GUIA 7
La transformada de Laplace
1.
Concepto de la transformada de Laplace
Definici´on. Una funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de Laplace si existe un real a >0 tal que la integral R0∞e−stu(t)dt converge para s > a.
En este caso, la transformada de Laplace de la funci´on u es la funci´on uˆ definida en el intervalo a < s <∞ cuyo valor en cada s est´a dado por
ˆ
u(s) = Z ∞
0
e−stu(t)dt. (1)
A veces conviene denotar la transformada de Laplace ˆude u medianteL {u}. Recu´erdese que la integral impropia R0∞e−stu(t)dt converge si la integral finita
RB
0 e−stu(t)dt existe para todo B > 0 y si l´ımB→∞
RB
0 e−stu(t)dt existe y es finito.
Entonces, por definici´on, Z ∞
0
e−stu(t)dt = l´ım B→∞
Z B
0
e−stu(t)dt
Ejemplos.
(Funci´on constante). La funci´on constanteu(t) = 1 tiene transformada de Laplace ˆ
u(s) = 1
s definida en 0< s <∞. En efecto,
ˆ
u(s) = Z ∞
0
e−stdt = l´ım
B→∞ Z B
0
e−stdt = l´ım
B→∞(−
e−sB
s +
1
s) =
1
s,
para 0< s <∞. Se observa que la integral R0∞e−stdt diverge para s≤0.
(Funci´on exponencial). La funci´on u(t) = eat tiene transformada de Laplace
ˆ
u(s) = 1
s−a definida en a < s <∞ . En este caso,
ˆ
u(s) = Z ∞
0
e−steatdt =
Z ∞
0
e(a−s)tdt= 1
s−a para s > a.
(Funci´ontn,n >0 entero). La funci´onu(t) =tn(n >0 entero) tiene transformada
de Laplace ˆu(s) = n!
sn+1 definida en 0< s <∞.
Primero, paran = 1, integrando por partes obtenemos
L {t}= Z ∞
0
t e−stdt = l´ım B→∞(−
t se
−st¯¯t=B t=0 ) +
1
s
Z ∞
0
e−stdt= 1
para 0< s <∞.
Para n >1, la integraci´on por partes da
L {tn}=
Z ∞
0
tne−stdt= l´ım B→∞(−
tn
s e
−st¯¯t=B t=0 ) .
+n
s
Z ∞
0
tn−1e−stdt= n
sL
©
tn−1ª. Y aplicando esto repetidamente, obtenemos
L {tn}= n
sL
©
tn−1ª= n(n−1)
s2 L
©
tn−2ª
=· · ·= n(n−1)(n−2). . .1
sn L {1}=
n!
sn+1
para 0< s <∞.
(Funciones seno y coseno). Se tiene
L {cosat}= s
s2+a2, L {sen at} =
a s2+a2
para 0< s <∞, donde a6= 0. Integrando por partes obtenemos
L {cosa t}= Z ∞
0
e−s tcosa t dt= 1
ae
−s tsen a t¯¯t=∞
t=0
+ s
a
Z ∞
0
e−s tsen a t dt= s
aL {sen a t}.
(2)
Y volviendo a integrar por partes,
L {sen a t}= Z ∞
0
e−s tsen a t dt=−1
ae
−stcosat¯¯t=∞
t=0
− s a
Z ∞
0
e−s tcosa t dt= 1
a − s
aL {cosa t}.
Luego
L {sen a t}= 1
a − s2
a2L {sen a t}
De aqu´ı se obtiene la expresi´on para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´on para
L {cosa t}.
(Funci´on de Heaviside). La funci´on escal´on de Heaviside o salto unitario es la funci´on H definida para todo t, −∞< t <∞, por
H(t) = ½
t
a
1
Figura 1: Funci´on de Heaviside de salto unitario
La funci´on salto unitario ena es la translaci´on H(t−a) de H (v´ease figura 1):
H(t−a) = ½
0, t < a
1, t≥a
Para a >0 y 0< s <∞, se tiene
L{H(t−a)}= Z ∞
a
e−stdt= e−as
s .
En general
L{H(t−a)u(t−a)}= Z ∞
a
e−stu(t−a)dt
= Z ∞
0
e−s(x+a)u(x)dx=e−asL {u}.
Es decir,
L{H(t−a)u(t−a)}= e−asL {u} , para a >0, 0< s <∞.
(Una funci´on sin transformada de Laplace). La funci´onu(t) = et2
no tiene trans-formada de Laplace. Pues la integral
Z ∞
0
e−st et2
dt= Z ∞
0
e−s2
4 e(t−2s)2dt
diverge para todo s.
¿Para cu´ales funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos anteriores sugieren el siguiente criterio:
Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup´ongase que u(t) es una funci´on definida en
L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un n´umero finito de intervalos
[b0, b1] = [0, b1],[b1, b2], . . . [bn−1, bn] = [bn−1, B] tales que u(t) es continua en
( bk−1, bk) y l´ımt→b+
k−1u(t),l´ımt→b−k u(t) existen y son finitos.
L2 Existen constantes, a real y M >0 ,tales que
|u(t)| ≤Meat para 0≤t <∞.
Entonces u(t) tiene transformada de Laplace uˆ(s) definida en el intervalo a < s <∞.
Demostraci´on. Esto es consecuencia del criterio de comparaci´on para la convergen-cia de integrales impropias, pues por la condici´on (L2) se tiene
Z ∞
0
¯
¯e−stu(t)¯¯ dt≤
Z ∞
0
e−st Meatdt =M
Z ∞
0
e−(s−a)tdt= M
s−a
para a < s <∞.
La condici´on (L1) garantiza que las integrales finitas R0Be−stu(t)dt existen para
todoB >0.
Funciones de orden exponencial. Las funciones u(t) definidas en 0 ≤t <∞
que satisfacen las condiciones (L1) y (L2) se denominan funciones continuas por tra-mos de orden exponencialen 0 ≤t <∞. Para abreviar las denominaremosfunciones de orden exponencial.
El Criterio de Existencia se puede enunciar brevemente diciendo:
Toda funci´on u(t)de orden exponencial en 0≤t <∞ tiene transformada de Laplace uˆ(s) definida en alg´un intervalo a < s <∞.
El mismo argumento utilizado para establecer el Criterio de Existencia demuestra la siguiente propiedad que se observa en los ejemplos 1 al 4 (Anulaci´on de ˆu en∞):
(Anulaci´on de uˆ en ∞) Para toda funci´on u(t)de orden exponencial en
0≤t <∞ , la transformada de Laplace uˆ(s) satisface
l´ım
s→∞uˆ(s) = 0
Si g(s) es una funci´on definida en un intervalo a < s <∞ tal que
l´ım
s→∞g(s) no existe o sl´ım→∞g(s)6= 0,
entonces g(s) no es transformada de Laplace de funci´on alguna
Por ejemplo, las funciones detalladas a continuaci´on no son transformadas de Laplace de funci´on alguna:
Polin´omicas
p(s) =
n
X
k=0
aksk,
Trigonom´etricas, exponenciales y logar´ıtmicas
cosωs, sen ωs, eas(a >0), lns, Racionales,pq((ss)) , con grado(p)≥grado (q).
2.
Propiedades b´
asicas de la transformada de
La-place
Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador u→ L {u}= ˆu
que a cada funci´on u(t) definida en 0≤t <∞ y de orden exponencial la transforma en una funci´on ˆu(s) definida en alg´un intervalo a < s <∞. Este operador tiene las siguientes propiedades b´asicas que, en particular, lo hacen de utilidad en el c´alculo de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Teorema 2 . (Propiedades b´asicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial en 0≤t <∞ y a, b constantes reales.
1. ( Linealidad). L{au+bv}=aL{u}+bL{v}.
2. (Translaci´on). Si uˆ(s) =L{u(t)}(s) est´a definida en el intervalo b < s < ∞, entonces
L{eatu(t)}(s) = ˆu(s−a)
3. (Translaci´on y truncamiento). Si a >0
L{H(t−a)u(t−a)}(s) =e−asL {u}(s).
4. (Transformada de la derivada). L{u0(t)} = sL{u} − u(0). En general, para
n∈N
L{u(n)(t)}=snL {u} −sn−1u(0)−sn−2u0(0)−. . .−s u(n−2)(0)−u(n−1)(0).
5. (Derivada de la transformada). L{tu(t)}=−d
dsL{u}. En general, para n ∈N
L{tnu(t)}=− d
dsL{t
n−1u(t)}
= (−1)2 d2
ds2 L{t
n−2u(t)}
=...
= (−1)n dn
dsn L {u}.
6. (Transformada de la integral). L{R0tu(r)dr}= 1
sL{u}.
7. (Periodicidad). Si u(t) es peri´odica con per´ıodop > 0, es decir, u(t+p) =u(t)
para todo t≥0 , y si u(t) es continua en [0, p] , entonces
L {u}= Rp
0 e−stu(t)dt
1−e−ps .
Demostraci´on. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la definici´on. A modo de ejemplos, verificaremos desde 4 al 7.
4. Por sencillez, supondremos que u0(t) es continua en 0 ≤ t < ∞. Integrando por partes
L{u0(t)}= Z ∞
0
e−stu0(t)dt =e−stu(t)¯¯t=∞
t=0 +s
Z ∞
0
e−stu(t)dt
L{u0(t)}=−u(0) +sL {u}.
Aqu´ı se usa el hecho de que |u(t)| ≤Meat, esto implica que e−stu(t)|
t=∞ = l´ımt→∞e−stu(t) = 0, para s > a.
La identidad para L{u(n)(t)} se obtiene aplicando repetidamente la identidad
5. Suponiendo que es v´alido el intercambiar el orden de la derivaci´on y la integraci´on en d
dsL{u}, se obtiene
d
dsL {u}= d ds
Z ∞
0
e−stu(t)dt =
Z ∞
0
d ds e
−stu(t)dt=−
Z ∞
0
te−stu(t)dt
d
dsL {u}=−L{tu(t)}
La identidad para n >1 se obtiene aplicando repetidamente el caso n= 1. 6. Se deduce de (iv) tomando R0tu(r)dr en vez de u.
7. Se tiene
L {u}= Z ∞
0
e−stu(t)dt = ∞ X
k=0
Z (k+1)p
kp
e−stu(t)dt
L {u}= ∞ X
k=0
e−kps
Z p
0
e−stu(t)dt=
Rp
0 e−stu(t)dt
1−e−ps ,
para s > a > 0. Aqu´ı utilizamos primero el hecho de que mediante el cambio de variable r=t−kp,
Z (k+1)p
kp
e−stu(t)dt=
Z p
0
e−s(r+kp)u(r+kp)dr=e−kps
Z p
0
e−stu(r)dr,
y, segundo, que ∞ X
k=0
xk = 1
1−x para |x|<1 con x=e
−sp.
C´alculo de transformadas de Laplace. Con ayuda de la definici´on, de un peque˜no repertorio o tabla de transformadas de Laplace, y de las propiedades b´asicas se puede calcular f´acilmente la transformada de Laplace de las funciones elementales de uso corriente en la soluci´on de problemas de valor inicial para ecuaciones lineales con coeficientes constantes.
Ejemplos. (Polinomios).
L©t3−10t+ 1ª =L©t3ª−10L {t}+L {1}
= 3!
s4 −
10
s2 +
1
s =
6
s4 −
10
s2 +
1
s
para s >0, utilizando la linealidad de L y L {tn}= n!
2 3 4 5 1
Figura 2: Funci´on encendido-apagado
(Seno y coseno hiperb´olicos). Si coshat= eat+e−at
2 y senh at= e
at−e−at
2 , entonces
por la linealidad y el ejemplo (1) de la secci´on 1,
L {coshat}= 1 2 ¡
L©eatª+L©e−atª¢=
1 2
µ 1
s−a +
1
s+a
¶
= s
s2−a2, para s >|a|
An´alogamente, L {senh at}= a
s2−a2 para s >|a|.
(Onda cuadradaentreayb, 0< a < b). La funci´onu(t) definida (conviene trazar su gr´afica)
u(t) = ½
0 si t < a ´o t≥b
1 si a≤t < b
se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside como u(t) = H(t−a)− H(t−b). Entonces por la linealidad de L y el ejemplo (4) de la secci´on 1,
ˆ
u(s) = e
−as−e−bs
s
(Otras funciones de inter´es)
L {tsen at}=−d
dsL {sen at}=−dsd(s2+aa2) = (s22+asa2)2
L {tneat}= (−1)n dn
dsnL {eat}= (−1)n d n
dsn
¡ 1
s−a
¢
= n!
(s−a)n+1 s > a
(Funci´on encendido-apagado). La funci´on (ve´ase figura 2.)
u(t) = 1
2(1 + (−1)
[|at|] ) =
½
1, 2ka≤t <(2k+ 1)a
0, (2k+ 1)a≤t <2(k+ 1)a k entero.
Por la propiedad de periodicidad (vii),
L {u}= 1 1−e−2as
Z 2a
0
e−stu(t)dt = 1
1−e−2as
Z a
0
e−stdt
L {u}= 1−e−as
s(1−e−2as) =
1
s(1 +e−as)
Producto de transformadas de Laplace. El ejemplo deu(t) =v(t) =t mues-tra que, en general,L{u v} 6=L{u} L{v}. Sin embargo, se puede expresar L{u}L{v}
como transformada de Laplace de una funci´on obtenida a partir deu yv como sigue. Primero,
L{u}L{v}= µZ ∞
0
e−sxu(x)dx
¶ µZ ∞
0
e−syv(y)dy
¶
= Z ∞
0
{
Z ∞
0
e−s(x+y)u(x)v(y)dx}dy
Ahora, para cada y fijo (0≤y≤ ∞), hacemos el cambio de variable t =x+y en la integral interna, de modo quex=t−y, dt=dx,t=ycuandox= 0, t=∞cuando
x=∞, y Z
∞
y
e−stu(t−y)v(y)dt.
Luego
L{u}L{v}= Z ∞
0
{
Z ∞
y
e−stu(t−y)v(y)dt}dy.
Supongamos ahora que es posible considerar esta integral iterada como una integral doblesobre la regi´on
R={(t, y)| 0≤y <∞, y ≤t <∞}={(t, y)|0≤t <∞, 0≤y≤t},
y que es posible invertir el orden de integraci´on. Entonces
L{u}L{v}= Z Z
R
e−stu(t−y)v(y)dt dy
= Z ∞
0
{
Z t
0
e−stu(t−y)v(y)dy}dt=
Z ∞
0
e−st{
Z t
0
u(t−y)v(y)dy}dt
=L{
Z t
0
u(t−y)v(y)dy}.
Definici´on.(Convoluci´on). La convoluci´on de dos funciones u(t), v(t) continuas por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ es la funci´on u ∗ v definida en 0≤t <∞por
(u∗v)(t) = Z t
0
u(t−y)v(y)dy.
Teorema 3 ( Propiedad de convoluci´on)
L{u∗v}=L{u}L{v}
Ejemplo.
Sea u(t) =t y v(t) =sen at. Entonces
u∗v(t) = Z t
0
(t−y)sen ay dy = t
a −
1
a2sen at,
L{u∗v}=L{t a −
1
a2sen at}=L{t}L{sen at}=
a t2(t2+a2).
3.
Transformada inversa de Laplace
Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:
Teorema 4 . (Propiedad de inversi´on). Sean u1(t) y u2(t) funciones continuas por
tramos de orden exponencial en0≤t <∞. Si L{u1}(s) = L{u2}(s)en un intervalo
a < s <∞ , entonces en cada intervalo finito [0, B]se tiene u1(t) =u2(t),
salvo a lo m´as en un n´umero finito de puntos.
La demostraci´on de este resultado requiere t´ecnicas de an´alisis que no est´an al alcance de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematics., McGraw-Hill, New York, 1972.)
La propiedad de inversi´on implica que dada una funci´on v(s) definida en un in-tervalo a < s <∞, si existe una funci´on u(t) definida en 0≤t <∞ tal que
L{u}=v,
entonces la funci´on u es esencialmente ´unica. Esto significa que si u1 es otra funci´on
tal que L{u1} =v, entonces en cada intervalo [0, B] las funciones u y u1 coinciden,
con la posible excepci´on de un n´umero finito de puntos.
Por ejemplo, es f´acil verificar que, para a >0, las funciones
H(t−a) = ½
0, t < a
1, t≥a , H1(t) =
½
0, t ≤a
1, t > a ,
H2(t) =
½
0, t < a ´ot ∈Z
son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0≤t <∞ tales que
L{H(t−a)}=L{H1}=L{H2}=
1
s.
En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales. Definici´on. Una funci´on v(s) definida en un intervalo a < s < ∞ tiene trans-formada inversa de Laplace si existe una funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tal que
L{u}=v,
En este caso se dice que ues la transformada inversa de Laplace dev y se denota por
L−1{v}.
Recordamos que por la propiedad de anulaci´on de las transformadas de Laplace en∞, una condici´on necesaria para que una funci´onv(s) posea transformada inversa de Laplace es que
l´ım
s→∞v(s) = 0.
Tambi´en, las propiedades b´asicas de la transformada de Laplace implican propie-dades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transfor-mada inversa , se tiene:
(Linealidad)
L−1{av+bw}=aL−1{u}+bL−1{w}.
(Translaci´on)
L−1{v(s−a)}=easL−1{v}.
(Derivada)
L−1{ dn
dsnv(s)}= (−1)
ntnL−1{v}.
(Integraci´on 1)
L−1{v(s)
s }=
Z t
0
L−1{v}(r)dr. (Convoluci´on)
L−1{v(s)w(s)}=L−1{v} ∗ L−1{w}.
(Integraci´on 2)
L−1{
Z ∞
s
v(r)dr}= 1
tL
−1{v}.
La ´ultima relaci´on es consecuencia de: (Integral de una transformada).
Z ∞
s
L{u}(γ)dγ =L{u(t) t }.
La cual es v´alida para u(t) tal que l´ımt→0+ u(t)
4.
M´
etodo de Heaviside
Este m´etodo se aplica al c´alculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial. Sup´ongase que se desea hallar la soluci´onx(t) en 0≤t <∞de un problema de valor inicial para una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes
x00+ax0+bx=f(t), x(0) =x0,x0(0) = x00 (3)
El f´ısico-matem´atico e ingeniero ingl´es Oliver Heaviside propuso la siguiente idea. Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuaci´on
L{x00+ax0+bx}=L{f(t)}.
Entonces, por las propiedades (i) y (iv) de transformada de Laplace, la ecuaci´on se reduce a
s2L{x} −sx(0)−x0(0)) +a(sL{x} −x(0)) +bL{x}=L{f} (s2+as+b)L{x}=L{f}+x(0)s+ax(0) +x0(0). As´ı, la transformada de Laplace de la soluci´onx(t) de (3) es
L{x}= L{f} (s2+as+b)+
x(0)s+ax(0) +x0(0) (s2+as+b) .
La soluci´on x(t) de (3) en 0≤t <∞se obtiene mediante la transformada inversa
x(t) =L−1
½
L{f}
(s2+as+b) +
x(0)s+ax(0) +x0(0) (s2+as+b)
¾ . Ejemplos. Buscaremos la soluci´on de
dx
dt + 2x= 1, x(0) = 10.
Aplicando transformada a la ecuaci´on, se obtiene
sL{x} −x(0) + 2L{x}= 1
s.
De donde (usando fracciones parciales)
L{x}= 1
s(s+ 2) + 10
s+ 2 = 1 2
µ 1
s −
1
s+ 2 ¶
+ 10
s+ 2,
L{x}= 1 2(
1
s +
19
Finalmente, la soluci´on x(t) en 0≤t <∞es
x(t) =L−1{1
2( 1
s +
19
s+ 2)}= 1 2L
−1{1
s}+
19 2 L
−1{ 1
s+ 2}
x(t) = 1 2 +
19 2 e
−2t.
Ejemplo. Nos proponemos determinar el movimiento desde el equilibrio de un oscilador lineal no amortiguado con masam y constante de rigidez k sometido a una fuerza externa variable F(t) que se anula antes del instante t0 >0 y que es constante
e igual a F0 despu´es del instante t0 :
F(t) =F0H(t−t0) =
½
0, t <0
F0, t≥t0 .
El problema de valor inicial correspondiente es
d2x
dt2 +ω
2x= F0
mH(t−t0), x(0) = 0, x
0(0) = 0,
con ω = q
k
m. Tomando transformada de Laplace, la ecuaci´on se reduce a
s2L{x} −sx(0)−x0(0) +ω2L{x}= F0
mL{H(t−t0)}.
Utilizando las condiciones iniciales, x(0) =x0(0) = 0 , se obtiene
L{x}(s) = F0
m
1
s2+ω2L{H(t−t0)},
y por tanto
x(t) = F0
mL
−1{ 1
s2+ω2L{H(t−t0)}}.
Por la propiedad de convoluci´on de L y observando que 1
s2+ω2 =L{
1
ωsen ωt},
se tiene que
1
s2+ω2L{H(t−t0)}=
1
ωL{sen ωt}L{H(t−t0)}}=
1
ωL{ sen ωt∗H(t−t0)}=
1
ωL{
Z t
0
sen ω(t−z)H(z−t0)dz}
Luego,
x(t) = F0
m ω
Z t
0
F H( t−t )O O
FO
xO
tO t
F mω2
x(t)
O
t
Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina
Para evaluar la integral en esta expresi´on para x(t), observamos que cuando 0≤t < t0,0≤z ≤t < t0 implicaH(z−t0) = 0, y cuandot ≥t0 0≤z ≤timplica 0≤z < t0
con H(z−t0) = 0 ´o t0 ≤z ≤t con H(z−t0) = 1. As´ı que
Z t
0
sen ω(t−z)H(z−t0)dz =
½
0, t < t0
Rt
t0sen ω(t−z)dz, t ≥t0,
Z t
0
sen ω(t−z)H(z−t0)dz =
½
0, t < t0
1
ω(1−cos ω(t−t0) ), t ≥t0,
Se concluye que la soluci´on x(t) en 0≤t <∞ est´a dada por
x(t) = ½
0, t < t0
F0
m ω2(1−cosω(t−t0) ), t≥t0.
Esta soluci´on representa un movimiento del oscilador en el cual en ausencia de fuerzas externas la masa permanece en reposo en la posici´on de equilibrio x = 0 hasta el instante t0 cuando empieza a obrar la fuerza constante F0. A partir del instante t0,
la masa inicia una oscilaci´on arm´onica con frecuencia igual a la frecuencia natural ω
del oscilador libre en la cual la masa cada 2π
ω unidades de tiempo se desplaza
2F0 m ω2
unidades de distancia en la direcci´on de la fuerza F0 y vuelve luego a la posici´on de
5.
Resumen
5.1.
Transformada de Laplace
1. Definici´on: L{f(t)}(s) = R0∞e−s tf(t)dt.
2. Linealidad: L{α f(t) +β g(t)}(s) =αL{f}(s) +βL{g}(s).
3. Translaci´on: si ˆu(s) =L{u(t)}(s) entonces ˆu(s−a) = L{eatu(t)}(s).
4. Translaci´on y truncamiento: L{H(t−a)u(t−a)}(s) =e−asL{u}(s).
5. Derivada n-esima:
L{f0(t)}(s) = sL{f}(s)−f(0+).
L{f00(t)}(s) = s2L{f}(s)−s f(0+)−f0(0+).
L{f(n)(t)}(s) = snL{f}(s)−sn−1f(0+)−sn−2f0(0+)− · · · −f(n−1)(0+).
6. Transformada de la integral:
LnRatf(r)dr
o
(s) = 1
sL{f}(s)− 1s
Ra
0 f(t)dt.
L
Z t
0
· · ·
Z t
0
| {z }
n-veces
f(t)dt . . . dt
(s) = 1
snL{f}(s).
R∞
s L{u}(γ)dγ = L{
u(t)
t }(s).
7. Producto y convoluci´on
L{u}L{v} = L{R0tu(t−y)v(y)dy}.
L{u∗v} = L{u}L{v} , donde (u∗v)(t) =R0tu(t−y)v(y) dy.
8. Transformada de una funci´on peri´odicaf(s) con per´ıodo p > 0
L{f(t)}(s) = Rp
0 e−s tf(t)dt
1−e−p s .
9. Propiedades varias
L{eatf(t)}(s) = L(f)(s−a).
L{tnf(t)}(s) = (−1)n dn
dsnL{f}(s).
L{H(t−a)g(t)}(s) = e−asL{g(t+a)}(s).
L{f(tt)}(s) = Rs∞L{f}ds , si l´ımt→0+ f(t)
5.2.
Transformada inversa de Laplace
1. Linealidad de la transformad inversa:
L−1{α f(t) +β g(t)}=αL−1{f}+βL−1{g}.
2. Translaci´on:
L−1{v(s−a)}=easL−1{v}.
3. Derivada de la transformada inversa:
L−1{ d
n
dsnv(s)}= (−1)
ntnL−1{v}.
4. Integral
L−1{v(s)
s } =
Rt
0 L−1{v}(r) dr.
L−1©R∞
s v(r)dr
ª
= 1
tL−1{v}.
5. Convoluci´on:
L−1{v(s)w(s)}=L−1{v} ∗ L−1{w}.
A continuaci´on presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace de algunas funciones
L{1} = 1
s , L{δ(t)} = 1
L{eat} = 1
s−a , L{δ(t−a)} = e−as
L{tn} = n!
sn+1 , L{t
n−1eat
(n−1)!} = (s−1a)n (n≥1)
L{sen at} = a
s2+a2 , L{21a3(sen at−atcosat)} = (s2+1a2)2
L{cosat} = s
s2+a2 , L{21a3(sen a t+a tcos a t)} = s 2 a2(s2+a2)2
L{senh at} = a
s2−a2 , L{
Rt
0 2tnL−1[(s2+1a2)n] dt} = (s2+a12)n+1
L{coshat} = s
s2−a2 , L{2tnL−1[(s2+1a2)n]} = (s2+as2)n+1
Nota:La funci´onδ(t−t0) es la funci´on Delta de Dirac definida como sigue
δ(t−t0) =
½
∞ si t=t0
0 si t6=t0
y adem´as Z
∞
−∞
Ejercicios
1. Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones a. e2tsen3t, b. 3e−tcos 2t, c.t3sen3t, d.t2etcost,
e. e−3tcos (2t+ 4), f. Rt
arcosr dr, g.sen2t, h. |cost|,
.
2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones a. 1
s(s+1), b. (s−31)2, c. 5
s2(s−5)2, d. (s−a)(1s−b), a, bconstantes,
e. 1
s2+4s+29, f. (s22+1)s 2, g. 1+e
−s
s , h. e
−s
s4+1.
3. Hallar la transformada de Laplace de
f(t) := ½
0, t ≤ 1 2
1 +t t > 1 2
, g(t) := ½
t, t≤2 2 t >2 . 4. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on escalera
f(t) =n+ 1, si n < t≤n+ 1, n= 0,1,2, ..., .
5. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace a.dydt + 3y =t sen at y(0) = 1, a constante,
b.ddt22y −2dydt +y =t etsen t y(0) = 0, y0(0) = 0,
c.d2y
dt2 + 2rdydt +ω2y=A δ(t−t0) y(0) = 0, y0(0) = 0, t0 constante,
d.ddt44y +y=
½
0, t≤1
t−1 t >1 y(0) =y0(0) =y00(0) = y000(0) = 0, e.dydt + 2y+R0ty(s)ds= cost y(0) = 1.
Respuestas
1. a.
3
9+(s−2)2 , b.
3(s+1)
4+(1+s)2 , c.
72s3−648s
(s2+9)4 , d. 2s
3−6s2+4
(1+(s−1)2)3 ,
e. (s+3) cos 44+(s+3)−22sen4 , f. 2s+(1+s 2)s
(1+s2)2 − cosa+sa sen a , g. s(s22+4) , h. −
(e−π s+1)s
(eπ s−1)(1+s2).
2.
a. 1−e−t , b. 3ett ,
c. 2−2e5t+5t+5e5tt
25 , d. e
at−ebt
a−b ,
e. 1
5e−2tsen 5t , f. t sen t ,
g. 1 +H(t−1) , h.−1 2e
t√−1 2 cos
³
π
4 + t√−21
´
− 1 2e
−t√−1
2 cos
³
3π
4 +t√−21
´
H(t−1).
3. L{f}(s) = e−s2 ¡2+3s
2s2
¢
, L{g}(s) = e2s−1
4. L{f}(s) = P∞k=0 e−sk
s .
5. a. 1
(9+a2)2((81−6a+ 18a2+a4)e−3t−a((9 +a2)t−6) cos a t+ (a2−9 + 27t+
3a2t)sen a t),
b.y(t) = 2et−2etcost−ett sen t,
c.y(t) = A H2√(t−t0)
r2−w2(e
−(t−t0)(r−√r2−w2)
−e(t−t0)(r+√r2−w2)),
d. (t−1− 1 2e
t√−1 2sen(π
4 −
t√−1 2) +
1 2e
t√−1
2sen(3π
4 +
t√−1
2))H(t−1),
e.y(t) = 1
