TRANSFORMADA DE LAPLACE 1

18  15  Descargar (0)

Texto completo

(1)Sergio Yansen Núñez. Ejercicios de Transformada de Laplace 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. Determine la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones: a). 0 Ð>Ñ œ /&> Ð$>  #Ñ#. b). 0 Ð>Ñ œ /%> =/8Ð$>Ñ-9=Ð$>Ñ. Usando la definición de transformada de Laplace, determine las siguientes integrales impropias: a). ' +_ Ð>$  "Ñ/#> .>. b). ' +_ /#> -9=# Ð>Ñ.>. a). Determine _Ð/#>  >Ñ# ‘. b). Usando a), determine '0 /&> Ð/#>  >Ñ# .>. Sea. =" J Ð=Ñ œ _0 Ð>Ñ‘ œ =# %="$ . Determine:. a). 0 Ð>Ñ. b). _/#> † 0 Ð>Ñ‘. c). _0 w Ð>Ñ‘. d). _0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘. e). _/#> † 0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘. f). _" /#= † J Ð=Ñ‘. g). ' +_ /#> 0 Ð>Ñ.>. ! !. +_. !. El movimiento de un sistema de oscilación mecánica está gobernado por la ecuación # diferencial 7 ..>B#  - .B .>  5B œ 0 Ð>Ñ. donde 7 es la masa, - es la constante de amortiguamiento, 5 es la constante del resorte, 0 Ð>Ñ es una fuerza externa. La constante de un resorte de acero de 2 pie se mide colgando una masa que pesa 16 lb del resorte y observando que el resorte se estira 1% pie . Ahora se cuelga del resorte una. masa que pesa 8 lb . La masa se jala hacia abajo 1% pie y se deja libre con una velocidad dirigida hacia abajo de 1 pie/seg . Sea BÐ>Ñ el desplazamiento para > !. Determine _BÐ>Ñ‘ Þ Sergio Yansen Núñez.

(2) Sergio Yansen Núñez 6.. Resuelva la siguiente ecuación diferencial para > Cww  %Cw  %C œ 0 Ð>Ñ donde 0 Ð>Ñ œ œ CÐ!Ñ œ !. 7.. si ! Ÿ >  # si > #. Cw Ð!Ñ œ !. ß. Mediante la transformada de Laplace resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: .B .>.  B  C œ #-9=Ð#>Ñ. .C .>.  B  C œ  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ BÐ!Ñ œ !. sujeto a 8.. % #>. !. CÐ!Ñ œ !. ;. Si. # #="& _Ò/> 0 Ð>ÑÓ œ Ð==# #="(Ñ #. a). _Ò0 Ð>ÑÓ. b). _Ò/#> 0 Ð>ÑÓ. c). '. d). _Ò>/#> 0 Ð>ÑÓ. e). _Ò0 w Ð>ÑÓ. f). _'! /? 0 Ð?Ñ.?‘. g). _ ’ ÐÐ=#Ñ# #Ð=#Ñ"(Ñ# “. h). _Ò/># 0 Ð>  #Ñ.Ð>  #ÑÓ. !. _ %>. /. y. 0 Ð!Ñ œ ! ß determine:. 0 Ð>Ñ.>. >. ". /&= ÐÐ=#Ñ# #Ð=#Ñ"&Ñ. >" ) %?. 0 Ð>Ñ œ ÐÐ>  "Ñ/>" '!. ? / .?Ñ.Ð>  "Ñ . Determine _Ò0 Ð>ÑÓ. 9.. Sea. 10.. La ecuación diferencial para la corriente 3Ð>Ñ en un circuito en serie que contiene un .3. P .>  V3 œ IÐ>Ñ. inductor y un resistor es. donde IÐ>Ñ es la tensión aplicada. Use la transformada de Laplace para determinar la corriente 3Ð>Ñ cuando 3Ð!Ñ œ ! . Considere P œ " L , V œ "! H , y Ú ß>  ! Ý! $1 IÐ>Ñ œ Û =/8Ð>Ñ ß ! Ÿ >  # Ý ß > $#1 Ü! Sergio Yansen Núñez.

(3) Sergio Yansen Núñez 11.. 12.. #. Sea 0 Ð>Ñ œ =/8Ð%>Ñ  %>-9=Ð%>ÑÞ Si _Ò0 Ð>ÑÓ œ Ð=#)= "'Ñ# , determine : 0 Ð>Ñ. a). _Ò /$>" Ó. b). _Ò>'! 0 Ð?Ñ.?Ó. c). '. _ $>. d). / Ð=#Ñ _  Ð=# %=#!Ñ# ‘. !. /. 0 Ð>Ñ.>. >. ". #=. #. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: .B .> œ "  $B  C .C .> œ #B. BÐ!Ñ œ ". sujeto a 13.. ß. CÐ!Ñ œ # .. Mediante la transformada de Laplace resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: .B .>  B  C œ #-9=Ð#>Ñ .C .>  B  C œ  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ. BÐ!Ñ œ !. à. CÐ!Ñ œ !. 14.. Resuelva la ecuación diferencial C ww  C œ $ a>  #1b sujeta a CÐ!Ñ œ "ß Cw Ð!Ñ œ ! Þ. 15.. Sea 0 Ð>Ñ œ =/8Ð$>Ñ  $>-9=Ð$>Ñ Þ Si _Ò0 Ð>ÑÓ œ Ð=#'= *Ñ# , determine:. 16.. #. a). _Ò /#>" Ó. b). '. c). _. 0 Ð>Ñ. !. _ #>. ". /. 0 Ð>Ñ.>. Ð=$Ñ ‘  Ð=/$= '=")Ñ #. #. #. #. #= =# Si _Ò0 Ð>ÑÓ œ =Ð=#ÑÐ=#Ñ , determine. a). ". _ ÒJ Ð=ÑÓ. b). Sergio Yansen Núñez. _Ò/>" 0 Ð>  "Ñ.Ð>  "ÑÓ.

(4) Sergio Yansen Núñez 17.. Resuelva mediante tansformada de Laplace la siguiente ecuación diferencial sujeta a las condiciones indicadas. Cww  Cw œ />. CÐ!Ñ œ #. ,. Cw Ð!Ñ œ #. 18.. Usando la transformada de Laplace, determine una solución polinomial de grado " de la ecuación diferencial >C ww Ð>Ñ  Ð"  >ÑCw Ð>Ñ  CÐ>Ñ œ !. 19.. Determine _Ò1Ð>ÑÓ si 1Ð>Ñ œ '" /B ÐB  ÔBÕÑ.B. 20.. Sean. >. 0 Ð>Ñ œ œ. !  =/8Ð>Ñ. 1Ð>Ñ œ œ. > !. si ! Ÿ >  1 si > 1. si ! Ÿ >  1 si > 1. a). Exprese 0 y 1 en término de funciones escalones (de Heaviside). b). Determine Ð0 ‡1ÑÐ>Ñ. Sergio Yansen Núñez.

(5) Sergio Yansen Núñez. Resolución 1.. Determine la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones: a). 0 Ð>Ñ œ /&> Ð$>  #Ñ#. Solución: Ð$>  #Ñ# œ *>#  "#>  % _*>#  "#>  %‘ œ * † =#$  "# † ="#  %= ") "# % _/&> Ð$>  #Ñ# ‘ œ Ð=&Ñ $  Ð=&Ñ#  =&. b). 0 Ð>Ñ œ /%> =/8Ð$>Ñ-9=Ð$>Ñ. Solución: =/8Ð$>Ñ-9=Ð$>Ñ œ _. =/8Ð'>Ñ ‘ #. _/%> † 2.. =/8Ð'>Ñ #. ' œ "# † =# $'. =/8Ð'>Ñ ‘ #. œ "# † Ð=%Ñ'# $' œ Ð=%Ñ$# $'. Usando la definición de transformada de Laplace, determine las siguientes integrales impropias: a). ' +_ Ð>$  "Ñ/#> .> !. Solución: _>$  "‘ œ ='%  "= ' +_ Ð>$  "Ñ/#> .> !. b). ' œ Š ='%  "= ‹¹ œ #%  #" œ )( =œ#. ' +_ /#> -9=# Ð>Ñ.> !. Solución: "-9=Ð#>Ñ ‘ œ " Š "  #= ‹ _-9=# Ð>Ñ‘ œ _ # # = = % " " # $ ' +_ /#> -9=# Ð>Ñ.> œ " Š "  #= ‹¹ ! # = = % =œ# œ # Š #  %% ‹ œ ). Sergio Yansen Núñez.

(6) Sergio Yansen Núñez 3. a) Determine _Ð/#>  >Ñ# ‘ Solución: Ð/#>  >Ñ# œ /%>  #>/#>  ># " " # _Ð/#>  >Ñ# ‘ œ =%  # † Ð=#Ñ #  =$. b). +_. Usando a), determine '0 /&> Ð/#>  >Ñ# .>. Solución: ' +_ /&> Ð/#>  >Ñ# .> œ Š "  # † " #  #$ ‹¹ 0 =% Ð=#Ñ = =œ& " " # œ &%  # † Ð&#Ñ #  &$. œ. )*$ ""#&. 4. a). 0 Ð>Ñ Solución: =" =# %="$. =# " $ œ Ð=#Ñ # *  $ † Ð=#Ñ# *. 0 Ð>Ñ œ /#> Ð-9=Ð$>Ñ  "$ =/8Ð$>ÑÑ b). _/#> † 0 Ð>Ñ‘ Solución: _/#> † 0 Ð>Ñ‘ œ ==" # *. c). _0 w Ð>Ñ‘ Solución: =Ð="Ñ _0 w Ð>Ñ‘ œ =J Ð=Ñ  0 Ð!Ñ œ =# %="$  ". d). _0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘ Solución: _0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘ œ /#= _0 Ð>  #Ñ‘ 0 Ð>  #Ñ œ /#Ð>. #Ñ. Ð-9=Ð$Ð>  #ÑÑ  "$ =/8Ð$Ð>  #ÑÑÑ Sergio Yansen Núñez.

(7) Sergio Yansen Núñez œ /% /#> Ð-9=Ð$>ÑÐ-9=Ð'Ñ . =/8Ð'Ñ $ Ñ. _0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘ œ /#= /% ŠÐ-9=Ð'Ñ  e).  =/8Ð$>ÑÐ -9=Ð'Ñ  =/8Ð'ÑÑ $. =/8Ð'Ñ $ Ñ. -9=Ð'Ñ =# $ † Ð=#Ñ  =/8Ð'ÑÑ † Ð=#Ñ # *  Ð # * ‹ $. _/#> † 0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘ Solución: _/#> † 0 Ð>Ñ † .Ð>  #Ñ‘ † =#=*  Ð -9=Ð'Ñ  =/8Ð'ÑÑ † =#$* ‹ $ -9=Ð'Ñ = œ /#= ŠÐ-9=Ð'Ñ  =/8Ð'Ñ  =/8Ð'ÑÑ † =#$* ‹ $ Ñ † =# *  Ð $ œ /#Ð=. #Ñ %. / ŠÐ-9=Ð'Ñ . =/8Ð'Ñ $ Ñ. f). _" /#= † J Ð=Ñ‘ Solución: _" /#= † J Ð=Ñ‘ œ /#Ð>#Ñ Ð-9=Ð$Ð>  #ÑÑ  "$ =/8Ð$Ð>  #ÑÑÑ † .Ð>  #Ñ. g). ' +_ /#> 0 Ð>Ñ.> !. Solución: ' +_ /#> 0 Ð>Ñ. œ J Ð#Ñ œ " ! * 5.. 71 œ 5˜6 "' œ 5 "% 5 œ '% 6,Î:3/ Sea BÐ>Ñ el desplazamiento del cuerpo en el tiempo >. 71 œ ) , entonces 7 œ. " %. slug. 7Bww œ  5B " ww %B. œ  '%B. Bww  #&'B œ ! BÐ!Ñ œ. " %. Bw Ð!Ñ œ ". Bww  #&'B œ ! Î_ _ÒBww Ó  #&'_ÒBÓ œ ! =# \Ð=Ñ  =BÐ!Ñ  Bw Ð!Ñ  #&'\Ð=Ñ œ ! Sergio Yansen Núñez.

(8) Sergio Yansen Núñez =# \Ð=Ñ  = † "%  "  #&'\Ð=Ñ œ ! =† " ". % \Ð=Ñ œ =# #&'. ¾ _BÐ>Ñ‘ œ %Ð==% # #&'Ñ 6.. 0 Ð>Ñ œ %Ð.Ð>Ñ  .Ð>  #ÑÑ  #>.Ð>  #Ñ œ %.Ð>Ñ  Ð  %  #>Ñ.Ð>  #Ñ _0 Ð>Ñ‘ œ %=  /#= _  %  #Ð>  #Ñ‘ œ %=  /#= _#>‘ œ %=  /#= † =## #= œ %=  #/=#. Cww  %Cw  %C œ 0 Ð>Ñ. Î_. =# ] Ð=Ñ  CÐ! Ñ=  C w Ð! Ñ  %Ð=] Ð=Ñ  CÐ! ÑÑ  %] Ð=Ñ œ J Ð=Ñ #= Ð=#  %=  %Ñ] Ð=Ñ œ %=  #/=# #= Ð=  #Ñ# ] Ð=Ñ œ %=  #/=# #=. % #/ ] Ð=Ñ œ =Ð=#Ñ #  =# Ð=#Ñ# #=. # / ] Ð=Ñ œ #Š =Ð=#Ñ #  =# Ð=#Ñ# ‹ #=. # / " CÐ>Ñ œ #Š_" ’ =Ð=#Ñ ’ =# Ð=#Ñ #“_ #“ # Descomposión en fracciones parciales de =Ð=#Ñ # # =Ð=#Ñ#. œ. E =. . F =#. . G Ð=#Ñ#. Los valores para E ß F y G son:. E œ "# ß F œ  "# ß G œ ". # " " #> #> Por tanto, _" ’ =Ð=#Ñ # “ œ #  # /  >/. Sergio Yansen Núñez.

(9) Sergio Yansen Núñez " Descomposión en fracciones parciales de =# Ð=#Ñ # " =# Ð=#Ñ#. œ. E =. . F =#. . G =#. H Ð=#Ñ#. . E œ "% ß F œ "% ß G œ  "% ß H œ "%. Los valores para E ß F ß G y H son:. " " " " #> " #> Por tanto, _" ’ =# Ð=#Ñ # “ œ %  % >  % /  % >/ /#= " " " #Ð>#Ñ _" ’ =# Ð=#Ñ  %" Ð>  #Ñ/#Ð>#Ñ ‹.Ð>  #Ñ # “ œ Š %  % Ð>  #Ñ  % /. Luego, #Š "#  "# /#>  >/#>  Š "%  "% Ð>  #Ñ  "% /#Ð>#Ñ  "% Ð>  #Ñ/#Ð>#Ñ ‹.Ð>  #Ñ‹. CÐ>Ñ œ 7.. .B .>.  B  C œ #-9=Ð#>Ñ. .C .>.  B  C œ  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ. Aplicando Transformada de Laplace a ambas ecuaciones, se obtiene: =\Ð=Ñ  BÐ! Ñ  \Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ =##= % % =] Ð=Ñ  CÐ! Ñ  \Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ  =##= %  =# %. Ordenando las ecuaciones, se obtiene: Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ =##= %. Î † Ð  "Ñ. \Ð=Ñ  Ð=  "Ñ] Ð=Ñ œ #=% =# %. Î † Ð=  "Ñ #= =# %.  Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ . Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  Ð=#  "Ñ] Ð=Ñ œ. Ð#=%ÑÐ="Ñ =# %. Sumando estas dos últimas ecuaciones: ÐW #  #Ñ] Ð=Ñ œ. Ð#=%ÑÐ="Ñ =# %.  =##= %. Sergio Yansen Núñez.

(10) Sergio Yansen Núñez ÐW #  #Ñ] Ð=Ñ œ. #Ð=# #Ñ =# %. ] Ð=Ñ œ  =##% Aplicando Tansformada de Laplace inversa se obtiene: CÐ>Ñ œ  =/8Ð#>Ñ .C. De la ecuación .>  B  C œ  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ se obtiene: .C. B œ C  .>  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ B œ  =/8Ð#>Ñ  #-9=Ð#>Ñ  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ B œ =/8Ð#>Ñ Luego, BÐ>Ñ œ =/8Ð#>Ñ , CÐ>Ñ œ  =/8Ð#>Ñ 8. a). # Ð="Ñ# "' #="& _/> 0 Ð>Ñ‘ œ Ð==# #="(Ñ # œ ÐÐ="Ñ# "'Ñ# # "' _0 Ð>Ñ‘ œ Ð==# "'Ñ #. Ð=#Ñ# "'. b). _/#> 0 Ð>Ñ‘ œ ÐÐ=#Ñ# "'Ñ#. c). # ' _ /%> 0 Ð>Ñ.> œ J Ð%Ñ œ =# "' # ¹. d). # . "' _>0 Ð>Ñ‘ œ  " † .= Š Ð==# "'Ñ #‹. Ð= "'Ñ. !. œ!. œ . #=Ð=# "'Ñ# Ð=# "'ц#Ð=# "'ц#=Ñ Ð=# "'Ñ%. œ . #=Ð=# "'Ñ%=Ð=# "'Ñ Ð=# "'Ñ$. _>/#> 0 Ð>Ñ‘ œ  e). =œ%. _0 w Ð>Ñ‘. #Ð=#ÑÐÐ=#Ñ# "'Ñ%Ð=#ÑÐÐ=#Ñ# "'Ñ ÐÐ=#Ñ# "'Ñ$. œ =J Ð=Ñ  0 Ð! Ñ # =Ð=# "'Ñ "' œ = † Ð==# "'Ñ #  ! œ Ð=# "'Ñ#. Sergio Yansen Núñez.

(11) Sergio Yansen Núñez # > #="& f) _'! /? 0 Ð?Ñ.?‘ œ "= _/> 0 Ð>Ñ‘ œ "= † Ð==# #="(Ñ # g). #. #="& > _" ’ Ð==# #="(Ñ # “ œ / 0 Ð>Ñ Ð=#Ñ# #Ð=#Ñ"&. _" ’ ÐÐ=#Ñ# #Ð=#Ñ"(Ñ# “ œ /#> † /> 0 Ð>Ñ œ /$> 0 Ð>Ñ /&= ÐÐ=#Ñ# #Ð=#Ñ"&Ñ. _" ’ ÐÐ=#Ñ# #Ð=#Ñ"(Ñ# “ œ /$Ð>&Ñ 0 Ð>  &Ñ.Ð>  &Ñ h). # #="& _/>2 0 Ð>  2Ñ.Ð>  2Ñ‘ œ /#= _/> 0 Ð>Ñ‘ œ /#= † Ð==# #="(Ñ #. 9.. _0 Ð>Ñ‘ œ _ÐÐ>  "Ñ/>" '!. >" ) %?. ? / .?Ñ‘.Ð>  "Ñ. >. œ /= _>/> '! ?) /%? .?‘ ‡ > > . _>'! ?) /%? .?‘ œ  " † .= Š_'! ?) /%? .?‘‹. . " œ  .= Š = † _>) /%> ‘‹ ‡‡. _>) ‘ œ =)x* )x _>) /%> ‘ œ Ð=%Ñ *. volviendo a ** : . " )x _>'! ?) /%? .?‘ œ  .= Š = † Ð=%Ñ *‹ >. . )x =  .= Š =Ð=%Ñ * ‹ , efectuando la derivada y simplificando se obtiene: )xÐ"!=%Ñ > _>'! ?) /%? .?‘ œ =# Ð=%Ñ"! )xÐ"!Ð="Ñ%Ñ. >. )xÐ"!="%Ñ. _>/> '! ?) /%? .?‘ œ Ð="Ñ# Ð="%Ñ"! œ Ð="Ñ# Ð=&Ñ"! volviendo a * )xÐ"!="%Ñ. _0 Ð>Ñ‘ œ /= † Ð="Ñ# Ð=&Ñ"! )x/= Ð"!="%Ñ. = Ð="Ñ# Ð=&Ñ"!. Sergio Yansen Núñez.

(12) Sergio Yansen Núñez 10. .3. P .>  V3 œ IÐ>Ñ .3 P .>  V3 œ =/8Ð>ÑÐ.Ð>Ñ  .Ð>  $#1 Ñ. Î_. $1 =MÐ=Ñ  3Ð! Ñ  "!MÐ=Ñ œ _Ò=/8Ð>ÑÓ  / # = _Ò=/8Ð>  $#1 ÑÓ.  $#1 =. Ð=  "!ÑMÐ=Ñ œ =#""  /=# "=. . $1 = #. " / = MÐ=Ñ œ Ð="!ÑÐ= # "Ñ  Ð="!ÑÐ=# "Ñ " Ð="!ÑÐ=# "Ñ. œ. E ="!. . F=G =# ". Los valores de Eß F y G son: " E œ "!" = Ð="!ÑÐ=# "Ñ. " F œ  "!". œ. Ew ="!. . "! G œ "!". F w =G w =# ". Los valores de Ew ß Fw y G w son: "! Ew œ  "!". "! Fw œ "!". " G w œ "!". ". " " "!> " "! _  Ð="!ÑÐ=  "!" -9=Ð>Ñ  "!" =/8Ð>Ñ # "Ñ ‘ œ "!" /. ". = "! "!> "! " _  Ð="!ÑÐ=  "!" -9=Ð>Ñ  "!" =/8Ð>Ñ # "Ñ ‘ œ  "!" /. 3Ð>Ñ œ " "!> " "! Ð "!" /  "!" -9=Ð>Ñ  "!" =/8Ð>ÑÑ  $1 $1 $1 "! "!Ð> # Ñ "! " $1 Ð  "!" /  "!" -9=Ð>  Ñ  =/8Ð>  "!" # # ÑÑ.Ð>  # Ñ à > ; !Þ 11. a) Sergio Yansen Núñez.

(13) Sergio Yansen Núñez 0 Ð>Ñ. )Ð=$Ñ#. _Ò /$>" Ó œ /" _Ò/$> 0 Ð>ÑÓ œ /" ÐÐ=$Ñ# "'Ñ# b) > > . _Ò>'! 0 Ð?Ñ.?Ó œ  .= Š_Ò'! 0 Ð?Ñ.?Ó. J Ð=Ñ. . œ  .= Š = ‹. )= . œ  .= Š Ð=# "'Ñ# ‹ )Ð"'$=# Ñ. œ  Ð=# "'Ñ$ c) '. !. _ $>. /. #. (# 0 Ð>Ñ.> œ J Ð$Ñ œ Ð$#)†$ "'Ñ# œ '#&. d) #=. ". #. / Ð=#Ñ _  Ð=# %=#!Ñ# ‘ ". #=. #. / Ð=#Ñ œ _  ÐÐ=#Ñ# "'Ñ# ‘ /#= )Ð=#Ñ# œ ") _  ÐÐ=#Ñ# "'Ñ# ‘ ". œ ") /#Ð>#Ñ Ð=/8Ð%Ð>  #Ñ  %Ð>  #Ñ-9=Ð%Ð>  #ÑÑ.Ð>  #Ñ 12. .B .> œ "  $B  C. /_. .C .> œ #B. /_. =\Ð=Ñ  BÐ! Ñ œ "=  $\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ =] Ð=Ñ  CÐ! Ñ œ #\Ð=Ñ Ð=  $Ñ\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ "=  ". Î †=. #\Ð=Ñ  =] Ð=Ñ œ  # Sergio Yansen Núñez.

(14) Sergio Yansen Núñez =Ð=  $Ñ\Ð=Ñ  =] Ð=Ñ œ =  ". (1). #\Ð=Ñ  =] Ð=Ñ œ  #. (2). (1)+(2). =Ð=  $Ñ\Ð=Ñ  #\Ð=Ñ œ =  " Ð=Ð=  $Ñ  #Ñ\Ð=Ñ œ =  " Ð=#  $=  #Ñ\Ð=Ñ œ =  " =" =" " \Ð=Ñ œ =# $=# œ Ð="ÑÐ=#Ñ œ =#. BÐ>Ñ œ /#> .B De .B .> œ "  $B  C se obtiene: C œ "  $B  .> (*). Reemplazando BÐ>Ñ œ /#> en (*) se obtiene: C œ "  $/#>  #/#> œ "  /#> Luego BÐ>Ñ œ /#> CÐ>Ñ œ "  /#> 13. .B .>  B  C œ #-9=Ð#>Ñ Î _ .C .>  B  C œ  #-9=Ð#>Ñ  #=/8Ð#>Ñ Î _. =\Ð=Ñ  BÐ!Ñ  \Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ =##= % % =] Ð=Ñ  CÐ!Ñ  \Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ  =##= %  =# %. Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ =##= % Î † Ð  "Ñ \Ð=Ñ  Ð=  "Ñ] Ð=Ñ œ #=% =# % Î † Ð=  "Ñ. Sergio Yansen Núñez.

(15) Sergio Yansen Núñez  Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ  =##= %. (1). # Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  Ð=#  "Ñ] Ð=Ñ œ #= #=%=% =# %. Ð=#  #Ñ] Ð=Ñ œ. (1)+(2). (2). #Ð=# #Ñ =# %. ] Ð=Ñ œ  =##% CÐ>Ñ œ  =/8Ð#>Ñ Reemplazando ] Ð=Ñ œ  =##% en Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ =##= % se obtiene: Ð=  "Ñ\Ð=Ñ  =##% œ =##= % \Ð=Ñ œ =##% BÐ>Ñ œ =/8Ð#>Ñ BÐ>Ñ œ =/8Ð#>Ñ. Luego,. ,. CÐ>Ñ œ  =/8Ð#>Ñ. 14. Cww  C œ $ a>  #1b Î _ =# ] Ð=Ñ  CÐ!Ñ=  C w Ð!Ñ  ] Ð=Ñ œ _Ò$ a>  #1bÓ =# ] Ð=Ñ  =  ] Ð=Ñ œ /#1=. Ð=#  "Ñ] Ð=Ñ œ /#1=  = ] Ð=Ñ œ. /#1= =# ".  =#=". CÐ>Ñ œ =/8Ð>  #1Ñ.Ð>  #1Ñ  -9=Ð>Ñ CÐ>Ñ œ =/8Ð>Ñ.Ð>  #1Ñ  -9=Ð>Ñ 15. 0 Ð>Ñ œ =/8Ð$>Ñ  $>-9=Ð$>Ñ #. _Ò0 Ð>ÑÓ œ Ð=#'= *Ñ# Sergio Yansen Núñez.

(16) Sergio Yansen Núñez a). _Ò /#>" Ó œ. b). '. c). _. /" _Ò/#> 0 Ð>ÑÓ œ /" † ÐÐ=#Ñ# *Ñ# œ 'Ð=#Ñ#. 0 Ð>Ñ. !. _ #>. ". #. †# 0 Ð>Ñ.> œ Ð#'# *Ñ #. ". ". #. #. #. #.  Ð= =*Ñ ‘ œ '" Ð=/8Ð$>Ñ  $>-9=Ð$>ÑÑ #. #. Ð=$Ñ  ÐÐ=$Ñ ‘ œ /$> † '" Ð=/8Ð$>Ñ  $>-9=Ð$>ÑÑ œ /' Ð=/8Ð$>Ñ  $>-9=Ð$>ÑÑ *Ñ #. #. ". ". #. #. _. #% œ "'*. Ð=$Ñ ‘ /$= Ð=$Ñ ‘  Ð=/$=  œ _ '=")Ñ ÐÐ=$Ñ *Ñ #. _. _. /. '/" Ð=#Ñ# ÐÐ=#Ñ# *Ñ#. $>. #. /$= Ð=$Ñ ‘  ÐÐ=$Ñ œ / *Ñ #. #. $Ð>$Ñ. #. '. Ð=/8Ð$Ð>  $ÑÑ  $Ð>  $Ñ-9=Ð$Ð>  $ÑÑÑ.Ð>  $Ñ. 16. #. #= =# _Ò0 Ð>ÑÓ œ =Ð=#ÑÐ=#Ñ. a). ". _ ÒJ Ð=ÑÓ œ 0 Ð>Ñ. #=# =# =Ð=#ÑÐ=#Ñ. F G œ E =  =#  =# (descomposición en feacciones parciales). Los valores de E, F y G son : E œ "# ß F œ " ß G œ "# ". 0 Ð>Ñ œ _. "Î# "Î# #= =# ‘ "  =Ð=#ÑÐ=#Ñ œ _  =  =#  =# ‘ #. ". 0 Ð>Ñ œ "#  /#>  "# /#> b). _Ò/>" 0 Ð>  "Ñ.Ð>  "ÑÓ. œ /= _Ò/> 0 Ð>ÑÓ "Î#. "Î#. " œ /= Š ="  ="#  ="# ‹ " " " œ /= Š #Ð="Ñ  ="  #Ð=$Ñ ‹. 17. Cww  Cw œ /> Î _ Sergio Yansen Núñez.

(17) Sergio Yansen Núñez " =# ] Ð=Ñ  =CÐ!Ñ  C w Ð!Ñ  Ð=] Ð=Ñ  CÐ!ÑÑ œ =" " =# ] Ð=Ñ  #=  #  Ð=] Ð=Ñ  #Ñ œ =" " Ð=#  =Ñ] Ð=Ñ œ #=  =" " =Ð=  "Ñ] Ð=Ñ œ #=  =" # " ] Ð=Ñ œ ="  =Ð="Ñ #. " =Ð="Ñ#. F G œ E =  ="  Ð="Ñ#. Los valores de Eß F y G son : E œ " ß F œ  " ß G œ " ". CÐ>Ñ œ _. # " " ‘  ="  "=  ="  Ð="Ñ #. CÐ>Ñ œ />  "  >/> 18. Sea CÐ!Ñ œ + ß Cw Ð!Ñ œ , y. _ÒCÐ>ÑÓ œ ?. . # .  .= Ð= ?  +=  ,Ñ  =?  +  .= Ð=?  +Ñ  ? œ !.  #=?  =# ?w  +  =?  +  ?  =?w  ? œ !  Ð=#  =Ñ?w  Ð#  =Ñ? œ ! #= ?w  =Ð="Ñ ?œ!. ¾. '. ? œ -/. #= =Ð="Ñ .=. 'Š. œ -/. " # ="  = ‹.=. œ -/68Ð="Ñ#68Ð=Ñ œ. ? œ -Š "=  ="# ‹ ¾. CÐ>Ñ œ -Ð"  >Ñ. -Á!. 19. " _Ò1Ð>ÑÓ œ "= _Ò/> Ð>  Ô>ÕÑÓ  "= '! B/B .B. 0 Ð>Ñ œ >  Ô>Õ tiene periodo : œ " Sergio Yansen Núñez. -Ð="Ñ =#.

(18) Sergio Yansen Núñez " ' " => " " = ¾ _Ò>  Ô>ÕÓ œ "/ .> œ "/  ="# /=  ="# ‹ = ! >/ = Š  = / œ ="#  =Ð/=""Ñ " " _Ò/> Ð>  Ô>ÕÑÓ œ Ð="Ñ #  Ð="ÑÐ/=" "Ñ ". " Además '! B/B .B œ ÐB/B  /B ѹ. !. ¾ 20. a). œ". " " " _Ò1Ð>ÑÓ œ =Ð="Ñ #  =Ð="ÑÐ/=" "Ñ  =. 0 Ð>Ñ œ  .Ð>  1Ñ=/8Ð>Ñ œ .Ð>  1Ñ=/8Ð>  1Ñ 1Ð>Ñ œ Ð"  .Ð>  1ÑÑ> œ >  .Ð>  1ÑÐ>  1Ñ  1.Ð>  1Ñ. b). 1= 1= 1= _ÒÐ0 ‡1ÑÐ>ÑÓ œ =/# " Š ="#  /=#  1/= ‹. _" ’ =# Ð="# "Ñ “ œ _" ’ ="#  =#"" “ œ >  =/8Ð>Ñ _" ’ =Ð=#""Ñ “ œ _" ’ ="  =#=" “ œ "  -9=Ð>Ñ ¾ Ð0 ‡1ÑÐ>Ñ œ .Ð>  1ÑÐ>  1  =/8Ð>  1Ñ  .Ð>  #1ÑÐ>  #1  =/8Ð>  #1Ñ  1.Ð>  #1ÑÐ"  -9=Ð>  #1ÑÑ œ .Ð>  1ÑÐ>  1  =/8Ð>Ñ  .Ð>  #1ÑÐ>  1  =/8Ð>Ñ  1-9=Ð>ÑÑ. Sergio Yansen Núñez.

(19)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...