TRANSFORMADA DE LAPLACE 2
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(2) Sergio Yansen Núñez 9.. Si y ′ t = gt y y0 = 1 , y ′ 0 = 0, Lgt = Gs, determine L sinhty ′′ t .. 10.. Sean a y b son constantes reales positivas. Fs =. Si 11.. −s , determine L −1 Fs + a + Fs − a. s 2 + 2as + 2a 2 + 2ab + b 2. Sea a una constante real positiva. Determine L ft + e at 2. 12.. Si Le 2t ft =. 13.. Sea n ∈ IN Si Lft =. si L ft 2. =. s 2 + 2a 2 y f0 = 1. ss 2 + 4a 2 . +∞ s+2 , calcule ∫ e −6t f ′ tdt. 2 0 s + 2 + 4. 1 1 + , determine s − n n s + n 2n. a). ft. b). ∫ 0 e −3nt coshntftdt. 14.. Sea a una constante real no nula.. +∞. Si y ′′ t + y ′ t = aa + 1e at tal que y1 = e a y y2 = e 2a , determine yt.. Transformada de Laplace.
(3) Sergio Yansen Núñez Resolución. 1.. L f ′ t. Si. s 2 s 2 − 1. =. a). determine Lft.. b). calcule ∫. +∞ 0. f0 = 0,. y. e −4t ftd. Solución: a). L f ′ t L f ′ t Fs =. = sFs − f0 + = sFs =. s 2 s 2 − 1. ⇒. sFs =. s 2 s 2 − 1. 1 2 − s 1 2. +∞. b). ∫ 0 e −4t ftdt =. 2.. Si. L f ′′ t. 1 = 1 2 225 4 − 1 2. =. 3s 3 + s + s 2 − 1 s + 1s − 1s 2 + 1. y. f0 = 3,. f ′ 0 = 1 ,. determine Lft Solución: L f ′′ t. = s 2 Fs − sf0 + − f ′ 0 + = s 2 Fs − 3s − 1. L f ′′ t. =. 3s 3 + s + s 2 − 1 s + 1s − 1s 2 + 1. s 2 Fs = 3s + 1 +. ⇒. s 2 Fs − 3s − 1 =. 3s 3 + s + s 2 − 1 s + 1s − 1s 2 + 1. 3s 3 + s + s 2 − 1 s + 1s − 1s 2 + 1. 5 4 3 2 s 2 Fs = 3s − 2s + s − 2 +23s + s s + 1s − 1s + 1 5 4 3 + s2 Fs = 3s 2 − 2s + s − 2 + 3s 2 s s + 1s − 1s + 1. 3.. Determine L5 at coshbt, donde a y b son constantes reales no nulas.. Transformada de Laplace.
(4) Sergio Yansen Núñez Solución: bt −bt L5 at coshbt = L 5 at e + e 2. = 1 L5 at e bt + e −bt = 1 L5 at e bt + 5 at e −bt 2 2 = 1 Le at ln5 e bt + e at ln5 e −bt 2 = 1 Le at ln5+bt + e at ln5−bt 2 = 1 Le a ln5+bt + e a ln5−bt 2 = 1 2. 1 1 + s − a ln5 − b s − a ln5 + b. = 1 2. 1 1 + s − a ln5 − b s − a ln5 + b. 4.. Si Le 2t ft =. 2s − 1 s − 4s + 13 2. y f0 = 2, determine L e −2t f ′ t .. Solución: Le 2t ft =. 2s − 1 s − 4s + 13. Le 2t ft =. 2s − 2 + 3 s − 2 2 + 9. 2. =. 2s − 2 + 2 − 1 s − 2 2 − 4 + 13. 2s + 3 s2 + 9. Lft = L f ′ t. = sFs − f0 + = sFs − 2. L f ′ t. = s ⋅ 2s2 + 3 − 2 = 3s2 − 18 s +9 s +9. L e −2t f ′ t. =. 3s + 2 − 18 = 2 3s − 12 s + 4s + 13 s + 2 2 + 9. Transformada de Laplace.
(5) Sergio Yansen Núñez 5.. Si L −1 Fs = e at cosbt donde a y b son constantes reales no nulas, determine a). L e at f ′ t. b). L −1 Fs − c donde c es una constante real positiva. Solución: a). Lcosbt = Fs =. s s2 + b2. s−a s − a 2 + b 2. L f ′ t. = sFs − f0 + = s ⋅. L f ′ t. =. L e at f ′ t. s−a s 2 − as −1 = −1 2 2 s − a + b s − a 2 + b 2. as − a 2 − b 2 s − 2as + a 2 + b 2 2. =. 2 2 as − a − a 2 − b 2 = 2 as − 2a −2b 2 2 2 2 s − 4as + 4a + b s − a − 2as − a + a + b. b). L −1 Fs − c = e ct e at cosbt = e a+ct cosbt. 6.. Sean a y b son constantes reales no nulas. Si Lx ′ t + y ′ t = − as + 2ab + bs y x0 = y0 = 1, s + as + b determine Lxt + yt.. Solución: Lx ′ t + y ′ t = Lx ′ t + Ly ′ t = sXs − x0 + + sYs − y0 + Lx ′ t + y ′ t = sXs − 1 + sYs − 1 = sXs + Ys − 2 − as + 2ab + bs = sXs + Ys − 2 s + as + b Xs + Ys = 1s − as + 2ab + bs + 2 s + as + b. Transformada de Laplace. =. a + b + 2s s + as + b.
(6) Sergio Yansen Núñez 7.. Sean a y b son constantes reales positivas. Si x ′ t = be −at yt , Lxt =. a2 + b2 s + as 2 + b 2 . y x0 = 0,. determine Lyt. Solución: L x ′ t. = sXs − x0 + = sXs. L x ′ t. = Lbe −at yt = bYs + a. sXs = bYs + a Ys + a = Ys =. 8.. a 2 + b 2 s sXs = b bs + as 2 + b 2 . a 2 + b 2 s − a bs s − a 2 + b 2. Si y ′′ t + y ′ t = cost − sint y y0 = 0 , y ′ 0 = 1, determine L e 5t y ′ t .. Solución: y ′′ t + y ′ t = cost − sint L y ′′ t + y ′ t. / L. = Lcost − sint. s 2 Ys − sy0 + − y ′ 0 + + sYs − y0 + =. s − 21 s2 + 1 s +1. s 2 Ys − 1 + sYs = s2 − 1 s +1 s 2 + sYs = s2 − 1 + 1 s +1 2 s 2 + sYs = s2 + s s +1. Ys = L y ′ t. 1 s2 + 1 = sYs − y0 + =. L e 5t y ′ t. =. s s2 + 1. s−5 = 2 s−5 s − 10s + 26 s − 5 2 + 1. Transformada de Laplace.
(7) Sergio Yansen Núñez. 9.. Si y ′ t = gt y y0 = 1 , y ′ 0 = 0, Lgt = Gs, determine L sinhty ′′ t .. Solución: y ′ t = gt L y ′ t. / L. = Lgt. sYs − y0 + = Gs sYs − 1 = Gs sYs = Gs + 1 Ys =. Gs + 1 s. L y ′′ t. = s 2 Ys − s. L y ′′ t. = s2 ⋅. L y ′′ t. = sGs + 1 − s. L y ′′ t. = sGs. Gs + 1 −s s. e t − e −t 2. =L. L sinhty ′′ t. = 1 s − 1Gs − 1 − s + 1Gs + 1 2. Transformada de Laplace. y ′′ t. = 1 L e t y ′′ t − L e −t y ′′ t 2. L sinhty ′′ t.
(8) Sergio Yansen Núñez 10.. Sean a y b son constantes reales positivas. Fs =. Si. −s , determine L −1 Fs + a + Fs − a. s 2 + 2as + 2a 2 + 2ab + b 2. Solución: Fs =. −s −s = s 2 + 2as + 2a 2 + 2ab + b 2 s + a 2 − a 2 + 2a 2 + 2ab + b 2. Fs =. −s + a − a −s = s + a 2 + a 2 + 2ab + b 2 s + a 2 + a 2 + 2ab + b 2. Fs =. −s + a + a −s + a a = + 2 2 2 2 2 s + a + a + b s + a + a + b 2 s + a + a + b. Fs = −. s + a a+b + a ⋅ a + b s + a 2 + a + b 2 s + a 2 + a + b 2. ft = e −at cosa + bt +. a sina + bt a+b. L −1 Fs + a + Fs − a = e −at ⋅ ft + e at ⋅ ft = e −at + e at ft L −1 Fs + a + Fs − a = e −at + e at ⋅ e −at cosa + bt + L −1 Fs + a + Fs − a = e −2at + 1 cosa + bt +. 11.. a sina + bt a+b. Sea a una constante real positiva. Determine L ft + e at 2. si L ft 2. =. Solución: L ft + e at 2. = L ft 2 + 2fte at + e 2at. = L ft 2 + 2Lfte at + Le 2at =. a sina + bt a+b. s 2 + 2a 2 + 2Le at ft + 1 s − 2a ss 2 + 4a 2 . L ft 2. =. s 2 + 2a 2 = 1 + 1 ⋅ s 2s 2 s 2 + 4a 2 ss 2 + 4a 2 . ft 2 = 1 + 1 cos2at = cos 2 at 2 2. Transformada de Laplace. s 2 + 2a 2 y f0 = 1. ss 2 + 4a 2 .
(9) Sergio Yansen Núñez ft = cosat Lft =. s s2 + a2. Le at ft =. s−a = 2 s−a s − 2as + 2a 2 s − a 2 + a 2. L ft + e at 2. 12.. =. 2s − a s 2 + 2a 2 + + 1 s − 2a ss 2 + 4a 2 s 2 − 2as + 2a 2. Si Le 2t ft =. e 2t ft = L −1. +∞ s+2 , calcule ∫ e −6t f ′ tdt. 2 0 s + 2 + 4. s+2 s + 2 2 + 4. = e −2t cos2t. ft = e −4t cos2t f0 = 1 Lft =. s+4 s + 4 2 + 4. L f ′ t. = sFs − f0 + =. ss + 4 −1 s + 4 2 + 4. +∞ ∫ 0 e −6t f ′ tdt = 6 ⋅ 6 +2 4 − 1 = − 11. 6 + 4 + 4. Transformada de Laplace. 26.
(10) Sergio Yansen Núñez Sea n ∈ IN. 13.. Si Lft =. 1 1 + , determine s − n n s + n 2n. a). ft. b). ∫ 0 e −3nt coshntftdt. +∞. Solución: a). Lft =. n − 1! 2n − 1! 1 1 ⋅ ⋅ n + 2n − 1! n − 1! s − n s + n 2n. nt n−1 −nt 2n−1 ft = e t + e t n − 1! 2n − 1!. b). Lcoshntft = 1 Le nt + e −nt ft 2 Lcoshntft = 1 Fs − n + Fs + n 2 =. 1 1 + 12n + 1n + s s − 2n n s s + 2n 2n. +∞. ∫ 0 e −3nt coshntftdt = +∞. 1 1 1 + + 1 n + 3n − 2n n 3n 3n 2n 3n + 2n 2n. ∫ 0 e −3nt coshntftdt = n1n + 1 2n + 1 n + 1 2n 3n 3n 5n. Transformada de Laplace.
(11) Sergio Yansen Núñez 14.. Sea a una constante real no nula. Si y ′′ t + y ′ t = aa + 1e at tal que y1 = e a y y2 = e 2a , determine yt.. Solución: y ′′ + y ′ = aa + 1e at. /L. s 2 Ys − sy0 + − y ′ 0 + + sYs − y0 + =. aa + 1 s−a. s 2 Ys + sYs = sy0 + + y ′ 0 + + y0 + +. aa + 1 s−a. s 2 + sYs = sy0 + + y ′ 0 + + y0 + +. aa + 1 s−a. ss + 1Ys = sy0 + + y ′ 0 + + y0 + +. aa + 1 s−a. Ys =. sy0 + y ′ 0 + + y0 + aa + 1 + + ss + 1s − a ss + 1 ss + 1. Ys =. y0 + y ′ 0 + + y0 + aa + 1 + + s+1 ss + 1s − a ss + 1. Expandiendo en fracciones parciales: 1 = 1s − 1 s+1 ss + 1 aa + 1 = − a +s 1 + a + s −1 a s+1 ss + 1s − a Ys =. y0 + + y ′ 0 + + y0 + s+1. Ys =. y0 + y ′ 0 + y ′ 0 + y0 + y0 + + − + s − − a +s 1 + a + s −1 a s s+1 s+1 s+1 s+1. Ys =. y ′ 0 + y ′ 0 + y0 + − + s − a +s 1 + a + s −1 a s s+1 s+1. 1 − 1 s s+1. − a +s 1 + a + s −1 a s+1. yt = y ′ 0 + − y ′ 0 + e −t + y0 + − a + 1 + ae −t + e at y1 = e a. ⇒. e a = y ′ 0 + − y ′ 0 + e −a + y0 + − a + 1 + ae −a + e a. y ′ 0 + 1 − e −a + y0 + = a + 1 − ae −a y2 = e 2a. ⇒. e 2a = y ′ 0 + − y ′ 0 + e −2a + y0 + − a + 1 + ae −2a + e 2a. y ′ 0 + 1 − e −2a + y0 + = a + 1 − ae −2a. Transformada de Laplace.
(12) Sergio Yansen Núñez Resolviendo el sistema de ecuaciones para determinary0 + y y ′ 0 + se tiene: y ′ 0 + 1 − e −a + y0 + = a + 1 − ae −a y ′ 0 + 1 − e −2a + y0 + = a + 1 − ae −2a Restando: y ′ 0 + 1 − e −a − 1 + e −2a = a + 1 − ae −a − a + 1 + ae −2a y ′ 0 + −e −a + e −2a = −ae −a + ae −2a −a −2a y ′ 0 + = −ae −a + ae−2a = a −e + e. Reemplazando: y ′ 0 + 1 − e −a + y0 + = a + 1 − ae −a a1 − e −a + y0 + = a + 1 − ae −a y0 + = a + 1 − ae −a − a1 − e −a = 1 Reemplazando y0 + = 1 , y ′ 0 + = a en la expresión para yt: yt = y ′ 0 + − y ′ 0 + e −t + y0 + − a + 1 + ae −t + e at yt = a − ae −t + 1 − a + 1 + ae −t + e at = e at Luego, yt = e at. Transformada de Laplace.
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