La transformada de Laplace

(1)

La transformada de Laplace

J. Luis A. Yebra, 2004

Traducci´

o: Cristina Dalf´

o

Revisi´

o febrer 2011: Cristina Dalf´

o, Margarida Espona, Miquel Rius

La transformada de Laplace ´

es un m`

etode directe i potent de resoluci´

o de problemes

d’equacions i sistemes d’equacions diferencials lineals amb coeficients constants i uns valors

inicials donats.

L’´

us de la transformada de Laplace en aquest context, i en particular la seva aplicaci´

o

en problemes d’enginyeria el`

ectrica, no va comen¸car fins a la d`

ecada de 1930 —un segle i

mig despr´

es que el matem`

atic, astr`

onom i f´ısic franc`

es Pierre-Simon Laplace introdu´ıs la

seva transformada— com a conseq¨

u`

encia dels treballs de Van der Pol i Doetsch, que va

fer abandonar el c`

alcul operacional de Heaviside d’aplicaci´

o m´

es restringida i inc`

omoda i

mancada aleshores d’una justificaci´

o adequada.

Presentem el m`

etode de la transformada de Laplace simplement com un artifici matem`

a-tic que ens permet transformar una equaci´

o diferencial, conjuntament amb les condicions

inicials adequades, en una equaci´

o algebraica. Aix´ı, el seu ´

us pot assimilar-se al dels

logaritmes cosa que ens permet, per exemple, reduir el problema de calcular el producte

de dos nombres al problema m´

es simple de sumar els seus logaritmes. En tots dos casos,

hem de fer primer una transformaci´

o i, posteriorment, la transformaci´

o inversa.

En particular, estudiarem l’aplicaci´

o al cas d’equacions diferencials amb termes

dis-continus, en la qual la transformada de Laplace ´

es especialment ´

util.

1 La transformada de Laplace

Comencem definint formalment la transformada de Laplace d’una funci´

o f real.

Definici´

o 1 Sigui f (t) una funci´

o real definida per a 0 ≤ t < ∞. La transformada de

Laplace de f (t), que denotem per L{f (t)} o per F (s), ´

es la funci´

o de variable real s:

F (s) = L{f (t)} =

Z

∞ 0

e

−st

f (t) dt

= lim

A→+∞

Z

A 0

e

−st

f (t) dt

.

(1)

Notaci´

o: Segons el context, utilitzarem alguna de les notacions seg¨

uents:

F (s) = L{f (t)},

f (t) = L

−1

{F (s)},

f (t) ↔ F (s).

Respectivament, diem que F (s) ´

es la transformada de Laplace de f (t), que f (t) ´

es la

transformada inversa o antitransformada de F (s), o que f (t) i F (s) s´

on una parella

(2)

“funci´

o - transformada”. (En el Teorema 2 veurem que l’antitransformada ´

es ´

unica en

certes condicions.)

Exemple 1.1.

f (t) = 1

L{1} =

Z

∞ 0

e

−st

dt = lim

A→+∞

Z

A 0

e

−st

dt = lim

A→+∞

1 − e

−sA

s

=

1 s

,

si s > 0, i sense soluci´

o si s ≤ 0.

D’ara endavant, escriurem directament

R

∞

0

en lloc de lim

A→+∞

R

A

0

.

Exemple 1.2.

f (t) = t. Per a s > 0, integrant per parts obtenim:

L{t} =

Z

∞ 0

te

−st

dt = −t

e

−st

s

∞ 0

+

1 s

Z

∞ 0

e

−st

dt = 0 +

1 s

=

1 s

2

(s > 0).

Exemple 1.3.

f (t) = t

n

. De nou, per a s > 0, integrant per parts trobem:

L{t

n

} =

Z

∞ 0

t

n

e

−st

dt = −t

n

e

−st

s

∞ 0

+

1 s

Z

∞ 0

nt

n−1

e

−st

dt =

n

s

L{t

n−1

_}

i iterant arribem a

L{t

n

_{} =}

n

s

L{t

n−1

_{} =}

n

s

n − 1

s

L{t

n−2

_{} = · · · =}

n!

s

n

L{1} =

n!

s

n+1

(s > 0).

Exemple 1.4.

f (t) = e

αt

L{e

αt

_{} =}

Z

∞ 0

e

−st

e

αt

dt =

Z

∞ 0

e

−(s−α)t

dt =

1 s − α

(s > α).

Exemple 1.5.

f (t) = cos βt i g(t) = sin βt.

Podem determinar les seves transformades directament com en els exemples anteriors

(feu-ho com a exercici). Tanmateix, resulta m´

es c`

omode utilitzar la f´

ormula d’Euler,

e

jβt

= cos βt + j sin βt, si acceptem que el resultat de l’exemple anterior ´

es v`

alid quan en

lloc d’una constant real α tenim un nombre complex α + jβ:

L{e

(α+jβ)t

_{} =}

Z

∞

0

e

−st

e

(α+jβ)t

dt =

1 s − α − jβ

(s > α).

(2)

Observem que aix`

o significa que ampliem la definici´

o de la transformada de Laplace al

cas de funcions complexes de variable t real. En particular, per a la funci´

o e

jβt

= cos βt +

j sin βt obtenim

L{cos βt} + jL{sin βt} =

Z

∞ 0

e

−st

cos βt dt + j

Z

∞ 0

e

−st

sin βt dt

=

Z

∞ 0

e

−st

(cos βt + j sin βt) dt

=

Z

∞ 0

e

−st

e

jβt

dt =

1 s − jβ

=

s + jβ

s

2

_{+ β}

2

(s > 0).

(3)

Igualant les parts real i imagin`

aria arribem a

L{cos βt} =

s

2

_{+ β}

2

,

L{sin βt} =

β

s

2

_{+ β}

2

,

(s > 0).

Exemple 1.6.

La funci´o f (t) = et2 _{no admet cap transformada de Laplace, ja que per a qualsevol}

s, quan A → +∞,

Z A

0

e−stet2 dt −→ ∞. La integral R∞

0 no existeix per a cap valor de s. En efecte, fixat s, tenim e

−st_et2 _{= e}t(t−s) _{> e}t _{per a}

t > s + 1, i per tant, per a A > s + 1 Z A 0 e−stet2 dt > Z A s+1 etdt = eA− es+1−→ ∞ quan A → +∞.

Com podem observar en aquests exemples, la transformada de Laplace d’una funci´

o

f (t) pot no existir per a alguns valors de s ∈ R, i fins i tot, com en el darrer exemple, pot

passar que no existeixi per a cap valor de s.

Com que la transformada de Laplace està definida mitjan¸cant una integral impròpia, per assegurar l’existència de la transformada de Laplace primer hem d’assegurar l’existència per a cada A > 0 de la integralRA

0 e

−st_{f (t) dt. Per a aix`}_{o nom´}_{es cal que la funci´}_{o f a cada interval}

finit 0 ≤ t ≤ A sigui cont´ınua a trossos. Després necessitem la convergència de la integral en l’interval (0, ∞), és a dir, l’existència del l´ımit

lim

A→∞

Z A

0

e−stf (t) dt

per a certs valors de s que constituiran aleshores el domini de definició de la funció transfor-mada F . Anem a veure que si f és una funció d’ordre exponencial γ, és a dir, si existeix una constant M per a la qual

|f (t)| ≤ M eγt_, _{0 ≤ t < ∞,} ₍₃₎

la integral convergeix per a tot s > γ. En efecte, aleshores tindrem

|e−stf (t)| = e−st|f (t)| ≤ M e−steγt= M e−(s−γ)t, 0 ≤ t < ∞, i, per tant, per a s > γ,

Z A 0 |e−stf (t)| dt ≤ Z A 0 M e−(s−γ)tdt ≤ M Z ∞ 0 e−(s−γ)tdt = M s − γ. (4) Aleshores, la integral R∞ 0 e

−st_{f (t) dt ´}_{es absolutament convergent i, per tant, convergent. A}

m´es, a partir del c`alcul anterior obtenim que per a s > γ |F (s)| = Z ∞ 0 e−stf (t) dt ≤ Z ∞ 0 |e−st_{f (t)| dt ≤ M}Z ∞ 0 e−(s−γ)tdt = M s − γ i, d’aqu´ı, lim s→+∞F (s) = 0. (5)

(4)

Teorema 1 (d’exist`

encia de la transformada de Laplace): Donada una funci´

o f (t), 0 ≤

t < ∞, si

(i) f ´

es cont´ınua a trossos a cada interval finit,

(ii) f ´

es d’ordre exponencial γ (⇔ |f (t)| ≤ M e

γt

_{, 0 ≤ t < ∞),}

aleshores la seva transformada de Laplace existeix per a s > γ.

Dels exemples anteriors, e

αt

_´

_{es `}

_{obviament d’ordre exponencial α i la seva transformada}

existeix per a s > α, mentre que cos t ´

es d’ordre exponencial 0, ja que | cos t| ≤ 1 = 1e

0t

_,

i la seva transformada existeix per a s > 0.

Anomenarem funcions admissibles a les funcions que satisfan les condicions (i) i (ii)

(per a algun γ). La classe de les funcions admissibles ´

es suficientment `

amplia per a la

majoria de les aplicacions. Per exemple, inclouen els polinomis i les funcions peri`

odiques

cont´ınues a trossos en cada per´ıode. A m´

es, la suma i el producte de funcions admissibles

s´

on funcions admissibles.

D’ara endavant, per a una funci´

o admissible f d’ordre exponencial γ considerarem F (s)

definida nom´

es per a s > γ sense explicitar-ho. A m´

es, com que |e

−st

f (t)| ≤ M e

−(s−γ)t

,

per a s > γ tenim

lim

t→+∞

e

−st

f (t) = 0,

(6)

cosa que utilitzarem sovint.

2 Primeres propietats i aplicaci´

o a les equacions diferencials

Tal com suggereix l’expressi´

o L{f (t)} = F (s), L ´

es un operador que transforma “funcions

de t” en “funcions de s”. A m´

es, ´

es un operador lineal:

Propietat 1 (de linealitat). Si f (t) i g(t) s´

on funcions admissibles i a i b s´

on dues

constants, la funci´

o af (t) + bg(t) tamb´

e ´

es admissible i

L{af (t) + bg(t)} = a L{f (t)} + b L{g(t)}.

(7)

Demostraci´

o:

En efecte,

L{af (t) + bg(t)} =

Z

∞ 0

e

−st

(af (t) + bg(t)) dt

= a

Z

∞ 0

e

−st

f (t) dt + b

Z

∞ 0

e

−st

g(t) dt

= a L{f (t)} + b L{g(t)}.

La utilitat de la transformada de Laplace en la resoluci´

o d’equacions diferencials es basa

en la seg¨

uent propietat de derivaci´

o, que se sol resumir (de manera inexacta) dient que

“derivar una funci´

o f (t) equival a multiplicar la seva transformada F (s) per s”. Tenint

en compte que si f

0

(t) ´

es admissible aleshores f (t) tamb´

e ho ´

es, tenim:

Propietat 2 (de derivaci´

o). Si f

0

(t) ´

es admissible

(5)

En general, si f

(n)

_{(t) ´}

_{es admissible, aleshores}

L{f

(n)

_{(t)} = s}

n

_{F (s) − s}

n−1

_{f (0) − · · · − sf}

(n−2)

_{(0) − f}

(n−1)

_(0).

₍₉₎

Demostraci´

o: Integrant per parts i considerant (6) tenim

L{f

0

(t)} =

Z

∞ 0

e

−st

f

0

(t) dt = e

−st

f (t)

∞ 0

+ s

Z

∞ 0

e

−st

f (t) dt = −f (0) + sF (s).

Per a f

00

(t) tenim

L{f

00

(t)} = sL{f

0

(t)} − f

0

(0) = s (sL{f (t)} − f (0)) − f

0

(0) = s

2

L{f (t)} − sf (0) − f

0

(0).

En general, per inducci´

o,

L{f

(n)

_{(t)} = sL{f}

(n−1)

_{(t)} − f}

(n−1)

₍₀₎

= s s

n−1

F (s) − s

n−2

f (0) − · · · − f

(n−2)

(0) − f

(n−1)

₍₀₎

= s

n

F (s) − s

n−1

f (0) − · · · − sf

(n−2)

(0) − f

(n−1)

(0).

Observació. Escrivim f (0) (i anàlogament f0(0), etc.) suposant que f (t) està definida per a t = 0. De no ser aix´ı, com que f és admissible i per tant cont´ınua a trossos, ha d’existir f (0+_{) = lim} t→0f (t). Aleshores tenim L{f0(t)} = lim →0 Z ∞ e−stf0(t) dt = lim →0 e−stf (t) ∞ + s Z ∞ e−stf (t) dt = −f (0+) + sF (s).

Utilitzant ´

unicament les dues propietats anteriors ja podem resoldre problemes

d’equa-cions diferencials lineals amb coeficients constants i valors inicials.

Exemple 2.1.

Trobeu la soluci´

o del problema de valor inicial

y

00

+ y = 5e

2t

,

y(0) = 2,

y

0

(0) = 1.

Si designem L{y(t)} per Y (s), tenim

L{y

00

+ y} = L{y

00

} + L{y} = s

2

_{Y (s) − sy(0) − y}

0

(0) + Y (s)

= (s

2

+ 1)Y (s) − 2s − 1,

L{5e

2t

} =

5 s − 2

.

Igualant les dues transformades obtenim s

2

Y (s) − 2s − 1 + Y (s) = 5/(s − 2), d’on podem

a¨ıllar Y (s):

Y (s) =

1 s

2

_{+ 1}

5 s − 2

+ 2s + 1

=

2s

2

_{− 3s + 3}

(s

2

_{+ 1)(s − 2)}

.

Ara nom´

es cal trobar quina funci´

o t´

e aquesta transformada Y (s). Si descomponem la

funci´

o racional Y (s) en fraccions simples obtenim (veurem aquest proc´

es amb detall a la

secci´

o 4):

Y (s) =

2s

2

_{− 3s + 3}

(s

2

_{+ 1)(s − 2)}

=

s − 1

s

2

_{+ 1}

+

1 s − 2

=

s

2

_{+ 1}

−

1 s

2

_{+ 1}

+

1 s − 2

.

(6)

En els termes de la dreta de l’equaci´

o podem recon`

eixer les transformades seg¨

uents:

s

2

_{+ 1}

= L{cos t},

1 s

2

_{+ 1}

= L{sin t},

1 s − 2

= L{e

2t

_}.

Amb la propietat de linealitat obtenim

Y (s) = L{cos t − sin t + e

2t

},

amb el que arribem a la conclusi´

o que

y(t) = cos t − sin t + e

2t

,

tenint en compte que si les transformades de dues funcions coincideixen, aleshores les

funcions tamb´

e han de coincidir. Aix`

o ´

es aix´ı com a conseq¨

u`

encia del resultat seg¨

uent (la

demostraci´

o del qual ometem).

Teorema 2 (de la unicitat de la transformada de Laplace). Si f i g s´

on funcions

admis-sibles i F (s) = G(s) per a tot s prou gran, aleshores f (t) = g(t) en cada punt t on les

dues funcions s´

on cont´ınues. En particular, si f i g s´

on cont´ınues per a tot t ≥ 0, f ≡ g.

Gr`

acies a aquest resultat podrem invertir la transformada de Laplace, ´

es a dir, podrem

determinar f (t) a partir de F (s), en molts casos (en particular, si F (s) ´

es una funci´

o

racional, ´

es a dir, el quocient de dos polinomis: F (s) = P (s)/Q(s)), sense que haguem

de rec´

orrer a una f´

ormula general d’inversi´

o que requereix integraci´

o en el camp complex.

Aleshores nom´

es caldr`

a descompondre la funci´

o donada F (s) en sumands que siguin

trans-formades de funcions conegudes com hem fet en l’exemple anterior. Aix`

o requereix saber

descompondre en fraccions simples qualsevol funci´

o racional, cosa que estudiarem m´

es

en-davant, i de disposar d’una llista adequada de parelles f (t) ↔ F (s). Per facilitar aquestes

tasques desenvolupem les propietats seg¨

uents.

3 Altres propietats de la transformada de Laplace

Suposarem sempre que f (t) ´

es una funci´

o admissible amb transformada F (s).

Propietat 3 (d’integraci´

o):

L

Z

t 0

f (u) du

=

F (s)

s

.

(10)

Demostraci´

o:

Amb g(t) =

Z

t 0

f (u) du tenim que g

0

(t) = f (t), g(0) = 0. Utilitzant la

propietat de derivaci´

o obtenim

F (s) = L{g

0

(t)} = sL{g(t)} = sL

Z

t 0

f (u) du

.

Propietat 4 (de multiplicaci´

o per t):

L{tf (t)} = −

d

(7)

Demostraci´

o:

d

ds

F (s) =

d

ds

Z

∞ 0

e

−st

f (t) dt =

Z

∞ 0

e

−st

(−t)f (t) dt = −L{tf (t)}.

Propietat 5 (de divisi´

o per t). Si f (t)/t ´

es admissible, aleshores

L

f (t)

t

=

Z

∞ s

F (u) du.

(12)

Demostraci´

o:

Amb g(t) = f (t)/t, tenim que f (t) = tg(t). D’acord amb la propietat

anterior F (s) = −

d

ds

G(s), on G(s) = L{g(t)}. Integrant, obtenim

Z

∞ s

F (u) du =

lim

A→+∞

Z

A s

F (u) du = lim

A→+∞

Z

A s

−

d

du

G(u) du

=

lim

A→+∞

(G(s) − G(A)) = G(s) = L

f (t)

t

,

on hem utilitzat (5): lim

A→+∞

G(A) = 0.

Observem que les propietats 4 i 5 s´

on, en un cert sentit, rec´ıproques de les propietats

2 i 3. El mateix passa amb les propietats 6 i 7, les quals de vegades s´

on anomenades

propietats de translaci´

o.

Propietat 6 (de multiplicaci´

o per e

αt

_):

L{e

αt

_{f (t)} = F (s − α).}

₍₁₃₎

Demostraci´

o:

L{e

αt

_{f (t)} =}

Z

∞ 0

e

−st

e

αt

f (t) dt =

Z

∞ 0

e

−(s−α)t

f (t) dt = F (s − α).

Amb la notaci´

o f (t − a) u(t − a), que ´

es justificar`

a m´

es endavant, tenim la propietat

seg¨

uent.

Propietat 7 (de translaci´

o).

f (t−a)u(t−a) =

(

f (t − a)

si t ≥ a

0 si t < a

=⇒

L{f (t − a)u(t − a)} = e

−sa

F (s).

(14)

H H H H H H H H H H

f (t)

f (t − a) u(t − a)

0

0 a

Demostraci´

o:

Fent el canvi t − a = τ (o t = τ + a) en la integral obtenim

L{f (t − a) u(t − a)} =

Z

∞ a

e

−st

f (t − a) dt =

Z

∞ 0

e

−sτ

e

−sa

f (τ ) dτ = e

−sa

F (s).

(8)

Propietat 8 (de canvi d’escala). Per a a > 0,

L{f (at)} =

1 a

F

s

a

.

(15)

Demostraci´

o:

Fent el canvi at = τ obtenim

L{f (at)} =

Z

∞ 0

e

−st

f (at) dt =

Z

∞ 0

e

−sτ /a

f (τ )

dτ

a

=

1 a

Z

∞ 0

e

−(s/a)τ

f (τ ) dτ =

1 a

F

s

a

.

Si f ´

es una funci´

o peri`

odica de per´ıode T , f (t + T ) = f (t), la propietat seg¨

uent permet

calcular la seva transformada integrant en un ´

unic per´ıode.

Propietat 9 (per a funcions peri`

odiques). Si f (t + T ) = f (t),

L{f (t)} =

1 1 − e

−sT

Z

T 0

e

−st

f (t) dt.

(16)

Demostraci´

o:

F (s) =

Z

∞ 0

e

−st

f (t) dt =

Z

T 0

e

−st

f (t) dt +

Z

∞ T

e

−st

f (t) dt.

Fent el canvi t = T + τ en la segona integral obtenim

Z

∞ T

e

−st

f (t) dt =

Z

∞ 0

e

−s(T +τ )

f (T + τ ) dτ = e

−sT

Z

∞ 0

e

−sτ

f (τ ) dτ = e

−sT

F (s)

i, per tant,

F (s) =

Z

T 0

e

−st

f (t) dt + e

−sT

F (s)

d’on nom´

es cal a¨ıllar F (s).

Finalment, anem a veure la propietat que relaciona els comportaments de f (t) i F (s)

en 0 i ∞, i de la qual l’apartat a) ja l’hem obtingut a (5) per a qualsevol funci´

o admissible.

Propietat 10 (dels valors inicial i final).

a)

lim

s→∞

F (s) = 0.

A m´

es, si f

0

(t) ´

es admissible i existeixen els l´ımits indicats, tenim

b)

f (0

+

) = lim

t→0

f (t) = lim

s→+∞

sF (s).

(17)

c)

lim

t→+∞

f (t) = lim

s→0

sF (s).

(18)

Demostració: Tant b) com c) són conseqüència de la propietat de derivació. A partir de la formulació

L{f0(t)} = sF (s) − f (0+) = sF (s) − lim

(9)

i, com que f0(t) ´es admissible es compleix que L{f0(t)} → 0 quan s → +∞, obtenim b). D’altra banda, a partir de la formulaci´o

L{f0(t)} = lim

A→+∞

Z A

0

e−stf0(t) dt = sF (s) − f (0),

fent s → 0 els termes de la dreta, obtenim lims→0sF (s) − f (0), mentre que en l’expressi´o del

mig obtenim lim s→0 " lim A→+∞ Z A 0 e−stf0(t) dt # = lim A→+∞ " lim s→0 Z A 0 e−stf0(t) dt # = lim A→+∞ Z A 0 f0(t) dt = lim

A→+∞f (A) − f (0) = limt→+∞f (t) − f (0).

De la igualtat dels dos l´ımits arribem a c). (En el darrer desenvolupament hem utilitzat que existeix limt→+∞f (t) i tamb´e que ´es possible intercanviar l’ordre dels l´ımits quan A → +∞

i quan s → 0 perqu`e F (s) est`a definida en un entorn de s = 0.)

A la taula A hem resumit aquestes propietats, mentre que la taula B cont´

e una llista

de les funcions m´

es usuals amb les seves corresponents transformades. A les dues taules hi

ha resultats que es deduiran posteriorment. Les sis primeres parelles funci´

o-transformada

havien estat obtinguts en els exemples inicials. A continuaci´

o, obtindrem les cinc parelles

seg¨

uents amb l’´

us de les propietats anteriors.

(10)

A: Propietats de la transformada de Laplace

F (s) =

Z

∞

0

e

−st

f (t) dt

1. Linealitat:

L{af (t) + bg(t)} = aL{f (t)} + bL{g(t)}.

2. Derivaci´

o: L{f

0

(t)} = sF (s)−f (0), L{f

00

(t)} = s

2

F (s)−sf (0)−f

0

(0),

L{f

(n)

(t)} = s

n

F (s) − s

n−1

f (0) − · · · − sf

(n−2)

(0) − f

(n−1)

(0).

3. Integraci´

o:

L

Z

t 0

f (u) du

=

F (s)

s

.

4. Multiplicaci´

o per t:

L{tf (t)} = −

d

ds

F (s).

5. Divisi´

o per t:

L

f (t)

t

=

Z

∞ s

F (u) du.

6. Multiplicaci´

o per e

αt

:

L{e

αt

f (t)} = F (s − α).

7. Translaci´

o:

L{f (t − a) u(t − a)} = e

−as

F (s).

8. Canvi d’escala:

L{f (at)} =

1 a

F

s

a

(a > 0).

9. Funcions peri`

odiques:

L{f (t)} =

1 1 − e

−sT

Z

T

0

e

−st

f (t) dt.

10. Valors inicial i final:

a) lim

s→+∞

F (s) = 0.

b) f (0

+

) = lim

t→0

f (t) = lim

s→+∞

sF (s).

c) lim

t→+∞

f (t) = lim

s→0

sF (s).

11. Producte de convoluci´

o:

L{f (t) ∗ g(t)} = L

Z

t 0

f (u)g(t − u) du

= F (s)G(s)

B: Taula de transformades de Laplace

f (t)

F (s)

f (t)

F (s)

f (t)

F (s)

1

1_s

e

(α+jβ)t 1 s−α−jβ

t sin βt

2βs (s2_+β2₎2

t

n _sn+1n!

e

αt

_{cos βt}

s−α (s−α)2_+β2

u(t)

1 s

e

αt _s−α1

e

αt

_{sin βt}

β (s−α)2_+β2

u(t − a)

e−as s

cos βt

_s2_+βs 2

t

n

_e

αt n! (s−α)n+1

δ(t)

1 sin βt

_s2_+ββ 2

t cos βt

s2−β2 (s2_+β2₎2

δ(t − a)

e

−as

(11)

Exemple 3.1.

Utilitzant la propietat 6

L{cos βt} =

s

2

_{+ β}

2

=⇒

L{e

αt

cos βt} =

s − α

(s − α)

2

_{+ β}

2

,

L{sin βt} =

β

s

2

_{+ β}

2

=⇒

L{e

αt

_{sin βt} =}

β

(s − α)

2

_{+ β}

2

,

L{t

n

_{} =}

n!

s

n+1

=⇒

L{e

αt

_t

n

_{} =}

n!

(s − α)

n+1

.

Exemple 3.2.

Utilitzant la propietat 4

L{t cos βt} = −

d

ds

L{cos βt} = −

d

ds

s

2

_{+ β}

2

=

s

2

_{− β}

2

(s

2

_{+ β}

2

₎

2

,

L{t sin βt} = −

d

ds

L{sin βt} = −

d

ds

β

s

2

_{+ β}

2

=

2βs

(s

2

_{+ β}

2

₎

2

.

Exemple 3.3.

Naturalment, l’´

us de les propietats anteriors pot reiterar-se. Aix´ı, per

obtenir la transformada de la funci´

o

Z

t 0

e

−u

u sin u du

n’hi ha prou a aplicar successivament les propietats 4, 6 i 3 a partir de la transformada

de la funci´

o f (t) = sin t:

L{sin t} =

1 s

2

_{+ 1}

⇒

L{t sin t} =

2s

(s

2

_{+ 1)}

2

⇒

L{e

−t

t sin t} =

2(s + 1)

((s + 1)

2

_{+ 1)}

2

⇒

L

Z

t 0

e

−u

u sin u du

=

2(s + 1)

s((s + 1)

2

_{+ 1)}

2

.

4 Transformada inversa a partir de la descomposici´

o en

frac-cions simples

En general, per trobar la transformada inversa d’una funci´

o F (s) caldria considerar s com

una variable complexa i integrar en el pla complex, per`

o afortunadament en la majoria

de les aplicacions la transformada de Laplace ´

es una funci´

o racional F (s) = P (s)/Q(s).

En aquest cas ´

es f`

acil invertir la transformada pel m`

etode de descomposici´

o en fraccions

simples, el qual desenvolupem a continuaci´

o.

Sigui F (s) = P (s)/Q(s), on P (s) i Q(s) s´

on polinomis en s amb coeficients reals i amb

grau(P ) <grau(Q) (recorddem la propietat 10 a): lim

s→+∞

F (s) = 0). En primer lloc,

veurem la inversi´

o de la transformada de Laplace a partir de la descomposici´

o

anome-nada real— ´

es la mateixa que es fa en el c`

alcul de primitives de funcions racionals— i,

posteriorment, estudiarem la inversi´

o a partir de la descomposici´

o complexa.

Totes dues descomposicions es basen en la factoritzaci´

o del polinomi Q(s), per`

o mentre

que en la descomposici´

o real un terme com s

2

− 2s + 2 ja no pot factoritzar-se perqu`e no t´e

arrels reals, en la descomposici´

o complexa el podem escriure com (s − 1 − 2j)(s − 1 + 2j).

(12)

Recordem tamb´

e que, d’acord amb el Teorema Fonamental de l’ `

Algebra, un polinomi de

grau n t´

e exactament n arrels complexes (tenint en compte la seva multiplicitat), i que si

a = α+jβ ´

es una arrel complexa d’un polinomi amb coeficients reals, aleshores a = α−jβ

tamb´

e ´

es arrel i amb la mateixa multiplicitat que a.

4.1 Descomposici´

o real

Considerem per separat el cas amb arrels reals i el corresponent a les arrels complexes de

l’equaci´

o Q(s) = 0.

1. Si α ´

es una arrel real de Q(s) amb multiplicitat m, en la descomposici´

o en fraccions

simples de F (s) apareixen els termes

A

1

s − α

,

A

2

(s − α)

2

,

· · · ,

A

m

(s − α)

m

.

En general, tenim

A

k

(s − α)

k

=

A

k

(k − 1)!

(s − α)

k

= L

A

k

(k − 1)!

t

k−1

_e

αt

1 ≤ k ≤ m.

2. Si α + jβ i α − jβ s´

on arrels complexes de Q(s) amb multiplicitat m, obtenim els

termes

A

1

s + B

1

(s − α)

2

_{+ β}

2

,

A

2

s + B

2

((s − α)

2

_{+ β}

2

₎

2

,

· · · ,

A

m

s + B

m

((s − α)

2

_{+ β}

2

₎

m

.

Per invertir el primer, si recordem que L{e

αt

cos βt} =

_(s−α)s−α2_+β2

i L{e

αt

_{sin βt} =}

β (s−α)2_+β2

, obtenim

A

1

s + B

1

(s − α)

2

_{+ β}

2

=

A

1

(s − α) + A

1

α + B

1

(s − α)

2

_{+ β}

2

= L

A

1

e

αt

cos βt +

A

1

α + B

1

β

e

αt

_{sin βt}

.

An`

alogament, podem fer el c`

alcul del terme seg¨

uent de la descomposici´

o a partir de

L{te

αt

_{sin βt} =}

2β(s−α)

((s−α)2_+β2₎2

i

L{e

αt

_{sin βt − βte}

αt

_{cos βt} =}

β

(s − α)

2

_{+ β}

2

− β

(s − α)

2

_{− β}

2

((s − α)

2

_{+ β}

2

₎

2

=

2β

3

((s − α)

2

_{+ β}

2

₎

2

.

El cas dels termes successius no el fem perqu`

e les arrels complexes amb multiplicitat

m´

es gran que 1 apareixen amb menor freq¨

u`

encia en les aplicacions.

A m´

es, en

aquest cas la inversi´

o ´

es m´

es c`

omoda per altres m`

etodes que veurem m´

es endavant

(convoluci´

o) o fent la descomposici´

o complexa.

Exemple 4.1.

Sigui

F (s) =

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s

4

_{− 4s}

3

_{+ 6s}

2

_{− 4s}

.

Descomponem el denominador: Q(s) = s

4

− 4s

3

_{+ 6s}

2

_{− 4s = s(s − 2)(s}

2

_{− 2s + 2) =}

s(s − 2)((s − 1)

2

+ 1)) . La descomposici´

o real de F (s) ´

es

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s

4

_{− 4s}

3

_{+ 6s}

2

_{− 4s}

=

A

s

+

B

s − 2

+

Cs + D

s

2

_{− 2s + 2}

=

A(s − 2)(s

2

_{− 2s + 2) + Bs(s}

2

_{− 2s + 2) + (Cs + D)s(s − 2)}

s

4

_{− 4s}

3

_{+ 6s}

2

_{− 4s}

.

(13)

Podem calcular els coeficients A, B, C i D donant valors adequats a s en la igualtat

s

3

− 4s

2

_{+ 4s − 4 = A(s − 2)(s}

2

_{− 2s + 2) + Bs(s}

2

_{− 2s + 2) + (Cs + D)s(s − 2).}

Les arrels reals de Q(s) s´

on valors de s especialment ´

utils. Aix´ı, amb s = 0 i s = 2

obtenim:

s = 0 ⇒ −4 = −4A ⇒ A = 1,

s = 2 ⇒ −4 = 4B ⇒ B = −1.

Podem obtenir els coeficients C i D a partir d’altres valors de s, per exemple

s = 1 ⇒ C + D = 1;

s = −1 ⇒ C − D = 1

=⇒

C = 1,

D = 0.

Aleshores, la descomposici´

o de F (s) ´

es

F (s) =

1 s

−

1 s − 2

+

s

2

_{− 2s + 2}

=

1 s

−

1 s − 2

+

s − 1

(s − 1)

2

_{+ 1}

+

1 (s − 1)

2

_{+ 1}

i invertint cadascun dels termes obtenim

f (t) = 1 − e

2t

+ e

t

cos t + e

t

sin t.

A l’apartat 4.3 presentem un altre m`

etode per calcular els coeficients.

4.2 Descomposici´

o complexa

Aquesta descomposici´

o ´

es conceptualment m´

es senzilla, perqu`

e no hem de distingir entre

arrels reals i complexes. Si tenim el polinomi Q(s) amb arrel a = α + jβ de multiplicitat

m, on β pot ser 0, obtenim els termes

A

1

s − a

,

A

2

(s − a)

2

,

. . . ,

A

m

(s − a)

m

.

Aleshores, per a 1 ≤ k ≤ m, en general, tenim

A

k

(s − a)

k

=

A

k

(k − 1)!

(s − a)

k

= L

A

k

(k − 1)!

t

k−1

_e

at

= L

A

k

(k − 1)!

t

k−1

_e

αt

_e

jβt

.

Com que l’arrel conjugada a = α−jβ t´

e la mateixa multiplicitat que a, en la descomposici´

o

de F (s) tamb´

e apareixen els termes

A

1

s − a

,

A

2

(s − a)

2

,

. . . ,

A

m

(s − a)

m

,

la transformada inversa dels quals ´

es an`

aloga:

A

k

(s − a)

k

= L

A

k

(k − 1)!

t

k−1

_e

at

= L

A

k

(k − 1)!

t

k−1

_e

αt

_e

−jβt

.

Ajuntant els termes corresponents a una parella d’arrels conjugades i expressant els

coe-ficients en la forma A = |A|e

jφ

_{, A = |A|e}

−jφ

_{, per als primers termes obtenim}

A

1

s − a

+

A

1

s − a

= L{|A

1

|e

jφ

_e

αt

_e

jβt

_{+ |A}

1

|e

−jφ

e

αt

e

−jβt

} = L{2 |A

1

| e

αt

cos(βt + φ)}.

(14)

En general, tenim

A

k

(s − a)

k

+

A

k

(s − a)

k

= L

2|A

k

|

(k − 1)!

t

k−1

_e

αt

_{cos(βt + φ)}

.

Exemple 4.2.

Sigui de nou

F (s) =

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s

4

_{− 4s}

3

_{+ 6s}

2

_{− 4s}

,

on la factoritzaci´

o del denominador ´

es Q(s) = s(s−2)(s−1−j)(s−1+j) i la descomposici´

o

complexa de F (s) ´

es (a continuaci´

o veurem com calculem els coeficients):

F (s) =

A

s

+

B

s − 2

+

C

s − 1 − j

+

C

s − 1 + j

=

1 s

+

−1

s − 2

+

1 2

− j

1 2

s − 1 − j

+

1 2

+ j

1 2

s − 1 + j

.

Invertint cada terme i expressant C =

1

2 − j

1

2 =

√

2

2 e

−jπ/4

, C =

√

2

2 e

jπ/4

_{, obtenim}

f (t) = 1 − e

2t

+

√

2

2 e

−jπ/4

e

(1+j)t

+

√

2

2 e

jπ/4

_e

(1−j)t

= 1 − e

2t

+

√

2

2 e

t

e

−jπ/4

e

jt

+ e

jπ/4

e

−jt

= 1 − e

2t

+

√

2 e

t

cos(t −

π

4 ).

Comproveu que aquest resultat coincideix amb el que hem obtingut amb la descomposici´

o

real.

4.3 C`

alcul dels coeficients

Podem trobar els coeficients que apareixen en totes dues descomposicions de F (s) en

fraccions simples amb el m`

etode dels coeficients indeterminats, com en l’exemple 4.1. Per

fer la descomposici´

o complexa i pels termes corresponents a arrels reals en la descomposici´

o

real, en particular quan s´

on simples, el m`

etode seg¨

uent ´

es m´

es c`

omode (malgrat l’aparent

complexitat del cas general).

Si a ´

es una arrel, real o complexa, del polinomi Q amb multiplicitat m, tindrem

F (s) =

P (s)

Q(s)

=

m

X

k=1

A

k

(s − a)

k

+ R(s),

on R(s), que agrupa els sumatoris an`

alegs de les altres arrels de Q(s), ´

es una funci´

o

racional de s, el denominador de la qual Q(s)/(s − a)

m

_{ja no t´}

_{e l’arrel a. Si multipliquem}

els dos membres per (s − a)

m

_{, tindrem}

(s − a)

m

P (s)

Q(s)

=

m

X

k=1

A

k

(s − a)

m−k

+ (s − a)

m

R(s)

= A

1

(s − a)

m−1

+ · · · + A

m−1

(s − a) + A

m

+ (s − a)

m

R(s).

(15)

Per a s = a, obtenim

(s − a)

m

P (s)

Q(s)

s=a

= 0 + · · · + 0 + A

m

+ 0 = A

m

.

Trobem el coeficient A

m−1

derivant i, despr´

es, fent s = a:

d

ds

(s − a)

m

P (s)

Q(s)

s=a

=

A

1

(s − a)

m−2

+ · · · + A

m−1

+ 0 + · · ·

s=a

= A

m−1

.

En general, per al coeficient A

k

tenim

A

k

=

1 (m − k)!

d

m−k

ds

m−k

(s − a)

m

P (s)

Q(s)

s=a

.

(19)

Exemple 4.3.

Els coeficients de la descomposici´

o complexa

F (s) =

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s

4

_{− 4s}

3

_{+ 6s}

2

_{− 4s}

=

A

s

+

B

s − 2

+

C

s − 1 − j

+

C

s − 1 + j

en la qual totes les arrels s´

on simples, poden calcular-se aix´ı:

A = sF (s)|

s=0

=

s

3

− 4s

2

_{+ 4s − 4}

(s − 2) (s − 1 − j)(s − 1 + j)

|

{z

}

s2_−2s+2

s=0

=

−4

= 1,

B = (s − 2)F (s)|

s=2

=

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s (s − 1 − j)(s − 1 + j)

|

{z

}

s2_−2s+2

s=2

=

−4

4 = −1,

C = (s − 1 − j)F (s)|

s=1+j

=

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s(s − 2)(s − 1 + j)

s=1+j

=

1

2 − j

1

2 ,

i, com a comprovaci´

o,

C = (s − 1 + j)F (s)|

s=1−j

=

s

3

_{− 4s}

2

_{+ 4s − 4}

s(s − 2)(s − 1 − j)

s=1−j

=

1

2 + j

1

2 .

Exemple 4.4.

Sigui F (s) =

8 s

4

_{+ 4s}

2

. Ara Q(s) = s

4

_{+ 4s}

2

_{= s}

2

_(s

2

_{+ 4) = s}

2

_{(s − 2j)(s +}

2j) i la descomposici´

o complexa de F (s) ´

es

F (s) =

8 s

4

_{+ 4s}

2

=

A

s

+

B

s

2

+

C

s − 2j

+

C

s + 2j

.

Per trobar els coeficients A i B, corresponents a l’arrel doble s = 0, utilitzem (19) a partir

de

s

2

F (s) =

8 (s

2

_{+ 4)}

= As + B + s

2

C

s − 2j

+

C

s + 2j

(16)

i obtenim

B = s

2

F (s)

s=0

=

8 s

2

_{+ 4}

s=0

= 2,

A =

d

ds

(s

2

F (s))

s=0

=

−16s

(s

2

_{+ 4)}

2

s=0

= 0.

An`

alogament per als altres coeficients, que corresponen a arrels simples:

C = (s − 2j)F (s)|

s=2j

=

8 s

2

_{(s + 2j)}

s=2j

=

1

2 j =

1

2 e

jπ₂

_,

_{C = −}

1

2 j =

1

2 e

−jπ 2

,

d’on obtenim

f (t) = 2t +

1

2 e

j(2t+π₂)

_{+ e}

−j(2t+π 2)

= 2t + cos

2t +

π

2 .

5 Altres aplicacions

El procés seguit en la resolució de problemes de valor inicial en equacions diferencials pot utilitzar-se també per a sistemes d’equacions diferencials o equacions integrodiferencials, com mostrem a continuació amb exemples concrets.

5.1 Sistemes d’equacions diferencials

Exemple 5.1 Considerem el problema de valor inicial (

x0= 2x − y + e3t_, _{x(0) = 1,}

y0= x + 4y, y(0) = 0.

Ara el procediment de la transformada de Laplace és anàleg a l’utilitzat amb una única equació diferencial: transformem cada equació amb X(s) = L{x(t)}, Y (s) = L{y(t)} i tenint en compte els valors inicials donats, per obtenir un sistema algebraic de dues equacions amb les dues funcions X(s) i Y (s) com a incògnites: ( sX(s) − 1 = 2X(s) − Y (s) +_s−31 , sY (s) = X(s) + 4Y (s), =⇒ ( (s − 2)X(s) + Y (s) = 1 +_s−31 = s−2_s−3, −X(s) + (s − 4)Y (s) = 0.

La soluci´o d’aquest sistema d’equacions ´es X(s) = s

2_{− 6s + 8}

(s − 3)3 , Y (s) =

s − 2 (s − 3)3,

i ara nom´es cal invertir la transformada. Per a X(s) tenim X(s) = s 2_{− 6s + 8} (s − 3)3 = A (s − 3) + B (s − 3)2 + C (s − 3)3 = 1 (s − 3) − 1 (s − 3)3,

on hem calculat els coeficients utilitzant (19) a partir de (s − 3)3_{X(s) = s}2_{− 6s + 8:}

C = (s2− 6s + 8) _s=3= −1, B = d ds(s 2_{− 6s + 8)} s=3 = 0, A = 1 2! d2 ds2(s 2_{− 6s + 8)} s=3 = 1.

(17)

An`alogament, Y (s) = s − 2 (s − 3)3 = (s − 3) + 1 (s − 3)3 = 1 (s − 3)2 + 1 (s − 3)3.

Per tant, la soluci´o del problema de valor inicial del sistema ´es x(t) = (1 −1 2t 2_)e3t_, _{y(t) = (t +}1 2t 2_)e3t_.

5.2 Equacions integrodiferencials

Exemple 5.2 Ara tenim el problema seg¨uent: y0(t) − 2y(t) − 3

Z t

0

y(u) du = t, y(0) = 1. Escrivint Y (s) = L{y(t)}, obtenim

sY (s) − 1 − 2 Y (s) − 3Y (s) s = 1 s2 =⇒ Y (s) = s2_{+ 1} (s + 1)s(s − 3) = 1/2 s + 1− 1/3 s + 5/6 s − 3. Per tant, y(t) = 1 2e −t₋1 3 + 5 6e 3t_.

6 Funcions discont´ınues. La funci´

o de Heaviside

L’ús de la transformada de Laplace és molt útil quan l’excitació d’un sistema, representat en l’equació diferencial pel segon membre f (t), salta bruscament en un o diversos instants. Per exemple, podem tenir el problema a2y00+ a1y0+ a0y = f (t) =      f1(t) 0 < t ≤ a, f2(t) a < t ≤ b, f3(t) b < t < ∞,

la resolució del qual amb els mètodes propis d’Equacions Diferencials és incòmoda, mentre que utilitzant la transformada de Laplace segueix els passos habituals amb l’única diferència que ara

F (s) = Z ∞ 0 e−stf (t) dt = Z a 0 e−stf1(t) dt + Z b a e−stf2(t) dt + Z ∞ b e−stf3(t) dt. t 0 a b f1(t) f2(t) f3(t) f (t) 1 u(t) a u(t − a) t

De totes maneres, tant per calcular F (s) sense haver de calcular cadascuna de les integrals anteriors, com posteriorment per invertir la transformada, convé estructurar l’estudi de les diferents situacions que se’ns poden presentar. Comencem per la funció discont´ınua més senzilla.

(18)

ua(t) =

(

0 si t ≤ a,

1 si a < t < ∞. (20)

Si a = 0 simplement escrivim u(t), i aleshores ua(t) = u(t−a), notaci´o que utilitzarem d’ara endavant.

Vegeu la seva representaci´o gr`afica en la figura corresponent. La seva transformada de Laplace ve donada per L{u(t − a)} = Z ∞ 0 e−stu(t − a) dt = Z ∞ a e−stdt = e −sa s (s > 0). (21) En particular, si a = 0, L{u(t)} = 1 s (s > 0). (22)

Observeu que L{u(t)} = L{1}, perqu`e totes dues funcions coincideixen per a t > 0. Amb m´es generalitat, sempre tindrem f (t) = f (t) u(t) per a t > 0.

A partir d’u(t) podem construir altres funcions discont´ınues elementals. Per exemple, per a 0 < a < b la funci´o u(t − a) − u(t − b) =      0 si 0 < t ≤ a, 1 si a < t ≤ b, 0 si b < t < ∞,

representa un impuls rectangular unitari d’amplada b − a. A més, aquesta funció és útil per expressar una funció que s’anul.la fora d’un interval entre a i b:

f _(a,b)(t) =      0 si 0 < t ≤ a f (t) si a < t ≤ b 0 si b < t < ∞ =⇒ f

_(a,b)(t) = f (t) [u(t − a) − u(t − b)] .

a b 0 a b

×

=

u(t − a) − u(t − b) f (t) a f (t)[u(t − a) − u(t − b)] = f |(a,b)(t) b

Ara la funci´o discont´ınua f (t) considerada al comen¸cament pot expressar-se com f (t) = f1 _(0,a)(t) + f2 _(a,b)(t) + f3 _(b,∞)(t)

= f1(t) [u(t) − u(t − a)] + f2(t) [u(t − a) − u(t − b)] + f3(t) u(t − b)

= f1(t) u(t) − f1(t) u(t − a) + f2(t) u(t − a) − f2(t) u(t − b) + f3(t) u(t − b)

= f1(t) u(t) + [f2(t) − f1(t)] u(t − a) + [f3(t) − f2(t)] u(t − b).

Amb la propietat de linealitat podem determinar la seva transformada, nom´es cal sumar la transformada de cada sumand. Utilitzant la propietat de translaci´o, obtenim

L{f (t − a) u(t − a)} = e−asF (s),

però cal tenir en compte que la funció que hi ha no és f (t) sinó f (t − a). Per tant, prèviament caldrà que obtinguem una funció de t − a mitjan¸cant la substitució t = (t − a) + a com mostrem en els exemples següents.

(19)

Exemple 6.1. Determineu la transformada de Laplace de la funci´o f (t) =      t2 si 0 < t ≤ 1, 2 − t si 1 < t ≤ 2, 0 si 2 < t < ∞. Com en el desenvolupament anterior, reescrivim la funci´o

f (t) = t2[u(t) − u(t − 1)] + (2 − t) [u(t − 1) − u(t − 2)] = t2u(t) + (2 − t − t2) u(t − 1) + (t − 2) u(t − 2). Transformem el primer i el tercer sumands:

L{t2_{u(t)} = L{t}2_{} =} 2

s3, L{(t − 2) u(t − 2)} = e

−2s_{L{t} = e}−2s 1

s2.

Respecte al segon sumand, escrivim 2 − t − t2com una funci´o de t − 1:

2 − t − t2= 2 − (t − 1 + 1) − (t − 1 + 1)2= −3(t − 1) − (t − 1)2. Aleshores, L{(2 − t − t2_{) u(t − 1)} = L}_{−3(t − 1) − (t − 1)}2 u(t − 1) = e−s −3 s2− 2 s3 , ja que L{−3t − t2} = −3/s2_{− 2/s}3_{. Aix´ı arribem a}

L{f (t)} = 2 s3− e −s 3 s2 + 2 s3 + e−2s1 s2.

Exemple 6.2. Trobeu l’antitransformada de Laplace de la funci´o f (t) =

(

sin t si 0 < t ≤ π, 0 si π < t < ∞.

Ara f (t) = sin t (u(t) − u(t − π)) = sin t − sin t u(t − π). Tenint en compte que sin t = sin((t − π) + π) = − sin(t − π), obtenim

L{f (t)} = L{sin t + sin(t − π) u(t − π)} = 1 s2_{+ 1} + e

−πs 1

s2_{+ 1} =

1 + e−πs s2_{+ 1} .

Exemple 6.3. Trobeu l’antitransformada de Laplace de F (s) = s + 3

s2_{+ 1}e −πs_.

Moment`aniament, no considerem l’exponencial: s + 3 s2_{+ 1} = s s2_{+ 1} + 3 s2_{+ 1} = L{cos t + 3 sin t}.

Utilitzant la propietat de translació, L{f (t − a) u(t − a)} = e−asF (s), obtenim f (t) = (cos(t − π) + 3 sin(t − π)) u(t − π) = −(cos t + 3 sin t) u(t − π). També, a partir de la descomposició complexa:

s + 3 s2_{+ 1} = 1 2− 3 2j s − j + 1 2+ 3 2j s + j = √ 10 2 ( ejφ s − j + e−jφ s + j) = L (√ 10 2 (e jφ_ejt_{+ e}−jφ_e−jt₎ ) = L{√10 cos(t + φ)},

(20)

on φ = − arctan 3, i obtenim que f (t) =√10 cos(t + φ − π) u(t − π). Exemple 6.4. Resoleu el problema de valor inicial

y00− y = f (t) = (

1 si 0 < t ≤ 1,

1 + e2t _{si 1 < t < ∞,} y(0) = 0, y

0_{(0) = 1.}

En transformar l’equaci´o, obtenim

s2Y (s) − 1 − Y (s) = F (s),

on, amb f (t) = 1(u(t) − u(t − 1)) + (1 + e2t) u(t − 1) = u(t) + e2tu(t − 1), trobem

F (s) = L{u(t)} + L{e2e2(t−1)u(t − 1)} = 1 s + e 2 1 s − 2e −s_. Per tant, Y (s) = s + 1 s(s2_{− 1)}+ e2 (s − 2)(s2_{− 1)}e −s_. Ara s + 1 s(s2_{− 1)} = 1 s(s − 1) = 1 (s − 1)− 1 s = L{e t_{− 1},} 1 (s − 2)(s2_{− 1)} = 1/3 (s − 2) − 1/2 (s − 1)+ 1/6 (s + 1) = L 1 3e 2t₋1 2e t₊1 6e −t_, e2 1 (s − 2)(s2_{− 1)}e −s_{= L} e2 6[2e 2(t−1)_{− 3e}t−1_{+ e}1−t_{]u(t − 1)} , i, per tant, y(t) = et− 1 +e 2 6 [2e 2(t−1)_{− 3e}t−1_{+ e}1−t_{]u(t − 1).}

7 La “funci´

o” δ de Dirac

Moltes aplicacions requereixen la resoluci´o de problemes de valor inicial de la forma

a2y00+ a1y0+ a0y = f(t), y(0) = y0, y0(0) = y1, (23)

on la funci´o f(t) s’anul.la fora d’un interval petit, diguem-ne (a, a + ), en el qual pren valors “grans”. A

més, normalment aquests valors són desconeguts, i únicament coneixem el valor A de la integral de f(t)

en aquest interval (a, a + ) o en qualsevol interval (α, β) que contingui : Z β

α

f(t) dt = A,

quan α ≤ a < a + ≤ β. Aquestes situacions es presenten en problemes de tipus impulsional.

Per exemple, en un sistema mecànic format per una massa m que penja d’una molla elàstica de constant k que un martell colpeja en un instant t = a. Durant un interval curt de temps (a, a + ), en el qual el martell està en contacte amb la massa, li comunica un impuls de valor A:

md 2_y dt2 + ky = f(t), Z β α f(t) dt = A.

També, en el cas d’un circuit elèctric format per una resistència R, una bobina amb autoinducció L i un condensador amb capacitat C, col.locats en sèrie tenim:

e(t) = R y + Ldy dt + 1 C Z t 0 y(u) du,

(21)

equaci´o que derivem per obtenir l’equaci´o diferencial Ld 2_y dt2 + R dy dt + 1 Cy = de dt = f(t), Z β α f(t) dt = A,

quan la tensi´o aplicada al circuit e(t) canvia bruscament en l’instant a (de fet entre a i a + ) des d’un valor E fins a un valor E + A, com il.lustrem a la figura.

0 a t e0(t) E E + A e(t) E E + A t a a + A de dt = f(t) t a a + α β

Per tractar aquest tipus de situacions, considerem el cas ideal obtingut fent → 0. Fixat A = 1, si f→ f0aquesta funci´o hauria de satisfer

f0(t) = ( 0 si t 6= a, +∞ si t = a, Z β α f0(t) dt = ( 1 si a ∈ [α, β), 0 si a 6∈ [α, β), condicions que cap funci´o ordin`aria pot complir.

Observem que el que realment ens interessa no ´es obtenir el l´ımit de f quan → 0, sin´o resoldre el

problema de valor inicial en el cas → 0, i que per resoldre aquest problema mitjan¸cant la transformada de Laplace no ens calen els valors de f0, nom´es el valor de

lim

→0

Z ∞

0

e−stf(t) dt.

Amb m´es generalitat, intentem calcular lim

→0

Z β

α

g(t)f(t) dt,

on g(t) ´es una funci´o cont´ınua.

Lema 1 Si g(t) ´es una funci´o cont´ınua en [α, β], aleshores lim →0 Z β α g(t)f(t) dt = ( g(a) si a ∈ [α, β), 0 si a 6∈ [α, β).

D emostraci´o: Si a ´es tal que α ≤ a < β, per a prou petit α ≤ a < a + < β i Z β α g(t)f(t) dt = Z a+ a g(t)f(t) dt →0 −→ g(a),

ja que amb m= min {g(t) : t ∈ [a, a + ]}, M= max {g(t) : t ∈ [a, a + ]} tenim

m= m Z a+ a f(t) dt ≤ Z β α g(t)f(t) dt ≤ M Z a+ a f(t) dt = M.

Com que g(t) ´es cont´ınua, tant m com M tendeixen cap a g(a) quan → 0. Mentre que si

a ≥ β, f(t) = 0 en [α, β], i si a < α per a prou petit a + < α i aleshores tamb´e f(t) = 0

en [α, β]. Per tant en tots dos casos lim

→0

Z β

α

(22)

Aquest resultat ens permet considerar el cas ideal → 0 en la situació descrita. Per això, d’acord amb el lema anterior, definim la “funció” δ de Dirac de la següent forma:

Definició 3 La “funció” δ(t − a) és tal que Z β α g(t)δ(t − a) dt = ( g(a) si a ∈ [α, β), 0 si a 6∈ [α, β), (24)

per a qualsevol funci´o g(t) cont´ınua en [α, β].

Posem funció entre cometes perquè δ, com abans f0, no és una funció en el sentit ordinari. Es diu

que δ ´es una funci´o generalitzada.

Ara el cas → 0 en el problema inicial (23) ens porta al problema

a2y00+ a1y0+ a0y = Aδ(t − a), y(0) = y0, y0(0) = y1. (25)

Per a la seva resolució, utilitzant la transformada de Laplace, només cal conèixer L{δ(t − a)}: L{δ(t − a)} =

Z ∞

0

e−stδ(t − a) dt = e−sa, (26)

d’acord amb la definició de δ(t − a), ja que e−st és una funció cont´ınua i 0 ≤ a < ∞. En particular, per a a = 0,

L{δ(t)} = 1. (27)

Exemple 7.1. La soluci´o del problema de valor inicial

y00+ y = 3δ(t − π), y(0) = 1, y0(0) = 0, t´e com a transformada de Laplace Y (s) donada per

s2Y (s) − s + Y (s) = 3e−πs =⇒ Y (s) = s s2_{+ 1} + 3 s2_{+ 1}e −πs_. Per tant,

y(t) = cos t + 3 sin(t − π) u(t − π) = (

cos t si 0 ≤ t ≤ π, cos t − 3 sin t si t > π. Observeu que l’excitaci´o 3δ(t − π) modifica la soluci´o per a t > π.

7.1 Antitransformades de funcions racionals amb polinomis del mateix grau

D’altra banda, podem considerar ara la inversió de funcions racionals F (s) = P (s)_Q(s) en les quals els polinomis P (s) i Q(s) tenen el mateix grau. Com que aleshores F (s) no compleix la propietat 10 a): lims→∞F (s) = 0, la seva inversa no pot ser una funció admissible i haurà de ser una funció generalitzada.

Despr´es de dividir per expressar F (s) en la forma P (s)/Q(s) = A + R(s)/Q(s), tenim L−1{F (s)} = L−1 A +R(s) Q(s) = Aδ(t) + L−1 R(s) Q(s) , on podem calcular el segon sumand com abans, perqu`e grau(R) <grau(Q). Exemple 7.2. Com que

F (s) = 3s 2_{+ 4s + 13} s2_{+ 2s + 5} = 3 + −2s − 2 s2_{+ 2s + 5} = 3 − 2 s + 1 (s + 1)2_{+ 4},

(23)

tenim que L−1{F (s)} = 3 δ(t) − 2 e−t_{cos 2t.}

Com suggereixen les gr`afiques anteriors d’e0(t), e(t) i de/dt, podem esperar que

d

dtu(t − a) = δ(t − a). (28)

En efecte, si g(t) ´es una funci´o cont´ınuament diferenciable en [α, β] i α ≤ a < β, integrant per parts, obtenim

Z β α g(t)d dtu(t − a) dt = g(t) u(t − a) β α− Z β α g0(t) u(t − a) dt = g(β) − Z β a g0(t) dt = g(β) − g(β) + g(a) = g(a). En canvi, si a 6∈ [α, β), _dtdu(t − a) = 0 en [α, β] i Z β α g(t)d dtu(t − a) dt = 0.

Per tant, d’acord amb la definici´o de la funci´o δ(t − a) en (24), es compleix (28).

Tamb´e podem comprovar aquest resultat, utilitzant la propietat de derivaci´o de la transformada de Laplace: L d dtu(t − a) = se −sa s − u(t − a) _t=0= e

−sa_{− 0 = e}−sa _{= L{δ(t − a)}.}

Qu`e passa quan a = 0? En aquest cas es compleix d

dtu(t) = δ(t), (29)

suposant que u(0) = 0, que és l’única distinció que hi ha entre les funcions u(t) i 1 per a t ≥ 0.

8 El producte de convoluci´

o

´

Es freq¨uent haver de determinar la resposta d’un sistema fix davant de diferents excitacions. Per exemple, quan volem determinar el corrent en un element d’un circuit al qual s’apliquen successivament diverses tensions.

Considerem una situaci´o la formulaci´o de la qual porta a un problema de valor inicial de la forma: a2y00+ a1y0+ a0y = f (t), y(0) = 0, y0(0) = 0, (30)

on per simplificar hem suposat condicions inicials homogènies, problema que hem de resoldre per a diferents funcions f (t). Aquest model correspon a un sistema lineal, ja que el problema (30) és lineal, i invariant amb el temps, perquè els coeficients de l’equació diferencial són constants.

La resoluci´o del problema (30) mitjan¸cant la transformada de Laplace porta a

Y (s) = 1

a2s2+ a1s + a0

F (s).

Ara només cal invertir la transformada per obtenir y(t). Ho volem fer de manera que en modificar f (t), i per tant F (s), no haguem de refer tots els càlculs. Per això observem que Y (s) té la forma

Y (s) = H(s)F (s), on H(s) = 1

a2s2+ a1s + a0

(24)

essent h(t) la soluci´o del problema de valor inicial (30) quan F (s) = 1, ´es a dir, quan f (t) = δ(t): a2h00+ a1h0+ a0h = δ(t), h(0) = 0, h0(0) = 0. (32)

La funció h(t) rep el nom de resposta impulsional del sistema, i depèn únicament de “la part fixa” del sistema, la qual correspon aqu´ı als coeficients a2, a1 i a0. La seva transformada de Laplace H(s) es

coneix com la funció de transferència del sistema, perquè el seu producte per F (s) dóna Y (s). L’expressió Y (s) = H(s)F (s) en (31) suggereix que y(t) està relacionada amb h(t) i f (t), però la qüestió és com és aquesta relació. En general, y(t) 6= h(t)f (t), perquè L{h(t)f (t)} 6= L{h(t)}L{f (t)}.

Per tenir una idea del que podem obtenir, aproximem f com es veu en la figura mitjan¸cant la suma f (t) ≈ N −1 X k=0 f (tk)[u(t − tk) − u(t − tk+1)],

a partir de la qual, utilitzant l’aproximaci´o u(t − tk) − u(t − tk+1) ≈ (tk+1− tk) δ(t − tk) =

∆tkδ(t − tk), obtenim f (t) ≈ N −1 X k=0 f (tk)∆tkδ(t − tk) = N −1 X k=0 ckδ(t − tk), on ck = f (tk)∆tk. t = tN t0= 0 tk tk+1 ∆tk · · · · f (tk) f (t)

≈

tk ckδ(t − tk) f (tk) ∆tk tk

Ara utilitzem dues propietats bàsiques de les soluciones del problema de valor inicial (30). En primer lloc, com que és un problema lineal, és vàlid el principi de superposició de solucions i la solució corresponent a una combinació lineal d’excitacions és la corresponent combinació lineal de les soluciones que obtenim per a cadascuna d’aquestes excitacions. Per això, podem aproximar y(t) com

y(t) ≈ N −1 X k=0 ckyk(t), on yk(t) ´es la soluci´o de a2yk00+ a1yk0 + a0yk = δ(t − tk), yk(0) = 0, yk0(0) = 0.

En segon lloc, per la invariància del sistema amb el temps i, tenint en compte que la solució de (32) és h(t)(= h(t) u(t)), tindrem

yk(t) = h(t − tk) u(t − tk),

(això també es pot deduir gràcies a la propietat de translació, L{yk(t)} = H(s)L{δ(t − tk)} =

H(s)e−stk_). Aix´ı obtenim y(t) ≈ N −1 X k=0 ckh(t − tk) u(t − tk) = N −1 X k=0 f (tk) ∆tkh(t − tk) u(t − tk).

(25)

El segon membre d’aquesta expressi´o es pot interpretar com una suma de Riemann, de manera que quan N → ∞ i max {∆tk: 0 ≤ k ≤ N − 1} → 0, obtindrem

y(t) = Z t 0 f (τ )h(t − τ ) u(t − τ ) dτ = Z t 0 f (τ )h(t − τ ) dτ, on hem tingut en compte que u(t − τ ) = 1 per a τ < t.

Tot això ens porta a introduir el producte de convolució i el teorema de convolució:

Definició 4 El producte de convolució de dues funcions f i h, que denotem per f ∗ h, és la funció donada per la integral:

(f ∗ h)(t) = f (t) ∗ h(t) = Z t

0

f (u)h(t − u) du. (33)

De la discussió anterior podem esperar que L{f ∗ h} = L{y} = F (s)H(s) = L{f }L{h}. En efecte, tenim el següent resultat, la demostració del qual ometem.

Teorema 3 (de convolució). Si f i h són dues funcions admissibles, el seu producte de convolució f ∗ h també ho és i

L{f ∗ h} = L{f }L{h}. (34)

Utilitzant el teorema de convolució és elemental verificar les següents propietats del producte de convolució (només cal comprovar en cada cas que les transformades dels dos membres coincideixen):

(i) f ∗ g = g ∗ f ,

(ii) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h, (iii) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h, (iv) f ∗ δ = f .

Com a conclusió, podem dir que, utilitzant la resposta impulsional, la solució del problema de valor inicial (30) és

y(t) = (f ∗ h)(t) = Z t

0

f (u)h(t − u) du. (35)

Si modifiquem el segon membre de l’equació, f (t), només cal que calculem de nou el seu producte de convolució amb la resposta impulsional del sistema.

Exemple 8.1. La funci´o de transfer`encia corresponent al problema y00+ y = f (t), y(0) = 0, y0(0) = 0, ´

es tal que (s2_{+ 1)H(s) = 1 i, per tant, la resposta impulsional ´}_es

h(t) = sin t. Ara, quan f (t) = 1, y(t) = 1 ∗ h(t) = Z t 0 sin(t − u) du = cos(t − u) t 0 = 1 − cos t, mentre que quan f (t) = t,

y(t) = Z t 0 (t − u) sin u du = t Z t 0 sin u du − Z t 0 u sin u du = t(1 − cos t) + t cos t − sin t = t − sin t

(26)

(comproveu la soluci´o en els dos casos resolent directament el problema de valor inicial).

El teorema de convolució també és molt útil per invertir la transformada de Laplace quan F (s) es pot expressar com a producte de dues funcions que tenen antitransformades conegudes.

Exemple 8.2. La funci´o amb transformada de Laplace F (s) = s (s2_{+ 1)}2 = 1 s2_{+ 1} s s2_{+ 1} ´ es f (t) = sin t ∗ cos t = Z t 0 sin u cos(t − u) du = Z t 0

sin u (cos t cos u + sin t sin u) du

= cos t Z t

0

sin u cos u du + sin t Z t 0 sin2u du = cos tsin 2_t 2 + sin t t 2− sin 2t 4 =1 2t sin t. Exemple 8.3. An`alogament, la funci´o amb transformada de Laplace

F (s) = 1 (s2_{+ 1)}2 = 1 s2_{+ 1} 1 s2_{+ 1} ´ es f (t) = sin t ∗ sin t = Z t 0 sin u sin(t − u) du = Z t 0

sin u (sin t cos u − cos t sin u) du

= sin t Z t

0

sin u cos u du − cos t Z t 0 sin2u du = sin tsin 2_t 2 − cos t t 2 − sin 2t 4 = 1 2(sin t − t cos t).

La transformada de Laplace