OPCIÓN A
1.
a) Explica cómo se propagan las ondas según el principio de Huygens. ¿Planteó este científico alguna teoría para interpretar la naturaleza de la luz? (EAE 3.6.1)El principio de Huygens dice que cada uno de los puntos de un frente de onda puede ser considerado como un nuevo foco emisor de ondas secundarias que avanzan en el sentido de avance de la perturbación (sentido de propagación), y cuya envolvente constituye el nuevo frente.
Efectivamente, Christiaan Huygens planteó una teoría para interpretar la naturaleza de la luz: supuso en 1678 que la luz era un movimiento o fenómeno ondulatorio. Concretamente, para Huygens la luz era una onda longitudinal que se propaga en el éter, sustancia que lo llenaba todo (incluido el vacío).
b) Construye gráficamente la imagen y determina sus características para un objeto de 8,5 mm de altura que se encuentra a 0,50 m frente a un espejo esférico cóncavo (2,5 m de radio). (EAE 4.2.2) Estrategia de resolución. La construcción gráfica de la imagen la podemos
observar en la derecha, utilizando los rayos habituales que se utilizan para los espejos y recordando que la distancia focal es la mitad del radio de curvatura de los mismos (f =r
2):
- Rayo 1: parte superior objeto y paralelo eje óptico se refleja y pasa por el foco, F.
- Rayo 2: parte superior objeto y pasa por el foco, F se refleja y sale paralelo al eje óptico.
- Rayo 3: parte superior objeto y pasa por centro curvatura, C se refleja y vuelve por C.
Con esta construcción podemos indicar cuáles son las características de la imagen: virtual, derecha y aumentada.
Esto lo podemos comprobar con las expresiones matemáticas que nos permiten obtener dichas características, y con los datos que nos indica el problema: h = 8,5 mm; so = 0,50 m; r = +2,5 m
1 so
+1 si
=2 r
m =h ′
h = −
si so} 1
so +1
si =2
r → 1 0,50 m+
1 si
= 2
+2,5 m→ si = ( 2 +2,5 m−
1 0,50 m)
−1
= −0,83 m → imagen virtual
m = −si so= −
−0,83
0,50 m= +1,66 → imagen derecha y aumentada
2.
a) Explica qué es un microscopio simple. ¿Y uno compuesto? Compara los aumentos que producen cada uno de ellos. (EAE 4.4.1)El microscopio simple, la lente de aumento o lupa es un instrumento óptico sencillo que sirve para proporcionar al ojo una imagen virtual y directa que se ve bajo mayor ángulo que se vería el objeto sin la ayuda de la lente (aumenta de tamaño). Es una lente biconvexa (convergente) que se sitúa prácticamente pegada al ojo. Su aumento angular (ángulo o proximidad), M, para una lupa de distancia focal f es: M =θo
θ = xp
f (para una lupa pegada al ojo con el objeto a su distancia focal f), donde xp es la distancia del
punto próximo (punto a distancia mínima del ojo en que la imagen es nítida) que suele tomarse como 25 cm. De este modo el aumento quedaría, si expresamos la distancia focal en centímetros, M =25
f.
El microscopio compuesto es un instrumento óptico que sirve para ver con gran aumento un objeto muy pequeño situado a corta distancia. Básicamente está formado por dos lentes convergentes: objetivo (más próxima al objeto) y ocular (más próxima al ojo). El aumento total del microscopio, m, se obtiene como el producto del aumento lateral del objetivo y el aumento angular del ocular,
m = − l
fobjetivo· xp
focular. Si tomamos xp = 25 cm entonces m = − l fobjetivo·
25
focular. La imagen que da el microscopio es virtual,
invertida y aumentada.
Comparativamente, podemos afirmar que el aumento de un microscopio compuesto es mucho mayor que el de una lupa y además que proviene de la conjunción de los aumentos producidos por dos lentes o sistemas ópticos convergentes. También podemos observar diferencias en la imagen formada: derecha para la lupa, invertida en el caso del microscopio compuesto.
b) Una señora que se dedica a la óptica, divorciada de un multimillonario, quiere olvidarse de su marido convirtiendo el anillo de diamante (n = 2,4) que le regaló, en una lámina de caras planas y paralelas de 10 cm de espesor. Para comprobar ciertas leyes de la Física, ilumina la lámina con un rayo de luz monocromática amarilla del sodio, = 589 nm, que incide en la cara superior con un ángulo de 35º. En esta experiencia calcula el desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo y mide el número de longitudes de onda que quedan dentro del diamante. (EAE 3.21.1)
Estrategia de resolución. El desplazamiento lateral del rayo emergente respecto al rayo incidente se averigua a partir de la ley de Snell y de consideraciones geométricas, teniendo en cuenta que:
î = 35o, n
1 = 1, n2 = 2,4, e = 10 cm:
naire· sen î = nvidrio· sen r̂ ⇒ r̂ = arcsen (naire· sen î
nvidrio ) = 13,8 o
cos r̂ = espesor distancia=
e l
sen (î − r̂) =despl. lateral distancia =
d l
𝐝 =𝐞 · 𝐬𝐞𝐧 (𝐢̂ − 𝐫̂)
𝐜𝐨𝐬 𝐫̂ =
𝟏𝟎 𝐜𝐦 · 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝟓𝐨− 𝟏𝟑, 𝟖𝐨)
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟑, 𝟖𝐨 = 𝟑, 𝟕 𝐜𝐦
El desplazamiento lateral del rayo es de 3,7 cm.
Para determinar el número de longitudes de onda que quedan dentro del diamante deberíamos hallar primero la longitud de onda dentro de la lámina para después compararla con la longitud que recorre el rayo en la misma. Recordaremos que la frecuencia no cambia al pasar del vacío o el aire al diamante, y que la frecuencia y la longitud de onda se relacionan a través de la velocidad de propagación de la onda, v = λ · f, y por tanto, a partir del índice de refracción del vidrio, n =c
v. Así que: fdiamante = faire⇒vdiamante
λvidrio = c
λaire⇒ λdiamante= λaire ndiamante =
589 nm
2,4 = 245 nm = 2,45 · 10 −7 m
La distancia o longitud, l, que recorre la luz en el interior de la lámina:
cos r̂ = espesor distancia=
e l → l =
e cos r̂=
10 cm
cos 13,8o= 10,3 cm = 0,103 m
Ahora ya podemos comparar ambas longitudes y hallar el número de longitudes de onda, N, que recorre la luz dentro del diamante:
N = l λ=
0,103 m
2,45 · 10−7 m= 4,2 · 105
O también:
N = l λ=
e cos r̂ λaire ndiamante
=e · ndiamante λaire· cos r̂ =
0,10 m · 2,4
5,89 · 10−7 m · cos 13,8o= 4,2 · 105
De este modo, dentro de la lámina la luz recorre una distancia igual a 4,2 · 105 veces la longitud de onda de la misma en su
interior.
3.
a) Demuestra que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio pero de sentido contrario. (EAE 3.1.1)Hay dos formas de demostrar que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio pero de sentido contrario: una dinámica, que sería la más apropiada, a partir del segundo principio de la dinámica, y la otra cinemática, a partir de la ecuación del movimiento armónico simple.
Dinámicamente debemos utilizar el principio fundamental de la dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , y la expresión de las fuerzas recuperadoras o restauradores responsables del movimiento del oscilador, ∑ F⃗ = −k · Δx⃗⃗⃗⃗ . De este modo:
∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ −k · Δx⃗⃗⃗⃗ = m · a⃗ ⇒ a⃗ = −k
m· Δx⃗⃗⃗⃗ ⇒ a = − k m· ∆x
De hecho, esta deducción nos conduce a la propia definición del movimiento armónico simple, así como a la relación de las características dinámicas del mismo con sus características cinemáticas: a = −k
m· ∆x = −ω 2· ∆x.
e
r̂ î
Cinemáticamente deberíamos partir de la ecuación del movimiento armónico simple, x(t) = A cos(ωt + φ), deducir la aceleración derivando dos veces dicha función y relacionar ambas:
x(t) = A cos(ωt + φ) → v(t) =dx
dt = −Aω sen (ωt + φ) → a = dv
dt = −Aω
2cos(ωt + φ) → a = −ω2· x
b) Un cuerpo de 80 g, unido al extremo de un resorte horizontal, describe un movimiento armónico simple de amplitud 5,0 cm. Escribe la ecuación de movimiento del cuerpo sabiendo que su energía cinética máxima es de 2,5·10-3 J y que en el instante t = 0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando pasa por la posición x = – 0,020 m? (EAE 3.3.1)
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de un cuerpo unido al extremo de un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ) De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la energía cinética máxima (Ecmáx = 2,5 · 10-3 J), de la masa del cuerpo (m = 80 g = 0,080 kg) y de la amplitud del movimiento (A = 5,0 cm = 0,050 m):
Ecmáx=1 2 k · A
2=1 2 m · ω
2· A2→ ω = √2 · Ecmáx
m · A2 = √
2 · 2,5 · 10−3 J
0,080 kg · (0,050 m)2= 5,0 rad · s−1
- La amplitud es A = 0,050 m.
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Nos indican que en el instante t = 0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio, es decir, que para t = 0, x = 0. Por tanto:
- para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = 0 = A sen φ ⇒ sen φ = 0 ⇒ φ = { 0 π rad - para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = 0 = A cos φ ⇒ cos φ = 0 ⇒ φ = { π 2 rad 3π
2 rad ó − π 2 rad Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟓 𝐭 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟓 𝐭 +𝟑𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧(𝟓 𝐭) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧(𝟓 𝐭 + 𝛑) (𝐒𝐈)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
Para hallar la velocidad del objeto cuando pasa por la posición x = – 0,020 m, haremos uso de la relación de esta magnitud con la posición del objeto que oscila:
𝐯(𝐱) = 𝛚 √𝐀𝟐− 𝐱𝟐= 𝟓 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏· √(𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐦)𝟐− (𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝐦)𝟐= ±𝟎, 𝟐𝟑 𝐦 · 𝐬−𝟏
Luego el objeto cuando pasa por la posición x = – 0,020 m puede llevar dos velocidades, una de “ida”, en el sentido positivo o hacia la “derecha” de +0,23 m·s-1; y otra de “vuelta”, en el sentido negativo o hacia la izquierda de – 0,23 m·s-1.
4.
a) ¿Qué son las ondas electromagnéticas? ¿Cambian las magnitudes características de una onda electromagnética que se propaga en el aire al penetrar en un bloque de vidrio? Si cambia alguna, ¿aumenta o disminuye? ¿Por qué? (EAE 3.14.2)Una onda electromagnética consiste en la propagación de la perturbación de los campos eléctrico y magnético asociados y perpendiculares entre sí que se propaga.
Cuando una onda electromagnética pasa del aire al vidrio (penetra en un bloque de ese material) y se refracta o experimenta el fenómeno de la refracción, podemos afirmar que hay una magnitud característica que no cambia, la frecuencia, y otras dos relacionadas entre sí y con esta última, que sí se modifican y que son la velocidad de propagación y la longitud de onda.
Podemos resumir las magnitudes de la onda refractada en el siguiente listado:
- La longitud de onda sí cambia puesto que la velocidad de propagación es diferente en ambos medios
f = f′⇒v1
λ =
v2 λ′ ⇒
λ λ′=
v1 v2
También se puede escribir esta relación en función del índice de refracción: n2
n1= v1 v2⇒
n2 n1=
λ
λ′⇒ λ′= λ · n1 n2
- La amplitud varía dependiendo de las características de cada caso, mientras que la energía se conserva en el proceso global de la reflexión y la refracción (transmisión).
b) Los teléfonos móviles funcionan con frecuencias de 824 a 894 MHz. Las antenas de telefonía móvil operan entre los 1800 y los 2200 MHz, que son frecuencias relativamente altas. Escribe la función de uno de estos movimientos ondulatorios armónicos sabiendo que en el instante inicial (t = 0) y en la posición inicial (x = 0) la perturbación es máxima (Bo = 4,5 · 10-6 T) y que se propaga en el sentido negativo del eje OX. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la diferencia de fase en un punto por el que pasa la onda sea π rad? (EAE 3.3.1 – 3.4.1)
Dato: velocidad de la luz en el vacío (c) = 3,00 · 108 m·s-1.
Estrategia de resolución. La expresión de la función del movimiento ondulatorio que son emitidas por las antenas de telefonía móvil sería:
Ψ(x, t) = A sen (ω t + k x + φ) Ψ(x, t) = A cos (ω t + k x + φ)
Hemos escrito + porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el negativo del eje OX. La amplitud es A = Bo = 4,5 · 10-6 T.
La frecuencia angular es = 2·f; para la frecuencia f de 850 MHz = 8,50 · 108 Hz; así:
ω = 2π · f = 2π · 8,50 · 108 Hz = 1,70 π · 109 rad · s−1
El número de onda k se puede hallar a partir de la velocidad de propagación c = 3,00 · 108 m·s-1. Teniendo en cuenta que v =ω
k: k =ω
v =
1,70 π · 109 rad · s−1
3,00 · 108 m · s−1 = 5,67 π m−1
La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es máximo e igual a A = Bo = 4,5 · 10-6 T:
Ψ(0,0) = A cos φ = A → cos φ = 1 → φ = 0 Ψ(0,0) = A sen φ = A → sen φ = 1 → φ =π
2 rad La función de la onda es:
𝚿(𝐱, 𝐭) = 𝟒, 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐜𝐨𝐬 (𝟏, 𝟕𝟎 𝛑 · 𝟏𝟎𝟗 𝐭 + 𝟓, 𝟔𝟕 𝛑 𝐱) (𝐒𝐈)
𝚿(𝐱, 𝐭) = 𝟒, 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟔 𝐬𝐞𝐧 (𝟏, 𝟕𝟎 𝛑 · 𝟏𝟎𝟗 𝐭 + 𝟓, 𝟔𝟕 𝛑 𝐱 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
El tiempo debe transcurrir para que la diferencia de fase en un punto por el que pasa la onda sea π rad lo podemos hallar de dos modos.
El primero hace referencia al hecho de que la diferencia de fase está directamente relacionada con la periodicidad espacial (longitud de onda) y la periodicidad temporal (periodo). De este modo podemos recordar que una diferencia de fase, = 2·π rad corresponde a una longitud de onda, λ, en un instante determinado, y un periodo, T, en un punto determinado. Es lógico pensar que si la diferencia de fase es π rad el tiempo que transcurre en un punto debe ser la mitad del periodo:
π rad · T
2π rad= T 2=
1 f 2 =
1 2 · f=
1
2 · 8,50 · 108 Hz= 5,88 · 10−10 s
Luego el tiempo solicitado que debe transcurrir para que la diferencia de fase en un punto por el que pasa la onda indicada (850 MHz) sea π rad es 𝟓, 𝟖𝟖 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝐬.
El segundo procedimiento para obtener el tiempo solicitado consiste en relacionar la diferencia de fase, , en un punto x por el que pasa la onda con el intervalo de tiempo que le corresponde, t:
∆φ = (ω t2+ k x + φ) − (ω t1+ k x + φ) = ω t2− ω t1= ω · (t2− t1) = ω · ∆t → ∆t =∆φ ω =
π rad
1,70 π · 109 rad · s−1= 5,88 · 10−10 s
OPCIÓN B
1.
a) Enuncia las leyes de la reflexión y explica en qué consisten la reflexión difusa y la reflexión nítida o especular. (EAE 2.16.2)La reflexión aparece cuando el frente de onda llega a interfase (límite de medios) y consiste en una inversión parcial de la dirección de propagación de una onda y regreso al medio inicial (onda reflejada).
Leyes de la reflexión.
La reflexión de la luz puede ser de dos tipos según la relación entre las dimensiones de las irregularidades de la superficie y la longitud de onda de la luz:
- Reflexión especular o nítida: las irregularidades son pequeñas frente a la longitud de onda, : el rayo reflejado emerge en una sola dirección.
- Reflexión difusa: las irregularidades son comparables (de tamaño similar) a la longitud de onda, : se producen reflexiones en todas las direcciones, lo que nos permite ver la superficie de los objetos.
b) Un cuerpo de 500 g sujeto a un resorte de masa despreciable y constante elástica 250 N·m-1, se abandona a 5,0 cm de la posición de equilibrio. Escribe la ecuación del movimiento del cuerpo y determina su energía cinética cuando transita por la posición x = 2,5 cm. (EAE 3.3.1)
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de un cuerpo unido al extremo de un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ) De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la masa del cuerpo, m = 500 g = 0,500 kg, y de la constante elástica del resorte, k
= 250 N·m-1, ω = √k
m:
ω = √k
m= √
250 N · m−1
0,500 kg = 22,4 rad · s−1
- La amplitud es A = 5,0 cm = 0,050 m.
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Nos indican que se abandona a 5,0 cm de la posición de equilibrio, y ese momento los consideraremos el instante t = 0, es decir, que para t = 0, x = A = 0,050 m. Por tanto:
* para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = A = A sen φ ⇒ sen φ = 1 ⇒ φ =π 2 rad * para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = A = A cos φ ⇒ cos φ = 1 ⇒ φ = 0 Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝟐, 𝟒 𝐭 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟐, 𝟒 𝐭) (𝐒𝐈)
También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
La energía cinética cuando transita por la posición x = 2,5 cm = 0,025 m, la obtendremos a partir de la relación de esta magnitud con la posición, Ec(x) =12 k · (A2− x2):
𝐄𝐜(𝐱) =𝟏 𝟐 𝐤 · (𝐀
𝟐− 𝐱𝟐) =𝟏
𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝐍 · 𝐦
−𝟏· ((𝟎, 𝟎𝟓𝟎 𝐦)𝟐− (𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝐦)𝟐) = 𝟎, 𝟐𝟑 𝐉
2.
a) Indica razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:(1) El espejo que se utiliza en los cruces o las intersecciones de dos calles es un espejo convexo para conseguir imágenes aumentadas.
Falsa. Es cierto que los espejos que se utilizan en los cruces o las intersecciones de dos calles son espejos convexos, pero no para conseguir imágenes aumentadas porque, hay que recordar, que todos los espejos convexos producen imágenes virtuales, derechas y disminuidas.
(2) En la foto la lente divergente es la de la derecha.
Falsa. La foto de la derecha no puede ser una lente divergente porque produce una imagen aumentada del ojo y, debemos recordar, que las lentes divergentes o negativas producen imágenes virtuales, derechas y disminuidas, no aumentadas. Son las lentes convergentes o positivas las que producen o pueden producir imágenes aumentadas.
(EAE 4.1.1)
b) Para determinar la longitud de onda en un líquido, se diseña un experimento con un láser rojo de helio – neón, cuya longitud de onda en el aire es 633 nm, y se le hace pasar a través de una lámina de caras planas y paralelas de 10 cm de espesor. En la experiencia se mide el ángulo de incidencia (55º) y el de refracción en la primera cara (38º). También se mide el desplazamiento lateral del rayo al atravesar la lámina. ¿Cuáles son los resultados obtenidos? (EAE 3.22.1 – 3.22.2)
Estrategia de resolución. Para determinar la longitud de onda del líquido debemos hallar primero el índice de refracción mediante la ley de Snell, naire· sen î = nlíquido· sen r̂, para después aplicar la relación entre las longitudes de onda en el aire y en el vidrio con sus respectivos índices de refracción, λlíquido= λaire·nnaire
líquido:
naire· sen î = nlíquido· sen r̂ → nlíquido=naire· sen î
sen r̂ =
1 · sen 55o sen 38o = 1,33 λlíquido= λaire·
naire nlíquido
= 633 nm · 1
1,33= 476 nm
De este modo, la longitud de onda del láser en el interior del líquido es 476 nm.
El desplazamiento lateral del rayo emergente respecto al rayo incidente se averigua a partir de la ley de Snell y de consideraciones
geométricas, teniendo en cuenta que: î = 55o; r̂ = 38o, n
1= naire= 1; n2= nlíquido= 1,33; e = 10 cm:
cos r̂ = espesor distancia=
e l
sen (î − r̂) =despl. lateral distancia =
d l
𝐝 =𝐞 · 𝐬𝐞𝐧 (𝐢̂ − 𝐫̂)
𝐜𝐨𝐬 𝐫̂ =
𝟏𝟎 𝐜𝐦 · 𝐬𝐞𝐧(𝟓𝟓𝐨− 𝟑𝟖𝐨)
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟖𝐨 = 𝟑, 𝟕 𝐜𝐦
El desplazamiento lateral del rayo es de 3,7 cm.
3.
a) Establece una clasificación de los movimientos ondulatorios según el medio en el que se propagan. ¿Por qué las ondas transversales no se pueden propagar en los gases? (EAE 2.16.2)Los movimientos ondulatorios se pueden clasificar según el medio de propagación en:
* Ondas mecánicas: son movimientos ondulatorios que necesitan de un medio material para propagarse. Ejemplos: sonido, cuerda, muelle,...
* Ondas electromagnéticas: son movimientos ondulatorios que no necesitan de ningún medio material para propagarse, se propagan incluso en el vacío. Ejemplos: luz, ondas de radio, rayos X, radiación gamma,...
Las ondas transversales son movimientos ondulatorios en los que la dirección de la propagación es perpendicular a la dirección de la perturbación y que, por tanto, sólo se producen y se propagan en medios cuyas partículas están “fuertemente” ligadas, es decir, en sólidos o en la superficie de los líquidos (tensión superficial), y no en los gases.
b) La ecuación de una onda en una cuerda tensa es:
y(x, t) = 4,0 · 10−3 sen(8πx) · cos(30πt)(SI)
Calcula su velocidad de propagación y la velocidad máxima del punto situado en x = 0,50 m. ¿A qué distancia del origen se encuentra el sexto nodo? (EAE 3.3.2)
Estrategia de resolución. La función de onda corresponde a una onda estacionaria y, por tanto, su velocidad de propagación es cero: no hay propagación de energía ni cantidad de movimiento en un movimiento ondulatorio estacionario y, en consecuencia, no hay velocidad de propagación.
La velocidad máxima del punto situado en x = 0,50 m, la determinaremos primero derivando respecto del tiempo la función de onda y, después, hallando su valor máximo en dicho punto:
vpunto(x, t) =dy(x, t)
dt = 4,0 · 10
−3 sen(8πx) · [−sen(30πt)] · 30π (SI) = −0,12π sen(8πx) · sen(30πt) (SI)
El valor máximo de esta velocidad será en general e3n cualquier punto de la cuerda, vpuntomáx(x) = 0,12π sen(8πx) (SI),
mientras que en el punto indicado, x = 0,50 m:
vpuntomáx(0,50) = 0,12π sen(8π · 0,50) = 0
Por tanto, la velocidad máxima del punto x = 0,50 m es cero, es decir, en el punto se encuentra un nodo de la onda estacionaria.
consecutivos, λ2, para hallar con ella dónde se encontrará el sexto, d6ºnodo= 5 ·λ
2 (teniendo en cuenta que el origen de coordenadas
también es un nodo).
sen(8πxN) = 0 ⇒ 8πxN= n · π; n ∈ ℤ ⇒ xN= n
8 m = 0,125 · n (SI) El sexto nodo corresponde a n = 5, porque el primer nodo corresponde a n = 0: x6=
5
8 m = 0,125 · 5 (SI) = 0,625 m. El sexto nodo se encuentra a 0,625 m del origen de coordenadas.
A partir de la longitud de onda: k =2π λ ⇒ λ =
2π k =
2π 8π m−1=
1
4 m = 0,25 m.
Así: d6ºnodo= 5 ·λ 2= 5 ·
0,25 m
2 = 0,625 m.
4.
a) El sábado pasado estaba haciendo algo de carrera continua y llevaba puestas las gafas de cristales polarizados (el sol deslumbraba un poco). En ese momento de lucidez mental y física se me pasó por la cabeza que el alumnado de 2º de bachillerato me contara qué es la polarización, para qué se usa en las gafas y por qué las ondas electromagnéticas la experimentan. (EAE 3.17.1)La polarización es un fenómeno ondulatorio característico y exclusivo de las ondas transversales que consiste en una “selección” de la dirección de la perturbación. En las ondas polarizadas la perturbación (vibración) está confinada o restringida a un plano, denominado plano de polarización formado por la dirección de la perturbación (vibración) y la dirección de propagación.
La idea de usar este fenómeno es las gafas de sol está relacionada con el hecho de que al seleccionar una dirección de perturbación se eliminan las demás y, por tanto, se reduce la intensidad de luz que llega a los ojos, objetivo importante de dichas gafas, sobre todo en lugares de elevada luminosidad.
Las ondas electromagnéticas experimentan este fenómeno porque son ondas transversales (los campos eléctrico y magnético que corresponden a la perturbación son perpendiculares a la dirección de la propagación) y se puede seleccionar una dirección de perturbación para polarizarlas.
b) Construye gráficamente la imagen y determina su posición y sus características para un objeto que se encuentra en el aire a 0,50 m frente a una lente delgada biconvexa de fluorita de radios de curvatura iguales de 25 cm. (EAE 4.2.2) DATOS: índice de refracción de la fluorita = 1,43; índice de refracción del aire = 1.
Estrategia de resolución. Para construir gráficamente la imagen debemos primero determinar la distancia focal de la lente. Esta distancia focal, para una lente delgada, se puede obtener a partir de la ecuación del fabricante de las lentes delgadas, es decir, a partir del índice de refracción relativo del material del que está hecha respecto del índice de refracción del medio en el que está sumergida, nrel=nnlente
medio, y de los radios de sus superficies, teniendo en cuenta que a tratarse de una lente biconvexa, r1= +25 cm y r2= −25 cm
1 f = (
nlente nmedio− 1) (
1 r1−
1 r2) = (
1,43 1 − 1) (
1 +25 cm−
1
−25 cm) ⇒ f = 29 cm Esto implica que la lente tiene un comportamiento convergente.
* Gráficamente: la imagen que produce siempre una lente convergente es virtual, derecha y disminuida o reducida.
A la vista de la construcción, podemos decir que la imagen que se forma (características) es real, invertida y aumentada (mayor).
* Analíticamente. Utilizaremos las ecuaciones de las lentes: 1
so +1
si
= (nlente nmedio
− 1) (1 r1
−1 r2
) =1
f m = h′
h = −
si so
Teniendo en cuenta que so = 0,50 m = 50 cm y f = +29 cm, podemos obtener si:
1 50 cm+
1 si=
1
+29 cm⇒ si = +69 cm
Además de obtener la posición de la imagen, si = + 69 cm, el signo positivo indica que la imagen es real. Hallemos el aumento lateral:
Imagen
Objeto Rayo1
Rayo2
Rayo3
Fi
m = −si so= −
69 cm
