Transformada De Laplace pdf

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(1)

Transformada de

(2)

Transformada de Laplace

[ ]

Laplace

de

compleja

le

variab

j

s

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)

t

(

f

0

st

ω

+

σ

=

=

=

L

f(t) función temporal

f(t) = 0 para t < 0

t

f(t)

[ ] [ ]

)

s

(

G

)

s

(

F

)

t

(

g

)

t

(

f

)

t

(

g

f(t)

si

=

=

=

L

L

Cambio de

(3)

Transformada de Laplace

Si la ecuación algebraica se resuelve en

s

, se puede

encontrar la solución de la ecuación diferencial

(Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de

transformadas, o bien mediante la técnica de expansión en

fracciones parciales.

•La Transformada de Laplace es un método operacional que

puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

(4)

Transformada de Laplace

[ ] [ ]

)

s

(

G

)

s

(

F

)

t

(

g

)

t

(

f

)

t

(

g

f(t)

si

=

=

=

L

L

Cambio de

variable t

s

Resolución del problema en el dominio s X(s)

Interpretación y expresión de la solución en el

dominio t

Cambio de

variable s

t

[

]

∞ −

=

=

j

j

st

1

X

(

s

)

X

(

s

)

e

ds

)

t

(

(5)

Transformada de Laplace

Dominio temporal

Dominio de Laplace

Tomar

£

(TABLA)

Tomar

£

-1

(TABLA)

PASO 4 PASO 1

Factorizar D(s)

Descomponer en

fracciones simples

PASO 3

Resolver

Y(s)=N(s) / D(s)

PASO 2

Solución

y (t)

(6)

Propiedades de la T. Laplace (I)

[

]

s

)

(

f

s

)

s

(

F

dt

)

t

(

f

dt

)

(

df

)

(

sf

)

s

(

F

s

dt

)

t

(

f

d

)

(

f

)

s

(

sF

dt

)

t

(

df

)

s

(

bG

)

s

(

aF

)

t

(

bg

)

t

(

af

)

(

t

+

=





=

=





+

=

+

0

0

0

0

1

0

2

2

2

L

L

L

L

Linealidad

Diferenciación en el dominio del tiempo

[ ]

=

=

0

st

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)

t

(

f

L

(7)

Propiedades de la T. Laplace (II)

)

s

(

sF

lim

)

t

(

f

lim

0

s

t→

=

[

f

(

t

-

d

)

]

=

e

-sd

F

(

s

)

L

Desplazamiento en el tiempo

Teorema del valor final

Teorema de convolución

NOTA

: Este teorema sólo es válido si “s F(s)” no tiene

polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.

Es válido solamente si, existe

lim

f t

t→∞

( )

Teorema del valor inicial

sF(s)

lim

f(t)

lim

s 0

t→

=

→∞

)

s

(

G

)

s

(

F

d

)

t

(

g

)

(

f

0

=





t

-

τ

τ

(8)

Propiedades de la T. Laplace (III)

Transformación de variables. Cambio de escala

Traslación en el campo complejo

(

)

[

f

t/

]

F(

s)

L

α

=

α

α

( )

[

]

(

α

)

α

α

t

1

F

s/

f

L

=

α

:

Constante positiva

[ ]

f

(t)

F(s)

L

1

=

y

L

[

f

2

(t)

]

=

F(s

±

α

)

(t)

f

e

(t)

f

t 1

2

=

:

α

Constante

Diferenciación en el campo complejo

[

]

ds

dF(s)

tf(t)

(9)

Propiedades I

[

]

[

af

(

t

)

bg

(

t

)

] [

af

(

t

)

bg

(

t

)

]

e

dt

a

f

(

t

)

e

dt

b

g

(

t

)

e

dt

aF

(

s

)

bG

(

s

)

)

s

(

bG

)

s

(

aF

)

t

(

bg

)

t

(

af

0 st 0 st 0

st

=

+

=

+

+

=

+

+

=

+

∞ − ∞ − ∞ −

L

L

(10)
(11)
(12)

Transformada de Laplace de

funciones básicas (I)

[ ]

s

k

s

e

k

dt

ke

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)

t

(

f

0 st

0

st

0

st

=

=

=

=

=

∞ − ∞

− ∞

L

f(t)

función escalón

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = k para t >= 0

t

f(t)=k

f(t)

función rampa

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = kt para t >= 0

t

f(t)=kt

2

0

s

K

dt

e

.

Kt

)

s

(

F

=

st

=

(13)

t

∞ ∞

+ α − −

α −

α

+

=

=

=

0 0

t ) s ( st

t

s

K

dt

e

K

dt

e

.

e

.

K

)

s

(

F

f(t)

función exponencial

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = ke

-αt

para t

0

Tablas de transformadas de las

funciones mas comunes

(14)

Tabla de las transformadas más

comunes

t

n

e

-

α

t

e

-

α

t

t

n

1

1

Impulso unitario

F(s)

f(t)

s

1

1 n

s

!

n

+

α

+

s

1

1

+

α

+

)

n

s

(

(15)

Tabla de las transformadas más

comunes

wt

A

.

sen

A

w

s

w

.

2 2

+

A

.cos

wt

A

s

s

w

.

2 2

+

A e

.

at

sen

wt

A

w

s a

w

(

+

)

2

+

2

A e

.

at

cos

wt

A

s a

s a

w

+

+

+

(

)

2 2

(16)

Método de reducción en

fracciones parciales

F s

N s

D s

N s

s p s p s p

s p

n

( )

( )

( )

( )

(

)(

)(

)...(

)

=

=

+

1

+

2

+

3

+

En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una

ecuación diferencial de coeficientes constantes, la función F(s) tiene

normalmente la forma:

s

p

s

p

s

p

n

= −

= −

= −



1

2

...

son las raíces del polinomio D(s)

donde:

(17)

Método de reducción en

fracciones parciales

RAICES REALES SIMPLES:

-

La función F(s) se podrá descomponer en la siguiente forma:

-

Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de

Laplace

=

=

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

=

=

n

1

i i

i

n n

2 2

1 1 n

1 i

i

p

s

A

p

s

A

...

p

s

A

p

s

A

)

p

(s

N(s)

D(s)

N(s)

F(s)

[

]

+

+

+

+

+

+

=

=

n n

p

s

A

p

s

A

p

s

A

s

F

t

f

-1

2 2 1

-1 1 1

-1

-

(

)

£

£

....

£

(18)

Método de reducción en

fracciones parciales

RAICES REALES SIMPLES:

-

Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:

- La manera de calcular el valor de cada residuo A

i

es la

siguiente:

i

p

s

i

i

s

p

F

s

A

=

(

+

)

(

)

=

=

=

n

i

t

p

i

e

i

A

t

f

1

.

)

(

i

p

-

polo

del

residuo

polo

i i

(19)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 1:

Hallar la antitrasformada de Laplace de:

SOLUCION

La función F(s) la podemos poner en la forma:

A continuación calculamos los valores de A

i

Por tanto la transformada inversa de Laplace es:

(

)(

)

(

2

)(

5

)(

6

)

4

3

)

(

+

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

s

s

F

(

)(

)

(

2

)(

5

)(

6

)

2

5

6

4

3

)

(

0 1 2 3

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

s

A

s

A

s

A

s

A

s

s

s

s

s

s

s

F

4 1 6

s 6) F(s)(s 3

15 2 5 s 5) F(s)(s 2

A

12 1 2

s 2) F(s)(s 1

A 5

1 0 s F(s)s 0

A

− = − = + =

= − = + =

− = − = + =

= = =

A

f t

( )

=

1

e

− t

+

e

− t

e

− t

5

1

12

2

15

1

4

(20)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 2:

Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCION

Vamos a calcular los A

i

de otra forma:

Igualando los coeficientes:

Por tanto la solución es:

)

3

(

)

1

(

)

2

(

10

)

(

+

+

+

=

s

s

s

s

F

3

1

)

3

(

)

1

(

)

2

(

10

)

(

1 2

+

+

+

=

+

+

+

=

S

A

S

A

s

s

s

s

F

2 1

2 1

2

1

(

s

3

)

A

(

s

1

)

10

s

20

(

A

A

)

s

3

A

A

A

)

2

s

(

10

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

5

5

3

20

10

2 1

2 1

2

1

=

=

+

=

+

=

A

A

A

A

A

A

t t

e

e

t

(21)

Método de reducción en

fracciones parciales

RAICES REALES MÚLTIPLES:

- Los coeficientes A

1

...A

n

se calculan según lo visto

anteriormente y los a

r

de la siguiente manera:

(22)

Método de reducción en

fracciones parciales

RAICES REALES MÚLTIPLES:

- Teniendo en cuenta que:

- Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) será de la forma:

£

-1

1

1

1

(

s p

)

(

)!

t

r

e

i r

r

p ti

+

 =

[

]

f t

F s

A e

A e

A e

a

r

t

a

r

t

a t a

e

p t p t

n

p t

r r r r p t

n

i

( )

( )

.

.

...

.

(

)!

(

)!

...

.

=

=

+

+ +

+

+

+

+ +

+





− − −

− − − −

£

-1

1 2

1 1 2

2 1

1 2

(23)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 3:

Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCIÓN

Lo ponemos en la forma:

F s

s

s

s

s

( )

(

) (

)(

)

=

+

+

+

+

1

2

2

4

3

2

)

3

s

)(

s

(

F

A

4

3

)

4

s

)(

s

(

F

A

3

s

A

4

s

A

2

s

a

)

2

s

(

a

)

3

s

)(

4

s

(

)

2

s

(

1

s

)

s

(

F

3 s 2

4 s 1

2 1

1 2

2 2

=

+

=

=

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

− =

(24)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 3:

- Por lo tanto la solución será:

t 2 t

3 t

4

t

e

2

1

4

5

e

2

e

4

3

)

t

(

f

− − −

 −

+

=

4

5

12

s

7

s

1

s

ds

d

)

2

s

)(

s

(

F

ds

d

a

2

1

)

2

s

)(

s

(

F

a

2 s 2

2 s 2 1

2 s 2 2

=





+

+

+

=

+

=

=

+

=

− = −

(25)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 4:

Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCIÓN

F s

s

s

s

( )

(

)

=

+

+

+

2

3

2

3

1

2

C

;

0

B

;

1

A

C

B

A

3

B

A

2

2

A

1

C

)

1

s

(

B

)

1

s

2

s

(

A

3

s

2

s

C

)

1

s

(

B

)

1

s

(

A

3

s

2

s

)

1

S

(

C

)

1

S

(

B

1

S

A

)

1

s

(

3

s

2

s

)

s

(

F

2 2

2 2

3 2

3 2

=

=

=



+

+

=

+

=

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

(26)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 4:

Por lo tanto la solución queda:

Y finalmente, la función temporal es:

F s

s

s

( )

(

)

=

+

+

+

1

1

2

1

3

)

t

1

(

e

)

t

(

f

e

t

e

1

)

t

(

(27)

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Método de reducción en

fracciones parciales

RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:

-

Supongamos el denominador de 2º orden cuyas raíces son:

α

+jw

d

- Los pasos a dar son los siguientes:

1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyas

raíces son

complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.

2. Obtener los valores de A y B

3. Descomponer y trasformar la fracción en transformadas de Laplace

cuya

0 1

2

2

s

a

s

a

a

B

As

+

+

(28)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 5:

-

Hallar la antitransformada de Laplace de la función:

SOLUCIÓN

Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B y

C:

)

5

2

(

3

)

(

2

+

+

=

s

s

s

s

F

5

2

)

5

2

(

3

)

(

2 2

+

+

+

+

=

+

+

=

s

s

C

s

B

s

A

s

s

s

s

F

5

6

5

3

5

3

5

3

2

0

0

=

=

=

=

+

=

+

=

C

B

A

A

C

A

(29)

Método de reducción en

fracciones parciales

EJEMPLO 5:

-

Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:

- Y la solución será:





+

+

+

+

+

=





+

+

+

=

2 2 2 2 2

2

)

1

(

2

2

1

2

)

1

(

1

1

5

3

5

2

2

1

5

3

)

(

s

s

s

s

s

s

s

s

s

F

=

e

t

e

t

t

f

t t

sen

2

2

1

2

cos

1

(30)

Resolución de ecuaciones

diferenciales

Ejemplo:

d

t

d

t

d

t

=

u

.

u

d

L

y

y

d

y

d

L

0

t

para

e

)

t

(

u

;

t

d

)

(

y

d

;

)

(

y

u

.

t

d

u

d

y

t

d

y

d

t

d

y

d

t

=

+

+

=

=

=

+

+

5

0

2

0

0

0

0

5

0

2

2 2 2 2 2

)

s

(

sU

)

s

(

Y

)

s

(

Y

)

s

(

Y

s

2

+

2

s

+

=

U(0)-0.5U(s)

Y(s)(s

2

+

2s

+

1)

=

(s

0.5)U(s)

1

2

s

1

U(s)

+

=

2)

1)(s

2s

(s

2.5

Y(s)

2

+

+

+

=

[ ]

Y

(

s

)

L

)

t

(

y

=

−1

=

2)

(s

1)

(s

2.5

Y(s)

2

+

+

=

...

=

+

+

2)

(s

1)

(s

2.5

L

1 2

(31)

Descomposición en fracciones simples

( )

( )

2 2

( )

2

2

)

2

s

(

1

s

)

2

s

(

c

)

2

s

(

)

1

s

(

)

2

s

)(

1

s

(

b

)

2

s

(

1

s

1

s

a

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

( )

2

1

s

c

1

s

b

2

s

a

+

+

+

( )

2 2t t t

1

2

.

5

e

2

.

5

e

2

.

5

te

1

s

5

.

2

1

s

5

.

2

2

s

5

.

2

L

)

t

(

y

=

+

+

+

+

+

+

=

[ ]

1

Y

(

s

)

L

)

t

(

y

=

=

+

+

2)

(s

1)

(s

2.5

L

1 2

=

+

+

2)

(s

1)

(s

2.5

2

=

+

+

2)

(s

1)

(s

2.5

2

0

b

a

+

=

0

c

b

2a

+

3

+

=

2.5

2c

2b

a

+

+

=

-2.5

(32)

PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MÁS COMUNES

Linealidad L

[

af(t)+bg(t)

]

=aF(s)+bG(s) f(t) F(s)

Impulso unitario 1

Diferenciación en el dominio del tiempo

dt df sf s F s dt t f d f s sF dt t df ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( 2 2 2 − − =       − =     L L ) 0 ( ... ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) ( 1 0 2 1 − − − − − − − − =       n n n n n n f s f s f s s F s dt t f d L 1 s 1

Integración en el

dominio del tiempo s

f s s F dt t f

t ( ) (0 )

) ( ) 1 ( 0 + − − =    

L

[

()

]

( ) 1 ( )(0 )

1 1 )

( − +

= −+

=

n i

i n i n n f s s s F t f

L tn

1 ! + n s n

Desplazamiento en el

tiempo L

[

f(td)

]

=esdF(s) eat s+a

1

Teorema del valor

inicial limt→0f(t)=lims→∞sF(s) tneat ( ) 1

!

+

+a n

s n

Teorema del valor final limtf(t)=lims0sF(s) Asenwt 2 2

w s w A + Teorema de

convolución () ( ) ( ) ( )

0 s G s F d t g t

f =

     −

∞ τ τ

L Acoswt 2 2

w s s A +

( )

[

f t/

]

F( s) L α =α α

Transformación de variables. Cambio de

escala

[

( )

]

( )

α

α αt 1Fs/ f

L = α= constante positiva Aeatsenwt (s a)2 w2

w A

+ +

Traslación en el campo complejo

Si L

[ ]

f1(t) =F(s) y L

[

f2(t)

]

=F(s±α) siendo α= constante, entonces

(t) f e (t)

f t 1 2

α

m

= Aeatcoswt (s a)2 w2

a s A + + +

Diferenciación en el

campo complejo

[ ]

ds

dF(s) tf(t)

Figure

Tabla de las transformadas más  comunes t  n  e -αte-αtt n1 1Impulso unitario F(s)f(t)s11ns!n+α+s1 1+ α+ ) ns(!n

Tabla de

las transformadas más comunes t n e -αte-αtt n1 1Impulso unitario F(s)f(t)s11ns!n+α+s1 1+ α+ ) ns(!n p.14
Tabla de las transformadas más  comunes wtA sen. A w s w.2 2+ A .cos wt A s s w.2 2+ A e

Tabla de

las transformadas más comunes wtA sen. A w s w.2 2+ A .cos wt A s s w.2 2+ A e p.15

Referencias

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