Máximo relativo en x = 1

(1)

PRUEBA A PROBLEMAS

PR-1.- .- a) Hállese el valor de a para el que la recta y el plano

⎩ ⎨ ⎧

= − +

= + − ≡

2 5 2

1 2

z y x

z y x r

0 1=

+ + − ≡ax y z

π sean paralelos

b) Para a =2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a π a) Los vectores directores de recta y plano son perpendicularesy por ello su producto escalar nulo.

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

1

)

6 3

(

1

)

2 0 4

(

1

)

7 0 4 7 4 0

0

1 3 1

1 1 2

1

, , 1 0

, 0 , 1 , ,

1 , 3 , 1

1 , 1 , 2 0

, 0 , 1 )

2 0

1 3 0

1 , 1 , 1 , 3 , 1 0

1 , 1 ,

1 , 3 , 1 3

1

3 1

2 1

1 1

3 3 3

= − − + ≡ ⇒ = + − − − ⇒ = − − − + + + − −

⇒ = −

− ≡ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = −

=

≡ − ≡

= ⇒ = + − ⇒ = − ⋅ ⇒

= ⋅ ⇒ ⊥

⇒

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− ≡

≡ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= =

+ = ≡ ⇒ = ⇒ = + − + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

z y x z

y x

z z y x

z y x

z y x z

y x RG

v v

r recta la de punto R

b

a a

a v

v v v

a v

v z

y x r z y z

y z z

x z

x

r r r

r

β β

λ λ

λ

π π π

(2)

PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento , sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para

todo x se tiene que

x

xe x f( )= −

e x f( )≤ 1

]

1 ,

b) Pruébese que la ecuación 3x =ex tiene alguna solución en

(

−∞

(

)

< ⇒ − > − ⇒ >

ℜ ∈ ∀ ⇒ > −

⇒ > ⇒

− =

−

= − − − − −

1 1

0 0 1

0 ) ( ' 1

) ( '

x x

x e e

x f o Crecimient x

e xe e x f

x x

x x x

∞

(

)

⎩ ⎨ ⎧

− ⇒ >

1 0

x

1 −∞

0

> −x

e ( + ) ( + )

x < 1 ( + ) ( - )

Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0

Crecimiento ∀x∈ℜ/x<1 Decrecimiento ∀x∈ℜ/x>1

Máximo relativo en x = 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ = ⋅

= −

e e

e

f(1) 1 1 1 1,1 , de crecimiento pasa a

decrecimiento Asíntota vertical

Como Dom

( )

f =∀x∈ℜ, no existen asíntotas verticales Asíntota horizontal

horizontal asíntota

existe No x

Cuando xe

xe y

y e

e x xe

y

x x

x x Hopital L Aplicando x

x x x

⇒ −∞ → ⇒

−∞ = − = =

= ⇒ ∞ ⇒

= ∞ = =

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ = =

=

∞ → − −∞ →

∞ → ∞

→ − ∞ →

lim lim

0 0

1 1 lim lim

lim ' Cuandox→

Asíntota oblicua

oblicua asíntota

existe No x

Cuando e

x xe m

oblicua asíntota

existe No x

Cuando e

x xe m

x x x

x

x x x

x

⇒ −∞ → ⇒

∞ = =

=

⇒ ∞ → ⇒

= ∞ = =

=

∞ → −

−∞ →

∞ → −

∞ →

lim lim

0 1 1 lim lim

(

)

[

(

)

]

(

)

(

)

(

)

[

(

)

]

(

)

(

)

( )

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ⇒ =

⇒ =

= − =

⇒ − =

− − −

− = − −

= = ⇒ = −

⇒ = − −

⇒ = ⇒

− −

= − + − = − −

− =

−

− −

−

− −

−

2 2

2 , 2 .

2 2 2

1 2 3 )

( ' ' ' 3

2 2

) ( '' '

2 0

2

0 2

0 ) ( ' ' 2

1 1 1

) ( ' '

inf

e e

f x

e e

x f x e

e x e

x e

x f

x x

x e

x f x e

x e

e x f

lexión de

Punto

x x x

x

x x

(3)

Continuación del Problema 1 de la opción A

ℜ ∈ ∀ ⇒ > ⇒ ℜ ∈ ∀ ⇒ > −

⇒ ℜ ∈ ∀ ⇒ > − ⎩

⎨ ⎧

⇒ ℜ

∈ ∀ ⇒ >

ℜ ∈ ∀ ⇒ > ⇒ > − ⇒

− = − =

− ₊ − − − −

x e

x e x

e x e

x e

x e x

e

x x e x

e e

x e e

ex e e

x e

x x

x x x

x x

x x x

x x

1 0

1

0 0

0

1 1 1 1 1

1

Veamos si g(x) se anula

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo

b

( )

=3 − ⇒⎧

( )

1 =3.1− >0

1 e g

e x x

g x

( )

⎩ ⎨

< − = −

=3.0 1 0

0 )

0 e g

(

−∞, 1

]

T Si

eorema de conservación del signo

f(x) es continua en x₀ y f

( )

x₀ ≠0, entonces existe un entorno x₀,

(

x₀ −δ ,x₀ +δ

)

≠0, en el que la función tiene el mismo signo que f

( )

x₀

(

)

, es decir

( )

[

f x

]

=sign

[

f

( )

x₀

]

,∀x∈ x₀ −δ , +δ

sign x₀

Corolario: Si una funciónes continua en un punto , y toma valores positivos

en todo entorno de entonces

0

x

( )

0 =−1 x₀ g

( )

x₀ =0

( )

e

g1 =3− ypositivos g

onsecuencia de todo ello C

Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto s del intervalo

signo en los extremo

[

sign f

( )

a ≠sign f

( )

b

]

, ent , un punto c∈

(

a,b

)

tal que f (c) = 0

onces existe, al menos

Como

[

sign f

( )

1 =3−e≠sign f

( )

0 =−1

]

, entonces existe, al menos, un punto

[

0, 1

]

∈

(

−∞,1

]

∈

(4)

CUESTIONES

C-1.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ =

2 1 2

1

1 1 1

m

m m A

Al ser un sistema de ecuaciones homogéneas, los valores que no anulen al determinante de la matriz de los coeficientes darán lugar a sistemas Compatibles Determinados con solución trivial (0 , 0 , 0), los valores que lo anulan generan sistemas Compatibles Indeterminados

(

)

{ }

( )

(

)

( )

(

λ μ ,λ,μ

)

min det . .

1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

2 2 2

1 1 1

1

0 , 0 , 0

min .

. .

3 0

1

1 2 2 0

4 4 0

1 2 0

1 2 1

3 2

1 2

2

2 1 2

1

1 1 1

2 2

− − ⇒

− − =

⇒ = ⇒

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

=

⇒ ⇒

= = ⇒

≠ ⇒ − ℜ ∈ ∀

= = ⇒ = − = Δ ⇒ = + − ⇒ = − + − ⇒ =

− + − = − + − − = − + − − + + + = +

=

Solución z

y x

ado er

In Compat Sist

A rang A

m Si Solución

ado Deter

Compat Sist

incognitas Num

A rang A

m

m m

m A

Si

m m m

m m

m

m m A

C-2.- Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(2 , 1 , -1), estácontenida enel plano π ≡ x+2y+3z =1, y es perpendicular a la recta

⎩ ⎨ ⎧

+ =

− = ≡

4 3 2

z y

z x s

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

3 1 5

1 1

2

3 , 5 , 1 1 , 3 5 , 3 1 3 1 0

3 3 10 3

5 0

5 3 0 6 4 2

0 1 2

0 3 2

0 1 2

3 , 2 , 1 1 , ,

1 , 1 , 2 1 , ,

0 .

1 , 1 , 2 4

2 3

1 , ,

1 1 2

+ = −

− = − ≡

− ≡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

⇒ = ⇒ = + − ⇒ − = ⇒ = − − ⇒ ⎩

⎨ ⎧

= − − −

= + + ⇒

⎩ ⎨ ⎧

= + +

= + + ⇒ ⎩

⎨ ⎧ ⇒ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

= ⇒

⊥

= ⇒

⊥ ⇒

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ⇒ =

+ =

+ − = ≡

= ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − =

+ =

+ = ≡

z y

x r

a a

b b

b a

b a b

a b a v

v v v

v v v v

v z

y x s

b a v z

b y

a x

r

r r

s r s r

s r

π π

λ λ

(5)

C-3.- Calcúlese ₂ 0 cos 1 )) ln(cos( lim x x x x + − →

( )

[

]

[

( )

]

( )

( ) (

)

1 2 2 2 1 1 1 2 0 cos 0 cos 1 2 cos cos 1 lim 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 2 lim 2 cos 1 lim 0 0 0 1 1 1 ln 0 0 cos 1 0 cos ln cos 1 cos ln lim 2 2 0 ' 0 0 ' 2 2 0 − = − = − − = − − = − − = = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ = = − = − − = − − = − − ⋅ = = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ = = + − = + − = + − → → → → x x sen tg x x sen x tg x x sen x sen x x x x x Hopital L Aplicando x x Hopital L Aplicando x

C-4.- Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y por la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0.

x x x

y = 3 −3 2+2

( )

_{( )}

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

(

)

(

) (

)

(

)

(

3 3

) (

2 2

)

(

4 4

) (

3 3

) (

2 2

)

(6)

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Discútase, en función del parámetro real k el siguiente sistema de ecuaciones

lineales: . Resuélvase el sistema cuando sea posible

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

0 3

2 3

0 3

ky x

k y x

y kx

(

)

(

)(

)

{

}

(

)

(

)

(

3, 3

)

3 9

3 0 9 3

3 3

min

0 3 0

0 0

1 0

3 3

0 3 0

3 3

2 3

3 3

3

0 , 0 min

0 0 0

0 0

1 0

2 3

0 0 0

1 0

2 3

0 0 0

2 0

3 0

2 3

0 0 0

0 3

3 0

2 3

0

5 3 , 5 3 5

3 5

9 3 0 5 9 3

5 3 3

5 min

0 3 0

0 0

5 0

3 3

0 3 0

3 3

2 3

3 3

3

3 / 0

/ 3

, 0 , 3

3 0

3

3 0

3

0

0 3 3 0

9 0

0 3

2 3

0 3

/ 3 2

− ⇒

= ⇒ = ⇒ = −

⇒ − = ⇒ = − ⇒ ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− ≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

⇒ ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ ≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ ≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− ≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛₋ ₋ ⇒

− = ⇒ = − ⇒ = − −

⇒ − = ⇒ − = ⇒ ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − −

− =

⇒ >

= ⇒

≠ ⇒

− − ℜ ∈ ∀

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ⇒ = −

− = ⇒ = +

= ⇒

= − + ⇒ = − ⇒

= − ⇒ = =

Solución x

x x

y y

ado Deter

Compatible Sistema

k Si

Solución ado

Deter Compatible Sistema

k Si

Solución x

x x

y y

ado Deter

Compatible Sistema

k Si

le Incompatib Sistema

incognitas de

Número B

A rang B

A x

k k

k k k

k k

(7)

PR-2.- .- Sea

x x x

f

2 2 4 )

( = − ,

a) Determínense el dominio de f, sus asíntotas, simetrías, y máximos y mínimos

relativos. Esbócese su gráfica.

b) Calcúlese

∫

( ) ( )

2

1

ln x dx x

f

( )

{ }

( )

x y x

Cuando

x x

x x x

x x n

x x

x x x

x x

x x m

x y x

Cuando

x x

x x x

x x n

x x

x x x

x x

x x m

oblicuas Asíntotas

x cuando existe

No

x x x

x x

x x x

x x

x y

x cuando existe

No x

x x

x x x

x y

es horizontal Asíntotas

x f

x f x

verticales Asíntotas

x f Dom x

f x

a

x x

x

x x

x

x x

x x x

2

0 4 4

lim 2 2 4 lim 2

2 4 lim

2 1

2 0 1

2 4

1 2 4

lim 2

4

lim 2

4 lim 2

4

lim

2

0 4 4 lim 2 2 4 lim 2

2 4 lim

2 1

2 0 1

2 4

1 2 4

lim 2

4

lim 2

4 lim 2

4

lim

0 2 0

2 0 1

2 4

lim 2

4

lim 2

4 lim 2

4 lim

0 2 0

2 0 1

2 4

1 2 4

lim 2

4

lim 2

4 lim

0 4 0

0 . 2 4 lim

0 4 0

0 . 2 4 lim

0

0 0

4 0

0 . 2 4 ) 0 ( 0 )

2 2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

0

2

0

2

− = ⇒ −∞ →

= ∞ − = − −

+ − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − − =

− = − = − ∞ = − =

− =

− = ⇒ ∞ →

= ∞ = +

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − − =

− = − = − ∞ = − =

− =

−∞ → ⇒

− = −

− =

− − =

∞ −

∞ − = − − =

− =

∞ → ⇒

− = − =

∞ − ∞ = − =

− =

∞ ∞ − = − =

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

∞ = = −

=

−∞ = = −

= ⇒

=

− ℜ ∈ ∀ = ⇒

ℜ ∉ ∀ ∃/ ⇒ = −

= ⇒

=

∞ → ∞

→ −∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→ −∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→ −∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

+ +

→

− −

→

(8)

Continuación del Problema 2 de la Opción B

( )

(

)

relativos mínimos

ni máximos hay

No

x x

f x

x x

x xx

x f

origen al

respecto Simétrica

x f x

x x

f

⇒ − ± = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = ⇒

+ ⋅ − = − − = −

− − =

⇒ −

= − − = − − = −

2 2

0 2 0

) ( ' 2 2

4 2 2

4 4 ) ( '

2 4 2

4 ) (

2 2

-15 -10 -5 0 5 10 15

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

( )

[ ]

{

( )

}

{

}

[ ]

( )

{

}

(

)

2 1 2 ln 2 ln 2 1 1 2 2 1 2 ln 2 2 2 ln 2 1 1 2 2 1 2 ln 2 2 ln 2 1

2 1 0 . 1 2 ln 2 0 2 ln 2 1 1

ln 1 2 ln 2 2

1

2 1 ln

0 1 ln 1

2 ln 2

ln

2 1 ln

2 1 2 ln

2 ln

4 ln

2 4 )

2 2

2 2 2

2

1 2 2

2 2

1 2

2 2

ln

0 2

2 2

1 2 2

ln

0 2

1 2

1

2

+ − ⋅

= − ⋅ + ⋅ − ⋅

= − ⋅

+ ⋅

− ⋅

=

⋅ + + ⋅

− − ⋅

= +

− −

⋅ =

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

⋅ = =

⇒ =

= ⇒ =

⎩ ⎨ ⎧

= = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

⋅ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ⋅ − =

− =

∫

I

x dx

x t

I

x dx

x v dv dx x

x dx du u x t

x

t x

dt x dx t x

x dx x x

x dt

t dx x x dx x

x dx

x x

x I

(9)

C-1.- ¿Existen máximos y mínimos absolutos de la función f(x)=cosx+1 en el intervalo

[

0,π

]

?. Justifíquese su existencia y calcúlense.

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

(

)

( )

cos 1 1 1 0

(

,0

)

2 , 0 2 1 1 1 0 cos 0 0

.

int 0

1 1 cos

''

0 1 0 cos 0

' ' cos

''

, 0 0

0 0

) ( ' )

( '

π π

π

⇒ = + − = + =

⇒ =

⇒ = + = + =

⇒ = ⎩ ⎨ ⎧

⇒ > = − − = −

=

⇒ < − = −

= ⇒

− =

ℜ ∈ +

= ⇒ = ⇒

= −

⇒ = ⇒

− =

f x

en absoluto Mínimo

f x

en absoluto Máximo

absolutos

extremos son

estos ervalo del

extremos puntos

los en cumplen se

relativos extremos

los Como

Mínimo f

Máximo f

x x

f

k k x

x sen x

sen x

f x sen x

f

C-2.- Dadas las matriz , determínense los valores del número real a

para los cuales existe la matriz inversa de P

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ =

5 4 3

0 1 2

2 1

a a

P

(

)

(

)

ℜ ∈ ∀ ⇒

ℜ ∉ ∀ ⇒ < − = − = Δ ⇒ = + − ⇒ = − + − ⇒ =

− + − = − − − + + = − + − + + = +

= ⇒ ≠

−

a P

Existe

a a

a P

a a

a a a a

a a P

P

1

2 2

0 80 180 100 0

15 10 3

0 15 10 3

0

15 10 3

20 3 3 8 5 5 20 1 3 8 1 5

5 4 3

0 1 2

2 1

0

C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función

1 )

( ₂

2

+ =

x x x

f en el punto x = 0

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ⇒ − ⋅ − = − ⇒ − = − = −

=

= ⇒ − ⋅ = − ⇒ ⇒

= = + ⋅ = =

⇒ = = + =

⇒ + = +

− + = +

− + =

0 0

0 1 0 0

1

1 0 1 0 ' 1 '

0 0

0 0 .

tan . 0

1 0

0 2 ) 0 ( '

0 1 0 1 0

0 0

1 2

1 2 2 2

1 2 1 2

) ( '

2 2

2 2 2

2

3 3

2 2

x x

y f

m

y x

y g Ec f

m f

x x x

x x x x

xx x

(10)

C-4.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3 , 0 , -1), B(6 , -4 , 5) y

C(5 , 3 , z). Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo.

Los vectores AB y AC son perpendiculares, entre si, siendo su producto escalar nulo.

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2

2 2 2

854 2 1

17 9 22 17

9 22 3

18 8 9 12 4

1 3 2

6 4 3 1

, 3 , 2 1 0 , 3 , 2 2

1

0 0

4 0 6 6 6

0 1 6 12 6 1 , 3 , 2 6 , 4 , 3 1

, 3 , 2 1 , 0 , 3 , 3 , 5

6 , 4 , 3 1 , 0 , 3 5 , 4 , 6

u A

AC AB k

j i j

i k k j i AC AB

k j i

AC AB AC

AC AB A

z z

z

z z

AC AB z

z AC

AB

⋅ =

+ + − = × ⇒ +

+ − = − − + + + − = ×

− = × ⇒ =

+ =

⇒ ×

⋅ =

= ⇒ = ⇒ = + + −

= + + − ⇒ + ⋅

− = ⋅ ⇒ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ =

− −

=

− = − −