Estudio de la formulación y resolución del problema del flujo armónico de cargas

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DE BARCELONA. TESIS DOCTORAL ESTUDIO DE LA FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL FLUJO ARMÓNICO DE CARGAS. Luis Sainz Sapera Ingeniero Industrial por la E.T.S. de I.I. de Barcelona. 1995.

(2) DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DE BARCELONA UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CATALUÑA. TESIS DOCTORAL. ESTUDIO DE LA FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL FLUJO ARMÓNICO DE CARGAS. Doctorando:. Luis Sainz Sapera. Director de la Tesis: Dr. Joaquin Pedra Duran. Barcelona, Enero de 1995.

(3) A mis padres.

(4) Deseo expresar mi agradecimiento al Dr. Joaquin Pedra porque sin su ayuda y sus ideas no habría podido realizar este trabajo.. También quiero agradecer a mis compañeros del Departamento de Ingeniería Eléctrica toda la ayuda que me han prestado tanto para el desarrollo de la tesis como para mi trabajo docente en el Departamento..

(5) INDICE. Pag.. 1.. 2.. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1. Presentación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Situación bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Objetivo y descripción de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. MODELIZACION ARMONICA DE LOS COMPONENTES DE LA RED . . . . . 10. 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Modelización de las líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Modelización de los transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4. Modelización de los generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5. Modelización de los condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6. Modelización de las cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7. Modelización de los convertidores AC/DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 3.. FORMULACIONES DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . 21. 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Método 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Método 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Método 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 i.

(6) 3.5. Método 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6. Método 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.7. Simplificación sobre la aportación armónica a la potencia . . . . . . . . . . . . . . 38. 4.. METODOS NUMERICOS UTILIZADOS EN LA RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3. Métodos de Newton modificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4. Métodos de continuación. Método de Davidenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5. Elección de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6. Comentario a los métodos presentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 5.. NUEVO PLANTEAMIENTO PARA EL ESTUDIO DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2. Formulación completa del flujo armónico de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3. Método de h-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4. Estructura del programa de resolución del flujo de cargas con armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. 5.4.1. Módulo 1. Léctura de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4.2. Módulo 2. Inicialización de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4.3. Módulo 3. Determinación de la matriz Ybus(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4.4. Módulo 4. Resolución del flujo de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4.5. Módulo 5. Salida de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 5.5. Formulación matricial del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 5.5.1. Formulación del flujo de cargas considerando ii.

(7) las potencias armónico-fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.2. Formulación del flujo de cargas considerando las potencias fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. 6.. ESTUDIO DE LAS FORMULACIONES DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. 7.. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.4. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. 8.. OBTENCION DE SOLUCIONES FALSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.2. Nudos de carga P-Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 8.2.1.. Estudio analítico de las soluciones falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 8.2.2.. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. 8.3. Nudos de carga P-V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. 8.3.1.. Estudio analítico de las soluciones falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. 8.3.2.. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 iii.

(8) 8.4. Nudos no lineales (Convertidor AC/DC de seis pulsos) . . . . . . . . . . . . . . . 119. 8.4.1.. Estudio analítico de las soluciones falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119. 8.4.2.. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. 8.4.2.1. Caso 1. Flujo de cargas AC/DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.4.2.2. Caso 2. Flujo de cargas armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.4.2.3. Consideraciones sobre los ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. 8.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. 9.. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. 9.1. Desarrollo del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.2. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.3. Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138. 10. BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140. iv.

(9) 1.. INTRODUCCION.. 1.1.. Presentación del problema.. La resolución del problema del flujo de cargas convencional consiste en hallar las tensiones de los nudos de una red a partir de las potencias activa y reactiva de cada nudo. Así dada una red de n nudos se conocerán,. - La potencia consumida o generada en los nudos 2 a n, Si. - La tensión del nudo slack o de referencia, V1. - Y las características de la red a través de su matriz de admitancias, Ybus. y se plantea un balance de potencias para todos los nudos excepto el slack,. La presencia de cargas no lineales en la red provoca la aparición de armónicos como se puede ver esquemáticamente en la figura 1.1,. Figura 1.1. Interacción del dispositivo no lineal con la red.. Así, tal como se puede ver en la figura, el generador suministra potencia a la red y a la carga no lineal y parte de la potencia absorbida por dicha carga no lineal es devuelta a la red en forma de inyección armónica de intensidad lo que provoca la aparición de armónicos en el sistema. - 1 -.

(10) Así el análisis del flujo de cargas con armónicos pretende obtener la tensión fundamental y armónica de todos los nudos de una red y los parámetros que caracterizan los dispositivos no lineales a partir de las potencias activa y reactiva de cada nudo y de los datos que determinen el funcionamiento de los dispositivos no lineales.. Para ello, en general, al balance de potencias planteado en el flujo de cargas convencional se deben añadir las ecuaciones que enlazan los dispositivos no lineales con el sistema, es decir,. - Balance de corrientes en los nudos de la red. - Ecuaciones de los dispositivos no lineales.. Así dado el progresivo aumento de los dispositivos no lineales en las redes eléctricas de potencia existe un creciente interés por el estudio del flujo de cargas con armónicos.. Existen dos formas de realizar el estudio del problema armónico, en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.. Analizando el problema en el dominio de la frecuencia, cabe distinguir tres puntos que diferencian los estudios realizados por los distintos autores.. - Modelización de los elementos del sistema a estudio. - Formulación del flujo de cargas con armónicos. - Resolución numérica del sistema de ecuaciones no lineales del flujo de cargas con armónicos.. El primero es la modelización de los elementos del sistema a estudio (dispositivos no lineales, cargas, líneas, ..). Una correcta caracterización de estos elementos permitirá obtener unos resultados finales que se ajusten a la realidad del problema. Una de las principales dificultades que presenta dicha caracterización es la falta de información sobre los elementos del sistema a modelizar. - 2 -.

(11) El segundo es la formulación del flujo armónico de cargas. Independientemente del tipo de formulación del problema que se estudie, en general, siempre se debe plantear un sistema de ecuaciones no lineales que deberá ser resuelto de forma numérica. Las distintas formas de enfocar la formulación del problema buscan dos objetivos,. - Plantear una formulación simplificada del problema (reducir el número de incógnitas y por tanto, de ecuaciones a tratar). - Plantear una formulación que proporcione resultados reales del problema estudiado.. Y el último es la resolución numérica del sistema de ecuaciones no lineales planteado en la formulación del problema. Existen en la bibliografía distintos métodos numéricos con sus respectivas variantes para abordar la resolución del sistema de ecuaciones y todas ellas persiguen, también, dos objetivos,. - Asegurar la convergencia global del método. - Buscar la rapidez en la convergencia.. 1.2.. Situación bibliográfica.. Como se ha presentado en el punto anterior el estudio del flujo armónico de cargas pretende, partiendo de una correcta modelización de los elementos de la red, formular un sistema de ecuaciones, donde se incluyan los datos y las restricciones del problema, cuya resolución numérica proporcione las incógnitas buscadas (tensiones armónicas y fundamental y los parámetros de los dispositivos no lineales).. Así, por una parte, existen en la bibliografía distintos estudios sobre la modelización de los elemento de la red, [1], [2], [3], [4], [5] y [6].. Y por otra, hay referencias bibliográficas que analizan la formulación del problema armónico y su resolución numérica, [6], [7], [8], y [9].. Debido a que la resolución del sistema planteado en el flujo armónico de cargas puede - 3 -.

(12) dar problemas por el gran número de incógnitas a tratar existen en la bibliografía diferentes estudios al respecto y diversas formas de enfocar el problema que buscan la simplificación del mismo, [10].. En general se pueden agrupar las distintas formulaciones en tres metodologías.. La primera que se conoce como penetración armónica, [2], no considera la interacción entre la red lineal y los elementos no lineales por lo cual aunque la formulación es muy sencilla los resultados suelen ser muy inexactos. En ella, suponiendo conocidas las intensidades armónicas inyectadas por los dispositivos no lineales y las admitancias de las cargas se limitan a calcular las tensiones en los nudos de la red resolviendo el sistema lineal,. para cada armónico y la onda fundamental.. La segunda, es la más numerosa de la bibliografía, [11], [12], [13], [14] y [15], y consiste en desdoblar el problema en un reparto de cargas fundamental y en un análisis de la interacción armónica (IHA) de forma que cada uno de ellos se resuelve separada y sucesivamente hasta alcanzar la solución. En el análisis armónico iterativo, IHA, se debe determinar la inyección armónica de los dispositivos no lineales a través de las expresiones que caracterizan su funcionamiento,. y una vez obtenida dicha inyección armónica se recalculan las tensiones en los nudos no lineales con el sistema lineal,. Esto permite estudiar el dispositivo no lineal de forma independiente a la red y poder combinar, por ejemplo, los métodos en el dominio de tiempo (modelización de las no linealidades) y en el dominio de la frecuencia (parte lineal de la red) combinando las ventajas de ambos métodos, [16].. - 4 -.

(13) Esta metodología implica que las admitancias armónicas de las cargas puedan ser actualizadas según la evolución de las tensiones durante el proceso iterativo y, por tanto, la potencia debe ser considerada únicamente fundamental.. La tercera, que es la menos numerosa, [6], [17] y [18], es una generalización del flujo de cargas sin la presencia de armónicos. En ella junto a las ecuaciones correspondientes del flujo de cargas convencional,. - Balance de potencias en los nudos de la red.. se plantean las ecuaciones que enlazan los dispositivos no lineales con la red y los elementos lineales,. - Balance de corrientes (consumidas por las cargas lineales e inyectadas por las no lineales) en los nudos de la red. - Ecuaciones de los dispositivos no lineales.. Dentro de esta metodología se debe definir la caracterización de la potencia, existiendo dos posibilidades,. - Consideración de la potencia producida sólo por la onda fundamental. - Consideración de la potencia producida por la onda fundamental y los armónicos.. La primera definición es la más usual por eliminar como incógnitas las admitancias fundamental y armónicas de las cargas ya que permite calcular la fundamental a partir de la tensión fundamental y la potencia en el nudo correspondiente y la armónica con su función correspondiente,. La segunda implica el tener que incorporar las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas como unas incógnitas más del problema por lo que a la formulación ya presentada se deben añadir las ecuaciones de las cargas, - 5 -.

(14) - Balance de potencias consumidas por las cargas. - Expresión de las admitancias armónicas.. Esta última formulación supone aumentar el número de incógnitas del problema pero permite abordar dicho problema de forma más realista, sobretodo si la aportación armónica a la potencia es considerable. La consideración de potencia producida por la onda fundamental y por los armónicos obliga a precisar la definición adoptada para la potencia reactiva.. En general las formulaciones del problema llevan al planteamiento de un sistema no lineal de ecuaciones caracterizado de la forma,. que debe ser resuelto de forma iterativa.. Existen en la bibliografía diferentes métodos para la resolución numérica del sistema no lineal anterior.. El método de Newton es el más usado en la bibliografía para la resolución del flujo armónico de cargas, [7] y [19]. Este método ofrece como ventajas una relativa simplicidad y una rápida convergencia si las condiciones iniciales están próximas a la solución buscada, pero puede presentar problemas de convergencia en el estudio del flujo de cargas convencional, [20] y [21], y del flujo armónico de cargas, [22], [23], [24] y [25], de redes mal condicionadas.. Con el fin de intentar mejorar la convergencia del método de Newton existen en la bibliografía diferentes variantes de dicho método, métodos de Newton modificados, [20], [26], [27], [28] y [29]. Estos métodos aún suponiendo una mejora respecto al método de Newton no aseguran la convergencia global a la solución correcta del problema al poder converger hacia mínimos locales de la función tratada, [30].. Por último, frente a la resolución del flujo armónico de cargas mediante el método de Newton y sus modificaciones existen como alternativa para los casos de no convergencia los - 6 -.

(15) métodos de continuación, [22], [24], [30] y [31], y en concreto el método de Davidenko en los que no existen problemas debido a la elección de las condiciones iniciales aunque, por contra, el proceso de cálculo es más lento.. 1.3.. Objetivo y descripción de la tesis.. El objetivo de la presente tesis es, por una parte, abordar el estudio del flujo armónico de cargas con una formulación completa del mismo que incorpore los nudos PV de generador y carga, y por otra, desarrollar un nuevo método numérico para la resolución del sistema no lineal planteado en la formulación del problema armónico que ofrezca seguridad y rapidez en la convergencia.. Para todo ello el trabajo se ha estructurado de la siguiente forma:. En el capítulo 2 se presentan las modelizaciones utilizadas para los distintos elementos de la red, tanto lineales como no lineales.. En el capítulo 3 se analizan las distintas formulaciones del flujo armónico de cargas existentes en la bibliografía. En el análisis se hace un detallado balance de los datos, las incógnitas y las ecuaciones que intervienen en cada formulación prestando especial atención a la simplificación de considerar la potencia producida únicamente por la onda fundamental y como, aunque dicha simplificación reduce el número de incógnitas del problema (las admitancias fundamentales y armónicas) puede llevar a soluciones no correctas si la aportación armónica a la potencia es considerable.. En el capítulo 4 se analizan los métodos numéricos más significativos de la bibliografía. Se estudia como el método de Newton ofrece una rápida convergencia a la solución si las condiciones iniciales están en su zona de atracción y como, por este motivo, al resolver el problema del flujo armónico de cargas con un alto contenido en armónicos la inicialización de la fase de las tensiones armónicas puede llevar al método a tener problemas de convergencia.. - 7 -.

(16) Frente a las dificultades del método de Newton se analizan, en el mismo capítulo, los métodos de Newton modificados que, aun mejorando la convergencia del proceso, pueden presentar problemas de mínimos locales.. Y, finalmente, se estudian los métodos de continuación en los que se construye una homotopía o camino que lleva desde un valor inicial físicamente real hasta la solución del problema lo que asegura su convergencia pero el proceso numérico se alarga en exceso.. En el capítulo 5, en base al análisis realizado sobre las formulaciones del flujo armónico de cargas existentes en la bibliografía, capítulo 3, y sobre los métodos de resolución numérica, capítulo 4, se presenta la formulación del problema adoptada en la tesis y el método numérico propuesto.. La formulación desarrollada añade los nudos PV de generador y de carga a las formulaciones ya existentes y considera la potencia producida por la onda fundamental y por los armónicos por lo que las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas son incorporadas como incógnitas del problema.. El método numérico propuesto, denominado método de h-Newton, ofrece las ventajas de los métodos de continuación, seguridad en la convergencia, junto a las del método de Newton, rapidez en dicha convergencia. Para ello inicia la resolución numérica del problema por el método de Newton y, en caso de detectar problemas en su convergencia hace tender dicho método al de continuación.. El capítulo 5, una vez explicada la forma de abordar y resolver el problema del flujo armónico de cargas, finaliza con la presentación de la estructura del programa informático desarrollado en base a dichas ideas.. Los siguientes tres capítulos corresponden a ejemplos que analizan todo lo presentado hasta este momento.. En el capítulo 6 se presenta un ejemplo donde se estudia las diferencias de considerar - 8 -.

(17) la potencia producida por la onda fundamental y los armónicos o sólo por la onda fundamental. Se observa que al considerar la potencia únicamente fundamental se reduce el número de incógnitas a tratar por lo que el proceso numérico converge con más facilidad pero si el contenido en armónicos es elevado el resultado final no es correcto.. En el capítulo 7 se analiza la convergencia del flujo armónico de cargas. Así, primero se estudian 2 ejemplos donde se observan los distintos problemas de convergencia que puede presentar el método de Newton,. - Divergencia del método. - Convergencia a la solución en un número excesivo de iteraciones. - El método no alcanza la solución pero tampoco diverge.. En dichos ejemplos el método de continuación converge pero utiliza un tiempo excesivo y el método propuesto, método de h-Newton, converge en un tiempo de ejecución aceptable.. Y, también dentro del capítulo 7, se analiza un ejemplo donde se ve como los métodos de Newton modificados aun mejorando la convergencia del método de Newton pueden presentar problemas de mínimos locales y como el método de h-Newton soluciona dichos problemas asegurando la convergencia.. En el capítulo 8 se realiza un estudio analítico sobre las soluciones falsas en tres tipos de nudos,. - Nudos PQ. - Nudos PV. - Nudos no lineales (convertidor AC/DC de seis pulsos ideal).. acompañando dicho estudio de ejemplos donde se observa como el método de Newton puede converger a dichas soluciones y como el método de h-Newton alcanza la solución correcta.. Por último, en el capítulo 9, se presentan las conclusiones. - 9 -.

(18) 2.. MODELIZACION ARMONICA DE LOS COMPONENTES DE LA RED.. 2.1.. Introducción.. Para realizar el estudio del flujo armónico de cargas es necesario modelizar todos los elementos presentes en las redes eléctricas de potencia. Cuanto más próximo a la realidad sea ese modelo más correctos serán los resultados de la resolución del flujo de cargas.. En el sistema eléctrico a estudio se distinguen los elementos lineales,. -. Líneas.. -. Transformadores.. -. Condensadores.. -. Cargas.. -. Filtros.. -. .... y los no lineales,. -. Transformadores y reactancias trabajando en saturación.. -. Convertidores estáticos (rectificadores o conversores AC/DC, reguladores de velocidad, cargadores de baterías, reguladores de velocidad, etc).. -. Elementos de arco.. -. Instalaciones de iluminación con lámparas de descarga.. -. .... Los primeros son aquellos que presentan una relación entre tensión en bornes y corriente que los atraviesa lineal por lo que soportando una tensión senoidal absorben una corriente senoidal.. Los segundos son aquellos que presentan una relación entre tensión en bornes y corriente que los atraviesa no lineal por lo que soportando una tensión senoidal absorben una - 10 -.

(19) corriente no senoidal aunque por lo general si es periódica presentando, por tanto, armónicos que introducirán en la red. Así serán los elementos contaminantes y su modelización debe ser particularmente estudiada.. En este punto se presentan los elementos utilizados en el estudio desarrollado en la tesis y su modelización.. 2.2.. Modelización de las líneas.. Las líneas vendrán caracterizadas con su esquema en. de parámetros concentrados, [1]. y [2], según figura 2.1.,. Figura 2.1. Esquema. equivalente de una línea eléctrica.. donde,. siendo,. y l es la longitud de la línea. - 11 -.

(20) Así en la matriz Ybus se dispondrán los elementos,. Para líneas suficientemente cortas el modelo se reducirá al despreciar la admitancia transversal.. Algunos autores, [3] y [8], consideran la corrección de los parámetros longitudinales (principalmente la resistencia) debido a la distribución de la corriente por el conductor producida por el efecto pelicular o "skin".. 2.3.. Modelización de los transformadores.. Los transformadores, según [1], han sido modelizados con su impedancia equivalente de cortocircuito modificada por el correspondiente armónico según figura 2.2.,. Figura 2.2. Modelo del transformador.. Así en la matriz Ybus se dispondrán los elementos, Otros modelos más completos, [9], incorporan la relación de transformación y el desfase - 12 -.

(21) debido al tipo de conexión del transformador.. Algunos autores, [3] y [4], consideran la rama magnetizante para aumentar la exactitud del modelo, fundamentalmente en transformadores próximos a buses con dispositivos no lineales.. 2.4.. Modelización de los generadores.. Para la modelización de los generadores se los considerará como elementos no contaminantes y serán modelizados por una reactancia de diferente valor para los armónicos de secuencia directa e inversa, [1] y [3].. Así para la onda fundamental el generador tendrá el esquema equivalente de la figura 2.3a y para los armónicos se comportará de forma pasiva, sin producirlos, por lo que su esquema estará formado por la reactancia correspondiente, figura 2.3b,. Figura 2.3. Modelo del generador. donde Zcc(k) = jLwk, será la reactancia del generador, de diferente valor para las distintas secuencias.. - 13 -.

(22) 2.5.. Modelización de los condensadores.. Los condensadores se representan como elementos ideales modelizados con su admitancia correspondiente según figura 2.4,. Figura 2.4. Modelo del condensador.. 2.6.. Modelización de las cargas.. En el estudio del flujo de cargas con armónicos realizado en la tesis es muy importante la modelización de las cargas ya que se consideran los elementos pasivos del sistema y de ellos dependerá fundamentalmente la distribución de los armónicos por la red.. Pero, por otra parte, existe el inconveniente de desconocer su constitución (en principio, únicamente se dispone de su consumo de potencia activa, P y reactiva, Q) y que su impedancia variará para cada armónico.. Por ello existen muchos estudios sobre el mejor modelo a adoptar para las cargas, [1], [2], [3], [5] y [9].. Se utilizará la modelización de la referencia [6] donde cada carga se representa por un modelo en el cual se conoce una función que dará el valor de las admitancias para cada orden de armónico tal como se presenta en la figura 2.5., - 14 -.

(23) Figura 2.5. Modelo de la carga.. Para la determinación de estas funciones se parte de un modelo constituido por dos ramas R-L serie en paralelo, según figura 2.6., una de ellas representando los consumos fuertemente inductivos y la otra los fuertemente resistivos, menos y más amortiguantes respectivamente.. Figura 2.6. Modelo R-L serie.. donde R1>X1=L1w (consumos fuertemente resistivos) y R2<X2=L2w (consumos fuertemente inductivos). Y dado el alto factor de potencia de las cargas fuertemente resistivas se podrá simplificar el esquema eliminando la inductancia de la rama 1 (R1>>>X1). Así partiendo del modelo propuesto se modeliza un conjunto de cargas en paralelo junto a los condensadores asociados, esquema de la figura 2.7., - 15 -.

(24) Figura 2.7. Modelo de conjunto de cargas en paralelo con condensador asociado.. donde los parámetros corresponden,. RR=R1. Consumos fuertemente resistivos.. RI=R2, XI=X2. Consumos fuertemente inductivos.. XC. Capacidades asociadas a la carga.. donde, (2.1). Se observa que una de las dificultades del modelo es que se deben determinar cuatro parámetros y sólo se disponen de dos datos, potencia activa y reactiva consumidas por la carga (P y Q). El problema se soluciona suponiendo que se conocen más datos sobre las características de los consumos, dichos datos serán los que fijen el modelo a adoptar para la carga que se está estudiando pues definirán su función.. En este punto, considerando que la carga no varía sus parámetros con los armónicos, existen dos modelizaciones posibles.. - 16 -.

(25) Modelización PM/PR. Se conocen, además de P y Q, los siguientes datos, cos ϕm. Factor de potencia medio a 50 Hz de la rama XI-RI.. PM/PR. Proporción de consumos de potencia activa debido a consumos fuertemente inductivos respecto a la debida a consumos fuertemente resistivos.. con ello se define,. con lo que el modelo final de la carga, Yt = Ft(k, Yt(1)) = gt(k) + j bt(k) según la expresión (2.1),. Modelización E. Se conocen, además de P y Q, los siguientes datos, cos ϕm. Factor de potencia medio a 50 Hz de la rama XI-RI.. E. Tanto por uno de energía reactiva compensada por los condensadores.. con ello se define,. con lo que el modelo final de la carga, Yt = Ft(k, Yt(1)) = gt(k) + j bt(k) según la expresión (2.1),. - 17 -.

(26) En la referencia [6] se han desarrollado los modelos (PM/PR y E) en el caso de consumos que varían sus parámetros con los armónicos (máquinas asíncronas). Dichos consumos no han sido utilizados en este trabajo aunque están contemplados en el programa desarrollado.. 2.7.. Modelización de los convertidores AC/DC.. Se trabaja con el convertidor AC/DC (convertidor trifásico de 6 pulsos controlado), figura 2.8., por ser el de uso más generalizado en las redes industriales.. Figura 2.8. Convertidor AC/DC de 6 pulsos.. El convertidor actúa como una fuente de armónicos distorsionando la tensión en el punto de conexión con otros consumidores, así como la de otros nudos de la red más alejados. Es. - 18 -.

(27) por ello que para realizar un estudio exacto de la influencia de dichos dispositivos en la distorsión armónica del flujo de cargas es necesario adoptar una representación adecuada del mismo.. Existen diferentes estudios sobre los convertidores AC/DC en la bibliografía, [2], [7], [12] y [17]. En la presente tesis se trabajará con un convertidor AC/DC ideal modelizado según [6] ya que su simplicidad permitirá abordar los estudios desarrollados en la misma.. Las hipótesis para el convertidor son,. -. La inductancia del lado de continua es infinita. La corriente IdD no tiene rizado.. -. La inductancia del lado de alterna es despreciable. La conmutación de los tiristores es instantánea.. -. Las tensiones de alimentación del convertidor son simétricas y equilibradas. El estado del convertidor es definido por los parámetros αd (ángulo de disparo de los. tiristores) y IdD (corriente en el lado de continua). Y el comportamiento del convertidor es definido por las expresiones que relacionan los datos con lo parámetros mencionados anteriormente.. Así, eligiendo los valores base para el lado de alterna, SBASE y UBASE, y los correspondientes valores base para el lado de continua, PD,BASE y UD,BASE, de forma que cumplen, SBASE= PD,BASE y UBASE= UD,BASE, referencia [6], dichas expresiones en p.u. son, El valor medio de la tensión UdD es, (2.2) El desarrollo de Fourier para la corriente consumida es, (2.3). - 19 -.

(28) La potencia en el lado de alterna es,. (2.4). y de (2.2) y (2.3) se obtiene, (2.5) El parámetro δk es 1 si k=6n+1 (secuencia directa) ó -1 si k=6n-1 (secuencia inversa) ó 0 si k=6n (secuencia homopolar), con n=0, 1, 2, .. .. - 20 -.

(29) 3.. FORMULACIONES DEL FLUJO ARMONICO DE CARGAS.. 3.1.. Introducción.. El análisis del flujo armónico de cargas pretende obtener la tensión fundamental y armónica de todos los nudos de una red y los parámetros que caracterizan los dispositivos no lineales a partir de las potencias activa y reactiva de cada nudo y de los datos que determinen el funcionamiento de los dispositivos no lineales. Considerando los distintos tipos de nudos existentes en la red,. 1. :. Slack o referencia (S). ag. :. Generador (G). g+1 a l. :. Carga (C). l+1 a n. :. Dispositivo no lineal (D). 2. Tabla 3.1 Tipos de nudos de la red. se define,. Matriz de admitancias de la red para un armónico k dado,. siendo Yim(k) = Gim(k) + jBim(k) el elemento de la matriz de admitancias entre los nudos i y m para un armónico k dado.. Tensiones armónicas de cada nudo i de la red para un armónico k dado,. las cuales pueden ser relacionadas con las intensidades inyectadas en la red por el método de los nudos, (3.1) Potencia activa y reactiva inyectadas en un nudo i de la red, - 21 -.

(30) (3.2) Parámetros que definen el estado de los dispositivos no lineales, αd y βd. Se trabajará con convertidores AC/DC por ser uno de los ejemplos más típicos de carga productora de armónicos en la red. Dependiendo del modelo utilizado para el convertidor los parámetros αd y βd representarán conceptos distintos. Considerando que a representa el número de armónicos más la fundamental la resolución del flujo armónico de cargas consistirá en plantear un sistema no lineal de tantas ecuaciones como incógnitas presente el problema. Estas se presentan en 6 grupos,. - Balance de potencias. - Balance de corrientes consumidas. - Balance de corrientes inyectadas. - Ecuaciones de los dispositivos no lineales (convertidores). - Balance de potencias consumidas en las cargas. - Expresión de las admitancias armónicas.. Así, debido a que la resolución numérica del sistema de ecuaciones planteado en el flujo de cargas puede dar problemas de capacidad de memoria requerida, de tiempo de ejecución y de convergencia (depende de la correcta inicialización del método de Newton) dado el gran número de incógnitas a tratar, existen en la bibliografía diversas formas de enfocar el problema que, en general, buscan la simplificación del mismo sin perder fiabilidad en el resultado final.. Se presentan 5 métodos distintos, [10], haciéndose un detallado balance de los datos, las incógnitas y las ecuaciones que intervienen en cada formulación y prestando atención a las diversas simplificaciones realizadas.. 3.2.. Método 1.. Se presenta en la referencia [18] y [22] donde se tiene, - 22 -.

(31) NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). V1(1). V1(k) (k=5, 7, ..). 2 (a - 1). (G). Ss. Vs(k) (k=1, 5, ..). 2 a (g - 1). (C). St. Vt(k) y Yt(k) (k=1, 5, ..). 4 a (l - g). (D). Pd y UdD. Vd(k) (k=1, 5, ..) y αd, βd. 2 (n - l) (a + 1). TOTAL:. 2 (a (n + l - g) + n - l - 1). Tabla 3.2 Planteamiento por el Método 1.. siendo Pd la potencia activa en el lado de alterna y UdD la tensión en el lado de continua del convertidor.. Para obtener las incógnitas del problema se plantea el mismo número de ecuaciones.. Balance de potencia: 2 (n-1) expresiones de las potencias activa y reactiva en todos los nudos de la red excepto el slack (i=2, .., n). Utilizando las expresiones (3.1) y (3.2) resultan las ecuaciones no lineales,. (3.3). donde k representa el orden del armónico perteneciendo dicho valor, siempre que las cargas sean simétricas, al conjunto K = (k∈N, k=6n+1 ó k=6n-1 con n=0, 1, ..) secuencias directa e inversa respectivamente.. La potencia reactiva consumida por el dispositivo no lineal no es un dato por lo que es calculada a partir de funciones o de rutinas numéricas según el modelo del dispositivo, Balance de corrientes: Teniendo en cuenta que los generadores, incluyendo el del nudo - 23 -.

(32) slack, (i=1, ..,g) y las cargas (i=g+1, .., l) no inyectan armónicos en la red o sea se comportan como una carga con admitancia Ys = gs + jbs conocida, correspondiente a la admitancia del generador en secuencia directa o inversa, o Yt(k) = gt(k) + jbt(k), correspondiente a la admitancia de carga. Para un orden de armónico dado (k = 5, 7, ..) al aplicar el método de los nudos (3.1) resulta, (3.4) y al separar las partes real e imaginaria resultan 2 l (a-1) expresiones,. Corrientes inyectadas: Los dispositivos no lineales (i=l+1, .., n) son cargas que inyectan armónicos en la red. En este sentido, se pueden calcular mediante expresiones, en modelizaciones sencillas, o mediante rutinas numéricas las 2 (n-l) (a-1) intensidades id(k), que inyectan para cada armónico (k = 5, 7, ..) igualándolas a las calculadas desde la red,. (3.5). Ecuaciones de los convertidores: Para todos los convertidores de la red (i=l+1, .., n) se plantean 2 (n-l) expresiones,. - 24 -.

(33) (3.6) donde pd y udD se determinan con funciones o rutinas numéricas que modelizan el convertidor y que permiten hallar la potencia en el lado de alterna y la tensión en el lado de continua del convertidor.. Además, para los nudos de carga (i=g+1, .., l) se tendrán las 2 (l-g) restricciones correspondientes a sus potencias consumidas, (3.7). y las 2 (l-g) (a-1) expresiones que definen el valor de las admitancias para cada orden de armónico k = 5, 7, .., (3.8) Así el número de ecuaciones es, ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.3) ............... 2 (n - 1). (3.4) ............... 2 l (a - 1). (3.5) ............... 2 (n - l) (a - 1). (3.6) ............... 2 (n - l). (3.7) ............... 2 (l - g). (3.8) ............... 2 (l - g) (a - 1). TOTAL:. 2 (a (n + l - g) + n - l - 1). Tabla 3.3 Balance de ecuaciones para el Método 1. que corresponden, según lo presentado, a las siguientes expresiones,. - 25 -.

(34) 3.3.. Método 2.. Es una simplificación del método anterior donde se consideran las potencias debidas únicamente a la onda fundamental.. Esto hace que desaparezcan las admitancias de las cargas como incógnitas pues las fundamentales podrán ser calculadas a través de la potencia y la tensión fundamental de cada nudo, y las armónicas con sus expresiones correspondientes.. Así se tiene, - 26 -.

(35) NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). V1(1). V1(k) (k=5, 7, ..). 2 (a - 1). (G). Ss. Vs(k) (k=1, 5, ..). 2 a (g - 1). (C). St. Vt(k) (k=1, 5, ..). a (l - g). (D). Pd y UdD. Vd(k) (k=1, 5, ..) y αd, βd. 2 (n - l) (a + 1). TOTAL:. 2 (n (a + 1) - l - 1). Tabla 3.4 Planteamiento por el Método 2. siendo Pd la potencia activa en el lado de alterna y UdD la tensión en el lado de continua del convertidor.. Para obtener las incógnitas del problema se deben plantear el mismo número de ecuaciones.. Balance de potencia: 2 (n-1) ecuaciones de las potencias activa y reactiva, expresión (3.3), en todos los nudos i de la red excepto el slack (i=2, .., n) para k=1 (potencia producida sólo por la onda fundamental).. Balance de corrientes: Para el nudo slack y los nudos de generador y carga (i=1, .., l), las 2 l (a-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.4).. Corrientes inyectadas: Las 2 (n-l) (a-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.5).. Ecuaciones de los convertidores: Para todos los convertidores de la red (i=l+1, .., n) se plantean las 2 (n-l) expresiones correspondientes a (3.6).. Así el número de ecuaciones es,. - 27 -.

(36) ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.3) ............... 2 (n - 1). (3.4) ............... 2 l (a - 1). (3.5) ............... 2 (n - l) (a - 1). (3.6) ............... 2 (n - l). TOTAL:. 2 (n (a + 1) - l - 1). Tabla 3.5 Balance de ecuaciones para el Método 2. que corresponden según lo presentado a las siguientes ecuaciones,. Para cada iteración se deberán actualizar las admitancias fundamentales de las cargas considerando que la potencia que consumen es la fundamental,. - 28 -.

(37) (3.9) y a partir de su valor y de la expresión (3.8) se actualizarán las admitancias armónicas.. 3.4.. Método 3.. Se presenta en la referencia [17]. Es similar al método 2 considerando las potencias fundamentales pero presenta un enfoque distinto para los datos del convertidor. Así, se tiene, NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). V1(1). V1(k) (k=5, 7, ..). 2 (a - 1). (G). Ss. Vs(k) (k=1, 5, ..). 2 a (g - 1). (C). St. Vt(k) (k=1, 5, ..). a (l - g). (D). Pd y Sd. Vd(k) (k=1, 5, ..) y αd, βd. 2 (n - l) (a + 1). TOTAL:. 2 (n (a + 1) - l - 1). Tabla 3.6 Planteamiento por el Método 3. siendo Pd y Sd la potencia activa y aparente en el lado de alterna del convertidor. Para obtener las incógnitas del problema se deben plantear el mismo número de ecuaciones.. Balance de potencia: Para los nudos lineales, excepto el slack (i=2, .., l), las 2 (l-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.3) para k=1 (potencia fundamental).. Balance de corrientes: Para el nudo slack y los nudos de generador y carga (i=1, .., l), las 2 l (a-1) ecuaciones correspondientes a la expresión (3.4) para cada armónico.. Corrientes inyectadas: Para los convertidores se conocen las 2 (n-l) a expresiones de la intensidad eficaz id(k) que inyectan para cada armónico y la onda fundamental, (3.5).. - 29 -.

(38) Modelizando el convertidor como una fuente de intensidad armónica cuya inyección corresponde a id(k, .., Vd(k), .., αd, βd) se obtienen las 2 (n-l) expresiones de la potencia en los nudos no lineales, (3.10). Así el número de ecuaciones es, ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.3) ............... 2 (l - 1). (3.4) ............... 2 l (a - 1). (3.5) ............... 2 a (n - l). (3.10) .............. 2 (n - l). TOTAL:. 2 (n (a + 1) - l - 1). Tabla 3.7 Balance de ecuaciones para el Método 3. que corresponden, según lo presentado, al siguiente sistema,. - 30 -.

(39) Para la primera iteración se actualizan las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas según las expresiones (3.8) y (3.9).. 3.5.. Método 4.. Se presenta en la referencia [9]. SUBPROBLEMA 1 NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). V1(1). ----------. 0. (G). Ss. Vs(1). 2 (g - 1). (C). St. Vt(1). 2 (l - g). (D). ------. Vd(1). 2 (n - l). SUBTOTAL 1:. 2 (n - 1). SUBPROBLEMA 2 NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). -----. --------. 0. (G). -----. --------. 0. (C). -----. --------. 0. (D). Pd y Sd. Vd(k) (k=5, 7, ..) y αd, βd. 2 a (n - l). SUBTOTAL 2: TOTAL:. 2 a (n - l) 2 ((n - 1) + a (n - l)). Tabla 3.8 Planteamiento por el Método 4. siendo Pd y Sd la potencia activa y aparente en el lado de alterna del convertidor. - 31 -.

(40) Este método es una simplificación del método 3 considerándose las potencias fundamentales y actualizándose las admitancias de las cargas en cada iteración.. Se descompone el problema del flujo armónico de cargas en dos subproblemas que se resuelven separadamente, tabla 3.8.. El primero es un flujo de cargas fundamental con 2 (n-1) incógnitas correspondientes a las tensiones fundamentales de todos los nudos excepto el slack.. Y el segundo es un balance de corrientes armónicas con 2 a (n-l) incógnitas correspondientes a las tensiones armónicas de los nudos no lineales y los parámetros de los dispositivos no lineales.. Para resolver el problema fundamental se plantean 2 (l-1) ecuaciones correspondientes a las potencias consumidas en los nudos lineales considerándolas producidas sólo por la onda fundamental y 2 (n-l) ecuaciones correspondientes a la inyección fundamental de intensidad en los nudos no lineales, expresión (3.3) y (3.5) respectivamente para k=1.. Después de resolver el problema anterior se actualizarán las admitancias fundamentales y armónicas de las cargas considerando la potencia consumida por ellas fundamental según (3.8) y (3.9) y se calcula el equivalente thevenin visto desde los nudos no lineales (Zthd(k), k=1, 5, 7, .. y Ethd(1)). Posteriormente se pasa a resolver el problema armónico trabajándose con la modelización del convertidor, id(k) y planteándose las 2 (n-l) ecuaciones de la potencia en los nudos no lineales, expresión (3.10) y las 2 (n-l) (a-1) ecuaciones de la inyección armónica en dichos nudos, (3.11) siendo Ythd(k), la admitancia thevenin armónica en el nudo no lineal. Así el número de ecuaciones es, - 32 -.

(41) SUBPROBLEMA 1 ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.3, nudos lineales) ............................ 2 (l - 1). (3.5, k = 1) ...................................... 2 (n - l). SUBTOTAL 1:. 2 (n - 1). SUBPROBLEMA 2 ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.10) .......................................... 2 (n - l). (3.11) .......................................... 2 (n - l) (a - 1). SUBTOTAL 2: TOTAL:. 2 a (n - l) 2 ((n - 1) + a (n - l)). Tabla 3.9 Balance de ecuaciones para el Método 4. que corresponden, según lo presentado, al siguiente sistema,. - 33 -.

(42) Para cada subproblema se controlará su convergencia particular y después de finalizar el planteamiento armónico se recalculará la intensidad fundamental inyectada en los nudos no lineales, id(1), y con ella la tensión fundamental en dichos nudos,. La convergencia de todo el proceso se considera cuando la diferencia entre el valor de las tensiones fundamentales de los nudos no lineales obtenidas por el primer subproblema y el segundo sea menor que un error dado.. Resuelto el flujo de cargas se pueden calcular las tensiones armónicas de los nudos lineales a partir del sistema lineal, (3.12) 3.6. Método 5.. Se presenta en las referencias [12], [13], [14] y [15].. Presenta una forma de enfocar el problema similar a la del método 4 considerando las potencias fundamentales y actualizándose las admitancias de las cargas en cada iteración.. Se descompone el problema del flujo armónico de cargas en dos subproblemas que se resuelven separadamente, tabla 3.10.. El primero es un flujo de cargas fundamental, reparto de cargas al fundamental, con 2 (n-1) incógnitas correspondientes a las tensiones fundamentales de todos los nudos excepto el slack.. Y el segundo, denominado análisis armónico iterativo (IHA), analiza los armónicos para los nudos no lineales con 2 (a-1) (n-l) incógnitas correspondientes a las tensiones armónicas de los nudos no lineales.. - 34 -.

(43) SUBPROBLEMA 1. (Onda fundamental). NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). V1(1). ----------. 0. (G). Ss. Vs(1). 2 (g - 1). (C). St. Vt(1). 2 (l - g). (D). ------. Vd(1). 2 (n - l). SUBTOTAL 1: SUBPROBLEMA 2. 2 (n - 1) (IHA). NUDO. DATOS. INCOGNITAS. NUM. DE INCOGNITAS. (S). -----. --------. 0. (G). -----. --------. 0. (C). -----. --------. 0. (D). Pd y Qd. Vd(k) (k=5, 7, ..) SUBTOTAL 2: TOTAL:. 2 (a - 1) (n - l) 2 (a - 1) (n - l) 2 ((n - 1) + (a - 1) (n - l)). Tabla 3.10 Planteamiento por el Método 5.. siendo Pd y Qd la potencia activa y reactiva en el lado de alterna del convertidor Para resolver el problema fundamental se plantean 2 (l-1) ecuaciones correspondientes a las potencias consumidas en los nudos lineales considerándolas producidas sólo por la onda fundamental y 2 (n-l) ecuaciones correspondientes a la inyección fundamental de intensidad en los nudos no lineales, expresión (3.3) y (3.5) respectivamente para k=1.. Después de resolver el problema anterior se actualizan las admitancias fundamental y - 35 -.

(44) armónicas de las cargas considerando la potencia consumida por ellas fundamental según expresiones (3.8) y (3.9) y se inicia el análisis armónico iterativo (IHA).. A partir de las tensiones en los terminales de los convertidores se determinará su inyección armónica de corriente, id(k), y con ella se recalcularán las tensiones armónicas en los nudos no lineales resolviendo el sistema lineal Ibus(k)=Ybus(k) Vbus(k) en dichos nudos, [11]. Con las nuevas tensiones armónicas se actualizará la inyección de corriente armónica en la red iniciándose nuevamente el proceso anterior.. Matemáticamente el algoritmo IHA puede ser resumido para la iteración i por los siguientes pasos, [13] y [14],. i). Determinación de la inyección armónica de corriente. (3.13). donde f(V) representa la función no lineal del convertidor que proporciona la inyección de corrientes armónicas a partir de las tensiones de dicho convertidor.. ii). Cálculo de las nuevas tensiones armónicas. (3.14) Eliminando las corrientes de las expresiones (3.13) y (3.14) se obtiene el sistema no. lineal, (3.15) que caracterizará el problema del análisis armónico (IHA). De esta forma el estudio del convertidor puede ser realizado de forma independiente, [16], lo que supone una ventaja.. Este proceso iterativo se repite hasta la convergencia de las tensiones armónicas, si ésta se produce en la primera iteración la resolución del flujo de cargas total habrá finalizado, en caso contrario se vuelve a repetir el flujo de cargas fundamental modificado por las nuevas condiciones de los elementos no lineales. - 36 -.

(45) Así el número de ecuaciones es, SUBPROBLEMA 1 ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.3, nudos lineales) ............................ 2 (l - 1). (3.5, k = 1) ...................................... 2 (n - l). SUBTOTAL 1:. 2 (n - 1). SUBPROBLEMA 2 ECUACIONES. NUMERO DE ECUACIONES. (3.15) .......................................... 2 (a - 1) (n - l). SUBTOTAL 2:. 2 (a - 1) (n - l). TOTAL:. 2 ((n - 1) + (a - 1) (n - l)). Tabla 3.11 Balance de ecuaciones para el Método 5. que corresponden, según lo presentado, al siguiente sistema,. Resuelto el flujo de cargas se pueden calcular las tensiones armónicas de los nudos lineales a partir del sistema lineal (3.12). - 37 -.

(46) 3.7.. Simplificación sobre la aportación armónica a la potencia.. Se ha visto que la consideración de la potencia consumida como fundamental es una simplificación frecuente y que reduce en gran medida el número de incógnitas del problema, y por tanto su complejidad.. Al suponer esto desaparecen como variables no conocidas las admitancias fundamental y armónica de las cargas, es decir 2 a (l-g) incógnitas, ya que podrán ser calculadas con la potencia y la tensión en los nudos y con las ecuaciones correspondientes a las admitancias armónicas, expresiones (3.8) y (3.9).. En general esta simplificación es correcta dada la baja aportación armónica frente a la fundamental respecto al consumo de potencia aunque pueden existir casos, como el presentado de la figura 3.1, analizado en el punto 6,. Figura 3.1. Sistema a estudio. donde se alcanzan resultados distintos (figuras 3.2, ángulo de disparo del convertidor, y 3.3, parte imaginaria de la admitancia fundamental en el nudo de carga) al resolverlo con el algoritmo de Newton por el planteamiento propuesto en el método 1 y en el método 2 por no verificarse lo anterior.. - 38 -.

(47) Figura 3.2. Angulo de disparo del convertidor, α3.. Figura 3.3. Parte imaginaria de la admitancia fundamental. - 39 -.

(48) 4.. METODOS NUMERICOS UTILIZADOS EN LA RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEAL.. 4.1.. Introducción.. El estudio del flujo de cargas lleva a plantear un sistema de ecuaciones no lineales que se expresará como un sistema no lineal igualado a cero de la forma, (4.1) Este sistema puede presentar múltiples soluciones matemáticamente posibles y su resolución numérica debe proporcionar la solución físicamente correcta, x(s). Existen distintos métodos para la resolución del sistema de ecuaciones (4.1).. El método de Newton es el más utilizado en la bibliografía, [7], [19] y [22], para la resolución del flujo armónico de cargas. Este método tiene como ventaja una relativa simplicidad y una rápida convergencia pero tiene el inconveniente que su convergencia únicamente se puede asegurar si los valores iniciales de las incógnitas están lo suficientemente cerca de la solución (dominio de atracción de la solución).. Así en el estudio del flujo de cargas convencional, [20] y [21], y del flujo armónico de cargas, [22], para sistemas mal condicionados el método de Newton puede presentar problemas de convergencia. Estos problemas son más frecuentes en el flujo armónico de cargas dada la dificultad en la inicialización de la fase de las tensiones armónicas.. Con el fin de intentar mejorar la convergencia del método de Newton existen en la bibliografía los métodos de Newton modificados [20], [26], [27], [28] y [29], basados algunos de ellos en criterios de optimización. Estos métodos aún suponiendo una mejora respecto al método de Newton no aseguran la convergencia global a la solución correcta del problema porque pueden converger hacía mínimos locales del sistema tratado.. Por otra parte, frente a la resolución del flujo armónico de cargas mediante el método de Newton, limitado por la elección de las condiciones iniciales, existe como alternativa para - 40 -.

(49) los casos de no convergencia los métodos de continuación, [22], [30], [31], y en concreto el método de Davidenko en los que no existen problemas debido a la elección de las condiciones iniciales aunque, por contra, el proceso de cálculo es más lento. En este método la elección del valor inicial no es crítica, siempre que corresponda a una situación físicamente real, ya que la homotopía conduce de dicho valor hacia la solución.. 4.2.. Método de Newton.. El método de Newton partiendo de unas condiciones iniciales x(0) genera una secuencia de valores x(1), .., x(i), .., x(m) que convergen a la solución x(s) si las condiciones iniciales, x(0), están suficientemente próximas a ella. En particular, tal como se puede ver en la referencia [22], consiste en la aplicación iterativa del algoritmo, (4.2) desde el valor inicial, x(0). Donde DF(x) es el jacobiano de la función F(x). El proceso iterativo finaliza cuando F(x) 2<∈ (un valor usual de ∈ es 10-4).. Figura 4.1. Convergencia del método de Newton. La convergencia hacia una solución del algoritmo está asegurada por el teorema de Newton-Kantorovich, [6], si se cumplen ciertos requisitos. De estos, los más importantes son que el punto inicial debe estar suficientemente cerca de la solución y dentro de un. - 41 -.

(50) determinado recinto, donde F(x) sea continuamente diferenciable. Esto queda ilustrado en la figura 4.1. donde el proceso numérico diverge o tiende a otra solución si la inicialización es x2(0) por estar fuera del dominio de atracción de la solución, x(s), mientras que el proceso converge si la inicialización es x1(0).. Así, este algoritmo tiene la ventaja de una rápida convergencia si las condiciones iniciales, x(0), están próximas a la solución buscada. Es por ello que una mala elección de las tensiones armónicas iniciales puede dar problemas de convergencia, los cuales son,. -. El método es divergente, [7].. -. El método converge hacia una solución falsa, [6] y [23].. -. El método converge después de muchas iteraciones, [19].. tal como se estudiará en ejemplos posteriores.. Los problemas de convergencia son más habituales en el estudio del flujo armónico de cargas porque los valores iniciales de los ángulos de las tensiones armónicas pueden ser muy diferentes de los ángulos solución. Así, los sistemas mal condicionados son más frecuentes en el flujo armónico de cargas que en el flujo de cargas convencional.. 4.3.. Métodos de Newton modificados. Los métodos de Newton modificados incorporan al algoritmo de Newton, (4.2), un factor amortiguante, λ, reescribiéndose el algoritmo de la forma, (4.3) El objetivo de este factor es amortiguar el efecto del término,. para evitar la divergencia del método de Newton debido a "saltos" excesivamente grandes en alguna iteración.. - 42 -.

(51) Existen distintos criterios en la bibliografía para su determinación,. En la referencia [29] y [32] el factor amortiguante tiene la expresión. así, para cada iteración i se buscará el valor del parámetro ni (partiendo de ni=0) que lleve a cumplir la condición F(x(i+1)) ∞< F(x(i)) ∞. En la referencia [26] se presentan 3 variantes de los métodos de Newton modificados atendiendo al criterio del cálculo de λ(i). La primera consiste en utilizar dos factores amortiguantes fijos. Un primer factor, S1, inferior a la unidad, p.ej. λ(i) = S1 = 0.5, para las primeras iteraciones hasta que la función error fuese inferior a un determinado valor ∈, F(x(i)) ∞< ∈. Y un segundo factor, S2, mayor que el primero, p. ej. λ(i) = S1 = 1.0, para finalizar el proceso iterativo. Con ello se controla la convergencia del método en las primeras iteraciones, que suelen ser las más críticas, para luego acelerar el proceso aumentando el valor de λ(i). La segunda consiste en que en cada iteración el factor de la variante anterior, λ(i) = S1 ó S2, es reducido siempre que el término ∆x(i) = DF(x(i))-1 F(x(i)) supere un cierto límite L1, p. ej. ∆x(i) > L1 = .25 p.u. Y su determinación se realiza imponiendo que las tensiones armónicas no superen un límite L2, p. ej. x(i+1) < L2 = .4 p.u. Es decir,. La tercera variante es similar a la presentada en la referencia [29] y [32] pero utiliza un factor amortiguante distinto para cada armónico, por lo que el algoritmo (4.3) se reescribe de la forma,. donde [λ(i)] es un vector cuyos términos son,. - 43 -.

(52) Idénticamente que en [29] y [32] para cada iteración y, en esta variante, para cada armónico se buscará el valor de nik que lleve a cumplir la condición general F(x(i+1)) ∞< F(x(i)). ∞. y las condiciones particulares. Fk(x(i+1)) ∞< Fk(x(i)) ∞.. En la referencia [20], formulando el problema en coordenadas rectangulares, el multiplicador óptimo para una iteración i, λ(i) se determina minimizando la función H( λ),. donde, considerando el sistema (4.1) como [F(x)] = [G(x)] - [Gdat] = 0, se tiene,. Los métodos de Newton modificados mejoran la convergencia del método de Newton al controlar los "saltos" del proceso iterativo con el factor amortiguador pero no aseguran dicha convergencia pudiéndose alcanza mínimos locales de la función estudiada. Así, en estos casos el factor multiplicador λ(i) obtenido en una iteración es muy próximo a cero, [29], por lo que el proceso iterativo queda detenido y no converge a la solución del problema. Esto ocurre al alcanzar un punto de jacobiano singular, DF(x(i)) =0, ya que la reducción del término DF(x(i))-1 F(x(i)) impone un factor λ(i) cercano a cero. 4.4.. Métodos de continuación. Método de Davidenko.. En los métodos de continuación a partir del sistema no lineal (4.1), por medio de una parametrización, se fabrica una homotopía o camino,. que lleva de un valor arbitrario x(0) a la solución del problema, x(s). La homotopía es seleccionada tal que, - 44 -.

(53) por lo que los valores iniciales y finales son solución del problema original.. Diferenciando la función implícita respecto a t se obtiene la ecuación diferencial,. cuya resolución numérica con las condiciones iniciales proporcionará la curva x(t) que finaliza para tm en la solución. El procedimiento que se detalla aquí es el método de Davidenko, [31], que pertenece a la amplia gama de los métodos de continuación [25].. En el método de Davidenko es definida la homotopía exponencial, (4.4) donde el parámetro t va de 0 a ∞ y x(0) es un valor inicial arbitrario. Así, la homotopía va desde un valor inicial arbitrario,. a la solución del problema,. de forma continua.. Derivando la homotopía (4.4) respecto a t es posible obtener el problema de ecuaciones diferenciales, (4.5) La resolución numérica del problema, [22], nos permitirá obtener el camino que recorre. - 45 -.

(54) la homotopía al variar t. Este camino finaliza para t ⇒ ∞ en la solución, x(s). En la práctica, es suficiente alcanzar t=5 para obtener una buena aproximación a la solución.. La resolución numérica de la ecuación de Davidenko, (4.5), puede ser obtenida con cualquier algoritmo de ecuaciones diferenciales [25] (p.ej. Runge-Kutta, predictor-corrector, ..). Usando el método de Euler se tiene el algoritmo iterativo, (4.6) donde el paso de integración h es constante.. Como se puede comprobar el algoritmo obtenido a través de la resolución de la ecuación diferencial por el método de Euler coincide con el propuesto en los métodos de Newton modificados (4.3) y si se utiliza un paso de integración unidad, h=1, se obtiene el algoritmo de cálculo del método de Newton (4.2).. Figura 4.2. Convergencia del método de Davidenko. La aplicación del algoritmo (4.6) da lugar, aproximadamente, a un conjunto de aplicaciones sucesivas del método de Newton, en el cual podemos estar todo lo cerca que se quiera de la solución local de cada paso del proceso de resolución. Así, debido a la especial - 46 -.

(55) forma de evolucionar el método para asegurar la convergencia a una solución x(s) basta con que se cumplan las soluciones del teorema local de Newton, a diferencia del teorema de Kantorovich, que es un teorema de convergencia global. Esto queda ilustrado en la figura 4.2.. La condición crítica que impone el teorema local de Newton es que el jacobiano de F(x) sea invertible.. Así, la utilización de un paso de integración grande puede dar problemas de estabilidad en el proceso si las condiciones iniciales no están próximas a la solución. Es por ello que se deberá utilizar un paso de integración suficientemente pequeño con el fin de asegurar la convergencia pero ello supondrá que el proceso de cálculo sea muy lento.. La ventaja del método de Davidenko, es que, partiendo de una situación físicamente real se asegura la convergencia de forma continua a la solución del problema sin que la elección de las condiciones iniciales deba ser realizada por el usuario. Así tomando como condiciones iniciales las de reposo del sistema (inicialización trivial) el proceso seguido por el método puede ser interpretada como una lenta y continua puesta en marcha del sistema hasta las condiciones de carga establecidas. Esta interpretación física ofrece interesantes posibilidades al estudio del flujo armónico de cargas como comprobaremos en los ejemplos posteriores.. Como desventaja está la lentitud del proceso hasta que se obtienen los resultados finales.. 4.5.. Elección de las condiciones iniciales.. En la implementación del método de Newton es el usuario quien decide los valores de las condiciones iniciales y, como ya se ha comentado, una mala elección de dichos valores puede llevar a la divergencia del método.. En este sentido cuando se utiliza para la resolución del flujo de cargas convencional, sin armónicos, no suele presentar problemas porque las tensiones de los nudos de la red son próximas a la del nudo slack, y éstas suelen ser condiciones iniciales suficientemente buenas aunque tal como se menciona - 47 -.

(56) en la referencia [25] existen casos de redes mal condicionadas donde se pueden presentar problemas de convergencia.. En el estudio del flujo de cargas con armónicos existirá el problema de la elección de las condiciones iniciales para las tensiones armónicas, Vi(k) para i=1, .., n y k=5, 7, .., ya que no serán comparables a la fundamental del slack, la única conocida, y no se tendrá ningún criterio de elección en especial para la fase de dichas tensiones (el modulo es predecible que sea de valor reducido si el índice de distorsión armónica es bajo), lo que puede llevar a importantes problemas de convergencia tal como se menciona en [19].. La inicialización más habitual utilizada en la bibliografía, [19], para las tensiones es,. existiendo distintos criterios para la inicialización de los parámetros del convertidor según sea su modelización. De acuerdo con [6],. donde α2(0) se deduce de (2.2) sin considerar la presencia de armónicos. Los métodos de Newton modificados siguen el mismo criterio que el método de Newton en la elección de las condiciones iniciales y la utilización del factor multiplicador que se incorpora al algoritmo perseguirá reducir los problemas de convergencia que aparecen debido a la dificultad en la inicialización de las tensiones armónicas.. El planteamiento utilizando los métodos de continuación, y en concreto el método de Davidenko, permite un enfoque distinto del problema de las condiciones iniciales dado que su elección, siempre que corresponda a una situación real, no será crítica por establecerse un - 48 -.

(57) camino continuo a través de la homotopía entre dichos valores y la solución del problema.. El hecho de poder elegir el punto de inicio invita a hacerlo como el punto de "reposo" del sistema, el cual suele tener una solución trivial. En el flujo armónico de cargas tal situación corresponderá a la de un sistema que no consume potencia, por tanto no existe inyección de armónicos por parte de los convertidores. Esta circunstancia permite representar la evolución del método de continuación como una "lenta" puesta en marcha del sistema lo que facilita el análisis de los resultados intermedios y apoya la idea de que la solución hallada sea la físicamente correcta. El método de Davidenko permite dar la interpretación física de que la homotopía se inicia en el estado del sistema relajado y progresivamente éste evoluciona hasta alcanzar para t ⇒ ∞ el régimen de funcionamiento planteado en el problema, obteniéndose para dicho régimen las soluciones buscadas. La idea de comenzar el proceso en el estado de reposo de la red lleva a realizar las siguientes inicializaciones.. El consumo de potencia será nulo en las cargas y los convertidores. Así, aproximadamente, la siguiente inicialización es posible,. No existe inyección inicial de armónicos, al no existir consumo de potencia por parte de los convertidores, por lo que se deberían inicializar las tensiones armónicas de todos los nudos a cero. Esto provoca problemas de dependencia lineal en el jacobiano en la primera iteración por lo que se inicializarán las tensiones como las producidas por una inyección armónica correspondiente al consumo de los convertidores de una potencia con un valor próximo a cero (pequeña fracción de su potencia nominal, Pd = 10-3 Pdato) con Ud = UdDato. Así, los valores iniciales de las tensiones armónicas son calculados con,. donde Ibus(k) es la corriente inyectada cuando los convertidores AC/DC consumen un pequeño porcentaje de su potencia nominal. Con esta pequeña modificación el sistema continua estando próximo a la condición de reposo.. - 49 -.

(58) Para los convertidores se ha considerado como condición de reposo un consumo de potencia nulo mientras que la tensión en el lado de continua no es cero debido a que la tensión en el lado de alterna es la del slack por lo que estas condiciones deberán ser trasladadas a las variables que definen su comportamiento. Así, la inicialización de los parámetros del convertidor según [6],. Al ser nulo el consumo de potencia las admitancias fundamentales de las cargas tendrán un valor también nulo y las correspondientes admitancias armónicas adoptarán el valor que se deduzca de su función imponiendo la condición anterior.. 4.6.. Comentario a los métodos presentados.. Se han presentado el método de Newton, las modificaciones existentes sobre dicho método y el método de Davidenko para la resolución de los sistemas de ecuaciones no lineales que se obtienen en el flujo armónico de cargas.. Como ya se ha comentado la incorporación del factor amortiguante al método de Newton, método de Newton modificado, mejora su convergencia aunque no la asegura pudiendo aparecer en el proceso iterativo problemas de convergencia hacia mínimos locales de F(x) .. El método de continuación, por una parte ofrece un enfoque nuevo de la resolución numérica a través de las ecuaciones diferenciales lo que permitirá utilizar todas sus herramientas para el tratamiento del problema. Así, resolviendo la ecuación diferencial (4.5) con el método de Euler se obtiene de forma justificada al algoritmo propuesto por los métodos de Newton modificados dando una justificación teórica a la utilización del factor multiplicador λ y su influencia en la convergencia del proceso al corresponder al paso de integración h. - 50 -.