EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

(1)

Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica.

Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González.

San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA INVERSA

DE LAPLACE

INTRODUCCION.

A continuación, se desarrolla la solución de tres problemas simples pero característicos desde el punto de vista operativo de la Transformada Inversa de Laplace con el objeto de establecer las tres técnicas básicas para la aplicación de esta clase de transformación, que se desprenden de la necesaria descomposición en fracciones parciales, sin olvidar por parte del estudiante que hay problemas donde puede ser imprescindible aplicarlas todas para poder llegar a la solución final.

Por otra parte, cada uno de los ejercicios se acompaña de sus respectivas gráficas tanto en el dominio de la frecuencia compleja “S” o mapa de polos y ceros, como en el dominio del tiempo o respuesta del sistema, para mostrar la relación que hay entre la ubicación de los polos y la forma de la respuesta en tiempo

Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están a disposición del publico en otro apartado, para que el interesado en el área experimente y modifique los parámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.

Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TILE01, el cual significa: Transformada Inversa de Laplace Ejercicio 01, de manera tal de no perder el enlace entre el ejercicio resuelto y la codificación en Matlab.

(2)

( )

₍

₎₍

(

₎₍

)

₎

( )

{ }

₍

₎₍

(

₎₍

)

₎

( )

{ }

₍

_{) (}

₎

( )

{ }

( )

(

)

₍

₎₍

(

₎₍

)

₎

F s

S

Solución

F s

S

F s

k

S

k

S

k

S

F s

f t

k

S

Descomposición Fracciones Parciales par a b c t t t forma de la respuesta

e

=

+

=

+

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

=

+

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

=

+

=

+ ⋅

+

− − − − = = = − − − −

2

3

1

5

2

3

1

5

3

1

5

3

2

3

1

5

1 1 1 1 1 2 3 7 3 1 5 1 1 3 2 3 5 1

:

L

determinacón de los coeficientes

(

)

(

)(

)

(

)(

)

( )

( )( )

(

)

₍

₎₍

(

₎₍

)

₎

₍

(

₎₍

)

₎

₍

(

₎₍

)

₎

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

⎡

₊

+

₊

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

⎡

_{− + − +}

− +

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

= −

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

+ ⋅

+

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

+

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

− +

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

= − = − = − = − S S S S

S

k

S

k

3 3 1 1 2 1 1

2

1

5

3

2 3 1

3

5

1 2 2

1

4

1

4 0 25

1

2

3

1

5

2

3

5 1 2

1 3

1 5

.

( )

( )( )

(

)

₍

₎₍

(

₎₍

)

₎

₍

(

₎₍

)

₎

₍

(

₎₍

)

₎

( )

( )( )

( )

{ }

( )

2 2 3 5 5 3 3 1

1 2 4

1

8

1

8 0125

5

2

3

1

5

2

3

1

5

2

5

3 5 1

3

2

4

3

8

3

8 0 375

1

4 =

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

⎡

_⎣⎢

⎤

_⎦⎥

=

+ ⋅

+

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

+

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

− +

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

= −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= −

=

= − = − − −

.

:

k

S

k

Sustituyendo Tenemos

F s

f t

S S

e

L

3

₁

5

8

3

8

t

e

t

e

t

+

−

− Ejercicio: TILE01

Obtenga la Transformada Inversa de Laplace,

L

-

{

( )

}

( )

, para la siguiente función haciendo uso

F s f t

1

=

(3)

(4)

(5)

( )

₍

₎

( )

{ }

₍

₎

( )

{ }

₍

₎

( )

{ }

( )

(

)

G s S S Solución G s S S G s A S A S A S k S G s g t A t A t A u t k e A d dS S S S Descomposición Fracciones Parciales par par t forma de la respuesta S = + = + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = + + + + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = = + + + = − ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − − − − − − − − = 6 4 6 4 4 1 1 1 6 4 3 1 1 3 1 1 1 3 2 2 3 1 6 7 1 1 2 2 3 1 4 1 1 1 1 1 3 3 0 : !

L

detreminación de los coeficientes

( )( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

[

]

[ ]

( )

(

)

(

)

( )

= + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = = = = − ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ₊ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = − = − = − = = − = − − = = = = − 1 1 6 4 3 2 15 1 2 1 6 4 1 6 4 0 4 1 6 4 6 4 6 4 3 8 0 375 1 3 1 0 1 2 2 1 2 1 3 3 0 0 2 2 0 2 0 2 2 3 3 1 S A A d dS S S S d dS S A S S S A A d S S S S S . ! . !

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

[

(

)( )

]

( )

(

)

dS S S S d dS S d dS d dS S A d dS S S S S S S S S S S 3 1 3 3 0 2 2 0 0 3 2 0 2 4 0 6 4 1 2 6 4 1 2 6 4 1 2 6 4 1 2 0 4 2 4 1 6 4 1 2 12 − = = = = = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = + − + − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ =

(

+

)

(

)

(

)

(

_{) ( )}

_{( )}

( )

{ }

4 4 1 2 12 4 1 2 12 4 1 2 3 16 3 32 0 09375 4 6 4 6 6 4 6 64 3 32 0 09375 4 0 3 3 0 3 3 1 3 4 3 4 3 1 1 S A S A k S S S S k Sustituyendo tenemos G s g S S S S + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭= ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭= = = = + ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ =⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = ₋ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥= − = − = − = = = = = − = − − . . :

L

( )

t = 3 t − t+ u t

( )

−

e

− t 2 38 332 332 2 4 Ejercicio: TILE02

L

-

{ }

( )

F s f t

1

=

(6)

(7)

(8)

( )

₍

₎

₍

(

)

₎

( )

{ }

₍

_{) (}

_[

(

)

₎

_]

( )

{ }

₍

_{) (}

_[

₎

_]

( )

{ }

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

H s S S S S Solución H s S S S H s k S M S H s h t k M sen t k S S S S Descomposición Fracciones Parciales par par t t forma de la respuesta

e

= + + + + = + + + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = + + ∠ + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = = + + = + ⋅ + + − − − − − − − 7 1 2 6 73 7 1 2 3 8 2 ₃ ₈ 8 8 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 ₂ 7 14 1 1 2 3 1 :

L

ϕ ϕ

determinación de los coeficientes 7

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

[

]

₍

_{) (}

_[

(

₎

)

_]

₍

(

₎

)

₍

(

₎

)

+ + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = − + − + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = −⎧⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭= − = − = ∠ = + + ⋅ + + + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = + + ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = − + + − + + ∠ = − + = − = − + = − + 3 8 2 1 2 3 64 65 7 65 01077 3 8 1 2 3 8 7 1 2 7 3 8 1 3 8 2 7 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ₂ 3 8 3 8 S S j S j k M S S S S S S j j M 7 7 7 . ϕ ϕ

(

)

(

)

(

)

( )

{ }

( )

(

)

j j j j rad M Sustituyendo tenemos H s h t

e

t

e

tsen t 8 1 8 14 56 1 8 716 6 91 716 012 7 65 716 8 8 012 1 2 3 − + = − + − + = ∠ ° = ∠ = ∠ = = − + + − − − . . . . : . . ϕ

L

Ejercicio: TILE03

L

-

{ }

( )

F s f t

1

=

(9)

(10)