CDI DEPTAL 03 A y B Matutino 2016a PDF

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

3º EXAMEN DEPARTAMENTAL TURNO MATUTINO – CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FECHA: MIERCOLES 01-06-2016, 11:30 – 13:30 hrs.

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presenta tu identificación. Apaga tu celular. Calculadora NO GRAFICADORA Formulario de la academia de matemáticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.

Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos.

Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________

A

Problema 1 (2 puntos) Integrar completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP):

∫

4𝑥 + 6

𝑥

_{+ 4𝑥 + 6}

𝑑𝑥

GPL Solución:

∫ 4𝑥 + 6

𝑥2_{+ 4𝑥 + 6}𝑑𝑥 = 2 ∫

2𝑥 + 3 + 1 − 1 𝑥2_{+ 4𝑥 + 6} 𝑑𝑥 =

= 2 ∫ 2𝑥 + 4

𝑥2_{+ 4𝑥 + 6}𝑑𝑥 − 2 ∫

𝑑𝑥

𝑥2_{+ 4𝑥 + 6} =

= 2 ∫ 2𝑥 + 4

𝑥2_{+ 4𝑥 + 6}𝑑𝑥 − 2 ∫

𝑑𝑥

(𝑥 + 2)2_{+ 2} =

= 2𝑙𝑛(𝑥2+ 4𝑥 + 6) − 2

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝑥 + 2

√2 ) + 𝐶

A

Problema 2 (2 puntos) Resuelva la siguiente integral por partes:

∫

ln(𝑥 + 2)

3/2

√𝑥 + 2

𝑑𝑥

IH

Solución:

𝑢 = ln(𝑥 + 2)32 _{→ 𝑑𝑢 =}3 2

𝑑𝑥

𝑥 + 2→ 𝑑𝑣 = (𝑥 + 2)

−1/2_{𝑑𝑥 → 𝑣 =}(𝑥 + 2)1/2

1/2 = 2√𝑥 + 2

𝐼 = 2√𝑥 + 2 ln(𝑥 + 2)32_{− ∫ 2√𝑥 + 2}3 2

𝑑𝑥

𝑥 + 2= 𝐼1+ 𝐼2

𝐼₂ = 3 ∫ 𝑑𝑥

√𝑥 + 2 = 6√𝑥 + 2 + 𝐶

∫

ln(𝑥 + 2)

A

Problema 3 (2 puntos) Resolver por sustitución trigonométrica:

∫ 𝑡

√𝑡

_{− 1𝑑𝑡}

RRL Respuesta:

𝑡 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 → 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 → √𝑡2_{− 1 = 𝑡𝑎𝑛𝜃}

𝐼(𝜃) = ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑐4𝜃𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑑𝜃

𝐼(𝜃) = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑑𝜃 = ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃)𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑑𝜃 =

𝐼(𝜃) = ∫(𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 𝑡𝑎𝑛4𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 = ∫(𝑡𝑎𝑛2𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 + ∫(𝑡𝑎𝑛4𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

𝐼(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛

3_𝜃

3 +

𝑡𝑎𝑛5𝜃 5 + 𝐶

𝐼(𝑥) =(√𝑡

2_{− 1)}3

3 +

(√𝑡2_{− 1)}5

A

Problema 4 (2 puntos) Resolver la siguiente integral trigonométrica:

∫ 𝑐𝑜𝑠

(6𝑥 + 1)𝑑𝑥

Respuesta GPL

∫ 𝑐𝑜𝑠4(6𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥 =

∫(𝑐𝑜𝑠2(6𝑥 + 1))2𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥 =

∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2(6𝑥 + 1))2𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥

∫(1 − 2 sen2(6𝑥 + 1) + 𝑠𝑒𝑛4_{(6𝑥 + 1))𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥}

= ∫ 𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥 − 2 ∫ sen2(6𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥 +

+ ∫ 𝑠𝑒𝑛4(6𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)𝑑𝑥

=1

6∫ 𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)6𝑑𝑥 − 2

6∫ sen

2_{(6𝑥 + 1)(+ 𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)6𝑑𝑥) +}

+1

6∫ 𝑠𝑒𝑛

4_{(6𝑥 + 1)(+𝑐𝑜𝑠(6𝑥 + 1)6𝑑𝑥)}

= −1

6sen(6𝑥 + 1) − 1 3

𝑠𝑒𝑛3(6𝑥 + 1)

3 +

1 6

𝑠𝑒𝑛5(6𝑥 + 1)

5 + 𝐶

= −1

6sen(6𝑥 + 1) −

𝑠𝑒𝑛3(6𝑥 + 1)

9 +

A

Problema 5 (2 puntos) Resolver por el método de fracciones parciales:

∫

𝑥

2

_{− 𝑥 − 21}

(𝑥

_{+ 4)(2𝑥 − 1)}

𝑑𝑥

Respuesta: J.Navarro

𝑥2 − 𝑥 − 21 (𝑥2_{+ 4)(2𝑥 − 1)} =

𝐴𝑥 + 𝐵 𝑥2_{+ 4} +

𝐶 2𝑥 − 1

𝑥2− 𝑥 − 21 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(2𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥2+ 4) 𝑥2− 𝑥 − 21 = 2𝐴𝑥2− 𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 − 𝐵 + 𝐶𝑥2+ 4𝐶 𝑥2− 𝑥 − 21 = (2𝐴 + 𝐶)𝑥2+ (−𝐴 + 2𝐵)𝑥 − 𝐵 + 4𝐶

2𝐴 + 𝐶 = 1 −𝐴 + 2𝐵 = −1 −𝐵 + 4𝐶 = −21

𝐴 = 3, 𝐵 = 1, 𝐶 = −5

𝐼 = ∫3𝑥 + 1

𝑥2_{+ 1}𝑑𝑥 + ∫

−5 2𝑥 − 1𝑑𝑥

=3 2∫

2𝑥𝑑𝑥 𝑥2_{+ 1}+ ∫

𝑑𝑥 𝑥2 _{+ 1}−

5 2∫

2𝑑𝑥 2𝑥 − 1

= 3 2𝐿𝑛(𝑥

2_{+ 1) + arctan(𝑥) −}5

A

Problema 6 (2 puntos) Grafica las funciones f x

 

 

Sol: SML A=2.67 2

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

3º EXAMEN DEPARTAMENTAL TURNO MATUTINO – CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FECHA: MIERCOLES 01-06-2016, 11:30 – 13:30 hrs.

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presenta tu identificación. Apaga tu celular. Calculadora NO GRAFICADORA Formulario de la academia de matemáticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.

Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos.

Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________

B

Problema 1 (2 puntos) Integrar completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP):

∫

6𝑥 + 6

𝑥

_{+ 6𝑥 + 6}

𝑑𝑥

GPL Solución:

∫ 6𝑥 + 6

𝑥2_{+ 6𝑥 + 6}𝑑𝑥 = 3 ∫

2𝑥 + 2 + 4 − 4 𝑥2_{+ 6𝑥 + 6} 𝑑𝑥 =

= 3 ∫ 2𝑥 + 6

𝑥2_{+ 6𝑥 + 6}𝑑𝑥 − 12 ∫

𝑑𝑥

𝑥2_{+ 6𝑥 + 6} =

= 3 ∫ 2𝑥 + 6

𝑥2_{+ 6𝑥 + 6}𝑑𝑥 − 12 ∫

𝑑𝑥

(𝑥 + 3)2_{− 3} =

= 3𝑙𝑛(𝑥2+ 6𝑥 + 6) − 12 2√3𝐿𝑛 (

𝑥 + 3 − √3 𝑥 + 3 + √3) + 𝐶

B

Problema 2 (2 puntos).- Resuelva la siguiente integral por partes

∫

ln 𝑥

2

(𝑥 + 3)

𝑑𝑥

IH

Solución:

𝑢 = 2𝑙𝑛𝑥 → 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

𝑥 → 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

(𝑥 + 3)2 → 𝑣 = ∫ 𝑑𝑥

(𝑥 + 3)2 = − 1 (𝑥 + 3)

𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥 (𝑥 + 3)+ ∫

2𝑑𝑥 𝑥(𝑥 + 3)

𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥 (𝑥 + 3)+

2𝑙𝑛𝑥 3 −

2 ln(𝑥 + 3) 3 + 𝐶

∫

ln 𝑥

2

(𝑥 + 3)

𝑑𝑥 =

2𝑥

3(𝑥 + 3)

ln 𝑥 −

2

B

Problema 3 (2 puntos) Resolver por sustitución trigonométrica:

∫ 𝑡

(𝑡

− 1)

𝑑𝑡

RRL Respuesta:

𝑡 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 → 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 → √𝑡2_{− 1 = 𝑡𝑎𝑛𝜃}

𝐼(𝜃) = ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃𝑡𝑎𝑛3𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑐4𝜃𝑡𝑎𝑛4𝜃𝑑𝜃

𝐼(𝜃) = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑎𝑛4𝜃𝑑𝜃 = ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃)𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑎𝑛4𝜃𝑑𝜃 =

𝐼(𝜃) = ∫(𝑡𝑎𝑛4𝜃 + 𝑡𝑎𝑛6𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 = ∫(𝑡𝑎𝑛4𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 + ∫(𝑡𝑎𝑛6𝜃) 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

𝐼(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛

5_𝜃

5 +

𝑡𝑎𝑛7𝜃 7 + 𝐶

𝐼(𝑥) =(√𝑡

2_{− 1)}5

5 +

(√𝑡2_{− 1)}7

B

Problema 4 (2 puntos) Resolver la siguiente integral trigonométrica:

∫ 𝑠𝑒𝑛

(4𝑥 − 1)𝑑𝑥

Respuesta: GPL

∫ 𝑠𝑒𝑛4(4𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫(𝑠𝑒𝑛2(4𝑥 − 1))2𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2(4𝑥 − 1))2𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥

∫(1 − 2 cos2(4𝑥 − 1) + 𝑐𝑜𝑠4_{(4𝑥 − 1))𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥}

= ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥 − 2 ∫ cos2(4𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥 +

+ ∫ 𝑐𝑜𝑠4(4𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)𝑑𝑥

= 1

4∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)4𝑑𝑥 + 2

4∫ cos

2_{(4𝑥 − 1)(− 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)4𝑑𝑥) +}

−1

4∫ 𝑐𝑜𝑠

4_{(4𝑥 − 1)(−𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 1)4𝑑𝑥)}

= 1

4cos(4𝑥 − 1) + 1 2

𝑐𝑜𝑠3(4𝑥 − 1)

3 −

1 4

𝑐𝑜𝑠5(4𝑥 − 1)

5 + 𝐶

= 1

4cos(4𝑥 − 1) +

𝑐𝑜𝑠3(4𝑥 − 1)

6 −

B

Problema 5 (2 puntos) Resolver por el método de fracciones parciales:

∫

−𝑥

2

_{− 𝑥 − 19}

(𝑥

+ 1)(𝑥 − 2)

𝑑𝑥

Respuesta: JNavarro

−𝑥2− 𝑥 − 19 (𝑥2_{+ 1)(𝑥 − 2)}=

𝐴𝑥 + 𝐵 𝑥2_{+ 1} +

𝐶 𝑥 − 2

−𝑥2− 𝑥 − 19 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 − 2) + 𝐶(𝑥2 + 1)

𝑠𝑒𝑎 𝑥 = 2 → −4 − 2 − 19 = −25 = 5𝐶 → 𝐶 = −5 −𝑥2− 𝑥 − 19 = 𝐴𝑥2− 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 − 2𝐵 − 5𝑥2− 5 −𝑥2− 𝑥 − 19 = (𝐴 − 5)𝑥2+ (−2𝐴 + 𝐵)𝑥 − 2𝐵 − 5

𝐴 = 4, 𝐵 = 7, 𝐶 = −5

𝐼 = ∫4𝑥 + 7

𝑥2_{+ 1}𝑑𝑥 + ∫

−5 𝑥 − 2𝑑𝑥

= 2 ∫ 2𝑑𝑥

𝑥2_{+ 1}+ 7 ∫

𝑑𝑥

𝑥2_{+ 1}− 5 ∫

𝑑𝑥 𝑥 − 2

B

Problema 6 (2 puntos) Grafica las funciones f x

 

 

Sol: SML A=0.42 2