SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Matemáticas III

Clases Digitalizadas de Matemáticas III para Ingeniería de acuerdo al programa de UDO

Prof. Leonardo Hernández

UNIDAD I. COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares, son un sistema de referencia para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional. Sus parámetros son el ángulo  y la distancia dirigida r. Consta de un punto fijo o Polo (origen), y una línea semi-infinita L saliendo del origen, a L se le conoce como eje polar.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

En un sistema de coordenadas rectangulares, se puede localizar un punto con un par ordenado (x, y), estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se interceptan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, donde el punto viene dado por el par ordenado (r,). Allí r es una distancia dirigida y , es un ángulo expresado en radianes.

El radio r, es la distancia dirigida desde el polo hasta el punto en estudio. r puede ser positivo o negativo.

i. Si el radio r es positivo, se mide sobre el ángulo .

ii. Si el radio r es negativo, se mide sobre el ángulo (o  representa el ángulo que se forma entre el eje polar y el radio vector r. El valor de θ será positivo si se mide en sentido antihorario,

Y0

X0

P(x0,y0)

x y

(3

si se mide en sentido horario entonces el valor de el ángulo polar será negativo.

El polo es el punto fijo u origen, su ecuación viene expresada de la forma (0,).

Ejes principales: Los ejes principales en coordenadas polares vienen dados por:

a. Eje polar, cuando =0 b. Eje , cuando = c. Eje , cuando = d. Eje , cuando =

Ejes secundarios: Los ejes secundarios a su vez vienen dados cuando

UBICACIÓN DE UN PUNTO

Un punto P, en el sistema cartesiano está representado por el par (x,y), ahora ese mismo punto puede ser representado de la forma (r,θ) en el sistema de coordenadas polares, pero en contraste en coordenadas polares existe más de un par ordenado para una misma ubicación.

0

/2



3/2

r



Los puntos en coordenadas polares pueden ser medidos de la siguiente forma:

Cuando: Cuando:

Cuando Cuando:

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y

RECTANGULARES

Por medio del siguiente diagrama podemos relacionar ambos sistemas de referencia, y determinar las ecuaciones equivalentes entre ambos.

El eje polar coincide con el eje x, y a su vez el eje /2 con el eje y. De esta forma el punto es equivalente en ambos sistemas de acuerdo a las siguientes ecuaciones, fundamentadas en trigonometría plana:

Si los puntos ocupan el mismo espacio en el plano se debe cumplir del diagrama se deduce:

→ y

y recordamos que: Sustituyendo nos queda, y luego

también se verifica: , donde

En resumen, estas ecuaciones permiten convertir de coordenadas rectangulares (C.R) a coordenadas polares (C.P) y viceversa, sin embargo se debe tener cuidado al transformar los puntos, elegir el ángulo y el radio correcto, depende de analizar la posición y no de un procedimiento mecánico. Los valores pueden no coincidir con la posición, por la naturaleza del radio r () y el periodo de la función tangente que es  y no 2 como ocurre con las funciones seno y coseno. Recuerde que existen al menos 4 formas alternas para un mismo punto en C.P , , y .

GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES

Una ecuación polar viene definida de la forma r=f(θ). Las principales graficas estudiadas en C.R tienen su equivalente en C.P, y se pueden obtener por medio de las relaciones correspondientes, aquí mencionaremos solo algunas. Por otro lado las C.P, permiten también estudiar algunas ecuaciones especiales de interés en esta unidad y que se detallaran también más adelante.

Ecuación de la recta en coordenadas polares.

La recta en coordenadas polares podemos estudiarla de la siguiente forma:

i. Recta Vertical o perpendicular al eje polar, que pasa por el punto (a,0), su ecuación viene dada de la forma:

ii. Recta Horizontal o perpendicular al eje /2, que pasa por el punto (b,/2), su ecuación viene dada de la forma: iii. Recta inclinada que pasa por el polo y forma un ángulo 0 con

el eje polar, su ecuación viene dada de la forma: 0.

Demostración: Sean N(p,) y P(r,) dos puntos pertenecientes a la recta l, donde N es el punto más cercano al polo y p es la magnitud de dicha distancia. De la grafica se puede verificar que se forma el triangulo rectángulo ONP, con lados r, p y , también se observa que el ángulo entre r y p es  Se verifica que el , de allí nos queda .

Distancia entre dos puntos cualesquiera en coordenadas polares.

Sean dos puntos P1 (r1 , θ1) y P2 (r2 , θ2) y utilizando el teorema

del coseno se puede verificar que:

Ecuaciones polares de la circunferencia:

La circunferencia en C.P. podemos estudiarla de la siguiente forma:

i. Circunferencia que pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma: . Si a es positivo se encuentra a la derecha del polo, y si es negativo a la izquierda.

ii. Circunferencia que pasa por el polo y su centro está sobre el eje /2, su ecuación es de la forma: , Si a es positivo se encuentra por encima del eje polar, y si es negativo por debajo.

iii. Circunferencia con centro en el polo y radio a:

iv. Circunferencia con centro en (c,) y radio a, su ecuación es de la forma: .

Demostración: Sea P(r,) un punto cualquiera sobre la circunferencia y C (c,) el centro de la circunferencia de radio a, de esta forma la distancia de C a P, siempre es constante e igual a él radio a. Por la ecuación de la distancia entre dos puntos en coordenadas polares o simplemente aplicando la ley del coseno en el triangulo OCP, que se muestra en P (r ,θ)

Eje polar polo

O

θ r p

N(p,ω) ) l ω P (r,θ) Eje polar polo O θ

la figura se tiene:

Las demás ecuaciones como la de la elipse, hipérbolas y parábolas podemos transformarlas por medio de las ecuaciones correspondientes.

Dentro de las graficas especiales en C.P tenemos:

Caracol ó limacons

Este tipo de grafica presenta la forma: ó , donde a y b son constantes. Según la razón se tiene:

i. Si 0 , es un Caracol con lazo interno ii. Si , es un Cardiode o Corazón

iii. Si 1 , es un Caracol cóncavo o Caracol con hendidura iv. Si , es un Caracol convexo o Caracol sin hendidura

Rosas

Este tipo de grafica presenta la forma: ó , donde a y n son constantes. n es un entero mayor que uno y define el numero de pétalos de la rosa. Si n es par posee 2n pétalos, ahora si n es impar posee n pétalos.

Lemniscatas:

Este tipo de grafica presenta la forma: ó , donde a es una constante. Su grafica característica es una rosa de dos pétalos, debido a que la variable r esta elevada al cuadrado significa que la que está al otro lado de la igualdad siempre debe ser mayor o igual que cero, es decir positiva, por lo tanto los intervalos de dominio van a depender de ese factor. Además esto implica que

Cardiode Caracol con lazo interno

solo puede haber cuatro lemniscatas, dos para el seno y dos para el coseno.

Tangentes en el polo

Es una recta de la forma , tangente a la curva que pasa por el polo y que forzá a la curva a pasar también por dicho punto y se obtiene haciendo cero el radio en la ecuación, es decir, r=0.

Si una curva no pasa por el polo, tampoco posee tangente en el polo. Las rectas segmentadas representan las tangentes en el polo, en la rosa de cuatro pétalos mostrada a continuación.

Valores extremos del radio

Se determinan aplicando los criterios de la primera derivada para máximos y mínimos relativos, es decir, determine para que valores de , .

Criterios de simetría.

Para verificar alguna de las tres posibles simetrías en una ecuación en C.P, solo debe hacer los cambios sugeridos por el criterio y la ecuación no se debe alterar.

 Simetría con el eje polar: Cambiar en la ecuación (r,) por (r,) ó (r,).

 Simetría con el eje /2: Cambiar en la ecuación (r,) por (r,) ó (r,).

Después de presentar el grupo de graficas regulares y especiales que se trataran en el curso, vamos a definir algunas particularidades que facilitaran el proceso de graficación.

a. Si la ecuación depende de la función seno, entonces se orienta sobre el eje /2.

b. Si la ecuación depende de la función coseno, entonces se orienta sobre el eje polar.

c. La funciones seno y coseno están acotadas entre -1 y 1 d. Los valores característicos del seno y el coseno:

     

Seno     

Coseno     

e. Asocie el coseno con el eje horizontal y el seno con el eje vertical, para los signos.

f. El signo negativo invierte las posiciones de las graficas. g. El número de tangentes en el polo es igual a las veces que

pasa la trayectoria por ese punto.

h. Las simetrías aplican para la grafica, sus tangentes en el polo, cortes, etc.

i. Sen()= Sen() y Cos()= Cos(). 0

/2



3/2 r



(r,) (r,)= (r,)

0 /2



3/2 r



(r,)

(r,)= (r,)

0 /2



3/2 r



(r,)

(-r,)= (r,)

Simetría con el eje /2 Simetría con el eje polar

j. Si la ecuación depende del seno regularmente posee simetría con el eje /2, Si depende del coseno regularmente posee simetría con el eje polar.

Pasos para Graficar

Se recomienda para graficar considerar los siguientes pasos: 1. Identificar la curva.

2. Determinar corte con los ejes principales. 3. Criterios de simetría.

4. Tangentes en el polo.

5. Valores extremos del radio. LONGITUD DE ARCO

Sea r=ƒ(θ) una curva suave y derivable en [β], se define la longitud de arco desde θ hasta θ=β de esta curva como:

 

0



UNIDAD II. ALGEBRA VECTORIAL

Sistema Coordenadas en .

Es un sistema de referencia en el espacio, que lo estudia como un cubo, los puntos en el espacio pueden representarse de manera análoga a como se hace en el plano cartesiano. Al plano cartesiano le agregamos un eje z, perpendicular en el origen a los ejes x e y. Tal como se puede observar en la figura. Tomados por parejas, los ejes coordenados determinan tres planos coordenados: el primer octante es aquel en el cual las tres coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio viene determinado por la terna ordenada (x, y, z) donde:

x: distancia dirigida de P al plano yz y: distancia dirigida de P al plano xz z: distancia dirigida de P al plano xy

Vector

Un vector es un segmento orientado y dirigido, que va desde el punto A (origen) al punto B (extremo). Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en y , es decir, bidimensional o tridimensional. Se caracterizan por su Magnitud, dirección y sentido.

La longitud representa el modulo o magnitud del vector, la inclinación su dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.

z

y

x

Po(xo,yo,zo)

yo

(xo,yo,0)

xo

zo z

y

x

xy

Componentes de un vector

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis vectoriales (“<” y “>”) y separadas con comas:

Si el vector viene definido del punto A al B , las componentes del vector vienen dado por:

, −

Todo vector puede ser graficado por medio de sus componentes, partiendo desde el origen, es decir, las componentes forman el punto extremo.

Suma de Vectores y Multiplicación por un Escalar

Sea y vectores y sea c un escalar cualquiera.

1. La suma vectorial de y es el vector

2. El múltiplo escalar de c y es el vector c 3. El negativo de es un vector: – 4. La diferencia de y es

Geométricamente el múltiplo escalar de

un vector y un escalar c es el vector

que tiene veces la longitud de , como se muestra en la figura.

Si c es positivo c tiene la misma dirección que si c es negativo c tiene dirección opuesta.

resultante, es la diagonal del paralelogramo que tiene como lados adyacentes.

Las siguientes figuras muestran las equivalencias de las definiciones geométricas y algebraicas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar y presenta (en el extremo derecho) una interpretación geométrica de

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

Sean y los vectores en el plano, y sean c y d escalares. 1.

Vector Nulo

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo

(longitud) cero. Se lo representa como ó 0 Su representación gráfica es un punto, ya que el punto de partida y llegada son los mismos.

El vector cero es el resultado del

producto escalar por el número 0 o la suma de vectores opuestos.

Vectores Opuestos

Se llaman vectores opuestos a aquellos que tienen igual dirección y módulo pero sentido contrario, y se cumple

Vector idéntico

Dos vectores son idénticos cuando sus componentes son idénticas.

Vectores Unitarios

Un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

Las componentes de un vector unitario se pueden representar como una combinación definida en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Los vectores unitarios más utilizados son los canónicos:

Sea vector con magnitud , el vector unitario en la dirección de , viene dado por .

Dirección de un Vector

La dirección se define con los ángulos directores (, y viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Los ángulos directores de un vector diferente del vector cero son los 3 ángulos que tienen la menor medida en radianes no negativa medidos a partir de los ejes respectivamente, hasta la representación de posición del vector.

La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a .

Si son los cosenos directores de un vector, entonces:

Un vector unitario puede ser expresado en función de sus cosenos directores:

Longitud de un Vector

La longitud de un vector de n elementos es determinada a partir del teorema de Pitágoras, de acuerdo a la expresión:

La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclidiana.

Consideremos el vector _.

La norma de se denota y se define de la siguiente manera:

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores , denotado por , se define como:

Si y son dos vectores entonces  + +

Sean vectores en el espacio y k un escalar: 1. (ley conmutativa)

2. (ley distributiva) 3.

4. 5.

6.

En ocasiones el producto escalar recibe el nombre de producto punto o producto interior, que no debe confundirse con la multiplicación escalar (multiplicación por un escalar) la cual es el producto de un escalar y un vector.

Angulo entre dos vectores

Proyección Vectorial y Escalar

Sean y dos vectores el espacio y 

el ángulo entre ambos, la proyección vectorial del vector sobre el vector es el vector

. La magnitud de dicho vector se denomina proyección escalar de sobre y viene dada por:

Vectores Paralelos

Se dice que dos vectores son paralelos si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. Dos vectores no nulos y son paralelos si existe algún escalar c tal que

Vectores Perpendiculares

Se dice que dos vectores y son perpendiculares u ortogonales si y sólo si

Producto Vectorial

Sean y dos vectores del espacio , el producto vectorial o externo denotado por , es un vector que tiene como modulo o norma:

Su dirección es perpendicular al plano formado por los vectores , y su sentido sigue la regla de la mano derecha o tornillo.

Si y son dos vectores entonces:   

Propiedades Algebraicas del producto vectorial

Sean vectores en el espacio y k un escalar: 1.

2. 3. 4.

5.

6.

Interpretación geométrica del producto vectorial

El vector es un vector perpendicular a los vectores y su modulo representa el área del paralelogramo formado por ambos

Triple Producto Escalar

Sean vectores en el espacio, el triple producto escalar es una operación que combina tres vectores en el espacio euclídeo para obtener como resultado un número real, donde se cumple:

Interpretación Geométrica del Triple Producto Escalar:

Sean vectores en el espacio no coplanares, entonces forman los lados de un paralelepípedo en el espacio como lo muestra la figura.

Los vectores forman la base del paralelepípedo y la proyección escalar de sobre representa la altura h.

De esta forma se tiene que el triple producto escalar representa el volumen del paralelepípedo:

Triple Producto Vectorial

Sean vectores en el espacio, el triple producto vectorial viene dado por:

h=

h 

UNIDAD III. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ecuaciones de una recta en R³

La recta l en R³, viene definida por un punto Po(xo, yo, zo), de la recta, y un vector v a,b,c , paralelo a la misma. El vector v se le

denomina vector director de la recta.

Ecuación Paramétrica de la recta

El vector , es paralelo al vector v, por lo que se debe cumplir

, donde t es el parámetro, de esta forma:

, si los vectores son iguales sus componentes también lo son y se tiene:

Representa la ecuación paramétrica de la recta l, que pasa por el punto P_o(xo, yo, zo) y tiene a v  a,b,c , como

vector director.

Ecuación Simétrica de la recta

Si despejamos de la forma paramétrica de la recta, el parámetro t, e igualamos las tres ecuaciones obtenemos la forma simétrica de la recta l, que pasa por el punto Po(xo, yo, zo) y tiene a v  a,b,c , como vector director.

Grafica una recta en R³

Para graficar una recta, solo basta con graficar dos puntos pertenecientes a la recta y luego trazar una línea continua que pase

Po(xo,yo,zo)

P(x,y,z)

por ambos. La determinación de los puntos, parte del principio donde si el punto pertenece a la recta debe satisfacer su ecuación:

i. Si la ecuación esta en la forma paramétrica, basta con asumir un valor arbitrario a t, y se obtienen las componentes del punto, luego se repite el procedimiento. ii. Si la ecuación esta en la forma simetrica, se debe asumir

un valor arbitrario de x, y o z; luego resolver las dos ecuaciones resultantes, para obtener las componentes del punto; luego repetir el procedimiento.

Las rectas en el espacio se pueden relacionar por su posición y el angulo que forman entre ellas, de lo cual se tiene:

Rectas oblicuas

Dos rectas l1 y l2, son oblicuas si el ángulo que forman es

distinto de {0 y /2}, y no poseen al menos un punto en común.

Rectas que se interceptan

Dos rectas l1 y l2, se interceptan si existe un punto P(x0,y0,z0)

que pertenece a ambas rectas.

Rectas paralelas

Dos rectas l1 y l2, son paralelas si sus vectores directores son

paralelos.

Rectas perpendiculares

Dos rectas l1 y l2, son perpendiculares, si los vectores directores

son perpendiculares.

Angulo entre dos rectas

El ángulo formado entre dos rectas l1 y l2, es equivalente al

ángulo formado por sus vectores directores.

Distancia entre dos rectas paralelas

Sean r y s, dos rectas paralelas, la distancia d, entre ambas viene dada por la longitud del segmento de recta

z

y

x

z

y

x

z

y

x

P

z

y

x

Paralelas Perpendiculares Oblicuas Interceptan

P

Q

d

r

perpendicular a ambas que las une.

La distancia entre dos rectas paralelas, viene definida por el vector director de cualquiera de las rectas y un vector que una ambas rectas, tal que:

La distancia de un punto a una recta

La distancia d, entre una recta a un punto Q, es la

longitud del segmento

perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Del triangulo rectángulo PAQ, donde , representa el ángulo

entre y . Se tiene ques , ahora si multiplicamos por , se , entonces por la propiedad del producto vectorial nos queda:

Ecuaciones de un plano en R³

Un plano en el espacio está determinado por un vector normal al plano y un punto P0 del

plano. Analíticamente lo definen al menos tres puntos no colineales. De esta forma se pueden formar

dos vectores del plano y con ellos determinar el vector normal, luego por la condición de perpendicularidad se obtiene la ecuación canoníca del plano :

a(x-x0)+ b(y-y0)+ c(z-z0)=0 donde y P0:(x0,y0,z0)

Si resolvemos y sustituimos d=(ax0+by0+cz0), se tiene la forma

general del plano : ax+by+cz+d=0.

Manipulando también podemos determinar la forma simétrica del plano, donde A, B y C, representan los cortes con los ejes coordenados y facilitan el proceso de graficación:

Existen algunos planos característicos que debemos tener en cuenta:

i. Plano xy, su ecuación es z=0. ii. Plano xz, su ecuación es y=0. iii. Plano yz, su ecuación es x=0.

P

Q

d

s 



P0

Q

A

Grafica de un plano en R³

Para graficar un plano, se recomienda utilizar la forma simétrica del plano, y conceptos de proyección.

La unión de los cortes con los ejes y prolongaciones van a formar un rectángulo o un triangulo. Pueden presentarse de tres, dos o un solo corte, con los ejes, cada uno representa un caso distinto que con algo de práctica se hace muy sencillo.

Planos paralelos y Perpendiculares

i. Dos planos 1 y 2, son paralelos si y solo si, sus vectores

normales son paralelos, entonces:

ii. Dos planos 1 y 2, son perpendiculares si y solo si, sus

vectores normales son perpendiculares, entonces:

z

y

x

xy

yz xz

C

B A

z

y

x

yz xz

C

B A

xy

z

y

x

xz

xy B

yz

z

y

x

yz xz

B A

xy

Recta de intercepción de planos

Sean 1 y 2 planos no paralelos,

con vectores normales respectivamente, la recta de intercepción l viene dada por:

, donde y Po(xo,yo,zo) es un punto que pertenece a ambos planos.

Distancia entre planos paralelos

Sean 1 y 2 planos paralelos, con vectores normales

respectivamente. Y sean P y Q, puntos pertenecientes a los planos

1 y 2, la distancia entre los planos viene dada por la

proyección escalar del vector sobre el ortogonal unitario al plano , tal que: ó .

Si , la ecuación se puede simplificar de la forma:

, donde d2 y d1 son los términos d, de la forma general de los planos 2 y 1. Distancia entre un Punto y un

Plano

Sean el plano , con vector normal . Y sea P un punto del plano. La distancia del plano a un punto Q, viene dado por:

Distancia entre dos rectas oblicuas

Sean l1 y l2 dos rectas oblicuas, con vectores directores

respectivamente. Sea además P y Q puntos pertenecientes a las rectas l1 y l2. La distancia d,

entre las rectas viene dada por

, donde _{, entonces}

también puede expresarse:

l

Po

 P

d





P

d

Q l1

Sistema de Coordenadas cilíndricas (S.C.C)

Es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal.

En un sistema de coordenadas cilíndricas un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada (r,,z):

i. (r,) es una representación polar de la proyección de P en el plano xy.

ii. z, es la distancia dirigida de (r, θ) a P.

iii. r, es la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano xy, (r0).

iv. θ: Es el ángulo que forma con el semi-eje x+_{, con la proyección}

del radiovector sobre el plano xy.

Coordenadas esféricas (S.C.E)

En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada (,,).

 representa la distancia del origen al punto.

es el ángulo que forma con el semi-eje x+_{, con la proyección}

del radiovector sobre el plano xy, 0≤≤2

, es el ángulo que forma el semi-eje z+_{, con el radio vector} _.

Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar la longitud de la tierra.

i.  es la distancia entre P y el origen, ≥0.

ii. θ es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas, 0≤≤2.

iii.  es el ángulo entre el eje z positivo y el radiovector , 0≤≤.

r 

r0

rz

y z

Relación entre S.C.R, S.C.C y S.C.E

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente le posición de cualquier punto de un espacio euclideo.

Se han definido tres sistemas de coordenadas en el espacio, el Rectangular, Cilíndrico y Esférico, a partir de sus definiciones podemos relacionar los sistemas entre si, con las siguientes ecuaciones:

De Coordenadas Cilíndricas y Rectangulares:

De Coordenadas Esféricas y Rectangulares:

De Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CUÁDRICAS

Una superficie está representada por una ecuación en tres variables si las coordenadas de cada punto de la superficie satisfacen la ecuación. Cada punto que pertenece a la superficie debe satisfacer su ecuación.

Superficies Cilíndricas

La superficie Cilíndrica está generada por una recta (recta generatriz) que se mueve manteniéndose paralela a sí misma, apoyada en una curva (curva directriz) dada. En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos de tres variables es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al plano asociado con la variable faltante y cuya directriz es una curva en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación.

El estudio de cilindros se limitará a aquellos que tengan una directriz en uno de los planos coordenados y la recta generatriz es perpendicular a ese plano. Si la recta generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, se dice que el cilindro es perpendicular al plano.

faltante en la ecuación. Se denominan Cilindro de base “directriz”, o similar como muestran los tres ejemplos.

Cilindro Circular Recto o Cilindro de Base Circular

Es aquel cuya directriz es una circunferencia y cuya recta generatriz es paralela al eje del cilindro.

La superficie _{, es un cilindro circular, cuya base es la} circunferencia sobre el plano xy y la recta generatriz es paralela al eje z.

Cilindro parabólico o Cilindro de base Parabólica

La ecuación implícita del cilindro parabólico de vértice a lo largo del eje es: , Como se puede ver esa ecuación es la ecuación de una parábola de vértice en . Colocando parábolas con el vértice a lo largo del eje construimos cilindros parabólicos. Donde podemos observar que la curva directriz es la parábola , y la recta generatriz es paralela al eje z.

Para representar el cilindro parabólico con vértice en restamos cada una de las coordenadas del centro a y respectivamente. La ecuación queda así: .

Si queremos representar el cilindro parabólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje.

z

y

x

Recta Generatriz

Cilindro hiperbólico o Cilindro de base hiperbólica

La ecuación implícita del cilindro hiperbólico centrado es: Como se puede ver esa ecuación es de una hiperbola con centro en La curva generatriz es la hipérbola en el plano xy, y la recta generatriz es paralela al eje z.

Para representar el cilindro

hiperbólico con centro restamos cada una de las coordenadas al centro y respectivamente. La ecuación queda así:

Superficies Cuádricas

Una superficie cuádrica, es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

Donde A, B, C,…, son constantes. Su ecuación es de la forma:

Trazas de una superficie cuadrática

Son las curvas de intercepción entre una superficie y un plano.

Trazas principales

a. Trazas con el plano xy: es intercepción de la superficie con el plano xy, es decir, z=0.

b. Traza con el plano yz: de forma análoga se hace x=0. c. Traza con el plano xz: de forma análoga se hace y=0.

Las trazas paralelas.

Son las intercepciones con los planos z=k, x=k, y=k; de esta forma se puede caracterizar y bosquejar la superficie.

Las superficies cuadráticas a estudiar:

 Esfera

 Elipsoide

 Hiperboloide de una hoja

 Hiperboloide de dos hoja

 Cono elíptico

 Paraboloide elíptico

Esfera

Una esfera con centro en ( , ) y radio r se define como el conjunto de puntos cuya distancia a es r.

La ecuación canoníca viene definida de la forma: , r representa el radio de la esfera y su centro es el punto , sus tres trazas son circunferencias de radio r.

Si tomamos como centro el origen, la

ecuación se reduce a la forma: . En la grafica se observan las tres trazas principales diferenciadas por colores.

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de circunferencias , de radio , si k(-r,r). si k=r, se forman los puntos extremos (0,0,r) y (0,0,-r).

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de circunferencias , de radio , si k(-r,r). si k=r, se forman los puntos extremos (0,r,0) y (0,-r,0).

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), son familias de circunferencias , de radio , si k(-r,r). si k=r, se forman los puntos extremos (r,0,0) y (-r,0,0).

Elipsoide

Superficie cuádrica de la forma: representa un elipsoide con centro en ( , ). Donde a, b y c, representan las medidas desde el

centro hasta las superficies en cada eje respectivo.

Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: , tal como se observa en la grafica. Sus trazas son tres elipses, o una circunferencia y dos elipses de acuerdo a los valores de a, b y c.

En el plano xy: , Elipse o circunferencia si a=b En el plano xz: , Elipse o circunferencia si a=c

x

y z

x

En el plano yz: , Elipse o circunferencia si b=c

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k (-c,c). Si k=c, se forman los puntos extremos (0,0,c) y (0,0,-c).

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=c), , si k (-b,b). Si k=b, se forman los puntos extremos (0,b,0) y (0,-b,0).

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando b=c), , si k (-a,a). Si k=a, se forman los puntos extremos (a,0,0) y (-a,0,0).

Hiperboloide de una hoja

Superficie cuádrica de la forma: , representa un hiperboloide de una hoja orientado

en la dirección del eje z, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: . Las trazas del hiperboloide de una hoja son, dos hipérbolas y una elipse o circunferencia, tal como se puede observar en la figura. Sus trazas son:

En el plano xy: Elipse o circunferencia si a=b

En el plano xz: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje x

En el plano yz: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje y

El eje por donde se orienta el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa (en este caso eje z).

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), , son:

(i). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al X

Z

eje x, si k(-b,b).

(ii). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje z, si k(-,-b)  (b,+).

(iii). Rectas , si k=b.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , son:

(i). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje y, si k(-a,a).

(ii). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje z, si k(-,-a)  (a,+).

(iii). Rectas , si k=a.

Hiperboloide de dos hojas

Superficie cuádrica de la forma: , representa un hiperboloide de una

hoja orientado en la dirección del eje x, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: . Las trazas del hiperboloide de dos hojas son, dos hipérbolas y la tercera traza no existe sino en planos paralelos donde se forma elipse o circunferencia, tal como se puede observar en la figura.

En el plano xy: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje x

En el plano xz: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje x

En el plano yz: No existe traza.

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de hipérbolas, , si k.

X

Z

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de hipérbolas, , si k.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , son familias de elipses (o circunferencias cuando b=c), si k(- ,-a)  (a,+). Si k=a, se forman los puntos extremos (a,0,0) y (-a,0,0).

Cono Elíptico

Superficie cuádrica de la forma: , representa un Cono Elíptico orientado en la

dirección del eje z, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: .

Las trazas con los planos principales del cono elíptico, son un punto y Dos pares de rectas. Su estudio se fundamenta en las trazas paralelas, donde aparecen las dos familias de hipérbolas y una de elipses (o circunferencias). Si la tercera familia de trazas son circunferencias, se le denomina Cono Circular.

Sus trazas con los planos principales son: En el plano xy: el punto (0,0,0).

En el plano xz: las rectas . En el plano yz: las rectas .

El eje por donde se orienta el Cono elíptico, es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa (en este caso eje z).

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), , es una familia de hipérbolas con eje focal paralelo al eje z, si k -{0}. Si k=0, ya definimos anteriormente que se forman dos rectas .

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , es una familia de hipérbolas con eje focal paralelo al eje z, si k -{0}. Si k=0, ya definimos anteriormente que se forman dos rectas

X

Z

.

Paraboloide Elíptico

Superficie cuádrica de la forma: , representa un Paraboloide Elíptico orientado en la dirección del eje z, con vértice en ( , ). Si tomamos como vértice el origen, la ecuación se reduce a la forma: . El eje de

orientación lo define la variable que no se encuentra elevada al cuadrado (en este caso eje z).

Las trazas con los planos principales del paraboloide elíptico, vienen dado por dos parábolas y un punto. Su estudio se complementa con las trazas paralelas, donde aparecen las dos familias de parábolas y una de elipses (o circunferencias). Si la tercera familia de trazas son circunferencias, se le denomina Paraboloide Circular.

Sus trazas con los planos principales son: En el plano xy: el punto (0,0,0).

En el plano xz: la parábola En el plano yz: la parábola

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k+_{. Si}

k=0, el origen.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), , es una familia de parábolas con eje focal paralelo al eje z.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , es una familia de parábolas con eje focal paralelo al eje z.

Paraboloide hiperbólico

Superficie cuádrica de la forma: representa un Paraboloide hiperbólico orientado

sobre el eje z, y hacia el eje y, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: , también es conocida como la silla de montar. El eje de orientación lo define la variable que no

X

Z

Y

X

Z

está al cuadrado (eje z, en este caso), y hacia donde se prolonga la variable positiva (eje y, en este caso).

Las trazas con los planos principales vienen conformadas por dos parábolas y dos rectas. Su estudio se complementa con las trazas paralelas, donde aparecen las dos familias de parábolas y una de hipérbolas.

Sus trazas con los planos principales son: En el plano xy: Dos rectas

En el plano xz: la parábola En el plano yz: la parábola

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), , son:

(i). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje y, si k+_.

(ii). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje x, si k.

(iii). Rectas , si k=0.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de parábolas .

UNIDAD IV. FUNCIONES VECTORIALES

Definición de una función Vectorial

Sean f, g y h funciones reales de la variable real . Entonces se define la función vectorial de la forma: .

Donde es cualquier numero real del dominio común de .

Dominio de una Función Vectorial

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su rango es un conjunto de vectores.

El dominio de la función vectorial se define:

La función estará representada por vectores y por puntos terminales de dichos vectores describen una curva en el espacio llamado curva alabeada.

Operaciones con Funciones Vectoriales.

Dadas las funciones vectoriales y las funciones reales f y g:

i. La suma de , denota por , es la función vectorial definida por

ii. La diferencia de , denota por , es la función vectorial definida por

iii.El producto punto de , denota por , es la función vectorial definida por

iv.El producto cruz de ,, denotado por , es la función vectorial definida por

v. El producto de por , denotada por , es la función vectorial definida por

z

y

x

t 1

vi.La función compuesta de , denotada por , es la función vectorial definida por

Limite de una Función Vectorial.

Sea una función vectorial de la forma , entonces el límite de cuando tiende a está definido por

+ , Si , y existen.

Continuidad de una Función Vectorial.

La función vectorial es continua en el número a, si y solo si, se satisfacen las tres condiciones:

i. existe

ii. existe

iii.

De esta definición, una función vectorial es continua en el número a, si y solo si sus componentes reales son continúas en a.

Derivada de una Función Vectorial.

Si es una función vectorial, entonces la derivada de es una función vectorial, denotada por y definida por , si este límite existe.

Teorema:

Si es una función vectorial definida por , entonces, , si existen.

Propiedades de la Derivada

Sean y funciones vectoriales de t, f una función real derivable en t y c un escalar.

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

Integral indefinida de una Función Vectorial

Si es la función vectorial determinada por , entonces la integral indefinida de está definida por

Longitud de Arco

Sea C una curva cuya ecuación vectorial es y suponga que son continuas en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces sí L es la longitud de arco de C desde el punto hasta el punto su ecuación está dada por:

Teorema

a) Sea continua Si , entonces

b)

c) Sea un vector fijo (o constante) entonces .

Vectores Velocidad, Rapidez y Aceleración

Sea la curva cuya ecuación vectorial es , si una partícula se mueve a lo largo de C, representa la posición de la partícula, la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante t, vienen definidas de la forma:

, entonces

El vector velocidad tiene la misma dirección del movimiento en cualquier instante t.

La magnitud del vector velocidad , es una medida de la rapidez de la partícula.

Vectores Tangente, Normal y Binormal Unitario

Si es el vector posición de una curva C en P, derivable al menos dos veces en t y distinto del vector nulo, se tiene:

i. Tangente Unitario

iii.Binormal Unitario o

Los vectores T, N y B conforman la triada móvil de movimiento, son ortogonales entre sí en todo instante t y siguen la regla de la mano derecha tal que: B(t)=N(t)xT(t), N(t)=B(t)xT(t) y T(t)=N(t)xB(t).

Triedro Móvil

El triedro móvil viene definido por los planos Osculador, Normal y rectificador, sus ecuaciones podemos obtenerlas a partir de la ecuación canoníca del plano. Si es el vector posición sobre la curva C en cualquier instante t.

En t=t0, la partícula se encuentra en

P0(xo,yo,zo) y los vectores Unitarios

corresponden T(to , N(to

y B(to

i. Plano normal:

ii. Plano Osculador:

iii. Plano Rectificador:

Componentes Normal y Tangencial de la Aceleración.

La aceleración sobre una curva C, se puede expresar como una combinación lineal de las componentes Normal y tangencial de la forma: , donde:

i. Componente tangencial de la aceleración

ii. Componente normal de la aceleración

iii. El modulo de la aceleración es

Vector Curvatura

Si es el vector tangente unitario a una curva en un punto , es la longitud de arco medida desde un punto de elegido arbitrariamente, y crece conforme se incrementa, entonces el vector curvatura de en , denotado por , se define como , entonces:

Curvatura

La curvatura , representa la razón de cambio de la dirección de la curva respecto al cambio en su longitud. Como ,

x

y z

Plano Normal

Plano Osculador Plano

Rectificador

N

con algo ayuda del algebra vectorial podemos reducirla a:

Radio de Curvatura.

Si es la curvatura de la curva plana C en el punto , entonces el radio curvatura de C en , se define como = UNIDAD V. FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

Dominio Analítico y Gráfico de Funciones de dos o más Variables

Una función de n

variables independientes, se

define de la forma el conjunto de partida viene definido en el espacio n dimensional y el conjunto de llegada pertenece a .

Una función de dos variables se define de la

forma el dominio o conjunto de partida pertenece al plano y el conjunto de llegada o rango .

Las variables x, y son las variables independientes y la variable z es la dependiente.

El dominio de una función de dos variables, será un área en el plano, formada por la proyección en el plano de la superficie z=f(x,y). De forma análoga si es de tres variables w=f(x,y,z), su dominio viene dado por un volumen y así sucesivamente. Sin embargo nosotros limitaremos el cálculo al estudio de funciones de dos variables independientes tal que:

Si z=f(x,y) el dominio de f viene dado por el área formada por los puntos (x,y) que satisfagan la ecuación, y se expresa de la forma: .

Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de una variable. Así, podemos sumar, restar, multiplicar o dividir funciones de dos variables como sigue:

Superficie

Dominio

Z

Y

Si h es una función de varias variables y g de una variable, se puede definir la composición . El dominio de esta función compuesta lo constituyen todos los puntos (x,y) en el dominio de h, tales que h(x,y) pertenezca al dominio de g.

La grafica del dominio de una función de dos variables se realiza definiendo el área formada por los puntos que satisfagan la función. Regularmente los dominios quedan expresados por desigualdades e intercepciones, siguiendo los pasos:

1. Se grafica la desigualdad como una igualdad.

2. Se toma un punto fuera de la trayectoria y se sustituye en la desigualdad, si la expresión resultante es una verdad, el punto y todos los de su entorno pertenecen al dominio de f.

3. La trayectoria se incluye solo si la desigualdad no es estricta ( ó

) y se demarca con línea continua, de lo contrario con línea segmentada.

4. Si existe más de una desigualdad se toman las áreas comunes.

Curvas de Nivel

Otra forma de visualizar una función de dos variables consiste en utilizar un campo escalar en el que se asigna al punto el escalar . Un campo escalar queda caracterizado por sus curvas de nivel (o

línea de contorno) a lo largo de las cuales el valor de es constante.

Un mapa de contorno está formado por las

curvas de

forma se puede caracterizar una superficie en el plano sin necesidad de graficarla en el espacio. Cualquiera que sea la aplicación de la función se debe interpretar que cada línea de contorno representa un valor constante de la variable dependiente.

Limite Funciones de dos o más Variables

Sea f una función de dos variables definidas en algún punto abierto excepto posiblemente en el punto entonces el límite de conforme a tienda a es L lo que se denota por:

Si para existe un tal que si entonces

La definición anterior análoga a la del límite de una función de una variable, pero hay una diferencia fundamental. Para saber si una función de una variable tiene límite, basta ver que sucede al tender hacia el punto en dos direcciones: izquierda y derecha, el límite existe. Ahora bien, para una función de dos variable la afirmación , significa que al punto se le permite tender hacia el punto por cualquier . Si el valor de , no es el mismo para todas esas maneras (o caminos) de acercarnos al el limite no existe.

Los límites de varias variables tienen, por lo que respecta a sumas, diferencias, productos y cocientes, las mismas propiedades que los limites de funciones de una variable.

Teorema

Si la función f tiene límites diferentes conforme (x,y) se aproxima a (xo,yo) a través de dos conjuntos diferentes de puntos que tienen a (xo,yo) como punto de acumulación, entonces no existe.

Continuidad de Funciones de dos o más Variables

Una función f de dos variables es continua en un punto de una region abierta R, si es igual al limite de cuando tiende a . Esto es, si , Se dice que f es continua en la región abierta RR si es continua en todo punto de RR

Teorema

Si f y g son funciones continuas en el punto (xo,yo) entonces: i. f + g es continua en (xo,yo)

iii.f.g es continua en (xo,yo)

iv.f/g es continua en (xo,yo), considerando que g(xo,yo)0

Derivadas Parciales por Definición

Sea f una función la derivada parcial de la f con respecto a x es la función denotada por , tal que su valor en cualquier punto del dominio de f esta dado por

Si el límite de numero semejante la derivada parcial con respecto a “y” es la función demostrada por , tal que valoramos en cualquier punto del dominio de f esta dado por

, Esto siempre y cuando el límite exista. Esta definición significa que, dada para calcular debemos considerar a y como constante y derivar respecto de x. del mismo modo, para hallar mantenemos x constante y derivamos respecto a y.

Algunas notaciones de las derivadas parciales son las siguientes: Si sus derivadas parciales se denotan por

y

Derivadas Parciales por Teoremas

Para derivar aplicando los teoremas solo se considera la otra variable como constante y son extensivos todos los teoremas aplicados para la derivación de funciones de una variable.

Regla de la Cadena para derivadas parciales Teorema para una Variable Independiente

Si u es una función diferenciable de x e y, definida por , donde y son funciones derivables de t, entonces u es función de t, y además

Teorema para Dos Variables Independientes

Si u es una función diferenciable de x e y, definida por , donde y , y

existen, entonces u es función de r y s, y además

y

Derivadas de Orden Superior

de estas funciones existen, se denominan segundas derivadas parciales de f. En contraste fx y fy reciben el nombre de primeras derivadas parciales de f. Existen cuatro segundas derivadas parciales de una función de dos variables. Si f es una función de dos variables x e y, las notaciones que expresan la segunda derivada parcial de f son:

;

De esta forma sucesivamente la tercera derivada parcial estará formada por ocho nuevas funciones al derivar las cuatro de la segunda, y así sucesivamente, sin embargo el siguiente teorema nos reduce el cálculo y el número real de derivadas, porque algunas son iguales.

Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas

Si f es una función de x e y, con fxy, fyx continuas en un disco abierto , entonces, para todo (x,y) en es fxy(x,y)=fyx(x,y)

De acuerdo a este teorema las segundas derivadas parciales se reducen a tres, y las terceras a cuatro y así sucesivamente. Por ejemplo: en el orden 3 se cumple fxyx=fxxy=fyxx

Derivación Implícita

Si la ecuación , define implícitamente a z como función diferenciable de x e y, entonces

y

,

Incremento y Diferenciación

Para funciones z=f(x,y) de dos variables los incrementos x y y son incrementos de x e y, y el incremento en z viene dado por z=f(x+x, y+y)-f(x,y)

Diferencial Total

Si z=f(x,y) y x, y son incrementos de x e y, las diferenciales de las variables independientes x e y son dx=x, dy=y, y la diferencial total de la variable dependiente z es

Teorema

Si f es una función de x e y, con fx y fy continuas en una región abierta de RR, entonces f es diferenciable en RR.

Determinación de Máximos y Mínimos Relativos

Teorema del valor extremo

Sea f una función continua de dos variables, x e y, definida en una región cerrada y acotada RR del plano xy.

1. Existe al menos un punto en RR donde f alcanza un valor mínimo.

2. Existe al menos un punto en RR donde f alcanza un valor máximo.

Definición de Extremos Relativos

Sea f una función definida en una región RR que contiene al punto (xo,yo).

1. La función f tiene un mínimo relativo en (xo,yo) si f(x,y)f(xo,yo) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (xo,yo).

2. La función f tiene un máximo relativo en (xo,yo) si f(x,y)f(xo,yo) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (xo,yo).

Definición de los Puntos Críticos

Sea f una función definida en una región RR que contiene al punto (xo,yo). El punto es un punto crítico de f si en él ocurre alguna de estas dos circunstancias:

1. fx(xo,yo)=0 y fy(xo,yo)=0

2. fx(xo,yo) o fy(xo,yo) no existe.

Criterio de las segundas Derivadas Parciales

Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al punto (a,b), en el cual fx(a,b)=0 y fx(a,b)=0. Para buscar los extremos relativos de f debe calcularse el hessiano H(a,b)=fxx(a,b)fyy(a,b)-[fxy(a,b)]2

1. Si H(a,b)>0 y fxx(a,b)>0, f tiene un mínimo relativo en (a,b). 2. Si H(a,b)>0 y fxx(a,b)<0, f tiene un máximo relativo en (a,b). 3. Si H(a,b)<0, entonces f tiene un punto de silla en (a,b,f(a,b)). 4. Si H(a,b)=0, el criterio no da ninguna conclusión.

Multiplicadores de Lagrange

Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en el punto (xo,yo) sobre la curva suave de restricción g(x,y)=c. si , existe un número real  tal que: 

Método de los Multiplicadores de Lagrange

1. Resolver simultáneamente las ecuaciones g(x,y)=c y  , hallando la solución del sistema de ecuaciones:

 ;  ;

2. Evaluar f en cada uno de los puntos de solución obtenidos en el paso anterior. El mayor de esos valores da el máximo de f sujeta a la restricción g(x,y)=c. El menor de ellos da el mínimo de f bajo la restricción g(x,y)=c.

Gradiente y Derivadas Direccionales

Las derivadas direccionales nos permiten determinan la razón de cambio de una función en la cualquier dirección.

Derivada Direccional

Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario es

Gradiente

Para funciones de dos variables se tiene:

Sea z=f(x,y) una función de x e y, tal que existen fx y fy. El gradiente de f, denotado por es el vector

.

Para funciones de tres variables se tiene:

Sea w=f(x,y,z) una función de x, y e z, tal que existen fx, fy y fz. El gradiente de f, denotado por es el vector

Relación entre la derivada Direccional y el Gradiente

Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario es

Propiedades del Gradiente

Sea f diferenciable en el punto (x,y).

1. Si , entonces para todo

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por . El valor máximo de es .

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por . El valor mínimo de es .

4. Si y son ortogonales, no existe razón de cambio, es decir, .

Determinación del Plano Tangente y de las Rectas Normal y Tangente

Teorema

Si una ecuación de una superficie S es F(x,y,z)=0, y si F es diferenciable y fx, fy y fz no son todas cero en el punto de S, entonces es un vector normal a S en .

Definición del Plano Tangente a una Superficie

La ecuación del plano tangente a una superficie S en el punto , es el plano que pasa por y tiene a como vector normal, y su ecuación es:

Definición de la recta normal a una Superficie

La ecuación de la recta normal a una superficie S en el punto , es la recta que pasa por y tiene a como vector director, y su ecuación simétrica es:

Definición de la recta tangente a una curva C

La ecuación de la recta tangente a una curva C en el punto , es la recta que pasa por y tiene como vector director al vector tangente unitario T en , y su ecuación paramétrica es: