 1.7).

Fig. 1.5.-Trayectoria para la comparación de funcionamiento con el controlador original y con el nuevo controlador para el MLPM [7].

10

Tiempo, s

Tiempo, s

Fig. 1.6.- Muestreo del seguimiento de la trayectoria y del error con controlador original del MLPM [7].

11

Se pueden encontrar aplicaciones más recientes como Lid Y., et al (2008), que desarrollaron una arquitectura abierta diseñada para el control de movimiento de una máquina CNC (Control numérico computacional), la arquitectura se desarrolló con el fin de implementar nuevos sistemas de maquinado para CNC. Los CNC requieren una estructura modular y una capacidad de reconstrucción rápida en software y hardware para cumplir con los requerimientos de desarrollo necesarios y así aplicar una estructura abierta en el control del maquinado de piezas.

La arquitectura que desarrollaron tenía una estructura modular para crear una arquitectura abierta en el CNC (Fig. 1.8). Los módulos de funciones necesarios para la arquitectura abierta los obtuvieron a partir del análisis del sistema y las partes más comunes de CNC. El primer módulo era la Interfaz Hombre-Máquina (HMI), esta realizaba las funciones de compensación y la modificación de los parámetros del sistema, entraba y editaba los procesos del programa del CN (control numérico), y a su vez mostraba la información de diagnóstico.

12

El módulo coordinador de tareas y el módulo generador de tareas eran los responsables de asignar tareas, coordinar la programación de módulos y revisar el vocabulario del CN. El módulo de grupo de ejes de grupo lo utilizaron para la interpolación de los puntos de la trayectoria a seguir y llevar a cabo el control de aceleración y desaceleración.

Por otro lado el módulo de grupo de ejes recibía instrucciones del módulo de eje de grupo y de la información de retroalimentación, llamaba las leyes de control del servomotor designadas por el usuario previamente para llevar a cabo el control de posición y velocidad, y finalmente enviaba señales de control para ejecutar las instrucciones. El módulo de software del PLC era utilizado para compilar y depurar programas del PLC. El módulo de información cinemática recibía información de la posición del módulo de eje de grupo y convertía al sistema de coordenadas la configuración de los puntos de las máquinas-herramienta.

Concluyeron que el estudio detallado de una arquitectura abierta para cualquier sistema provee las bases para el desarrollo de tecnologías nuevas que permite un aprovechamiento mayor del sistema. Desarrollaron una serie de módulos de software en un controlador de CNC abierto, aplicaron esta arquitectura modular a una máquina-herramienta de 5 ejes con resultados satisfactorios. Los procesos de configuración y aplicación mostraron que el paquete del software del controlador desarrollado en este trabajo tenía características ideales de modularidad, reutilización, flexibilidad de configuración, portabilidad, extensibilidad y escalabilidad, requerida por el sistema de control abierto y la arquitectura en una máquina-herramienta.

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abierta, esta plataforma fue diseñada con el fin de contar con un vehículo adecuado para diferentes experimentos de robótica móvil y visión artificial. La arquitectura abierta con la que se construyó esta plataforma permitía que fuese operada desde varios medios como microcontroladores, palms, computadoras portátiles, entre otros; otra ventaja con la que contaba esta arquitectura es que permitía colocar en el vehículo diferentes actuadores como cámaras, sensores, scanners y principalmente brazos robóticos. La estructura de la arquitectura abierta bajo la cual se diseñó toda la plataforma se muestra en la Fig. 1.9.

Fig. 1.9.- Arquitectura abierta de la plataforma móvil desarrollada [2].

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La parte mecánica para la tracción de las 2 ruedas traseras de la plataforma se llevaba a cabo mediante 2 motores de 24 VCD, estos eran alimentados mediante controladores de potencia tipo puente h, estos controladores tenían a su entrada señales tipo PWM las cuales eran las encargadas de indicar velocidad y dirección a los motores. Por otro lado para conocer la posición a la que se encontraban estos motores se utilizaban 2 codificadores rotatorios marca Autonic®, esto para mantener una referencia en el sistema en el lazo de control cerrado.

Para el control de la plataforma utilizaron un microcontrolador de 32 bits y procesador ARM, el cual operaba sobre un sistema operativo FreeRTOS® en tiempo real. El microcontrolador tenía la tarea de comunicar todos los periféricos utilizados en la plataforma tanto mecánicos como electrónicos; también era el encargado de regular los anchos de banda de los PWM, leer los codificadores rotatorios para actualizar la posición en el lazo de control y aplicar los diferentes algoritmos de control sobre la plataforma. El desarrollo que obtuvieron con la realización de este trabajo fue un vehículo adecuado para la investigación en robótica y visión por computadora, además la característica modular con la que contaba dicha plataforma era ideal por su flexibilidad para modificar o actualizar el software o hardware.

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maquinar, extrayendo los parámetros gráficos directamente del dibujo CAD (Diseño Asistido por Computadora).

El software de la PC fue diseñado para identificar y extraer la función de mecanizado, calcular los parámetros, administrar los datos, programar tareas y la interacción entre operador-equipo en la plataforma Windows. Estos datos se intercambiaban con PMAC mediante una librería de funciones del controlador solidificada en PMAC. La PMAC es una computadora con CPU (Unidad de Procesamiento Central) independiente. En esta, el usuario podía escribir su propio programa de movimiento y programa del PLC (Controlador Lógico Programable) para lograr un servo control multiejes.

Con respecto a los componentes que conformaban la estructura hardware (Fig. 1.10), como servomotores de corriente directa, servocontroladores y las rejillas, se seleccionaron para construir un sistema de control de movimiento de 3 ejes con PC y PMAC. Donde la función de la PC era la interacción hombre-máquina, la gestión de recursos, programación de tareas e impartir instrucciones, mientras que PMAC estaba a cargo de la recepción de instrucciones y de responder a la señal del lazo cerrado.

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Para controlar el mecanizado automático, los parámetros necesarios para la función de mecanizado eran identificados y extraídos desde el dibujo en CAD. El proceso de mecanizado se divide en 5 pasos: dibujo en CAD, identificación y extracción de las características de mecanizado, almacenamiento y organización de datos, cálculo de parámetros y por último la interpolación de la trayectoria como se muestra en la (fig. 1.11).

Fig. 1.11.- Principio del maquinado CNC basado en el operador gráfico CAD [11].

Para realizar la interpolación de trayectoria de acuerdo a los parámetros gráficos, el programa correspondiente de movimiento PMAC era compilado y el modelo de interpolación adecuado era seleccionado para cada tipo de gráfica. PMAC contaba con una librería que se utilizaba de manera directa para una interpolación de trayectoria simple, como una línea, un punto, un círculo, pero si el dibujo presentaba curvas complejas, debía dividirse en varias secciones.

Realizaron la prueba de grabado en un avión, observaron que el sistema CNC ya no necesita demasiada interacción hombre-máquina, la eficiencia del maquinado mejoró de manera notoria pues el seguimiento de la trayectoria de grabado fue muy preciso, además de eliminar el uso del código CN (Control Numérico), llegaron a la conclusión que el sistema de maquinado inteligente CNC se puede realizar.

Dibujo

CAD Identificación y extracción de características

Almacenamiento y organización de datos

Cálculo de parámetros

Interpolación de trayectoria

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18

Capítulo 2. Fundamentos de Robótica

Para el análisis del movimiento y control de un manipulador robótico, es importante conocer los fundamentos teóricos que rigen el comportamiento del mismo. En este capítulo se presentas los conceptos elementales para análisis cinemático y dinámico de un manipulador robótico de cadena abierta, y la sintonización del controlador basado en el modelo matemático de un manipulador.

2.1. Robots Manipuladores

Un robot manipulador es un sistema electromecánico, que representa una cadena cinemática abierta donde solamente un eslabón se encuentra fijo en tierra y los demás libres, lo que permite un movimiento libre de la cadena. El robot manipulador se caracteriza por poseer un efector final que permite manipular objetos, o una herramienta para realizar trabajos de manufactura, maquinado y ensamble de piezas, corte entre otros.

Un manipulador se reconoce según sus grados de libertad, que es el número de parámetros que se necesitan para provocar una reacción o movimiento en un cuerpo, en este caso en un mecanismo. Los grados de libertad se calculan con la expresión de Grubler-Kutzbach (ec. 2.1):

(2.1)

19

Un manipulador puede tener tantos grados de libertad como se desee según el trabajo o acción que se quiera realizar, pero además de los grados de libertad un manipulador se puede clasificar según su unión o junta.

2.2. Cinemática del Manipulador

El manipulador al ser un mecanismo de cadena abierta, posee eslabonamientos que están unidos por juntas ya sean de revolución, prismáticas, esféricas o cilíndricas, para realizar el análisis del movimiento de un manipulador, así como la determinación de velocidades, aceleraciones y diseñar leyes de control en función a su modelo dinámico se necesita de cierta información física del mismo con lo cual se acude a la cinemática y a la dinámica. En esta sección se presenta el análisis de la cinemática directa e inversa del robot.

2.2.1 Cinemática Directa

La cinemática directa estudia el movimiento del robot teniendo en cuenta que se tiene un vector de posiciones articulares el cual es transformado a coordenadas cartesianas:

20

El manipulador al ser un conjunto de cuerpos rígidos posee un movimiento que combina los movimientos de rotación como de traslación llamado movimiento plano general, provocando una secuencia de movimientos. Para analizar el movimiento de los eslabones se considera que están colocados sobre un sistema de referencia fijo y se analiza el movimiento de rotación, la rotación se realiza al colocar una matriz de transformación la cual mueve las coordenadas del sistema fijo a uno móvil OUVW. Se tiene que existe el sistema OXYZ [8], y un sistema de coordenadas móvil OUVW el cual se encuentra unido al sistema fijo. Además se supone que se tiene un punto

y se desea conocer la posición de ese punto al girarlo , esto se

logra al tener un matriz de transformación R(.,.) (ec. 2.3) tal que de esa transformación se realice un cambio de coordenadas.

(2.3)

Existen tres matrices de transformación que se dan en los tres ejes principales, esto para representar las rotaciones con respecto a los ejes principales. La primera rotación se da con respecto al eje OX (fig. 2.1), y ángulo por lo que la matriz de rotación es la siguiente (ec. 2.4):

21

La rotación de un ángulo con respecto al eje OY (fig. 2.2) se muestra en la matriz de rotación siguiente (ec. 2.5):

(2.5)

Fig. 2.2.- Rotación en OY [1].

Por último la rotación con un ángulo respecto al eje OZ (fig. 2.3) está representada con la siguiente matriz (ec. 2.6):

22

Para hallar la información inversa conociendo el sistema de coordenadas (x, y, z) y expresarlo en las coordenadas (u, v, w), se puede construir la matriz inversa de rotación que es la transpuesta de la matriz de rotación (ec. 2.7).

Puede representarse una secuencia de rotaciones que se obtiene al multiplicar las matrices de rotación con respecto al eje de giro principal y del ángulo a rotar de manera ordenada, teniendo precaución al ordenar las secuencias ya que el resultado puede cambiar debido a que los productos de matrices no conmutan. Para representar una secuencia de rotaciones se tienen que multiplicar las matrices de rotación por cada ángulo y eje de giro. Para una rotación del ángulo  con respecto al eje OY seguida de una rotación del ángulo con respecto al eje OZ y por una rotación del ángulo

con respecto al eje OX la secuencia de rotaciones se muestra a continuación (ec. 2.8):



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la segunda y tercera columna de la matriz de rotación, por lo que los vectores columna de la matriz de rotación equivalen a los ejes principales OUVW con respecto al sistema base. Al realizar la transpuesta de la matriz de rotación los vectores fila representan los ejes principales del sistema OXYZ con respecto al sistema OUVW.

El concepto de matriz de transformación homogénea se utiliza para el análisis de movimiento que realiza el manipulador tanto de rotación y traslación, esta matriz proviene del concepto de coordenada homogénea la cual es resultado de añadir una cuarta componente a las coordenadas originales del espacio tridimensional (ec. 2.9) [8]:

La expresión anterior expresa que teniendo un sistema de coordenadas N se le aumenta otra componente resultando un sistema de coordenadas N+1, por lo que a esto se le llama representación con coordenadas homogéneas, el vector físico original se obtiene dividiendo la coordenada homogénea entre

w, en el espacio tridimensional un vector de posición , se puede representar de forma ampliada por un vector . Una matriz de transformación homogénea es una matriz de 4x4, que realiza una transformación de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro; esta matriz está constituida de 4 submatrices, cada submatriz representa tanto una rotación, una traslación y una perspectiva del sistema de referencia fijo y uno móvil (ec. 2.10):

24

Por lo tanto la matriz de transformación homogénea se puede representar de la siguiente manera (ec. 2.11):

Si se escoge un punto fijo en el sistema de coordenadas OUVW expresado también como una coordenada homogénea ;o sea que el punto representa el origen del sistema de referencia OUVW, entonces de la matriz (ec. 2.11) la columna superior derecha representa la posición del origen del sistema OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ, ahora si se hacen coincidir los orígenes de los ejes, se tiene que la componente (n) de la matriz de transformación homogénea representa las coordenadas de el eje OU con respecto al sistema OXYZ. La componente (s) representa las coordenadas de el eje OV con respecto al sistema base y la componente (a) representa las coordenadas del eje OW con respecto al sistema base, formando así las componentes de diseño del manipulador con respecto a el eje base (OXYZ). Tomando en cuenta que se tiene una cadena cinemática abierta, la cual posee un elemento fijo o base, se toma en consideración que el manipulador está compuesto por un elemento i, y el elemento anterior como i-1, entonces con la matriz de transformación homogénea se quiere expresar la posición y orientación de ese punto que está en OUVW con respecto al sistema OXYZ la transformación de coordenadas se específica con la siguiente expresión (ec. 2.12):

25 Donde:

= Vector de posición con coordenadas ampliadas 4x1, que representa el punto

en el sistema de coordenadas del elemento i, en coordenadas homogéneas.

= Vector de posición con coordenadas ampliadas 4x1, que representa el

mismo punto en términos de las coordenadas del sistema i-1.

T= Matriz de transformación homogénea que transforma la información de las

coordenadas del sistema móvil al fijo i-1.

2.2.2. Representación de Denavit-Hartenberg

Si se desea realizar un análisis cinemático del manipulador en torno al movimiento del efector final, para visualizar como se está moviendo el elemento i con respecto al elemento i-1; se utiliza una matriz de transformación homogénea T que transforma todas las coordenadas homogéneas del sistema OUVW con respecto a la base o también con respecto al elemento anterior. Denavit y Hartenberg propusieron un método basado en matrices, donde se encuentran los parámetros geométricos del manipulador y a su vez las variables de articulación ya sea si son de revolución o prismáticas acomodándolas en una matriz de transformación homogénea.

26

Para desarrollar el método de Denavit-Hartenberg, la figura (fig. 2.4) muestra cómo se colocan los ejes principales de la articulación además de los elementos que compone la cadena cinemática, los parámetros geométricos de la articulación y del elemento:

Fig. 2.4.- Elementos de una cadena cinemática y sus ejes.

Los parámetros de Denavit- Hartenberg son que están asociados a cada elemento del manipulador, estos cuatro parámetros vienen en pares esto es y que son los parámetros asociados al elemento del manipulador y los otros dos pertenecen a la articulación del mismo pero a su vez determinan la posición relativa de los elementos vecinos. Los parámetros de Denavit- Hartenberg son:

: Es el ángulo de la articulación del eje hacia el eje , con respecto al eje usando la regla de la mano derecha.

: Es la distancia dese le origen del sistema (i-1)-esimo hasta la intersección el eje con el eje a lo largo del eje

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: Es el ángulo de separación del eje hacia el eje , con respecto al eje , siguiendo la regla de la mano derecha.

Estos parámetros se determinan con una serie de pasos, en los que primero se deben situar sistemas de referencias para cada articulación ya sea de revolución o prismática, las reglas para hallar los sistemas de referencia se enuncian a continuación:

a) Se debe situar el sistema base de tipo ortonormal, con lo cual el eje se coloca en el eje de giro del primer eslabón.

b) El eje o se encuentra a lo largo de la normal común entre los

ejes y , o aplicando el producto vectorial

.

c) El eje se resuelve completando el sistema dextrógiro usando la regla de la mano derecha.

d) Se tiene que encontrar el sistema de referencia de la mano, esta articulación a veces es de tipo giratoria, el eje se sitúa a lo largo del eje y apuntando hacia afuera del robot, establecer a tal que sea normal a los ejes y , y completar el sistema dextrógiro con

.

Obteniendo esos parámetros se puede construir una matriz de transformación homogénea, esta matriz se produce al realizar los movimientos básicos para trasladar el origen (i-1) al eje i haciendo coincidir sus ejes, la secuencia de movimientos y las operaciones matriciales se muestran a continuación:

28

2. Se traslada el sistema de referencia con lo cual su origen se desplaza una distancia hacia arriba y se hace coincidir los ejes. 3. Se traslada una distancia el sistema de referencia hacia el

sistema , a lo largo del eje , para hacer coincidir los ejes.

4. Se mueven los sistemas de referencia coincidentes un ángulo con respecto al eje .

La expresión (2.13) representa los movimientos que realiza el sistema de referencia (i-1) hacia el sistema i, la matriz (2.13) es la matriz de transformación homogénea de Denavit-Hartenberg, la cual representa la rotación y traslación de los sistemas de referencia para cada eslabón con respecto al anterior. La matriz 2.17 varía según el número de eslabones que tenga el manipulador, entonces al multiplicar cada matriz siguiendo la secuencia hasta el último eslabón lo que se obtiene una matriz de transformación T, la cual relaciona el movimiento del eslabón i con respecto al eslabón (i-1) para conocer la posición y orientación del efector final con respecto a la base, [8].

La matriz de transformación T agrupa todas las matrices de Denavit- Hartenberg de cada elemento (i a i-1), la cual está expresada con la siguiente ecuación:

29

La ecuación 2.14 representa la cinemática del manipulador, y proporciona la información de rotación y traslación del efector final con respecto a la base. Si se tiene un punto dado por las coordenadas homogéneas del efector final

, se puede obtener un nuevo vector definido por las coordenadas de la base , esto se hace premultiplicando este vector por la matriz de transformación T, (ec. 2.15):

De la ecuación 2.14 se tiene que la ecuación cinemática del brazo es la siguiente, (ec. 2.16):

Donde los elementos (n, s, a, p), son los elementos de la normal, el desplazamiento, la aproximación y la posición del efector final con respecto al sistema de la base. El cálculo de la matriz T también se puede efectuar obteniendo todas las matrices D-H pero para facilitar el cálculo se multiplica por partes y después se multiplican las dos partes existentes.

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esta matriz proporciona la información de cómo se mueve el efector final con respecto al eslabón anterior o a la base.

2.2.3. Cinemática Inversa

La cinemática inversa es otro estudio cinemático, en la cual se cuenta con un vector de coordenadas cartesianas, que representa la posición y orientación del efector final, y se requiere conocer el valor de las posiciones angulares del manipulador. El problema de la cinemática inversa es que no se calcula de manera directa ya que se requieren solucionar ecuaciones no lineales, estas ecuaciones no lineales provienen de los elementos de la matriz de transformación homogénea de brazo y se tienen que resolver por métodos numéricos como el de Newton-Raphson.

Un método utilizado para la solución de la cinemática inversa es el método de desacoplamiento el cual desacopla la posición de la orientación del manipulador, este método se utiliza para manipuladores de 5 o 6 grados de libertad en el que primero se resuelven para los ángulos inferiores y después se resuelve en este caso la orientación del efector final. Para los primeros ángulos se resuelve por el método geométrico en el cual se utilizan relaciones trigonométricas y resolución de triángulos que son formados por los elementos y articulaciones del manipulador, para comenzar el análisis se tiene la siguiente estructura del manipulador (fig. 2.5).

Para comenzar se tiene que el primer ángulo que esta especificado por se calcula de manera directa utilizando la ecuación 2.17.

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Fig. 2.5.- Geometría de los elementos de un manipulador articulado.

Para calcular el ángulo se necesita conocer primero la magnitud del vector r (ec. 2.18):

Teniendo esa magnitud, se procede a calcular el valor del ángulo donde se tiene que los eslabones del manipulador forman un triángulo y es necesario resolverlo por ley de cosenos, la expresión que se utiliza para el cálculo del tercer ángulo es (ec. 2.19):

Teniendo la expresión anterior se continúa despejando la parte donde se encuentra el coseno, resultando la ecuación 2.20:

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De la identidad trigonométrica del coseno y seno cuadrado se despeja el seno del tercer ángulo obteniéndose la expresión 2.21:

Se observa en la ecuación anterior que contiene dos signos, esto debido a que la resolución por este método contiene dos soluciones, las cuales pertenecen a las dos posibles formas que se puede llegar al punto cartesiano deseado, ya sea por la configuración codo arriba o codo abajo, esto se realiza si existen obstáculos o restricciones que el programador quiera evitar. Teniendo las partes de seno y coseno del ángulo este se calcula obteniendo una identidad que es la de la tangente, despejando el ángulo se obtiene lo siguiente, (ec. 2.22):

Para obtener el ángulo se tiene que la base de le triángulo isósceles como un vector calculándose primero el ángulo (ec. 2.23), y para completar el cálculo se obtiene de la misma ley de cosenos el ángulo (ec. 2.24), al final el ángulo es la suma o resta de esos dos ángulos, dependiendo de la configuración se solución que se elija (ec. 2.25):

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En algunos manipuladores en la parte del efector final los últimos tres sistemas de referencia se interceptan en un mismo punto, lo cual provoca que se pueda hacer un desacoplamiento, al ya tener un previo análisis de la geometría de los eslabones se procede a calcular los últimos 3 ángulos o 2 ángulos si es de 5 grados de libertad. Lo anterior se realiza desacoplando la orientación del manipulador que proviene de la matriz de rotación (3 x 3) que se encuentra en la matriz de transformación homogénea de brazo (ec. 2.16), por lo que los términos de la matriz de rotación quedan de la siguiente forma, (ec. 2.26):

Teniendo la matriz de rotación de brazo se desacopla la matriz si n=5 ó si n=6, después se multiplica la matriz inversa de rotación de los ángulos conocidos que son los tres primeros ángulos de manipulador por la matriz de rotación total, después igualando términos los ángulos restantes se obtienen usando relaciones trigonométricas básicas, (ec. 2.27).

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Fig. 2.6.- Descomposición del efector final a los 3 ángulos.

Donde en algunas ocasiones el valor de b está asociado con el parámetro

geométrico (de Denavit-Hartenberg) [d], que está situado en algún punto

cercano al efector final.

2.2.4. Análisis de la Velocidad y Aceleración

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velocidad; primero gana velocidad angular y debida a esta gana velocidad que se expresa en coordenadas cartesianas sobre el punto extremo, este análisis se realiza con un estudio de las velocidades relativas y el movimiento plano general fig. 2.7:

Fig. 2.7.- Determinación de la velocidad de un cuerpo rígido.

Por lo tanto, la velocidad de un cuerpo rígido depende de la velocidad angular y del vector de posición relativo del punto extremo y la base, por lo tanto, (ecu. 2.29):

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La ecuación (2.30) depende de los grados de libertad que posee el manipulador, el vector de velocidades cartesianas que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad representa el espacio de velocidades cartesianas definida en las tres dimensiones (x, y, z) y las velocidades angulares debidas a la reacción de movimiento de los eslabones, por lo que proporciona un vector de 6x1. Para obtener la estructura de cada Jacobiano se requiere realizar el método del producto vectorial, (ec. 2.31), [8]:

Donde:

: Representa al vector unidad a lo largo del eje de movimiento de la

articulación i expresado en las coordenadas del sistema base.

_{: Es la posición del origen del sistema de coordenadas de la mano desde el}

i-1 -esimo sistema de coordenadas expresado en el sistema de la base.

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Para un manipulador de 3 grados de libertad el Jacobiano queda de la siguiente manera, (ec. 2.32):

Por lo tanto para cualquier grado de libertad el Jacobiano queda expresado como la ecuación 2.31, esta ecuación se efectúa si se pretende conocer la velocidad cartesiana del efector final, para la cinemática inversa se conocen las velocidades en coordenadas cartesianas y se requiere obtener las velocidades articulares del mismo, esto para saber con qué velocidades articulares se cuenta para alcanzar una trayectoria deseada, o también sirve para obtener la retroalimentación de velocidad para un control PD. Por lo tanto la expresión para la cinemática inversa queda expresada de la siguiente forma:

La matriz Jacobiana al aumentar el número de grados de libertad esta crece de forma rectangular haciendo que sea singular y por lo tanto no se puede obtener la matriz inversa por lo que se recurre a la pseudoinversa de Moore-Penrose, (ec. 2.34):

Para obtener la aceleración del efector final se requiere obtener la derivada de la velocidad realizándose la regla de la derivada de una multiplicación:

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Esta expresión es similar a la aceleración de un cuerpo rígido en movimiento, lo cual hace que se genere una aceleración normal y una tangencial, por lo que la analogía queda de la siguiente forma, (ec. 2.36):

Para la cinemática inversa se tiene que, (ec. 2.37):

2.3. Dinámica del Manipulador

La dinámica es el estudio del movimiento o cambio de estado de un sistema o de un cuerpo, conociendo las causas que lo producen, esas causas pueden ser fuerzas o pares aplicados al cuerpo. El estudio detallado del movimiento es de suma importancia para el diseño de controladores ya que el control necesita de la información del comportamiento dinámico del sistema.

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Fig. 2.9.- Cuerpo rígido con fuerza de entrada.

La barra comienza a moverse adquiriendo velocidad angular, por lo tanto la barra adquiere energía cinética (ec. 2.38):

La masa de la barra no es total si no que es puntual y divididos en pequeños intervalos de distancia r, por lo que la expresión de la energía cinética queda expresada como (ec. 2.39):

Por lo tanto el termino J de la ecuación (ec. 2.39) es llamado momento de

inercia del cuerpo rígido, el momento de inercia es una propiedad en la que existe una resistencia que se opone al movimiento angular del cuerpo o al cambio de estados, depende de la distribución de la masa; además de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.

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El estudio de la dinámica puede ser calculado por métodos conocidos como la ley de Newton, la formulación de Newton-Euler y la de D’lambert, los

últimos dos resultan ser muy eficientes por el número de operaciones que se efectúan. Un método utilizado para el análisis de la dinámica del manipulador, es el método de Euler-Lagrange el cual utiliza el concepto del Lagrangeano; el Lagrangeano es la diferencia de las energías cinética y potencial y las acomoda en una funcional como en (ec. 2.41):

La expresión (ec. 2.42) es la formulación de Euler-Lagrange esta expresión depende de un vector [ ] y de [ ] que representan las coordenadas generalizadas del manipulador, el vector de posición y velocidad articular del manipulador por cada elemento, esta expresión también depende del Lagrangeano que es la diferencia de las energías cinética y potencial de cada eslabón. Esta expresión está igualada a un par aplicado por cada elemento, esto es similar a la Ley de Newton donde la interacción de las velocidades y las inercias del cuerpo rígido o los cambios de estado del mismo son debidos a la aplicación de un par. Este análisis da como resultado la ecuación dinámica de movimiento del manipulador lo cual es expresado con una ecuación diferencial de 2 ° orden, (ec. 2.43):

41 Donde:

D: Es la matriz de inercia.

H: Es la matriz de fuerzas Centrífugas y de Coriolis.

G: Son los pares gravitacionales.

El método de cálculo que se utiliza es el matricial, en el solo se efectúan las operaciones básicas de sumatoria y producto de matrices, además de ser recursivo ya que la sumatorias cambia según el número de elementos del manipulador. Se tiene en cuenta que el manipulador es una cadena de elementos o barras rígidas, la cual al moverse el eslabón de entrada provoca que el siguiente eslabón se mueva o sea crea una reacción compartida con los siguientes eslabones.

Se tiene que para el modelo dinámico se necesita de la energía cinética, lo cual se requiere del conocimiento de la velocidad de cada articulación, se puede encontrar deduciendo la velocidad en un punto en el elemento i, además de analizar los efectos del movimiento de otra articulación sobre todos los puntos de ese elemento:

42

La figura 2.10 indica que existe un punto sobre el eslabón i, y que se coloca un vector que va desde el inicio de la articulación hasta ese punto, se tiene que este vector está expresado en las coordenadas homogéneas como la expresión 2.44:

Se necesita la matriz de transformación D-H la cual relaciona el desplazamiento espacial del elemento i-esimo con respecto al sistema de coordenadas del elemento i-1, entonces haciendo uso de la ecuación 2.14 se tiene que para encontrar la velocidad de que ahora esta expresado desde el elemento i hasta la base se debe realizar la operación (2.45), [8]:

Para obtener la forma reducida anterior el vector se encuentra en reposo, por lo que su velocidad es nula. Se tiene que la variable q representa la coordenada generalizada tanto de posición y velocidad articular, ahora para obtener la derivada parcial y evitar el uso de la derivada se puede premultiplicar por una matriz Q, que para articulaciones giratorias es la siguiente [1], (ec. 2.46) y (ec. 2.47):

43

Para articulaciones prismáticas se tiene:

Para hallar la derivada parcial se tiene, (ec. 2.48):

Se puede reducir más la expresión 2.48 haciendo uso de una matriz U, la ecuación 2.48 o su forma compacta expresa el efecto de movimiento de la articulación j sobre todos los puntos del elemento i, o la velocidad de cambio de los puntos sobre el elemento i relativo al sistema de coordenadas de la base cuando (q) cambia, al expandir la expresión 2.48 da como resultado la

siguiente expresión [8]:

La velocidad queda expresada de la siguiente forma:

44

Al tener la velocidad del eslabón se procede a determinar la energía cinética del mismo, para hallar la energía cinética se tiene que la masa es puntual, o sea se determina un diferencial de la masa, para no usar el producto escalar se utiliza la traza de la multiplicación del cuadrado de las velocidades, se tiene que la energía cinética es:

Reacomodando términos se obtiene, (ec. 2.53):

Donde la expresión anterior resulta ser la energía cinética del manipulador que depende de cada eslabón, integrando la función de la energía cinética, (ec. 2.54):

45

sistema de coordenadas i-esimo. Ahora se expresa la inercia como un tensor, (ec. 2.55):

Tomando el radio de giro de cada eslabón con respecto al sistema de referencias (x, y, z), y el vector del centro de masas que va desde el sistema de coordenadas i-esimo hacia el mismo sistema i-esimo:

Por lo tanto la energía cinética del manipulador es la siguiente tomando en cuenta el tensor de inercia (ecu. 2.57):

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Ahora para la ecuación de movimiento del manipulador se tiene que para hallar la formulación de Euler-Lagrange se debe construir la función Lagrangeana, (ecu. 2.59):

Aplicando la formulación de Euler-Lagrange, con respecto a las coordenadas generalizadas de velocidad y posición angular a la expresión anterior, se tiene la ecuación 2.60:

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La matriz de inercia es una matriz cuadrada y simétrica, esta matriz contiene la información de la inercia y la masa del manipulador, (ec. 2.61):

Para hallar los elementos de la matriz de inercia se utiliza una modificación del primer elemento de la ecuación 2.61, el cual constituye que se debe encontrar el máximo de los subíndices de la expresión 2.62:

Obteniendo cada componente se coloca cada una en la matriz anterior. La matriz que sigue es la que contiene los coeficientes que están relacionados con la velocidad en los términos de Coriolis y centrífugos, esta matriz también es simétrica y depende de cada elemento del manipulador, las matrices de cada articulación se encuentran por separado y son de la siguiente forma:

También para hallar cada elemento se requiere hacer una modificación de la expresión dada por la ecuación de movimiento, por lo que la expresión queda de la siguiente manera:

48

Este procedimiento se tiene que hacer por cada articulación por lo que en este caso se debe hacer n veces cada sumatoria, el término de Coriolis depende de su velocidad articular, por lo que se define un vector de velocidades:

Los términos de Coriolis y centrífugos se expresa en términos de producto matriz-vector, (ec. 2.64):

Los términos de pares gravitacionales se pueden expresar de la siguiente forma:

Las componentes del vector se encuentran con la ecuación, (ec. 2.66):

Por lo tanto a reagrupar los términos se tiene que la ecuación dinámica del manipulador es de la siguiente forma, (ec. 2.67):

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Cada coeficiente que se encontró y que se muestran en la expresión 2.67 tiene el nombre de coeficientes dinámicos del manipulador. El coeficiente representa a la matriz de inercia del manipulador, está relacionado con la aceleración de la articulación; si i=k está relacionado con la aceleración de la articulación i debido a la acción del par , pero cuando está relacionado con el par inducido por la aceleración de la articulación k y actuando sobre la articulación i.

El coeficiente , representa la velocidad de las variables de la articulación, los subíndices km están relacionados con la velocidad de las articulaciones k

y m, la relación dinámica hace que se induzcan fuerzas de reacción en la articulación i, cuando k=m se produce la fuerza centrífuga generada por la velocidad angular de la articulación k sentida en la articulación i, y si k es diferente que m se relaciona con la fuerza de Coriolis generalizada por las articulaciones k y m. Se tiene en cuenta que la ecuación dinámica mostrada proporciona coeficientes dinámicos del manipulador, por lo que esta expresión es útil para la obtención de parámetros de control ya que los sistemas de control se basan en el comportamiento dinámico del mismo, también esta expresión es útil para hacer la programación por computadora del modelo dinámico y para que el cálculo de leyes de control sea más eficiente.

2.4. Control del Manipulador

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compararla con la referencia, el controlador en su algoritmo va a corregir inmediatamente dicho error, el esquema general de un sistema de control se muestra en la figura 2.11.

Para un manipulador industrial el objetivo del control resulta en llevar el efector final hacia una trayectoria planificada, asegurar la posición que se le asigne, además de regular la velocidad, en un manipulador la variable controlada es la respuesta de posición y velocidad angular. La entrada del sistema es la ley de control que es un par asignado por el controlador (fig. 2.12).

Fig. 2.11.- Esquema clásico de un sistema de control retroalimentado.

Fig. 2.12.- Esquema del Robot como un sistema a lazo abierto.

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Para crear la ley de control para un manipulador, se puede realizar la sintonización de controladores ya sea por accionador o por el conocimiento del modelo dinámico, otro método usado para el control de movimiento del manipulador es usando el esquema de par calculado. Para obtener la estructura de la ley de control se necesita el conocimiento de la posición, la velocidad de salida y de la referencia, para conocer la velocidad de retroalimentación se requiere la integración de un bloque adicional que calcule los Jacobianos, la referencia que se propone para el esquema son los puntos a los que el efector final puede llegar; estos puntos están especificados en coordenadas cartesianas por lo que se hace uso de la cinemática inversa del manipulador tanto para la posición articular como para las velocidades.

2.4.1. Control PD (Proporcional-Derivativo) o Realimentación de velocidad