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(1)

GUIA 7

La transformada de Laplace

1.

Concepto de la transformada de Laplace

Definici´on. Una funci´on u(t) definida en 0 t < tiene transformada de Laplace si existe un real a >0 tal que la integral R0∞e−stu(t)dt converge para s > a.

En este caso, la transformada de Laplace de la funci´on u es la funci´on uˆ definida en el intervalo a < s <∞ cuyo valor en cada s est´a dado por

ˆ

u(s) = Z

0

e−stu(t)dt. (1)

A veces conviene denotar la transformada de Laplace ˆude u medianteL {u}. Recu´erdese que la integral impropia R0∞e−stu(t)dt converge si la integral finita

RB

0 e−stu(t)dt existe para todo B > 0 y si l´ımB→∞

RB

0 e−stu(t)dt existe y es finito.

Entonces, por definici´on, Z

0

e−stu(t)dt = l´ım B→∞

Z B

0

e−stu(t)dt

Ejemplos.

(Funci´on constante). La funci´on constanteu(t) = 1 tiene transformada de Laplace ˆ

u(s) = 1

s definida en 0< s <∞. En efecto,

ˆ

u(s) = Z

0

e−stdt = l´ım

B→∞ Z B

0

e−stdt = l´ım

B→∞(

e−sB

s +

1

s) =

1

s,

para 0< s <∞. Se observa que la integral R0∞e−stdt diverge para s0.

(Funci´on exponencial). La funci´on u(t) = eat tiene transformada de Laplace

ˆ

u(s) = 1

s−a definida en a < s <∞ . En este caso,

ˆ

u(s) = Z

0

e−steatdt =

Z

0

e(a−s)tdt= 1

s−a para s > a.

(Funci´ontn,n >0 entero). La funci´onu(t) =tn(n >0 entero) tiene transformada

de Laplace ˆu(s) = n!

sn+1 definida en 0< s <∞.

Primero, paran = 1, integrando por partes obtenemos

L {t}= Z

0

t e−stdt = l´ım B→∞(

t se

−st¯¯t=B t=0 ) +

1

s

Z

0

e−stdt= 1

(2)

para 0< s <∞.

Para n >1, la integraci´on por partes da

L {tn}=

Z

0

tne−stdt= l´ım B→∞(

tn

s e

−st¯¯t=B t=0 ) .

+n

s

Z

0

tn−1e−stdt= n

sL

©

tn−1ª. Y aplicando esto repetidamente, obtenemos

L {tn}= n

sL

©

tn−1ª= n(n−1)

s2 L

©

tn−

=· · ·= n(n−1)(n−2). . .1

sn L {1}=

n!

sn+1

para 0< s <∞.

(Funciones seno y coseno). Se tiene

L {cosat}= s

s2+a2, L {sen at} =

a s2+a2

para 0< s <∞, donde a6= 0. Integrando por partes obtenemos

L {cosa t}= Z

0

e−s tcosa t dt= 1

ae

−s tsen a t¯¯t=

t=0

+ s

a

Z

0

e−s tsen a t dt= s

aL {sen a t}.

(2)

Y volviendo a integrar por partes,

L {sen a t}= Z

0

e−s tsen a t dt=1

ae

−stcosat¯¯t=

t=0

s a

Z

0

e−s tcosa t dt= 1

a s

aL {cosa t}.

Luego

L {sen a t}= 1

a s2

a2L {sen a t}

De aqu´ı se obtiene la expresi´on para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´on para

L {cosa t}.

(Funci´on de Heaviside). La funci´on escal´on de Heaviside o salto unitario es la funci´on H definida para todo t, −∞< t <∞, por

H(t) = ½

(3)

t

a

1

Figura 1: Funci´on de Heaviside de salto unitario

La funci´on salto unitario ena es la translaci´on H(t−a) de H (v´ease figura 1):

H(t−a) = ½

0, t < a

1, t≥a

Para a >0 y 0< s <∞, se tiene

L{H(t−a)}= Z

a

e−stdt= e−as

s .

En general

L{H(t−a)u(t−a)}= Z

a

e−stu(ta)dt

= Z

0

e−s(x+a)u(x)dx=e−asL {u}.

Es decir,

L{H(t−a)u(t−a)}= e−asL {u} , para a >0, 0< s <.

(Una funci´on sin transformada de Laplace). La funci´onu(t) = et2

no tiene trans-formada de Laplace. Pues la integral

Z

0

e−st et2

dt= Z

0

e−s2

4 e(t−2s)2dt

diverge para todo s.

¿Para cu´ales funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos anteriores sugieren el siguiente criterio:

Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup´ongase que u(t) es una funci´on definida en

(4)

L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un n´umero finito de intervalos

[b0, b1] = [0, b1],[b1, b2], . . . [bn−1, bn] = [bn−1, B] tales que u(t) es continua en

( bk−1, bk) y l´ımtb+

k−1u(t),l´ımt→b−k u(t) existen y son finitos.

L2 Existen constantes, a real y M >0 ,tales que

|u(t)| ≤Meat para 0≤t <∞.

Entonces u(t) tiene transformada de Laplace uˆ(s) definida en el intervalo a < s <∞.

Demostraci´on. Esto es consecuencia del criterio de comparaci´on para la convergen-cia de integrales impropias, pues por la condici´on (L2) se tiene

Z

0

¯

¯e−stu(t)¯¯ dt

Z

0

e−st Meatdt =M

Z

0

e−(s−a)tdt= M

s−a

para a < s <∞.

La condici´on (L1) garantiza que las integrales finitas R0Be−stu(t)dt existen para

todoB >0.

Funciones de orden exponencial. Las funciones u(t) definidas en 0 ≤t <∞

que satisfacen las condiciones (L1) y (L2) se denominan funciones continuas por tra-mos de orden exponencialen 0 ≤t <∞. Para abreviar las denominaremosfunciones de orden exponencial.

El Criterio de Existencia se puede enunciar brevemente diciendo:

Toda funci´on u(t)de orden exponencial en 0≤t <∞ tiene transformada de Laplace uˆ(s) definida en alg´un intervalo a < s <∞.

El mismo argumento utilizado para establecer el Criterio de Existencia demuestra la siguiente propiedad que se observa en los ejemplos 1 al 4 (Anulaci´on de ˆu en):

(Anulaci´on de uˆ en ) Para toda funci´on u(t)de orden exponencial en

0≤t <∞ , la transformada de Laplace uˆ(s) satisface

l´ım

s→∞uˆ(s) = 0

(5)

Si g(s) es una funci´on definida en un intervalo a < s <∞ tal que

l´ım

s→∞g(s) no existe o sl´ım→∞g(s)6= 0,

entonces g(s) no es transformada de Laplace de funci´on alguna

Por ejemplo, las funciones detalladas a continuaci´on no son transformadas de Laplace de funci´on alguna:

Polin´omicas

p(s) =

n

X

k=0

aksk,

Trigonom´etricas, exponenciales y logar´ıtmicas

cosωs, sen ωs, eas(a >0), lns, Racionales,pq((ss)) , con grado(p)grado (q).

2.

Propiedades b´

asicas de la transformada de

La-place

Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador u→ L {u}= ˆu

que a cada funci´on u(t) definida en 0≤t <∞ y de orden exponencial la transforma en una funci´on ˆu(s) definida en alg´un intervalo a < s <∞. Este operador tiene las siguientes propiedades b´asicas que, en particular, lo hacen de utilidad en el c´alculo de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Teorema 2 . (Propiedades b´asicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial en 0≤t <∞ y a, b constantes reales.

1. ( Linealidad). L{au+bv}=aL{u}+bL{v}.

2. (Translaci´on). Si uˆ(s) =L{u(t)}(s) est´a definida en el intervalo b < s < ∞, entonces

L{eatu(t)}(s) = ˆu(sa)

(6)

3. (Translaci´on y truncamiento). Si a >0

L{H(t−a)u(t−a)}(s) =e−asL {u}(s).

4. (Transformada de la derivada). L{u0(t)} = sL{u} − u(0). En general, para

n∈N

L{u(n)(t)}=snL {u} −sn−1u(0)sn−2u0(0). . .s u(n−2)(0)u(n−1)(0).

5. (Derivada de la transformada). L{tu(t)}=−d

dsL{u}. En general, para n N

L{tnu(t)}= d

dsL{t

n−1u(t)}

= (1)2 d2

ds2 L{t

n−2u(t)}

=...

= (1)n dn

dsn L {u}.

6. (Transformada de la integral). L{R0tu(r)dr}= 1

sL{u}.

7. (Periodicidad). Si u(t) es peri´odica con per´ıodop > 0, es decir, u(t+p) =u(t)

para todo t≥0 , y si u(t) es continua en [0, p] , entonces

L {u}= Rp

0 e−stu(t)dt

1−e−ps .

Demostraci´on. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la definici´on. A modo de ejemplos, verificaremos desde 4 al 7.

4. Por sencillez, supondremos que u0(t) es continua en 0 t < . Integrando por partes

L{u0(t)}= Z

0

e−stu0(t)dt =e−stu(t)¯¯t=

t=0 +s

Z

0

e−stu(t)dt

L{u0(t)}=−u(0) +sL {u}.

Aqu´ı se usa el hecho de que |u(t)| ≤Meat, esto implica que e−stu(t)|

t= = l´ımt→∞e−stu(t) = 0, para s > a.

La identidad para L{u(n)(t)} se obtiene aplicando repetidamente la identidad

(7)

5. Suponiendo que es v´alido el intercambiar el orden de la derivaci´on y la integraci´on en d

dsL{u}, se obtiene

d

dsL {u}= d ds

Z

0

e−stu(t)dt =

Z

0

d ds e

−stu(t)dt=

Z

0

te−stu(t)dt

d

dsL {u}=−L{tu(t)}

La identidad para n >1 se obtiene aplicando repetidamente el caso n= 1. 6. Se deduce de (iv) tomando R0tu(r)dr en vez de u.

7. Se tiene

L {u}= Z

0

e−stu(t)dt = X

k=0

Z (k+1)p

kp

e−stu(t)dt

L {u}= X

k=0

e−kps

Z p

0

e−stu(t)dt=

Rp

0 e−stu(t)dt

1−e−ps ,

para s > a > 0. Aqu´ı utilizamos primero el hecho de que mediante el cambio de variable r=t−kp,

Z (k+1)p

kp

e−stu(t)dt=

Z p

0

e−s(r+kp)u(r+kp)dr=e−kps

Z p

0

e−stu(r)dr,

y, segundo, que X

k=0

xk = 1

1−x para |x|<1 con x=e

−sp.

C´alculo de transformadas de Laplace. Con ayuda de la definici´on, de un peque˜no repertorio o tabla de transformadas de Laplace, y de las propiedades b´asicas se puede calcular f´acilmente la transformada de Laplace de las funciones elementales de uso corriente en la soluci´on de problemas de valor inicial para ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

Ejemplos. (Polinomios).

L©t310t+ 1ª =L©t10L {t}+L {1}

= 3!

s4

10

s2 +

1

s =

6

s4

10

s2 +

1

s

para s >0, utilizando la linealidad de L y L {tn}= n!

(8)

2 3 4 5 1

Figura 2: Funci´on encendido-apagado

(Seno y coseno hiperb´olicos). Si coshat= eat+e−at

2 y senh at= e

ate−at

2 , entonces

por la linealidad y el ejemplo (1) de la secci´on 1,

L {coshat}= 1 2 ¡

L©eatª+L©e−atª¢=

1 2

µ 1

s−a +

1

s+a

= s

s2a2, para s >|a|

An´alogamente, L {senh at}= a

s2a2 para s >|a|.

(Onda cuadradaentreayb, 0< a < b). La funci´onu(t) definida (conviene trazar su gr´afica)

u(t) = ½

0 si t < a ´o t≥b

1 si a≤t < b

se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside como u(t) = H(t−a) H(t−b). Entonces por la linealidad de L y el ejemplo (4) de la secci´on 1,

ˆ

u(s) = e

−ase−bs

s

(Otras funciones de inter´es)

L {tsen at}=−d

dsL {sen at}=−dsd(s2+aa2) = (s22+asa2)2

L {tneat}= (1)n dn

dsnL {eat}= (1)n d n

dsn

¡ 1

s−a

¢

= n!

(s−a)n+1 s > a

(Funci´on encendido-apagado). La funci´on (ve´ase figura 2.)

u(t) = 1

2(1 + (1)

[|at|] ) =

½

1, 2ka≤t <(2k+ 1)a

0, (2k+ 1)a≤t <2(k+ 1)a k entero.

(9)

Por la propiedad de periodicidad (vii),

L {u}= 1 1−e−2as

Z 2a

0

e−stu(t)dt = 1

1−e−2as

Z a

0

e−stdt

L {u}= 1−e−as

s(1−e−2as) =

1

s(1 +e−as)

Producto de transformadas de Laplace. El ejemplo deu(t) =v(t) =t mues-tra que, en general,L{u v} 6=L{u} L{v}. Sin embargo, se puede expresar L{u}L{v}

como transformada de Laplace de una funci´on obtenida a partir deu yv como sigue. Primero,

L{u}L{v}= µZ

0

e−sxu(x)dx

¶ µZ

0

e−syv(y)dy

= Z

0

{

Z

0

e−s(x+y)u(x)v(y)dx}dy

Ahora, para cada y fijo (0≤y≤ ∞), hacemos el cambio de variable t =x+y en la integral interna, de modo quex=t−y, dt=dx,t=ycuandox= 0, t=cuando

x=, y Z

y

e−stu(t−y)v(y)dt.

Luego

L{u}L{v}= Z

0

{

Z

y

e−stu(ty)v(y)dt}dy.

Supongamos ahora que es posible considerar esta integral iterada como una integral doblesobre la regi´on

R={(t, y)| 0≤y <∞, y ≤t <∞}={(t, y)|0≤t <∞, 0≤y≤t},

y que es posible invertir el orden de integraci´on. Entonces

L{u}L{v}= Z Z

R

e−stu(ty)v(y)dt dy

= Z

0

{

Z t

0

e−stu(ty)v(y)dy}dt=

Z

0

e−st{

Z t

0

u(t−y)v(y)dy}dt

=L{

Z t

0

u(t−y)v(y)dy}.

Definici´on.(Convoluci´on). La convoluci´on de dos funciones u(t), v(t) continuas por tramos de orden exponencial en 0 t < es la funci´on u v definida en 0≤t <∞por

(u∗v)(t) = Z t

0

u(t−y)v(y)dy.

(10)

Teorema 3 ( Propiedad de convoluci´on)

L{u∗v}=L{u}L{v}

Ejemplo.

Sea u(t) =t y v(t) =sen at. Entonces

u∗v(t) = Z t

0

(t−y)sen ay dy = t

a

1

a2sen at,

L{u∗v}=L{t a

1

a2sen at}=L{t}L{sen at}=

a t2(t2+a2).

3.

Transformada inversa de Laplace

Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:

Teorema 4 . (Propiedad de inversi´on). Sean u1(t) y u2(t) funciones continuas por

tramos de orden exponencial en0≤t <∞. Si L{u1}(s) = L{u2}(s)en un intervalo

a < s <∞ , entonces en cada intervalo finito [0, B]se tiene u1(t) =u2(t),

salvo a lo m´as en un n´umero finito de puntos.

La demostraci´on de este resultado requiere t´ecnicas de an´alisis que no est´an al alcance de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematics., McGraw-Hill, New York, 1972.)

La propiedad de inversi´on implica que dada una funci´on v(s) definida en un in-tervalo a < s <∞, si existe una funci´on u(t) definida en 0≤t <∞ tal que

L{u}=v,

entonces la funci´on u es esencialmente ´unica. Esto significa que si u1 es otra funci´on

tal que L{u1} =v, entonces en cada intervalo [0, B] las funciones u y u1 coinciden,

con la posible excepci´on de un n´umero finito de puntos.

Por ejemplo, es f´acil verificar que, para a >0, las funciones

H(t−a) = ½

0, t < a

1, t≥a , H1(t) =

½

0, t ≤a

1, t > a ,

H2(t) =

½

0, t < a ´ot Z

(11)

son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0≤t <∞ tales que

L{H(t−a)}=L{H1}=L{H2}=

1

s.

En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales. Definici´on. Una funci´on v(s) definida en un intervalo a < s < tiene trans-formada inversa de Laplace si existe una funci´on u(t) definida en 0 t < tal que

L{u}=v,

En este caso se dice que ues la transformada inversa de Laplace dev y se denota por

L−1{v}.

Recordamos que por la propiedad de anulaci´on de las transformadas de Laplace en, una condici´on necesaria para que una funci´onv(s) posea transformada inversa de Laplace es que

l´ım

s→∞v(s) = 0.

Tambi´en, las propiedades b´asicas de la transformada de Laplace implican propie-dades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transfor-mada inversa , se tiene:

(Linealidad)

L−1{av+bw}=aL1{u}+bL1{w}.

(Translaci´on)

L−1{v(sa)}=easL1{v}.

(Derivada)

L−1{ dn

dsnv(s)}= (1)

ntnL1{v}.

(Integraci´on 1)

L−1{v(s)

s }=

Z t

0

L−1{v}(r)dr. (Convoluci´on)

L−1{v(s)w(s)}=L1{v} ∗ L1{w}.

(Integraci´on 2)

L−1{

Z

s

v(r)dr}= 1

tL

1{v}.

La ´ultima relaci´on es consecuencia de: (Integral de una transformada).

Z

s

L{u}(γ) =L{u(t) t }.

La cual es v´alida para u(t) tal que l´ımt→0+ u(t)

(12)

4.

etodo de Heaviside

Este m´etodo se aplica al c´alculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial. Sup´ongase que se desea hallar la soluci´onx(t) en 0≤t <∞de un problema de valor inicial para una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes

x00+ax0+bx=f(t), x(0) =x0,x0(0) = x00 (3)

El f´ısico-matem´atico e ingeniero ingl´es Oliver Heaviside propuso la siguiente idea. Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuaci´on

L{x00+ax0+bx}=L{f(t)}.

Entonces, por las propiedades (i) y (iv) de transformada de Laplace, la ecuaci´on se reduce a

s2L{x} −sx(0)x0(0)) +a(sL{x} −x(0)) +bL{x}=L{f} (s2+as+b)L{x}=L{f}+x(0)s+ax(0) +x0(0). As´ı, la transformada de Laplace de la soluci´onx(t) de (3) es

L{x}= L{f} (s2+as+b)+

x(0)s+ax(0) +x0(0) (s2+as+b) .

La soluci´on x(t) de (3) en 0≤t <∞se obtiene mediante la transformada inversa

x(t) =L−1

½

L{f}

(s2+as+b) +

x(0)s+ax(0) +x0(0) (s2+as+b)

¾ . Ejemplos. Buscaremos la soluci´on de

dx

dt + 2x= 1, x(0) = 10.

Aplicando transformada a la ecuaci´on, se obtiene

sL{x} −x(0) + 2L{x}= 1

s.

De donde (usando fracciones parciales)

L{x}= 1

s(s+ 2) + 10

s+ 2 = 1 2

µ 1

s

1

s+ 2 ¶

+ 10

s+ 2,

L{x}= 1 2(

1

s +

19

(13)

Finalmente, la soluci´on x(t) en 0≤t <∞es

x(t) =L−1{1

2( 1

s +

19

s+ 2)}= 1 2L

1{1

s}+

19 2 L

1{ 1

s+ 2}

x(t) = 1 2 +

19 2 e

2t.

Ejemplo. Nos proponemos determinar el movimiento desde el equilibrio de un oscilador lineal no amortiguado con masam y constante de rigidez k sometido a una fuerza externa variable F(t) que se anula antes del instante t0 >0 y que es constante

e igual a F0 despu´es del instante t0 :

F(t) =F0H(t−t0) =

½

0, t <0

F0, t≥t0 .

El problema de valor inicial correspondiente es

d2x

dt2 +ω

2x= F0

mH(t−t0), x(0) = 0, x

0(0) = 0,

con ω = q

k

m. Tomando transformada de Laplace, la ecuaci´on se reduce a

s2L{x} −sx(0)−x0(0) +ω2L{x}= F0

mL{H(t−t0)}.

Utilizando las condiciones iniciales, x(0) =x0(0) = 0 , se obtiene

L{x}(s) = F0

m

1

s2+ω2L{H(t−t0)},

y por tanto

x(t) = F0

mL

1{ 1

s2+ω2L{H(t−t0)}}.

Por la propiedad de convoluci´on de L y observando que 1

s2+ω2 =L{

1

ωsen ωt},

se tiene que

1

s2+ω2L{H(t−t0)}=

1

ωL{sen ωt}L{H(t−t0)}}=

1

ωL{ sen ωt∗H(t−t0)}=

1

ωL{

Z t

0

sen ω(t−z)H(z−t0)dz}

Luego,

x(t) = F0

m ω

Z t

0

(14)

F H( t−t )O O

FO

xO

tO t

F mω2

x(t)

O

t

Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina

Para evaluar la integral en esta expresi´on para x(t), observamos que cuando 0≤t < t0,0≤z ≤t < t0 implicaH(z−t0) = 0, y cuandot ≥t0 0≤z ≤timplica 0≤z < t0

con H(z−t0) = 0 ´o t0 ≤z ≤t con H(z−t0) = 1. As´ı que

Z t

0

sen ω(t−z)H(z−t0)dz =

½

0, t < t0

Rt

t0sen ω(t−z)dz, t ≥t0,

Z t

0

sen ω(t−z)H(z−t0)dz =

½

0, t < t0

1

ω(1cos ω(t−t0) ), t ≥t0,

Se concluye que la soluci´on x(t) en 0≤t <∞ est´a dada por

x(t) = ½

0, t < t0

F0

m ω2(1cosω(t−t0) ), t≥t0.

Esta soluci´on representa un movimiento del oscilador en el cual en ausencia de fuerzas externas la masa permanece en reposo en la posici´on de equilibrio x = 0 hasta el instante t0 cuando empieza a obrar la fuerza constante F0. A partir del instante t0,

la masa inicia una oscilaci´on arm´onica con frecuencia igual a la frecuencia natural ω

del oscilador libre en la cual la masa cada 2π

ω unidades de tiempo se desplaza

2F0 m ω2

unidades de distancia en la direcci´on de la fuerza F0 y vuelve luego a la posici´on de

(15)

5.

Resumen

5.1.

Transformada de Laplace

1. Definici´on: L{f(t)}(s) = R0∞e−s tf(t)dt.

2. Linealidad: L{α f(t) +β g(t)}(s) =αL{f}(s) +βL{g}(s).

3. Translaci´on: si ˆu(s) =L{u(t)}(s) entonces ˆu(s−a) = L{eatu(t)}(s).

4. Translaci´on y truncamiento: L{H(t−a)u(t−a)}(s) =e−asL{u}(s).

5. Derivada n-esima:

L{f0(t)}(s) = sL{f}(s)f(0+).

L{f00(t)}(s) = s2L{f}(s)s f(0+)f0(0+).

L{f(n)(t)}(s) = snL{f}(s)sn−1f(0+)sn−2f0(0+)− · · · −f(n−1)(0+).

6. Transformada de la integral:

LnRatf(r)dr

o

(s) = 1

sL{f}(s) 1s

Ra

0 f(t)dt.

L

   

  

Z t

0

· · ·

Z t

0

| {z }

n-veces

f(t)dt . . . dt

   

  

(s) = 1

snL{f}(s).

R

s L{u}(γ) = L{

u(t)

t }(s).

7. Producto y convoluci´on

L{u}L{v} = L{R0tu(t−y)v(y)dy}.

L{u∗v} = L{u}L{v} , donde (u∗v)(t) =R0tu(t−y)v(y) dy.

8. Transformada de una funci´on peri´odicaf(s) con per´ıodo p > 0

L{f(t)}(s) = Rp

0 e−s tf(t)dt

1−e−p s .

9. Propiedades varias

L{eatf(t)}(s) = L(f)(sa).

L{tnf(t)}(s) = (1)n dn

dsnL{f}(s).

L{H(t−a)g(t)}(s) = e−asL{g(t+a)}(s).

L{f(tt)}(s) = Rs∞L{f}ds , si l´ımt→0+ f(t)

(16)

5.2.

Transformada inversa de Laplace

1. Linealidad de la transformad inversa:

L−1{α f(t) +β g(t)}=αL1{f}+βL1{g}.

2. Translaci´on:

L−1{v(sa)}=easL1{v}.

3. Derivada de la transformada inversa:

L−1{ d

n

dsnv(s)}= (1)

ntnL1{v}.

4. Integral

L−1{v(s)

s } =

Rt

0 L−1{v}(r) dr.

L−1©R

s v(r)dr

ª

= 1

tL−1{v}.

5. Convoluci´on:

L−1{v(s)w(s)}=L1{v} ∗ L1{w}.

A continuaci´on presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace de algunas funciones

L{1} = 1

s , L{δ(t)} = 1

L{eat} = 1

s−a , L{δ(t−a)} = e−as

L{tn} = n!

sn+1 , L{t

n−1eat

(n−1)!} = (s−1a)n (n≥1)

L{sen at} = a

s2+a2 , L{21a3(sen at−atcosat)} = (s2+1a2)2

L{cosat} = s

s2+a2 , L{21a3(sen a t+a tcos a t)} = s 2 a2(s2+a2)2

L{senh at} = a

s2a2 , L{

Rt

0 2tnL−1[(s2+1a2)n] dt} = (s2+a12)n+1

L{coshat} = s

s2a2 , L{2tnL−1[(s2+1a2)n]} = (s2+as2)n+1

Nota:La funci´onδ(t−t0) es la funci´on Delta de Dirac definida como sigue

δ(t−t0) =

½

si t=t0

0 si t6=t0

y adem´as Z

−∞

(17)

Ejercicios

1. Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones a. e2tsen3t, b. 3e−tcos 2t, c.t3sen3t, d.t2etcost,

e. e−3tcos (2t+ 4), f. Rt

arcosr dr, g.sen2t, h. |cost|,

.

2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones a. 1

s(s+1), b. (s−31)2, c. 5

s2(s5)2, d. (sa)(1sb), a, bconstantes,

e. 1

s2+4s+29, f. (s22+1)s 2, g. 1+e

−s

s , h. e

−s

s4+1.

3. Hallar la transformada de Laplace de

f(t) := ½

0, t 1 2

1 +t t > 1 2

, g(t) := ½

t, t≤2 2 t >2 . 4. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on escalera

f(t) =n+ 1, si n < t≤n+ 1, n= 0,1,2, ..., .

5. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace a.dydt + 3y =t sen at y(0) = 1, a constante,

b.ddt22y 2dydt +y =t etsen t y(0) = 0, y0(0) = 0,

c.d2y

dt2 + 2rdydt +ω2y=A δ(t−t0) y(0) = 0, y0(0) = 0, t0 constante,

d.ddt44y +y=

½

0, t≤1

t−1 t >1 y(0) =y0(0) =y00(0) = y000(0) = 0, e.dydt + 2y+R0ty(s)ds= cost y(0) = 1.

Respuestas

1. a.

3

9+(s−2)2 , b.

3(s+1)

4+(1+s)2 , c.

72s3648s

(s2+9)4 , d. 2s

36s2+4

(1+(s−1)2)3 ,

e. (s+3) cos 44+(s+3)22sen4 , f. 2s+(1+s 2)s

(1+s2)2 cosa+sa sen a , g. s(s22+4) , h.

(e−π s+1)s

(eπ s1)(1+s2).

2.

a. 1−e−t , b. 3ett ,

c. 22e5t+5t+5e5tt

25 , d. e

atebt

a−b ,

e. 1

5e−2tsen 5t , f. t sen t ,

g. 1 +H(t−1) , h.1 2e

t1 2 cos

³

π

4 + t√−21

´

1 2e

−t√−1

2 cos

³

3π

4 +t√−21

´

H(t−1).

3. L{f}(s) = e−s2 ¡2+3s

2s2

¢

, L{g}(s) = e2s1

(18)

4. L{f}(s) = Pk=0 e−sk

s .

5. a. 1

(9+a2)2((816a+ 18a2+a4)e−3t−a((9 +a2)t−6) cos a t+ (a29 + 27t+

3a2t)sen a t),

b.y(t) = 2et2etcostett sen t,

c.y(t) = A H2(t−t0)

r2w2(e

(t−t0)(r−√r2w2)

−e(t−t0)(r+√r2−w2)),

d. (t−1 1 2e

t1 2sen(π

4

t1 2) +

1 2e

t1

2sen(3π

4 +

t1

2))H(t−1),

e.y(t) = 1

Figure

Figura 1: Funci´on de Heaviside de salto unitario

Figura 1:

Funci´on de Heaviside de salto unitario p.3
Figura 2: Funci´on encendido-apagado

Figura 2:

Funci´on encendido-apagado p.8
Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina

Figura 3:

Oscilaciones bajo una fuerza repentina p.14

Referencias

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