Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha
Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín
Part I
Aplicaciones de la Serie Fourier
0.1
Problema 1. Onda cuadrada alta frecuencia
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un "diente de sierra".Supongamos que una onda cuadrada está de…nida por la función:
f(x) = 0; < x <0 h;0< x < h
A partir de la de…nición, de los coe…cientes podemos encontrar:
a0 =
1 2
Z
0
hdt= h 2
an = 1Z
0
hcosntdt= 0; n 1
bn = 1Z
0
hsenntdt= h
n (1 cosn )
bn = 2h
n ; n impar=)bn= 2h (2n 1) bn = 0; n par
Luego la serie resultante es: De…nition 1
f(x) =
1 X
n=1
2h
(2n 1) sen(2n 1)x= h 2 +
senx
1 +
sen3x
3 +
sen5x 5 +:::
Es importante decir que el primer término representa el promedio def(x)sobre el intervalo[ ; ]y que todos los términos en base coseno se anulan. Además
0.2
Problema 2. Recti…cador de onda completa.
Consideremos ahora la salida de un recti…cador de onda completa, que produce corriente continua pulsante como muestra la …gura. El recti…cador se puede modelar como un dispositivo que se alimenta con una onda senoidal ,que deja pasar los los pulsos positivos, e invierte los pulsos negativos. Esto produce:
f(x) = sen!x; 0< !x < sen!x; < !x <0
Puesto que f(x) es una función par, es decir f(x) = f( x), la serie de fourier será cosenoidal
a0 =
1 2
Z 0
sen!td(!t) +
Z
0
sen!td(!t) = 2 2
Z
0
sen!td(!t) = 2
an = 2Z
0
sen!t cosn!t d(!t); n 1
an = 2 2
n2 1; n par =) an=
1 4
4n2 1
an = 0; n impar bn = 0; 8n
Por lo tanto, la serie resultante es:
f(x) = 2 4
1 X
n=1
1
(4n2 1)cos (2n!x)
La frecuencia de oscilacion más baja es2!:Las componentes de alta frecuen-cia decaen inversamente con n2; lo que muestra que el recti…cador de onda
completa hace un buen trabajo para producir un modelo aproximado de la cor-riente continua.
0.3
Problema 3. Ecuacion de calor unidimensional
El ‡ujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo está modelado por la ecuación @2u(x;t)
@x2 =
@u(x;t)
@t donde u(x; t) es la
temperatura del cuerpo yc2la constante de difusión del calor. En el
caso de una barra aislada, que se prolonga hacia el in…nito en ambos sentidos, la solución general esta dada por
u(x; t) =
1 Z
0
(A(w) cos(wx) +B(w) sen(wx) ) e c2w2t
dw: Si se aplica
tem-peratura inicial, se obtiene que u(x;0) = f(x) =
1 Z
0
(A(w) cos(wx) +
B(w) sen(wx) ) dw es una integral de Fourier con coe…cientesA(w) =
1
1 Z
1
f(v) cos(wv) dv y B(w) = 1
1 Z
1
f(v) sen(wv) dv
a) Determine la integral de Fourier, si la función temperatura ini-cial esf(x) =e x2=2:-1< x <1 y la solución de está ecuación:
Solución:
Como f es una función par se tiene Ip=
1 Z
0
A(w) cos(wx) dw;con
; y B(w) = 0 luego
A(w) = 2
1 Z
0
e v2=2 cos(wv)dv =) A0(w) = 2
1 Z
0
ve v2=2 sen(wv) dv
Integrando por partes se tiene
A0(w) = 2
2
4 e v2=2 sen(wv) +w
1 Z
0
e v2=2 sen(wv) dv
3 5 1
0
Evaluando la integral y resolviendo EDO(1)
A0(w) = 2h0 +w( 2A(w)
i1
0 =) A
0
(w) = wA(w)
A(w) = Ce w2=2; C constante
e x2=2=C
Z
0
e w2=2 cos(wx)dw
Por tanto, la solución queda:
u(x; t) =C
1 Z
0
(e w2=2 cos(wx)) e c2w2t dw
0.4
Problema 4.
1) La función adjunta sirve para modelar la salida de un recti…-cador de media onda:
f(x) = sen!x; 0 !x
0; !x 0
a) Represente gra…camente la señal de salida si ésta se extiende periodicamente con periodo 2 :
b) Determine la serie de Fourier que la representa.
Solución:
f(x) = 1 +1 2sen!x
2X1
n=1
1
(4n2 1)cos (2n!x)
0.5
Problema 5.
Una onda triángular se representa por la función:
a) Represente gra…camente la función.
b) Represente f(x) mediante una serie de Fourier.
c) Estudie la convergencia de la serie en x= ; x= 0; y x=
d) Muestre que: 1 X
n=1 1 (2n 1)2 =
2
8
Solución:
b)
f(x) = 2
4X1
n=1
cos (2n 1)x (2n 1)2
0.6
Problema 5. Conducción del calor.
Consideremos una varilla delgada, aislada, situada a lo largo del eje x, desdex= 0hastax=a;y supongamos que la conducción de calor desde la varilla hacia el exterior se da solamente por los extremos de ella, los cuales se mantienen a temperatura cero. En física se muestra que si en tiempot= 0la temperaturaua lo largo de la varilla es igual a u(x;0) =bnsennx, donde bn =cte y n2Z+ , entonces para el tiempo
t >0 la temperatura es igual a u(x; t) =bn (sennx)e n2t; donde >0
es una constante positiva. Asimismo, hay un principo de superposi-cion que nos permite añadir los efectos de diferentes distribusuperposi-ciones iniciales de temperatura. Por lo tanto, si la temperatura inicial es:
u(x;0) =f(x) =
1 X
n=1
bnsennx
entonces en tiempo t >0, se tiene:
u(x; t) =
1 X
n=1
bn (sennx)e n2t para 0 x a
a) u(x;0) =f(x) = 3senx+ 5sen2x: ¿Que tipo de extensión def(x)se requiere en este caso?
b)u(x;0) =f(x) =exsenx:¿Que tipo de extensión def(x)se requiere
en este caso?
Soluciones.
a)
u(x; t) =f(x) = 3senxe t+ 5sen2xe 4 t
b)
u(x; t) = 4
1 X
n=1
n
n2+ 4 ( 1)
n 1e 1 sennx e n2t
0.7
Problema 6
Las series de fourier se constituyen en una herramienta poderosa en el análisis del comportamiento de los sistemas físicos sujetos a pertubaciones periódicas f(t).
El valor de la raíz media cuadrática ó RMC de una función f(t), sobre un intervalo(a; b);se de…ne como:
hf(t)i=
s Rb
af2(t)dt b a
hf(t)i=
v u u ta2
0+
1 2
1 X
n=1
[a2
n+b2n]
b) Determine RMC de f(t) =E sen!t, conE y ! constantes
posi-tivas.
Solución:
b) El período fundamental de la función f(t) =E sen!t, es 2
! .
Entonces el valor RMC def(t) es:
hf(t)i=
s
1 (2 =!)
Z 2
!
0
E2sen2(!t)dt=pE
2
0.8
Problema 7.
Un resorte vibra libremente con ambos estremos …jos enx= 0y x= L:
a) Si su movimiento esta descrito por la ecuación de onda:
@2u(x; t)
@t2 =v
2@2u(x; t)
@x2
con las condiciones iniciales:
u(x; t) =f(x) y @u(x;0) @t =g(x)
Suponga que la solución de esta ecuación es una serie de Fourier de la forma:
u(x; t) =
1 X
bn n=1
sustituya esta solución en la ecuacion anterior y determine los coe…cientesb(t):
b) Considere la presencia de un medio resistivo que amortigua las vibraciones de acuerdo con la ecuación
@2u(x; t)
@t2 =v
2@2u(x; t)
@x2 k
@u(x; t) @t
Suponga que rige la solución anterior con las mismas condiciones iniciales y nuevamente determine el coe…cienteb(t) , suponiendo que el amortiguamiento es pequeño, es decir nL 2 k2 2>0
c) Repita los calculos pero suponiendo que el amortiguamiento es grande es decir n
L
2 k
2 2
<0.
Soluciones:
a)
bn(t) = An cos(n t
L ) +Bn sen( n t
L )
An = 2
L
Z L
0
f(x)sen n x
L dx; Bn = 2 n
Z L
0
g(x)sen n x L dx
b)
bn(t) = e k2t (An cos(!nt) +Bn sen(!nt))
An = 2 L
Z L
0
f(x)sen n x
L dx; Bn= 2 L!n
Z L
0
g(x)sen n x L dx+
k 2!nAn
donde, !2n = n L
2 k
2
2
>0
bn(t) = e
k
2t (A
n cosh( nt) +Bn senh( nt))
An = 2
L
Z L
0
f(x)sen n x
L dx; Bn= 2 L n
Z L
0
g(x)sen n x L dx+
k 2 n
An
donde, 2n = n L
2 k
2
2
<0
0.9
Problema 8
En una placa circular de radio = 1, cuyas secciones superior e inferior están aisladas, se mantiene la mitad de su periferia superior a una temperatura constante T1y la otra mitad a una temperatura
constante T2:Encontrar la temperatura de la placa en condiciones
estacionarias.
a) La ecuación de difusión del calor, en coordenadas polares ( ; )
,en condiciones estacionarias esta dada por @@22+1
@ @ +
1 2
@2
@ 2 = 0;donde
( ; ) es la funcion temperatura. Suponga que ( ; );se puede sep-arar como ( ; ) =M( )N( )y pruebe que la ecuación se transforma en 2 M
00
M + M•0 M =
N00 N :
b) A partir del resultado anterior , haga cada lado de la ecuación igual a 2 y encuentre las EDO(2)
N" ( ) + 2N( ) = 0
2M" ( ) + M•( ) +M( ) = 0
b) Pruebe queN( ) =A1cos +A2sen y M( ) =B1 +B2 son
soluciones de las correspondientes ecuaciones anteriores.
c) Pruebe que la solución general es
( ; ) =M( )N( ) =
1
X T1+T2
2
(T T) (1 cosn ) n
