FUNCIONES Trigonométricas

1

Á

2

F

S

F

C

3

F

T

4

V

F

T

CONOCIDOS

5

I

T

.

OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina ángulo.

ƒ Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.

ƒ Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son identidades o no.

ƒ Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.

1 ÁNGULO.

ÁNGULO

es la abertura que existe entre 2

semirectas que tienen un punto común de

intersección.

Esquemáticamente tenemos:

1.1 PATRÓN DE MEDIDA

La

MEDIDA DE UN ÁNGULO

es la cantidad

de rotación que tiene que realizar el lado

inicial para coincidir con el lado terminal.

Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.

La medida de un ángulo se la expresa en:

¾ GRADOS (patrón referencial); y/o

¾ RADIANES (patrón de números reales)

Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:

π = D

180 Radianes

Se lo puede denotar de la siguiente manera

A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia tenemos:

GRADOS RADIANES D

30

6

π

D

45

4

π

D

60

3

π

D

90

2

π

D

150

6 5π

D

180 π

D

210

6 7π

D

270

2 3π

D

300

3 5π

D

330

6 11π

D

360 2π

D

135

D

120

D

225

D

315

2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO

La regla de correspondencia para la función seno es f(x)=senx, y para la función coseno f(x)=cosx, donde x denota un ángulo.

Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.

Completar

Note que aquí la variable independiente “x” representa a un

ángulo

En cada posición de giro del radio vector (ángulo “x”) , la ABCISA del vértice indica

Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos:

CONCLUSIONES:

¾ Dom(senx)= Dom(cosx)=IR

¾ Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.

¾ Sus gráficas presentan SIMETRÍA.

El seno es una función impar. Por tanto sen(−x)=−senx

El coseno es una función par. Por tanto cos(−x)=cosx

¾ Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período T =2π .

Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si f(x±T)= f(x)

Por tanto sen(x±T)=sen(x) y cos(x±T)=cos(x)

¾ Son FUNCIONES ACOTADAS.

Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si ∀x

[

]

Note que rg=(senx)=rgcosx=

[ ]

1 sen

1≤ ≤

− x ∧ −1≤cosx≤1

π π π

π π π

π π

2 sen 0

2 3 sen 1

sen 0

22 3

2 sen 1

0 sen 0

sen

2 0

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

= −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

=

x x

π ππ

π π π

π π

2 cos 1

2 3 cos 0

cos 1

2 2 3

2 cos 0

0 cos 1

cos

2 0

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

= −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

=

_OPCIONAL

Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales serían las características de las gráficas de:

¾ y =2senx.

Generalice y=Asenx donde A≡amplitud

¾ y =sen(x−π₆).

Generalice paray=sen(x±Φ) donde Φ≡desfase

¾ y =sen(2x).

Generalice paray=senω x donde ω ≡ frecuenciaangular

Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden ser generalizadas de la siguiente forma:

y= Asen(ω(x±Φ)) donde

T π

ω=2 entonces

ω π

2

=

T

y= Acos(ω(x±Φ))

Ejercicios Propuestos 1

GRAFIQUE: 1. y=−sen(x)

2. y=sen(−x)

3. y=sen(x) 4. y=senx 5. 2 ( ) 1

3 +

− = senx π y

3 FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente se define como x x x

y tg

cos sen

= =

Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en cosx=0. Es decir en ; 0,1,2,...

2 ) 1 2

( − =

±

= n n

CONCLUSIONES:

¾

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧_{± − =}

−

= ; 0,1,2,...

2 ) 1 2 ( )

(tgx IR n n

Dom π

¾ rg(tgx)= IR. Por tanto, no es una función acotada

¾ Es una función periódica, con período T =π . Entonces

T π ω =

¾ Es una función impar. Por tanto tg(−x)=−tgx

¾ En general, la regla de correspondencia sería y= Atg(ω(x±Φ))

OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 2

GRAFICAR:

1. y=−tg(x) 2. y=tg(−x) 3. y=tgx 4. y=tg(x) 5. y=tgx 6. ( )

3

π

− =tg x y

4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA

ÁNGULOS CONOCIDOS

Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una calculadora.

Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.

x senx cosx tgx

0 0 1 0

D 30

6 =

π

2 1

2 3

3 3

D 45

4 =

π

2 2

2

2 1

D 60

3 =

π

2 3

2

1 ₃

D

90 2=

π _{1 0 ∞}

D

180

=

π 0 −1 0

D 270 2

3π_{= −1} 0 ∞

D 360

La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es de mucha ayuda.

4.1

En todo triángulo rectángulo (triángulo que

tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la

longitud de su hipotenusa es igual a la suma

del cuadrado de las longitudes sus catetos.

Es decir: 2 2 2

b a

c = +

4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo

Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:

sen

Hipotenusa opuesto Lado

x = 6

c a

x=

sen

cos

Hipotenusa adyacente Lado

x = 6

c b

x=

cos

tg

adyacente Lado

opuesto Lado

x = 6

b a

x=

tg

También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:

COSECANTE

:

a c x

x= =

sen 1 csc

SECANTE

:

b c x

x = =

cos 1 sec

COTANGENTE:

a b x

x= =

4.3 Funciones trigonométricas para D

45 , 30D y 60D.

Para D

45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.

Digamos a=b=1, entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos que c= 12 +12 = 2

Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos l =2

Ejercicio resuelto

La operación

(

)

D D D 45 cos 45 sen 30 sen 45 tg 4 60 csc 30 tg 2 60

sen2 + − − + da

como resultado: a)

4

9 _b)

4 9

− c) 1 d) 0 e) -1

SOLUCIÓN:

Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:

4 9 4 12 3 3 4 3 4 6 3 2 4 3 4 2 2 1 1 4 2 3 3 3 2 4 3 2 2 2 2 2 1 1 4 3 2 3 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 2 − = − = − = − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ / / / + = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ / / + − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ /

RESPUESTA: Opción "b"

Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar lo siguiente:

2 1 45

sen D = ó

2 2 45

sen D =

2 1 45

cos D = ó

2 2 45

cos D =

1 45 cos 45 sen 45 tg = ° ° = D ⇒ 2 1 30

sen D =

2 3 60

sen D =

2 3 30

cos D =

2 1 60

cos D =

3 3 3 1 30

1. Regla del cuadrante:

Cuadrante x

I 0<x<π₂ f(x)= f(x)

II π₂ <x<π f(x)=±f(π −x)

III π < x<3π₂ f(x)=±f(x−π) IV 3π₂ < x<2π f(x)=±f(2π−x)

El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:

2. Regla de los signos

Cuadrante x senx,cscx cosx,secx tgx, ctgx

I 0< x<π₂ + + +

II π₂ < x<π + - -

III π < x<3π₂ - - +

IV 3π₂ < x<2π - + -

Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los respectivos cuadrantes son:

Ejemplo 1

Para calcular sen135D, debemos considerar que:

1.En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo. 2._sen135D _{=sen(180°−135°)=sen45}D _{= 2}2

Ejemplo 2

Para calcular D 210

cos , debemos considerar que:

1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo. 2. _cos210D _{=−cos(210°−180°)=−cos(30}D₎₌₋ 3

Donde

tg sec, csc,

tg cos, sen,

c f

Ejemplo 3

Para calcular tg300°, debemos considerar que:

1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa. 2. tg300D =−tg(360°−300°)=−tg(60D)=− 3

Ejercicios Propuestos 3

Calcular:

1. cos120° 2. tg150° 3. sen225°

4. tg240° 5. cos315°

Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la función periódica, es decir: f(x)= f(x−n2π). Donde "n" es un

número natural, lo suficiente para llevar a "x" a un ángulo entre

0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores.

Ejemplo 1

Para calcular sen405°, debemos considerar que:

(

)

2 2 405 sen

45 sen 405 sen 45 sen 360 405 sen 405 sen

=

= ⇒

= − =

D

D D

D D

D D

Ejemplo 2

Para calcular tg1125°, debemos considerar que:

1 1125 tg 45 tg )) 360 ( 3 1125 tg( 1125

Ejemplo 3

Para calcular cos480°, debemos considerar que:

1. cos(480°−360°)=cos120°.

2. _{cos120°=−cos(180°−120°)=−cos60°=−2}1

Ejercicios propuestos 4

Calcular:

1. cos1080°

2. tg495°

3. sen1050°

Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes métodos:

1. El criterio de simetría, es decir sen(−x)=−sen(x), x

x) cos

cos(− = y tg(−x)=−tgx. Y el resto de manera semejante a lo que ya se ha explicado.

2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, f(−x)= f(−x+n2π)

Ejemplo

Para calcular sen(−30), podemos considerar que: ¾ _sen(−₃₀°₎=−_sen30°=−₂1 _{; o considerar que,} ¾ _{sen(−30°)=sen(−30°+360°)=sen330°=−2}1

5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier valor de x.

Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a la función coseno, tenemos que: sen2 x+cos2 x=1 (JUSTIFÍQUELO)

De aquí, al despejar tenemos que: sen2 x=1−cos2 x

cos2 x=1−sen2 x

Además se puede demostrar que:

y x y

x y

x ) sen cos cos sen

sen( + = +

y x y

x y

x ) sen cos cos sen

sen( − = −

y x y

x y

x ) cos cos sen sen

De aquí se deriva que:

Si hacemos y = x en las identidades para la suma de seno y

coseno, resulta:

Si hacemos

2 x

x= en cos2 2cos 1

2 ₋

= x

x y en cos2x=1−2sen2 x ; y luego

despejamos, entonces resulta que:

Ejercicio resuelto 1

Calcularsen(75D)

SOLUCIÓN:

Una opción sería emplear la identidad sen(x+y)=senxcosy+cosxseny

( ) 4 1 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 30 sen 45 cos 30 cos 45 sen ) 30 45 sen( ) 75 sen( + = + = + = +

= D D D D D D

D

Ejercicio resuelto 2

Al simplificar la expresión:

₍

₎

x x x x sen 1 cos cos sen 1 2 + − + se obtiene:

a) b) c) d) 1 e) 0

y x y x y x y x y x tg tg 1 tg tg ) cos( ) sen( ) tg( − + = + + = + y x y x y x tg tg 1 tg tg ) tg( + − = − x x x 2sen cos 2 sen = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − = x x x x x 2 2 2 2 sen 2 1 1 cos 2 sen cos 2 cos 2 cos 1 2

cosx =± + x

2 cos 1 2

SOLUCIÓN :

Reemplazando la identidad 1=sen2 x+cos2 x en la expresión dada, tenemos:

x x x x x x x x x x x x x x x x x tg cos sen ) sen 1 ( cos ) 1 (sen sen ) sen 1 ( cos cos sen cos sen ) sen 1 ( cos cos sen

1 2 2 2 2

= = + + = + − + + = + − +

RESPUESTA: opción "c"

Ejercicio resuelto 3

¿Qué expresión se debe colocar en lugar de "x", para que:

x A A A A 2 sen 1 cos sen 1 cos ₌ − +

+ se convierta en una identidad?

a) cscA c) senA e) cosA

b) senAcosA d) tgA SOLUCIÓN:

Despejando "x" en la igualdad dada, tenemos:

A x A A x A A x x A A A x A A A A A A A A x A A A A A A x A A A A cos cos cos cos sen 1 2 ) sen 1 )( sen 1 ( cos 2 2 ) sen 1 )( sen 1 ( cos sen cos sen cos cos 2 ) sen 1 )( sen 1 ( ) sen 1 ( cos ) sen 1 ( cos 2 sen 1 cos sen 1 cos 2 2 = = − = / = − + / = − + + + − = − + + + − = − + +

RESPUESTA: Opción "e"

Ejercicios Propuestos 5

1. La expresión

x x c x c x tg tg tg tg −

+ _{, es idéntica a:}

a) csc2x

b) sec2x

c) sen2x

d) cos2x

e) tg2x

2. Una expresión idéntica a

x x x x 2 2 cos 1 1 cos sen 2 sen − − + _es:

a)senx+cosx

b) 2senx

d) 2cosx−1 e) sen2x−cosx

3. La expresión

x x x

x

sen cos 1 cos 1

sen ₊ +

+ es equivalente a:

a) secx

2 1

b) 3tgx

c) 2cscx

d) cosx e) 4ctgx

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

4 cos

8 x π ?

a) 2(cosx−senx)

b)2(senx−cosx)

c)2(1+senx)

d)2(senx+cosx)

e)2(1−cosx)

5. La expresión:

2

csc tg 1 sen cos

2 ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − +

α α α

α c es idéntica a:

a) 2tgα

b) -1 c) 2ctgα

d) 1

e) tgα

6. Una expresión idéntica a

x x x

x 2

2

sen 1

1 sen cos 2 sen

−

− +

es:

a)senx+cosx

b) 1−sen2x

c) 2senx

d)sen2x−cosx

e) 2senx−1

7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?

a) ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −

2 cos sen

cos2x 2x x

b)tg2x=1−sec2x

c) ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = +

2 cos 2 cos

1 x 2 x

d)2sen2x=senxcosx

e) ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊π =

2 cos

senx x

Misceláneos

1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:

a) ₂1

3 5

cos π=

b) ₃3

6 7

tg π= c) cos0=cos8π

d)

6

3 cos

e) ∀x[cosx(tgx+cotgx)=cosx]

2. La expresión

x x x x 2 cos 2 sen 1 2 cos 2 sen 1 − + + +

es IDÉNTICA a:

a)senx

b)cosx

c)secx

d)cotx

e)tgx

3. Sean “x” y “y” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) Sen(x+y)=SenxCosy−CosySenx

b)

2 2x SenxCosy Sen =

c) Cos2x=1+Sen2x

d) x x x Sen 2 cos 1 2 + =

e) Cos2x=Cos2x−Sen2x

4. El valor de Δ para que la expresión x x x cos sen 1 1 tg ₌ − + Δ

sea una IDENTIDAD es:

a)cosx

b)secx

c)senx

d)cos2x

e)1

5. La expresión

x x x x 2 cos 2 sen 1 2 cos 2 sen 1 − + +

+ _{es idéntica a:}

a)senx

b)cosx

c)tgx

d)cotgx

e)secx

6. El valor de la expresión:

1 2 3 cot 1 4 cos 6 sen 4 cos 6 sen − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π₊ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π₋ π es: a) 3 1

− b)−12 c)−3 d) 12

3

− e) 12 3 7. SIMPLIFICANDO x x x x cos 2 sen cos 4 cos 3 3 − −

, se obtiene:

a)senx+cosx b)1−2cosx

c)2senx+1

d)2−senx e)cosx−senx

8. La expresión x x x x cos cos sen 1 tg ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

+ _{es idéntica a:}

9. La expresión

2

tg 1

csc sec

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

x x

x _{es IDÉNTICA a:}

a)cot2x

b)sec2x

c)csc2x

d)sen2x

e)cos2x

10. La expresión

[

(

)(

)

]

b)cscx

c)−cscx

d)senx

e)−cosx

11. El VALOR de D _D D _D D 60 cot . 45 tg

30 sec . 60 tg . 45 sen

, es:

a) 6

b) 3

3 2

c)

3 7

d)2 3

e)