MATEMÁTICAS BÁSICAS
RADICALES
OPERACIONES CON RADICALES
Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la potenciación y se representa por el símbolo n , donde
n
es el índice del radical y dentro se ubica unaexpresión denominada subradical.
Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical sea igual al subradical.
El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es.
Ejemplos.
1) El subradical de la expresión
5
x
+
3
es5
x
+
3
2)
16
x
2 es un radical racional porque su resultado,4
x
, es exacto.3) 3
17
x
4 es un radical irracional porque su resultado no es exacto.5) 4
6
c
−
4
d
es un radical de cuarto gradoEn los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es:
a
=
2a
.Si
a
n=
b
,a
es una raíz enésima deb
.Ejemplos
1) Si
3
2=
9
entonces3
es una raíz cuadrada de9
2) Si
5
4=
625
entonces5
es una raíz cuarta de625
Si
n
es par,a
n≥
0
, por lo que un número negativo no puede tener raíz enésima .Ejemplos
1) Si
−
16
no tiene raíz cuadrada en R.2) Si 6
−
64
no tiene raíz sexta en R.Si
n
es par yb
=
a
n, tambiénb
=
( )
−
a
n, así queb
tiene dos raíces enésimas,a
y−
a
.Ejemplos
1) Como
5
2=
25
y( )
−
5
2=
25
,5
y−
5
son raíces cuadradas de25
.Si
n
es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima.Ejemplos
1) 3
216
=
6
. 2) 5
−
32
=
−
2
Si
b
≥
0
, hay una única raíz enésima no negativa deb
representada por nb
Ejemplo.
Si
49
=
7
2, entonces7
es una raíz cuadrada de49
y como49
=
( )
−
7
2,−
7
es otra raíz cuadrada de49
. Pero49
denota exclusivamente a la raíz no negativa de49
.Si
x
≥
0
,
m
,
n
∈
N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:n m
n m
x
x
=
Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador y el subradical es la misma expresión elevada a la potencia que tiene el numerador.
En el caso particular, si
m
=
n
, se tiene que:x
=
nx
nLos radicales cumplen con las siguientes propiedades:
1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales. Esto es: n
a
⋅
nb
=
na
⋅
b
sia
>
0
,
b
>
0
,
n
∈
N.2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cociente de los subradicales.
Esto es: n
n n
b
a
b
a
=
sia
>
0
,
b
>
0
,
n
∈
N.3) Un radical de índice
n
elevado a una potenciam
equivale a una raíz de índicen
y de subradical elevado a la potenciam
. Esto es:( )
na
m=
na
m sia
>
0
,
m
,
n
∈
N.4) La raíz de índice
m
de un radical de índicen
es equivalente a una raíz de índicen
de un radical de índicem
y es igual a una raíz de índicem
⋅
n
. Esto es: m na
=
n ma
=
m⋅na
sia
>
0
,
m
,
n
∈
N.Es importante notar que la suma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la suma algebraica de los subradicales. Es decir: n
a
±
nb
≠
na
±
b
De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando:
• No se puede extraer ningún factor del radicando (es el menor posible).
• No puede reducirse su índice (es el menor posible).
• El radicando no es una fracción.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL SUBRADICAL
Un radical se puede simplificar cuando contiene factores cuyos exponentes son divisibles por el índice y se procede de la siguiente manera:
• La parte numérica del subradical se descompone en factores de tal forma que sean potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical.
• La parte literal del subradical se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz.
Ejemplos.
1)
18
a
5=
9
⋅
2
⋅
a
4⋅
a
=
3
2⋅
2
⋅
a
4⋅
a
=
3
a
22
a
2) 4243
k
7=
481
⋅
3
⋅
k
4⋅
k
3=
43
4⋅
3
⋅
k
4⋅
k
3=
3
k
43
k
33) 3
500
5 7 3125
4
3 2 6 35
34
3 2 65
2 34
2y
x
xy
y
y
x
x
y
y
x
x
y
x
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
4) 5
64
v
8w
6z
9=
532
⋅
2
⋅
v
8⋅
w
6⋅
z
9=
52
5⋅
2
⋅
v
5⋅
v
3⋅
w
5⋅
w
⋅
z
5⋅
z
4=
2
vwz
52
v
3wz
45)
4
a
4−
8
a
3b
=
4
a
2(
a
2−
2
ab
)
=
2
2a
2(
a
2−
2
ab
)
=
2
a
a
2−
2
ab
6)
2
am
2+
4
amn
+
2
an
2=
2
a
(
m
2+
2
mn
+
n
2)
=
2
a
(
m
+
n
)
2=
2
a
(
m
+
n
)
7) 3
2 3
2 2
3
2 3 3
3 6 3
2 3
3 3
5 4
2
2
9
2
2
3
2
2
3
2
8
729
16
729
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
8)
44
a
3b
7c
9=
4
⋅
11
⋅
a
2⋅
a
⋅
b
6⋅
b
⋅
c
8⋅
c
=
2
2⋅
11
⋅
a
2⋅
a
⋅
b
6⋅
b
⋅
c
8⋅
c
=
2
ab
3c
411
abc
INCLUSIÓN DE UN FACTOR EN UN SUBRADICAL
En este caso se eleva la expresión por introducir a la potencia que indique el índice del radical, se efectúa el producto de subradicales y el resultado se expresa con el mismo índice.
Ejemplos.
1)
4
5
=
4
25
=
16
5
=
80
2)
2
a
3
a
=
( )
2
a
23
a
=
4
a
23
a
=
12
a
33)
5
α
β
=
( )
5
α
2β
=
25
α
2β
=
25
α
2β
4)
18
2
9
1
18
3
1
18
3
1
2=
=
=
5)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
)
x
x
xy
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
=
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
22 2
6) 3 2 3
( )
33 2 3 3 3 2 3 5128
2
64
2
4
2
4
w
w
=
w
w
=
w
w
=
w
7) 4 3 4
( )
44 3 4 4 4 3 4 5 396
6
16
6
2
6
2
a
ab
=
a
ab
=
a
ab
=
a
b
8)
(
)
5 5 134 3 5 10 5 5
4 3 5 2 5 5
4 3 2
9
243
3
EXPRESAR UN RADICAL COMO UNO DE ÍNDICE MENOR
Otra forma de simplificación de un radical consiste en transformarlo a uno equivalente que posea un índice menor. Para ello, se expresa cada uno de los factores del subradical en su forma de exponente fraccionario, se simplifican las fracciones y se vuelve a transformar a radical.
Ejemplos.
1)
x
=
x
=
x
2=
x
1 4 2 4 2
2)
( )
4 4 33 8 6 8 1 6 8 6
k
k
k
k
k
=
=
=
=
3)
( )
4 41 12
3 12
1 3 12
6
6
6
6
216
=
=
=
=
4)
(
)
3 31 3 1 6 1 2 2 6 2 2
mn
n
m
n
m
n
m
=
⋅
=
=
5)
2
2
2
2
2
32
2 1
2 1 2 1
10 5 10 5 10
1
5 5 10
5
a
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=
6)
25
e
h
(
5
e
h
)
5
e
h
5
e
h
25
eh
1 2 1 2 1 4 2 4 2 4 2 4 1 2 2 2 4 2 2
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
7)
(
)
3 3 2 22 3 2 3 2 9 6 9 6 9 6 9 1 6 6 6 9 6 6
4
2
2
2
64
α
β
=
⋅
α
⋅
β
=
α
β
=
α
β
=
α
β
8)
(
)
4 4 22 4 1 4 2 8 4 8 2 8 4 8 1 4 2 4
8
16
2 42
2
2
4
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
=
⋅
⋅
=
=
=
OPERACIONES CON RADICALES DEL MÍSMO ÍNDICE.
Radicales semejantes son aquellos que tienen igual radicando y el mismo índice, es decir, sólo difieren por el coeficiente.
Ejemplos.
1)
4
x
y9
x
son radicales semejantes2)
−
6
3ab
2 y 3 24
5
ab
son radicales semejantes3)
8
x
y 37
x
no son radicales semejantesPara sumar o restar radicales se simplifican a su forma más elemental y se reducen los radicales semejantes.
Ejemplos.
1)
80
+
20
=
16
⋅
5
+
4
⋅
5
=
4
2⋅
5
+
2
2⋅
5
=
4
5
+
2
5
=
6
5
2)
45
−
27
−
20
=
9
⋅
5
−
9
⋅
3
−
4
⋅
5
=
3
2⋅
5
−
3
2⋅
3
−
2
2⋅
5
=
3
5
−
3
3
−
2
5
=
5
−
3
3
=
5
2⋅
7
+
9
2⋅
3
−
3
2⋅
7
−
2
5
2⋅
3
=
5
7
+
9
3
−
3
7
−
2
⋅
5
3
=
5
7
+
9
3
−
3
7
−
10
3
=
2
7
−
3
4)
75
+
12
−
147
=
25
⋅
3
+
4
⋅
3
−
49
⋅
3
=
5
2⋅
3
+
2
2⋅
3
−
7
2⋅
3
=
5
3
+
2
3
−
7
3
=
0
5)
7
450
−
4
320
+
3
80
−
5
800
=
7
25
⋅
9
⋅
2
−
4
16
⋅
5
⋅
4
+
3
16
⋅
5
−
5
25
⋅
16
⋅
2
7
5
23
22
4
4
25
2
23
4
25
5
5
24
22
7
5
3
2
4
4
2
5
3
4
5
5
5
4
2
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
=
105
2
−
32
5
+
12
5
−
100
2
=
5
2
−
20
5
6)
32
+
50
−
72
=
16
⋅
2
+
25
⋅
2
−
36
⋅
2
=
4
2⋅
2
+
5
2⋅
2
−
6
2⋅
2
=
4
2
+
5
2
−
6
2
=
3
2
7)
162
50
200
81
2
25
2
100
2
9
22
5
22
10
22
⋅
−
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
+
=
9
2
+
5
2
−
10
2
=
4
2
8)
9
48
−
5
27
+
3
12
=
9
16
⋅
3
−
5
9
⋅
3
+
3
4
⋅
3
=
9
4
2⋅
3
−
5
3
2⋅
2
+
3
2
2⋅
3
=
9
⋅
4
3
−
5
⋅
3
3
+
3
⋅
2
3
=
36
3
−
15
3
+
6
3
=
27
3
Para efectuar la multiplicación de radicales se multiplican respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último producto bajo el signo de radical y se simplifica.
Ejemplos.
1)
3
⋅
6
=
18
=
3
2⋅
2
=
3
2
2)
5
21
⋅
2
3
=
10
63
=
10
3
2⋅
7
=
10
⋅
3
7
=
30
7
3) 3 2 3 3
27
36
3
318
34
24
3
8
9
4
3
b
a
b
a
b
a
ab
a
⋅
=
=
⋅
=
4) 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4
30
4
3
5
2
4
3
5
2
500
13
2
20
4
15
6
1
45
3
⋅
⋅
=
,
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Para dividir dos radicales, se dividen respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último cociente bajo el signo de radical y se simplifica.
Ejemplos.
1)
2
2
3
2
6
4
=
2)
3
5
1
10
3
2
=
a
a
3)
k
k
k
k
k
k
k
2
3
4
6
2
4
3
2
4
3
8
4
3
2
4
16
3
3 3 3 3 33 2 3 5
=
=
⋅
⋅
=
=
=
4)
y
y
y
y
y
y
y
xy
xy
2
3
6
4
3
6
4
9
6
4
4
4
3
36
2
1
2 2 3
5 8
=
⋅
=
⋅
=
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICE DIFERENTE
Los radicales no semejantes no se pueden reducir, por lo que la suma y la resta no son posibles.
Para multiplicar dos radicales de diferente índice:
• Se halla el MCM de los índices.
• El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado.
• Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.
• Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes.
• El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos
del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita.
Ejemplos. 1)
x
⋅
32
x
2el índice común es
6
, por lo tanto:( )
6 3 4 6 7 6 6 6 6 2 26 3 3 2
4
4
4
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
2)
3
2
ab
⋅
4
48
a
3el índice común es
8
, por lo tanto:( )
8( )
3 2 8 4 4 4( )
3 2 6 8 4 4 4 6 68 4 4 3
2
2
12
2
2
12
8
4
2
3
8
4
2
3
ab
⋅
a
=
ab
⋅
a
=
a
b
⋅
a
=
a
b
⋅
a
8 8 2 8 2 4 8 10 10 4
2
2
12
2
12
a
b
=
a
a
b
=
8 2 2 4 4 22
24
2
2
12
⋅
a
a
b
=
a
ab
=
3) 3
a
2b
2⋅
2
43
a
3b
el índice común es
12
, por lo tanto:( )
12( )
3 3 12 8 8 3 9 3 12 3 17 11 12 3 12 5 11 12 2 2 44 3 3 2 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
12 5 11
27
2
a
a
b
=
4) 3 2 5
16
44
3
4
3
2
n
m
m
⋅
el índice común es
15
, por lo tanto:( ) (
15 4)
3 15 5 10 3 12 3 15( )
2 5 10( )
4 3 12 3 15 2 55 4 3 2
2
2
2
1
16
4
2
1
16
4
12
6
16
4
3
4
3
2
n
m
m
n
m
m
n
m
m
n
m
m
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
15 10 10 12 12 3
2
2
2
1
n
m
m
⋅
=
15 22 22 3 15 15 7 15 7 3 15 7 7 3 15 7 3128
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
n
m
m
n
m
m
n
m
m
n
m
=
=
⋅
=
=
Para dividir dos radicales de diferente índice:
• Se halla el MCM de los índices.
• El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado.
• Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.
• Se dividen los radicandos como potencias de la misma base, es decir restando los exponentes.
• El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos
Ejemplos.
1)
3 2
3
3
x
x
el índice común es
6
, por lo tanto:( )
( )
6 4 6
2 6
6 2 6 2 3
3 2
3
9
27
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
2)
4 2 3 3
4
8
a
b
a
el índice común es
12
, por lo tanto:( )
( )
12 12 6 4 12 2 6 4 6 3 2 64 12 12
6 3
4 12 4
12 2 3 12 3 4
4 2 3 3
8
8
64
64
096
4
4
8
4
8
4
8
b
a
b
a
b
a
a
b
a
,
a
b
a
a
b
a
a
b
a
=
=
=
=
=
=
3)
5 2 3 4 3
5
mn
n
m
el índice común es
15
, por lo tanto:(
)
( )
15 15 17 9 15 15 2 9 15 2 9 63 15 20
15 2 3 15 4 3 5
5 2 3 4 3
125
3
125
3
125
3
125
3
5
5
n
m
,
m
n
m
m
,
n
m
,
n
m
n
m
,
mn
n
m
mn
n
m
=
=
=
=
=
4)
4 2 2 3 6 3 4 5
3
18
z
y
x
z
y
x
el índice común es
12
, por lo tanto:(
)
(
)
12 12 29 6 6
10 8 6
12 2 2 3 3 12 3 4 5 2
4 2 2 3 6 3 4 5
12
27
324
3
18
3
18
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
=
=
=
para extraer la raíz de un radical, se multiplican los índices y se simplifica.
Ejemplos.
1) 3
a
2=
6a
2=
3a
2) 38
=
68
=
62
3=
2
3) 4 2 8 2 8
( )
2 45
5
25
25
a
=
a
=
a
=
a
4) 15
( )
3 25 2 15 10
5 3 10
x
x
x
x
=
=
=
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
Ejemplos.
Racionalizar las siguientes fracciones:
1)
3
1
multiplicando el numerador y el denominador por
3
:3
3
3
3
3
1
=
⋅
2)
5
4
3
multiplicando el numerador y el denominador por
5
:( )
20
5
3
5
4
5
3
5
5
5
4
3
=
=
⋅
3) 4
9
3
a
multiplicando el numerador y el denominador por 4
( )
9
3a
:( )
( )
( )
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
729
9
729
3
9
9
3
9
9
9
3
4 3 4 3 4 34 3 4 3
4
⋅
=
=
=
4)
3
3
5
6
x
multiplicando el numerador y el denominador por 3
( )
3
2x
:( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
9
2
15
9
6
3
5
3
6
3
3
3
5
6
3 2 3 2 3 23 2 3 2
3
⋅
=
=
=
Ejemplo.
Efectuar la operación
4
3
2
1
3
1
+
−
y racionalizar el resultado.Solución.
3
2
3
2
2
3
1
3
3
2
3
2
2
2
1
3
1
2
3
2
1
3
1
4
3
2
1
3
1
4
3
2
1
3
1
+
−
=
⋅
+
⋅
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
2
2
6
3
5
2
2
3
3
3
2
5
2
2
3
2
5
−
=
−
⋅
=
−
=
Cuando se quiere racionalizar una fracción cuyo denominador sea un binomio que posea radicales de segundo grado, se multiplican las dos componentes del cociente por el binomio conjugado del denominador y se simplifica.
Ejemplos.
1)
2
1
2
3
+
−
multiplicando el numerador y el denominador por
1
−
2
, que es el binomio conjugado del denominador:5
2
4
1
2
4
5
2
1
2
2
2
3
3
2
1
2
1
2
1
2
3
−
=
−
−
=
−
+
−
−
=
−
−
⋅
+
−
2)
3
4
3
2
5
−
+
multiplicando el numerador y el denominador por
4
+
3
, que es el binomio conjugado del denominador:3
2
13
3
13
26
3
16
6
3
8
3
5
20
3
4
3
4
3
4
3
2
5
+
=
+
=
−
+
+
+
=
+
+
⋅
−
+
3)
3
4
2
5
19
−
multiplicando el numerador y el denominador por
5
2
+
4
3
, que es el binomio conjugado del denominador:2
3
76
2
95
48
50
3
76
2
95
3
16
2
25
3
76
2
95
3
4
2
5
3
4
2
5
3
4
2
5
19
+
=
−
+
=
⋅
−
⋅
+
=
+
+
⋅
−
4)
7
3
3
2
7
3
3
4
+
−
multiplicando el numerador y el denominador por
