Física Tema 3 Relaciones de Proporcionalidad y Gráficos Versión pdf

Texto completo

(1)CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. CURSO DE FISICA MODULO 3 TEMA 3: Relaciones de Proporcionalidad y Gráficos..

(2) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Contenido OBJETIVOS GENERALES .................................................................................................................... 1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................................... 1 3.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RESULTADOS. ........................................................................... 2 3.2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS VARIABLES............................................................. 2 FORMAS DE EXPRESAR LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS VARIABLES .................... 3 3.3 FUNCIONES LINEALES (Y = b + mx ) ............................................................................................ 5 3.4 PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS VARIABLES ............................................................ 7 FORMAS DE EXPRESAR LA PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS VARIABLES .................... 8 3.5 RELACION POTENCIAL DE LA FORMA Y = KXn ............................................................................ 9 3.6 RELACIÓN EXPONENCIAL ENTRE DOS MAGNITUDES DEL TIPO y = ACb x ................................. 13 DETERMINACIÓN DE CONSTANTES A y D .................................................................................. 13 3.7 PREGUNTAS Y EJERCICIOS: ....................................................................................................... 15.

(3) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. OBJETIVOS GENERALES Que el estudiante: 1. Conozca los diferentes tipos de relación matemática que puede haber entre dos variables e identifique la forma característica de sus respectivos gráficos y ecuaciones. 2. Desarrolle la capacidad de análisis e interpretación de datos obtenidos experimentalmente de un fenómeno.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Al final de esta unidad el estudiante estará en capacidad de: 1. Determinar a partir del gráfico rectilíneo de dos variables el tipo de relación que existe entre ellas o entre sus variaciones y obtener la ecuación correspondiente a dicha relación. 2. Reconocer la proporcionalidad directa entre dos variables. 3. Resolver problemas de proporcionalidad directa entre dos variables. 4. Identificar la proporcionalidad inversa entre dos variables. 5. Resolver problemas de proporcionalidad inversa entre dos variables. 6. Explicar la relación potencial de la forma Y = KXn 7. Determinar analíticamente (utilizando logaritmos) el valor de las constantes “K” y “n” de una relación potencial a partir de los datos de un gráfico que sugiera este tipo de relación. 8. Resolver problemas de relación potencial, para cualquier valor de "K" y "n" 9. Identificar en un gráfico, de acuerdo a su forma, el tipo de relación que puede haber entre las variables involucradas. 10. Determinar analíticamente (utilizando logaritmos) el valor de las constantes “A” y “D” de una relación exponencial a partir de los datos de un gráfico que sugiera este tipo de relación.. 1.

(4) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. 3.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RESULTADOS. El resultado directo de un experimento suele ser una tabla de datos y un gráfico hecho con estos datos lo cual facilita la interpretación de los mismos. Si lo que se busca es una relación empírica la forma del gráfico da la pauta de la ecuación que ha de encontrarse y que expresa dicha relación. Todo gráfico está constituido por dos rectas numéricas perpendiculares entre sí y divididas en escala. El punto donde se cortan se designa por (0,0) y se le llama origen. La escala horizontal suele llamarse eje de las X y la vertical eje de las Y. Para construir gráficas se recomienda lo siguiente: 1. Poner en el eje horizontal la variable independiente y en el vertical la variable dependiente con sus unidades. 2. Construir las escalas en cada eje de manera que permitan ubicar fácilmente los valores de las variables. 3. Plotear los puntos (pares ordenadas) ubicando el valor de las variables en los ejes respectivos y trazando desde ahí líneas rectas guías perpendiculares a los ejes. El punto donde estas se intersectan corresponde al punto ploteado. 4. Trazar la curva siguiendo la tendencia de los puntos ploteados (usar curva francesa si es posible). La gráfica resultante debe ocupar la mayor parte de la página del papel utilizado.. 3.2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS VARIABLES. “Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra también se multiplica por el mismo número”. A continuación se presenta un ejemplo. Al medir la masa y el volumen de diferentes trozos de Aluminio se obtuvieron los siguientes resultados:. (. Nº. V(cm3). m (g). m g cm 3 V. 1 2 3 4 5. 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0. 27 54 81 108 135. 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7. ). 2.

(5) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Puede observarse que el trozo de 27 g tiene un volumen de 10.0 cm3 y el trozo de 54 g (doble de masa) tiene un volumen de 20.0 cm3 (también doble volumen). Si se representan por m1, m2, m3,… las masas de los trozos y por V1, V2, V3,… sus respectivos volúmenes; el cociente entre éstos es igual a una constante:. m1 m m = 2 = 3⋯ = k V1 V2 V3 Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un valor de 2.7 g/cm3. Si se grafican los valores medidos de masa y volumen resulta una recta que pasa por el origen tal como se ilustra en la Fig. 3.1 La expresión que relaciona a las variables m y V es: m = kV ó más específicamente m = 2.7 V. FORMAS DE EXPRESAR LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS VARIABLES Si Y es directamente proporcional a X, esto puede expresarse de las siguientes formas: I. Y ∝ X, que se lee: Y es directamente proporcional a X. En el ejemplo de la masa m y el volumen V de los trozos de aluminio se escribe m ∝ V. II.. Dado que el cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales es constante, se puede escribir: Y = K , equivalente a Y = KX X. Esto se constató en el ejemplo de los trozos de aluminio: m = 2.7 V. 3.

(6) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Fig. 3.1 Gráfica de m en función de v III.. Para cualquier par de valores (X1, Y1) y (X2, Y2) de dos variables, si éstas son directamente proporcionales se cumple que: Y2 X 2 Y X = ó 1 = 1 o para el caso de los trozos de aluminio: Y2 X2 Y1 X 1 m2 V = 2 m1 V1. IV.. m1 V = 1 ó m 2 V2. Cuando dos magnitudes Y y X son directamente proporcionales, el gráfico de éstas es una recta que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura 3.2. Fig 3.2 Relación de proporcionalidad directa entre Y y X. 4.

(7) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. 3.3 FUNCIONES LINEALES (Y = b + mx ) En la proporcionalidad directa la ecuación Y = KX corresponde a una recta que pasa por el origen. Esto quiere decir que cuando X = 0, también Y = 0. Sin embargo hay variables que se relacionan de tal forma que cuando el valor de una de ellas es cero la otra es distinta de cero y su gráfico es una recta como el que se muestra en la Fig. 3.3. Fig. 3.3 Relación lineal entre Y y X En este caso se dice que la relación entre las variables es lineal y se expresa Y = b+ m X. Observe en la fig. 3.3 que cuando x = 0, Y = b. A b se le denomina intercepto de la recta. En esta ecuación m es la pendiente de la recta, m = ∆Y . En la relación lineal solo los cambios ∆X. entre las variables son directamente proporcionales: ∆Y α ∆X o ∆Y = m ∆X.. Ejemplo: Un grupo de estudiantes estudia experimentalmente la relación entre la temperatura T de cierta cantidad de agua y el tiempo t en un proceso de calentamiento y obtuvieron los siguientes resultados: t (min) T (0C). 0 25. 5 35. 10 45. 15 55. 20 65. 25 75. Estos datos se representan gráficamente en la fig 3.4 5.

(8) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Fig 3.4 Relación lineal entre temperatura y tiempo Para cualquier par de puntos ( t, T ) que se seleccionen del grafico se cumple que: ∆. ∆. Sean ( t1, T1 ) = ( 0 , 25 ) y ( t2 – T2 ) = ( 25, 75 ) dos puntos de la tabla. ∆ ∆. 75 25. 25 0. 50 25. 2. Dado que ∆ ∆ y considerando el punto ( t, T) = (0,25) se tiene : T – T0 = m ( t - t 0 ) para t0 = 0 , T0 = 25 T – T0 = m t T = T0 + m t = 25 + 2 t. 6.

(9) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. 3.4 PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS VARIABLES “Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida entre ese número”. Un ejemplo típico de esta relación es la que se da entre la presión absoluta de un gas y su volumen, cuando la temperatura de éste se mantiene constante. Esto se ilustra en el siguiente cuadro: Nº 1 2 3 4 5. V(L). P(atm). PV(atm·L). 50.0 40.0 25.0 20.0 10.0. 1.00 1.25 2.00 2.50 5.00. 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0. De acuerdo a los datos cuando el volumen del gas es de 50.0 L, la presión es de 1.00 atm, cuando el volumen es de 25.0 L (se reduce a la mitad) la presión es de 2.00 atm, (se duplica). Si se representan por P1, P2, P3,....., las diferentes presiones y por V1, V2, V3,...., sus respectivos volúmenes, el producto entre éstos es igual a una constante: P1 V1 = P2 V2 = P3 V3 =. . . . = K También en este caso K se denomina constante de proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un valor de 50.0 atm·L. Al graficar la presión P en función del volumen V se obtiene una curva tal como se muestra en la Fig. 3.5. Esta curva se denomina hipérbola equilátera y representa gráficamente la relación P =. K V. 7.

(10) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Fig. 3.5 Gráfica de P en función de V FORMAS DE EXPRESAR LA PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS VARIABLES Si Y es inversamente proporcional con X, dicha relación puede expresarse de las siguientes formas: I.. Y∝. 1 X. , que se lee: Y es proporcional al inverso de X o Y es inversamente proporcional. a X. II.. Dado que el producto de dos variables inversamente proporcionales es igual a una constante, se puede escribir: YX = K o Y =. K . En el ejemplo de la relación presión X. 50 .0 . V Para cualquier par de valores (X1,Y1) y (X2,Y2) de dos variables inversamente. volumen del gas a temperatura constante se obtuvo P = III.. proporcionales se cumple que:. Y2 X = 1 Y1 X2. La relación entre la presión y volumen de un gas a temperatura constante se puede expresar: IV.. P2 V1 = P1 V2. El gráfico de dos variables Y y X inversamente proporcionales es una hipérbola equilátera como se ilustra en la Fig. 3.6. 8.

(11) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Fig. 3.6 Proporcionalidad inversa entre Y y X. 3.5 RELACION POTENCIAL DE LA FORMA Y = KXn Esta relación puede expresarse como: Y ∝ Xn o Y = KXn, donde n y K son constantes. Los casos particulares dependen del valor de n así: 1. Si n = 1, la relación toma la forma Y = KX que corresponde a la proporcionalidad directa estudiada en la sección 3.2 2. Para n > 1 los gráficos son como los que se muestran en la Fig. 3.7. Fig. 3.7 Relación Y = KXn con n >1, e igual valor de K. La ecuación de la curva “b” tiene mayor n que la de “a”. En X = 1, ambas curvas tienen el mismo valor de Y. 3. El valor de n puede pertenecer al intervalo (0 < n < 1). 9.

(12) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Por ejemplo: Y = KX½ = K X . En términos más generales Y = KXa/b = K b X a , donde n =. a ; b. a<b. La forma de estos gráficos es como se ilustra en la fig. 3.8. Fig. 3.6 Gráfico de Y = KXn (0<n<1) Como ejemplo se puede mencionar que el período de oscilación T de un péndulo simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud L, es decir: T α L ó. T = K L , siempre que las amplitudes de oscilación sean pequeñas. 4. El valor de n puede ser negativo (n < 0). Por ejemplo Y = KX-2 que también puede escribirse Y =. K . La forma de estas gráficas es como se ilustra en la Fig. 3.9 X2. Fig. 3.9 Gráfico de Y = KXn (n<0) Cuando n = -1, se tiene la proporcionalidad inversa estudiada en la sección 3.4. Otro ejemplo es la Ley de Coulomb; expresa que la fuerza que se ejercen dos cargas 10.

(13) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. eléctricas puntuales q1 y q2 es directamente proporcional al producto de éstas e qq inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellas: F = K 12 2 . r. Determinación de constantes n y k La relación de proporcionalidad Y ∝ Xn debe de cumplir que Esto significa que:. Y1 X 1n. =. Y2 X n2. =. Y3 X n3. Y = K = (cte.). Xn. = ....... n. Y1  X1   = Y2  X 2 . Escrito de otra forma:. Si se aplican logaritmos a la expresión anterior: Log (Y1 / Y2) = n Log (X1 /X2). valor de n: Y Log( 1 ) Y2 n= X Log( 1 ) X2. Despejando el. El valor de "n" queda así determinado por la expresión anterior. La constante de proporcionalidad "K" se determina tomando puntos del gráfico y usando el valor de "n" encontrando así: K=. Y1 X1. n. =. Y2 X2. n. = .... =. Y Xn. Ejemplo de aplicación: Encontrar la relación de proporcionalidad existente entre las variables T y M de la siguiente tabla de datos: M 1.0 2.0 3.0 4.0 T 4.0 16.0 36.0 64.0 Solución: El primer paso consiste en graficar los datos para visualizar el tipo de proporcionalidad existente. 11.

(14) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Una vez definido el tipo de proporcionalidad, se procederá a determinar la expresión matemática que relaciona a las variables. La gráfica obtenida se muestra en la figura 3.10. El gráfico indica la relación T ∝ Mn cuando n > 1. Esto significa que la relación matemática entre T y M es: T = K Mn El segundo paso consiste en determinar los valores de n y K. Calculando "n": T1 16 . 0 ) Log ( ) T2 4 .0 = 2 .0 n = = M1 2 .0 Log ( ) Log ( ) 1 .0 M 2 Log (. Fig. 3.8 T en función de M Nota: Para datos experimentales, se calculan varios valores de n y se obtiene su promedio. Lo mismo es para K. Calculando K:. K=. T1 4.0 = = 4.0 n M (1.0) 2.0. De acuerdo a los resultados, la relación entre T y M es: T = 4.0 M2.0. 12.

(15) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. 3.6 RELACIÓN EXPONENCIAL ENTRE DOS MAGNITUDES DEL TIPO y = ACb x En la ecuación y = ACb x, con la constante C > 1 y x > 0, la constante b puede ser positiva, lo que corresponde a una función creciente, y puede ser negativa, resultando ser una función decreciente, siendo los gráficos respectivos, con la constante A positiva, los mostrados en la figura 3.10:. Fig. 3.10 (a) Relación exponencial creciente. (b) Relación exponencial decreciente. DETERMINACIÓN DE CONSTANTES A y D Las constantes A y Cb pueden calcularse gráficamente o analíticamente. Considerando un par de puntos sobre la curva de la gráfica en la figura 3.10 (a) o 3.10 (b) y. (2). =. Dividiendo la ecuación (1) entre la (2) tenemos:. =. !" #$ %&2. =. "$ "$. (. =. Ó. ). En la expresión anterior Cb puede interpretarse como una sola constante D; es decir D = Cb y así se tiene:. = )(. Aplicando logaritmo:. ). log- . / = (& − & ) 0 1). Ó. log ) =. 234( (. .. ) ). 13.

(16) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. De la función inversa del logaritmo: ). 234'. 0 1. 5. .. (. 6. El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuación y = A Dx , es decir A = y/Dx y sustituyendo valores conocidos de x e y o sea las coordenadas de un punto, por ejemplo el punto 1 con valores & ,. . Así,. 7$. Ejemplo de relación exponencial creciente, al graficar los datos observamos que la curva no parte del origen, y crece rápidamente, figura 3.11, entonces no es una relación de tipo potencial. xx. y. 0. 1.00. 1.00. 2.72. 2.00. 7.40. 3.00. 20.12. 4.00. 54.74. Figura 3.11 Relación exponencial creciente Como ya vimos:. ). 0 1. 5. 234'. .. (. 6 = 10 (log(20.12/7.40)/(3.00-2.00)). D= 2.72 A= 1.00 (el valor del intercepto) Entonces:. y = 1.00 (2.72) x 14.

(17) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. 3.7 PREGUNTAS Y EJERCICIOS: Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1) La representación gráfica de los resultados de medir experimentalmente dos variables de un fenómeno es más informativa que presentarlos únicamente en una tabla de datos. Verdadero 2) Dos magnitudes Y y X son directamente proporcionales si al aumentar el valor de Y, el valor de X disminuye. Falso 3) Dos magnitudes Y y X son directamente proporcionales si el cociente entre ellas es Y constante: = K X Verdadero 4) Dos magnitudes Y y X son inversamente proporcionales si al aumentar el valor de Y , el valor de X disminuye. Verdadero 5) Dos magnitudes Y y X son inversamente proporcionales si el producto entre ellas es constante XY = K . Verdadero 6) Cuando el gráfico entre las variables Y y X es rectilíneo y pasa por el origen, es correcto afirmar que Y es directamente proporcional a X . Verdadero 7) Cuando un gráfico que describe la relación entre dos variables Y y X es rectilíneo pero no pasa por el origen, significa que no existe una relación de proporcionalidad directa entre las variables. Verdadero 8) Si los cambios entre dos variables Y y X son directamente proporcionales, esto es ∆Y ∝ ∆X, la relación entre dichas variables es del tipo lineal. Verdadero 9) El período de oscilación T de un péndulo simple se relaciona con su longitud L así. T = 2π L g , donde g , es la aceleración debida a la gravedad. Esta relación no es del tipo potencial. Falso 10) Si la ecuación Y = KX n , corresponde a la relación entre las variables Y y X , el valor del exponente debe ser: n = log (Y2/X2)/log (Y1/X1). Falso 15.

(18) CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO. Problemas propuestos. 1) Para la tabla de datos siguiente: X Y. 1 0.8. 2 1.6. 3 2.4. 4 3.2. 5 4.0. a) Determine por simple inspección el tipo de proporcionalidad entre Y y X . b) Determine la ecuación correspondiente a dicho gráfico. Resp/ a) Directamente proporcional, b) Y= 0.8 X 2) A partir de la siguiente tabla de datos: X Y. 2.00 0.25. 1.00 0.50. 0.50 1.0. 0.25 2.00. a) Determine por simple inspección el tipo de proporcionalidad entre Y y X. b) Determine la ecuación que relaciona Y con X. Resp/ a) Inversamente proporcional b) Y = 0.5 /X 3) Observando los datos de la tabla siguiente: X Y. 0.0 1.5. 0.5 3.0. 1.0 4.5. 1.5 6.0. a) Encuentre la expresión matemática que relaciona dichas variables. Resp/ Y=1.5 + 3X 4) Experimentalmente se ha investigado la relación existente entre el tiempo en que un balín cae libremente y la altura desde la que se deja caer. Los datos son: h (m) t (s). 5.00 1.01. 10.00 1.43. 15.00 1.75. 20.00 2.02. 25.00 2.26. b) Encuentre analíticamente la ecuación que relaciona las variables h y t. Resp/ h = 4.9 t2.0 16.

(19)