T
T
ransformada de Laplace en
ransformada de Laplace en
sistemas de cont
sistemas de cont
rol
rol
automático
automático
TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas
transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una ariable de entrada en otra función en integral impropia y cambian una función en una ariable de entrada en otra función en otra ariable. La transformada de Laplace puede ser usada para resoler Ecuaciones otra ariable. La transformada de Laplace puede ser usada para resoler Ecuaciones !iferenciales Lineales y Ecuaciones "ntegrales. #unque se pueden resoler alg$n tipo de !iferenciales Lineales y Ecuaciones "ntegrales. #unque se pueden resoler alg$n tipo de E! con coeficientes ariables, en general se aplica a problemas con coeficientes
E! con coeficientes ariables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. %n requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la constantes. %n requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma E!. &u mayor enta'a sale a relucir cuando la función en la ariable independiente misma E!. &u mayor enta'a sale a relucir cuando la función en la ariable independiente que aparece en la E! es una función seccionada.
que aparece en la E! es una función seccionada.
(uando se resuelen E! usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación (uando se resuelen E! usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodolog)a consiste en aplicar la transformada diferencial en un problema algebraico. La metodolog)a consiste en aplicar la transformada a la E! y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de a*ora a la E! y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de a*ora consiste en encontrar una función en la ariable independiente tenga una cierta e+presión consiste en encontrar una función en la ariable independiente tenga una cierta e+presión como transformada.
como transformada.
Definición de la
Definición de la Tr
Transformada
ansformada
&ea&ea f f una una función función definida definida para para , , la la transformada transformada de de Laplace Laplace de de ft- ft- se se definedefine como
como
cuando tal integral conerge cuando tal integral conerge
Notas
Notas
.. La letra La letra s represes representa unnta una nuea nuea ariaba ariable, que le, que para el para el proceso proceso de integde integracionracion se considera constante
se considera constante /.
/. La tranLa transformada sformada de Lade Laplace coplace conierte unierte una funna funcion en cion en t en ut en una funna funcion en cion en lala ariable s
ariable s 0.
• !e orden e+ponencial • (ontinua a tro2os
En ingenier)a es usual describir los sistemas lineales mediante sus funciones de transferencia en e2 de con sus ecuaciones diferenciales de la forma. 3or e'emplo el siguiente sistema de control mediante retroalimentación, dado por el siguiente diagrama
En este sistema buscamos obtener la solución transformada 42-mediante el siguiente proceso. "nicialmente obtenemos 52- a partir del sistema dado por la función de transferencia F2-. La función 52- se transforma en el sistema dado por 62- obteniéndose &2-. Fi7 nalmente E2- 8 42- 9 &2-, que a su e2 uele a ser utili2ada para obtener una nuea 5 2- mediante el proceso dado por la función de transferencia F2-. :uscamos la función de transferencia
3ara ello utili2amos que
(omo
de donde
# partir de esta función de transferencia puede la estabilidad del sistema de control por retroalimentación planteado calculando los polos de T2-.
3or e'emplo, supongamos que Es inmediato er que
y resolviendo la ecuación
obtenemos como posibles ra)ces , por lo que el sistema será inestable. #demás, podemos e+presar la ecuación diferencial lineal que define el sistema teniendo en cuenta que
de donde
y definiendo y sabiendo como se construye la función de transferencia, tenemos que el sistema endrá dado por las ecuaciones
3ara finali2ar, podemos comprobar el carácter inestable del sistema de retroalimentación del e'emplo anterior considerando la función rampa
cuya gráfica es
Entonces su Transformada de Laplace es
de donde la Transformada de Laplace de + iene dada por
Otenemos su Transformada inversa
donde
lo cual e'emplifica la inestabilidad de este sistema concreto.
Función de transferencia en los sistemas de control
&u estudio se enfoca dos teor)as1 la clásica y la moderna.
Teor!a cl"sica1
Es la más sencilla porque en ella no interesa conocer en detalle lo que sucede dentro del sistema solo interesa la relación entrada7salida del sistema.
teor!a moderna1
#nali2a los sistemas automáticos desde el punto de ista interno, si interesa conocer lo que sucede dentro del sistema.
3or medio de la teor)a clásica se puede conocer de forma sencilla1 7 (ómo a a comportarse el sistema en cada situación1 seg$n la entrada que se produ2ca en el sistema, sabremos cuál será la respuesta ó salida.
7 La estabilidad del mismo1 saber si la respuesta del sistema se mantendrá siempre dentro de unos l)mites determinados, o llegará en alg$n momento a ser
La función de transferencia de un sistema de control se define como el cociente entre las transformadas de Laplace de las se>ales de salida y de entrada.
Polos y ceros de la función de transferencia$
7Los ceros son las ra)ces que toma el numerador al igualarse a cero
- Los polos son las ra)ces que toma el denominador al igualarse a cero
- Estos alores representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la
respuesta del sistema, ya que de lo contrario llegará a la región nula o se irá al infinito.
- Las ra)ces de la ecuación caracter)stica, las cuales son los polos de la función de
transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de comple'os
con'ugados. En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negatias para que el sistema sea estable.
- %n sistema es estable si todos su polos se ubican en el lado i2quierdo del plano
?&@.
-
O#eraciones con dia%ramas de lo&ues$
- 7 Los diagramas de bloques se pueden obtener a partir de las funciones de - transferencia. E+isten métodos para reducir los diagramas ya que son
complicados1
-
'lo&ues en serie$
La función de transferencia global para un sistema compuestopor ?n@ bloques en serie, es igual al producto de las funciones de transferencia
&ustituyendo en /- el alor de A&- dado en - 1
A/&-8 A&-.6&-.6/&-, y repitiendo *asta la ecuación n- resulta1 (&-8 A&-.6&-.6/&-. B .6n&-. Entonces resulta para la función de transferencia global1
()S* + C)S* , R)S* + (-)S*.(/)S*. 0.. . (n)S*
'lo&ues en #aralelo1 La función de transferencia global para un sistema compuesto por
?n@bloques en paralelo, es igual a la suma de las funciones de transferencia aisladas.
()S* + C)S* , R)S* + (-)S* 1 (/)S* 1 0..1 (n)S*
Sistema en ucle cerrado )e2#resión de su función de transferencia *$
7 El diagrama de bloques de un sistema en bucle cerrado, en el campo comple'o podemos representarlo1!onde1
A&-1 Transformada de Laplace de la se>al de entrada ó referencia. E&-1 Transformada de Laplace de la se>al de error.
(&-1 Transformada de Laplace de la se>al de salida ó ariable controlada. 6&-1 Función de transferencia directa reguladorC accionador C proceso-. :&-1 Transformada de Laplace de la se>al realimentada.
H&-1 Función de transferencia del bucle de realimentación
Estailidad$
Sistema estale$ Es aquel que permanece en reposo a no ser que se
e+cite por una fuente e+terna, en cuyo caso alcan2ará de nueo el reposo una e2 que desapare2can las e+citaciones.su ecuación caracter)stica sus polos- deben estar situadas en la parte negatia del plano comple'o de Laplace.
#plicaciones actuales del control en "ngenier)a #eronáutica
•
(randes estructuras
es#aciales. Es frecuente
escuc*ar que el despliegue de una antena o telescopio en el espacio *a ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que *an inutili2ado completamente la estructura. Estos despliegues y acoplamientos decomponentes deben basarse en el control.
•
Control de la comustión. &e trata de un tema releante en la industria
aeronáutica y aeroespacial en las que se *ace imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion que, normalmente, iene acompa>ada de
perturbaciones ac$sticas considerables. En el pasado se *a reali2ado el énfasis en los aspectos del dise>o, modificando la geometr)a del sistema para interferir la interacción, combustión7ac$stica o incorporando elementos disipatios. El control actio de la combustión mediante mecanismos térmicos o ac$sticos, es un tema en el que casi todo está por e+plorar
•
Control de Fluidos. &e trata de un problema con muc*a importancia en
aeronáutica puesto que la dinámica estructural del aión en sus alas, por e'emplo- está acoplada con el flu'o del aire en su entorno. #unque en los aiones conencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es probable que los aiones del futuro tengan que incorporar
mecanismos de control para eitar la aparición de turbulencias en torno a las alas. !esde un punto de ista matemático casi todo está por *acer, tanto en lo que respecta a la modeli2ación, al control y a los aspectos computacionales.
LOS PACS
Los ingenieros de grandes compa>)as con la tarea de resoler los problemas de ba'o rendimiento computacional y aumentar las capacidades básicas de los 3L(s fueron los que consideraron las 3(s para control industrial para obtener la fle+ibilidad ofrecida por softDare y el *ardDare de alto niel. &in embargo, utili2ar las 3(s para control industrial en aquella época también significa lidiar con debilidades in*erentes como estabilidad, confiabilidad, y *erramientas de programación no familiares.
El paso eolutio obio en estas *erramientas fue el desarrollo de productos que ofrecen la enta'a en ambas plataformas. (ompa>)as como AocDell, &iemens, 6E Fanuc, y :ec*off ieron la necesidad de estos dispositios y *oy d)a ofrecen plataformas completas basándose en este concepto. Los nueos controladores resultantes, dise>ados para lograr aplicaciones más especiali2adas, combinan lo me'or de las caracter)sticas 3L( con lo me'or de las caracter)sticas de las 3(s. El analista industrial #A( nombró a estos dispositios controladores de automati2ación programable, o 3#(s.
3456 ES 5N PAC7
%n 3#( 3rogrammable #utomation (ontroller- es una tecnolog)a industrial orientada al control automati2ado aan2ado, al dise>o de equipos para laboratorios y a la medición de magnitudes análogas. El 3#( se refiere al con'unto formado por un controlador una (3% t)picamente-, módulos de entradas y salidas, y uno o m$ltiples buses de datos que lo
interconectan todo.
Este controlador combina eficientemente la fiabilidad de control de un autómata o 3L( 'unto a la fle+ibilidad de monitori2ación, cálculo y desempe>o de un computador industrial.
Los 3#(s pueden utili2arse en el ámbito inestigador y de laboratorios, pero es sobre todo en el industrial, para control de máquinas y procesos, donde más se utili2a. # destacar los siguientes1 m$ltiples la2os cerrados de control independientes, la2os de control robusto, adquisición de datos de precisión, análisis matemático y memoria profunda, monitori2ación remota, isión artificial, control de moimiento y robótica, seguridad controlada, administración de recursos #A3 o , entre otros.
Los 3#(s de se comunican usando los protocolos de red abiertos como T(3"3 u G3(. Espec)ficamente los 3#(s :ec*off prácticamente están abiertos a todos los protocolos industriales como lo son Et*er(#T, Lig*tbus, 3AGF":%& !3 FM&, "nterbus, (#open, Multi7Master , !eiceet, (ontrolet, Modbus, Fipio, ((7Lin, &EA(G& A&/0/A&IJK, Et*ernet T(3 "3, Et*ernet "3, 3AGF"ET, %&:, entre otros.
3456 ES 5N PLC7
El 3L( es un dispositio electrónico que puede serprogramado por el usuario y se utili2a en la industria para resoler problemas de secuencias en la maquinaria o procesos, a*orrando costos en mantenimiento y aumentando la confiabilidad de los equipos. Es importante conocer sus generalidades y lo que un 3L( puede *acer por tu proceso, pues podr)as estar gastando muc*o dinero en mantenimiento y reparaciones, cuando estos equipos te solucionan el problema y se pagan sólos.
#demás, programar un 3L( resulta bastante sencillo. #nteriormente se utili2aban los sistemas de releadores pero las desenta'as que presentaban eran bastantes más adelante mencionaremos algunas. La *istoria de los 3L( nos dice que fueron desarrollados por "ngenieros de la 6M( 6eneral Motors (ompany- para sustituir sus sistemas basados en releadores.
La palabra 3L( es el acrónimo de (ontrolador Lógico 3rogramable en inglés 3rogrammable Logic (ontroler-.
PLC8S 9 RELE:ADORES
Los sistemas de releadores eran utili2ados para un proceso espec)fico, por lo tanto su función era $nica. 3ensar en cambiar el proceso era un caos y el cambio requer)a oler a obtener la lógica de control y para obtenerla se tenia que reali2ar un análisis matemático. También *ab)a que modificar el cableado de los releadores y en algunos casos incluso era necesario oler a *acer la instalación del sistema.
En cambio, el 3L( es un sistema de microprocesador en otras palabras una computadora de tipo industrial. Tiene una %nidad central de procesamiento me'or conocido como (3%, interfaces de comunicación, y puertos de salida y entrada de tipo digital o análogo, etc., y estas son solo algunas de sus caracter)sticas más sobresalientes
CAMPOS DE APL;CAC;<N DEL PLC
En la actualidad el campo de aplicación de un 3L( es muy e+tenso. &e utili2an fundamentalmente en procesos de maniobras de máquinas, control, se>ali2ación, etc. La aplicación de un 3L( abarca procesos industriales de cualquier tipo y ofrecen cone+ión a
red esto te permite tener comunicado un 3L( con una 3( y otros dispositios al mismo tiempo, permitiendo *acer monitoreo, estad)sticas y reportes.
:ENTA=AS DEL PLC
Hablar sobre las enta'as que ofrece un 3L( es un tema largo, pero aqu) te presentare las más importantes1
• Gfrecen las mismas enta'as sobre la lógica cableada, principalmente por su
ariedad de modelos e+istentes.
• Menor tiempo empleado en su elaboración.
• 3odrás reali2ar modificaciones sin cambiar cableado. • La lista de materiales es muy reducida.
• M)nimo espacio de aplicación. • Menor costo.
• Mantenimiento económico por tiempos de paro reducidos.
LAS F5NC;ONES '>S;CAS DE 5N PLC SON LAS S;(5;ENTES$
• !etección
• El 3L( detecta se>ales del proceso de diferentes tipos. • Mando
• Elabora y en)a acciones al sistema seg$n el programa que tenga. • !ialogo *ombre maquina
• Aecibe configuraciones y da reportes al operador de producción o
superisores.
• 3rogramación
• El programa que utili2a permite modificarlo, incluso por el operador, cuando se
encuentra autori2ado.
3or todo esto es eidente que por medio de la implementación de un sistema de control 3L( es posible *acer automático prácticamente cualquier proceso, me'orar laeficiencia y confiabilidad de la maquinaria, y lo más importante ba'ar los costos.En suma, se pagan solos.
D;FERENC;AS 9 S;M;L;T5DES ENTRE 5N PAC 9 5N PLC
Los 3#(s y 3L(s tienen arias cosas en com$n. "nternamente, ambos incluyen una fuente de potencia, un (3%, un plano trasero o dispositio de E&, y módulos. Tienen registros de memoria que refle'an los canales de E& indiiduales en los módulos. &in embargo, las siguientes diferencias resultan muy significatias.
En su estudio de ?6eneralidades de los (ontroladores Lógicos 3rogramables a iel Mundial@, #A( identificó K caracter)sticas principales en los 3#(1
• Funcionalidad de dominio m$ltiple, al menos dos de lógica, moimiento, control
3"!, y proceso en una sola plataforma
• 3lataforma de desarrollo sencillo de disciplina m$ltiple incorporando etiquetas
comunes y una base de datos sencilla para tener acceso a todos los parámetros y funciones
• Herramientas de softDare que permiten dise>ar flu'o del proceso a traés de arias
máquinas o unidades de proceso, 'unto con el "E( 070, gu)a del usuario y administración de datos
• #rquitecturas modulares, abiertas que refle'an las aplicaciones industriales a partir
de un despliegue de maquinaria en fábricas en plantas de proceso
• %so de estándares de la industria para interfases en red, lengua'es, etc., como
b$squedas T(3"3, G3( y 5ML, y &NL
:ENTA=AS DE LOS PACs EN LA AD45;S;C; <NDE DATOS
%na enta'a de los 3#( al compararse con los 3L(s, son la *abilidad para procesar y desempe>ar medidas comple'as. (on esta caracter)stica, puede combinar diferentes sistemas de adquisición de datos como frecuencias, formas de onda, olta'es, corrientes, control de moimiento e incluso, adquisición de imágenes. Esto crea un niel sin precedentes de manipulación y estandari2ación en términos del tipo de se>ales que pueden manipularse y procesarse. Los 3#(s ofrecen cientos de funciones para procesar, anali2ar y e+traer información de estas se>ales.
CAPAC;DAD DE PROCESAM;ENTO
La plataforma 3#(s ofrece procesadores de $ltima generación como los intel (ore / !ou o incluso (ore Nuad de punto flotante, y proporciona la *abilidad para e'ecutar cientos de iteraciones y cálculos 3"! simultáneamente, además de otros controles robustos como redes neuronales o lógica difusa.
:ENTA=AS DE ;NTE(RAC;<N CON S;STEMAS ADM;N;STRAT;:OS
%sted puede conectarse a aplicaciones empresariales y almacenar datos en bases de datos o redes corporatias G!:(&NL actiadas. #demás, puede utili2ar G3( para integrarse y comunicarse con sistemas de softDare y *ardDare de terceros.
Los 3#(Os automáticamente publican sus datos de E& a un seridor G3( locali2ado en la computadora tipo seridor usada para configurar el banco de E&. La mayor)a de los paquetes de softDare &(#!# para PindoDs soportan G3(, y la mayor)a de los proeedores de *ardDare de E& industrial proporcionan seridores de G3( para su *ardDare. Esto *ace más sencilla la integración de los 3#(s con una gran ariedad de *ardDare de E& industrial como lo son los controladores lógicos programables 3L(s- y
otros dispositios industriales. %sted puede utili2ar un paquete &(#!# de terceros o el Módulo de Aegistro de !atos y (ontrol.
Los módulo de administración de los 3#(s proporciona *erramientas incluidas para administración de datos, lectura de datos automati2ados, acceso a alarmas y eentos, tendencias *istóricas y en tiempo real, redes y seguridad. Estas *erramientas le permiten desarrollar rápidamente aplicaciones de monitoreo distribuidos. !e esta manera, procesos creados con los sistemas 3#(s son de fácil monitoreo y fácil modificación por usuarios autori2ados ya sea directamente de la unidad de control, o a traés de un computadora en red e'ecutando un softDare que soporta los protocolos y tecnolog)as de comunicación estándares para la industria.
# niel de administración de nodos y centrali2ación de plantas se generan algoritmos comple'os que requieren e'ecutarse en con'unto con el resto de la planta.
3ara estas aplicaciones, los 3#(s están me'or equipados debido a su
configuración y manipulación fle+ible, as) como el amplio rango de medidas que pueden desempe>ar.
