TEMA I: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

TEMA I: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.

Introducci´

on

En el desarrollo del tema seguiremos la siguiente estrategia: en primer lugar definiremos la Trans-formada de Laplace y trabajaremos con ella como una herramienta para resolver ciertos problemas, sin preocuparnos en exceso del rigor matem´atico de las demostraciones que se presentan, donde de hecho se trabajar´a a nivel formal, suponiendo siempre que se est´a en las condicones ideales para efectuar las manipulaciones matem´aticas presentadas. A continuaci´on se ejercitar´a el uso de las propiedades introducidas, en la resoluci´on de problemas: c´alculo de integrales, ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Como parte final del tema se presentar´a, como ap´endice del mismo, un estudio riguroso de la transformada de Laplace, comenzando por la convergencia (abscisa y semiplano de convergencia) y pasando por las demostraciones rigurosas de las propiedades estudiadas en las secciones anteriores. En esta secci´on se incluir´an una serie de problemas semite´oricos que enriquecer´an los conceptos aprendidos. Por ´ultimo y debido a que la asignatura se encuadra, dentro del Plan de Estudios, en el primer cuatrimestre del tercer a˜no y que por tanto los alumnos no han estudiado a´un variable compleja; en la primera parte del tema trabajaremos sobre valores reales del p´arametro s, introduciendo en el ap´endice su variaci´on en los complejos.

2.

Definici´

on y resultados b´

asicos

Definici´on: Sea F (t) una funci´on definida para t > 0. La transformada de Laplace de F (t), denotada por L{F (t)}(s), se define como

L{F (t)}(s) = f (s) =

Z _∞

0 e

−st_{F (t)dt}

cuando la integral converge para alg´un valor de s. Por ahora supondremos que s es real, aunque tambi´en puede considerarse complejo.

Ejemplos: • L{1}(s) = Z _∞ 0 e −st _{dt = lim} b→+∞ Z _b 0 e −st _{dt = lim} b→+∞{− 1 se −sb₊1 s} Luego L{1}(s) = 1 s (s > 0) • L{t}(s) Z _∞ 0 e −st_{t dt = lim} b→+∞ Z _b 0 e −st_{t dt =}        u = t ⇒ du = dt dv = e−st_{dt ⇒ v = −}1 se −st        = lim b→+∞{− b se −sb₋ 1 s2e−sb+ 1 s2} Luego L{t}(s) = 1 s2 (s > 0) • L{eat}(s) = Z _∞ 0 e −st_eat_{dt = lim} b→+∞ Z _b 0 e −(s−a)t _{dt = lim} b→+∞{− 1 s − ae −(s−a)b₊ 1 s − a} Luego L{eat}(s) = 1 s − a (s > a) Definici´on: Si existen constantes reales M > 0 y γ tales que ∀t > N

|e−γtF (t)| < M o |F (t)| < M eγt

se dice que F (t) es una funci´on de orden exponencial γ cuando t → ∞, o simplemente que es de orden exponencial.

Teorema 2.1: Si F (t) es continua a trozos en cada intervalo finito 0 ≤ t ≤ N y de orden exponencial γ para t > N , entonces existe la transformada de Laplace f (s) para todo s > γ.

Demostraci´on

Partiendo del hecho de que |F (t)| < M eγt para todo t > N hemos de comprobar que la integral

Z _∞

0 e

−st_{F (t)dt es convergente. Est´a claro que}Z N

0 e

−st_{F (t)dt existe, por lo que bastar´a con demostrar}

que la integral Z _∞ N e −st_{F (t)dt converge.} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _b Ne −st_{F (t)dt} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z _b N |e −st_{F (t)|dt ≤ M}Z b Ne −(s−γ)t_{dt = −} M s − γ h e−(s−γ)b− e−(s−γ)Ni Por ´ultimo, es sencillo ver que − M

s − γ h e−(s−γ)b− e−(s−γ)Nitiende a M s − γe −(s−γ)N _{cuando b → +∞,} siempre que s > γ.

1. Linealidad

L{c₁F₁(t) + c₂F₂(t)}(s) = c₁L{F₁(t)}(s) + c₂L{F₂(t)}(s) Se deduce f´acilmente del hecho de que la integral es un operador lineal. Ejemplos: L{cosh(at)}(s) = L{eat+ e−at 2 }(s) = 1 2 · 1 s − a+ 1 s + a ¸ = s s2_{− a}2 (s > |a|) L{senh(at)}(s) = L{eat− e−at 2 }(s) = 1 2 · 1 s − a − 1 s + a ¸ = a s2_{− a}2 (s > |a|)

2. Primera propiedad de traslaci´on

Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces L{eatF (t)}(s) = f (s − a) Demostraci´on L{eatF (t)}(s) = Z _∞ 0 e −st_eat_{F (t) dt =} Z _∞ 0 e −(s−a)t_{F (t) dt = L{F (t)}(s − a)} Ejemplos: L{teat}(s) = L{t}(s − a) = 1 (s − a)2

L{ebtcosh(at)}(s) = L{cosh(at)}(s − b) = s − b (s − b)2_{− a}2

3. Segunda propiedad de traslaci´on Si L{F (t)}(s) = f (s) y G(t) = ( F (t − a) t ≥ a 0 0 ≤ t < a , entonces L{G(t)}(s) = e−asf (s) Demostraci´on Z _∞ 0 e −st_{G(t) dt =}Z ∞ a e −st_{F (t − a) dt = {x = t − a} =}Z ∞ 0 e −s(x+a)_{F (x) dx =} e−asL{F (t)}(s) Ejemplo: G(t) =      0 0 ≤ t < 2 senh[a(t − 2)] t ≥ 2 ⇒ L{G(t)}(s) = e−2s a s2_{− a}2

4. Propiedad de cambio de escala

Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces L{F (at)}(s) = 1 af ( s a) (a > 0) Demostraci´on Z _∞ 0 e −st_{F (at) dt = {x = at} =}Z ∞ 0 e −s axF (x) dx a = 1 aL{F (t)}( s a) Ejemplo: L{πt eπt}(s) = 1 πL{te t_}(s π) = 1 π 1 (_πs − 1)2 = π (s − π)2

5. Transformada de Laplace de las derivadas

Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces L{F0(t)}(s) = sf (s) − F (0) esta f´ormula puede ser generalizada a la derivada de orden n

L{F(n)(t)}(s) = snf (s) − sn−1F (0) − sn−2F0(0) − ... − sF(n−2)(0) − F(n−1)(0)

Demostraci´on Trabajaremos formalmente (ya lo demostraremos rigurosamente en el apendice del tema). Hemos de suponer que existe F0_{(t) y que es transformable Laplace. Entonces}

L{F0(t)}(s) = Z _∞ 0 e −st_F0_{(t) dt = lim} b→+∞ Z _b 0 e −st_F0_{(t) dt} Z _b 0 e −st_F0_{(t) dt =}      u = e−st _{⇒ du = −se}−st dv = F0_{(t)dt ⇒ v = F (t)}     = h F (t)e−stib 0+ s Z _b 0 e −st_{F (t) dt =} = F (b)e−sb− F (0) + sL{F (t)}(s)

Esta ´ultima cantidad tiende a sL{F (t)}(s) − F (0), cuando b → +∞ bajo ciertas condiciones. A partir de aqu´ı podemos demostrar la f´ormula generalizada usando el m´etodo de inducci´on matem´atica.

Ejemplo:

L{[cosh(at)]0}(s) = sL{cosh(at)} − cosh(0) = s s

s2_{− a}2 − 1 =

a2

s2_{− a}2 = L{a senh(at)}(s)

6. Transformada de Laplace de la integral

Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces L{

Z _t

0 F (u) du}(s) =

f (s) s Demostraci´on Nuevamente trabajaremos formalmente. Sea G(t) =

Z _t

0 F (u) du, entonces

G0_{(t) = F (t) y por tanto L{G}0_{(t)}(s) = L{F (t)}(s), pero por otro lado sabemos que L{G}0_{(t)}(s) =}

sL{G(t)}(s) − G(0). Teniendo en cuenta que G(0) = 0 y despejando se obtiene el resultado de-seado. Ejemplo: L{ Z _t 0 cosh(au) du}(s) = L{cosh(at)}(s) s = s s2_−a2 s = 1 s2_{− a}2 = L{ senh(at) a }(s)

7. Multiplicaci´on por tn

Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces L{tnF (t)}(s) = (−1)n dn

dsnf (s) = (−1)nf(n)(s)

Demostraci´on Operando de manera formal, derivaremos bajo el signo de la integral aplicando la regla de Leibnitz f0(s) = d ds Z _∞ 0 e −st_{F (t) dt =} Z _∞ 0 e −st_{(−t)F (t) dt = −L{tF (t)}(s)} Ejemplo: L{t eat}(s) = −[L{eat}(s)]0 = − µ 1 s − a ¶₀ = 1 (s − a)2 8. Divisi´on por t Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces L{F (t) t }(s) = Z _∞ s f (u) du

siempre que exista lim

t→0 F (t) t . Demostraci´on f (s) = Z _∞ 0 e

−st_{F (t) dt, integrando a ambos lados entre s e ∞ obtenemos}

Z _∞ s f (u) du = Z _∞ s Z _∞ 0 e −ut_{F (t) dt du =} Z _∞ 0 µZ _∞ s e −ut_du ¶ F (t) dt = Z _∞ 0 e −stF (t) t dt Ejemplo: L{sen t t }(s) = Z _∞ s 1 u2_{+ 1} du = π 2 − arctg s 9. Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces: lim s→∞f (s) = 0

Una demostraci´on poco rigurosa puede obtenerse intercambiando el l´ımite y la integral. Ejemplo: lim s→+∞ µ π 2 − arctg s ¶ = 0 10. Teorema del valor inicial

lim

t→0F (t) = lims→∞sf (s)

siempre que existan ambos l´ımites

Demostraci´on Supongamos que F0(t) es transformable, entonces L{F0(t)}(s) = sf (s) − F (0) y como debe ser lim

s→∞L{F

Ejemplo: lim s→+∞s µ π 2 − arctg s ¶ = 1 = lim t→0 sen t t

Una generalizaci´on: Si F (t) ∼ G(t) para t → 0, entonces f (s) ∼ g(s) para s → ∞. 11. Teorema del valor final

lim

t→∞F (t) = lims→0sf (s)

siempre que existan ambos l´ımites

Demostraci´on Supongamos nuevamente que F0(t) es transformable, entonces L{F0(t)}(s) =

R_∞

0 e−stF0(t) dt = sf (s) − F (0) trabajando sobre el lado izquierdo de la igualdad

lim s→0 Z _∞ 0 e −st_F0_{(t) dt =} Z _∞ 0 F 0_{(t) dt = lim} b→∞ Z _b 0 F 0_{(t) dt = lim} b→∞[F (b) − F (0)]

si lo hacemos ahora sobre el lado derecho lim

s→0[sf (s) − F (0)] = limt→∞[F (t) − F (0)]

lo que finaliza la demostraci´on. Ejemplo: lim s→0s µ π 2 − arctg s ¶ = 0 = lim t→+∞ sen t t

Una generalizaci´on: Si F (t) ∼ G(t) para t → ∞, entonces f (s) ∼ g(s) para s → 0. 12. La convoluci´on: Si L{F (t)}(s) = f (s) y L{G(t)}(s) = g(s), entonces L{ Z _t 0 F (u)G(t − u)du}(s) = f (s).g(s) la operaci´on (F ∗G)(t) = Z _t

0 F (u)G(t − u)du se denomina producto de convoluci´on o simplemente

convoluci´on. Demostraci´on L{ Z _t 0 F (u)G(t − u)du}(s) = Z _∞ 0 e −st µZ _t 0 F (u)G(t − u)du ¶ dt = Z _∞ 0 F (u) µZ _∞ u e −st_{G(t − u)dt} ¶ du = (C¸ ) si en la integral de dentro efectuamos el cambio t − u = z obtenemos

(C¸ ) = Z _∞ 0 F (u) µZ _∞ 0 e −s(z+u)_G(z)dz ¶ du = Z _∞ 0 e −su_{F (u)} µZ _∞ 0 e −sz_G(z)dz ¶ du = f (s).g(s)

Nota: Es muy f´acil comprobar que el producto de convoluci´on es conmutativo. Ejemplo: Para calcular la siguiente integral

Z _t

0 u

n_{(t − u)}m_{du, aplicaremos la transformada de}

Laplace. En primer lugar t´engase en cuenta que L{tk}(s) = k!

sk+1, Aplicando ahora la

transfor-mada de Laplace a la integral obtenemos L{ Z _t 0 u n_{(t − u)}m _{du}(s) = L{t}n_}(s).L{tm_{}(s) =} n!m! sn+m+2 = n!m! (m + n + 1)!. (m + n + 1)! sn+m+2

y es f´acil comprobar que n!m! (m + n + 1)! t

m+n+1 _{es la funci´on cuya transformada es la obtenida.}

Luego Z _t 0 u n_{(t − u)}m _{du =} n!m! (m + n + 1)! t m+n+1

Se invita al lector a obtener el resultado de la integral por otra v´ıa.

3.

Aplicaciones

Evaluaci´on de integrales

Si L{F (t)}(s) = f (s), entonces

Z _∞

0 e

−st_{F (t)dt = f (s). Tomando l´ımite cuando s → 0}

Z _∞ 0 F (t) dt = f (0) Ejemplos: • Z _∞ 0 e−t_{sen t} t dt = π 4 ya que: L{sen t}(s) = 1 s2_{+ 1},

lo que implica que

L{sen t t }(s) = Z _∞ s 1 u2_{+ 1} du = π 2 − arctg s y por ´ultimo L{e−tsen t t }(s) = π 2 − arctg (s + 1) = f (s). Por lo tanto f (0) = π 2 − π 4 = π 4.

Por otro lado tambi´en podr´ıamos haber obtenido el valor de la integral a partir del hecho de que L{sen t t }(s) = Z _∞ 0 e −stsen t t dt = π 2 − arctg s = f (s), por lo que Z _∞ 0 e −tsen t t dt = f (1) = π 2 − arctg 1 = π 4

•

Z _∞

0 t

3_e−t_{sen t dt = 0 dado que:}

L{sen t}(s) = 1 s2_{+ 1},

lo que nos lleva a

L{t3sen t}(s) = (−1)3 d3 ds3 1 s2_{+ 1} = 24 s(s2_{− 1)} (1 + s2₎4 , luego L{e−tt3sen t}(s) = 24 (s + 1)[(s + 1)2− 1] (1 + (s + 1)2₎4 = f (s). Entonces, f (0) = 0.

Al igual que en el ejemplo anterior, podr´ıamos hebernos quedado en L{t3sen t}(s) = (−1)3 d 3 ds3 1 s2_{+ 1} = 24 s(s2_{− 1)} (1 + s2₎4 = f (s) y haber calculado f (1).

Resoluci´on de ecuaciones diferenciales

Mediante la utilizaci´on de la transformada de Laplace podemos resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transform´andolas en ecuaciones algebraicas.

Ejemplos:

• Resolver el siguiente problema de valores iniciales

     y000_{(t) − y(t) = e}t y(0) = y0_{(0) = y}00_{(0) = 0}

Supongamos que la funci´on incognita y(t) es transformable Laplace y denotemos por Y (s) a su transformada. Entonces, aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´on diferencial, y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, ´esta se transforma en:

s3Y (s) − Y (s) = 1 s − 1 con lo que una vez despejada Y (s) obtenemos

Y (s) = 1 (s − 1)(s3_{− 1)} = 1 (s − 1)2_(s2_{+ s + 1)} = A s − 1+ B (s − 1)2 + Cs + D s2_{+ s + 1}

de donde obtenemos los siguientes valores A = −1

3; B = C = D = 1 3. Por lo tanto Y (s) = −1 3 1 s − 1 + 1 3 1 (s − 1)2 + 1 3 s + 1 s2_{+ s + 1}

analicemos a continuaci´on cada uno de los sumandos. −1 3 1 s − 1 es la transformada de la funci´on −1 3 e t_{. Dado que} 1 3 1 (s − 1)2 = − d ds[ 1 3 1

(s − 1)], el segundo sumando es la transformada de la funci´on 1

3 t e

t_{. Por ´ultimo, el tercer sumando requiere de una peque˜na manipulaci´on para que}

se vea claramente de qu´e funci´on proviene. 1 3 s + 1 s2_{+ s + 1} = 1 3 s + 1 (s + 1₂)2₊3 4 = 1 3 s +1₂ (s + 1₂)2_{+ [}q3 4]2 +1 3 1 2 (s + 1₂)2_{+ [}q3 4]2

es f´acil comprobar que esta expresi´on es la de la transformada de la funci´on 1 3e −t 2cos[ √ 3 2 t] + 2 3√3e −₂t_sen[ √ 3

2 t]. Ya para finalizar y teniendo en cuenta la linealidad de la Transformada de Laplace, podemos asegurar que la soluci´on del problema original es la funci´on

y(t) = −1 3 e t₊1 3 t e t₊1 3e −₂t_cos[ √ 3 2 t] + 1 3√3e −t_2sen[ √ 3 2 t]

• Resolver el siguiente problema de valores en la frontera

     y00_{(t) + 9y(t) = 18t} y(0) = 0, y(π₂) = 0

Procedemos de forma an´aloga al ejemplo anterior L{y(t)}(s) = Y (s). Transformando la ecuaci´on s2Y (s) − y0(0) + 9Y (s) = 18 s2 despejando Y (s) Y (s) = 18 + y0(0)s2 s2_(s2_{+ 9)} = A s + B s2 + Cs + D s2_{+ 9}

resolviendo obtenemos A = C = 0; B = 2; D = y0_{(0) − 2, con lo que}

Y (s) = 2 s2 +

y0(0) − 2 s2_{+ 9}

de lo que se deduce que la soluci´on original ser´a y(t) = 2t +y0(0) − 2

3 sen(3t)

por ´ultimo aplicando la condici´on de que y(π

2) = 0 llegamos a que y(t) = 2t + π sen(3t)

Ejemplo:      y00_{+ ty}0_{− y = 0} y(0) = 0, y0_{(0) = 1}

En este caso debemos tener en cuenta que si L{y(t)}(s) = Y (s), entonces L{ty0(t)}(s) = − d dsL{y 0_{(t)}(s) = −}d ds{sY (s) − y(0)} = − d ds{sY (s)} = −Y (s) − sY 0_(s)

por lo que transformando la ecuaci´on obtenemos

s2Y (s) − 1 − Y (s) − sY0(s) − Y (s) = 0

y tras la correspondientes operaciones nos queda la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden Y0(s) − (s −2

s)Y = − 1 s cuya soluci´on viene dada por la expresi´on

Y (s) = e R (s−2 s) ds Z −e− R (s−2 s) ds1 s ds = 1 s2

luego la soluci´on buscada ser´a

y(t) = t Resoluci´on de sistemas ecuaciones diferenciales

De forma an´aloga al caso de las ecuaciones diferenciales lineales, podemos aplicar la transformada de Laplace en la resoluci´on de ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales

Ejemplos:

• Resolver el siguinete sistema de ecuacuiones diferenciales

     y0+ 2z0 = t y00_{− z = e}−t y(0) = 3, y0_{(0) = −2, z(0) = 0}

Si denotamos L{y(t)}(s) = Y (s) y L{z(t)}(s) = Z(s), el sistema se transforma en

         sY (s) − 3 + 2[sZ(s) − 0] = 1 s2 s2Y (s) − 3s + 2 − Z(s) = 1 s + 1 es decir          sY (s) + 2sZ(s) = 1 s2 + 3 s2Y (s) − Z(s) = 1 s + 1+ 3s − 2 utilizando el m´etodo de Cramer

Y (s) = 6s5+ 2s4+ s3+ 3s2+ s + 1

s3_(2s2_{+ 1)(s + 1)} ; Z(s) =

2s2_{+ 2s + 1}

s(s + 1)(2s2_{+ 1)}

descomponiendo en fracciones simples Y (s) = A s + B s2 + C s3 + D s + 1+ Es + F 2s2_{+ 1}

obteni´endose A = C = 1, B = 0, D = 2₃, E = 8₃ y F = −8₃, de lo que se deduce que y(t) = 1 +t 2 2 + 2 3 e −t₊4 3 [cos( t √ 2) − √ 2 sen(√t 2)] por otro lado si

Z(s) = A s + B s + 1+ Cs + D 2s2_{+ 1} se llega A = 1, B = −1 3, C = −43 y D = 43. Por lo que z(t) = 1 − 1 3 e −t₋2 3[cos( t √ 2) − √ 2 sen(√t 2)] • Idem con      −3y00_{+ 3z}00 _{= te}−t_{− 3cos t} ty00_{− z}0 _{= sen t} y(0) = −1 , y0_{(0) = 2 , z(0) = 4 , z}0_{(0) = 0}

aplicando la transformada de Laplace al sistema obtenemos

           −3s2Y (s) − 3s + 6 + 3s2Z(s) − 12s = 1 (s + 1)2 − 3 s s2_{+ 1} − d ds[s 2_{Y (s) + s − 2] − sZ(s) + 4 =} 1 s2_{+ 1} , es decir            −3s2Y (s) + 3s2Z(s) = 1 (s + 1)2 − 3 s s2_{+ 1}+ 15s − 6 −2sY (s) − s2Y0(s) − sZ(s) = 1 s2_{+ 1}− 3

Despejando Z(s) en la primera ecuaci´on

Z(s) = 1 3s2_{(s + 1)}2 − 1 s(s2_{+ 1)}+ Y (s) + 5 s− 2 s2

y llevando este resultado a la segunda Y0(s) +3 sY (s) = − 2 s2 − 1 3s3_{(s + 1)}2 + 2 s3

resolviendo la ecuaci´on diferencial

Y (s) = −1 s + 1 3 1 s3_{(s + 1)}+ 2 s2

de lo que se deduce, despu´es de la correspondiente descomposici´on en fracciones simples, que y(t) = −2 3+ 5 3t + 1 6t 2₋1 3e −t

Llevando ahora el valor de Y (s) a la exprsi´on que nos daba Z(s) tenemos

Z(s) = 1 3s2_{(s + 1)}2 − 1 s(s2_{+ 1)}+ 13 3 1 s− 1 3 1 s2 + 1 3 1 s3 − 1 3 1 s + 1 que nos conduce a

z(t) = 8 3 + 1 6t 2₊1 3e −t₊1 3te −t_{+ cos t}

4.

Problemas

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

y00_{+ y = t; y(0) = 1, y}0_{(0) = −2.} y00_{− 3y}0_{+ 2y = 4e}2t_{; y(0) = −3, y}0_{(0) = 5.} y00_{+ 2y}0_{+ 5y = e}−t_{sen t; y(0) = 0, y}0_{(0) = 1.} y000_{− 3y}00_{+ 3y}0_{− y = t}2_et_{; y(0) = 1, y}0_{(0) = 0, y}00_{(0) = −2} y00_{+ 9y = cos 2t; y(0) = 1, y(}π 2) = −1. ty00_{+ (1 − 2t)y}0_{− 2y = 0 y(0) = 1, y}0_{(0) = 2.} y00_{+ y = sen t; y(0) = 0, y}0_{(0) = 0.} y00_{− 4y}0_{+ 5y = 125t}2_{; y(0) = 0, y}0_{(0) = 0.} y00_{− 4y}0_{+ 3y = F (t) y(0) = 1, y}0_{(0) = 0.}

3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales      x0_{= 2x − 3y} x(0) = 8, y(0) = 3 y0 _{= y − 2x}      x00_{+ y}0_{+ 3x = 15e}−t x(0) = 35, x0_{(0) = −48, y(0) = 27, y}0_{(0) = −55} y00_{− 4x}0_{+ 3y = 15sen 2t}      y0_{− z}0_{− 2y + 2z = sen t} y(0) = 0, y0_{(0) = 0, z(0) = 0} y00_{+ 2z}0_{+ y = 0}

4. Calcular el valor de las siguientes integrales: (a) Z _∞ 0 te −2t_{cos tdt.} (b) Z _∞ 0 x 4_e−x_dx. (c) Z _∞ 0 e−t_{− e}−3t t dt. 5. Si F (t) = L−1_{{f (s)}, demostrar que} (a) L−1_{sf0_{(s)} = −tF}0_{(t) − F (t).} (b) L−1_{sf00_{(s)} = t}2_F0_{(t) + 2tF (t).} (c) L−1_{s2_f00_{(s)} = t}2_F00_{(t) + 4tF}0_{(t) + 2F (t).}

6. Resolver la ecuaci´on integral

x(t) = 7√3 sen(√3t) + 4

Z _t

0 cos 2(t − u)x(u)du

7. Resolver la ecuaci´on integro-diferencial

Z _t

0 y

0_{(u)y(t − u)du = 24t}3_{, y(0) = 0.}

8. La funci´on H(t) =

(

0 t < 0

1 t > 0 , se denomina funci´on salto de Heaviside. Se pide (a) Calcular la transformada de Laplace de H(t − t0), t0> 0.

(b) Calcular la transformada de Laplace de H(t − t0)F (t), t0> 0, siendo f (s) la transformada

(c) Expresar la funci´on G(t) =

(

F (t) t < t0

0 t > t0 en t´erminos de F (t) y H(t).

AP´

ENDICE

5.

introducci´

on

En este apartado comenzaremos estudiando el comportamiento de la exponencial compleja de-pendiente de un par´ametro, cuando dicho par´ametro tiende a ∞. Para ello recordemos las siguientes cuestiones:

• z = x + iy ∈C, Re(z) = x ∈R ; Im(z) = y ∈R. • ex+iy = ex· eiy= ex[cos y + i sen y].

• para todo α ∈Rse tiene que |eiα_{| = 1.}

• |ex+iy| = ex.

• |z · w| = |z| · |w|; z, w ∈C

Pasemos ahora a estudiar el comportamiento de e−sb _{para s ∈C y b → +∞}

e−sb = e−[Re(s)+iIm(s)]b= e−Re(s)b· e−iIm(s)b El factor e−Re(s)b es una exponencial real y se verifica que

lim b→+∞ e −Re(s)b₌              +∞ Re(s) < 0 1 Re(s) = 0 0 Re(s) > 0

Por otro lado el factor e−iIm(s)b representa para todo b un n´umero complejo de m´odulo 1, por lo que cuando b va aumentando nos iremos moviendo siempre sobre la circunferencia unidad. No alcazaremos l´ımite alguno pero sabemos que no saldremos de esa curva.

Con lo visto hasta ahora, podemos afirmar que lim

b→+∞ e

−sb _{converger´a a cero cuando Re(s) > 0}

y esta convergencia se producir´a siguiendo un movimiento sobre una espiral, la cual se recorrer´a en sentido contrario, es decir hacia el infinito complejo, cuando Re(s) < 0. Por ´ultimo, cuando Re(s) = 0 el l´ımite no existir´a.

Introducimos ahora el concepto de funci´on derivable y funci´on Holomorfa o anal´ıtica en variable compleja.

Definici´on: Dada una funci´on de variable compleja f (z), diremos que es derivable en un punto z0 de

su dominio si existe el l´ımite siguiente

f0(z0) = lim ∆z→0 f (z0+ ∆z) − f (z0) ∆z Ejemplos: • f (z) = z2_; f0(z) = lim ∆z→0 (z + ∆z)2_{− z}2 ∆z = lim∆z→0(2z + ∆z) = 2z. • f (z) = |z|2_; f0(z) = lim ∆z→0 |z + ∆z|2− |z|2 ∆z = lim∆z→0 (z + ∆z)(z + ∆z) − zz ∆z = = zz + z∆z + z∆z + ∆z∆z − zz ∆z = lim∆z→0 " z + z∆z ∆z + ∆z # ,

por lo que si z = 0 es claro que f0_{(0) = 0. Sin embargo, si z 6= 0 podemos comprobar la no}

derivabilidad de f , dado que el l´ımite del cociente ∆z

∆z no existe: ∆z ∆z =          ∆z = ∆x : ∆z ∆z = 1, ∆z = i∆y : ∆z ∆z = −1.

Definici´on: Una funci´on de variable compleja f (z) se dice Holomorfa o anal´ıtica en un punto z0 de

su dominio, si existe un n´umero r > 0 tal que f (z) es derivable en todos los puntos del disco D(z₀; r).

6.

El semiplano de convergencia

En esta secci´on demostraremos que cuando una funci´on F (t) posee transformada de Laplace f (s) con s ∈C, ´esta tiene sentido en un semiplano derecho.

Teorema 6.1

Si la integral de Laplace de un funci´on converge absolutamente en un punto s0, entonces converge

Demostraci´on Usaremos el criterio de convergencia de Cauchy, es decir Z _∞ 0 g(t) dt < ∞ ⇔ ∀ ² > 0 ∃ b > 0 : (∀ b2> b1 > b) | Z _b2 b1 g(t) dt| < ² Sea s ∈Cy Re(s) ≥ Re(s0):

Z _b2 b1 |e−stF (t)|dt = Z _b2 b1 |e−(s−s0)te−s0t_{F (t)|dt =} Z _b2 b1 e−Re(s−s0)t|e−s0t_{F (t)|dt ≤} Z _b2 b1 |e−s0t_{F (t)|dt}

Pero por hip´otesis sabemos que

Z _∞

0 |e

−s0t_{F (t)|dt converge, con lo que para todo ² > 0 existe}

un b > 0 tal que para todo b2 > b1 > b se verifica que

Z _b2

b1

|e−s0t_{F (t)|dt < ², lo que concluye nuestra}

demostraci´on. Teorema 6.2 Si la integral f (s) = Z _∞ 0 e −st_{F (t)dt converge absolutamente en s} 0 ∈ C, entonces f (s) est´a

acotada en el semiplano derecho Re(s) ≥ Re(s₀). Demostraci´on Sea s : Re(s) ≥ Re(s0)

|f (s)| = | Z _∞ 0 e −st_{F (t)dt| ≤} Z ∞ 0 |e −st_{F (t)|dt =} Z ∞ 0 e −Re(s)t_{|F (t)|dt ≤} ≤ Z _∞ 0 e −Re(s0)t_{|F (t)|dt =} Z _∞ 0 |e −s0t_{F (t)|dt ≤ C} Teorema 6.3

El dominio donde la integral de Laplace de un funci´on es absolutamente convergente es en un semiplano derecho abierto (Re(s) > α) o bien un semiplano derecho cerrado (Re(s) ≥ α), donde α puede tomar los valores ±∞.

Demostraci´on Estudiaremos los tres casos posibles

1. La integral es absolutamente convergente para todo s ∈ C. En este caso la convergencia se verifica para Re(s) > −∞ = α.

2. La integral no converge en ning´un s ∈ C, entonces podemos escribir que se da la convergencia para Re(s) > +∞ = α.

3. La integral converge absolutamente en unos valores y diverge absolutamente en otros. De-notaremos por K1 y K2 a los conjuntos compuestos por los puntos de convergencia y

diver-gencia respectivamente. Es claro que se verifican las siguientes cuestiones: K1 ∪ K2 = C,

que Re(s2) < Re(s1). En caso contrario, es decir, que existiesen s1 ∈ K1 y s2 ∈ K2 tales que

Re(s₂) ≥ Re(s₁), aplicando el teorma 6.1 concluir´ıamos que s₂ ∈ K₁ lo cual es absurdo. Por tanto, ∃α ∈R: ∀s1 ∈ K1, ∀s2 ∈ K2 : Re(s2) < α < Re(s1) (corte de Dedekin). De hecho

α es el supremo del conjunto compuesto por las partes reales de los elementos de K2 y el ´ınfimo

del conjunto compuesto por las partes reales de los elementos de K1.

Se tiene entonces que el dominio de convergencia absoluta de la integral de Laplace es Re(s) > α ´o Re(s) ≥ α.

(a) ∀s : Re(s) > α la integral converge absolutamente:

Re(s) > α ⇒ ∃s1 ∈ K1 : α < Re(s1) < Re(s)

y aplicamos el teorema 6.1.

(b) ∀s : Re(s) < α la integral diverge absolutamente:

Re(s) < α ⇒ ∃s2 ∈ K2 : α > Re(s2) > Re(s)

si convergiera absolutamente en Re(s) aplicar´ıamos el teorema 6.1 y concluir´ıamos la con-vergencia en s₂ lo que constituir´ıa un absurdo.

(c) Para Re(s) = α puede ocurrir cualquiera de las dos cosas y habr´ıa que comprobarlo en cada caso.

Ejemplos Est´udiese la integral de Laplace de las funciones F (t) = 1

1 + t2, F (t) = 1, F (t) = et 2 y F (t) = ( 1 0 ≤ t ≤ 1 0 t > 1

Al n´umero α se le denomina abscisa de convergencia absoluta de la integral de Laplace y al semiplano Re(s) > α ´o Re(s) ≥ α semiplano de convergencia absoluta.

Teorema 6.4(Teorema fundamental) Si la integral de Laplace

Z _∞

0 e

−st_{F (t) dt converge para s = s}

0, entonces converge para todo s

en el semiplano abierto Re(s) > Re(s0). Adem´as se tiene que

Z _∞ 0 e −st_{F (t) dt = (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt,} donde G(t) = Z _t 0 e −s0y_{F (y) dy}

Demostraci´on Por definici´on de integral impropia tenemos, Z _∞ 0 e −st_{F (t) dt = lim} b→∞ Z _b 0 e −st_{F (t) dt}

calcularemos primero la integral propia para luego estudiar su l´ımite

Z _b 0 e −st_{F (t) dt =} Z _b 0 e −(s−s0)t_e−s0t_{F (t) dt = (∗)}

usando el m´etodo de integraci´on por partes, donde

u = e−(s−s0)t du = −(s − s0)e−(s−s0)tdt dv = e−s0t_{F (t) dt v =} Z _t 0 e −s0y_{F (y) dy = G(t)} obetenemos (∗) = [e−(s−s0)tG(t)]b₀+ (s − s0) Z _b 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt = e}−(s−s0)b_{G(b) + (s − s} 0) Z _b 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt}

analicemos por separado el l´ımite de cada sumando • veamos que lim

b→∞e

−(s−s0)b_{G(b) = 0, siempre que (Re(s) > Re(s} 0)). G(b) = Z _b 0 e −s0y_{F (y) dy ; lim} b→∞G(b) = Z _∞ 0 e −s0y_{F (y) dy = f} 0

aqu´ı f0 representa el valor de la integral de Laplace de F (t) en s = s0.

De lo anterior se deduce que G(t) es una funci´on acotada en [0, ∞), ya que:

     ∀t > T , |G(t) − f₀| < ² ⇒ |G(t)| < |f₀| + ² , t > T ∀t ∈ [0, T ] , G(t) es continua ⇒ |G(t)| ≤ C , t ∈ [0, T ]      ⇒ |G(t)| ≤ M Luego

|e−(s−s0)b_{G(b)| ≤ M e}−(Re(s)−Re(s0))b _{−→ 0 (b → ∞) (Re(s) > Re(s} 0))

lo que demuestra nuestro objetivo. • Comprobemos ahora que

lim b→∞ Z _b 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt =} Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt}

existe y es absolutamente convergente para Re(s) > Re(s0).

Z _∞ 0 |e −(s−s0)t_{G(t)| dt ≤ M}Z ∞ 0 e −[Re(s)−Re(s0)]t_{dt =} M Re(s) − Re(s0)

Por tanto, Z _∞ 0 e −st_{F (t) dt = (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt,}

donde la integral del segundo miembro convege absolutamente. Notas:

a) En este caso no podemos asegurar nada acerca de la convergencia en la l´ınea Re(s) = Re(s0).

b) Observando la demostraci´on vemos que no es necesario que exista

Z _∞ 0 e −s0t_{F (t) dt, bastar´ıa con} que la funci´on G(t) = Z _t 0 e

−s0y_{F (y) dy estuviese acotada.}

Teorema 6.5

El dominio de convergencia simple (absoluta o condicional) de la integral de Laplace es el semiplano derecho Re(s) > β. donde β puede ser ±∞, y adem´as puede ocurrir cualquier cosa respecto a la convergencia en los puntos de la l´ınea Re(s) = β, es decir, puede converger en todos, algunos o ning´un punto de ´esta.

Demostraci´on An´aloga a la del teorema 6.3.

Ejemplo: Estudiemos la transformada de Laplace de la funci´on F (t) = ta_{, (a > −1)}

f (s) = Z _∞ 0 e −st_ta_{dt =}Z 1 0 e −st_ta_{dt +}Z ∞ 1 e −st_ta_dt

analicemos las dos ´ultimas integrales por separado

• _¯ ¯ ¯ ¯ Z ₁ 0 e −st_ta_dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z ₁ 0 e −Re(s)t_ta_dt

esta integral existe independientemente de s para todo a ≥ 0 ya que la funci´on integrando es continua.

Para −1 < a < 0 y dado que

lim

t→0

e−Re(s)t_ta

ta = 1

podemos garantizar que el car´acter de nuestra integral es el mismo que el de la siguiente

Z ₁ 0 t a_{dt =} Ã ta+1 a + 1 !₁ 0 = 1 a + 1

por lo que tenemos asegurada la convergencia absoluta, y por tanto la convergencia, para todo s siempre que a > −1.

• _¯ ¯ ¯ ¯ Z _∞ 1 e −st_ta_dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z _∞ 1 e −Re(s)t_ta_dt

teniendo en cuenta que

lim

t→∞

e−Re(s)tta t−2 = 0

para cualquier a siempre que Re(s) > 0, y dado que

Z _∞

1 t

−2_{dt converge, podemos concluir que}

nuestra integral converge. En este caso cabe preguntarse qu´e ocurre con la integral sobre la l´ınea Re(s) = 0. – s = 0 Z _∞ 1 t a_{dt =} Ã ta+1 a + 1 !_∞ 1 < ∞ si a + 1 ≤ 0

pero en este caso la integral entre 0 y 1 diverge, con lo que nos llevar´ıa la divergencia de la integral inicial. – s = iy, y 6= 0, y ∈R Z _∞ 1 e −iyt_ta_{dt =}Z ∞ 1 cos(yt)t a_{dt − i}Z ∞ 1 sen(yt)t a _dt

1. Si −1 < a < 0, aplicamos el ctiterio de Abel para integrales impropias:

Sean f (x) y g(x) dos funciones integrables en cualquier intervalo [a, t) ⊂ [a, ∞) y sea g(x) una funci´on mon´otona. Entonces, para que la integral

Z _∞

a f (x)g(x)dx converja

es suficiente que se cumpla cualquiera de los dos siguientes pares de condiciones: (a)

Z _∞

a f (x)dx converja y g(x) acotada en [a, ∞).

(b)

Z _t

a f (x)dx est´e acotada para todo t ∈ [a, ∞) y g(x) converja a cero cuando x → ∞.

En nuestro caso g(t) = ta_{, que es mon´otona decreciente y verifica que lim}

t→∞g(t) = 0, y

f (t) = cos(yt), para la que

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _b 1 cos(ty)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= µ¯_¯ ¯ ¯sen(yt)_y ¯ ¯ ¯ ¯ ¶b 1 = ¯ ¯ ¯ ¯sen(yb)_y − sen y_y ¯ ¯ ¯ ¯≤ 2_y Luego Z _∞ 1 cos(yt)t

a_{dt es convergente. De forma an´aloga se demuestra para la otra}

integral. 2. Si a ≥ 0: sen(yt) = 0 ⇔ yt = nπ Z _∞ 1 sen(yt) t a_{dt =} Z π y 1 sen(yt) t a_{dt +}X∞ n=1 Z (n+1)π y nπ y sen(yt) tadt

Veamos que la serie diverge, con lo que quedar´a demostrada la divergencia de la integral. Z (n+1)π y nπ y sen(yt) tadt = Ã x = yt − nπ dx = y dt ! = Z _π 0 sen(x + nπ) (x + nπ) a dx ya+1 = = 1 ya+1(−1)n Z _π 0 sen x(x + nπ) a_dx llamando an = Z _π 0 sen x (x + nπ)

a_{dx, comprobemos que la serie} X∞ n=1 (−1)nan no con-verge. lim n→∞an= limn→∞ Z _π 0 sen x (x + nπ) a_{dx ≥ lim} n→∞ Z _π 0 sen x (nπ) a_{dx =} = lim n→∞(nπ) a_{[−cos x]}π 0 = lim_n→∞2(nπ)a= ∞

Por lo tanto lim

n→∞an= ∞, es decir limn→∞(−1) n_a

nno existe, lo que garantiza que la serie

no converge.

Resumiendo: L{ta_{}(s) converge en {Re(s) > 0} cuando a ≥ 0 y converge en}

{Re(s) > 0} ∪ {s = iy, y 6= 0, y ∈R} cuando −1 < a < 0.

Por ´ultimo comentar que es f´acil demostrar, usando propiedades de la funci´on gamma de Euler, que L{ta}(s) = Γ(a + 1)

sa+1 .

7.

Propiedades de la transformaci´

on de Laplace

En realidad repetiremos propiedades ya establecidas, pero las enunciaremos con todo rigor incluyendo informaci´on sobre el semiplano de convergencia en cada caso.

1. Linealidad: Si L{F1(t)}(s) = f1(s), (Re(s) > β1) y L{F2(t)}(s) = f2(s), (Re(s) > β2),

entonces

L{c1F1(t) + c2F2(t)}(s) = c1f1(s) + c2f2(s), (Re(s) > β = max{β1, β2})

2. Primera propiedad de traslaci´on: Si L{F (t)}(s) = f (s), (Res(s) > β), entonces L{eat_{F (t)}(s) = f (s − a), (Re(s) > Re(a) + β)}

3. Segunda propiedad de traslaci´on:

Si L{F (t)}(s) = f (s), (Re(s) > β) y G(t) =

(

F (t − a) t ≥ a

0 0 ≤ t < a, (a > 0) entonces L{G(t)}(s) = e−asf (s), (Re(s) > β)

4. Propiedad de cambio de escala: Si L{F (t)}(s) = f (s), (Re(s) > β) entonces L{F (at)}(s) = 1

af (sa) (a > 0), (Re(s) > βa)

8.

La transformaci´

on de Laplace como funci´

on anal´ıtica

En esta secci´on se presenta un teorema que pone de manifiesto que cuando una funci´on es transformable Laplace, su transformada es una funci´on anal´ıtica, es decir admite derivadas de cualquier orden, lo que permite aplicar a ´esta toda la teor´ıa de las funciones complejas.

Teorema

Si L{F (t)}(s) = f (s), (Re(s) > β), entonces f (s) admite derivadas de cualquier orden y adem´as:

f(n)(s) = (−1)n

Z _∞

0 e

−st_tn_{F (t) dt = (−1)}n_L{tn_{F (t)}(s), (Re(s) > β)}

Demostraci´on: En primer lugar, lo demostraremos para n = 1, para luego aplicar el m´etodo de inducci´on. Veamos entonces que

f0(s) = −

Z _∞

0 e

−st_{tF (t) dt}

Sea s ∈C: Re(s) > β. Por el teorema 6.4, sabemos que f (s) = (s − s0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt; G(t) =}Z t 0 e −s0x_{F (x) dx}

donde s0 es un n´umero complejo tal que existe f (s0).

Adem´as, ten´ıamos que |G(t)| ≤ M, t > 0 y que la nueva integral que define a f (s) es absoluta-mente convergente.

Elegimos s0 de la siguiente forma: como Re(s) > β, podemos encontrar un ² de forma que

Re(s) − β = 3² y tomamos s0 = β + ² ⇒ Re(s) − s0 = 2². En caso de que β = −∞, sustituimos β

por cualquier n´umero real menor que Re(s). Por la definici´on de derivada tenemos que

f0(s) = lim

h→0

f (s + h) − f (s) h

si derivamos formalmente bajo el signo de la ´ultima integral que define a f (s) se obtiene Ψ(s) = Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt − (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{tG(t) dt}

comprobemos ahora que

lim

h→0

f (s + h) − f (s)

Tomamos |h| < ², lo cual es posible ya que trabajamos con h → 0, y nos aseguramos el que Re(s + h) > β. D(h) = f (s + h) − f (s) h − Ψ(s) = = 1 h ½ (s + h − s0) Z _∞ 0 e −(s+h−s0)t_{G(t) dt − (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt} ¾ − − Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt + (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{tG(t) dt =} = Z _∞ 0 e −(s−s0)t_[e−ht_{− 1]G(t) dt + (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_[e−ht− 1 h + t]G(t) dt Acotemos ahora |D(h)|. |D(h)| ≤ Z _∞ 0 |e −ht_{− 1||e}−(s−s0)t_{G(t)| dt + |s − s} 0| Z _∞ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ e−ht− 1 h + t ¯ ¯ ¯ ¯ ¯|e−(s−s0)tG(t)| dt

teniendo en cuenta el desarrollo de la funci´on exponencial ez = ∞ X n=0 zn n! podemos escribir |e−ht− 1| ≤ |h|t à 1 +|h|t 1! + |h|2_t2 2! + |h|3_t3 3! + · · · ! = |h|te|h|t ≤ |h|te²t |e−ht− 1 h + t| ≤ |h|t 2 à 1 +|h|t 1! + |h|2_t2 2! + |h|3_t3 3! + · · · ! = |h|t2e|h|t ≤ |h|t2e²t Por tanto, |D(h)| ≤ Z _∞ 0 |h|te ²t_e−2²t_{M dt + |s − s} 0| Z _∞ 0 |h|t 2_e²t_e−2²t_{M dt =} = M |h| Z _∞ 0 te −²t_{dt + M |h||s − s} 0| Z _∞ 0 t 2_e−²t_{dt = C|h|}

donde C es una constante que depende ². Luego, lim

h→0D(h) = 0 ⇒ f

0_{(s) = Ψ(s)}

Podemos entonces escribir f0(s) = Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt − (s − s} 0) Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{tG(t) dt =} = Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt +}Z ∞ 0 −(s − s0)e −(s−s0)t_{tG(t) dt}

resolvamos la integral del segundo sumando usando el m´etodo de integraci´on por partes. u = tG(t) du = [G(t) + te−s0t_{F (t)] dt} dv = −(s − s0)e−(s−s0)t v = e−(s−s0)t n´otese que tG(t) = Z _t 0 d dx[xG(x)] dx = Z _t 0 [G(x) + xG 0_{(x)] dx y que G(x) =} Z _x 0 e −s0u_{F (u) du.} Con esto Z _∞ 0 −(s − s0)e −(s−s0)t_{tG(t) dt =}h_tG(t)e−(s−s0)t i_∞ 0 − Z _∞ 0 [e −(s−s0)t_{G(t) + te}−st_{F (t)] dt =} = − Z _∞ 0 [e −(s−s0)t_{G(t) + te}−st_{F (t)] dt} ya que lim t→∞tG(t)e −(s−s0)t_{= 0. Por tanto,} f0(s) = Z _∞ 0 e −(s−s0)t_{G(t) dt −}Z ∞ 0 [e −(s−s0)t_{G(t) + e}−st_{tF (t)] dt =} = − Z _∞ 0 e −st_{tF (t) dt = L{−tF (t)}(s)}

Una vez establecido el resultado para n = 1, procedemos por inducci´on aceptando que la derivada de orden n − 1 de f (s) existe y que vale f(n−1)(s) = L{(−1)n−1tn−1F (t)}(s). Veamos el resultado para n

f(n)(s) = [f(n−1)(s)]0 = [L{(−1)n−1tn−1F (t)}(s)]0= L{−t(−1)n−1tn−1F (t)}(s) = (−1)nL{tnF (t)}(s)

9.

Transformada de Laplace de la integraci´

on y las derivadas

Teorema 9.1 (Teorema de integraci´on)

Si L{F (t)}(s) = f (s) converge para alg´un s = x0> 0 (x0∈R), entonces

L{H(t)}(s) = L ½Z _t 0 F (u) du ¾ (s) converge para s = x0 y se tiene L{H(t)}(s) = L ½Z _t 0 F (u) du ¾ (s) = L{F (t)}(s) s , s = x0 y Re(s) > x0 Adem´as, H(t) = o³ex0t ´ cuando t → ∞, es decir, lim t→∞ H(t) ex0t = 0

y por tanto L{H(t)}(s) converge absolutamente para Re(s) > x₀.

Demostraci´on: Veamos primero que L{H(t)}(s) converge para s = x0 y que

L{H(t)}(s) = f (x0)

1. Sean Φ, Ψ funciones diferenciables para x > A (para cierto A). 2. Supongamos adem´as que Ψ es una funci´on real tal que:

lim x→∞Ψ(x) = +∞ y Ψ 0_{(x) 6= 0} Entonces, Si lim x→∞ Φ0_(x) Ψ0_(x) = a ⇒ x→∞lim Φ(x) Ψ(x) = a admiti´endose incluso los casos a = ±∞ cuando Φ sea una funci´on real.

Si queremos aplicar L’Hopital y dado que

Z _∞ 0 e −x0t_{H(t) dt = lim} x→∞ Z _x 0 e −x0t_{H(t) dt = lim} x→∞G(x), tomamos: Φ(x) = ex0x_{G(x) y Ψ(x) = e}x0x

• Φ y Ψ son diferenciables (para x > 0): H(t) continua ⇒ G(t) derivable. • lim x→∞Ψ(x) = +∞ pues (x0 > 0), Ψ 0_{(x) = x} 0ex0x6= 0 (x0 6= 0). • lim x→+∞ Φ0_(x) Ψ0_(x) = lim_x→+∞ x0ex0xG(x) + ex0xe−x0xH(x) x0ex0x = = lim x→+∞ 1 x0 µ x₀ Z _x 0 e −x0t_{H(t) dt + e}−x0x_H(x) ¶

y aplicando el m´etodo de integraci´on por partes a la integral obtenemos lim x→+∞ Φ0_(x) Ψ0_(x) = lim_x→+∞ 1 x₀ µZ _x 0 e −x0t_{F (t) dt} ¶ = f (x0) x₀ Por la regla de L’Hopital:

lim x→+∞ Φ(x) Ψ(x) = f (x0) x₀ , es decir, x→+∞lim G(x) = f (x0) x₀ y entonces, L{H(t)}(x0) = Z _∞ 0 e −x0t_{H(t) dt =} f (x0) x₀

Tenemos entonces que L{H(t)}(s) converge para Re(s) > x0 (Teorema 6.4); veamos que en ese

caso,

h(s) = L{H(t)}(s) = f (s) s

1. Si s ∈R y s > x0 razonamos, para cada s fijo, de igual manera; por tanto

h(x) = L{H(t)}(x) = f (x)

x , ∀x > x0

2. h(s) es anal´ıtica en Re(s) > x0, f (s)_s es anal´ıtica en Re(s) > x0 y por otro lado h(x) =

f (x)

x , ∀x ∈R, x > x0. Entonces, h(s) = f (s)

s , Re(s) > x0.

Nota: Hemos utilizado un resultado de variable compleja que nos dice: Si una funci´on φ anal´ıtica en un dominio D, se anula en una sucesi´on de puntos distintos {z_n} ⊂ D, y tal que la sucesi´on tiene l´ımite z0, entonces φ se anula en todo D. En nuestro caso φ(z) = h(z) −f (z)_z y la sucesi´on

es cualquier sucesi´on convergente extraida de la semirecta x > x0.

Por tanto: L ½Z _t 0 F (x) dx ¾ (s) = f (s) s , s = x0 y Re(s) > x0 Comprobemos ahora que H(t) = o(ex0t_{) cuando t → ∞.}

lim t→∞ H(t) ex0t = lim_t→∞e −x0t_{H(t) = lim} t→∞G 0_(t)

por otro lado

lim t→∞G(t) = limt→∞ Φ(t) Ψ(t) = limt→∞ Φ0_(t) Ψ0_(t) = lim_t→∞ 1 x0 [x₀G(t) + G0(t)] de lo que se deduce que

lim

t→∞G(t) = limt→∞G(t) +

1

x0t→∞lim G

0_(t)

lo que implica que lim

t→∞G

0_{(t) = 0, ya que lim}

t→∞G(t) = h(x0) existe.

Para finalizar comentar que lo anteriormente visto, demuestra que H(t) es de orden exponencial con lo que queda garantizada la convergencia absoluta de L{H(t)}(s) para Re(s) > x0.

Corolario

Supongamos que L{F (t)}(s) converge en s = s0 ∈ C: Re(s0) ≥ 0, entonces L{H(t)}(s)

converge y es igual a f (s)

s para Re(s) > Re(s0).

Demostraci´on Sea s ∈C : Re(s) > Re(s0). Sabemos que L{F (t)}(s) converge para s = s0 ∈ C:

Re(s0) ≥ 0, entonces ∃ x0> 0 : Re(s0) < x0 < Re(s) y L{F (t)}(s) converge en x0 > 0 y aplicando

Teorema 9.2 (Teorema de derivaci´on)

Sea F (t) una funci´on derivable para t > 0 tal que L{F0_{(t)}(s) converge para alg´un real x}

0> 0.

Entonces existe F (0+_{) y L{F (t)}(s) converge para s = x}

0. Adem´as se tiene la relaci´on:

L{F0(t)}(s) = sL{F (t)}(s) − F (0+), s = x₀ y Re(s) > x₀

M´as aun, F (t) = o(ex0t_{) cuando t → ∞ y por tanto L{F (t)}(s) converge absolutamente para}

Re(s) > x₀.

Demostraci´on Si L{F0_{(t)}(s) converge para x}

0 > 0, entonces por el teorema 9.1:

• L ½Z _t 0 F 0_{(x) dx} ¾ (s) = L{F0(t)}(s) s , Re(s) > x0 y s = x0. • Z _t 0 F 0_{(x) dx = o}³_ex0t ´ cuando t → ∞. • Z _t 0 F

0_{(x) dx converge absolutamente para Re(s) > x}

0.

Por tanto, ya que

Z _t 0 F 0_{(x) dx = F (t) − F (0}+_{), tenemos:} • L{F (t) − F (0+)}(s) = L{F0(t)}(s) s ⇒ L{F (t)}(s) − F (0+₎ s = L{F0_(t)}(s) s ⇒ ⇒ L{F0(t)}(s) = sL{F (t)}(s) − F (0+), s = x0, Re(s) > x0> 0 • F (t) − F (0+) = o(ex0t_{) (t → ∞) ⇔ lim} t→∞[F (t) − F (0 +_)]e−x0t_{= 0 ⇔} ⇔ lim t→∞F (t)e −x0t_{= lim} t→∞F (0 +_)e−x0t_{= 0}

• L{F (t)}(s) converge absolutamente para Re(s) > x0 (teorema 2.1).

Notas:

1. Si L{F0_{(t)}(s) converge para x}

0 > 0, estamos asegurando entonces la existencia de F (0+),

pues para que exista L{F0_{(t)}(s) ha de exigirse que F}0_{(t) sea absolutamente integrable en cada}

intervalo finito de la forma 0 ≤ t ≤ T . Entonces:

Z ₁

0 F

0_{(t) dt = A < ∞ ⇒ F (1) − lim}

²→0+F (²) = A ⇒ F (0

2. Exigimos s´olo que F sea derivable para t > 0. No importa qu´e ocurre con la derivada en t = 0. As´ı trataremos con funciones como:

F (t) =      0 t = 0 1 t > 0 ; F (t) = 2√t, t ≥ 0 que no son derivables en t = 0.

El teorema 9.2 puede ser generalizado de la siguiente manera: Teorema 9.3

Si F (t) es derivable n veces para t > 0 y L{F(n)_{(t)}(s) converge para alg´un x}

0 > 0 entonces,

• Existen los l´ımites F (0+_{), F}0₍₀+_{), ... ,F}(n−1)₍₀+_).

• L{F (t)}(s) existe para s = x0.

• Se tiene la relaci´on:

L{F(n)(t)}(s) = snL{F (t)}(s)−sn−1F (0+)−sn−2F0(0+)−· · ·−F(n−1)(0+), s = x0 y Re(s) > x0

• F (t) = o(ex0t_{), · · · , F}(n−1)_{(t) = o(e}x0t_{) cunado t → ∞ y por tanto L{F (t)}(s), · · · , L{F}(n−1)_(t)}(s)

convergen absolutamente para Re(s) > x0.

Notas:

1. Si F (0+_{) = F (0), F}0₍₀+_{) = F}0_{(0), ... ,F}(n−1)₍₀+_{) = F}(n−1)_{(0), entonces F , F}0_{, ...., F}(n−1)

son continuas para t ≥ 0 y obtendr´ıamos:

L{F(n)(t)}(s) = snL{F (t)}(s) − sn−1F (0) − sn−2F0(0) − · · · − F(n−1)(0) = = sn ( f (s) −F (0) s − F0(0) s2 − · · · − F(n−1)(0) sn ) = = snL ( F (t) − Ã F (0) +F 0₍₀₎ 1! t + · · · + F(n−1)(0) (n − 1)! t n−1 !)

N´otese que entre par´entesis aparecen los n primeros t´erminos del desarrollo de Taylor de F en t = 0.

2. Las condiciones para F del teorema 9.2 son, a la hora de la pr´actica, muy restrictivas . De hecho encontramos funciones que verifican el teorema y no verifican todas las condiciones.

Teorema 9.4 Si tenemos

a) F continua para t > 0 y tal que F (0+_{) exista.}

b) F0 _{es continua a trozos o casi continua a trozos.}

c) F de orden exponencial α0.

Entonces, L{F (t)}(s) existe y L{F0_{(t)}(s) = sf (s) − F (0}+_{), Re(s) > α} 0.

Tambi´en podemos encontrarnos con funciones que no son continuas en t > 0 y presentan dis-continuidades de salto finito, es decir, funciones continuas a trozo. En estos casos actuaremos como sigue: sea F continua a trozos para t ≥ 0 y sean T_k, k = 0, 1, 2, 3, · · · con T₀ = 0 los puntos de discontinuidad. Si entendemos F0 _{como la funci´on que no est´a definida en los puntos T}

k y que en el

resto es igual a la derivada de F , podemos definir la funci´on F0(t) como

F₀(t) =

Z _t

0 F

0_{(x) dx}

Esta nueva funci´on es continua en todos los puntos y la diferencia Dk= F (t) − F0(t), Tk< t < Tk+1

es constante y nos mide los saltos de F en los puntos de discontinuidad Tk. Construyamos entonces

la funci´on escalonada D(t) = F (t) − F0(t) = ∞ X k=0 BkH(t − Tk), B0 = D0, · · · , Bk= Dk− Dk−1, k ≥ 1 se obtiene entonces Teorema 9.5

Si F es una funci´on continua a trozos, de tipo exponencial y tal que F0(t) es tambi´en de tipo

exponencial, y sea la funci´on discontinua: D(t) = F (t) − Z _t 0 F 0_{(x) dx =} X∞ k=0 B_kH(t − T_k)

de orden exponencial α0, (se entiende F0 no definida en los puntos de discontinuidad). Entonces,

L{F0(t)}(s) = sf (s) − ∞ X k=0 Bke−sTk, Re(s) > α0 Demostraci´on: L ½ F (t) − Z _t 0 F 0_{(x) dx} ¾ (s) = L ( _∞ X k=0 B_kH(t − T_k) )

f (s) −L{F0(t)}(s) s = ∞ X k=1 Bke −sTk s luego L{F0(t)}(s) = sf (s) − ∞ X k=1 B_ke−sTk

10.

La convoluci´

on

Sean F y G dos funciones definidas para t ≥ 0. Definimos la convoluci´on de F y G, y la denotamos por F ∗ G, a la funci´on dada por:

(F ∗ G)(t) =

Z _t

0 F (x)G(t − x) dx

si esta integral existe.

As´ı como el producto de series de potencia convergentes tambi´en es convergente, no ocurre lo mismo con la integral (F ∗ G)(t): sean las funciones F (t) = √1

t y G(t) = 1

p

|1 − t|. Es f´acil comprobar que se trata de funciones integrables en cualquier intervalo [0, t], sin embargo no ocurre lo mismo con F ∗ G (F ∗ G)(1) = Z ₁ 0 x −1 2(|1 − (1 − x)|)− 1 2 dx = Z ₁ 0 x −1 2x− 1 2 dx = Z ₁ 0 1 x dx = ∞ Esto nos lleva a introducir una clase de funciones que aseguren la existencia de F ∗ G. Definici´on

Definimos la clase L0 como aquel conjunto formado por funciones F verificando

(a) Son absolutamente integrables en [0, T ] para todo T > 0.

(b) Son acotadas en todo intervalo finito [T1, T2] que no incluya al cero.

Proposici´on

Si F y G pertenecen a L0, entonces F ∗ G existe para todo t ≥ 0.

Demostraci´on: (F ∗ G)(t) = Z _t 0 F (x)G(t − x) dx = Z t 2 0 F (x)G(t − x) dx + Z _t t 2 F (x)G(t − x) dx analicemos las dos integrales por separado

• 0 ≤ x ≤ t₂ ⇒ ₂t ≤ t − x ≤ t ⇒ |G(t − x)| ≤ M_t1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z t 2 0 F (x)G(t − x) dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Mt1 Z t 2 0 |F (x)| dx < ∞

• En primer lugar hagamos el cambio de variable u = t − x y tengamos en cuenta que 0 ≤ u ≤ t 2 ⇒ 2t ≤ t − u ≤ t ⇒ |F (t − u)| ≤ Mt2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _t t 2 F (x)G(t − x) dx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z t 2 0 F (t − u)G(u) du ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Mt2 Z t 2 0 |G(u)| du < ∞ Propiedades 1. F ∗ G = G ∗ F 2. F ∗ (λG + µH) = λ(F ∗ G) + µ(F ∗ H) 3. F ∗ (G ∗ H) = (F ∗ G) ∗ H Teorema

Sean F1, F2 ∈ L0. Si L{F1} = f1, L{F2} = f2 convergen absolutamente para s = s0, entonces

L{F1∗F2} converge absolutamente para s = s0y adem´as L{F1∗F2}(s) = f1(s)·f2(s), Re(s) ≥ Re(s0).

Demostraci´on: Extenderemos los valores de Fi para t < 0 de la siguiente manera: Fi(t) = 0,

i = 1, 2, t < 0.

Veamos qu´e ocurre en s = s0.

f1(s0) · f2(s0) = Z _∞ −∞e −s0x_F 1(x) dx Z _∞ −∞e −s0u_F 2(u) du =

dado que f₂(s₀) es una constante = Z _∞ −∞e −s0x_F 1(x) ½Z _∞ −∞e −s0u_F 2(u) du ¾ dx = efectuando el cambio de variable u = t − x ⇒ t = u + x en la integral interna

= Z _∞ −∞e −s0x_F 1(x) ½Z _∞ −∞e −s0(t−x)_F 2(t − x) dt ¾ dx = Z _∞ −∞F1(x) ½Z _∞ −∞e −s0t_F 2(t − x) dt ¾ dx = cambiando el orden de integraci´on (ya que las integrales convergen absolutamente)

= Z _∞ −∞e −s0t ½Z _∞ −∞F1(x)F2(t − x) dx ¾ dt

sabemos que para x < 0, F1(x) = 0, con lo que la integral interna puede escribirse con los l´ımites de

integraci´on entre 0 y ∞, es decir para x ∈ (0, ∞). Por otro lado para t < 0 y x ∈ (0, ∞) ocurre que t − x < 0, luego F2(t − x) = 0. Por lo tanto

f₁(s₀) · f₂(s₀) = Z _∞ 0 e −s0t ½Z _∞ 0 F1(x)F2(t − x) dx ¾ dt pero como t − x < 0 para todo x > t, ocurre que

Z _∞

0 F1(x)F2(t − x) dx =

Z _t

0 F1(x)F2(t − x) dx

con lo que obtenemos

f1(s0) · f2(s0) = Z _∞ 0 e −s0t ½Z _t 0 F1(x)F2(t − x) dx ¾ dt = L{F1∗ F2}(s0)

Para los s tales que Re(s) ≥ Re(s₀), hay que tener en cuenta que, por el teorema 6.1, f₁(s) y f2(s) convergen absolutamente, y a partir de aqu´ı actuar como en el caso anterior.

Teorema

Sean F1, F2∈ L0. Entonces (F1∗ F2)(t) es continua para t > 0.

Demostraci´on: Sea t > 0, hemos de comprobar que lim h→0(F1∗ F2)(t + h) = (F1∗ F2)(t) ⇔ limh→0[(F1∗ F2)(t + h) − (F1∗ F2)(t)] = 0 denotemos D(t, h) = (F1∗ F2)(t + h) − (F1∗ F2)(t) = Z _t+h 0 F1(x)F2(t + h − x) dx − Z _t 0 F1(x)F2(t − x) dx

Sean 0 < h ≤ 1 (podemos asumir que h > 0, en caso de que h < 0, la demostraci´on es an´aloga) y 0 < t0≤ ₂t. D(t, h) = Z _t0 0 F1(x)[F2(t + h − x) − F2(t − x)] dx + Z _t t0 F1(x)[F2(t + h − x) − F2(t − x)] dx+ + Z _t+h t F1(x)F2(t + h − x) dx = I1+ I2+ I3

veamos que ocurre con I1: estudiemos el rango de variaci´on de la variable de la funci´on F2.

0 ≤ x ≤ t₀ ⇔      t − t0≤ t − x ≤ t t + h − t0 ≤ t − x + h ≤ t + h      ⇒ t 2 ≤ t − t0 ; t + h ≤ t + 1 t 2 + h ≤ t − t0+ h