Taller Señales y Sistemas Transformada de Laplace Usando Matlab

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TALLER SEÑALES Y SISTEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE USANDO TALLER SEÑALES Y SISTEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE USANDO

MATLAB MATLAB

SEBASTIAN EUGENIO PINZON SEBASTIAN EUGENIO PINZON

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER FACUNTAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIAS FACUNTAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIAS

BUCARAMANGA BUCARAMANGA

2017 2017

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TALLER SEÑALES

TALLER SEÑALES Y SISTEMAS Y SISTEMAS TRANSFORMADA DETRANSFORMADA DE LAPLACE USANDOLAPLACE USANDO MATLAB

MATLAB

SEBASTIAN EUGENIO PINZON SEBASTIAN EUGENIO PINZON DOCEN

DOCENTE: WILSON VLADIMITE: WILSON VLADIMIR ANGARITAR ANGARITA MACIAMACIASS

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER FACUNTAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIAS FACUNTAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIAS

BUCARAMANGA BUCARAMANGA

2017 2017

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Tabla de Contenido

Objetivos Objetivos ... 44 Introducción Introducción... 55 Taller Transformada de Laplace...

Taller Transformada de Laplace... 66 Desarrollo Desarrollo ... 77 Desarrollo en MATLAB... Desarrollo en MATLAB... 1010 Código Código ... 1010 Resultados

Resultados Command Command WindowsWindows ... 1111 Conclusiones

Conclusiones... 1313 Bibliografía

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Objetivos

·

· Desarrollar Desarrollar habilihabilidades dades para el para el manejo manejo dede la herla herramiramienta denta de Matle Matlab,ab, parapara resolver problemas propuestos sobre la transformada de Laplace y todas resolver problemas propuestos sobre la transformada de Laplace y todas sussus posibles derivaciones y aplicaciones.

posibles derivaciones y aplicaciones. ·

· Desarrollar el taller proDesarrollar el taller propuesto sobre tpuesto sobre transformada deransformada de Laplace, transforLaplace, transformadamada inversa de Laplace y análisis de sistemas LTI mediante transformada de inversa de Laplace y análisis de sistemas LTI mediante transformada de Laplace de forma escrita y de forma virtual mediante la herramienta de Laplace de forma escrita y de forma virtual mediante la herramienta de Matlab.

Matlab. ·

· Utilizar diversUtilizar diversos comandosos comandos de Matlab para realizar diferde Matlab para realizar diferentes operaentes operacionesciones para calcular aspectos

para calcular aspectos adicionales de la tradicionales de la transformada de Laplace ansformada de Laplace como locomo lo son polos, ceros y los coeficientes para aplicar la transformada inversa de son polos, ceros y los coeficientes para aplicar la transformada inversa de Laplace.

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Introducción

Matlab

Matlab que es que es la abrla abreviaceviación de Mión de MATrix ATrix LABoraLABoratorytory queque es un ses un softwoftware deare de caráctcarácter er interactivo, con el propósito de

interactivo, con el propósito de resolver problemas matemáticos de altresolver problemas matemáticos de alta complejidada complejidad en

en los los campos campos de de la la ingeningenieríiería y a y la la cienciciencia;a; que que se se basan basan todos todos sus sus cálculcálculosos enen matr

matriceices. Cos. Conn MatMatlab llab los cálos cálculoculos se fas se facilcilitaitan porn porque nque no se neco se necesiesitantan sabesaberr dede prog

programramaciación parón para resoa resolvelverlorlos porqs porque solo seue solo se debedebe dede colcolocaocar el probr el problemlema en ela en el entorno de trabajo

entorno de trabajo de forma que de forma que MatlabMatlab lo entienda de lo entienda de forma adecuada como es forma adecuada como es elel caso de Laplace que es una operación de matemática avanzada que es de amplio caso de Laplace que es una operación de matemática avanzada que es de amplio uso en la resoluci

uso en la resoluciónón de ecuacionde ecuaciones diferes diferencialenciales para el análisies para el análisis de señales ys de señales y sistemas que de ser una operación matemática avanzada se resuelve solo sistemas que de ser una operación matemática avanzada se resuelve solo aplicando un comando a la expresión de la señal.

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UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER

Taller

Taller Transfo

Transformada

rmada de La

de Laplace

place

I.

I. P

Pro

ropi

pied

edad

ades

es d

de l

e la t

a tra

ran

nsf

sfor

orm

mad

ada d

a de L

e La

apl

plac

ace.

e.

1. 1. ((Va

Vallor

or 1.

1.5)

5)

Dado la señal x(t) tiene transformada X(s) expresa la transformada de Laplace Dado la señal x(t) tiene transformada X(s) expresa la transformada de Laplace de

de las las siguientes siguientes señales.señales.

(

( )) =

=

1

55 (

( ))

(

( )) =

= 55 ((−

− ))

(

( )) =

=

(

( ))

(

( )) =

=

(

( )) ∗

∗

(

( ))

II

II..

An

Anál

ális

isis

is de

de si

sist

stem

emas

as LT

LTI

I Ut

Util

iliz

izan

ando

do La

Lapl

plac

acee

2. 2. ((Va

Vallor

or 2.

2.0)

0)

Considere un sistema

Considere un sistema LTI LTI en el cual en el cual la entrada x(la entrada x(t) y t) y la salida y(t) la salida y(t) estánestán relacionadas mediante la ecuación diferencial

relacionadas mediante la ecuación diferencial

(

( ))

+

5 5 (

( ))

− 6

− 6 (

( )) =

=

(

( ))

+

+ 2

2 ( )

( )

a.

a. DeDetetermrmininee H(H(s) ys) y el pel patatrórón de pn de pololos y os y ceceroros.s. b.

b. DetDetermermine h(ine h(t) pat) para los sra los siguiguienientes castes casos.os. ·

· El sistema es causalEl sistema es causal ·

· El sistema es estableEl sistema es estable ·

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II

III.

I. Tr

Tran

ansf

sfor

orm

mad

ada d

a de L

e Lap

apllac

acee

3. 3. ((Va

Vallor

or 1.

1.5)

5)

La entrada y

La entrada y salida de un salida de un sistema LTI sistema LTI causal y estable causal y estable estáestá relacionado por relacionado por lala ecuación diferencial. ecuación diferencial.

(

( ))

+

6 6 (

( ))

+ 8

+ 8 (

( )) =

= 2

2 ( )

( )

Determine y(t) si la entrada

(

( )) =

=

(

( ))

Desarrollo

I.

PP

ropiedades de la Transformada de Laplace

(

( )) =

=

1 1 55

⁄⁄

+ 3

[ [ ]] >

> −3

−3

(

( ) =

) = (

(55))

11

55

11 −

− + 3

+ 3

=

11 −

− + 3

+ 3

[ [ ]] >

> 33

(

( ) =

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11 −

− + 3

+ 3

[ [ ]] >

> 33

(

( )

) = −

= −

1 1 55

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=

1 1 55

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> −3

−3

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) =

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1 ⁄⁄

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+ 3))

[ [ ]] >

> −3

−3

(

( )

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= 11(

( ))

22(

( )) =

=

11 −

− + 3

+ 3

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(

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+ 33))

=

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(−

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( +

+ 3)

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3)(

( +

+ 3)

3)

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− 3 <

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< 33

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II

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An

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ális

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stem

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LTI u

I usa

sand

ndo L

o Lap

apla

lace

ce

a. a. _H(s)_H(s)

(

( )) + 5

+ 5 (

( )) − 6

− 6 (

( )) =

=

(

( )) +

+ 2

2 (

( ))

(

( ){

){ +

+ 5

5 −

− 66}} =

= (

( )){{ + 2

+ 2}}

(

( )) =

=

(

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(

( ))

=

+ 2

+

+ 5

5 −

− 66

b.

b. _{Polos y Ceros}_{Polos y Ceros}..

+

+ 5

5 −

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6 =

= (

( +

+ 66))(

( −

− 11))

=

= −

−66; ; =

= 11

+ 2 = 0

= ±

= ±√

√ −2 = ±

−2 = ±√

√ 22

c c.. _H(t)._H(t).

(

( )) =

= 1 +

1 +

− 5 + 8

+

+ 5

5 −

− 66

(

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1 +

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(

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= −

38

77 ; ;

=

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= (

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−

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+

3

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III

III..

An

Anál

ális

isis

is de

de si

sist

stem

emas

as LT

LTI

I Ut

Util

iliz

izan

ando

do La

Lapl

plac

acee

XX((ss)) =

=

11 s +

s + 22

Re

Re[[ss]] >

> −2

−2

s

s YY((ss)) +

+ 66ssYY((ss)) + 8Y

+ 8Y((ss)) =

= 2X

2X((ss))

YY((ss){

){s

s +

+ 6s

6s +

+ 88}} = 2X(s)

= 2X(s)

H

H((ss)) =

=

Y(s)

X(s)

=

22 s

s +

+ 6s

6s +

+ 88

YY((ss)) = H(s)X(s)

= H(s)X(s)

YY((ss)) =

=

22 s

s +

+ 6s

6s +

+ 88

11 s + 2

s + 2

YY((ss)) =

=

22 (s +

(s + 4)(

4)(ss + 2)

+ 2)

YY((ss)) =

=

A

(s + 4)

+

B1

s + 2

+

B2

(s

(s + 2

+ 2))

A =

1

22 ; ; B

B1

1 =

= 11; ; B

B2

2 =

= −

−

11

22 YY((ss)) =

=

1 1 22

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(s + 4)

+

11 s + 2

s + 2

+

−1

−1 22

⁄⁄

(s

(s + 2

+ 2))

(

( )) =

=

1

22 (

( )) +

+

(

( )) −

−

1

22 (

( ))

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Desarrollo en MATLAB

Código

disp(

disp('I.Transformada de Laplace''I.Transformada de Laplace')) syms syms t s t s X(t)= 1/5*exp(-3*t); X(t)= 1/5*exp(-3*t); X1(t)= laplace(X); X1(t)= laplace(X); x2(t)=5*X(-t); x2(t)=5*X(-t); X2(t)=laplace(x2); X2(t)=laplace(x2); x3(t)=t*X(t); x3(t)=t*X(t); X3(t)=laplace(x3); X3(t)=laplace(x3); X4(t)=X2(t)*X3(t)*s; X4(t)=X2(t)*X3(t)*s; pretty(X1(t)) pretty(X1(t)) pretty(X2(t)) pretty(X2(t)) pretty(X3(t)) pretty(X3(t)) pretty(X4(t)) pretty(X4(t)) disp(

disp('II. Funcion h(s)''II. Funcion h(s)')) a(s)=s^2+2; a(s)=s^2+2; b(s)=s^2+5*s-6; b(s)=s^2+5*s-6; h(s)=a(s)/b(s); h(s)=a(s)/b(s); pretty(h(s)) pretty(h(s)) disp (

disp ('Ceros y Polos''Ceros y Polos')) num=[1 0 2]; num=[1 0 2]; den=[1 5 -6]; den=[1 5 -6]; Ceros=roots(num) Ceros=roots(num) Polos=roots(den) Polos=roots(den) disp(

disp('Transformada Inversa de Laplace''Transformada Inversa de Laplace')) H(t)=ilaplace(h(s));

H(t)=ilaplace(h(s)); pretty(H(t))

pretty(H(t)) disp(

disp('III. Y(s) apartir de X(s)''III. Y(s) apartir de X(s)')) xa(t)=exp(-2*t); xa(t)=exp(-2*t); Xa(t)=laplace(xa(t)); Xa(t)=laplace(xa(t)); pretty(Xa(t)) pretty(Xa(t)) b2(s)=s^2+6*s+8; b2(s)=s^2+6*s+8; h2(s)=2/b2(s); h2(s)=2/b2(s); pretty(h2(t)) pretty(h2(t)) Y(s)=Xa(t)*h2(s); Y(s)=Xa(t)*h2(s); pretty(Y(s)) pretty(Y(s)) disp(

disp('Transformada Inversa de Laplace''Transformada Inversa de Laplace')) Y(t)=ilaplace(Y(s));

Y(t)=ilaplace(Y(s)); pretty(Y(t))

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Resultados Command Windows

Figura 1 Figura 1

Figura 2 Figura 2

(22)

(23)

Figura 3 Figura 3

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Conclusiones

·

El uso de herramientas web El uso de herramientas web como de softwcomo de software,are, resulta muy resulta muy práctica para práctica para elel desarr

desarrolloollo de prde problemaoblemass matemámatemáticos ticos con es con es el caso el caso de la de la transtransformformada deada de Laplace ya que involucra graficación y análisis de señales porque Matlab nos Laplace ya que involucra graficación y análisis de señales porque Matlab nos ofrece una perspectiva visual y exacta del problema.

ofrece una perspectiva visual y exacta del problema.

·

La complejidad de las señales a las que se busca su transformada enLa complejidad de las señales a las que se busca su transformada en Matla

Matlab,b, se ve reflejse ve reflejado en la complado en la complejidad deejidad del código que se empll código que se emplee paraee para expres

expresar dichaar dicha señal, yaseñal, ya que no es que no es simplsimplementemente colocar litere colocar literalmenalmente la señal;te la señal; para obten

para obtener su transfer su transformada de Laplaormada de Laplacece sino exprsino expresar la señal en Matlesar la señal en Matlabab de forme que el pr

de forme que el programa la entienda deograma la entienda de la forma que el usuarila forma que el usuario quiere y noo quiere y no generar errores ni transformadas de señales erróneas.

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Bibliografía

·

· Ambardar, Ambardar, Ashok.Ashok. Procesamiento Procesamiento digital digital de de señales señales analógicas analógicas y y digitales.digitales. Segunda edición. THOMSON LEARNING, México, 2002.

Segunda edición. THOMSON LEARNING, México, 2002. ·

· Alan Alan V. OppenheV. Oppenheim, Alan im, Alan S. Willsky, S. Willsky, S S Hamid Nawab. Hamid Nawab. Señales y Señales y sistemas.sistemas. Segunda edición. PREANCE HALL, México, 1994.

Segunda edición. PREANCE HALL, México, 1994. ·

· Edward W. Kamen, BonnEdward W. Kamen, Bonnie S.Heck.ie S.Heck. FundamFundamentos de señalentos de señales y sistemaes y sistemass usan

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