Transformada de Laplace

Texto completo

(1)Transformada de Laplace Ing. Juan Sacerdoti. Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Matem´atica Universidad de Buenos Aires 2005 V 1.001. 1. Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´ on de este documento..

(2) ´Indice 1. Introducci´ on 1.1. ¿Qu´e es una transformada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. La aplicaci´on de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 1 2. 2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones. 2. 3. Funci´ on de Heaviside. 3. 4. Definici´ on de T.L. 4.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Notaci´on de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Relaci´on entre T.L. y T.F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 5 5. 5. Condiciones de existencia 5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas . . . . . 5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV . . . . . . . 5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV . . . . . . . . 5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial 5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE) . . . 5.4.2. Definici´on de funci´on CPOE . . . . . . . . .. . . . . . .. 5 5 6 11 14 14 18. 6. Propiedades b´ asicas de la T.L. 6.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Transformada de la derivada de f 1 . Derivaci´on en t . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 18 19. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 7. Aplicaci´ on de la T.L. a la resoluci´ on de sistemas y ecuaciones diferenciales lineales 19 8. Transformadas elementales 8.1. Constante-Heaviside . . . . . . . . . 8.2. Funci´on potencial . . . . . . . . . . . 8.3. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Cos, Sen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Cosh, Senh . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Tabla de transformadas elementales. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 23 23 23 23 24 24 24. 9. Propiedades de la T.L. Segunda parte 9.1. Integraci´on en t . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Derivaci´on en s . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Integraci´on en s . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Desplazamiento en t . . . . . . . . . . . . . 9.5. Desplazamiento en s . . . . . . . . . . . . . 9.6. Cambio de t Ñ |k |t. Cambio de escala . . . 9.7. Convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Transformada de funciones peri´odicas . . . 9.9. Propiedades de la Transformada de Laplace.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabla. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 25 25 26 27 29 29 29 30 32 34. 10.Propiedades de la T.L. Tercera parte 10.1. Primer teorema del orden de la T.L. . . . 10.2. Segundo teorema del orden de la T.L. . . 10.3. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . . 10.4. Teorema del valor final . . . . . . . . . . . 10.5. Propiedades del producto de convoluci´on .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 35 35 36 36 37 37. . . . . . .. . . . . . .. I. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . ..

(3) 11.F´ ormula de reciprocidad de la T.L 11.1. Teorema de reciprocidad de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Inversi´on. Cuando las singularidades de F psq son puntos singulares aislados 11.3. F´ormula de inversi´on cuando F psq tiene puntos de ramificaci´on . . . . . . . 11.4. Teorema de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Ejercicios de antitransformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 38 38 41 45 46 47. 12.Transformada de Laplace de Funciones Especiales 12.1. Funci´on at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Funci´on logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Funciones de Bessel J0 ptq . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Funciones de Bessel Jn ptq . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Relaciones entre sen y Jn . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Funciones de Bessel hiperb´olicas . . . . . . . . . . . 12.7. Funciones cos y sen integral . . . . . . . . . . . . . . 12.8. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 53 53 53 54 56 57 58 59 60. ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 61 62 65. 13.Resoluci´ on de ecuaciones diferenciales y sistemas 13.1. ED lineales de coeficientes constantes . . . . . . . . 13.2. Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes 13.3. Ecuaciones Integro-Diferenciales . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. de . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 14.Aplicaciones 14.1. Resoluci´on del modelo EDL con coeficientes constantes . . . 14.1.1. Ecuaci´on general en s . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Repuesta para entrada nula (movimiento libre) . . . . . . . 14.2.1. Condiciones de estabilidad en caso de entrada nula . 14.2.2. Sistemas de entrada nula no amortiguados . . . . . . 14.2.3. Tabla para caso de entrada nula (movimiento libre) 14.3. Respuesta para entrada forzada. iptq  A (constante) . . . . 14.4. Respuesta para el caso general de entrada forzada . . . . . 14.4.1. Respuesta a s1 , s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2. Respuesta a los polos de I psq . . . . . . . . . . . . .. II. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 66 67 67 67 70 72 72 73 74 74 75.

(4) 1.. Introducci´ on. 1.1.. ¿Qu´ e es una transformada? Dados dos espacios E y E 1 con sendas leyes de composici´on interna T y T 1 , de manera que conformen dos estructuras pE T q y pE 1 T 1 q, se llama transformada a una aplicaci´on biyectiva f : E ÝÑ E 1 que establezca un isomorfismo entre las estructuras pE T q y pE 1 T 1 q Es decir:. b. b. a. T c. f. T1. b. b. b. b. a1. b. c1. b1. E1. E. Figura 1: Isomorfismo f entre las estructuras E T y E 1 T 1 .. p. q p. q. T 1 : E 1  E 1 ÝÑ E 1 pa1 , b1 q ÞÝÑ c1. T : E  E ÝÑ E pa, bq ÞÝÑ c. ÝÑ E 1 f P biyectiva a Ñ a1 b Ñ b1 a T b Ñ a1 T 1 b1. f: E. Por medio de la transformada se establece, entonces, un comportamiento isomorfo entre las estructuras pE T q y pE 1 T 1 q; que permite obtener, usando la transformada f como puente, el resultado de la composici´on interna T conociendo el de T 1 , o viceversa. Por ejemplo, el resultado de T en E es puede obtener: f : a ÝÑ a1 b ÞÝÑ b1. 1o. Transformando. 2o. Componiendo. T 1 : pa1 , b1 q ÝÑ c1. 3o. Antitransformando. f 1 : c1.  a1 T 1 b 1. ÝÑ c  a T b. Por supuesto que el uso de la transformada, ques se basa en la analog´ıa de las estructuras isomorfas, se puede justificar solamente si el camino indirecto de: transformaci´on, composici´ on y antitransformaci´on es m´as sencillo que el camino directo de la composici´on T . Un ejemplo simple de la idea de transformada es el c´alculo logar´ıtmico para el producto de dos n´ umero reales positivos.. 1.

(5) a. b. b. Ä. ab b. L aÀ. L. b. b. b. b. La. Lb. Lb. E1. R T R. E. T1. R  R p q y pR q.. Figura 2: Isomorfismo, mediante L, entre las estructuras R. ÝÑ R1 a Ñ L a b Ñ L b a  b Ñ L a. L P biyectiva. L: R. 1.2.. Lb. La aplicaci´ on de la Transformada de Laplace. La transformada de Laplace (T.L.) es una aplicaci´on entre espacios de funciones. Su aplicaci´on principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en ecuaciones algebraicas lineales.. y. b. pq. b. EDL y. TL. Y. b. EAL Y. p q. E1. E. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. b. TL. Ecuaciones lineales. algebraicas. Figura 3: Transformada de Laplace entre el conjunto de EDL y el de EAL.. Con lo cual se obtiene un m´etodo poderoso, por r´apido y eficaz, para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Adem´as, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales. Por todo esto, la T.L. es de gran aplicaci´on en los modelos de la t´ecnica.. 2.. Transformada de Fourier. Sus limitaciones. La transformada de Laplace tiene su origen en las limitaciones de la transformada de Fourier (T.F.), de la cual es un caso particular. Ambas transformaciones tienen en esencia las mismas propiedades, pero la T.F. tiene un conjunto muy limitado de funciones sobre las cuales puede ser aplicada directamente, pues sus condiciones de existencia son muy restrictivas. El teorema de la Integral de Fourier, que genera la T.F, es:. 2.

(6) Teorema 2.1 (Integral de Fourier). H1 q f H2 q. H3 q. , / / / / / / / / / / / / / / .. P CP{R.  ˆ 8 ˆ 8   ptq  1 iωt  q f e f pτ q eiωτ dτ dω T 1   1  f P CP{t  2π 8 8     f 1 P CP{t  $ ˆ 8 ' ùñ ' ' ˆ f pτ q eiωτ dτ /  & F pω q  /  /  8 /  |f | dt P CV/  T2 q ˆ 8 /  /  ' 1 /  V8 '  /  ' ˆ / F pω q eiωt dω  % f ptq  / / 2π 8 / |f | dt P CV/ V 8. Donde se pueden observar las expresiones de la transformada de Fourier y su antitransformada. La hip´otesis H3 es la que trae las restricciones es la aplicaci´on de la T.F, pues la exigencia de la convergencia absoluta de f en un V 8 y en un V8 es muy restrictiva, tanto que funciones fundamentales para el an´alisis como: t, senptq, et no las satisfacen. Esto lleva la definici´on de la T.L.. 3.. Funci´ on de Heaviside La funci´ on de Heaviside, necesaria para la T.L, se define como: H : R t0u ÝÑ R t ÞÝÑ. #. 1 0. t¡0. t 0. y es llamada tambi´en funci´ on escal´ on o salto unitario. f pt q. q p0. t. Figura 4: Funci´ on de Heaviside.. Observaci´on 1: La funci´on de Heaviside no se ha definido en t  0, pues ello no tiene importancia. Se puede, sin embargo, definir como algunos autores H : 0 ÞÝÑ 12 . Tambi´en es de uso com´ un la funci´on escal´on desplazada Hpt  aq.. 3.

(7) f pt q. q p. a. t. Figura 5: Funci´ on de Heaviside desplazada.. 4.. Definici´ on de T.L.. 4.1.. Definici´ on. La transformada de Laplace es: TL :. ÝÑ E 1 ˆ f ptq ÞÝÑ F psq  E. . 8. 8 ˆ 8 8. Hptq f ptq ext eiyt dt Hptq f ptq es t dt. :. sx. iy. La transformada de Laplace es entonces una aplicaci´on del espacio E de funciones reales, sobre el espacio E 1 de funciones complejas; donde f ptq se llama funci´ on original y F psq se llama funci´ on transformada. A es t se la denomina n´ ucleo de la transformaci´ on. Observaci´on 1: La T.L. tambi´en se extiende como aplicaci´on de espacios complejos sobre espacios complejos. Observaci´on 2: En la mayor´ıa de los libros se define: ˆ 8 f ptq es t dt F psq  0. Efectivamente, si se toma la definici´on original se llega a este resultado: ˆ 8 ˆ 8  st F psq  Hptq f ptq e dt  f ptq es t dt. 8. 0. Sin embargo, en el caso de funciones con desplazamiento, de tomarse la 2o expresi´on se obtienen resultados incorrectos.. ´. CORRECTO Hpt  aq f pt  aq ÞÝÑ. ˆ. 8 8. Hpt  aq f pt  aq es t dt ùùù. 8. ˆ. f pt  aq es t dt. a. INCORRECTO (para a   0) Hpt  aq f pt  aq ÞÝÑ. ˆ. 8 0. ¡. ˆ.  . ˆ. Hpt  aq f pt  aq es t dt ùùù ù a 0. ùùùù a 0. 4. a. 0. 8 8. f pt  aq es t dt f pt  aq es t dt. 0. 8 f ptq es t dt,.

(8) 4.2.. Notaci´ on de la T.L.. Los s´ımbolos que se emplean para representar a la T.L. son: f ptq  F psq donde siempre la funci´on se representa en t con min´ uscula y en s con la misma letra may´ uscula. Otra notaci´on usual es tambi´en: L tf ptqu  F psq que es menos pr´actica que la anterior.. 4.3.. Relaci´ on entre T.L. y T.F.. La T.L. de una funci´on f ptq ˆ 8 f ptq  F psq  Hptq f ptq ext eiyt dt. 8. :. sx. iy. no es m´as que la T.F. de otra funci´on g ptq  Hptq f ptq ext ˆ 8 TF g ptq  Hptq f ptq ext  Gpy q  g ptq eiyt dt. 8. es decir: f ptq  F psq  Gpy q. € Hptq f ptq ext. TF. Se puede observar claramente que la T.L. es una T.F. en la cual el problema de CV planteado por la H3 del teorema 2.1: ˆ |g| dx P CV H3 q V8 ˆ |g| dx P CV V 8 se enfrenta en V8 y en V. 8 de la siguiente manera:. 1o En V8 se multiplica f ptq por Hptq, que en este vecinal es nula y por lo tanto asegura la convergencia absoluta de g ptq. ˆ ˆ ˆ |g| dx P CV Hptq f ptq ext eiyt dt  0 dx  0 ùñ V8 V8 V8. 2o En V 8 se multiplica f ptq por ext , que no asegura la convergencia absoluta, pero que la ayuda notablemente. La existencia de la T.L. se reduce entonces al estudio de la CV en un V. 5.. Condiciones de existencia. 5.1.. Teoremas de CV para funciones acotadas. Hay varios teoremas que estudian la existencia de la T.L: Teorema 5.1. H1 q f P CP H2 q  x P V H3 q x ¡ 0. 8. , / .. |f ptq|   M / ùñ -. #. T1 q F. P CV T2 q F P CA. 5. 8..

(9) Demostraci´ on. ˆ 8  ˆ    st  f ptq e dt ¤  l. 0. jh. n. 8. l0.   f t est  dt jh n. | p q|. 1. ¤M. ˆ. 8 0. ¡ M. ext dt ùùñ x 0. y. 2. 1. ¤ Mx ùñ F P CV. 2. ¤ Mx ùñ F P CA. P CV F P CA. Teorema 5.2.. ,. H1 q f. $. P CP / ' . & T1 q H2 q  x P V 8 |f ptq|   M ùñ T2 q / ' % H3 q x ¥ x0 ¡ 0 T3 q. n. l0. jh. 1 donde la cota. ¡ x0 ¡ 0 tambi´en se asegura la. P CV F P CA F P CU F. Demostraci´ on. An´alogamente al T1 anterior ˆ 8  ˆ 8 ˆ    st   st  ¤ e  dt ¤ M f p t q e dt | f p t q|   jh. x. 0. Con una variante de la H3 del teorema anterior, haciendo x CU.. 0. p. F. El an´alisis de los valores de s para los cuales se asegura como condici´on suficiente la CV y CA de la T.L es, entonces, x ¡ 0.. l. x. n. 8 0. ¡ M. ext dt ùñ x 0. x. 2. M x0. es independiente del x y por lo tanto asegura la CU.. 1. ¤ Mx ùñ F P CV. 2. ¤ Mx ùñ F P CA. 1. ¤M ùñ F P CU x. y. s. P CV F P CA F P CU. F. 0. 0. x0. x. Es decir, si analizamos el campo de los valores de s donde se aseguran las tesis, es el representado en la figura.. 5.2.. Convergencia absoluta. Abscisa de CV. Un tercer teorema, relativo a la CA de la T.L. es: Teorema 5.3. La CA en un valor s0  s : s  x iy : x ¡ x0 . $ ' & T1. P CA{s0 ùñ T qq 2 ' H2 q x ¥ x0 % T q. H1 q F. +. 3.  x0. iy0 es condici´ on suficiente de CV, CA y CU para:. P CV{s F P CA{s F P CU{s F. 6.

(10) Demostraci´ on. ˆ 8  ˆ  st dt ¤  f p t q e   l. 0. jh. n. l. 8 0. |f ptq| ext jh. 1. dt ¤ n. ˆ l. 8. |f ptq| ex t 0. 0. jh. 2. ¡ M. dt ùñ x 0. x. n. 3 y. 3 1 2. P CV por H1 ¤ 3 ùñ F P CU{s ÝÑ F P CV{s ¤ 3 ùñ F P CA{s. s. s0. 0. x0. b. P CV F P CA F P CU. F. x. El campo de los valores de s donde se aseguran las tesis, se representa en la figura. Analizando el TCR del teorema 5.3 se tiene un resultado importante para el estudio del campo de CA de la T.L. Corolario 5.3.1 (TCR). T2 q. +. R CA{s0 ùñ H q 1 H2 q x ¥ x0 F. F. R CA{s0. Cambiando la notaci´on: s ÝÑ s1. x ÝÑ x1 s0 ÝÑ s x0. ÝÑ x. resulta la siguiente expresi´on del TCR: Corolario 5.3.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia absoluta en un valor s1 es condici´ on suficiente de no convergencia absoluta para:  s : s  x iy : x ¤ x1 . T2 q. +. R CA{s1 ùñ H q 1 H2 q x1 ¥ x F. F.  x1. i y1. R CA{s y. F. s. b. R CA 0. s1. x1. x. Figura 6: Regi´ on de no convergencia absoluta, seg´ un el corolario 5.3.2.. Combinando los resultados del T3 y del TCR{T3 , tenemos que existe un semiplano a la derecha de x0 (x ¥ x0 ) donde existe la CA, y un semiplano a la izquierda de x1 (x ¤ x1 ) donde no existe la CA.. 7.

(11) y. F. s. b. R CA. s1. s0. x1. x0. b. F. P CA x. Figura 7: Regiones de CA, no CA y franja intermedia.. Pero eligiendo un punto xint intermedio entre x1 y x0 , es decir: xint. P px1 , x0 q. por el principio del tercero excluido, se cumple que: 1o . F. P CA{xint. 2o . F. R CA{xint. o. con lo cual, en el 1o caso, por T3 : +. P CA{xint ùñ F P CA{s x ¥ xint. F. se extiende la CA. s. : x ¥ xint s. F. R CA. F. x1. P CA. xint. F. P CA. x0 x. Figura 8: Region de CA para x. ¥ xint .. Si se cumpliera el 2o caso, por TCR T3 F R CA{xint x ¤ xint. +. ùñ F P CA{s. se extiende la no CA. s. : x ¤ xint. entonces, de una forma u otra, se reduce la franja intermedia donde est´a indefinida la CA.. 8.

(12) s. F. R CA. R CA. F. F. x1. xint. P CA. x0 x. Figura 9: Region de no CA para x. ¤ xint .. Reproduciendo este procedimiento n veces y llamando: Con sub´ındice par los sucesivos xint : F Con sub´ındice impar los sucesivos xint :. P CA{xint . F R CA{xint .. CA. CA b. x1. b. x3. b. b. x5. b. b. x7 x4. x2. t un¥0. Figura 10: Sucesi´ on xn. : x1. b. x0. x. ¤ xn ¤ x0. se pueden formar dos sucesiones tal que:. ¤. ¤. ¤. ¤. ¥. x5. ¥. .. .. ¤. α1. ¤. Ó. x2 x4 .. .. 1. x2n. x0. ¤. ¥. x3. ¤. ¤. ¥. x1. x2n. Ó. α0. 1o La primera sucesi´on tx0 , x2 , . . . , x2n , . . . u es mon´otona no creciente y acotada inferiormente por x1 entonces, por el teorema de Weierstrass al efecto, tiene l´ımite para n Ñ 8, que coincide con su extremo inferior α0 . 2o La segunda sucesi´on tx1 , x3 , . . . , x2n 1 , . . . u es mon´otona no decreciente y acotada superiormente por x0 entonces, por el mismo teorema, tiene l´ımite para n Ñ 8, que coincide con su extremo superior α1 . Adem´as α1. ¤ α0. 3o Por otra parte, por el procedimiento de elecci´on del xint , se puede asegurar que:. ǫ¡0. D n0 :  n ¥ n0 ùñ |x2n  x2n 1 |   ǫ. de donde resulta que: α1.  α0  α. 9.

(13) que se llama abscisa de convergencia absoluta de la T.L. y que tiene la propiedad que:. x¡α x α. P CA{x F R CA{x F. s. R CA. F. F. P CA. bα. x. Figura 11: Abscisa de CA, x.  α.. Sobre la misma abscisa de CA (s  α) no pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a la CA. Hay T.L. que convergen en x  α y otras que no. Resumiendo, el campo de CA de la T.L. es un semiplano a la derecha de α. Observaci´on 1: N´otese la analog´ıa con los c´ırculos de CA de la serie de Taylor, y lo que sucede en la frontera de los mismos. Observaci´on 2: Pueden presentarse lo siguientes casos particulares de α: 1o α  8, entonces F 2o. P CA para todo el plano |s. α  8, entonces F R CA sobre ning´ un punto de |s y la funci´on original no es transformable por T.L.. El siguiente teorema muestra la forma de encontrar la abscisa de CV. Teorema 5.4. L |f ptq| t. ÝÝÝÝ Ñ λ ùñ λ  α tÑ 8. Demostraci´ on. Por hip´otesis  .  . D t0 :  t ¡ t0 ùñ  L |ftptq|  λ   ǫ. ǫ¡0. Resulta entonces:. pλ  ǫqt   epλǫqt  . L |f ptq|  . pλ. epλ. |f ptq|  . ǫ qt. q. ǫ t. Aplicando estas desigualdades sobre la integral que da la CA de la T.L: ˆ. 0. 8. |f ptq| ext. dt ¤. ˆ l. 0. 8. epλ. x¡λ ǫ q ext dt ùùùùù. ǫ t. jh. n. 1 donde x ¡ λ. ǫ es la condici´on de CV de la integral 1 .. 10. λ x  pλ. ǫq. ´. 0. 8 |f ptq| ext dt, resulta:.

(14) Adem´as resulta: ˆ 8 ˆ |f ptq| ext dt ¥ 0. 8. l0. ¤ λǫ. epλǫqt ext dt ùùùùùù x. jh. n. 8. s. 2 donde x ¤ λ integral 2 .. F. ǫ es la condici´on de no CV de la. R CA λǫ. Por lo tanto:. ǫ ¡ 0. x¡λ. b. bλ. F. P CA. λ. ǫ. b. ǫ ùñ F psq P CA{x. x   λ  ǫ ùñ F psq R CA{x. resultando entonces por definici´on λ  α, abscisa de CA.. 5.3.. Convergencia simple. Abscisa de CV. Un cuarto teorema de convergencia, parecido al 5.3, pero que se refiere a la convergencia simple de la T.L. es: Teorema 5.5. La convergencia simple en un valor s0 para:  s : s  x iy : x ¡ x0 . H1 q. +. P CV{s0 ùñ Tq H2 q x ¡ x0 F. F.  x0. P CV{s. iy0 es condici´ on suficiente de CV. y. s. s0. Observaci´on: N´otese que la diferencia con el teorema 5.3 consiste en que en H1 se postula F P CV{s0 y no F P CA{s0 , y que en H2 se postula x ¡ x0 y no x ¥ x0 .. Demostraci´ on. ˆ F psq . 8. 0. f ptq est dt . ˆ. 0. 8. f ptq es0 t epss0 qt dt. Llamando: ϕ1 ptq  f ptq es0 t Resulta: ϕptq . ˆ. 0. t. f pτ q es0 τ dτ. ϕptq ÝÝÝÝÑ F ps0 q. Ñ 8. t. que es convergente por H1 , es decir, es finito.. 11. 0. x0. b. F. P CV x. x.

(15) Reemplazando ϕ1 ptq en la expresi´on anterior: F psq . 8. ˆ. 0. ϕ1 ptq epss0 qt dt. Integrando por partes resulta: F psq  ϕptq epss0 qt. ps  s0 q. ˆ. 8. 0. ϕptq epss0 qt dt. La parte integrada vale cero, pues:   ÝÝÝÑ F ps0 q : |F ps0 q|   M ϕptq Ý tÑ 8  | epss0 qt |  epxx0 qt. por H1. ÝtÝÝÝ Ñ 8Ñ 0. Entonces:. ϕptq epss0 qt. 0 ÝtÝÝÝ Ñ 8Ñ. Adem´as: ϕp0q . ˆ. 0. 0. f pτ q es0 τ dτ. 0. Queda entonces: F psq  ps  s0 q. 8. ˆ. 0. |F psq| ¤ |s  s0 |. ϕptq epss0 qt dt. 8. ˆ. |ϕptq| epxx qt 0. 0. dt ¤ |s  s0 | M. 1 x  x0. De donde resulta la tesis. Si analizamos el TCR de T4 se tiene: Corolario 5.5.1 (TCR). +. Tq F R CV{s H2 q x ¡ x0. ùñ H1 q. F. R CV{s0. Cambiando la notaci´on: s ÝÑ s1. x ÝÑ x1 s0 ÝÑ s x0. ÝÑ x. resulta la siguiente expresi´on del TCR del teorema 5.5: Corolario 5.5.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia simple en un valor s1 es condici´ on suficiente de no convergencia simple  s : s  x iy : x   x1 . Tq F R CV{s1 H2 q x1 ¡ x. +. ùñ H1 q. F. R CV{s. 12.  x1. iy1.

(16) y. F. s. b. R CV. s1. x1. 0. x. Figura 12: Regi´ on de no convergencia simple, seg´ un el corolario 5.5.2.. Combinando los resultados del teorema 5.5 y del corolario 5.5.2 en forma an´aloga a lo realizado para la CA, tenemos que existe un semiplano a la derecha de x0 (x ¡ x0 ) donde existe CV; y un semiplano a la izquierda de x1 (x   x1 ) donde no existe CV. Queda una franja intermedia x1. ¤ x ¤ x0 donde est´a indefinida la CV. y. F. R CV. s. b. s1. s0. x1. x0. b. F. P CV x. Figura 13: Regiones de CV, no CV y franja intermedia.. A partir de aqu´ı, se puede repetir todo el razonamiento realizado en el p´arrafo anterior para definir la abscisa α de CA, estableci´endose entonces la existencia de una abscisa β de convergencia simple. s. F. R CV. F b. P CV. β. Figura 14: Abscisa de CV, x. x.  β.. Adem´as, sobre la misma abscisa de CV (x  β) tampoco pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a la CV; hay T.L. que convergen en la abscisa y otras que no. Resumiendo, el campo de CV de la T.L. es un semiplano a la derecha de β. Como la CA implica la CV, resulta: Teorema 5.6.. α P ABS CA β. +. P ABS CV ùñ β ¤ α. 13.

(17) s. F. P CV. F. P CA. α. β. x. Figura 15: Regiones de CV (x. 5.4.. ¡ β) y CA (x ¡ α).. Convergencia para funciones de orden exponencial. 5.4.1.. Funciones de orden exponencial (FOE). 8 cuando:. Se dice que una funci´on es de orden exponencial en un V f. P O. EXP.  |f ptq| ¤ M ex. 0.  t ¡ t0 pV 8 q ,. t. M.  cte.. Las funciones que pueden acotarse por una exponencial en el V 8 tienen asegurada la CV, CA y CU de la T.L, que adem´as es holomorfa; proposiciones que se demuestran en el siguiente important´ısimo teorema. Teorema 5.7 (CV de funciones de orden exponencial. “Teorem´on”).. H1 q. f. P CP. H2 q. |f | ¤ M e. H3 q. x0. x0 t.   x1 ¤ x. , / / / / . / / / / -. q q q. $ T1 ' ' ' ' ' ' ' T2 ' ' ' ' ' ' T3 ' ' ' ' ' ' ' ' & T4. ùñ '. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' T5 ' ' ' ' ' ' ' ' % T6. P CV{x ¡ x0 F P CA{x ¡ x0 F P CU{x ¥ x1 ˆ 8 ˆ q BBx f ptq es t dt  0 0 B ˆ 8 f ptq es t dt  ˆ By. q. F. 0. F. 8. B s t Bx f ptq e dt 8 B s t By f ptq e dt. 0. P H{x ¥ x1. ˆ B q Bs 0. 8. f ptq es t dt . 8. ˆ. 0. B s t Bs f ptq e. dt. Demostraci´ on.. |F psq| . ˆ    l0. 8. .  f ptq es t dt ¤ jh. ˆ. l0. n. 1. 8. |f ptq| ext dt ¤ M jh. n. ˆ. 0. 8. epxx0 qt dt ¤. M x  x0. 2. 1. ¤ x Mx. ùñ. T1 q F. P CV px ¡ x0 q. ¤ x Mx. ùñ. T2 q F. P CA px ¡ x0 q. ¤x M 1  x0. ùñ. T3 q F. P CU px ¥ x1 q. 0. 2. 0. 2. 14. ¤x M 1  x0.

(18) Observaci´on: Resulta entonces que si |f |   M ex0 t. ùñ β ¤ α ¤ x0   x1 s. F F F α. β. x0. x1. P CV P CA P CU x. Figura 16: Regiones y abscisas de convergencia para FOE.. Para estudiar las tesis T4 y T5 se descompone F psq es partes real e imaginaria: F psq  upx y q iv px y q ˆ 8 ˆ p x iy qt F psq  f ptq e dt  0. 8. 0.  ´ upx y q  0 v px y q  ´ 0. f ptq ext pcos yt. i sen ytq dt. 8 f ptq ext cos yt dt 8 f ptq ext sen yt dt. La derivabilidad bajo el signo integral se implica con el siguiente teorema:g H1 q ϕpt, αq P CP{t, α. Bϕ P CP{t, α Bˆα H3 q ϕpt, αq dt P CV. H2 q. V. H4 q. ˆ. V. 8. B ϕpt, αq dt P B 8 α. , / / / / / / / / / / / . / / / / / / / / / / CU/ -. ˆ ùñ BBα a. En nuestro caso se aplicar´a este teorema sobre ˆ 8 f ptq ext cos yt dt upx y q  0. tomando x de par´ametro.. 15. 8. ϕpt, αq dt . ˆ. a. 8. B Bα ϕpt, αq dt.

(19) Se deben verificar las cuatro hip´otesis H1 q f ptq ext.   g pt, x, y q  f P CP{t cos yt P CP{t, x, y ðù ext P C{t, x   cos yt P C{t, y. H2 q. Bg xt Bx  f ptq ptq e. H3 q. ˆ. H4 q. ˆ. 8. 0. 8. 0. (por hip´otesis).  f P CP{t     t P C{t cos yt P CP{t, x, y ðù  ext P C{t, x    cos yt P C{t, y. f ptq ext cos yt dt. P CV ðù F psq P CV. f ptq ptq ext cos yt dt. (por tesis 1). P CU ðù. Este resultado se demuestra porque: ˆ   f t   V 8.  . p q ptq ext cos yt dt ¤ . ˆ. ¤M. 8 ˆ. ¤M. ˆ. V. V. 0. |f ptq| |t| ext 8. 8. dt ¤. t epxx0 qt dt ¤ t epxx0 qt dt ¤. ¤ px Mx q2 ¤ px Mx q2 0 1 0 Entonces,  x : x ¥ x1 , se ha acotado la integral por por lo tanto hay CU respecto de ambas variables.. M px1 x0 q2 , que no depende ni de x ni de y;. Observaci´on: La convergencia uniforme de upx y q y de v px y q tambi´en puede demostrarse por un segundo m´etodo, basado en que t es de orden exponencial, y aplicando la misma tesis T3 de este teorema:    t   δ ¡ 0 : etδt ÝÝÝÝ Ñ 0 ùñ  δt    ǫ tÑ 8 e. ùñ t   ǫ eδt. Resulta entonces:. |f ptq| |t| ¤ M ex t ǫ eδt  M1 epx 0. 0. q. δ t. Eligiendo δ: x0. δ.   x1. El mismo teorema que se est´a demostrando en su T3 asegura que: f ptq  t. P CP, / .. |f ptq  t| ¤ M1 epx0 δqt/ ùñ x0. δ. -.   x1 ¤ x. ˆ. 0. 8. f ptq ptq ext eiyt dt. cuya parte real es la proposici´on H4 buscada.. 16. P CU.

(20) Se ha demostrado entonces que: Bu  B ˆ 8  ˆ 8 B  ˆ Bx Bx 0 Bx 0 0. 8. f ptq ptq ext cos yt dt. An´alogamente se demuestra que:. Bu  B ˆ By By 0 Bv  B ˆ Bx Bx 0 Bv  B ˆ By By 0. 8 8 8. 8. . ˆ. . ˆ. . ˆ. 0. 0. 0. B ˆ By 0 8 B ˆ Bx  0 8 B ˆ By  0. 8 8 8. f ptq ptq ext sen yt dt f ptq p tq ext sen yt dt f ptq ptq ext cos yt dt. con lo cual queda demostrada la cuarta tesis (T4 ). Si se analizan las cuatro integrales anteriores se observa que: 1o Cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann 2o Son funciones continuas respecto de x y de y por ser integrando continuo. Lo cual lleva a que la T.L es holomorfa (T5 ). Bu  Bv P C{x, y, / / . Bx By ùñ /  BBuy  BBxv P C{x, y/ Adem´as como F 1 psq . BF Bs. Bˆ Bs 0.  BBFx. 8. F. u. iv. P H{x ¥ x1. es inmediata la T6 :. f ptq es t dt . ˆ. 0. 8. B ˆ Bs 0. 8. f ptq ptq es t dt. Observaci´on: N´otese que se ha demostrado la propiedad: F 1 psq € ptq f ptq sobre la cual se volver´a m´as adelante. Resulta entonces que para funciones f ptq acotadas y de orden exponencial. s. : sx. iy. x ¥ x1. se cumplen simult´aneamente:. P CV P CA F P CU F PH. F F. siendo v´alida adem´as la derivabilidad bajo el signo integral, respecto de x, y y s.. 17.

(21) s. F F F F α. β. x0. x1. P CV P CA P CU PH x. Figura 17: Regiones de CV, CA, CU y holomorf´ıa para FOE.. 5.4.2.. Definici´ on de funci´ on CPOE. Por ser las hip´otesis del teorema 5.7 de una aplicaci´on posterior amplia y frecuente, es conveniente definir la siguiente proposici´on:   H1 q f P CP f P CPOE{x0   x1 ¤ x  H2 q |f | ¤ M ex0 t   H3 q x0   x1 ¤ x. que representa a las funciones continuas por partes y de orden exponencial sobre el intervalo se˜ nalado.. 6.. Propiedades b´ asicas de la T.L.. La transformada de Laplace tiene dos propiedades que son las que permiten resolver sistemas y ecuaciones diferenciales lineales con gran facilidad. Son la linealidad y la transformada de la funci´on derivada.. 6.1.. Linealidad. Teorema 6.1. La T.L de una combinaci´ on lineal es la combinaci´ on lineal de las T.L. f1 ptq  F1 psq f2 ptq  F2 psq. +. ùñ. λ1 f1 ptq. λ2 f2 ptq. . λ1 F1 psq. λ2 F2 psq. Demostraci´ on. La demostraci´on de este teorema es inmediata: ˆ 8 ˆ 8 λ1 f1 λ2 f2  pλ1 f1 λ2 f2 q es t dt  λ1 f1 es t dt 0. 0.  λ1 F1. λ2. ˆ. 8. f2 es t dt. 0. λ2 F2. Observaci´on: De este teorema se extrae inmediatamente que la T.L. es un vector. Mejor a´ un, si E 1 es el conjunto de las T.L, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos (o de los reales) con las leyes de composici´on suma de funciones y producto por un complejo. ,  tF u / / / / / / pC, C , C q P Cuerpo complejo / / / / / . 1 1 1 T : E  E ÝÑ E ùñ pE 1 , C, / pF1 , F2 q ÞÝÑ F1 psq F2 psq/ / / / / / 1 1 / / s : C  E ÝÑ E / / pλ, F q ÞÝÑ λ F psq. E1. 18. . C , C , T, s. q P EEV (Estructura de Espacio Vectorial).

(22) 6.2.. Transformada de la derivada de f 1 . Derivaci´ on en t. Dentro de las hip´otesis del teorema de CV para funciones CPOE (teorema 5.7) es v´alido: Teorema 6.2. Hq. +. P CPOE ùñ H1 q f ptq  F psq f. f 1 pt q. . s F psq  f p0. q. Demostraci´ on. f 1 ptq. . ˆ. 8 0. . f 1 ptq es t dt  f ptq es t  0.  0  f p0 q. 8. s. ˆ. 0. 8. f ptq es t dt. s F psq. pues: f ptq es t. ÝÝÝÝ Ñ 0 ðù |f ptq|   M ex t tÑ 8 f ptq es t ÝÝÝÝÑ f p0 q tÑ0 0. : x ¡ x0. A su vez, si hallamos la transformada de f 2 ptq como transformada de la derivada de f 1 ptq, aplicando el teorema 6.2: + ( Hq f P CPOE f 2 ptq  s Gpsq  g p0 q ùñ 1 H1 q f ptq  Gpsq f 2 ptq  s2 F psq  s f p0 q  f 1 p0 q y esto se puede extender por inducci´on completa a f pnq ptq, por lo cual: Corolario 6.2.1. Hq. +. P CPOE ùñ H1 q f ptq  F psq f. f pnq ptq.  sn F psq  sn1 f p0 q  sn2 f 1 p0 q  . . .     s f pn2qp0 q  f pn1qp0 q. Obs´ervese que si las condiciones iniciales son nulas: f p0. q  f 1 p0 q  f 2p0 q      f pn1qp0 q  0. Entonces: f ptq. f 1 ptq f 2 ptq .. .. f pnq ptq.  F ps q  s F psq  s2 F psq . .. .. s n F ps q. es decir, derivar n veces en el campo original t significa multiplicar por s, n veces (sn ) en el campo transformado s.. 7.. Aplicaci´ on de la T.L. a la resoluci´ on de sistemas y ecuaciones diferenciales lineales Los modelos usuales en la ingenier´ıa y en la ciencia en general son lineales. Ello es porque existen dos razones que se influyen mutuamente. 19.

(23) 1o Los modelos f´ısicos se construyen con funciones o sistemas de funciones cualesquiera, cuya primera aproximaci´on es la lineal. 2o La matem´atica m´as desarrollada es la lineal. La T.L. es una herramienta especialmente u ´ til en la resoluci´on y an´alisis de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (pero no exclusivamente) que aparecen en una gran cantidad de problemas de ingenier´ıa. En el cuadro siguiente se han recopilado modelos regidos por la E.D.D.T.1 lineal con coeficientes constantes, que conforman un conjunto de sistemas an´alogos entre s´ı. Se observa que se han cubierto las ramas m´as variadas de la ingenier´ıa, desde la electricidad, magnetismo, mec´anica, ac´ ustica hasta la qu´ımica, entre otros. 1 E.D.D.T:. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Totales.. 20.

(24) Nombre. Modelo Sistema General. Esquema eptq. Ecuaci´ on a s2. s pt q. SISTEMA. b s1. c s  eptq. VAR s e s e. a. COEF b c. salida entrada a b c. i/q L. Electricidad Circuito Serie. L i1. R. b. i C. u. 1 C. Ri. L q2. R q1. t. ˆ. 0. i dt  uptq. 1 q C. b. inductancia. L R u. C. Electricidad Circuito Paralelo. C u1. i1. R. i2. b. L. i. 1 u R. 1 L. ˆ. 0. t. u dt  iptq. 1{C. resistencia 1/capacidad tensi´ on corriente. i. b. i3 L. u. Magnetismo. coeficiente de s2 coeficiente de s1 coeficiente de s corriente/carga tensi´ on. u.  uptq. Descripci´on. 1{R. 1{C. inductancia 1/resistencia 1/capacidad. φ ÝÑ. b. b. c x1. Mec´anica Vibraciones Longitudinal. m x1. x. c x1. k x  f pt q. desplazamiento fuerza excitante. x f. f. k. masa cte. amortiguamiento cte. el´astica desplazamiento angular par excitante. µ. momento de inercia cte. amortiguamiento cte. el´astica torsional desplazamiento fuerza excitante. m. Mec´anica Vibraciones Torsi´ on. c. m x2. kx. I ϕ2. ϕ. c ϕ1. b. µϕ. c ϕ1. µ ϕ  Mptq. ϕ M. M. I. I ϕ2. c I x2. Mec´anica Vibraciones Torsi´ on. c x1. µ x  f pt q. x f. b. l. I. f x. c µ. Ac´ ustica Resonador Helmholtz. P1 P3.  C1. a. MV2. MV2. Ra V 1. 1 V Ca.  P ptq. V. momento de inercia cte. amortiguamiento cte. el´astica torsional volumen de desplazamiento presi´ on exterior. P. P. V V P2. M.  Ra V 1. Ra. 1{Ca. coef. de inercia ac´ ustica resistencia ac´ ustica 1/capacidad ac´ ustica. Cuadro 1: Modelos de la f´ısica regidos por E.D.D.T. lineales con coeficientes constantes.. 21.

(25) Todos los sistemas f´ısicos lineales anal´ogicos pueden ser representados en su an´alisis (estudio e interpretaci´on del sistema) y en su s´ıntesis (dise˜ no y proyecto del sistema) por el modelo general siguiente. MODELO EDDT LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES EN t (SISTEMA ORIGISistema NAL) iptq optq a o2 ptq. €. MODELO EDDT LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES EN s (SISTEMA TRANSFORMADO). Opsq. a s2 Opsq Opsq . I ps q bs. a s2. llamando Z psq  a s Opsq. c optq  iptq. que se transforma por Laplace del campo original t al campo transformado s. En particular, se toma op0 q  o1 p0 q  0 para simplificar las expresiones.. Z psq. i ps q. b o1 ptq. 2. b s Opsq. c Opsq  I psq. c bs.  ZI ppssqq. c. Ley de Ohm generalizada. Se puede observar entonces que la ecuaci´on diferencial lineal en t se transform´o en una ecuaci´ on algebraica lineal en s, caracter´ıstica fundamental de la T.L. Es as´ı como el sistema transformado sobre s tiene por ley que lo rige a: Opsq.  ZI ppssqq. que no es otra que la ley de Ohm generalizada para circuitos el´ectricos con corrientes cualesquiera (no solamente continua o senoidal) o para sistemas vibratorios o ac´ usticos, etc. y donde siempre se pueda definir a: Z psq  a s2. bs. c. que no es otra cosa que la impedancia generalizada. Con este planteo, entonces, la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales se reduce a la de ecuaciones algebraicas. Los modelos f´ısicos m´as complejos, apoyados sobre sistemas de ED lineales, tambi´en son f´ acilmente operables por medio de la T.L. Son ejemplo de estos modelos: Circuitos el´ectricos acoplados C1. C2. R1. b. L1. u1 b. i1. R2. L2 M. b. u2. i2. b.   1   L 1 i 1    L2 i12. 22. 1 C1. ˆ. t. R1 i. 1 C2. ˆ. t. R2 i. 8 8. i1 dt. M i2.  u1 ptq. i2 dt. M i1.  u2 ptq.

(26) Vibraciones acopladas c2. c1. m1. k1. m2. a. k2. pq. b. pq. b. f1 t. f2 t. x1.  m1 x21. c1 x11. k1 px1  x2 q  f1 ptq. c2 x12. k2 px2  x1 q  f2 ptq.    M V2   1 1. ra1 V11. . x2. m2 x22. Resonador acoplado. 1 Ca2. 1 Ca1. V2. V1. P. V2. V1. que pueden ser expresados por un modelo general.. 8..  2   M2 V2. ra2 V21. 1 V1  a V2 Ca1 1 V2  a V1 Ca2. 0  P ptq. Transformadas elementales Las transformadas de Laplace de las funciones elementales son las siguientes:. 8.1.. Constante-Heaviside. 1. 8. ˆ. . 1 s β.  8 es t  ¡0 1 1 es t dt  ùxùù ù . s. 0. y. s. 0 x. 0. s. 0. Observaci´on: Como 1  Hptq  Hptq. t¡0. entonces es inmediato que Hptq. 8.2.. . 1 s. Funci´ on potencial. tw ˆ. 8. 0. 8.3.. y.  Γpsww 11q. s tτ t es t dt ùùùù w. ˆ. 0. 8 τw sw. dτ eτ s. . Γ pw sw. Exponencial. 0. 8. e es t dt  ωt. β. 0 x. 0. 1. y.  s 1 ω. eωt ˆ. 1q. s. ˆ. 0. 8. x¡ω epsωqt dt ùùùù. 23. s. β. 1. sω. 0. ω x.

(27) 8.4.. Cos, Sen cos ωt sen ωt cos ωt  sen ωt .  . ω. ω2. 2. eiωt  eiωt 2i. s. ω2. s2. eiωt. eiωt. y. s s2.  . b. . 1 1 2 siω  1 1 2i s  i ω. . 1. s. β. 0 0. iω ω2  1  s2 w ω 2 s iω. s. .  s2. b. i x. i. Se pueden verificar estos datos por aplicaci´on del teorema de transformaci´on de la derivada: cos ωt . 8.5.. 1 psen ωtq1 ω. 1 ω s 2 ω s ω2. s2. senh ωt.  . eωt. eωt. .  senp0 q  s2. s ω2. Cosh, Senh cosh ωt. cosh ωt  senh ωt . 8.6.. . . 2. y. s.  ω 2 s  ω2. eωt  eωt 2.  . s. ω2. . 1 1 2 sω  1 1 2 sω. . 1 s. ω. .  s2  ω 2 s.  s 1 ω  s2 w ω2. Tabla de transformadas elementales f ptq 1. 1  Hptq. 2. tw. 3. eωt. 4. cos ωt. 5. sen ωt. 6. cosh ωt. 7. senh ωt. F ps q 1 s Γpw sw. 1q 1. 1 sω s s2. ω2 ω. s2. ω2. s s2  ω 2 ω. s2. 24.  ω2. β 0. ω x.

(28) 9.. Propiedades de la T.L. Segunda parte. Para operar con la T.L. con rapidez y eficacia, conviene tener en cuenta, adem´as de lo visto en 6, nuevas propiedades que se demostrar´an a continuaci´on. Todas se resumen en el cuadro que cierra el presente cap´ıtulo.. 9.1.. Integraci´ on en t. Teorema 9.1.. Hq f P CPOE H1 q f ptq  F psq. +. Demostraci´ on. Llamando ˆ t ϕptq  f pτ q dpτ q 0. ùñ. ´t 0. t. ˆ. f pτ q dτ. 0. f pτ q dτ.  F spsq.  ϕptq, ´esta se transforma en φpsq..  φpsq. Si |f ptq|   M ex0 t , es decir es de orden exponencial, ϕptq lo es tambi´en. ˆ t ˆ t M x0 t |ϕptq| ¤ |f pτ q| dτ ¤ M ex0τ dτ  M p ex0 t 1q ¤ e x0 x 0 0 Por lo tanto, aplicando el teorema 6.2: ϕ1 ptq  f ptq. . s φpsq  ϕp0. q  F psq. Como ϕp0. q. ˆ. 0 0. f pτ q dτ. 0. Resulta F psq s Observaci´on: Recordando el teorema 6.2, derivar en el campo t era multiplicar por s a F psq en el campo s (si las condiciones iniciales son nulas). Integrar en el campo t es ahora dividir por s a F psq en el campo s. φpsq . Ejemplo: sen ωt  2 s ˆ t sen ωτ dτ 0. ω ω2 ωt  1  cos ω. . 1 ω s s2 ω 2. Se puede plantear tambi´en la transformaci´on de ˆ t ˆ 0 ˆ t f pτ q dτ  f pτ q dτ f pτ q dpτ q a. a. ´t a. f pτ q dτ , que se reduce as´ı:. 0. La primera integral es una constante y por lo tanto su T.L es: ˆ 0  ˆ 0 1 f pτ q dτ  f pτ q dτ s a a Se obtiene entonces el siguiente corolario: Corolario 9.1.1. Hq. +. P CPOE ùñ ˆ t f pτ q dτ  H1 q f ptq  F psq a f. ´0 a. 25. f pτ q dτ s. F psq s.

(29) 9.2.. Derivaci´ on en s. Este teorema ya ha sido demostrado en el teorema 5.7 del p´arrafo 5.4 (ver observaci´on al final de la demostraci´on.) Teorema 9.2. Hq f P CPOE H1 q f ptq  F psq. +. ùñ ptq f ptq . F 1 psq. Demostraci´ on. La demostraci´on vista consist´ıa en derivar F psq, que es holomorfa para x bajo el signo integral: ˆ 8 ˆ 8 B B 1  st s t F psq  Bs 0 f ptq e dt  0 Bs f ptq e dt ˆ 8  f ptq ptq es t dt. ¡ x0 ,. 0. Con lo cual resulta: F 1 ps q. ptq f ptq . ptq a f ptq en el campo t. El resultado anterior se puede extender n veces, pues al ser F psq holomorfa, existe F pnq psq. ˆ 8 Bn ˆ 8 f ptq es t dt f ptq ptqn es t dt F pnq psq  n  Bs 0 0. Observaci´on: Derivar en el campo s es multiplicar por. De donde:. ptqn f ptq . F pnq psq. Generalizando entonces el enunciado del teorema 9.2, queda: Corolario 9.2.1. Hq. +. P CPOE ùñ ptqn f ptq  H1 q f ptq  F psq f. F pnq psq. Ejemplo: 1. . t.  D. t2. . .. . tn. ó tn. 1. . 1 s.  . 1 1  s s2    D s12  s23 .. .   p n  1q!  D sn  snn! 1. ópor inducci´on completa   D snn! 1  pnsn 12 q!. Se verifica as´ı el resultado obtenido en la tabla de T.L. elementales. Ejemplo: ω sen ωt  2 s ω2   ω t sen ωt   D 2  ps2 2s ωω2 q2 s ω2. 26.

(30) 9.3.. Integraci´ on en s. Teorema 9.3.. , P CPOE / / / . f ptq  F psq ùñ f pttq  ˆ / f ptq / dt P CV/. Hq. f. H1 q. H2 q. -. t. V0. ˆ. 8 s. F psq ds. Demostraci´ on. Si se plantea la integral compleja ˆ 8 pγ q F psq ds s. donde F psq P H{x ¥ x1. γ P Camino contenido en ts complejo). PC. : x. ¥ x1 u, desde el origen s hasta el extremo final 8 (infinito. y. s γ b. 0. 8 s. x0 x1. x. Figura 18: Camino de integraci´ on para el teorema 9.3.. La integral es entonces una funci´on compleja φpsq: ˆ 8 φpsq  F psq ds s ˆ s   F psq ds. 8. Por el teorema fundamental del c´alculo integral en el plano complejo: φ1 psq  F psq. Queda entonces: φpsq.  ϕptq. φ1 ptq  F psq. Por lo tanto: φpsq . ˆ. s. 8.  ptq ϕptq  f ptq f ptq ϕptq  t. F psq ds . ˆ. 8 f pt q 0. t. Asegurando la convergencia con ˆ ˆ f pt q s t f pt q e dt  dt t t V0 V0 entonces ˆ 8 s. F psq ds. es t dt. P CV. (por hip´otesis). € f pttq. 27.

(31) Observaci´on: Integrar en el campo s es dividir por t a f ptq en el campo t. Una segunda forma de demostrar este mismo teorema es: ˆ A ˆ Aˆ 8 F psq ds  f ptq es t dt ds s. s. 0. Asegurada la CU de F psq por f. . ˆ. . ˆ. 8. 0. f ptq. 8. A. ˆ. f ptq. 0. P CPOE se puede permutar el signo es t ds dt. A. Ñ8. s. 0. 8  ´ 8´A 0. s. s. eAt  es t dt t. Pasando al l´ımite cuando A Ñ 8 ˆ 8 ˆ A ˆ F psq ds  l´ım F psq ds  l´ım s. ´A´. A. s. Ñ8. 8. 0. f ptq. eAt  es t dt t. se puede permutar el l´ımite con la integral por la CU de la funci´on integrando asegurada por. |ˆf ptq|   M ex t f ptq dt P CV. H1. 0. H2. V0. luego: ˆ. 8. s. t. F psq ds . ˆ. . ˆ. 8. eAt  es t dt AÑ8 t 8 f ptq f ptq es t dt € t t. 0. 0. l´ım f ptq. Ejemplo:. . ω s2 ω 2 ˆ 8 1 sen ωt ω s  ds  Arctg 2 2 t s ω ω ω s  1 π  ω 2  Arctg ωs Adem´as se verifican las condiciones sen ωt. 8    s. 1o q x ¡ 0. 2o q. sen ωt t. ÝtÝÝÝ Ñ ω ùñ Ñ0. ˆ. V0. P CV. sen ωt dt t. Ejemplo: eαt  eβt. . eαt  eβt t. . s 1β. 1 s ˆ. α. 8 1. s. L. s . s s.  1 α s β. 8 α  β s . L. . . ds s s. α β. . Se verifica. x ¡ m´axtα, β u eαt  eβt t. ÝtÝÝÝ Ñ α Ñ0. β. ùñ. ˆ. V0. eαt  eβt dt t. 28. P CV.

(32) 9.4.. Desplazamiento en t. Teorema 9.4. f ptq.  F psq ùñ. H pt  aq f pt  aq. eas F psq. . Demostraci´ on. En este teorema es donde hay que tener especial cuidado con la definici´on de la T.L. Hay que tomar ˆ 8 F psq  Hptq f ptq es t dt. 8. como ya se ha explicado en la definici´on de la T.L. (p´arrafo 4) ˆ 8 Hpt  aq f pt  aq  Hpt  aq f pt  aq es t dt. 8 ˆ 8 ta ùùùùù Hpτ q f pτ q es τ eas dτ 8 τ.  eas F psq. Ejemplo:.  Hpt  bq senh ω pt  bq  senh ωt. 9.5.. ω s2  ω 2. ebp. s2. ω.  ω2. Desplazamiento en s. Teorema 9.5. f ptq.  F psq ùñ. eat f ptq.  F ps  a q. Demostraci´ on. Aplicando la definici´on: ˆ 8 eat f ptq  f ptq epsaqt dt  F ps  aq 0. Ejemplo:. . 1. 1 s.  s 1 ω. eωt. Ejemplo: cos ωt ebt cos ωt. 9.6.. . s.  ω2  ps sbq2 b s2. ω2. Cambio de t Ñ |k |t. Cambio de escala. Teorema 9.6. f ptq.  F psq ùñ. f p|k | tq. . 1 |k| F. . Demostraci´ on. Aplicando la definici´on ˆ 8 ˆ |k|tτ f p|k | tq  f p|k | tq es t dt ùùùùù 0. s |k|. 8 f pτ q s τ e |k| dτ. |k|. 0.  |k1| F |ks |. 29.

(33) Observaci´on: En este cambio de escala se toma la constante positiva |k | pues en caso de tomarse negativa, los l´ımites de la integral, despu´es del cambio de variable, no ser´ıan los de una T.L. Ejemplo: sen t. . sen ωt. . 9.7.. 1 s2 1 ω. 1 1.  s 2 ω. 1.  s2 ω ω 2. Convoluci´ on. Mediante el siguiente teorema se desea obtener la antitransformada del producto de dos transformadas de Laplace. Es decir, la antitransformada de F psq  Gpsq. Teorema 9.7 (Teorema de Convoluci´on (Borel)). + ˆ t f ptq  F psq f pτ q g pt  τ q dτ ùñ f ptq g ptq  g ptq  Gpsq 0 Demostraci´ on.. ˆ. ˆ. 8. F psq  Gpsq  f pxq epx dx 0 ˆ 8ˆ 8. . 0. 0. . f pxq g py q espx.  F psq  Gpsq. 0 8 g py q epy dy y. pt ¥ 0q. q dx dy. Se plantea un cambio de variable en esta integral doble: #. #. t xτ. x. y. xτ y. y. tτ. t. τ. x0. τ. y. 0. x. τ. x0 y. |J | . t. 0 τ t. τ. 0.    det 0  1. 0. . 1  1   |  1|  1. Se obtiene entonces: ˆ F psq  Gpsq . 8. 0. es t. ˆ. 0. t. f pτ q g pt  τ q dτ. dt. Por lo tanto: F psq  Gpsq. . ˆ. 0. t. f pτ q g pt  τ q dτ.  f ptq gptq. Esta integral es la que se llama producto de convoluci´ on y es la que se simboliza por f ptq g ptq.. 30.

(34) Una segunda demostraci´on del teorema de convoluci´on es: ˆ 8 F psq  Gpsq  Gpsq Hpτ q f pτ q es t dτ. . ˆ. 8. 8. 8. Hpτ q f pτ q Gpsq es t dτ. Por el teorema de desplazamiento de la funci´on original. . ˆ. 8. 8. Hpτ q f pτ q. ˆ. 8. 8. Hpt  τ q g pt  τ q es t dt dτ. Cambiando el orden de integraci´on, v´alido dentro del campo de CU. . ˆ. 8. 8. es t. ˆ. 8. 8 l. Hpτ q f pτ q Hpt  τ q g pt  τ q dτ dt jh. n. 1 La integral 1 resulta 1. . 8. ˆ. Hpτ q f pτ q Hpt  τ q g pt  τ q dτ. 8. 0 . t¤0. ˆ. 0. t. f pτ q g pt  τ q dτ. De donde 1.  Hptq. ˆ. t. 0. f pτ q g pt  τ q dτ. Entonces F psq  Gpsq . ˆ. 8. 8. es t Hptq. ˆ. 0. t. f pτ q g pt  τ q dτ dt. F psq  Gpsq se antitransforma F psq  Gpsq.  Hptq. ˆ. t 0. f pτ q g pt  τ q dτ. Ejemplo: 1 s. € H pt q. 1. €. 1 s2 1. s ps2 1 s ps2. senptq ˆ t senpτ q Hpt  τ q dτ. € 1q 0 € 1  cosptq 1q. . ˆ. 0. t. senpτ q dτ. Verificaci´ on: 1  cosptq.  1s  s2 s 1  s ps21 1q. 31.   cospτ q|t0. t¡0.

(35) 9.8.. Transformada de funciones peri´ odicas. Teorema 9.8. Sea una funci´ on peri´ odica de per´ıodo T , siendo su primera onda f0 ptq: H1 q f ptq  f pt  T q H2 q f0 ptq . #. f ptq 0. , / .. F0 psq t P r0, T s ùñ F psq  / 1  e s T t¡T. Demostraci´ on. La convergencia de la T.L. de funciones peri´odicas est´a asegurada por el teorema 5.1, donde las funciones acotadas tienen T.L CV para x ¡ 0. Adem´as hay CU, porque al ser acotada es de orden exponencial. Una funci´on peri´odica puede descomponerse en una serie de ondas f ptq. f ptq  f pt  T q. f0. 0. f1. f2. 2T. T. f3. 3T. 4T. Primera onda f0 ptq  Hptq f0 ptq. . F0 psq. f0 ptq. f0. 0. Onda pn. t. T 1q. fn ptq  Hpt  nT q f0 pt  nT q. . F0 psq enT s. fn ptq. fn. 0. nT. pn. 1qT. t. 32. t.

(36) f ptq  f0 ptq. f 1 pt q. f 2 pt q. . fn ptq. .... Transformando la serie en serie de transformadas, posible por la existencia de CU de la serie de funciones originales: F psq  F0 psq.  F0 psq. . F0 psq eT s F0 psq e2T s eT s. 1. e2T s. . . enT s. F0 psq enT s .... . que es una serie geom´etrica de raz´on eT s F psq  F0 psq. 1 1  es T. Ejemplo: OCptq. 1 T. 2. b. 0. b. 1. b. 2. b. 3. 4. t. s e2s. s 2  p1  se q. 1 f0 ptq . $ ' &. 1. 1 '. t P p0, 1q. t P p1, 2q 0 t P p2, 8q ˆ 1 ˆ 2 F0 psq  1 es t dt p1q es t dt %. 0. . 1  es s. 1. . es  e2s s. Por lo tanto, siendo el per´ıodo T F psq  F psq . p1  es q2 s 1 s. . 2. 1 1  e2s. s. 1e 1 es.  12 e s. s 2  p1  se q p1  es q1p1. 33. e s q. ....

(37) 9.9.. Propiedades de la Transformada de Laplace. Tabla. Propiedad. Teo.. Linealidad. 6.1. pq. pq. f t. F s. pq. λ1 f1 t. pq. λ2 f2 t. 6.2. P. Derivaci´ on en s f CPOE. P. pq. F s s. pq. ´0. 0. P CV. t. 9.3. f t t. p  aq f pt  aq. Desplazamiento en s. 9.5. eat f t. 9.6. f k t. pq. 8. Funciones Peri´ odicas. 9.7. eas F s. pq. p  aq. F s. p| | q. ˆ. t 0. 1 F k. . ||. p q gptq  f pτ q g pt  τ q dτ. p q  f pt  T q # f ptq t P p0, tq f0 ptq  0 t¥T. 34. s k. ||. p q  Gpsq. F s. f t. 9.8. pq. F s ds. s. f t. Convoluci´ on. pq. F s s. s. pq. ˆ. H t. pq. f τ dτ. F1 s. pq. 9.4. Ñ |k| t. a. f τ dτ a. Desplazamiento en t. Cambio t. pq. f τ dτ. ptq f ptq. P. V0. t. 9.2. Integraci´ on en s f CPOE. pq. sn F s. 9.1 ˆ. f t dt t. p q  sn1 f p0 q  sn2 f 1 p0 q     s f pn2q p0 q  f pn1q p0 q. pq. f pnq t. ˆ. Integraci´ on en t f CPOE. ˆ. sF s. pq. P. pq. λ2 F2 s. p q  f p0 q. f1 t Derivaci´ on en t f CPOE. pq. λ1 F1 s. 1. pq. F0 s est. .

(38) 10.. Propiedades de la T.L. Tercera parte. En este cap´ıtulo se desarrollan propiedades adicionales de la T.L. que complementan, con las ya vistas, el conjunto de teoremas necesarios para operar con la misma.. 10.1.. Primer teorema del orden de la T.L.. Este teorema permite acotar a la T.L. de esta manera:. |F psq| ¤ Mx1 tomando como hip´otesis que f cumple con las previstas en el teorema 5.7 de funciones de orden exponencial (“Teorem´on”). Se recuerda que eso significa:. f. P CPOE . y.   H1 q f P CP H2 q |f | ¤ M ex0 t   H3 q x0   x1 ¤ x. s. |. 0. x0 x1. x. x. Tambi´en se demuestra como consecuencia de la tesis anterior que: F psq ÝÝÝÑ 0. Ñ8. s. El primer teorema del orden de F psq se enuncia: Teorema 10.1. $ & T1. q |F psq| ¤ Mx1 Hq f P CPOE ùñ % T q F psq ÝÝÝÑ 0 2 sÑ8 Demostraci´ on. Se realiza una acotaci´on an´aloga a la realizada en el teorema 5.7 de CPOE.  ˆ 8 ˆ 8   f ptq es t dt ¤ |F psq| ¤  |f ptq| ext dt ¤ 0. ¤. ˆ. 8. 0. 0. M epxx0 qt dt ¤. M x  x0. ¤x M 1  x0. Multiplicando por x a ambos miembros de la desigualdad: x |F psq| ¤ x Como x1. M x  x0.  1 Mx. 0. x. ¤x. 1. 1 x x0 x1. 1. 1. x0 x. ¤ x1. 1. ¤ 1  xx0 ¤ 1 1 x. 0. x. 35.

(39)  1 Mx. Llamando M1. (cte.), resulta:. 0. x1. x |F psq| ¤. M 1  xx0. ¤ 1 Mx  M1 0. x1. |F psq| ¤ Mx1 La segunda tesis es consecuencia inmediata de esta acotaci´on. Si s entonces:. Ñ 8, x ¥ x1. y x. Ñ 8,. F psq ÝÝÝÑ 0. Ñ8. s. 10.2.. Segundo teorema del orden de la T.L.. Este segundo teorema de la acotaci´on de la T.L. tiene condiciones m´as restrictivas que el anterior, porque adem´as de la hip´otesis de que f cumpla con los requisitos de CPOE se agrega que tambi´en los debe cumplir f 1 . La acotaci´on que se prueba es:. |F psq| ¤ M |s| El enunciado del teorema es: Teorema 10.2. H1 q. +. P CPOE ùñ Tq |F psq| ¤ M1 1 |s| H2 q f P CPOE f. Demostraci´ on. De acuerdo a las acotaciones vistas en el teorema anterior. |s F psq  f p0 q| ¤ x Mx ¤ x M 0 1  x0 |s F psq| ¤ x M  x |f p0 q|  M1 1. |F psq| ¤ 10.3.. 0. M1 |s |. Teorema del valor inicial. Con las mismas hip´otesis del teorema 10.1 se puede probar que: s F psq ÝÝÝÑ f p0. Ñ8. s. q. que es la tesis del teorema llamado del valor inicial. Teorema 10.3. H1 q H2 q. f f1. +. P CPOE ùñ Tq P CPOE. s |F psq| ÝÝÝÑ f p0. Ñ8. s. q. Demostraci´ on. De acuerdo a la acotaci´ on ya empleada en el teorema anterior, s Ñ 8 ùñ x Ñ. |s F psq  f p0 q| ¤. M x  x0 x.  0. Ñ 8. ùñ s F psq ÝÝÝÑ f p0 q sÑ8. 36. 8..

(40) Ejemplo: et.  1s s 1 1 et ÝÝÝÝ Ñ2 tÑ0. 1 1 s F ps q  1. 10.4.. s. 1. s. ÝÝÝ Ñ 2  f p0 q sÑ8. Teorema del valor final. Con hip´otesis m´as restrictivas que las del teorema 10.3, se puede probar que: s F psq ÝÝÝÑ f p. 8q. Ñ0. s. Enunciamos el llamado teorema del valor final. Teorema 10.4. H1 q H2 q H3 q. H4 q. f P CPOE f 1 P CPOE. , / / / / .. x1. / / / / -.  0. Ñl´ım8 f ptq  f p. t. 8q. ùñ Tq. s |F psq| ÝÝÝÑ f p. Ñ0. s. 8q. Demostraci´ on. De acuerdo al teorema de derivaci´on en t v´alido por H1 : ˆ 8 f 1 ptq es t dt  s F psq  f p0 q 0. Puede pasarse al l´ımite cuando s Ñ 0, pues x1 por H2 ˆ 8 f 1 ptq dt  l´ım rs F psqs  f p0. Ñ0. s. 0.   0 y esto asegura que la CU de la T.L. para x1   x q. Integrando el primer t´ermino f ptq|0. 8  l´ım rs F psqs  f p0 sÑ0. q l´ım f ptq   0 q  l´ım rs F psqs   0 q f p f p tÑ 8 sÑ0 Resulta: s F psq ÝÝÝÑ f p. Ñ0. s. Ejemplo:. 8q. et.  1s s 1 1 1 et ÝÝÝÝÑ 1 tÑ 8 s s F psq  1 ÝÝÝÑ 1  f p 8q s 1 sÑ0 1. 10.5.. Propiedades del producto de convoluci´ on. El producto de convoluci´on en la T.L. definido como una ley de composici´on interna entre dos funciones sobre F, el espacio de Fourier, es:. : F  F ÝÑ F ˆ t pf, gq ÞÝÑ f g  f pτ q gpt  τ q dτ 0. Este producto goza de las siguientes propiedades:. 37.

(41) Teorema 10.5.. Definici´ on de Producto de Convoluci´ on. ùñ. $ f ' ' ' ' ' ' ' ' ' &f ' ' ' ' ' ' f ' ' ' %. pg hq  pf gq h. g g f. Prop. Asociativa Prop. Conmutativa. pg. hq  pf g q pf hq Prop. Distributiva. Demostraci´ on. La demostraci´on es inmediata a partir de las transformadas: F psq  rGpsq  H psqs  rF psq  Gpsqs  H psq.  f pg hq  pf gq h F psq  Gpsq  Gpsq  F psq  f g  g f F psq  rGpsq H psqs  rF psq  Gpsqs rF psq  H psqs  f pg hq  pf g q pf hq 11.. F´ ormula de reciprocidad de la T.L. 11.1.. Teorema de reciprocidad de la T.L.. Este teorema es llamado tambi´en de inversi´ on o de Mell´ın y permite obtener la funci´on original a partir de la transformada, es decir, la llamada antitransformada. Las f´ormulas de reciprocidad de la T.L. se obtienen a partir de las f´ormulas de reciprocidad de la T.F. resultantes del teorema de la integral de Fourier (visto en el p´arrafo 2) cuyo enunciado es: H1 q g H2 q. H3 q. , / / / / / / / / / / / / / / .. P CP{R. g1. P CP{t g 1 P CP{t ˆ. V ˆ 8 V. 8. |g| dt P |g| dt P. / / / / CV/ / / / / / / / / CV/ -. $ ' ' ' &G y. p q. ùñ. 8. ˆ. 8. ' '  ' %g t. p q  2π1. ˆ. g ptq eiωt dt. 8. 8. Gpy q eiyt dy. Para poder aplicar este teorema a la T.L. debe recordarse la relaci´on existente entre T.L. y T.F. f ptq.  F psq  Gpyq. €. TF. H ptq f ptq ext.  gptq. y de aqu´ı el teorema de reciprocidad: Teorema 11.1. H1 q f H2 q. P CP{R. f 1 P CP{t f 1 P CP{t. H3 q x ¡ α. (Abscisa de CA). , / / / / / / / . / / / / / / / -. ùñ. $ ' ' ' &. F psq . ' '  ' %H t f t. ˆ. 8. 8ˆ. 1 p q p q  2πi. Hptq f ptq es t dt. ÒC. F psq es t ds. Demostraci´ on. Se aplica entonces el teorema de la integral de Fourier con: g ptq  Hptq f ptq ext. 38.

(42) Es inmediata la verificaci´on de H1 y H2   f ptq P CP{R H1 q Hptq f ptq ext P CP{R ðù Hptq P CP{R   xt e P CP{R  1   f P CP{t , t H2 q pHptq f ptq ext q1 P CP{t , t ðù H1 P CP{t , t   xt 1 pe q P CP{t , t. La verificaci´on de la H3 en V8 , como ya se ha visto en 4.3, se cumple siempre por la presencia de Hptq, mientras que en V 8 la CA de la T.F. se asegura por la hip´otesis de que x ¡ α, donde α es la abscisa de CA de la T.L. ˆ ˆ |g| dt P CV ðù 0 dt  0 V8 V8 ˆ H3 q ˆ |g| dt P CV ðñ f ptq est dt P CA ðù x ¡ α V 8 V 8 Verificadas las hip´otesis del teorema integral de Fourier, lo aplicamos: $ ˆ 8 ' ' ' F p s q  G p y q  Hptq f ptq ext eiyt dt & ' ' ' %. 8. 1 g  ptq . 2π. 8. ˆ. 8. F psq eiyt dy. Se observa lo siguiente:. g  ptq  Hptq f  ptq ext. Entonces: Hptq f  ptq ext.  2π1. Hptq f  ptq . . 1 2π. ˆ. 8. 8 8. ˆ. F psq eiyt dy F psq ext eiyt dy. 8 ˆ 8 1 F psq est ds 2π 8. s. α. b. c. x. Figura 19: Camino de integraci´ on para la antitransformada de Laplace. Esta integral corresponde a una integral curvil´ınea en el plano s a lo largo de cualquier recta vertical s  c dentro del campo de CA, como se muestra en la figura 11.1. rt :. p8, 8q ÝÑ #C y. ÞÝÑ. c.  s : c P R, c ¡ α ds  i dy iy. 39.

(43) Resulta entonces la antitransformada o f´ormula de inversi´on o f´ormula de Mell´ın. ˆ 1 Hptq f  ptq  F psq est ds 2πi ÒC integral a lo largo de cualquier recta vertical de abscisa c, dentro del campo de CA, recorrida en el sentido de las y crecientes, que conjuntamente con la T.L. dan las f´ormulas de reciprocidad $ ˆ 8 ' ' ' F p s q  Hptq f ptq es t dt & 8ˆ ' 1 '  ' F psq est ds % Hptq f ptq  2πi ÒC. Observaci´on 1: Algunas autores dan como f´ormula de inversi´on ˆ 1 f  ptq  F psq est ds t¡0 2πi ÒC. (1). y agregan que f ptq  0. t 0. Esto no es as´ı pues f ptq puede tomar cualquier valor para t   0, lo que se anula es Hptq f ptq. Por otra parte, la f´ormula 1 no es v´alida si hay desplazamiento, observaci´on derivada de la Observaci´ on 2 del p´arrafo 4.1. El teorema de reciprocidad de la T.L. se puede particularizar suponiendo f ptq de orden exponencial:. |f ptq|   M ex t y tomando x0   x1 ¤ x. 0. Ello implica, como se ha visto que α   x0 , por lo tanto:. Teorema 11.2. H1 q f. , / / / / / / / / / / / .. P CP{R. f1. P CP{t H2 q f 1 P CP{t H3 q. |f |  . H4 q x0. / / / x0 t / M e / / / / / / / -. ùñ. $ ' ' ' &. F psq . 8. ˆ. 8ˆ. ' '  ' %H t f t. 1 p q p q  2πi. Hptq f ptq es t dt. ÒC. F psq est ds.   x1 ¤ x. Enunciado que puede presentarse tambi´en de la siguiente forma, recordando que: ,. H1 / . H3  f / H4. P CPOE{x0   x1 ¤ x. Corolario 11.2.1.. P CPOE , / /. Hq. f. H2 q. f 1 P CP{t ùñ / / / f 1 P CP{t /. / / .. $ ' ' ' &. -. ' '  ' %H t f t. F psq . ˆ. 8. 8ˆ. 1 p q p q  2πi. 40. Hptq f ptq es t dt. ÒC. F psq est ds.

(44) 11.2.. Inversi´ on. Cuando las singularidades de F psq son puntos singulares aislados. De la f´ormula de inversi´on anterior se puede hallar una simplificaci´on, como la suma de los residuos de F psq est cuando las singularidades de F psq s´olo son puntos singulares aislados, es decir, son polos o puntos singulares esenciales. s. De acuerdo a la tesis T5 del teorema 5.7 de CV para funciones continuas por partes y de orden exponencial (p´arrafo 5.4). f. P CPOE{x  x ¤x ùñ F psq P H{x ¤x 0. 1. s1 ×. × s2. 1. α. Los puntos singulares s´olo pueden estar a la izquierda de x1 .. x1. c. x. sn ×. Suponiendo v´alidas la hip´otesis del teorema 11.2, se tiene: Teorema 11.3. H1 q f H2 q. , / / / / / / / / / / / / / .. P CPOE{x ¤x 1. f1. P CP{t f 1 P CP{t. / / / s. Sing. Aislados/ / / / / / / / / M / -. H3 q. tsi uni1 P. H4 q. |F psq|   Rk. : k. ùñ. Tq. Hptq f  ptq  Hptq. n ¸. . RpF psq est , si q. i 1. ¡0. Observaci´on: Una variante de H4 puede ser la siguiente:. |F psq|   OpMRk q  RMk Demostraci´ on del Teorema 11.3. La demostraci´on se basa en la aplicaci´on del teorema de los residuos a la f´ormula de inversi´on. ˆ 1  Hptq f ptq  F psq est ds 2πi ÒC. 41.

(45) ðñ c. Γ2. s iR. s1 ×. Γ1. × s2 c. x. Γc. sn ×. c.  iR. Figura 20: Caminos de integraci´ on cuando los s.S. son todos aislados.. Para aplicar el teorema de los residuos se toma en primer lugar un segmento de recta vertical Γc . Γc :. rR,. Rs ÝÑ C y ÞÝÑ s  c. iy. porque cuando se pasa al l´ımite para R Ñ ˆ. Γc. F ps q e. st. ds . ˆ. c iR. . c iR. F psq e. st. 8. ds ÝÝÝÝÝÑ. Ñ 8. R.  2πi Hptq f  ptq. ˆ. 8. c i. 8. c i. F psq est ds . se obtiene la integral buscada (f´ormula de inversi´on). Para formar una lazo, el segmento de recta Γc se completa por yuxtaposici´on con una semicircunferencia Γ1 o Γ2 seg´ un convenga, para lograr que: ˆ F psq est ds ÝÝÝÝÝÑ 0 RÑ 8 ˆΓ1 F psq est ds ÝÝÝÝÝÑ 0. Ñ 8. R. Γ2. Para lograr este objetivo se tiene en cuenta la hip´otesis H4. |F psq|   RMk. : k. ¡0. y que la ecuaci´on de las circunferencias Γ es:. ÝÑ C ϕ ÞÝÑ s  c. Γ: D. R eiϕ. Se aplica entonces el teorema de acotaci´on de la integral a cualquiera de las dos circunferencias. 42.

(46) Γ1 ˆ   . F ps q e. Γi. st.   ds. ¤ L  M  π R  Cotat|F psq|u est ¤ π R RMk. ect eRt cos ϕ. l. jh. n. A. ¡  . k 1 t 0 cos ϕ. ¡ 0 ñ Γi  Γ1 Ñ 0 A ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ RÑ 8 k¡1 t¡0 cos ϕ   0 ñ Γi  Γ2 A ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ 0 RÑ 8. ùñ. ˆ. F psq est ds. ÝRÝÝÝÝ Ñ0 Ñ 8. ùñ. ˆ. F psq est ds. ÝRÝÝÝÝ Ñ0 Ñ 8. Γ1. Γ2. Esta demostraci´on nos lleva a que el camino de integraci´on es: #. si t   0. Γ1. si t ¡ 0. Γ2. Adem´as, esta demostraci´on s´olo es v´alida con la restricci´on k ¡ 1 y no k ¡ 0 como lo expresa H2 , pues la exponencial eRt cos ϕ no tiende a 0 cuando R Ñ 8 para los casos ϕ  π2 kπ. ϕ. π 2. kπ. ùñ eRt cos ϕ Û 0 RÑ 8. Sin embargo, por un v´ıa m´as larga, se puede extender la tesis al caso k continuaci´on.. ¡ 0, como se ver´a a. I. Caso t   0 s c. iR. ñ. Para el caso t   0 se completa el lazo con Γ1. Γ1 R. Γ1 :. c. x. Γc c.  π π.  2 , 2 ÝÑ C ϕ ÞÝÑ s  c. que se recorre en sentido negativo..  iR. Acotando la integral a lo largo de Γ1 : ˆ   . Γ1.  . F psq est ds ¤. R eiϕ. ˆ. Γ1. |F psq| ext |ds| ¤. ¤ RM k1. ˆ. {. ˆ. { M eRt cos ϕ R dϕ π{2 Rk π2. π2. π{2. eRt cos ϕ dϕ. Como la integral es de funci´on par y t   0.  R2M k1. ˆ. {. π2. eR|t| cos ϕ dϕ. 0. 43.

(47) Cambiando la variable ϕ ÝÑ.  Para θ. P. . 0,. . π 2. π 2. 2M Rk1. θ ˆ. sen θ. {. π2. 2 θ π. eR|t| sen θ dθ. 0. se cumple. ¥ π2 θ. sen θ. {. π 2. θ. como se muestra en la figura. Queda entonces: ˆ  ˆ π{2   st   ¤ 2M F p s q e ds eR|t| cos θ dθ   Rk1 0 Γ1  ˆ π{2 R|t| π2 θ π{2 2M 2 πM e ¤ Rk1 eR|t| π θ dθ  k1 R R|t| 0 0 ˆ k¡0 1  eR|t| t 0 F psq est ds ÝÝÝÝÝÑ 0  πM Ý ÝÝÝÝ Ñ 0 ùñ RÑ 8 RÑ 8 Rk |t| Γ1 Por lo tanto, planteando la tesis del teorema de los residuos, sabiendo que a la derecha del segmento Γc no hay puntos singulares, se tiene: cˆ iR.  Ò. F psq e. st. ˆ. ds. Γ1. c iR. Ñ 8. ñ. F psq est ds. . 0. . 0. Ñ 8. R. R.  2πi  Hptq f  ptq.  0. Lo cual lleva al resultado obvio: Hptq f ptq  0. para t   0. II. Caso t ¡ 0 s Γ2. ð. c. iR. Para el caso t ¡ 0 se complementa el lazo con Γ2. s1 ×. × s2. . Γc. Γ2 : c. R. x. sn × c. Se acota la integral a lo largo de Γ2 . ˆ  ˆ ˆ   st st  ¤ F p s q e ds | F p s q| e | ds | ¤   Γ2. ¤. . ÝÑ C ϕ ÞÝÑ s  c. R eiϕ. que se recorre en sentido positivo..  iR. Γ2. π 3π , 2 2. M Rk1. ˆ. {. { M. 3π 2. {. π2. 3π 2. {. eRt cos ϕ dϕ. π2. 44. Rk. eRt cos ϕ R dϕ.

(48) Esta u ´ ltima integral se puede reducir a una equivalente a la del caso anterior. ˆ 3π{2 ˆ π{2 ˆ π{2 ϕω π Rt cos ϕ Rt cos ω e dϕ ùùùùùù e dω  2 eRt cos ω dω. {. {. π2. 0. pi 2. An´alogamente al lo realizado en el caso anterior, ω. 2 Acotando sen θ. {. π2. ˆ. eRt sen θ dθ. 0. ¥ π2 θ para θ P ¤2. ˆ. . {. π2. 0, π2. . eRt π θ dθ 2. 0. Por lo tanto, volviendo a la acotaci´on ˆ   . .  2 1 Rte. Rt. ´. Γ2.  2M 1  eRt F psq est ds ¤ k1 R Rt Γ2. ¤.  π2  θ. 2M 1  eRt Rk t. ¡ ¡ Ñ0 ÝÝÝÝÝ k 0 t 0. Ñ 8. R. ùñ. ˆ. Γ2. F psq ds ÝÝÝÝÝÑ 0. Ñ 8. R. Se plantea el teorema de los residuos, sabiendo que los u ´ nicos puntos singulares son polos o puntos singulares esenciales: el conjunto tsi u finito. cˆ iR.  Ò. F psq e. st. ds. ˆ Γ1. c iR. ð. F psq est ds. . 2πi. n ¸. . RrF psq est , si s. i 1. Ñ 8. Ñ 8. R. R.  2πi  Hptq f  ptq. .  0. 2πi. n ¸. . RrF psq est , si s. i 1. De ello resulta: Hptq f  ptq . n ¸. . RrF psq est , si s. para t ¡ 0. i 1. 11.3.. F´ ormula de inversi´ on cuando F psq tiene puntos de ramificaci´ on. Un caso m´as general que el visto en el p´arrafo anterior es cuando F psq tiene puntos de ramificaci´on y las correspondientes cortaduras, adem´as de los puntos singulares aislados. s. Por supuesto que estos puntos de ramificaci´on s´olo pueden encontrarse a la izquierda de x1 (x   x1 ) de acuerdo a la tesis T5 del teorema 5.7 de CV para funciones CPOE. f. b. 1. s1. ×. s2 α. r2. b. P CPOE{x  x ¤x ùñ F psq P H{x ¤x 0. ×. r1. ×. sn. 1. Suponiendo v´alidas las hip´otesis del teorema 11.2, entonces:. 45. x1. c. x.

(49) Teorema 11.4. H1 q f. , / / / / / / / / / / / / / / / / / .. P CPOE{x  x ¤x 0. 1. f1. P CP{t f 1 P CP{t. H2 q. ùñ tsi umi1 P s. Sing. Aislados/ /. H4 q. |F psq|   RMk. / / / / / / / / / / / / / / / -. ¡0. H5 q. . ' ' ' ' ' %. m ˆ 1 ¸. p q p q  Hptq. H3 q. : k. $ ' ' ' Ht f t ' ' &. n ¸. . RrF psq est , si s. i 1.  2πi. . j 1. . F psq est ds b. rj. trj umj1 P s. Ramificaci´on Demostraci´ on. El caso t   0 es an´alogo al visto en el p´arrafo anterior. Por lo tanto, se analiza directamente el caso t ¡ 0.. ð. Γ2. s. iR. c. ×. r1. b. s1. ×. s2 c. x. r2. b. ×. sn.  iR. c. Figura 21: Camino de integraci´ on cuando hay puntos de ramificaci´ on.. Se aplica el teorema de los residuos: m ˆ ˆ ˆ c iR ¸ st F psq e ds. . . Γ2. c iR. Ñ 8. j 1. Ñ 8. R. . 2πi. n ¸. . i 1. b. Ñ j8. R. R. Ñ 8. r. R.  . 2πi  Hptq f  ptq. . j 1. Por lo tanto, para t ¡ 0 Hptq f ptq  Hptq. n ¸. . . m ˆ ¸.  0. RrF psq est , si s. . 2πi. n ¸. . RrF psq est , si s. i 1. b. rj. RrF psq e , si s  st. i 1. 1 ¸ 2πi j 1 m. ˆ. F psq est ds b. rj. 11.4.. Teorema de Heaviside. Una funci´on F psq muy frecuente en las aplicaciones, que debe antitransformarse, es la racional F psq . sm psq Qn psq. donde m   n (por el teorema del orden de la T.L.) y donde todos los polos son simples, es decir que hay n ra´ıces simples del denominador Qn psq.. 46.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :